Capítulo 1 INTRODUCCION

Dr. Fernando Flores - Dr. Alejandro Brewer

1.1.

OBJETIVO DEL CURSO

Desarrollar métodos para el análisis (determinación de esfuerzos internos y desplazamientos) de estructuras compuestas de barras articuladas (entramados) y/o vigas que transmiten fuerzas y momentos (pórticos planos, emparrillados planos o pórticos espaciales en general), sometidos a acciones externas. El estudio de la respuesta estructural dependerá de que las acciones sean estáticas (permanentes) o dinámicas (impermanentes). Los métodos de análisis son fuertemente dependientes de los modelos que se utilicen para representar la estructura, lo que a su vez depende de dos aspectos:

La precisión que se desee obtener

La complejidad geométrica, del material y de la propia respuesta de la estructura.

La precisión es función de la etapa de diseño, si corresponde a un diseño inicial (o prediseño) normalmente un método aproximado es suciente. Por otro lado la vericación de la geometría nal se realiza con mayor detalle. Resulta además necesario destacar que la precisión en el análisis no puede ser superior a la evaluación de las solicitaciones o acciones externas (normalmente jadas por códigos en obras civiles) o el conocimiento del comportamiento mecánico de los materiales componentes y los métodos y/o técnicas constructivas.

1.2.

MODELOS ESTRUCTURALES

Cuando se realiza la descripción del comportamiento de un sistema se recurre a la formulación de un modelo. Esta formulación se realiza describiendo al sistema mediante ecuaciones que reejan las propiedades del sistema e incluyen la geometría, los materiales y la interacción con otros sistemas. Aparecen entonces distintos grupos de ecuaciones que pueden relacionarse entre sí para lograr la formulación nal:

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

2

1.2.1. Ecuaciones de equilibrio Las

ecuaciones de equilibrio establecen relaciones entre las fuerzas que actúan en el

sistema y es posible clasicarlas en ecuaciones de equilibrio estático y equilibrio dinámico Por ejemplo en el primer grupo se han visto las ecuaciones de la estática de cuerpo rígido que establecen las condiciones que deben satisfacer las fuerzas que actúan sobre un cuerpo para que este permanezca en reposo.

X

F=0

(1.1)

Las ecuaciones (1.1) permiten plantear 6 ecuaciones en el espacio; tres referidas al equi-

P

librio de fuerzas según los tres ejes de referencia (

P

tres de momentos (

Mx = 0,

P

My = 0,

P

Mz = 0).

Fx = 0,

P

Fy = 0,

P

Fz = 0)

y

Estas ecuaciones y la hipótesis de

indeformabilidad de los cuerpos (es decir que durante el análisis las distancias relativas de los puntos que componen al sistema no se modican) permiten resolver muchos problemas simples. Como ejemplo del segundo grupo tenemos

la ecuación (1.2) representa la condición de

equilibrio dinámico de una masa en la que actúan fuerzas de inercia, disipativas, elásticas y externas.

m x¨ + c x˙ + k x = P (t)

(1.2)

En la mayoría de las situaciones reales la hipótesis de indeformabilidad (también conocida como de cuerpo rígido) debe ser abandonada. Aparece entonces la necesidad de establecer

a) Cuáles serán las deformaciones resultantes cuando los puntos del cuerpo se desplacen (ecuaciones cinemáticas) y b) Cuáles serán las tensiones asociadas a esas deformaciones (ecuaciones constitutivas).

1.2.2. Ecuaciones cinemáticas Las

ecuaciones cinemáticas relacionan desplazamientos con deformaciones. Antes de que

actúen las cargas el sistema queda denido por su geometría respecto de un sistema de referencia. En este caso se dice que el sistema está indeformado y sin tensiones. Cuando actúan las cargas, el cuerpo se deforma de tal forma que las fuerzas internas equilibran la acción de las fuerzas externas.

El cuerpo alcanza entonces el equilibrio en su posición deformada. Se

llama desplazamiento de un punto a la diferencia entre los vectores que identican al punto en su posición nal e inicial. Conocidos los desplazamientos de la estructura se pueden determinar las deformaciones. Como ejemplo de una ecuación cinemática (1.4) se considera el caso de una barra de reticulado.

∆u • ∆u e = ∆u | {z• }t + | 2L {z }

(1.3)

lineal

no lineal

ε = ε (∆u) =

e L

(1.4)

La ec.(1.3), que será deducida posteriormente, expresa el alargamiento que sufre la barra de longitud original

L cuando se desplazan sus extremos. Se observa que el primer término es lineal

en los desplazamientos y su contribución al alargamiento se obtiene como proyección del vector

∆u

(diferencia de los desplazamientos de los extremos) según la dirección de la barra en la

posición indeformada (vector

t).

El segundo término se hace despreciable cuanto más pequeño

1.2. MODELOS ESTRUCTURALES es el vector

∆u/L.

3

Por otro lado, si la dirección de la barra en la posición deformada coincide

con la dirección en la posición indeformada (la barra no gira), el alargamiento exacto se obtiene con el primer término. En este curso, se considera solamente la parte lineal de la ec.(1.4) que conlleva la

hipótesis de pequeños desplazamientos y pequeños giros. A su vez, esta

hipótesis nos permite

plantear las ecuaciones de equilibrio en la posición indeformada

ya que la posición deformada podrá  confundirse con la indeformada. De todos modos, si bien se supone esto como hipótesis de trabajo, debe quedar claro que el equilibrio de la estructura se produce en la conguración deformada.

1.2.3. Ecuaciones constitutivas Las

ecuaciones constitutivas relacionan tensiones con deformaciones. En este curso se

adopta como ecuaciones constitutivas las más simples en las que la fuerzas actuantes (normal, exión, corte, torsión) varían proporcionalmente con la deformación correspondiente. Los coecientes de proporcionalidad son los módulos de elasticidad longitudinal

E

(módulo de Young)

para las tensiones axiales asociadas al esfuerzo normal y la exión y el módulo de elasticidad transversal

G para las tensiones de corte asociadas al esfuerzo de corte y la torsión, juntamente

con coecientes que caracterizan geometricamente a la sección. Las expresiones que resultan son las siguientes: Esfuerzo

Fuerza

Normal

N

Flexión

Mf

Corte

Q

Torsión

Mt

Defor. Especíca

Ley de Hooke

du N ε= = dx AE dβ Mf κ= = dx IE dv Q γ= −β = dx Ac G Mt dα = θ= dx Jp G

N = AE ε Mf = IE κ Q = Ac G γ Mt = Jp G θ

Cuadro 1.1: Ecuaciones cinemáticas y constitutivas Las ecuaciones en la última columna de la Tabla 1.1 son lineales. Ejemplos de ecuaciones constitutivas no lineales son las correspondientes al endurecimiento (el módulo la deformación), ablandamiento (el módulo

E

E

aumenta con

disminuye con la deformación) o comportamiento

plástico.

1.2.4. Ecuaciones de Compatibilidad Las

Ecuaciones de compatibilidad relacionan deformaciones con desplazamientos. El

planteo sistemático de estas ecuaciones son el motivo del Método de las Fuerzas. Estas ecuaciones son necesarias para garantizar la  continuidad de la estructura cuando esta se divide en partes para su análisis.

1.2.5. Principio de Superposición. De lo indicado hasta aquí en este curso se trabajará con

sistemas lineales. Recordemos que

una ecuación es lineal cuando la o las incógnitas o sus derivadas tienen exponente 1, es decir, no aparecen productos de la o las incógnitas entre sí, o de las incógnitas con sus derivadas, etc. De lo visto anteriormente, el origen de la no linealidad puede provenir de utilizar ecuaciones constitutivas no lineales y/o de problemas con grandes desplazamientos que requieran el uso de ecuaciones cinemáticas no lineales.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

4

Cuando los sistemas son lineales, es válido utilizar el

Principio de Superposición (independencia

de causas y superposición de efectos).

Ejemplos: E1: Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones de equilibrio dinámico:

[M ] u ¨ (t) + [C] u˙ (t) + [K] u (t) = P (t) La ec.(1.5) se estudia en la dinámica estructural. Baste decir que

(1.5)

[M ] , [C]

y

[K]

son

matrices cuadradas de coecientes constantes que representan la masa, amortiguamiento y rigidez de un sistema,

u

es un vector que contiene los desplazamientos,

que contiene las velocidades y

u ¨

Entonces si el vector de cargas

las aceleraciones;

Pı

P (t)

u˙ es

el vector

un vector de fuerzas externas.

tiene como solución al vector

uı ,

se satisfacen las

siguientes expresiones.

P1 → u1 P2 → u2 ......... P =αP1 +βP2 +γP3 +...

entonces

αP1 → αu1 βP2 → βu2

..........

.........

→

u =αu1 +βu2 +γu3 +...

entonces

Cuadro 1.2: Superposición lineal

La conclusión en la última la de la Tabla 1.2 es consecuencia del principio de superposición.

E2: Se utiliza en el Método de las Fuerzas, cuando un sistema hiperestático se descompone en la suma de sistemas isostáticos.

E3: En el Método de Rigidez cuando las cargas en el interior de los tramos se transeren a los nudos.

E4: Finalmente en Dinámica justica el estudio de sistemas bajo cargas armónicas (ya que cualquier carga periódica puede descomponerse en sus componentes armónicas). La

in-

tegral de Duhamel para el cálculo de sistemas bajo cargas impulsivas se basa en este principio. Aparece también en el mas de

método de descomposición modal y en los proble-

desplazamientos de apoyo absoluto y relativo y en el método de respuesta

en frecuencia.

1.3.

Desplazamientos y Apoyos.

Consideremos un cuerpo rígido en el espacio referido a un sistema ortogonal. Este cuerpo puede desplazarse según los ejes

xy

y

z

y puede girar según estos tres ejes,

Fig. 1.1. Se dice

que el cuerpo posee (como rígido) 6 grados de libertad. Se llaman grados de libertad a las variables que se deben jar para denir la posición de un cuerpo. Asociado a los grados de libertad, aparece el concepto de coordenada, que se utiliza para identicar al grado de libertad y cuanticarlo. Por ejemplo la posición de todo punto del cubo rígido queda unívocamente denida conocidas la posición del centro del cubo (las 3 coordenadas) y la dirección de la terna asociada (denida por 3 parámetros). Los grados de libertad dependen de hipótesis que a priori realiza el analista. Volviendo a la

Fig. 1.1, inicialmente el cuerpo se encuentra en (a) con sus caras paralelas

al sistema de referencia (x, y, z ) y a una distancia

rG

(vector) del origen de coordenadas. El

1.3. DESPLAZAMIENTOS Y APOYOS.

5

cuerpo se traslada y rota a una nueva posición

(b). El centro de gravedad pasa a la posicion

G'. La traslación del cuerpo se mide con el vector desplazamiento

ux , uy , uz

(respecto del sistema

x, y, z )

que une las posiciones

uG

que tiene componentes

G y G'. Para medir la rotación

se ja al cuerpo un nuevo sistema de referencia (x”, y”, z”) y se miden las rotaciones de este respecto a otro sistema (x', y ', z ') con origen en el centro de gravedad y paralelo al primer sistema de referencia (x, y, z ). En rotación

φ

φx , φy , φz φx = φx ; φy = φy ; φz = φz .

son paralelos, las componentes decir que

(c) se muestran las componentes (φx' , φy' , φz' ) del vector

(usar regla de la mano derecha). Como los sistemas de referencia

'

'

'

'

x, y, z

miden la rotación del cuerpo respecto de

'

x' , y ' , z ' x, y, z ; es

y

'

Se llama desplazamiento generalizado al vector (cuyas componentes son desplazamientos de traslación y giros) que permite encontrar la posición nal de un cuerpo que ha partido desde una posición de referencia.

Z’

Z (a)

(b) G’

Z"

(c) Y"

rG

X’

φy

Y’ φx

rG’

G

φz

X" Y

X

Figura 1.1: Desplazamientos de un cuerpo rígido

(a)

P φ

(

q

u φ=0

Figura 1.2: Desplazamientos

Estos conceptos pueden trasladarse para describir los desplazamientos que sufre cada punto de una estructura. En este curso se toma como posición de referencia la de la estructura indeformada. En la Fig 1.2.a se muestran los desplazamientos (descenso y giro) que sufre un punto de una viga cargada puntualmente. En la Fig 1.2.b se muestra el desplazamiento de un empotramiento deslizante. Se observa que en la posición deformada la tangente en el empotramiento no ha sufrido giro como corresponde a este tipo de apoyos.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

6

OBSERVACIONES: 1. Los desplazamientos traslacionales pueden sumarse vectorialmente siendo la suma vectorial

conmutativa en cualquier orden. En el caso de las rotaciones se observa que

la posición nal cambia al cambiar el orden en que se efectúan los giros. Las rotaciones de sistemas de referencia siguen el algebra matricial (no el caso de

conmutativa). Solamente en

pequeñas rotaciones los vectores que representan giros pueden componerse

vectorialmente.

Debido a la hipótesis de pequeños desplazamientos y giros que se

adoptan en este curso, tanto los desplazamientos como giros pueden sumarse vectorialmente. 2. El término desplazamiento no sólo se utiliza para hacer referencia al vector desplazamiento sino que también se utiliza para designar a cada componente (o grado de libertad) que denen al vector desplazamiento de un punto.

1.3.1. Apoyos Cuando se modela una estructura se deben hacer deniciones

a priori, es decir antes del

análisis de la misma. Estas deniciones incluyen la geometría, el tipo de material y las cargas actuantes. La denición de la geometría incluye el especicar en cuales puntos y en qué grados de libertad (cada punto posee 6 grados de libertad) se conoce el valor del desplazamiento.

DEFINICION:

se llama APOYO a todo punto en el cual SE CONOCE el valor que toma

uno o más de sus grados de libertad. Atendiendo a la observación 2 anterior también se puede decir que se llama apoyo a todo punto de desplazamiento conocido. Este valor puede ser nulo o distinto de cero. Cuando el valor es distinto de cero se dice que el apoyo tiene un DESPLAZAMIENTO PREFIJADO.

Al especicar las condiciones

a priori, deben tenerse en cuenta las siguientes consideraciones:

En todo punto de una estructura, se conoce el desplazamiento o se conoce la carga. Si se conoce el desplazamiento (apoyo) no se conoce la carga (reacción de apoyo). Si en un punto no se conoce el desplazamiento, entonces se conoce la carga (esta puede ser nula o no). Una estructura está

isostáticamente apoyada cuando se han impedido todos sus des-

plazamientos de cuerpo rígido y no más que estos. Si la estructura es espacial, deberán restringirse 6 grados de libertad. Si es un

pórtico plano o un emparrillado plano

deberán restringirse 3 grados de libertad. Más adelante se tratan este tipo de estructuras con mayor detalle. En la

Tabla 1.3 se muestran algunos apoyos.

En la Tabla 1.3 no se han incluido los denominados apoyos elásticos (resortes). Estos pueden restringir la traslación o la rotación de un punto de la estructura. Se entiende por apoyo elástico un punto donde el desplazamiento depende de la magnitud de la fuerza o reacción. Los que restringen la traslación, tienen asociada una fuerza

(F = k u) cuya dirección coincide

con el eje del resorte y es proporcional, a través de su rigidez, al desplazamiento del extremo libre del resorte. Por lo tanto, desde el punto de vista de la estructura los resortes se comportan como los apoyos de 1ra especie, es decir representan una fuerza incógnita según la dirección del resorte. En realidad, lo que se representa, es la fuerza interna que aparece o reemplaza la accion del resorte sobre la estructura. Si el resorte restringe la rotación, lo hará respecto de un eje, y en consecuencia el giro según ese eje debe considerarse como incógnita. Desde el punto de vista de la estructura debe aplicarse un momento incógnita según la dirección (dada por el vector que representa al giro que se rigidiza) en que actúa el resorte. En este caso el momento es proporcional al giro

(M = kθ θ) .

1.3. DESPLAZAMIENTOS Y APOYOS.

7

Apoyos

Grados de Lib.→

ux

uy

uz

φx

φy

φz

1

Empotramiento

dato

dato

dato

dato

dato

dato

2

De 1ra espec en

dato

?

?

?

?

?

3

De 1ra espec en

?

dato

?

?

?

?

4

De 1ra espec

?

?

dato

?

?

?

dato

dato

dato

?

?

?

x y en z

5

De 2da especie

6

Empot. Desliz en

dato

?

?

?

dato

dato

7

Empot. Desliz en

?

dato

?

dato

?

dato

8

Empot. Desliz

?

?

dato

dato

dato

?

x y en z

Cuadro 1.3: Tipos de apoyos

1.3.2. Apoyos en reticulados Por denición, una barra de reticulado posee sus extremos articulados y las cargas están aplicadas en los nudos de la estructura. En consecuencia, los únicos son

esfuerzos que aparecen

normales (axiales) y las fuerzas de extremo en cada barra tienen una resultante cuya

dirección coincide con la dirección de la barra. Respecto de los apoyos, no tiene sentido hablar de empotramientos (en el sentido de que hay restricción a girar) ya que los nudos están articulados. Lo mismo puede decirse de apoyos elásticos que impliquen restricción a la torsión. Si el

reticulado es espacial la estructura es isostática si satisface las siguientes condi-

ciones: 1. Es estable, es decir que no se deforma como mecanismo. 2. Posee los apoyos necesarios para que no rote o se desplace como rígido.

P

3. Los esfuerzos en las barras se obtienen utilizando las ecuaciones de equilibrio (

0,

P

Fy = 0,

P

Fx =

Fz = 0) que se plantean en los nudos de la estructura. Esto signica

que para poder resolver el sistema de ecuaciones de equilibrio, en cada nudo que se vaya resolviendo deben concurrir como máximo tres barras con fuerzas incógnitas. 4. La reacciones de apoyo se evalúan sumando los esfuerzos de las barras que concurren a ellos, o cuando la estructura está isostáticamente apoyada usando condiciones globales de equilibrio. Si el

reticulado es plano, son válidas las consideraciones 1 y 2. Las ecuaciones para

P xy, son 3, P P P Fx = 0, Mz = 0, y las ecuaciones de equilibrio por nudo se reduce a dos Fx = 0 , P Fy = 0 , Fy = 0, (en cada nudo sólo pueden concurrir 2 barras con fuerzas incógnitas para calcular las reacciones de apoyo, supuesta la estructura en el plano

poder resolver el problema con las ecuaciones de la estática). En el plano, la menor estructura de barras de reticulado que puede presentar comportamiento de cuerpo rígido es un triángulo. En la Fig. 1.3.a se muestra un reticulado isostático. En la Fig 1.3.b, se observa un mecanismo (hipostático) y en la Fig.1.3.c una estructura de dos barras isostática. Notar que las ecuaciones de equilibrio global de las fuerzas externas y las ecuaciones de equilibrio nodal no son independientes entre si. Cada ecuación de equilibrio global en una dirección coordenada (por ej. en la dirección

x)

resulta de la suma de las ecuaciones

nodales de equilibrio en la misma dirección. Por otro lado la ecuación global de momentos puede también verse como una combinación lineal de las ecuaciones de equilibrio nodales.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

8

P

P

(a)

P

(c)

(b)

Figura 1.3: Reticulados planos

1.3.3. Apoyos en Pórticos Planos Se dene como pórtico plano a una estructura plana cargada en el plano que contiene a la estructura. Las barras presentan nudos rí}gidos (transeren esfuerzos de corte, normales y de exión). Como consecuencia de que la estructura es plana y las cargas actuan en el plano, cada punto de la estructura presenta el plano

Mz .

3 grados de libertad:

ux , u y

y

φz

(supuesta la estructura en

xy ). En concordancia con esto, en cada punto tendremos las fuerzas Fx , Fy

y momento

En la Fig. 1.4 se muestra un pórtico plano con carga distribuida y un momento ector. Se

observa la estructura en un sistema tridimensional, y una vista en planta.

Y

Y

Z

q

M

q M

X

X

Figura 1.4: Pórticos planos

Los apoyos más frecuentes en los pórticos planos son los indicados en la Tabla 1.4.

Apoyos

Grados de Lib.→

ux

uy

φz

1

Empotramiento

dato

dato

dato

2

De 1da esp en

dato

?

?

3

De 1da esp en

x y

4

De 2da especie

5

Empot. Desliz en

6

Empot. Desliz

x en y

?

dato

?

dato

dato

?

dato

?

dato

?

dato

dato

Cuadro 1.4: Tipos de apoyos en pórticos planos

Los resortes que restringen la traslación se encuentran en el plano de la estructura. Los apoyos elásticos que restringen el giro, sólo tendrán componente segun el

eje z.

1.3. DESPLAZAMIENTOS Y APOYOS.

9

En el caso de pórticos planos, las ecuaciones de equilibrio que se pueden plantear son

0,

P

Fy = 0,

P

P

Fx =

Mz = 0.

La Fig.1.5 muestra los apoyos más utilizados en pórticos planos y las reacciones asociadas.

R3

R1

R1

R2

R2 R1 R1

R2

R2 K

R1

R1

Figura 1.5: Apoyos en pórticos planos

En la Fig.1.6 se muestra una barra en el plano y las sucesivas restricciones en los grados de libertad de cuerpo rígido que permiten pasar de sistemas hipostaticos (Fig1.6.a, b, y c) a uno isostático (Fig.1.6.d).

Y

Z

φz

ux (a)

φz

φz (b)

(c)

(d)

X Figura 1.6: Apoyos en pórticos planos

1.3.4. Apoyos en Emparrillados Planos Se dene como emparrillado plano a una estructura plana cargada perpendicularmente al plano que contiene a la estructura. Las barras presentan nudos rígidos (transeren corte, exión y torsión). Como consecuencia de que la estructura es plana y las cargas actúan perpendicularmente al plano, cada punto de la estructura presenta

φy

(asumiendo que la estructura se encuentra en el plano

cada punto tendremos las fuerzas

Fz , Mx

y momento

3 grados de libertad:

xy ).

uz , φx

y

En concordancia con esto, en

My .

En la Fig. 1.7 se muestra un emparrillado plano con carga distribuida y un momento ector. Los apoyos más frecuentes son los siguientes:

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

10

Y

Z P

X

Figura 1.7: Emparrillado plano

Apoyos

Grados de Lib.

→

uz

φx

φy

Empotramiento

dato

dato

dato

2

De 1ra espec

dato

?

?

3

De 2da especie

dato

?

?

dato

dato

?

dato

?

dato

?

dato

dato

1

4

Chapa en

x y

5

Chapa en

6

Empot. Desliz en

x

Cuadro 1.5: Tipos de apoyos en emparrillados planos

Los resortes que restringen la traslación están ubicados perpendicularmente al plano de la estructura. Los apoyos elásticos que restringen el giro, tendrán componentes según los

ejes x

e

y. En el caso de emparrillados planos, las ecuaciones de equilibrio que se pueden plantear se reducen a

P

Fz = 0,

P

Mx = 0,

P

My = 0.

La Fig.1.8 muestra alguno de los apoyos utilizados en emparrillados planos y las reacciones asociadas. En la Fig.1.8.a se observa que no existe diferencia entre apoyos de primera o sengunda especie o resortes traslacionales, que representan una sola reacción de apoyo. En la Fig.1.8.b se muestra un empotramiento y sus correspondientes reacciones de apoyo. Existe una variante de este apoyo que no restringe el giro segun el eje y (puede pensarse sicamente como una bisagra), y en tal caso el apoyo presenta dos reacciones de apoyo (Rz y

¯ y ). M

1.3.5. Observaciones Se observa que el pórtico plano posee en cada punto 3 grados de libertad (

φz ).

El emparrillado plano también (uz ,

estructuras suman los

φx

y

φy ).

ux , uy

y

Además se observa que entre los dos

6 grados de libertad que presenta una estructura plana cuyas cargas

presentan cualquier orientación en el espacio.

Debido a la hipótesis de linealidad el comportamiento frente a acciones en el plano de la estructura resulta desacoplado de la respuesta frente a acciones normales al plano de la misma.

Lo anterior sugiere que en una estructura plana (E.P.), con carga arbitraria, es posible descomponer las cargas

Pı (i=1,2,3...n) y momentos Mj

(j = 1,2,...m) en sus componentes

y resolver un pórtico plano y un emparrillado plano. El problema original tendrá los esfuer-

1.4. HIPERESTATICIDAD EXTERNA E INTERNA.

11

(a) K Z

R1

Z

Y

Y

R2 (b) R1

X

X

Figura 1.8: Apoyos en emparrillados planos

zos y desplazamientos que resultan de la suma de las dos estructuras (superposición).



E. P. (Pı , Mj )= E. P. Pıx , Pıy , Mjz +E. P. Pız , Mjx , Mjy | {z } | {z } | {z } c arg a arbitraria

p´ ortico plano

(1.6)

emparrillado plano

Respecto de los apoyos, las Tablas 1.3,1.4 y 1.5 indican los grados de libertad dato. Por consiguiente

dichas tablas contienen en forma implícita las fuerzas y momentos

incógnitas (reacciones de apoyo) que están asociados según la estructura y el tipo de apoyo. La expresión 1.6 explica porqué un empotramiento en la

Tabla 1.3 representa 6 incóg-

nitas (3 fuerzas y tres momentos) y sólo 3 en las Tablas 1.4 y 1.5. Lo mismo pasa con un apoyo de segunda especie:

representa tres fuerzas incógnitas en el pórtico

espacial, 2 en el pórtico plano y 1 en el emparrillado plano. Es decir para que el apoyo represente una fuerza incógnita deben suceder simultaneamente:

a) Que el apoyo sea capaz de restringir el desplazamiento en un grado de libertad. b) Que dicho grado de libertad sea solicitado por las cargas actuantes. Es habitual asociar al tipo de apoyo con algún mecanismo físico que reproduce la restricción que se asocia a dicho apoyo.

Esto no es estrictamente necesario para el

análisis. El apoyo queda perfectamente denido cuando se especica el grado de libertad que afecta y el valor que toma (nulo

o prejado), más allá de que podamos o no

imaginar un mecanismo que lo represente.

1.4.

Hiperestaticidad Externa e Interna.

1.4.1. Hiperestaticidad Externa En la tabla siguiente se presentan distintos tipos de estructuras y las ecuaciones de equilibrio que se pueden plantear para encontrar las reacciones de apoyo.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

12

 P P P F F x = 0 y = 0 P P P Fz = 0 Reticulado espacial Mx = 0 My = 0 Mz = 0  P P Fx = 0 Fy = 0 P Pórtico Plano Reticulado Plano Mz = 0 P Fz = 0 P P Emparrillado Plano Mx = 0 My = 0 Pórtico Espacial

(1.7)

(1.8)

(1.9)

Entonces para determinar si la estructura es hiperestática se procede como sigue: Se determina la cantidad de reacciones incógnitas según las

Tablas 1.3, 1.4 y 1.5

Suponiendo que la estructura es indeformable:

1. Si los apoyos restringen los desplazamientos de cuerpo rígido, entonces: a) si el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones la estructura es isostática; b) si el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones (en función del tipo de estructura: Ecuaciones 1.7, 1.8 y 1.9) la estructura es hiperestática. El grado de hiperestaticidad externa queda determinado por la diferencia entre las fuerzas incógnitas planteadas y el número de ecuaciones que pueden plantearse.

2. Si los apoyos no restringen los desplazamientos de cuerpo rígido, entonces la estructura es

hipostática.

1.4.2. Hiperestaticidad Interna Este tipo de hiperestaticidad se presenta en las estructuras cerradas. En estos casos no es posible resolver los esfuerzos internos (diagramas). El grado de hiperestaticidad queda determinado por el número de esfuerzos internos incógnitas que presenta la estructura.

El grado de hiperestaticidad total es la suma de la externa e interna. En la Fig.1.9.a, se muestra un pórtico plano que presenta hiperestaticidad externa de 2do orden e interna de 3ro. Grado de hiperestaticidad total 5. En la Fig.1.9.b se observa un pórtico plano de 2do grado de hiperestaticidad, y en la Fig.1.9.c un emparrillado plano externamente isostático e internamente hiperestático de 3er grado.

1.5.

LIMITACIONES DEL CURSO

Resumiendo las hipótesis introducidas, básicamente los métodos de análisis a desarrollar se ajustarán a lo siguiente: Pequeños desplazamientos y rotaciones. Pequeñas deformaciones o deformaciones elásticas Validez de la ley de Hooke. En consecuencia supondremos que: La estructura en su conguración deformada no diere de la conguración sin tensiones y es posible plantear el equilibrio en la conguración inicial. Esto a su vez nos limita a que no trataremos problemas de inestabilidad (pandeo). Validez de la superposición de causas y efectos (solicitaciones y respuesta estructural)

1.6. BARRAS ARTICULADAS

13

Y

R1 (a)

q

R5

R2

X

R8 R6

R3 R4 Y

R7

R1 (b) P Z

R5 P

R2

X

R4

R3 P

P Y

R2

R3 R6

R5

R4 X

R1 Figura 1.9: Estructuras hiperestáticas

1.6.

BARRAS ARTICULADAS

A continuación recordaremos cuales son las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de estructuras de barras articuladas, empezaremos viendo el problema plano, la extensión al problema espacial es inmediata. En los sistemas de barras articuladas se supone que las cargas están aplicadas en los nudos y no en el interior de la barra. Esto es así pues si aplican cargas transversales al eje de la barra se introduce exión en la barra y debe tratarsela como una viga. Con un objetivo de completitud y a los nes de una mejor comprensión del tema introduciremos primero las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento de un elemento de sólido unidimensional (en el sentido de que todas la variables relevantes están referidas a una sola dirección).

1.6.1. Ecuación diferencial Consideremos una barra de sección

A variable (suave) sometida a una carga distribuida p (x)

en la dirección del eje de la barra. Deniendo como elemento diferencial de barra al limitado por dos secciones separadas un diferencial

dx

.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

14

Donde se ha denominado con

N

al esfuerzo que resulta de integrar las tensiones en el área

de la sección

Z N (x) =

σ dA = σ A A

y se ha supuesto que la variación de la sección es sucientemente suave de tal forma que es aceptable suponer que la tensión

σ

es uniforme en cada sección.

El equilibrio de este elemento resulta de sumar esfuerzos internos y fuerzas externas

dN (x) + p (x) = 0 dx

(1.10)

Por otro lado en cada sección el esfuerzo puede relacionarse con la deformación usando la ley de Hooke

N (x) = EA (x) ε (x)

(1.11)

En tanto que la denición de la deformación especíca

ε (x) resulta de comparar la
longitud dx ds∗ = dx + du dx

del elemento diferencial antes

(ds = dx)

y despues que se desplace

du (x) ds∗ − ds = ds dx

ε (x) =

(1.12)

Reemplazando 1.11 y 1.12 en 1.10 resulta


d EA (x) du dx + p (x) = 0 dx

(1.13)

Si el área de la sección es constante la ecuación anterior se simplica

EA

d2 u + p (x) = 0 dx2

(1.14)

Que es una ecuación diferencial ordinaria (es función de una única coordenada

x), de segundo

grado (el máximo orden de derivación que aparece es 2) y lineal (no hay productos entre las variables o entre las variables y sus derivadas) Para resolver esta ecuación debe conocerse además de

p (x)

, cuales son las condiciones de

contorno o borde. La cantidad de condiciones de contorno que pueden y deben jarse es 2 (en general una en cada extremo de la barra). Estas pueden ser de desplazamiento (imponer de fuerza (imponer

N

o equivalentemente

σ

o

ε)

N+

N p(

dN dx dx X

dx

Figura 1.10: Equilibrio de un elemento diferencial de barra

u)

o

1.6. BARRAS ARTICULADAS

15

X

x+dx

u+

u

x+u

x+dx+u+du dx dx

Figura 1.11: Deformación de un elemento diferencial de barra

+

γΑ

X u

ε σ − N

Figura 1.12: Columna bajo la acción de peso propio

Ejemplo con carga en el tramo Veamos un ejemplo de la solución de la ecuación 1.14. Dada una columna cilíndrica impedida de desplazarse en ambos extremos y bajo la acción del peso propio, interesa determinar la distribución de tensiones en la altura. El eje

x

p (x) = −γA donde γ es es peso A es constante luego la integración de la ecuación

ha sido orientado de abajo a arriba, la carga

especíco del material constitutivo. Notar que diferencial resulta sencillamente

γ d2 u = 2 dx E du (x) γ = x + C = ε (x) dx E γ 2 u (x) = x + Cx + D 2E La determinación de las constantes de integración (C y

D

(1.15)

) se logra imponiendo las con-

diciones de contorno, en nuestro caso si los extremos de la columna no pueden desplazarse resulta

u (x = 0) = D = 0 γ 2 L + CL + D = 0 u (x = L) = 2E

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

16

con lo cual resulta

γ D = 0 C=− L 2E γ x (x − L) u (x) = 2E   du γ L ε (x) = = x− dx E 2   L N (x) = EAε (x) = γA x − 2 Notar entonces que el desplazamiento y es máximo a la mitad de la columna. o

N)

u (x) varía en forma cuadrática, vale 0 en los extremos La deformación (y por lo tanto el esfuerzo interno σ

varía linealmente, es nulo a la mitad de la columna, máximo positivo (tracción) en el

extremo superior y mínimo negativo (compresión) en la base. El peso de la columna es entonces soportado por mitades en cada extremo. Consideremos el caso de que la columna sólo este apoyada en la base. La ecuación diferencial no cambia, sí sus condiciones de contorno. En tal caso las condición de contorno del borde superior es la que se modica, ahora corresponde a un borde libre, y debe jarse forma equivalente

N =0

o en

ε = 0.

La solución general de la ecuación diferencial no se modica (ec. 1.15), lo que hay que recalcular es el valor de las constantes de integración en función de las nuevas condiciones de borde. Ahora tenemos

u (x = 0) = D = 0 γ du (x = L) = L+C =0 dx E con lo cual resulta

γ D = 0 C=− L  E γ x x −L u (x) = E 2  du γ x ε (x) = = −L dx E 2   x N (x) = EAε (x) = γA −L 2 Notar entonces que el desplazamiento u (x) vale 0 en la base, y crece en forma cuadrática hasta el extremo superior. El esfuerzo interno N varía linealmente desde un valor máximo negativo (compresión) en la base (de valor equivalente al peso de la columna), hasta un valor nulo en el extremo superior.

1.6.2. Ecuaciones de equilibrio Las condiciones de equilibrio que pueden plantearse para un sistema de barras articuladas son las de equilibrio de fuerzas en cada nudo. Relacionan los esfuerzos internos en las barras con las fuerzas externas, para el caso de estructuras planas, para cada nudo tendremos entonces dos ecuaciones de equilibrio asociadas a las correspondientes direcciones en el plano:

NB X I=1 NB X I=1

N I cos αI + Fx = 0

(1.16)

N I sin αI + Fy = 0

(1.17)

1.6. BARRAS ARTICULADAS donde

NI

es el esfuerzo normal en cada barra que concurre al nudo,

barra con el eje nudo) y

17

x

αI

es el ángulo que forma la

(orientado la barra desde el nudo donde se plantea el equilibrio hacia el otro

F es la fuerza externa que actúa sobre el nudo con componentes Fx

y

Fy

(estas pueden

ser conocidas `a priori' o no en el caso de apoyos). NB es el número de barras que concurren al nudo.

Y

Fx

X

NI

NJ

Figura 1.13: Equilibrio de un nudo

Observación: Notar que estas son todas las ecuaciones de equilibrio que se pueden plantear. Si todos los nudos están en equilibrio se cumple naturalmente que la suma de los fuerzas externas es cero y que el momento que estas producen también es cero. Por ejemplo la ecuación de equilibrio de las fuerzas externas en la dirección

x se puede ver como la suma

de las ecuaciones de equilibrio nodales en la dirección x (ec.1.16), donde las contribuciones I de los esfuerzos N se cancelan pues estos tienen contribuciones a sus dos nudos extremos y con valores exactamente opuestos)

1.6.3. Ecuaciones constitutivas Relacionan los esfuerzos en las barras con las deformaciones. En tal caso aceptando como válida la ley de Hooke, el esfuerzo axial resulta:

N = EAε donde y

ε

E

(1.18)

es el módulo elástico del material que constituye la barra,

A

es la sección transversal

es la deformación especíca longitudinal de la barra.

1.6.4. Ecuaciones cinemáticas Relacionan los desplazamientos de los extremos de la barra con la deformación especíca longitudinal que se produce. Sea una barra que sus nudos extremos (que denominaremos con 1 y 2) originalmente ocupan las posiciones (ver Figura 1.14)

 x1 =

x1 y1



 x2 =

x2 y2

 (1.19)

y que sufren desplazamientos

 u1 =

u1 v1



 u2 =

u2 v2

 (1.20)

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

18

Y 2

y2 L0

y1

1 X

x2

x1

Figura 1.14: Denición geométrica de una barra en el plano

de tal forma que las longitudes original y nal de la barra son respectivamente

 1 1 (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 2 = [(x2 − x1 ) · (x2 − x1 )] 2

L0 =

= [∆x · ∆x]

L =

 1 (x2 − x1 + u2 − u1 )2 + (y2 − y1 + v2 − v1 )2 2

= [∆x · ∆x+2∆x · ∆u + ∆u · ∆u] Donde hemos denido con

∆x

∆x = ∆u

(1.22)

1 2

al vector desde el punto 1 al punto 2



y con

(1.21)

1 2

x2 − x1 y2 − y1

 (1.23)

a la diferencia de desplazamientos de los nudos

 ∆u =

u2 − u1 v2 − v1

 (1.24)

L0

Y S 0

2 u2

v1 1

u1 X

Figura 1.15: Cinemática de una barra en el plano

1.6. BARRAS ARTICULADAS

19

La deformación especíca longitudinal se dene como

ε=

L −1 L0

(1.25)

reemplazando las expresiones anteriores puede escribirse



∆u ∆u ∆u + · ε = t · t+2t · L0 L0 L0

 12 −1

(1.26)

donde hemos ademas introducido el vector unitario en la dirección de la barra

∆x t= = L0



cos α sin α

 (1.27)

Para pequeñas deformaciones puede escribirse

∆u 1 ∆u ∆u + · L0 2 L0 L0

ε=t·

(1.28)

y para pequeños giros esta expresión se puede linealizar, manteniendo exclusivamente el primer término

ε=t·

∆u L0

(1.29)

Notar que cuando en una barra articulada hablamos de los desplazamientos de sus nudos extremos, estamos suponiendo que en el interior de la barra los desplazamientos varían linealmente entre los de sus extremos. Es decir, deniendo una variable local 1 y vale

L0

s

que vale

0

en el nudo

en el nudo 2, entonces

 u (s) = 1−  v (s) = 1−  u (s) = 1−

 s u1 + s u2 L0  s v1 + s v2 L0  s u1 + s u2 L0

(1.30)

Esto surge de resolver la ecuación diferencial de equilibrio de la barra

dN + p (s) = 0 ds

(1.31)

con las hipótesis No hay carga externa dentro del tramo Las propiedades de la barra (E y De la primera hipótesis resulta

N

A)

p (s) = 0

no son función de

s

(son constantes)

constante en toda la barra, lo que junto con la segunda

hipótesis conduce a que la deformación

ε= también sea constante, luego

u

N du = EA ds

(es desplazamiento en la dirección de

(1.32)

s)

varíe en forma lineal.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

20

1.7.

TEORIA DE VIGAS

Como paso previo al estudio de métodos generales de resolución de pórticos tridimensionales, recordemos previamente los elementos básicos de la teoría de vigas en dos dimensiones

1.7.1. Teoría clásica de vigas en exión pura Las hipótesis en que se basan las próximas ecuaciones son (además de las de linealidad): El eje de la viga es recto La sección no cambia en todo el tramo. La dirección normal al plano de la viga es una de las direcciones principales de inercia de la sección Supondremos (sin ninguna perdida de generalidad) que el plano de movimiento de la viga es el plano (x

− y)

x coincide dirección y .

y que el eje

desplazamientos en la

con el eje de la viga. Denominaremos con

Las fuerzas externas actúan en la dirección

y

v

a los

(no hay fuerzas externas en la dirección

axial) Las tensiones normales en la dirección transversal a la viga son despreciables, esto incluye las tensiones de contacto debidas a las cargas aplicadas, luego es indistinto que las cargas se apliquen sobre la partes superior, inferior o sobre el eje de la viga. Las secciones se mantienen planas al deformarse la viga Las deformaciones debidas al corte transversal son despreciables

γ=0

. Es decir que las

secciones se mantienen normales al eje deformado.

Y

β

u=- β y dv dx

v y

X

Figura 1.16: Desplazamientos en vigas. Plano x-y Los desplazamientos u en la dirección x (debidos a la exión) dependerán del giro de la dv y variarán linealmente en la altura de la viga con valor nulo en el eje . sección β = x

u (x, y) = −β (x) y = −

dv (x) y dx

(1.33)

1.7. TEORIA DE VIGAS

21

En base a lo anterior las únicas deformaciones relevantes son las deformaciones de exión en la dirección

x,

que denominaremos simplemente con

ε.

Estas deformaciones varían linealmente

en el espesor en función de la distancia al eje de la sección y son proporcionales a la curvatura del eje.

d du = ε (x, y) = dx dx



dv (x) − y dx

 = −χy

(1.34)

donde la curvatura del eje originalmente recto queda entonces denida por

χ (x) =

Y

dβ d2 v = 2 dx dx

(1.35)

q(x)

Q+

Q

dQ dx dx X

M

M+

dM dx dx

Figura 1.17: Equilibrio en vigas Luego las tensiones en la dirección axial valen

σ(x, y) = Eε (x, y) = −Eχy

(1.36)

0, lo que se verica ya que Z Z Z −Eχ (x) ydA = −Eχ (x) ydA N (x) = σ (x, y) dA =

El esfuerzo normal por hipótesis vale

A

A

donde la última integral indicada es

0

(1.37)

A

porque el eje pasa por el baricentro de la sección.

El momento ector resulta de integrar el momento de estas tensiones en el área de la sección

Z M (x) = −

Z σ (x, y) y dA = Eχ (x)

A

y 2 dA = Eχ (x) I

(1.38)

A

Esta última ecuación nos provee la relación constitutiva entre esfuerzos generalizados (M ) y deformaciones generalizadas (χ). La ecuación de equilibrio a la traslación (vertical) resulta

dQ (x) + q (x) = 0 dx

(1.39)

En tanto que la ecuación de equilibrio de momentos alrededor del eje normal al plano de movimiento es

Q (x) +

dM (x) =0 dx

(1.40)

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

22

Q (x) = −

dM (x) dx

(1.41)

Llevando esta última a la expresión anterior

−

d2 M (x) + q (x) = 0 dx2

(1.42)

a su vez reemplazando la expresión del momento y en base a la hipótesis de que la sección no cambia

d2 Eχ (x) I + q (x) = 0 dx2 d2 χ (x) −EI + q (x) = 0 dx2

−

(1.43)

nalmente reemplazando aquí la curvatura en función de los desplazamientos

d4 v (x) + q (x) = 0 −EI dx4

(1.44)

tenemos la ecuación diferencial de equilibrio de la viga a exión en función de los desplazamientos. Esta ecuación diferencial ordinaria, lineal, de 4 orden requiere de 4 condiciones de borde, en general 2 por extremo. Estas condiciones pueden ser de dos tipos: de Dirichlet, esenciales, cinemáticas o geométricas. Físicamente podemos imponer los

y,

desplazamientos en un extremo. Estos desplazamientos pueden ser en la dirección decir podemos imponer giro

β

v ),

o en la dirección dv . lo que podemos imponer es dx

x,

u

en este último caso como

(es

depende del

de Neumann, naturales o de fuerzas. Físicamente podemos imponer las fuerzas en un extremo. Estas fuerzas pueden ser el esfuerzo de corte

Q

o el momento ector

ticamente asociados respectivamente al desplazamiento vertical

v

y al giro

M

energé-

β.

Naturalmente en un mismo extremo pueden tenerse simultaneamente una condición de cada una pero no las conjugadas, es decir puedo simultaneamente imponer el desplazamiento y el momento ector (borde simplemente apoyado) o imponer el giro y el corte (condición de simetría), pero no simultaneamente el desplazamiento y el corte, o el giro y el momento. Resulta importante destacar la convención de signos utilizada para giros (β ), curvaturas (χ) y momentos (M ). Las variables giro

β,

M son, desde el punto de vista espacial, las componentes sobre la normal al plano de exión (eje z ), de los vectores β y M . La y momento ector

convención utilizada corresponde entonces a que dichas variables escalares correspondan a una componente positiva sobre el eje

z

de las correspondientes variables vectoriales. De esta forma

resulta que un giro positivo (sentido anti-horario) conduce a desplazamientos parte donde

y

u

positivos en la

es negativo (ecuación 1.33). Esta opción se hace extensiva al momento ector,

de forma que el momento ector es positivo si tracciona las bras donde

y

es negativo (las

inferiores en este caso) de donde resulta la necesidad de cambiar el signo en la denición usual del momento (ecuación 1.38) y en la expresión de las tensiones en función del momento ector

σx (x, y) = −

M (x) y I

Finalmente la elección de la convención positiva para la curvatura

(1.45)

χ

coincide con la del mo-

mento. Desde el punto de vista de un problema exclusivamente bi-dimensional a menudo se utiliza una convención contraria a la indicada, esto no acarrea ningún problema en tal caso, pero al estudiar problemas tridimensionales resulta conveniente que estas variables, que son

1.7. TEORIA DE VIGAS

23

componentes de un vector, tengan signo positivo si su sentido coincide con la dirección positiva del eje correspondiente. De tal forma que naturalmente a las variables que hemos denido como

β, χ

y

M

z

les agregaremos un subíndice

para distinguirlas de las restatnes componentes.

Además será necesario distinguir los diferentes momentos de inercia, luego a

I

le agregaremos

un subíndice indicando alrededor de que eje estamos tomando momento

Z Iz =

y 2 dA

(1.46)

A Finalmente a las fuerzas y esfuerzos se les agregará un subíndice indicando la dirección en la cual actúan, es decir

q(x) = qy (x) Q (x) = Qy (x) Recordar además que la distribución de tensiones de corte transversales al eje de la viga se calcula a partir de la expresión de Jourasky. Aquí se incluye la hipótesis de que no hay fuerzas tangenciales aplicadas sobre el borde de la viga, luego por reciprocidad de tensiones tangenciales, el valor de las tensiones de corte es cero en las caras superior e inferior. Además notar que al haber despreciado las deformaciones transversales de corte (γ relación constitutiva que pueda ligar

Q

con

γ,

= 0)

no hay una

y que el corte surge de la condición de equilibrio

de momentos (ecuación 1.41)

Ejemplo: Viga bi-empotrada Como ejemplo sencillo observemos como obtener la solución de una viga bi-empotrada con carga uniforme.

q (x) d4 v (x) = 4 dx EI v|x=0 = 0 v|x=L = 0 Integrando esta ecuación diferencial se obtiene R d3 v 1 una vez = EI q (x) dx + A 3 dx 2 RR dv 1 dos veces = q (x) dxdx + Ax + EI 2 tres veces cuatro veces

dx dv = dx

v=

− Q(x) EI M (x) EI

B

Ax2 + Bx + C 2 3 RRRR Ax Bx2 q (x) dxdxdxdx + + + Cx + D 6 2

1 EI

1 EI

dv |x=0 = 0 dx dv |x=L = 0 dx

RRR

q (x) dxdxdx +

β

Utilizando la 3ra y la 4ta, para imponer allí las condiciones de biempotramiento tendremos

0  0  L3  

6 L2 2

0 0 L2 2

L

0 1 L 1

 1 A  B 0   1  C D 0





 0     = −  0q    v  βq

Donde hemos denominado con

v

q

βq

Z Z Z Z L 1 qL4 = q (x) dxdxdxdx = EI 24EI x=0 Z Z Z L 3 1 qL = q (x) dxdxdx = EI 6EI x=0

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

24

En el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas resultante, las dos primeras ecuaciones son de resolución inmediata,





C D

 =

0 0



lo que puede llevarse a las dos restantes, resultando entonces



L3 6 L2 2

L2 2



L

A B

de donde

A=−



 =−

vq βq

qL 2EI



qL3 =− 6EI

B=



L/4 1



qL2 12EI

En consecuencia el momento ector vale

  q L2 2 M (x) = −x + Lx − 2 6 que valuado en los extremos y el centro vale

qL2 12 qL2 + 24 qL2 − 12

x=0 x=

−

L 2

x=L

(1.47)

1.7.2. Flexión en el plano x − z Cuando la exión no se restringe a un plano es necesario considerar un segundo grupo de ecuaciones, que no dieren substancialmente de las anteriores, sólo cambian las denominaciones y el hecho de que el eje normal al plano (y ) es entrante al plano en este caso

Z

−β

u= β z dw dx

w 1

z

X

Figura 1.18: Deformaciones en vigas. Plano x-z

dw (x) z dx   du d dw (x) ε (x, z) = = − z = χy z dx dx dx u (x, z) = βy (x) z = −

(1.48)

(1.49)

1.7. TEORIA DE VIGAS

25

χy (x) =

d2 w dβy =− 2 dx dx

(1.50)

σ(x, z) = Eε (x, z) = Eχy z Z

Z σ (x, z) z dA = Eχy (x)

My (x) = A

(1.51)

z 2 dA = Eχy (x) Iy

(1.52)

A

dQz (x) + qz (x) = 0 dx

Qz (x) =

(1.53)

dMy (x) dx

(1.54)

d2 My (x) + qz (x) = 0 dx2

EI

(1.55)

d2 χy (x) + qz (x) = 0 dx2

−EI

(1.56)

d4 w (x) + qz (x) = 0 dx4

Notar que en este caso la denición de giros y momentos en el plano

(1.57)

x−z

conduce a des-

plazamientos y tensiones longitudinales positivos en la parte donde la coordenada

z

es positiva.

1.7.3. Esfuerzos axiales El análisis de esfuerzos axiales corresponde a las mismas expresiones de la barra articulada. Recordar que al ser la viga de eje recto y no considerar efectos de segundo orden, es posible desacoplar los efectos axiales de los de exión y a su vez a los de exión analizarlos en los respectivos planos principales de inercia como se ha indicado.

1.7.4. Esfuerzos de torsión Respecto a la torsión, consideraremos como positivos los momentos torsores que vectorialmente coincidan con la dirección positiva del eje

x;

lo mismo diremos del giro correspondiente.

Las ecuaciones diferenciales que gobiernan la torsión de Saint Venant (sin restricción de alabeo) corresponden a:

Comportamiento en el plano de la sección Que da lugar a diferentes versiones de la ecuación de Laplace de acuerdo a la incógnita elegida, función de tensión (asociado a la analogía de la membrana) o función de alabeo.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

26

Comportamiento a lo largo del eje de la viga Que conduce a una ecuación diferencial similar (formalmente idéntica) a la de la barra con esfuerzos axiales

donde

Mx (x)

dMx + mx (x) = 0 dx

(1.58)

es el momento torsor (esfuerzo interno)

Z Mx (x) =

(−σxy z + σxz y) dA

(1.59)

A y

mx (x)

es el momento torsor distribuido aplicado a lo largo del eje.

La ecuación constitutiva asociada es

Mx (x) = GρJθ donde

J

es el momento polar de inercia,

ρ

(1.60)

es un factor que depende de la forma de la sección

(que sólo es 1 para secciones circulares o anulares cerradas y de otras condiciones geométricas asociadas a la restricción de alabeo y la longitud de la pieza), transversal y

θ

G

es el módulo de elasticidad

es el ángulo especíco de giro (deformación generalizada asociada)

θ=

dβx dx

(1.61)

El reemplazo de estas últimas dos ecuaciones en la primera conduce a (para secciones uniformes)

GρJ

d2 βx + mx (x) = 0 dx2

(1.62)

Las condiciones de contorno que pueden imponerse aquí son (una en cada extremo normalmente) el giro

βx

, o

el momento torsor

Mx

Ejemplo de torsión con exión Supongamos un eje circular bajo una carga distribuida en el plano

x − z)

qz

produce un momento torsor distribuido

excéntrica que (además de exión

mx = −qz e

(ver Figura 1.19) .

Respecto a las condiciones de borde supongamos que los giros en los extremos están impuestos de valor

β1

y

β2

La ecuación diferencial a resolver es (ρ

= 1)

d2 βx qz e = 2 dx GJ dβx (x) qz e = x + C = θ (x) dx GJ q z e x2 βx (x) = + Cx + D GJ 2 Las constantes de integración se determinan en función de las condiciones de contorno

βx (x = 0) = D = β1 qz e L 2 βx (x = L) = + CL + D = β2 GJ 2

1.7. TEORIA DE VIGAS

27

β1

β2 Figura 1.19: torsión de un eje

de donde

D = β1 C = −

qz e L (β2 − β1 ) + GJ 2 L

con lo cual (reordenando)

qz e x x (x − L) + β1 + (β2 − β1 ) GJ 2 L  qz e L (β2 − β1 ) θ (x) = x− + GJ 2 L   L (β2 − β1 ) Mt (x) = qz e x − + GJ 2 L βx (x) =

Debido a la linealidad de la ecuación diferencial, al mismo resultado se llega si se analizan por separado la inuencia de la carga y de las condiciones de contorno de giros impuestos. La solución encontrada puede verse como la combinación (suma) de las siguientes soluciones debido al momento torsor distribuido con condiciones de contorno de giros nulos en los extremos. Esto se conoce como solución de la ecuación diferencial no-homogénea (con término independiente no nulo) y condiciones de contorno homogéneas (giros nulos), y se la denomina solución particular porque depende de la distribución de carga. En este caso vale

qz e x (x − L) GJ 2  L P Mt (x) = qz e x − 2 βxP (x) =

debido a cada una de las condiciones de contorno (en forma separada) y sin carga de tramo. Esto se conoce como solución general de la ecuación diferencial homogénea (termino independiente nulo) y condiciones de contorno no-homogéneas (giros no nulos en general). Que vale

x (β2 − β1 ) L (β2 − β1 ) MtH (x) = GJ L βxH (x) = β1 +

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

28

1.8.

LIMITACION EN EL COMPORTAMIENTO CINEMATICO

Analizaremos ahora un ejemplo que nos permita observar la primera de las consecuencias de las hipótesis de linealidad indicadas (ver Fig.1.20).

Ku

F

F S Y

EA

-u

-v

θ

L0

N v u

X

Figura 1.20: Inestabilidad de un barra cargada axialmente Plantearemos el equilibrio en la conguración deformada, pero supondremos que las deformaciones de la barra son pequeñas y elásticas y que el comportamiento del resorte es lineal, pues si no excede por mucho los objetivos del curso. -La deformación axial de la barra es:

ε= con

L −1 L0

 1 L = (L0 + v)2 + u2 2

(1.63)

(1.64)

luego

2  2 # 12 u v + ε = −1 1+ L0 L0 "   2 # 2 u v 1 v ∼ + + = L0 2 L0 L0 "

(1.65)

que inicialmente podemos restringir al primer término. -El esfuerzo en la barra (adoptando la ley de Hooke)

N = EAε =

EA v L0

(1.66)

-Similarmente el esfuerzo en el resorte será

S = Ku

(1.67)

S + N sin θ = 0

(1.68)

-Las ecuaciones de equilibrio resultan En la dirección

x

-

1.8. LIMITACION EN EL COMPORTAMIENTO CINEMATICO En la dirección

y

29

-

F − N cos θ = 0 A su vez podemos escribir el ángulo

sin θ =

θ

en función de

u L

cos θ =

(1.69)

u

y

v

(L0 − v) L

(1.70)

F S

Figura 1.21: Equilibrio del nudo Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio (1.68,1.69) estas últimas (1.70) y las de los esfuerzos en términos de los desplazamientos (1.66,1.67), tenemos

  EA u EA v Ku + v = K+ u=0 L0 L L0 L EA (L0 + v) v = 0 F− L0 L Una posible solución de la primera es

u = 0,

(1.71)

(1.72)

que corresponde a que la barra se mantiene

perfectamente vertical y que el resorte no desarrolla ningún esfuerzo. Tal solución puede llevarse a la segunda ecuación, notando que en tal caso

F−

L = L0 + v ,

por lo cual resulta

EA v = 0 L0 F L0 v = EA

luego es posible una segunda solución con valores no necesariamente nulos de

F

alcanza el valor

(1.74)

= 0, v = F L0 /EA), que es la que predice un análisis reemplazamos el valor de v en la primera ecuación tenemos   F K+ u=0 L0

La solución encontrada (u es la única posible, si

(1.73)

lineal, no

(1.75)

u cuando la fuerza

KL0 F = −KL0

que corresponde a un punto de estabilidad crítica asociado a una bifurcación del equilibrio (pandeo). Este tipo de comportamiento no pueden analizarse si no se plantea el equilibrio en la geometría deformada.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCION

30

-F -

K L

Punto crítico Solución Line

-V U Figura 1.22: Trayectorias de equilibrio

1.9.

LIMITACION EN EL COMPORTAMIENTO MATERIAL

Normalmente supondremos que el material se comporta en forma elástica durante el proceso de análisis, sin embargo resulta ilustrativo observar cuales serían los pasos a seguir cuando el comportamiento del material es elasto-plástico. Veamos entonces un ejemplo de barras articuladas donde el material supera la tensión de uencia (ver Figura 1.23)

a

a

b

L

α α1

α2

P

Figura 1.23: Análisis elasto-plástico de un sistema de barras Supongamos que todas las barras tienen la misma sección y son del mismo material, es decir del mismo comportamiento elasto-plástico. Veamos primero la geometría del problema

√ a L = a2 + b 2 α = arctan( ) b π π π α1 = − α α2 = α3 = + α 2 2 2 cos α1 = sin α cos α2 = 0 cos α3 = − sin α sin α1 = cos α sin α2 = 1 sin α3 = cos α

1.9. LIMITACION EN EL COMPORTAMIENTO MATERIAL

31

Las ecuaciones de equilibrio resultan entonces

(N1 − N3 ) sin α = 0 N1 cos α + N2 + N3 cos α = −P de la primera resulta

N1 = N3

como era de esperar dado que la estructura es simétrica y la

solicitación también lo es. Llevando este resultado a la segunda de las ecuaciones tenemos

2N1 cos α + N2 = −P Por lo cual tenemos una ecuación con dos incógnitas que de hecho no podemos resolver sin introducir condiciones adicionales. La estructura es hiperestática y por lo tanto no alcanza con plantear condiciones de equilibrio exclusivamente. Calculemos las deformaciones de las barras en función de los desplazamientos nodales. Observemos que dada la simetría el único desplazamiento incógnita es el vertical, pues el horizontal es cero. Para la barra 1 tendremos

1 (a, b) L

∆u = (0, −v)

ε1 = t1 ·

∆u bv =− 2 L L

t2 = (0, 1)

∆u = (0, −v)

ε2 = t 2 ·

v ∆u =− L2 b

t1 = y para la barra 2

Luego, usando las constitutivas tendremos que los esfuerzos valen

N1 = −

EAb v L2

N2 = −

EA v b

reemplazando en la ecuación de equilibrio

EA EAb v cos α + v 2 b  L EAb EA 2 2 cos α + v L b [2K1 + K2 ] v Kv 2

donde

K1

y

K2

= P = P = P = P

son las contribuciones de la barra 1 y 2 respectivamente al equilibrio del nudo.

La respuesta de la estructura (el desplazamiento

v)

es proporcional a

P,

mientras todas las

barras se encuentren en estado elástico. Notemos que la relación

ε1 = ε2

 2 b