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Funciones

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70

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Funciones

Concepto de Función Una función es una correspondencia entre dos conjuntos , tal que relaciona, a cada elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto B. Para indicar que se ha establecido una función f de A en B se usa la siguiente notación:

Conceptos Básicos. Variable independiente y Variable dependiente: En la expresión , tenemos que representa a la variable independiente en la función, mientras que representa a la variable dependiente de . Dominio: El conjunto A se llama conjunto de partida o dominio, y el conjunto donde se encuentran las preimágenes de la función y representadas en la mayoría de los casos con la letra . Codominio: El conjunto B se llama conjunto llegada o codominio, el codominio es el conjunto al cual pertenecen las posibles imágenes de la función. Ámbito: El ámbito o rango es el conjunto de las imágenes, conocidas también como variables dependientes y representadas en la mayoría de los casos con la letra , el ámbito es subconjunto del codominio.

71

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Diagrama sagital

A

B Dominio: Preimágenes:

5

Codominio: Imágenes:

4

Ámbito:

Par ordenado: Son elementos de la forma5 , donde el valor de representa a una preimagen del dominio y representa una imagen del ámbito. De otro modo, los pares ordenados son elementos de la forma 6 (preimagen, imagen), los cuales se conocen como coordenadas de un punto en el plano. Gráfico: Es el conjunto cuyos elementos son todos los pares de ordenados que pertenecen a una función dada. Plano Cartesiano: Es un sistema formado por dos rectas perpendiculares (una vertical y otra horizontal), cuyo punto de intersección se llama el origen . El eje horizontal representa el dominio de una función, por ello las preimágenes se ubican en este eje (horizontal). El eje vertical representa el codominio y el ámbito de la función, de tal madera que las imágenes se encuentran en este eje (vertical).

72

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Codominio, Ámbito

Dominio

Criterio de una función. Es la formula o estructura algebraica que nos permite realizar el calculo de imágenes, pre imágenes, ámbito, dominio. Ejemplos:

Práctica Concepto 1. Analice las siguientes proposiciones: I. II. III. De ellas son verdaderas A. B. C. D.

Todas Solamente II y III Solamente I y III Solamente I

73

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2. Identifique el conjunto de pares ordenados que corresponde al gráfico de una función. A. B. C. D. 3. Identifique el conjunto de pares ordenados que corresponde al gráfico de una función. A. B. C. D. 4. Si el dominio de esa función es

es el gráfico de la función f, entonces

A. B. C. D. 5. Identifique el conjunto de pares ordenados que corresponde al gráfico de una función: A. B. C. D. 6. Para toda función se cumple que: A. B. C. D.

El ámbito es un subconjunto del dominio El dominio es un subconjunto del ámbito El ámbito es un subconjunto del codominio El codominio es un subconjunto del ámbito

74

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Funciones

7. De las siguientes gráficas

I.

II.

III.

¿Cuales representan una función real? A. B. C. D.

Solo I y II Solo I Solo II y III Solo II

8. Si el gráfico de una función

es

, entonces el ámbito de

A. B. C. D. 9. Sea

una función. Considere las siguientes proposiciones.

I. II.

es un elemento del dominio de es un elemento del codominio de

¿Cuáles de ellas son verdaderas? A. B. C. D.

Ambas Ninguna Solo la I Solo la II

75

es

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Funciones

10. Identifique el conjunto de pares ordenados que corresponde al gráfico de una función. A. B. C. D. 11. En una función definida de A en B no s e permite que dos elementos distintos de B sean imagen de un A. B. C. D.

Único elemento de A Par de elementos de A Único elemento de Único elemento de

Cálculo de imágenes. Para calcular imágenes se sustituye la preimagen dada por la variable, en el criterio de la función. Ejemplo: Si

, encuentre la imagen de

Procedimiento:

Cálculo de Preimágenes Para calcular preimágenes se iguala el criterio de la función a la imagen dada y se despeja la variable. Ejemplo: Calcule la preimagen de – , si la función

76

esta definida por

.

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Funciones

Práctica Cálculo de Imágenes y Preimágenes 12. Si a:

con

, entonces el grafico de

A. B. C. D.

13. Si “g” es una función y

,

es la imagen de

A. B. C. D. 14. Para la función dada por

, la imagen de

A. B. C. D.

77

es

corresponde

Colegio Universitario Boston 15. Para la función dada por

Funciones , la preimagen de

es

A. B. C.

D.

16. Para la función dada por

, un valor para el cual

A. B. C. D. 17. Si

, entonces

es igual a

18. Para la función dada por

,

A. B. C. D.

A. B. C. D.

78

es la preimagen de

2 es

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Funciones

19. Para la función dada por

, la imagen de

es

A. B. C. D. 20. Para la función dada por

, la preimagen de

es

A. B. C. D.

21. Para la función dada por

, la imagen de

es

A. B. C. D. 22. Sea

la función dada por

, la preimagen de

A. B. C. D.

79

es

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Funciones

23. Para la función dada por

,

es la preimagen de

A. B. C. D.

24. La imagen de

en la función

corresponde a

A. B. C. D.

25. Si

es una función y

, entonces la imagen de

A. B.

C. D.

80

es

Colegio Universitario Boston 26. Para la función dada por

Funciones ,

es la preimagen de

A. B. C. D. 27. Para la función dada por siguientes proposiciones

dada por

, considere las

I. El ámbito de f es II.

es un elemento del ámbito de

¿Cuáles de ellas son verdaderas? A. B. C. D.

Ambas Ninguna Solo la I Solo la II

28. Para la función dada por expresión ? A. B. C. D.

29. Si

, ¿cual es el valor numérico de la

18 54 -18 -54

es una función con

, entonces la imagen de

A. B. C. D. 81

es:

Colegio Universitario Boston 30. Si

Funciones

, entonces

es igual a:

A. B. C. D. 31. Analice las siguientes proposiciones con respecto a la función I. II.

es la preimagen de es la preimagen de

.

.

De ellas con certeza, ¿Cuáles son las verdaderas? A. B. C. D. 32. Si

Ambas Ninguna Solo la I Solo la II Z con

, entonces el grafico de

corresponde a:

A. B. C. D.

33. Dada la función

, la preimagen de 1 es:

A. B. C. D.

34. Si

es una función dada por

, entonces

A. B. C. D. 82

es

Colegio Universitario Boston 35. Si

Funciones

es una función dada por

, entonces

es preimagen de

A. B. C. D. 36. Si f es una función dada por

, entonces la preimagen de

es

A. B. C. D. 37. Para la función imagen de es

dada por

, si

es una constante, entonces la

A. B. C. D. 38. Sea f una función dada por

, Considere las siguientes

proposiciones. I. II. ¿Cuáles de ellas son verdaderas? A. B. C. D.

Ambas Ninguna Solo la I Solo la II

83

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Funciones

39. Para las funciones f y g cuyos criterios son respectivamente, se cumple que

y

A. B. C. D. 40. Para la función f dada por

, la imagen de

es

A. B. C. D.

41. Para la función

con

numérico de la expresión

entonces ¿cual es el valor

?

A. B. C. D. 42. Para la función

cuyo criterio es

, ¿Cuál es la imagen de

A. B. C. D.

84

?

Colegio Universitario Boston 43. Si

Funciones entonces la preimagen de

es igual a:

A. B. C. D.

Calculo de Dominios y Ámbitos 44. Si corresponde a

, tal que

, entonces el ámbito de la función

A. B. C. D. 45. Para la función el dominio es

con

, si el ámbito es

entonces

A. B. C. D. 46. Sea

con dominio

entonces el ámbito de

A. B. C. D.

85

es

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Funciones

47. Si el ámbito de la función

es

entonces su dominio es

A. B. C. D. 48. Si el ámbito de la función es

es

entonces el dominio

A. B. C. D.

49. Si

y

entonces el ámbito de

es

A. B. C. D. 50. Si el dominio de la función

es

A. B. C. D.

86

entonces el ámbito de

es

Colegio Universitario Boston

Funciones

51. Si el ámbito de la función

es

entonces su dominio es

A. B. C. D.

52. Si

, entonces el ámbito de

es

A. B. C. D.

53. Si

, entonces el ámbito de

es igual a:

A. B. C. D.

Dominio máximo de una función El domino máximo de una función, es el conjunto de todos los números reales para los cuales la función se encuentra definida. Para determinar el dominio máximo, debemos tener en cuenta dos restricciones que se presentan en el conjunto de los números reales:

1.

La división entre cero, o bien, una fracción que tenga como denominador al número cero, no esta definida en el conjunto de los números reales. 87

Colegio Universitario Boston 2.

Funciones

En una expresión radical de índice par, el subradical nunca podrá tomar un valor negativo, ya que este tipo de expresión no esta definida en el conjunto de los números reales.

Para realizar el cálculo del dominio máximo de una función, dividiremos su estudio en casos para facilitar la compresión del mismo.

Cálculo del dominio máximo Caso 1: Función polinomial. En este caso el domino máximo de una función polinomial es el conjunto de los numero reales ya que un polinomio nunca se indefine. Ejemplos.

Caso 2: Función racional (fraccionaria). En este caso debemos igualar el denominador a cero, y resolver la ecuación que quede indicada, ya sea lineal, cuadrática y cúbica. El dominio máximo se planteará de la siguiente forma donde son las soluciones que tenga la ecuación.

,

Nota: si la función en el denominador no tiene variables, entonces decimos que el dominio máximo son los números reales.

88

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Funciones

Ejemplos Encuentre el dominio máximo de las siguientes funciones fraccionarias: 1. Tomamos el denominador de la expresión y lo igualamos a cero

Resolvemos la ecuación que queda indicada.

Planteamos la respuesta.

2. Tomamos el denominador de la expresión y lo igualamos a cero

Resolvemos la ecuación que queda indicada.

y Planteamos la respuesta.

89

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Funciones

3. Tomamos el denominador de la expresión y lo igualamos a cero

Resolvemos la ecuación que queda indicada.

,

y

Planteamos la respuesta.

Caso 3: Función radical. a. Función con raíz impar. Si el criterio de la función es solamente una raíz impar, su dominio máximo es siempre los números reales, ya que la raíz impar de un número negativo si existe.

Ejemplos.

Si la función tiene como ecuación una raíz impar en el denominador, debemos igualar a cero, el subradical de la expresión y resolver la ecuación que quede indicada. El dominio máximo se escribe , en donde son las soluciones de la ecuación.

90

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Funciones

Ejemplos. Encuentre el dominio máximo de las siguientes funciones radicales: 1. Tomamos el subradical presente en el denominador de la expresión y lo igualamos a cero

Resolvemos la ecuación que queda indicada.

y Planteamos la respuesta.

2. Tomamos el subradical presente en el denominador de la expresión y lo igualamos a cero

Resolvemos la ecuación que queda indicada.

Planteamos la respuesta.

91

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Funciones

b. Función con raíz par. Si el criterio de la función es un radical cuyo índice es par, entonces debemos tomar el subradical, plantear y resolver una inecuación con la expresión de mayor e igual cero , esto si el radical se encuentra el numerador de la expresión. Si el radical se encuentra en el denominador se plantea la inecuación con la expresión de mayor a cero , y resolvemos la inecuación. Es de suma importancia recordar que la solución de una inecuación es un conjunto numérico conocido como intervalo. Ejemplos. Encuentre el dominio máximo de las siguientes funciones radicales: 1. Tomamos el subradical de la expresion y planteamos la inecuacion.

Resolvemos la inecuación tomando en cuenta su procedimiento.

De esto tenemos que:

2. Tomamos el subradical de la expresion y planteamos la inecuacion.

Resolvemos la inecuación tomando en cuenta su procedimiento.

92

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Funciones

De esto tenemos que:

3. Tomamos el subradical de la expresion y planteamos la inecuacion.

Resolvemos la inecuación tomando en cuenta su procedimiento.

De esto tenemos que:

Tomamos el subradical de la expresion y planteamos la inecuacion.

Resolvemos la inecuación tomando en cuenta su procedimiento.

De esto tenemos que:

93

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Funciones

Práctica Calculo de Dominio Máximo 54. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por

?

A. B. C. D. 55 ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por

?

A. B. C. D. 56 ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por

?

A. B. C. D. 57. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por A. B. C. D.

94

?

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Funciones

58. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por

?

A. B. C. D. 59. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por

?

A. B. C. D.

60. El dominio máximo de la función dada por

es

A. B. C. D.

61. Si

es una función,

¿Cuál es el dominio máximo de

A. B. C. D.

95

?

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Funciones

62. La función cuyo criterio es

tiene por dominio máximo a

A. B. C. D. 63. El dominio máximo de la función dada por

es

A. B. C. D.

64. El dominio máximo de la función dada por

es

A. B.

C. D.

65. Para la función dada por

el dominio máximo de

A. B. C. D.

96

es

Colegio Universitario Boston 66. La función dada por

Funciones tiene por dominio máximo a

A. B. C. D. 67. En la función f cuyo criterio es

el dominio máximo es

A. B. C. D.

68. El dominio máximo de la función dada por

es

A. B. C.

D.

69. El dominio máximo de la función f dada por A. B. C. D.

97

es

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Funciones

70. El dominio máximo de la función f dada por

es

A. B. C. D. 71. El dominio máximo de la función

dada por

es

A. B. C. D. 72. El dominio máximo de la función f dada por

es

A. B. C. D. 73. Si “a” es una constante, entonces el dominio máximo de la función f dada por es

A. B. C. D.

98

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Funciones

74. ¿Cuál es el dominio máximo de

?

A. B. C. D. 75. Analice el dominio máximo de las siguientes funciones:

El

pertenece al dominio máximo de: A. B. C. D.

76. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por

?

A. B. C. D. 77. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por A. B. C. D. 99

?

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Funciones

78. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por A. B. C. D.

79. De las siguientes proposiciones: I. II.

De estas, ¿Cuáles con certeza son verdaderas? A. B. C. D.

Ambas Ninguna Solo I Solo II

80. El dominio, máximo de

es el conjunto:

A. B. C. D.

100

?

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Funciones

81. De las siguientes funciones de variable real: I. II. III. ¿Cuáles de ellas tienen el mismo dominio máximo? A. B. C. D.

Todas Ninguna Solo I y III Solo I y II

82. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por

?

A. B. C. D. 83. ¿Cuál es el dominio máximo de la función dada por

?

A. B. C. D. 84. El dominio máximo de la función f dada por A. B. C. D.

101

es

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Funciones

85. Analice el dominio máximo de las tres funciones siguientes:

;

;

¿Cuál es el número entero que indefine a las tres funciones? A. B. C. D. 86. El dominio máximo de la función f dada por

es

A. B. C. D.

87. El dominio máximo de la función f dada por

es

A. B. C. D. 88. El dominio máximo de la función f dada por A. B. C. D.

102

es

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Funciones

89. El dominio máximo de la función f dada por

es

A. B. C. D.

90. Si f es una función con

, entonces el máximo dominio de

es

A. B. C. D.

91. Si f es una función con

, entonces el dominio máximo de f es

A. B. C. D. 92. El dominio máximo de la función f dada por A. B. C. D.

103

es

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Funciones

93. Si f es una función con

, entonces el máximo dominio de

es

A. B. C. D.

Análisis de Gráficas El realizar el análisis de la gráfica de una función consiste en determinar las características que hacen particular a cada función, por ejemplo conocer su dominio y su ámbito, o su monotonía, es decir donde la función es creciente, decreciente, constante, también los intervalos donde la función es positiva o negativa, además de su intersección o intersecciones con el eje y su intersección con el eje . Para realizar el estudio de la grafica de una función esta debe leerse de izquierda a derecha con respecto al eje de las , con respecto a este eje podemos conocer el dominio, la monotonía, la o las intersecciones con , donde la función es positiva o negativa, además de conocer las preimágenes. Los intervalos de monotonía se dejaran abiertos. Por otra parte si se realiza en el eje , el estudio debe hacerse de abajo hacia arriba, y de este podemos obtener el ámbito, las imágenes y la intersección con el eje.

104

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Funciones

Ejemplo. 1.

y 2 1 -2

-1

-1

1

2

-2

La imagen de La preimagen La imagen La preimagen

es . es

.

es . es .

105

x

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Funciones

Práctica Análisis de Gráficas 94. De acuerdo con la gráfica, la preimagen de 1 de acuerdo con la gráfica:

A. B. C. D.

95. De acuerdo con los datos de la gráfica, 1 es la imagen de:

A. B. C. D.

96. De acuerdo con los datos de la gráfica, es verdadero que: A.

es la preimagen de

B.

es la imagen de

C.

es la preimagen de

D.

es la imagen de

106

Colegio Universitario Boston

Funciones

97. En la gráfica de la función anterior

es la preimagen de:

A. B. C. 0 D. De acuerdo con los datos de la gráfica de la función , conteste los ítems 98, 99.

98. El ámbito de

es el conjunto:

A. B. C. D. 99. La función es creciente en el intervalo: A. B. C. D. 100. De acuerdo con los datos de la gráfica, 3 es la preimagen de A. B. C. D.

107

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Funciones

101. El dominio de la función representada en la gráfica corresponde a y 2

A. B. C. D.

-2

-1

1

2

3

102. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función corresponde a 2

A. B.

-3

-2

-1

1

C.

-2

D.

-3

2

3

103. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función

es

y 7

A. B. C. D.

2 -8 -2

-6

1 -4

108

3

5

x

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Funciones

104. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función

es

y

A. 8

B. C. D.

2 -5 4

-1

x

6

105. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función y a

corresponde

2 f

A. B. C.

x

-2

D.

106. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de

es

y

A. 3

B. C. D. f -2

109

4

x

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Funciones

107. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de “f” es y

f

A.

2 2

B. -3

C.

-2

6

D.

x

-5

108. ¿Cuál grafica puede representar el gráfico de una función con dominio y

y

I.

II. x

x

III.

?

y

y

IV.

x

x

109. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función “f” es y

A. B.

3

C.

f -4

D.

110

x

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Funciones

110. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito o rango de la función “f” es y

2 f

A. B. -2

C.

-1

1

2

x 3

-1

D.

111. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función “f” es y

A.

3

B.

f 4 x

C.

-3

-2

-1

1

3

D. -1

112. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función “f” es y 2 f

A. B. C.

-3

-2

-1

D.

111

1

2

3

x

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Funciones

113. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función “f” corresponde a y 3

A. 2

B. C.

x

D.

2

-1

3

4

-2

114. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función “f” es y creciente es 3 f

A. B. C.

-2

-1

1

2 x

D.

115. De acuerdo con los datos de la figura, un intervalo en que la función “f” es creciente es y 2

A. B. C.

-2

-1 1

D.

-2

112

2

x

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Funciones

116. Considere la siguiente gráfica, De acuerdo con los datos de la gráfica de la función dada, ¿Cuál es el dominio de la función? y 4

A. B.

1

C. D.

-1

1

2

x

3

117. De acuerdo con datos de la gráfica, un intervalo en que la función “f” es y estrictamente decreciente es A. 6

B. C.

2

D.

1 -2

-1

2

-1

x f

118. De acuerdo con datos de la gráfica, el dominio de la función “f” es y

2

A.

f

B. C. D.

-2

-1

113

1

3

x

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Funciones

119. De acuerdo con los datos de la grafica, un intervalo en que la función “f” es estrictamente creciente es y

4

A. B. C.

-3

1

D.

x

f

-1

120. Considere las siguiente gráfica de una función y 2

f

-2

1

2

x

3

De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función es A. B. C. D. 121. La gráfica representa la función “f”. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función “f” es creciente corresponde a y 4 3

A.

2

f

B. C.

3

D.

114

4

x

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Funciones

122. La gráfica representa de la función “f”. De acuerdo con los datos de la gráfica, y se cumple que A. B. C. D.

2 f 1 -3

123. La gráfica representa de la función considere las siguientes proposiciones.

II.

-2

-1

x 1 1

2

3

De acuerdo con los datos de la gráfica,

I. El cero tiene dos preimágenes El uno es un elemento del ámbito de “f”.

De ellas ¿Cuáles son Verdaderas?

A. Ambas B. Ninguna C. Solo la I D. Solo la II 124. La gráfica representa de la función “f”. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función “f” es

A. B. C. D.

115

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Funciones

125. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, el dominio de la función “ corresponde a

A. B. C. D.

126. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, la imagen de corresponde a A. B. C. D. 127. De acuerdo con los datos de la grafica.

El dominio de la función corresponde a: A. B. C. D.

116

en “

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Funciones

128. De acuerdo con los datos de la grafica.

La función es estrictamente decreciente en el intervalo: A. B. C. D.

129.De acuerdo con los datos de la gráfica de la función.

-2 La función es creciente en el intervalo dado por: A. B. C. D.

117

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Funciones

130. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, la función “ decreciente en el siguiente intervalo:

es

A. B. C. D.

131. De acuerdo con los datos de la gráfica de la función, intervalo:

en el siguiente

A. B. C.

4

D.

132. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, un intervalo donde corresponde a: A. B. C. D.

118

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Funciones

De acuerdo con los datos de la grafica de la función , conteste los ítems 124, 125,126, 127.

124. El dominio de la función es: A. B. C. D.

125. La función tiene su parte constante en: A. B. C. D.

126. La preimagen de -1 es: A. B. C. D.

119

Colegio Universitario Boston 127. La imagen de A. B. C. D.

Funciones

es la siguiente:

3 -1 4 -2

De acuerdo con los datos de la grafica de la función , conteste los ítems 128, 129, 130.

128. El dominio de

es el conjunto:

A. B. C. D.

129. Para la función dada se cumple que

que pertenece a:

A. B. C. D.

120

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Funciones

130. La función es creciente en el intervalo: A. B. C. D.

121