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Polígono regular. Clasificación , elementos, áreas.

Identifica las clasificacione s de los polígonos regulares

Power Point: clasificación y elementos de los polígonos regulares. Video: área de los polígonos regulares (http://www.youtube.com/watch?v=B9nIjZgvl uk)

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Polígono regular En geometría, se le llama polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son congruentes entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente; para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, ...). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.1

Elementos de un polígono regular

        

Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono. Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices. Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono. Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos. Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno. Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro. Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio de un arco de circunferencia y cuerda.

Ángulo interior El ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula: (n-2) × 180° / n Por ejemplo el ángulo interior de un octágono (8 lados) es: (8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135° Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 = 2×180°/4 = 90°

Ángulo exterior Los ángulos exterior e interior se miden sobre la misma línea, así que suman 180°. Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente 180° - ángulo interior El ángulo interior de este octágono es 135°, así que el ángulo exterior es 180°-135° = 45° El ángulo interior de un hexágono es 120°, así que el ángulo exterior es 180°-120° = 60°

Diagonales Todos los polígonos (menos los triángulos) tienen diagonales (líneas que van de un vértice a otro, pero que no son lados). El número de diagonales es n(n - 3) / 2. Ejemplos:  

un cuadrado tiene 4(4-3)/2 = 4×1/2 = 2 diagonales un octágono tiene 8(8-3)/2 = 8×5/2 = 20 diagonales

(Nota: esto vale para polígonos regulares e irregulares)

Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema "Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema ... " Suena musical si lo repites unas cuantas veces, pero sólo son los nombres de los círculos "exterior" e "interior" (y sus radios) que se pueden dibujar en un polígono regular, así: La circunferencia "exterior" se llama circunscrita (a veces también "circuncírculo"), y conecta los vértices del polígono. La circunferencia "interior" se llama inscrita (a veces también "incírculo"), y toca cada lado del polígono en el punto medio. El radio de la circunferencia circunscrita es también el radio del polígono. El radio de la circunferencia inscrita es el apotema del polígono.

Fórmulas Si tomamos un "sector" de un polígono regular de "n" lados y lo cortamos por la mitad, tenemos un triángulo pequeño que contiene toda la información importante:

(Nota: los ángulos son en radianes, no en grados)

El triángulo pequeño es rectángulo así que podemos usar seno, coseno y tangente para ver las relaciones entre el lado, el radio, el apotema y "n": sin(π/n) = (Lado/2) / Radio

Lado = 2 × Radio × sin(π/n)

cos(π/n) = Apotema / Radio

Apotema = Radio × cos(π/n)

tan(π/n) = (Lado/2) / Apotema

Lado = 2 × Apotema × tan(π/n)

Hay muchas más relaciones como estas (casi todas son "reordenamientos"), pero con estas nos vale por ahora.

Área Ahora es fácil calcular el área... ¡sólo sumar las áreas de todos los triángulos! El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, así que: Área del triángulo pequeño = ½ × Apotema × (Lado/2) Y sabemos (por la fórmula con "tan" de arriba) que: Lado = 2 × Apotema × tan(π/n)

Así que:

Área del pequeño

triángulo = ½ × Apotema × (Apotema × tan(π/n)) = ½ × Apotema2 × tan(π/n)

Y hay dos triángulos por lado, o sea 2n en todo el polígono: Área del polígono = n × Apotema2 × tan(π/n) ¡La verdad es que es una fórmula muy simple!

Tabla de valores Podemos usar las fórmulas para hacer una tabla con los lados, apotemas y áreas de varios polígonos, usando un valor del radio igual a "1": Nombre

Triángulo (o trígono) Cuadrilátero (o tetrágono)

Lados Ángulo Figura Radio Lado Apotema (n) interior

Área

3

60°

1

1.732... (√3)

4

90°

1

1.414... 0.707... (√2) (1/√2)

2

Pentágono

5

108°

1

1.176... 0.809...

2.378...

Hexágono

6

120°

1

Heptágono (o septágono)

7

128.571°

1

0.868... 0.901...

2.736...

Octágono

8

135°

1

0.765... 0.924...

2.828... (2√2)

172.8°

1

0.126... 0.998...

3.133...

... Pentacontágono 50

1

0.5

1.299... (¾√3)

0.866... 2.598... (½√3) ((3/2)√3)

Gráfico Y este es un gráfico de la tabla, con el número de lados ("n") de 3 a 30. Fíjate en que cuando "n" crece, el apotema tiende a 1 (igual al radio) y el área tiende a π = 3.1416..., como una circunferencia. ¿A qué tiende el lado?

Actividad 1 Lee la información de polígonos regulares del PDF y el pawer point, y luego realiza las siguientes actividades: 1. Define los polígonos regulares. 2. ¿En que se clasifican los polígonos regulares? 3. ¿Cuáles son los elementos de los polígonos regulares? 4. ¿Clasificación de los ángulos de los polígonos regulares? 5. ¿Cuáles son las líneas poligonales? 6. Define: Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema Actividad 2 Luego de ver el video de la siguiente página: (http://www.youtube.com/watch?v=B9nIjZgvluk) resuelve

los ejercicios: 1- Hallar el perímetro de un polígono regular de 25 lados, si cada lado mide 8 cm. 2- Hallar el área de un triángulo con una base de 3.5 m y una altura de 2m.

3- Calcula el área de los siguientes polígonos regulares expresando el resultado en decámetros, metros, decímetros, centímetros y milímetros:

Lado: 5 cm

lado: 8m

Evaluación: Define:  Polígonos regulares:  Polígono inscripto y circunscripto: Cita.  Elementos de polígono regular  Clasificación de los polígonos regulares Parea A- Cóncavo

Todos sus ángulos interiores son menores de 180º.

B-convexo

Algunos de sus ángulos interiores son mayores de 180º

Algunos de sus ángulos interiores son iguales a 180º

Resuelve  Se tiene que embaldosar el patio interior de un edificio con baldosas cuadradas de 30 cm de lado. El patio es rectangular y sus medidas son 10 m por 12 m. ¿Cuántas baldosas se necesitarán?  Un rollo de tela de 2 m de ancho se ha usado para cortar 1050 pañuelos cuadrados de 20 cm de lado. ¿Qué longitud de tela había en el rollo si no ha faltado ni sobrado tela?