Ciencia en su PC ISSN: 1027-2887 [email protected] Centro de Información y Gestión Tecnológica de Santiago de Cuba Cuba

Chang-Mumañ, Francisco; Mazaira-Morales, Israel CONTROL DE UN SERVOMOTOR DE CD. UN ENFOQUE ALGEBRAICO DIFERENCIAL. Ciencia en su PC, núm. 3, julio-septiembre, 2010, pp. 1-10 Centro de Información y Gestión Tecnológica de Santiago de Cuba Santiago de Cuba, Cuba

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Ciencia en su PC, № 3, julio-agosto-septiembre, 2010, p. 1-10. Francisco Chang-Mumañ, Israel Mazaira-Morales

CONTROL DE UN SERVOMOTOR DE CD. UN ENFOQUE ALGEBRAICO DIFERENCIAL CONTROL OF A CD SERVOMOTOR. A DIFFERENTIAL ALGEBRAIC APPROACH Autores: Francisco Chang-Mumañ, [email protected]. Profesor Titular, Doctor en Ciencias Técnicas, Facultad de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Oriente, Teléfono: 646198, Santiago de Cuba, Cuba. Israel Mazaira-Morales, Profesor Titular, Doctor en Ciencias Técnicas, Facultad de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Oriente, Santiago de Cuba, Cuba RESUMEN En este trabajo se presenta el diseño de un algoritmo de control, por modo deslizante, de un servomecanismo de posición de CD, con la particularidad de que solo se realimenta la salida con un reconstructor integral de la velocidad. Se corroboran los resultados a nivel de simulación, incluso para cambios en los parámetros del motor; lo que demuestra la robustez del sistema en el sentido de que el controlador fue diseñado a partir de un modelo nominal, que considera la presencia de incertidumbre en los parámetros del sistema. Palabras clave: control por modo deslizante, servomecanismo de CD, reconstructor integral de velocidad. ABSTRACT This paper presents the design of a sliding-mode control algorithm for a CD position servomechanism, with the peculiarity that it only feeds back the output by using a velocity’s integral re-constructor. Results were corroborated at the simulation level, even for changes in engine parameters. This demonstrates the robustness of the system, in the sense that the controller was designed from a nominal model, considering the uncertainty in system parameters. Key words: Sliding mode control, CD servomechanism, velocity’s integral re-constructor.

Recibido: diciembre de 2009; Aceptado: junio de 2010, p.1

Ciencia en su PC, № 3, julio-agosto-septiembre, 2010. Francisco Chang-Mumañ, Israel Mazaira-Morales

INTRODUCCIÓN Los servomotores de CD son profusamente utilizados en diversas aplicaciones industriales, como es el caso de los robots industriales, máquinas herramientas de control numérico, sistemas de posicionamiento de radares, antenas, etc. Es una práctica común considerar para el diseño de los esquemas de control un modelo simplificado del motor, de modo que las no linealidades inherentes, así como las dinámicas no modeladas, pudieran incidir negativamente en las prestaciones del sistema controlado. En la literatura se reportan diversos trabajos que describen procedimientos para solucionar los problemas resultantes de los efectos antes expuestos, como es el caso de las técnicas de control adaptable, robusto, de lógica borrosa, de redes neuronales, etc. Desde hace ya varios años se reportan aplicaciones de los controladores de estructura variable y, dentro de ellos, el control por modo deslizante. En los últimos tiempos se ha incrementado el uso de estos gracias al desarrollo y difusión de la computación. Se destacan, en especial, por su sencillez en el diseño y fortaleza. En esta investigación se presenta el diseño de un algoritmo de control por modo deslizante de un servomecanismo de posición de CD, con la particularidad de que solo se realimenta la salida, con el empleo de un reconstructor integral de la velocidad. METODOLOGÍA DE DISEÑO En la literatura se reporta el diseño de los sistemas de control de estructura variable para una clase de sistemas no lineales variables en el tiempo, mediante el uso del método de control equivalente de Utkin-Drazenovic y los conceptos generalizados de estabilidad de Lyapunov [2], [1] [5]. Considere el sistema de segundo orden: •

x1 = x 2 •

(1)

x 2 = h( x) + g ( x)u

Recibido: diciembre de 2009; Aceptado: junio de 2010, p.2

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donde h(x) y g(x) son funciones no lineales desconocidas y g ( x) ≥ g 0 > 0 para toda x. Se quiere diseñar una ley de control por realimentación del estado para estabilizar el origen. Suponer que se diseña una ley de control que lleva el estado del sistema a una superficie S = a1 x1 + x2 = 0 y notar que sobre esta superficie la •

dinámica del sistema controlado está determinada por la ecuación x1 = −a1 x1 , seleccionando a1 > 0 , garantiza que x(t) tienda a cero cuando t tienda a infinito y que la convergencia se puede controlar mediante la selección de a1 . El movimiento sobre esta superficie S = 0 es independiente de las funciones h y g. Es necesario garantizar la atracción hacia esta superficie. La variable S satisface la ecuación: •

S = a1 x 2 + h( x) + g ( x)u

(2)

Hay que suponer que h y g satisfacen la condición: a1 x 2 + h( x ) ≤ σ ( x) g ( x)

∀x ∈ R 2

(3)

donde σ (x ) es alguna función definida positiva conocida cualquiera. ⎛1⎞ Sea V = ⎜ ⎟ S 2 una función candidata de Lyapunov para (2). Entonces, ⎝ 2⎠ •

•

V = S S = S [a1 x 2 + h( x)] + g ( x) Su ≤ g ( x) S σ ( x) + g ( x) Su

(4)

Tomando como componente conmutante del control:

⎧ 1 ⎪ u = − β ( x) sgn( S ) donde β ( x) ≥ σ ( x) + β 0 , para β 0 > 0 y sgn( S ) = ⎨ 0 ⎪− 1 ⎩

S > 0⎫ ⎪ S = 0⎬ (5) S < 0⎪⎭

Entonces se tiene: •

V ≤ g ( x) S σ ( x) − g ( x)[σ ( x) + β 0 ]S sgn(S ) = − g ( x) β 0 S ≤ − g 0 β 0 S

(6)

Este resultado asegura que la trayectoria de estado del sistema alcanza la superficie deslizante S = 0 en un tiempo finito, y que una vez sobre ella no la puede abandonar. Sobre dicha superficie la dinámica del sistema está •

determinada por el modelo de orden reducido x1 = − a1 x1 . Recibido: diciembre de 2009; Aceptado: junio de 2010, p.3

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A continuación, se describe la metodología de diseño del control por modo deslizante: Se ha considerado un modelo simplificado nominalizado del motor de CD con FT [6]:

θ ( s) U (s)

=

11 k = s(τs + 1) s (0.5s + 1)

(7)

donde:

θ ( s ) - Posición angular [rad.] U ( s ) - Voltaje a la entrada del amplificador que alimenta el motor [ V ]

Este modelo expresado en el espacio de estado sería: ⎡ • ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ x•1 ⎥ = ⎢ 1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ k ⎥ u (t ) ⎢ x ⎥ ⎢⎣0 − τ ⎥⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣τ ⎦

(8)

donde:

x1 - Posición angular θ (rad) x 2 - Velocidad angular ω (rad / s)

k - Ganancia (rad / V) = 11 τ – Constante de tiempo (s) = 0.5 El diseño del control por modo deslizante sería: Si se compara el modelo del motor (8) con (1), se notará que: 1 h( x ) = − x 2 ;

τ

g ( x) =

k

(9)

τ

Siguiendo el desarrollo mostrado en la sección anterior, para el cumplimiento de la condición de atracción se debe satisfacer que, •

•

v( s ) = s s < 0 ∀ x ∉ s( x) = 0

(10)

No es difícil notar que una función que satisface (3) es,

σ ( x) = α x 2 Donde debe cumplirse que, α >

τ⎛

1⎞ ⎜ a1 − ⎟ k⎝ τ⎠

y

a1 >

1

τ

.

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La componente conmutante del control sería:

u sw = − β ( x) sgn( S )

β ( x) = σ ( x ) + β 0 = α x 2 + β 0

donde : β 0 > 0

Una vez que el estado del sistema se encuentra sobre la superficie de deslizamiento S; y con el objetivo de disminuir las oscilaciones alrededor de esta, se utiliza el método del control equivalente, que consiste en utilizar otra acción de control capaz de mantener el estado del sistema sobre la superficie de deslizamiento [2]. El método del control equivalente [1] garantiza la invariancia de la superficie de deslizamiento al obtenerse una ley de control, de modo que, •

S ( x) =

∂S • . x = 0 ∀ x ∈ S ( x) = 0 ∂x

(11)

Operando se obtiene: •

S ( x) = a1 x 2 −

1

τ

x2 +

k

τ

u=0

• 1⎞ k 1⎞ 1 τ⎛ ⎛ S ( x ) = x 2 ⎜ a1 − ⎟ + u = 0 ⇒ u = − ⎜ a1 − ⎟ x 2 donde : a1 > τ⎠ τ τ⎠ τ k⎝ ⎝

Finalmente, se obtiene el control equivalente:

u e = −0.045. x 2

(12)

Es importante notar que para conformar tanto el componente conmutante del control usw, como el control equivalente ue es necesario retroalimentar la velocidad angular, lo que impone la necesidad de su medición o la utilización de un observador del estado para estimarla. Precisamente la contribución principal de este trabajo consiste en la obtención de la velocidad, mediante un reconstructor integral basado, de manera exclusiva, en las mediciones de la entrada y la salida del sistema [3]. La reconstrucción de la derivada de la salida (x2) se obtiene a partir de la ecuación diferencial del sistema: ••

1

•

k

θ =− θ + u τ τ

(13)

Si se integra (13) quedaría:

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•

1

k

1

•

Λ

•

•

θ = − θ + ∫ u + θ 0 + θ 0 = θ + θ (0) τ τ τ

(14)

donde: •

θ (0) =

1

τ

•

θ0 +θ 0

(15)

Λ

•

1

k

θ = − θ + ∫u τ τ

(16)

La ecuación (16) constituye el reconstructor integral de la velocidad, de modo que por comparación quedaría: Λ

x2 = x 2 + x2 (0)

(17)

Es importante notar que la reconstrucción (16) se diferencia de la velocidad real por las condiciones iniciales, dadas en (15), las cuales por lo general son constantes. Si en lugar de la superficie de deslizamiento original se toma la siguiente: Λ

Λ

S ( x) = a1 x1 + x 2 + b ∫ x1 dt = 0

18) •

Λ

La derivada de S ( x ) sería:

k ⎤ ⎡ 1 S = a1 x 2 + ⎢− x 2 + u ⎥ + bx1 τ ⎦ ⎣ τ Λ

19)

•

1⎞Λ k 1⎞ ⎛ ⎛ S = ⎜ a1 − ⎟ x 2 + bx1 + u + ⎜ a 1 − ⎟ x 2 ( 0 ) τ⎠ τ τ⎠ ⎝ ⎝ Λ

(20)

• ∧

Nótese que para llevar S (x ) a cero, necesariamente u dependerá de x2 (0) . Para evitar este efecto, y con ello usar en la retroalimentación solamente la señal de salida se propone una solución de acuerdo con el enfoque del PI generalizado [3], lo cual conduce a la ley de control,

ue =

τ⎡ ⎛

Λ Λ ⎤ 1⎞Λ − − − − − a x bx k S ( x ) k S 2 ⎜ ⎟ 1 1 0 i ∫ ( x ) dt ⎥ ⎢ k⎣ ⎝ τ⎠ ⎦

(21)

Con este control se obtiene: •

Λ Λ 1⎞ ⎛ S ( x) = −k 0 S ( x) − k i ∫ S ( x)dt + ⎜ a1 − ⎟ x 2 (0) τ⎠ ⎝ Λ

(22)

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••

Derivando esta última expresión se tiene:

Λ

•

Λ

Λ

S + k0 S + ki S = 0

(23)

⎡Λ⎤ S ⎡0 ⎤ Con lo cual se demuestra que se alcanza el origen: ⎢ Λ• ⎥ = ⎢ ⎥ siempre que se ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ ⎣S ⎦ cumpla que k 0 > 0, k i > 0 Es importante notar que la dinámica del sistema controlado sobre la superficie de deslizamiento con la ley de control (21) pasa a ser de 2do orden, lo cual representa la consecuencia principal de la utilización del reconstructor de la velocidad. RESULTADOS Se simuló el sistema de control mediante el uso del lenguaje SIMNON, y se comprobó la robustez del diseño para variaciones en un 10% de la ganancia k, en el modelo nominalizado del motor, según se muestra en la Figura 3. A continuación, en la Figura 1, se muestran los resultados de la simulación, mediante los gráficos de la respuesta del sistema y del plano de fase para dos condiciones iniciales de 1 y 0.8 rad; así como con otras dos condiciones iniciales diferentes en la Figura 2.

Figura 1. Respuesta del sistema para dos condiciones iniciales diferentes de 1 y 0.8 rad.

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Figura 2. Trayectoria de fase (x2 vs x1) para dos condiciones iniciales diferentes. Θ [rad]

Tiempo [s] Figura 3. Respuesta del sistema para cambios en la ganancia del motor en un 10%.

DISCUSIÓN En la Figura 1 se puede apreciar cómo la respuesta del sistema retorna al origen para dos condiciones iniciales diferentes, o sea, para posiciones angulares de la

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salida de 1 y 0.8 rad, lo que muestra la estabilidad y buenas prestaciones del sistema de control. En la Figura 2 se muestra en el plano de fase cómo el sistema, con otras dos condiciones iniciales diferentes, consigue llevar al estado del sistema sobre la superficie de deslizamiento hasta el origen, cn el logro de la estabilidad requerida. La Figura 3 muestra la robustez del sistema para una condición inicial de 0.8 rad en la posición angular de la salida, si se considera una variación del 10% de la ganancia del motor por exceso (verde) y por defecto (azul), lo cual garantiza buenas prestaciones aún considerando incertidumbre en las mediciones de los parámetros del modelo del motor. CONCLUSIONES En este trabajo se ha mostrado el diseño de un servomecanismo de CD, que utiliza el control por modo deslizante, se comprobó por medio de la simulación su comportamiento robusto ante variaciones de la referencia y cambios en los parámetros del modelo del motor. El aporte de este trabajo consiste en el uso de un reconstructor integral de la velocidad a partir de un enfoque algebraico que elimina la necesidad de tener que utilizar un medidor de velocidad que por lo general trae consigo problemas de ruido. Se ha corroborado a nivel de simulación la robustez del diseño al considerar variaciones de hasta un 10% de los parámetros del modelo del motor, con lo cual se han logrado buenas prestaciones en el sistema de control. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Hung, J.Y., Gao, W., Hung, J.C. (1993). ”Variable Structure Control: A Survey”. Transactions on Industrial Electronics. Vol. 40. No.1, pp. 2-22. [2] Khalil, H. K. (2002). “Nonlinear Systems”. Edit. Prentice Hall. Third Edition. [3] Sira-Ramírez, H. (2002). “On the Generalized PI control of some nonlinear mechanical systems”. Proceedings of the American Control Conference. Anchorage, AK May 8-10.

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[4] Slotine, J.J., Li, W. (1991). “Applied Nonlinear Control”. Edit. Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey, USA. [5] Utkin, V. I. (1996). “Sliding Modes in Control and Optimization”. [6] Ogata, K. (1998). “Ingeniería de Control Moderna”. Tercera edición. Pearson Educación. [7] Sira-Ramírez, H., Marquez, R. and Fliess, M. (2001). “Sliding Mode Control of DC-toDC Power Converters using Integral Reconstructors" Proc. European Control Conference, Portos, Portugal, September.

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