Sistema de coordenadas vectoriales. Vectores unitarios
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Módulo de un vector. Teorema de los cosenos directores
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Producto escalar de dos vectores
5
Consecuencias del producto escalar
5
Producto vectorial
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Momento de un vector respecto a un punto
6
Momento de un vector respecto a un eje
7
Producto triple de tres vectores
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Derivada de un vector respecto a un escalar
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Integración vectorial
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MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.
Las magnitudes escalares quedan perfectamente definidas por un número y las unidades correspondientes. Por ejemplo una temperatura (15ºC) Las magnitudes vectoriales precisan además de un valor numérico Módulo
Sentido
(módulo), una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Dirección
La expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud
vectorial es un ente matemático que recibe el nombre de vector y que se puede definir como un segmento orientado en el que hay que distinguir: - Módulo: longitud del segmento AB. - Dirección: recta que lo contiene (e). - Sentido: dado por el orden A B, (punta de flecha). - Punto de aplicación A.
r
r
Se representa por v o v. El módulo poniendo el vector entre barras | v |.
Tipos de vectores: •
Libres producen el mismo efecto cuando (siendo su módulo y sentido iguales) se desplazan paralelamente a si mismos.
•
Deslizantes solo pueden variar su punto de aplicación a lo largo de su dirección.
•
Ligados o fijos.
SUMA DE VECTORES LIBRES
Gráficamente Se aplica la regla del paralelogramo. Se hacen coincidir los puntos de aplicación de ambos vectores y se construyen trazando paralelas por
los
extremos
de
cada
vector,
un
paralelogramo. El segmento, que une en este orden, los puntos de aplicación Puedes descargar este pdf en http://fisicayquimicaenflash.es
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con el vértice opuesto del paralelogramo es el vector resultante de la suma. También se puede obtener la suma haciendo coincidir el punto de aplicación del segundo vector con el extremo del primero y uniendo el punto de aplicación del primero con el extremo del vector paralelo al segundo .
La diferencia entre dos vectores se puede ver fácilmente que se obtiene uniendo el extremo del sustraendo con el extremo del minuendo pues:
r r r r s + ( r -s ) = r
Es importante ver la aplicación que tiene esto a la descomposición de un vector en sus componentes en direcciones adecuadas para resolver un problema. Por ejemplo el peso que actua sobre la lenteja del péndulo se puede descomponer en una componente tangencial y otra componente normal a la trayectoria.
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.
Es otro vector cuya dirección coincide con la del primer vector, módulo viene multiplicado por el escalar
r
r
( |n· v | = n·| v | ) y su sentido es el del vector si n > 0 y el contrario si n < 0.
SISTEMA DE COORDENADAS VECTORIALES. VECTORES UNITARIOS. Z En muchas ocasiones debemos referirnos siempre a unas coordenadas. En una palabra, estamos adoptando un sistema de referencia. El más γ
usual está
formado
por tres
ejes
(X,Y,Z)
que
se
β α
cortan
X
perpendicularmente en el origen de coordenadas. Cualquier punto del espacio se define ahora por un vector de posición que, con punto de Puedes descargar este pdf en http://fisicayquimicaenflash.es
Y
Magnitudes vectoriales 4 de 8
aplicación en el origen, llega hasta el punto considerado.
Sea ahora el vector de la figura. Como se ve se puede descomponer en tres vectores cuya suma sea
r
igual a v :
r r r r v = vx + v y + vz r
Definiremos a continuación el vector unitario u en la dirección de como un vector que teniendo su misma dirección y sentido tiene por módulo la unidad. Recordando lo que se decía del producto de un
r
r
r
escalar por un vector, se cumple: v = v·u o lo que es lo mismo: u =
r
r
1r v ⋅ v
r
Se definen los vectores i , j , k
como los vectores unitarios en la dirección de los ejes X, Y, Z
respectivamente y con sentido dirigido desde el origen hacia la parte positiva de estos ejes. Por tanto el vector v = vx + v y + vz = vx i + v y j + vz k La suma de dos vectores en función de sus componentes será:
a = ax i + a y j + az k b = bx i + by j + bz k a + b = (a x + by )i + (a y + by ) j + (a z + bz )k r r r r Siendo p un escalar: p·v = p·vx + p·v y + p·vz
MODULO DE UN VECTOR. TEOREMA DE LOS COSENOS DIRECTORES
En la figura anterior se ve que el módulo de será:
v=
2
2 2 vx + v y + vz
Por otro lado vx = v⋅cosα , vy = v⋅cosß y vz = vz⋅cosγ
(aplicando dos veces el teorema de Pitágoras). sustituyendo en la ecuación anterior queda:
v=
v
2
( cos α + cos 2
2
β + cos2 γ
)
de donde se deduce: 2 2 2 cos α + cos β + cos γ = 1
"La suma de los cuadrados de los cosenos de los ángulos que forma un vector con cada uno de los ejes Puedes descargar este pdf en http://fisicayquimicaenflash.es
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de coordenadas es igual a la unidad".(Teorema de los cosenos directores).
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
El producto escalar de dos vectores es un escalar. Se define como: a·b = a·b·cosα El producto escalar de dos vectores posee las siguientes propiedades:
rr rr a·b = b ·a r r r rr rr Distributiva: a ·(b + c ) = a ·b + a·c r r rr (n·a )·b = n·(a ·b )
Conmutativa:
α
Por otro lado la propia definición de producto escalar se deduce:
rr rr rr i · j = i ·k = j ·k = 0
rr r r r r i ·i = j · j = k ·k = 1 y que
rr
Y en función de las componentes de dos vectores, su producto escalar será: a ·b = a xbx + a y by + a z bz
Consecuencias Del Producto Escalar. 1. Dos vectores cuyo producto escalar es 0 son perpendiculares2. Se puede calcular el ángulo que forman dos vectores de la forma siguiente:
rr a ·b cos α = ab
3. Para calcular la proyección de un vector sobre una dirección determinada solo hay que calcular el producto escalar del vector por el vector unitario en la dirección mencionada antes.
rr v ·u = v·u·cosα = v·cosα es decir la proyección de v sobre la recta r.
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES.
α
α
h
Es otro vector cuyo módulo viene dado por:
r r a × b = a·b·senα .
Su dirección es perpendicular al plano en el que se encuentran los dos vectores y su sentido viene dado por el de avance de un Puedes descargar este pdf en http://fisicayquimicaenflash.es
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sacacorchos que gira como lo hacemos para llevar el primer vector sobre el segundo por el camino más corto. (Regla de Maxwell, del sacacorchos, del tornillo…). Propiedades:
r r
r r
•
Anticonmutativa a × b = −b × a
•
Distributiva a × (b + c ) = a × b + a × c
•
Por otro lado: i × i = j × j = k × k = 0 y i × j = k /// j × k = i /// k × i = j
r
r
r r
r
r
r
r
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
r
Según la definición de producto vectorial se puede deducir que su módulo coincide con el área del paralelogramo que forman ambos vectores y las paralelas a ellos trazadas por sus extremos.
r r a × b = a·b·senα = b·h = S
El producto vectorial de dos vectores en función de sus componentes será:
r i
r j
r k
r r a xb = a x a y a z bx b y bz
MOMENTO DE UN VECTOR CON RESPECTO A UN PUNTO.
Es un vector que viene definido por el producto vectorial del vector P
que une el punto P con el punto de aplicación del vector por el
r
r r
propio vector. M P = r × v
Su módulo es constante aunque el vector varié su punto de aplicación sobre su dirección pues r⋅senα = d siendo d la distancia desde el punto a la dirección del vector. Teorema de Varignon. El momento de un vector respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de cada una de sus componentes respecto a dicho punto. Demostrarlo teniendo en cuenta la propiedad distributiva del producto vectorial respecto de la suma.
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MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN EJE Es la proyección sobre el eje del momento del vector respecto Meje P
a uno de los puntos de dicho eje. Se trata de una magnitud escalar. Se deduce fácilmente que si el vector y el eje son coplanarios el momento de con respecto a ese eje vale 0.
eje
PRODUCTO TRIPLE DE TRES VECTORES.
Se trata de una magnitud escalar, cuyo valor coincide con el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores concurrentes ¿por qué?.
ax a y az r r r a ·( b x c ) = b x b y b z cx
cy
cz
DERIVADA DE UN VECTOR RESPECTO DE UN ESCALAR
Si tenemos una magnitud vectorial función de un escalar:
r r r r u (t ) = u x (t ) + u y (t ) + u z (t ) se define su derivada respecto a t de la misma forma que se define la derivada de una función escalar. (El resultado aquí es una magnitud vectorial).
r r r r d u y d ur z du u (t + ∆t) - u(t) d = lim = ux + + ∆t →0 dt ∆t dt dt dt Las propiedades son las mismas que si se tratase de la derivada de una función escalar.
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r r r r d(a + b ) da db = + dt dt dt r r d(n·v ) dn r dv = ·v + n dt dt dt rr r r r dv d(u ·v ) du r = ·v + u · dt dt dt r r r r r dv d(u xv ) du r = xv + u x dt dt dt
INTEGRACION VECTORIAL.
r
r
r
Si F(t) es la derivada de v(t) entonces: ∫ v (t) dt = F(t) + Cte b
Igualmente:
[ ]
r r r b r v (t) dt = = F (b) F (a) F (t) ∫ a a
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