Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´etrica Sergio Castillo P´aez (UVIGO, ESPE)

´ II CONFERENCIA DE MATEMATICOS ECUATORIANOS Par´ıs, Abril 2016

Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

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Indice 1

Introducci´on Modelo geoestad´ıstico Objetivos principales Enfoque param´etrico y no param´etrico

2

Estimaci´ on no param´etrica de la tendencia Estimador lineal local multivariante Selecci´on de la ventana

3

Estimaci´ on no param´etrica de la dependencia Estimaci´on NP del variograma

4

Inferencias sobre el proceso espacial

5

Nuevas contribuciones Selecci´on de ventana para estimaci´ on lineal local M´etodo Bootstrap No Param´etrico Mapas de riesgo geoestad´ıstico no param´etrico Estimaci´on NP en procesos espaciales heteroced´asticos Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

2 / 21

Un ejemplo introductorio concentración de zinc (ppm)

333000

332000

331000

330000

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●

[113,197.4] (197.4,344.9] (344.9,602.5] (602.5,1053] (1053,1839]

● ● ● ● ●

●

● ●

179000

●

● ●

●

179500

180000

180500

181000

Figura 1. Concentraci´ on de zinc medida sobre la superficie de las riberas del r´ıo Meuse (Pebesma, 2004) Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

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Modelo geoestad´ıstico

 Proceso espacial: Y (x), x ∈ D ⊂ Rd , con dominio D continuo. Modelo: Y (x) = µ(x) + ε(x),

(1)

µ(·) funci´ on tendencia (determin´ıstica). ε(·) proceso de error estacionario de segundo orden, de media cero y covariograma: C (u) = Cov (ε (x) , ε (x + u))

Usualmente, la dependencia se modela a trav´es del variograma: 1 γ(u) = Var (ε (x) − ε (x + u)) 2

Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

(2)

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Objetivos principales

A partir de n valores observados Y = (Y (x1 ), . . . , Y (xn ))t , puede interesar: Estimar la tendencia del proceso: µ ˆ(·) Obtener la dependencia estimada: γˆ (·) Realizar inferencias sobre el proceso espacial: Predicciones en regiones no observadas: Yˆ (x0 ). Intervalos de confianza para µ(·) y γ(·). Mapas de riesgos: P(Y (x0 ) ≥ c).

Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

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Enfoque param´etrico y no param´etrico Enfoque param´etrico tradicional:

330000

●● ●● ● ●● ●● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● +● +● ●● ● ● ● ● ● ● ● +● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● + +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + +● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● + + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● + ● ●● ● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● + +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ● ● ● +● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + + ● ● ● ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + + ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● ● ● ● ● ● ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ++ + +● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● +● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + +● +● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● + +● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● +● +● ●● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● ● ●● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● + ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + + + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● + + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + + + + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + + ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● +● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + +● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● + +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + + +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● + +● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + + +● +● +● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● + ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + ++ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● + + ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● +● ●● ● ● ● ● ● ● + +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● + +● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + + + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● + +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + +● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●●●●

(b) Estimación paramétrica del Variograma

●

0.25

● ●

●

●

6.5 ●

0.20

●

● ●

●

●

6.0 ●

5.5

semivariance

331000

y

332000

333000

(a) Predicción paramétrica de la tendencia

0.15

● ●

0.10 ●

5.0

0.05

4.5

178500 179000 179500 180000 180500 181000 181500 500

x

1000

1500

distance

Figura 2. (a) Predicci´ on param´etrica de la tendencia de Log(Zinc) tomando como variable explicativa la ra´ız cuadrada de la distancia al r´ıo, y (b) Estimaci´ on param´etrica del variograma de los residuos a partir de un modelo Exponencial Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

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Enfoque param´etrico y no param´etrico

Enfoque no param´etrico: No est´an expuestos a problemas de mala especificaci´on . Obtienen estimaciones m´as flexibles. De utilidad en inferencia param´etrica y facilitan la selecci´on de un modelo. Requieren la selecci´ on de un par´ametro de suavizado (ventana). Se propone utilizar el estimador lineal local por sus propiedades te´oricas (reducci´ on efecto frontera) y son m´as f´aciles de implementar (paquete npsp de R).

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Estimaci´on NP de la tendencia Estimador lineal local multivariante:

Se obtiene por suavizado lineal de los datos (xi , Y (xi )), tal que: µ ˆH (x) = et1 Xtx Wx Xx


−1

Xtx Wx Y = sxt Y,

(3)

e1 = (1, 0, .., 0)t . Xx matriz cuya i-´esima fila es (1, (xi − x)t ). Wx = diag {KH (x1 − x), . . . , KH (xn − x)} , KH (u) = |H|−1 K (H−1 u), donde K es una funci´ on tipo n´ ucleo d-dimensional. H es una matriz definida positiva de orden d, y representa el par´ametro de suavizado o ventana.

Matriz de suavizado S: matriz n × n con sxti en la fila i tal que: ˆ = SY. Y Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

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Criterios para selecci´on de la ventana Validaci´on cruzada tradicional (VC), suponiendo independencia: n

1X CV (H) = (Y (xi ) − m ˆ −i (xi ))2 n i=1

siendo m ˆ −i (xi ) la estimaci´ on obtenida eliminando el dato i. VC generalizada con correcci´ on de sesgo para dependencia (Francisco-Fern´andez y Opsomer, 2005): n

1X CGCV (H) = n i=1

Y (xi ) − m(x ˆ i) 1 1 − n tr (SR)

!2

siendo R la matriz de correlaciones (estimada).

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Influencia de la ventana en la estimaci´on NP (b) Estimación de la tendencia bajo dependencia

(a) Estimación de la Tendencia bajo independencia

7.0 333

333

8

6.5

5

332

Northing (km)

6.0

5.5

331

332

6

331

Northing (km)

7

5.0

4.5 330

330

4

179.0

179.5

180.0

180.5

181.0

179.0

179.5

Easting (km) (120x120)

180.0

180.5

181.0

Easting (km) (120x120)

Figura 3. (a) Estimaci´ on NP de la tendencia de Log(Zinc) con ventana H = diag (0,5329, 0,5683) bajo independencia y (b) Estimaci´ on NP de la tendencia de Log(Zinc) con ventana H = diag (1,0945, 1,5631) bajo dependencia de los datos.

La matriz ventana H controla el grado de suavizado de la estimaci´on lineal local. Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

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Estimaci´on NP del variograma Se realiza a partir de los residuos: r (xi ) = Y (xi ) − µ ˆ(xi ). Si la media se supone constante: r (xi ) = Y (xi ) Puede verse como un caso particular de regresi´ on: 1 γ(u) = E(ε(x) − ε (x + u))2 2 La estimaci´on se puede obtener por suavizado lineal utilizando (3) sobre los datos (||u||, 12 (r (x) − r (x + u))2 ), usando una ventana seleccionada por VC. Estos estimadores no son condicionalmente definido-negativos (no es factible realizar predicciones kriging), por lo que se debe ajustar un modelo de variograma v´alido. Modelo ”no param´etricos”de Shapiro - Botha (paquete npsp). Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

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Correcci´on del sesgo de variograma

0.5

0.6

Nonparametric bias−corrected semivariogram and fitted models

●

●

●

●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

●

0.4

● ● ● ● ● ●

0.3

semivarianzas

●

● ● ●

0.2

● ● ● ●

0.1

● ●

0.0

corregido sesgado 0.0

0.5

1.0

1.5

distancias

Figura 4. Variograma sesgado y corregido de los residuos estimados luego de eliminar la tendencia del Log(Zinc).

La correcci´on del sesgo se realiza mediante un proceso iterativo basado en la relaci´on: Σr = Σ + SΣSt − ΣSt − SΣ, siendo Σr la matriz de covarianza de los residuos. Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

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Inferencias sobre el proceso espacial

330000

331000

y

332000

333000

Predicción paramétrica por kriging universal ●● ●● ● ● ● +● ● ● ● ●● ●● ● ●● ●● ● +● +● ●● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ● ●● ● +● +● ● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ●● ● +● +● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● ● ●● ● ●● ● +● +● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● + ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● +● +● ●+ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ● +● +● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ●● ●● ●● ●● ●+ ●● ●● ●● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● +● +● ●● ● ● ● ● + ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ++ + + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ● ● + +● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● +● +● +● ●● ● ● ● ● ●● ● ●● ●● ● ●● ●● ● ● ●● ●● ● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● +● ● ● + +● +● ●● ●● ● ● ●● ● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● + + +● +● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ●● ●● ●● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ●● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ●● ●● +● +● ● +● ●● ● ●● ●● ● ● ● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● ●● ●+ ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● +● +● +● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● ●+ ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ●+ ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ●● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● +● +● ● ●● ●+ ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●+ ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ●● ● ● ● ●● ●● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● + ● ● ● +● ● ● ●● ●+ ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●+ ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● +● +● +● +● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ● ● ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● + ● ● +● ● ●● ●+ ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●●● +● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●+ ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ● ● ●● ●● + + +● ● +● ●● ● ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● ● ● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ● ● + + + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● +● +● ● ● ● ● ● ● +● +● +● ●● ● ●● ● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ● ●● ●+ ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● +● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● + ● ●● ● ● ● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ● ● ● ●● ●+ ●● ●● ●● ● ●● ● ● ●● ● ● ●● ●● ● ● +● +● +● +● ●● ●● ●● ● ● ● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● +● +● +● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ●● ●● ●● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ●● ●● +● +● +● +● +● ● +● +● +● ●● ●● ● ●● ● ● ●● ● ●● ● ●● ● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● +● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ++ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● ● ●+ ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● +● +● +● ●● ● ● ● ● ● + +● ●● ● ●● ● ●● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● +● +● +● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● +● +● +● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ● ● ●● ● ● ●● ● ●+ ●● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●+ ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● + +● ● ● ● +● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●● ●●●●●●● ●● ●●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● +● +● ●● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ●● ●● ●● ● ● ● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● +● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●● ●● ● +● + ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● +● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● +● ● ● ● +● ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ● ● ●● ● ●● ●● ●● ●● + + ● ● ● ● ● ● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ●●●● +● ● ● +● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●● ●● ● ●● ●● ●●● ● ● ● ● ●●●●●●●●● 178500

179000

179500

180000

180500

181000

7.5

7.0

6.5

6.0

5.5

5.0

181500

x

Figura 5. Predicci´ on de Log(Zinc) mediante kriging no param´etrico.

Se pueden construir predicciones, intervalos de confianza, mapas de riesgo, etc. Aplicaciones en miner´ıa, monitoreo ambiental, procesamiento de im´agenes satelitales, meteorolog´ıa, etc. Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

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Nuevos criterios para la selecci´on de ventana

Propuestas para seleccionar H del estimador lineal local de la tendencia de un proceso espacial (Fern´andez-Casal, Castillo-P´aez y Garc´ıa-Soid´an, 2016): n

CCV (H) =

2 1X (Y (xi ) − m ˆ −i (xi ))2 + tr (S−N1 Σ) n n i=1

o m´as generalmente: n


2 2 1X CMCV (H) = Y (xi ) − m ˆ −N(i) (xi ) + tr (S−N Σ) n n i=1

para alg´ un vecindario N y siendo Σ la matriz de covarianzas de Y.

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M´etodo Bootstrap No Param´etrico (NPB) Realizar inferencias sobre la variabilidad del estimador lineal local del variograma de un proceso espacial con y sin tendencia. Proponer un m´etodo bootstrap, basado en la descomposici´on de Cholesky de la matriz de covarianzas Σ = LLt . 1

A partir de una ventana H, obtener el estimador lineal local de la ˆ = SY. tendencia, tal que: Y

2

Calcular los residuos r = Y − SY y estimar el variograma sesgado γˆ (u)

3

ˆ r y Lr ajustando un Modelo Shapiro - Botha a γˆ (u). Obtener Σ

4

ˆ r para as´ı obtener Σ ˆ y L. Corregir el sesgo de Σ

5

Generar e∗ por remuestreo independiente de e = L−1 r r.

6

Construir la muestras bootstrap Y∗ = SY + r∗ , donde r∗ = Le∗ .

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M´etodo Bootstrap No Param´etrico (NPB) Variogramas NP est. variog. correct. variog. IC (95%) - NPB

0.5

0.6

●

●

●

●

●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

●

0.4

●

0.3

semivarianzas

● ● ● ● ● ● ● ● ●

0.2

● ● ● ●

0.1

●

0.0

●

0.0

0.5

1.0

1.5

distancias

Figura 6. Intervalo de confianza al 95 % para el estimador lineal local del variograma de los residuos de datos ”meuse”, utilizando el NPB.

Estudios num´ericos muestran que el NPB conduce a mejores resultados que otros m´etodos bootstrap como el MBB o SPB (Castillo-P´aez, S., Fern´andez-Casal, R., y Garc´ıa-Soid´an, P., 2016). Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

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Mapas de riesgo geoestad´ıstico no param´etrico A partir del NPB es factible contruir mapas de riesgo basados en la predicci´on kriging. Se estima a partir de la probabilidad de que la variable Y exceda un valor cr´ıtico c en un ubicaci´ on espec´ıfica x0 : rc (x0 ) = P (Y (x0 ) ≥ c) . El proceso propuesto por Fern´andez-Casal, R., Castillo-P´aez, S., y Francisco-Fern´andez, M. (2016), implica: 1

2

3

Aplicar el m´etodo NPB para construir B r´eplicas bootstrap Y ∗ (xi ), i = 1, . . . , n del proceso espacial original. Obtener la predicci´ on kriging Yˆ ∗ (x0 ) en cada localizaci´on no muestreada x0 a partir de cada muestra bootstrap. El mapa para rc (x0 ) se construye mediante las frecuencias observadas en las que Yˆ ∗ (x0 ) ≥ c. Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

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Mapas de riesgo geoestad´ıstico no param´etrico Threshold = 6

333

1.0

332

0.8

x2

0.6

331

0.4

0.2

330

0.0

179.0

179.5

180.0

180.5

181.0

x1

Figura 7. Mapa de probabilidad estimada de observar una concentraci´ on de log(zinc) mayor o igual a un valor cr´ıtico de c = 6,0 ppm.

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Estimaci´on NP en procesos espaciales heteroced´asticos Se considera el modelo: Y (x) = µ(x) + σ(x)ε(x), µ(·) funci´ on tendencia, σ(·) funci´ on varianza (determin´ısticas). ε(·) proceso de error estacionario de segundo orden, de media cero, varianza unitaria y correlograma: ρ(u) = Cov (ε (x) , ε (x + u)) En este caso: γ(u) = 1 − ρ(u).

Objetivo: Estimar no param´etricamente las caracter´ısticas del proceso, i.e., µ ˆ(x), σ ˆ (x) y γˆ (u). Se proponen nuevos estimadores para σ ˆ (x) y una modificaci´on del proceso iterativo para la correcci´ on del sesgo del variograma bajo heterocedasticidad. Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

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MUCHAS GRACIAS

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Referencias Fern´ andez-Casal R, Francisco-Fern´ andez M (2014) Nonparametric bias-corrected variogram estimation under non-constant trend. Stoch Environ Res Risk Assess 28. Francisco-Fern´ andez M, Opsomer JD (2005) Smoothing paremeter selection methods for nonparametric regression with spatially correlated errors. Canadian J Stat 33:279-295. Garc´ıa-Soid´ an, P., Gonz´ alez-Manteiga, W., Febrero-Bande, M. (2003) Local linear regression estimation of the variogram. Stat Prob Lett 64. Pebesma, E.J. (2004) Multivariable geostatistics in S: the gstat package. Computers & Geoscience 30: 683-691. Nuevas contribuciones pendientes de publicaci´ on. Fern´ andez-Casal, R., Castillo-P´ aez, S. y Garc´ıa-Soid´ a, P. (2016) Bandwidth selection for local linear trend estimation, presentado en el Congreso Internacional METMA 2104, Tur´ın, Italia. Castillo-P´ aez, S., Fern´ andez-Casal, R., y Garc´ıa-Soid´ an, P. (2016) Bootstrap methods for inference on the variogram, presentado en el Congreso SEIO 2015, Pamplona, Espa˜ na. Fern´ andez-Casal, R., Castillo-P´ aez, S., y Francisco-Fern´ andez, M. (2016) Nonparametric geostatistical risk mapping, presentado en el Congreso Internacional METMA 2104, Tur´ın, Italia. Contribuciones a la Estad´ıstica Espacial No Param´ etrica

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