Vectores

VECTORES

1.- Magnitudes Escalares y Magnitudes Vectoriales. Las Magnitudes Escalares: son aquellas que quedan definidas únicamente por su valor numérico (escalar) y su unidad correspondiente, Ejemplo de magnitudes escalares: la masa, volumen, área, presión, trabajo, etc. Las Magnitudes Vectoriales: son aquellas que quedan definidas además de su valor numérico (escalar) por otras características como dirección y sentido, se representa por medio de un elemento matemático llamado vector. Ejemplo de magnitudes vectoriales: el desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, etc. 2.- Definición y Elementos de un Vector: Un vector es un segmento de recta que posee magnitud, dirección y sentido y que se suman mediante el método del paralelogramo. Se denotan con letras mayúsculas por ejemplo: A, B, o también AB, CD. Elementos de un Vector: 1. La Magnitud o modulo de un Vector: representa la distancia del origen al extremo (siempre es positiva) y se denota por │A│. 2. La Dirección del Vector: es el grado de inclinación θ (ángulo) medido con respecto a la horizontal 3. Punto de Aplicación u Origen: Es el punto donde se considera aplicada la magnitud a quien el vector representa. 4. Sentido: Se representa por una punta de flecha en el extremo del vector. El sentido puede ser: hacia la derecha, hacia la izquierda, hacia arriba, hacia abajo.

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Vectores

M

nit ag

ud

Sentido (extremo)

θ Dirección

Origen Línea de Acción 3.- Tipos de Vectores:

a. Vector Fijo: actúa en un punto específico. b. Vector Deslizante: se mueve a lo largo de su línea de acción. c. Vector Libre: se mueve en forma paralela manteniendo su magnitud y dirección. d. Vectores Iguales (equipolentes): poseen la misma magnitud, dirección y sentido. e. Vector Negativo u Opuesto: poseen la misma magnitud y sentido contrario. f. Vector Unitario: es un vector libre que tiene magnitud igual a la unidad y necesita de otro para quedar definido, esta representado por:

A

UA

A

A

UA 4.- Operaciones con Vectores: Suma y Resta de Vectores Suma de Vectores: Debe tenerse en cuenta que solo pueden sumarse vectores que representen las mismas cantidades físicas.

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Vectores

Suma de Vectores por Métodos Geométricos.

a) Método del Triangulo: por el extremo de un vector trazamos el otro vector en forma paralela, el vector resultante va desde el origen del primero hasta el extremo del segundo. B A

A

A+B B

b) Método del Polígono: Cuando se suman más de dos vectores se procede de la siguiente forma: se une el origen de segundo vector con la punta del primero, el origen del tercero con la punta del segundo y así sucesivamente. El vector suma o vector resultante es aquel que se traza desde el origen del primer vector hasta la punta del último vector. C

C B R B A A

c) Método del Paralelogramo: Para sumar dos vectores A y B trasladamos los vectores a escala, haciendo coincidir sus orígenes; luego se traza una recta paralela al vector A que pase por la punta de B, después se traza una paralela a B que pase por la punta de A. El vector resultante se traza desde el origen hasta el punto de intersección de ambas rectas. La magnitud del vector resultante viene a ser la longitud de la diagonal del paralelogramo que forma los vectores A y B.

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Vectores

A A

A+B

B

B

Si los dos vectores tienen la misma dirección (colineales), la aplicabilidad de la ley del paralelogramo o la ley del triangulo se reduce a una suma escalar de las magnitudes de los vectores (por el extremo de un vector colocamos el origen del otro vector). A

A

B

B A+B

Propiedades de la Suma de Vectores. Propiedad Conmutativa: Cuando se suman dos vectores la suma es independiente del orden de los factores. A B B A Propiedad Asociativa: Si se suman tres o mas vectores, su suma es independiente de la manera como se agrupen los vectores individuales. A

B C

A B

C

Negativo de un Vector: El negativo de un vector A es el vector (-A), tienen la misma magnitud pero apuntan en direcciones opuestas. Diferencia de Vectores: Es un caso particular de la suma de vectores, consiste en sumar a un vector el negativo u opuesto del otro.

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Vectores

Propiedad Conmutativa. R=A+B=B+A A B

B A

Propiedad Asociativa. C

C

(A+B)+C

A+(B+C) A+B

B

B+C

A

B

A

Negativo de un Vector.

B

-B

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Vectores

Diferencia de Vectores. A

-A

-B

-B A+(-B)

B B

A

B-A

Suma de Vectores por Métodos Analíticos. a) Ley del Coseno: En todo triangulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman.

θ B

A

α

R=A+B

β

θ A

B

Considerando uno de los triángulos cuyos lados son A, R y B, tenemos: R2

A2 180

B2

CosA * CosB  SenA * SenB

Cos A B

Cos180 1 * Cos

Cos 180 Cos 180 Entonces : A2

B2

2

2

2

R2

A

A2

Sen1800 * Sen

Cos

R2 R

2A * B * Cos

B

B2

2A * B * Cos 180 2A * B *

Cos

2A * B * Cos

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b) Ley del Seno: Podemos utilizarla bien sea para determinar el vector R (resultante) o su dirección con respecto a un eje de referencia. Relacionando los lados del triangulo con los senos de sus ángulos opuestos, tenemos: A Sen

B Sen

R Sen

Componentes de un Vector Y Vectores Unitarios. Las componentes de un vector son sus proyecciones a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangular. Consideremos un vector A, en el plano xy que forma un ángulo θ con el eje X+, (como se muestra en la figura). El vector A se puede expresar como la suma de otros dos vectores Ax y Ay llamados vectores componentes de A. El vector componente Ax representa la proyección de A a lo largo del eje X, mientras que Ay representa la proyección de A a lo largo del eje Y. Las componentes de un vector pueden ser positivas o negativas dependiendo de su dirección, pero sus magnitudes siempre son positivas. Y

Ay

A θ Ax

X

Por trigonometría tenemos que: Cos Sen

Ax A Ay A

Por lo tanto las componentes rectangulares de A están dadas por: Ax Ay

A * Cos A * Sen

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Estas componentes forman los lados de un triangulo donde la hipotenusa, representa la magnitud de A, utilizando el teorema de Pitágoras: A

Ax 2

Ay 2

Su dirección viene dada por: Ay Ax

tan

arctan

Ay Ax

Los signos de las componentes rectangulares dependen del ángulo θ, por ejemplo si θ = 120º Ax es negativa y Ay es positiva, si θ = 225º Ax y Ay son negativas. (La siguiente figura resuma los signos de las componentes cuando A cae en lo diferencies cuadrantes). y

II

I

Ax -

Ax +

Ay +

Ay + x

III

IV

Ax Ay -

Ax + Ay -

Las cantidades vectoriales generalmente se expresan en términos de vectores unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones y de longitud igual a la unidad, se emplea para especificar una dirección dada en el espacio. Se utilizan los símbolos i, j, k, para representar los vectores unitarios que apuntan en las

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direcciones x, y, z respectivamente. Los vectores unitarios son perpendiculares entre si, y su magnitud es igual a la unidad. Podemos entonces expresar el vector A e términos de sus componentes y de los vectores unitarios: A

Axi Ayi

Donde: Axi y Ayi: Son las componentes vectoriales de A. Ax y Ay: Son las componentes rectangulares de A. Vectores Unitarios. Y

j

i X k

Z

Método de la Componentes. Dados los vectores: A=Axi + Ayi y B=Bxi + Byi; el vector suma o resultante R = A + B se obtiene sumando los componentes X y Y por separado. R

Ax Bx i

Ay By j

La resultante tendrá dos componentes: R

Rxi Ryi

Rx

Ax

Bx

Ry

Ay By Prof.: Ing. Iskandar Arneodo Universidad de Oriente – Venezuela © Copyright 2009

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La Magnitud de la resultante vendrá dada por: R

Rx 2

Ry 2

Su dirección con respecto al eje X: arctan

Ry Rx

Se procede de igual forma en el caso de vectores en tres dimensiones. A Axi Ayj Azk B Bxi Byj Bzk R A B Ax Bx i R Rxi Ryj Rzk

Ay

By j

Az

Bz k

Vector Unitario en la Dirección de Cualquier Vector. La Dirección de cualquier vector A, puede representarse por otro vector con la misma dirección magnitud igual a ka unidad, designado con la letra U A, y puede determinarse dividiendo A entre su magnitud. UA

A A

De esta expresión, podemos observar que para escribir correctamente un vector necesitamos conocer su magnitud y un vector unitario que nos indique su dirección. A

A * UA

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Componentes Rectangulares de un Vector en el Espacio. a) Cuando un vector esta orientado en el espacio, tendrá tres componentes rectangulares: Y

j i X k

Z

A

A xi A y j A zk

La magnitud será: A

Ax

2

Ay

2

Az

2

Para calcular las componentes rectangulares de un vector en el espacio, se multiplica el modulo del vector por el coseno del ángulo que forma el vector con cada uno de los ejes, llamados ángulos directores (cosenos directores). Ax

A * Cos

x

Cos

x

Ax A

Ay

A * Cos

y

Cos

y

Ay A

Az

A * Cos

z

Cos

z

Az A

Los cósenos directores cumplen la relación: Cos 2

X

Cos 2

y

Cos 2

z

1

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Vectores

Una forma sencilla de obtener los cosenos directores del vector A (dirección), es encontrando un vector unitario en la dirección de A, tenemos:

UA

A A

UA

A xi A y j Azk A

Como la magnitud de un vector unitario es 1 por eso es la razón de la relación. b) Si tenemos dos puntos en el espacio sus componentes rectangulares serán:

Y

B (x2, y2, z2)

A (x1, y1, z1) X

Z

AB

x 2 x1 i

y2 y1 j

z2 z1 k

Multiplicación de Vectores. 1.- Multiplicación de un Escalar por un Vector. El producto de un vector A, por un escalar (n), da como resultado otro vector con la misma dirección de A si el escalar es positivo, y con dirección contraria si el escalar es negativo. Su magnitud será tantas veces mayor o menor como lo indique el valor de (n).

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Ejemplo: Dado el vector A=2i+3j-7k determine 3*A; -1/2*A 3*A = 3*(2i+3j-7k) = 6i+9j-21k -½*A = -½*(2i+3j-7k) = -i-1.5j+3.5k 2.- Multiplicación de dos Vectores de tal forma que se Obtenga como resultado un escalar: Producto Escalar: El producto escalar de dos vectores A y B se simboliza A*B (producto punto). Se define como la multiplicación de la magnitud de A por la magnitud de B por el coseno del ángulo que forman A y B, da como resultado una cantidad escalar. A*B

A * B * Cos

B

θ A Propiedades: 1. Es conmutativo. A * B B * A . 2. Es distributivo con respecto a la suma. C * A B

C*A C*B

3. El producto punto de un vector multiplicado por si mismo es el cuadrado de su magnitud, es decir: A*A Si Cos

A * A * Cos 0 1

Entonces : A*A

A2

4. Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es igual a cero, ya que:

90º

Cos

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5. Los productos escalares de los vectores unitarios i, j y k. i*i=j*j=k*k=1. 6. Ya que los vectores i, j, k son perpendiculares entre si, se tiene que: i * j j* i 0 j* k k * j 0 k *i

i*k

0

7. El producto escalar se puede utilizar para encontrar la proyección escalar de un vector sobre otro. La proyección de un vector sobre un eje es igual al producto escalar de dicho vector por un vector unitario en la dirección positiva del eje que contiene al vector. B θ A B*Cosθ

A*B

A * B * Cos A*B A

B * Cos

B*

A A

Entoces : PB

B * Cos

B*

A

PA

B

A * Cos

A A

A*

B B

8. Si se tiene dos vectores A=Axi+Ayj+Azk y B=Bxi+Byj+Bzk su producto escalar esta dado por: A Axi Ayj Azk B Bxi Byj Bzk A*B

Ax * Bx i

Ay * By j

Az * Bz k

Es igual a la suma de los productos de sus respectivas componentes.

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3.- Multiplicación de dos Vectores de tal forma que se Obtenga como resultado un Vector: Producto Vectorial: el producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B, denotado por AXB, cuya longitud o magnitud es igual al producto de sus módulos por el seno del ángulo que ellos dos forman. El sentido del vector AXB se obtiene mediante la regla de la mano derecha. La magnitud del vector AXB, también representa el área del paralelogramo formado por A y B. AXB

A * B * Sen

AXB

B θ A

Propiedades: 1. No cumple con la propiedad conmutativa. AXB AXB

BXB BXA

2. Si dos vectores son paralelos su producto vectorial es igual a cero. 0 Sen

0

AXB

A * B * Sen

0

3. Es distributivo con respecto a la suma: CX A B

CXA

CXB

4. Producto vectorial de vectores unitarios: ixi

jxj

kxk

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Considerando el sentido antihorario positivo: ixj k; jxk

i; kxi

Considerando el sentido horario negativo: jxi

i; ixk

k; kxj

j j

j (+)

(-)

-k i

-i

k

-j

5. El producto vectorial de dos vectores A y B se resolverá de la siguiente forma: A B

A B

i

j

k

Ax

Ay

Az

Bx

By

Bz

Ay * Bz

1º

2º

(-)

Az * By i

Ax * Bz

(+)

Az * Bx j

Ax * By

Ay * Bx k

6. Se puede demostrar que la magnitud del producto vectorial, representa la área del paralelogramo formado por los vectores A y B.

B h θ A

Area h

A *h

B * Sen

Sustituyendo : Area

A * B * Sen

AxB

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