C U R S O: FÍSICA Mención MATERIAL: FM-01 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Sistema internacional de medidas En 1960, un comité internacional estableció un conjunto de patrones para estas magnitudes fundamentales. El sistema que se ingresó es una adaptación del sistema métrico, y recibe el nombre de Sistema Internacional (SI) de unidades. Magnitudes Fundamentales

Nombre

Símbolo

Longitud

metro

m

Masa

Kilogramo

Kg

Tiempo

segundo

s

Intensidad de corriente eléctrica

ampere

A

Temperatura

kelvin

K

Cantidad de sustancia

mol

Intensidad luminosa

candela

mol cd

También existen Magnitudes Derivadas que se obtienen a partir de las fundamentales por medio de ecuaciones matemáticas. Como por ejemplo, el área que es derivada de longitud. Nota: en cualquier fenómeno físico que se analiza, se debe tener en cuenta las unidades de medidas con las cuales se trabaja, ya que deben ser compatibles, de lo contrario se procede a la conversión de unidades.

Ejemplo: 1. 90 m/s se puede expresar como A) B) C) D) E)

25 Km/h 1500 Km/h 900 Km/h 360 Km/h 324 Km/h

Escalares Son magnitudes físicas fáciles de reconocer, ya que para identificarlas sólo necesitamos saber su magnitud y la unidad de medida. Ejemplos: rapidez, temperatura, etc.

masa,

tiempo,

distancia,

área,

perímetro,

densidad,

volumen,

Vectores Un vector se identifica por 4 características fundamentales: punto de aplicación, magnitud (módulo o largo), sentido (indicado por la flecha) y dirección (indicado por la línea recta que pasa sobre el vector).

DIRECCIÓN SENTIDO MAGNITUD

•

punto de aplicación Fig. 1 Una magnitud vectorial se simboliza con una letra que lleva una flecha en su parte superior

r A.

r

Si queremos referirnos a la magnitud del vector A se denota por

r A.

Algunos ejemplos de magnitudes vectoriales son: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, momentum lineal, torque, etc.

Ejemplo:

2. De las siguientes afirmaciones sobre el vector PQ I) II) III)

El punto P es el origen de PQ. El vector PQ se puede abreviar QP. El punto Q es el término de PQ.

De estas afirmaciones es (son) verdadera (s) A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo III Sólo I y II Sólo I y III I, II, y III

2

Representación de un vector Sea

r C un vector tridimensional (tres dimensiones X, Y, Z) r C = (C X , CY , C Z )

Donde:

C X es la componente del vector en la dirección de X. CY es la componente del vector en la dirección de Y. C Z es la componente del vector en la dirección de Z. La otra forma de escribir un vector, es en función de vectores unitarios (de magnitud 1) asociados a cada eje.

r i r - Al eje Y asociamos el vector unitario j r - Al eje Z asociamos el vector unitario k - Al eje X asociamos el vector unitario

r r r i = j = k =1 El vector

r C queda representado de la siguiente forma: r r r r C = C X i + CY j + C Z k

La magnitud de

r C es: r C =

(C X )2 + (CY )2 + (C Z )2

Ejemplo: 3. De acuerdo a la figura 2, la componente del vector en la dirección del eje X es

A) B) C) D) E)

Y

r A ⋅ senα r A ⋅ tgα r A ⋅ cos α r A ⋅ sec α r A ⋅ csc α

r A

α X Fig. 2

3

Álgebra de vectores i. Adición (método del triángulo)

r r r r A y B , primero se dibuja A ry a continuación se dibuja B , r procurando mantener las proporciones, luego el origen de A se une con el final de B (punta Al sumar dos vectores de la flecha).

r B r A

r r A+ B

r A

r B Nota: Encontrar el opuesto de un vector equivale a hallar otro, que posea igual magnitud y

r

dirección, pero con sentido opuesto. Matemáticamente el opuesto de A es

r − A.

r A r −A ii. Sustracción Se procede como en la suma, es decir, para obtener operación

r r A − B , se procede a efectuar la

r r A + − B obteniéndose así una suma de dos vectores. r B r A r A

( )

r r A+ − B

( )

r −B Ejemplo:

r

4. La figura 3 muestra dos vectores perpendiculares ( U

y

r r r V ). Si U = 8 y V = 15 ,

entonces la magnitud del vector resultante de la resta entre ellos es A) B) C) D) E)

7 8 15 17 23

r U

r V

Fig.3

4

iii. Producto punto (escalar) Sean

r r A = ( AX , AY , AZ ) y B = (B X , B Y , B Z )

El producto punto entre ellos se calcula de la siguiente forma:

r r A • B = AX ⋅B X + AY ⋅ BY + AZ ⋅ B Z Nota: el resultado del producto punto es un escalar. Propiedades:

r

r

r

r

- el producto punto es conmutativo A • B = B • A . - el producto punto entre dos vectores perpendiculares es cero. iv. Producto cruz (vectorial) Utilizando los vectores anteriores, el producto cruz se calcula de la siguiente forma:

r i r r A × B = AX BX

r j AY BY

r k r r r AZ = ( AY BZ − AZ BY )i + ( AZ BX − AX BZ ) j + (AX By − Ay BX )k BZ

Nota: el resultado es un vector perpendicular al vector

r r A y B.

Propiedades: - el producto cruz no es conmutativo - el producto cruz entre dos vectores paralelos es cero.

Ejemplo: 5. Sean

r r A = (2, K ) y B = (4,4 ) .

¿Cuál es el valor de la constante K para que los vectores sí? A) B) C) D) E)

-1 1 2 -2 0

5

sean perpendiculares entre

PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. De las siguientes magnitudes, la fundamental es A) B) C) D) E)

Área Volumen Tiempo Rapidez Aceleración

2. De las siguientes unidades de medida, la fundamental para el SI es A) B) C) D) E)

Hora Centímetro Gramo Candela Newton

3. Un volumen de A) B) C) D) E)

10m3 , equivale a:

10 3 cm 3 10 6 cm 3 10 5 cm 3 10 7 cm 3 108 cm3

4. Sea X posición con dimensión L y t tiempo con dimensión T, la dimensión de

k1 , en

la siguiente ecuación es

X = k + k1 t + A) B) C) D) E)

1 2 k 2t 2

T LT-1 L LT-2 LT

5. Se sabe que una fuerza se da en

Kg ⋅ m

s2

, si las dimensiones de longitud, masa y

tiempo son respectivamente L, M, T. ¿Cuál es la dimensión de fuerza?

A) B) C) D) E)

M MLT2 ML MLT-2 MLT

6

6. Dados los vectores aproximadamente

r r r r A y B , de igual módulo (figura 4), entonces el vector A + B es

r B

A) B)

r A

C) D)

Fig. 4

E)

7. La magnitud máxima de la sustracción de dos vectores, cuyas magnitudes son 6 y 8 respectivamente es A) B) C) D) E)

5 8 10 14 48

8. Dados los vectores:

r Ar Br C r D

de magnitud 10 en la dirección positiva del eje x. de magnitud 2 en la dirección negativa del eje x. de magnitud 15 en la dirección positiva del eje y. de magnitud 9 en la dirección negativa del eje y.

La magnitud de la suma de los vectores es A) 5 B) 0 C) 10 D)

5

E)

10

9. En la figura 5, A) B) C) D) E)

r E es el vector resultante de

r r G+D r r r F +C + D r r G−D r r r F −C + D r r r r A+ B+C + D

r C

r B r A

r F

r E Fig. 5

7

r G

r D

10. En la figura 5, A) B) C) D) E)

r A es el vector resultante de

r r r r E + D+C + B r r Fr − D r r r A+ B+C + D r r G−D r r r E + F +G

11. Si dos vectores

r r a y b , tienen igual módulo, entonces siempre se cumple que

r r r r a + b = 2a = 2b r r II) a − b = 0 r r r III) a + b = 2a I)

De las afirmaciones, es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)

Sólo II Sólo III Sólo I y II Todas Ninguna de las anteriores

12. En la figura 6, N es el punto medio del vector TR. Entonces SN es igual a

r r r A) s + 2 r r s +r B) 2 r r r C) s − 2 r r s r D) − 2 2 r r E) s − r

T r r

S

N

R

r s Fig. 6

13. De las siguientes afirmaciones: I) Dos vectores iguales son paralelos. II) Dos vectores paralelos pueden ser diferentes entre sí. III) Dos vectores paralelos de sentido opuesto no son iguales.

Es (son) verdaderas(s) A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III 8

14. En la figura 7, son resultantes de una adición de vectores I) AB II) CD III) EF

B A) B) C) D)

Sólo Sólo Sólo Sólo

A

E

I II I y II II y III

C

F

D

E) I, II y III Fig. 7 15. En el cuadrilátero de la figura 8, se pueden establecer varias relaciones, excepto que A) RQ = SQ – SR

T

Q

B) SQ = SR + RT - QT C) RT = ST – SR D) ST = QT + SQ

R

S

E) SR = SQ + RQ

Fig. 8 16. Con respecto a los vectores representados en la figura 9 es correcto afirmar que A) B) C) D) E)

r r r r A+ B+C = D r r r r A+ D = B+C r r r r A+ B+ D = C r r r r A + B + C = −D r r r r A+ B = C + D

r A r B

r D

r C Fig. 9

17. La relación vectorial correcta existente entre los vectores representados en la figura 10 es A) B) C) D) E)

r r r Z +U = V r r r V +U = Z r r r Z +V = U r r r V + U = −Z r r r r Z +U +V = 0

r Z

r U

r V Fig. 10

9

18. Si

r r A y B son paralelos entre si I) el producto punto entre ellos es cero. II) el producto cruz entre ellos es cero. III) son iguales.

Es (son) siempre verdaderas (s) A) B) C) D) E)

Sólo II Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

En las preguntas 19 y 20 escriba cada vector en términos de figura 11 y 12 respectivamente

A

19. A) B) C) D)

BA = AC = DB = AD =

r a

B

r b

r 2a

D

C

Fig. 11

r b

20. A) B) C) D)

ZX = YW = XY = XZ =

X Y

W

r 2b

r a Z Fig. 12

10

r r a y/o b de acuerdo a la

Solución ejemplo 1 Para convertir de m /s a Km /h se debe multiplicar por 3,6 Para convertir de Km /h a m /s se debe dividir por 3,6

90 ⋅ 3,6 = 324 Km h La alternativa correcta es E

Solución ejemplo 2 La afirmación II es falsa, ya que el vector QP es el opuesto (sentido contrario) de PQ

La alternativa correcta es D

Solución ejemplo 3 En la figura 2 existe un triangulo rectángulo, entonces por trigonometría

r A cos α = rX ⇒ AX = A ⋅ cos α A La alternativa correcta es C

Solución ejemplo 4 ¡Pensando! basta con aplicar el Teorema de Pitágoras

r r U − V = 8 2 + 15 2 = 17

La alternativa correcta es D

11

Solución ejemplo 5

r r A • B = 0 ⇒ 8 + 4 K = 0 ⇒ K = −2 La alternativa correcta es D

DSIFM01

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