CIRCUNFERENCIA • Definición. Se llama circunferencia al conjunto de puntos de un plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. • Elementos:

• Centro. Es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia.

• Radio. Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia, se representa por R o r. • Diámetro. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El diámetro contiene a dos veces el radio. • Cuerda. Segmento que une dos puntos de la circunferencia. La máxima cuerda es el diámetro. • Secante. Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos. • Arco. Un arco es una porción de la circunferencia comprendido entre dos Puntos • Tangente. Es una recta que tiene un punto común con la circunferencia. Al punto común se le llama punto tangente.

• Flecha o Sagita. Segmento perpendicular a una cuerda en su su punto medio. • Propiedades Asociadas a los Elementos

• El radio es perpendicular a la tangente. 1

• Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes. • A arcos congruentes le corresponde cuerdas congruentes. • Un radio perpendicular a una cuerda, divide a la cuerda y al arco correspondiente en partes congruentes. • Por un punto exterior a una circunferencia sólo se puede trazar dos tangentes, estas tangentes son congruentes. • Tangentes comunes exteriores

• • Tangente comunes interiores • Definición importante y teoremas • Circunferencia Inscrita: Circunferencia inscrita en un triángulo es la circunferencia que es tangente a los tres lados. Al radio de esta circunferencia tambien se llama inradio. • La circunferencia es inscrita en el triangulo ABC. • El triángulo es circunscrito a la circunferencia. • r se llama inradio. • Cuadrilátero Circunscrito Un cuadrilátero es circunscrito a una circunferencia cuando sus cuatro lados son congruentes a dicha circunferencia. • El cuadrilátero ABCD es circunscrito a la circunferencia. • La circunferencia es inscrita en el cuadrilatero ABCD • Teorema de Poncelet En todo triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa, más el doble del radio de la circunferencia inscrita. 2

• Teorema de Pitot En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de los lados opuestos, es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados opuestos.

• Teorema de Steiner En todo cuadrilátero exinscrito a una circunferencia, la diferencia de las longitudes de dos lados opuestos, es igual a la diferencia de las longitudes de los otros dos lados opuestos. • Ángulos en la Circunferencia • Angulo central El vértice se encuentra en el centro de la circunferencia, sus lados son dos radios. La medida del ángulo central es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados. • Ángulo inscrito Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son dos cuerdas. La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados. • Ángulo seminscrito El vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son una tangente u una cuerda. La medida del ángulo seminscrito es inscrito es igual a la mitad del arco correspondiente a la cuerda. • Ángulo exinscrito Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, este ángulo es el adyacente suplementario de un ángulo inscrito. • Ángulo interior El vértice se encuentra en el interior de la circunferencia, sus lados son dos segmentos de cuerda. La medida del ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados y las prolongaciones de los lados. • Ángulo exterior Su vértice es exterior a la circunferencia, sus lados pueden ser dos secantes, una tangente y una secante o dos 3

tangentes. La medida del ángulo interior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados. EJERCICIOS • Los lados de un triángulo ABC miden AB =12, BC= 13, AC=15, la circunferencia inscrita es tangente a AB en D, a BC en E y a AC en F. calcular (AD)(BD)(CF) Solución: • En un cuadrilátero ABCD circunscrito en una circunferencia se cumple que AB=3+a, BC= 6+a CD= 10 calcular AD Solucion:

• Encontrar AD, si FC = 5, CD = 13, AE = 10

Solución:

• Encontrar x en :

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Solución:

• En el paralelogramo ABCD calcular x

Solución: • En el cuadrante de centro O calcular X

Solución: Como AO y OB son radios entonces AO=OB Entonces trazo OC que también es radio: 5

• Calcular x en:

Solución: Calculando todos los datos de la figura se tiene:

• El perímetro de un trapecio circunscrito a una circunferencia es 40, la distancia entre los puntos medios de las diagonales es 3. encontrar la longitud de la base mayor. Solución:

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• Calcular BE en :

Solución: Encontramos datos en la figura:

♦ Aplico T. de Pitot en el trapecio ABED: 12 + ED = x + x + m ED = 2x + m .(1) ♦ Aplico El T. de poncelet en el triángulo ECD 12 + m = ED + 2(2) .(2) ED = m+8 ♦ Igualo (1) y (2) ED = ED 2x + m = m + 8 x = 10 • Encontrar x en:

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Solución: Encontrando datos en la figuara:

Del triangulo ABC se tienes que 50+X = 80 X = 30 • Calcular X en:

Solución:

• El lado AD del cuadrado ABCD es el diámetro de la semicircunferencia calcular x

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Solución: extraemos datos de la figura

Calculo EC por T. de Pitágoras: EC2 = BE2 + BC2 EC = 15 Aplico T. Poncelet en el triángulo BEC:_ BE + BC = EC +2x 9 +12 = 15 +2x x=3 BIBLIOGRAFIA • MATEMATICA 4, Manuel Coveñas Naquiche Editorial Bruño AD= P−BC BE= P−AC P=(12+13+15)/2 = 20 CF= P−AB Entonces: 9

AD= 20−13= 7 BE= 20−15= 5 CF= 20−12= 8 Entonces: (AD)(BD)(CF) =7x5x8 = 280 Aplico teorema pitot: AB+CD = BC+AD 3+a+10 = 6+a+x x=7 AD = 10+8 En el triángulo OCB: 50 + x + x = 180 2x = 130 x = 64 De la figura: 50 + 2x = 180 x = 65 Según datos: • a+b+c+x=40 • (x−b)/2=3 x−b = 6 b=x−6 • Por T. de Pitot a+b = b+x . Reemplazo en perímetro a+b+c+x = 40 x= 13 Los arcos DE=FG 10

El angulo FEG = 65 Del triángulo se tiene: X +65 = 90 X=25

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