'

$

´ ´ UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON ´nica y Ele ´ctrica Facultad de Ingenier´ıa Meca

Control Moderno Ene.-Jun. 2007 Dr. Rodolfo Salinas abril 2007

Control Moderno N1 &

abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas %

'

$

Modelo Ecuaci´ on de Estado de Circuito RLC

El voltaje en cada elemento el´ectrico se expresa de la siguiente forma: vR(t) = i(t)R ;

vL(t) = L

di(t) ; dt

vc(t) =

1 C

Z i(t)dt

Supongamos que la entrada al sistema es el voltaje DC constante el cual est´a representado como una funci´ on escal´ on v(t) = 1(t) → V (s) = 1/s Seleccionando malla escribimos la ecuaci´ on de malla Z di(t) 1 i(t)dt = vi(t) L + Ri(t) + dt C Control Moderno N1 &

abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

1 %

'

$

Si suponemos que la condici´ on inicial es i(0) = 0, la fn de transf en dominio Laplace es, C1 1s I(s) = Vo(s) 1 LsI(s) + RI(s) + I(s) = Vi(s) Cs Es posible obtener una fn de transf asumiento el voltaje de entrada y voltaje de salida (capacitor) relacionando ambos voltajes, (el de entrada con la corriente y la corriente con voltaje de salida y o capacitor). Substituyendo I(s) = CsVo(s) en la ecuaci´ on anterior para expresar en t´erminos de la salida, tenemos que ⇒ LCs2Vo(s) + RCsVo(s) + Vo(s) = Vi(s) ⇒ Control Moderno N1 &

Vo(s) 1 = Vi(s) LCs2 + RCs + 1 abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

2 %

'

$

Siendo un sistema de segundo orden, es necesario dos variables de estado Una manera es convirtiendo la ecuaci´ on de malla expresada en fn de las corrientes i(t) en una ecuaci´ on diferencial de segundo orden de carga dq(t) i(t) = ; dt

d2q(t) dq(t) 1 L +R + q(t) = v(t) dt dt C

Convertimos esta ec. dif. de orden 2 a un conjunto de ec dif de primer orden (ec. de estado) de la siguiente forma x˙ 1 = x2 .. x˙ n−1 = xn dxn = a1x1 + a2x2 + · · · + anxn + bif (t) dt Control Moderno N1 &

abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

3 %

'

$

se convierta en dos ecuaciones diferenciales de primer orden usando los estados i(t) y q(t) la primera ecuaci´ on est´a representada por lo asumido i(t) = R segunda ecuaci´ on se obtiene substituyendo q(t) i(t)dt en la

dq(t) dt ,

y la

1 q(t) = v(t) C di(t) 1 L + Ri(t) + q(t) = v(t) dt C L¨ q (t) + Rq(t) ˙ +

1 R 1 di(t) =− q(t) − i(t) + v(t) dt LC L L De las dos ecuaciones (ec. anterior y la de carga) se puede despejar las variables de la red, e.g. voltaje entre las terminales de inductor vL(t) = L Control Moderno N1 &

di(t) 1 = − q(t) − Ri(t) + v(t) dt C abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

4 %

'

$

esta puede ser una ecuaci´ on de salida ya que represnta una combinacion lineal de q(t) i(t) y entrada v(t) otra selecci´ on de variables de estado puede ser por ejemplo vR(t) y vC (t) vR(T ) = i(t)R ,

vC (t) =

1 C

Z i(t)dt ⇒

dvc(t) 1 1 = i(t) = vR(t) dt C CR

despejando vL(t), la corriente i que pasa por la inductancia es dvR(t) dt

di(t) R di(t) = R = vL(t) = R dt L dt
R
R 1 = v(t) − q(t) − Ri(t) = v(t) − vC (t) − vR(t) L C L

Asumiendo las variables de estado como x1 = q y x2 = i, y la entrada es u = v(t), se representa la ecuaci´ on diferencial del circuito RLC como un Control Moderno N1 &

abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

5 %

'

$

conjunto de ecuaciones de estado x˙ = Ax + Bu,  x=

q i

"

 ;

y = vL(t) ;

Control Moderno N1 &

x˙ =

dq(t) dt di(t) dt

1 C= − C 

#

 ;

A= 

−R ;

abril 2007

0 1 − LC

y = Cx + Du 1 −R L



 ;

B=

0



1 L

D=1

Dr. Rodolfo Salinas

6 %

'

$

Ejemplo Representaci´ on de un mismo sistema din´amico mediante distintas formas can´ onicas. Supongamos que sabemos que la funci´ on de transferencia de un sistema din´amico est´a dada por s+3 T (s) = 3 s + 9s2 + 24s + 20 Existen distintas formas de representar esta funci´on. • Se puede tratar de factorizar el denominador de la siguiente manera s+3 T (s) = (s + 2)2(s + 5) Dos de sus polos estan situados en s = −2 y uno en s = −5. Control Moderno N1 &

abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

7 %

'

$

• La ecuaci´ on factorizada se puede expresar como una suma de varios t´erminos separados si realizamos una expansi´ on en fracciones parciales. 2 9

1 3

− 29 + + 2 s + 2 (s + 2) s+5 • La funci´ on de transferencia original que relaciona salida/entrada T (s) = Y (s)/U (s) se puede escribir como la ecuaci´ on diferencial general d3 y = −9¨ y − 24y˙ − 20y + u˙ + 3u dt La ecuaci´ on diferencial tiene varias formas distintas de representarse: – es posible expresar ecuaciones de estado del sistema de varias formas distintas – cada una tiene la asignaci´ on de las variables de estado se hace de manera definida Control Moderno N1 &

abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

8 %

'

$

1. Forma can´ onica controlable Sabemos que la forma t´ıpica de representar una ecuaci´ on diferencial de orden n es por la forma can´ onica controlable y Variables de estado se obtienen de tal manera Para la forma can´ onica controlable los bloques de los integradores estan unidos uno detras del otro. Por lo tanto, similar a como se hizo para un caso general esta relaci´ on corresponde a lo siguiente y

=

x1

⇒ y˙ = x˙ 1 y˙

=

x2

⇒

x˙ 1 = x2

⇒ y¨ = x˙ 2 y¨ Control Moderno N1 &

=

x3

⇒

abril 2007

x˙ 2 = x3 Dr. Rodolfo Salinas

9 %

'

$

Finalmente, despejando de la ecuaci´ on diferencial

d3 y dt3

x˙ 3

=

x˙ 3

d3 y = −20y − 24y˙ − 9¨ y+u ⇒ 3 dt = −20x1 − 24x2 − 9x3 + u

Segun la funci´ on de transferencia la ecuaci´ on de salida es

y = 3x1 + x2

De la variable de salida y podemos deducir la ecuaci´ on diferencial de Control Moderno N1 &

abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

10 %

'

$

orden n de la siguiente manera y

= 3x1 + x2

y˙

= 3x˙ 1 + x˙ 2 = 3x2 + x3

y¨ = 3x˙ 2 + x˙ 3 = 3x3 + x˙ 3

d3 y dt3

= 3x˙ 3 + x ¨3 = 3(−20x1 − 24x2 − 9x3 + u) − 20x˙ 1 − 24x˙ 2 − 9x˙ 3 + u˙ = 3(−20x1 − 24x2 − 9x3 + u) − 20x2 − 24x3 − 9x˙ 3 + u˙

Reorganizando en funci´ on de la asignaci´ on de la salida y tenemos que d3 y dt3

= −20(3x1 + x2) − 24(3x2 + x3) − 9(3x3 − x˙ 3) + 3u + u˙ = −20y − 24y˙ − 9¨ y + 3u + u˙

Control Moderno N1 &

abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

11 %

'

$

Las ecuaciones de estado y la ecuaci´ on de salida se pueden expresar como 













0 x1 0 1 0 x˙ 1 0 1   x2  +  0  u x˙ =  x˙ 2  =  0 1 x3 −20 −24 −9 x˙ 3 y

= [3

1

0]x + 0 · u

El diagrama a bloques para esta forma tiene cierta forma estructurada que siempre corresponde a una representaci´ on de este tipo. 2. Forma can´ onica observable La estructura interna de la forma can´ onica observable es diferente a la de la llamada forma can´ onica controlable. Las variables de estado y la salida se definen de otra manera, la cual es equivalente a la ecuaci´ on diferencial la cual corresponde este sistema din´amico. Control Moderno N1 &

abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

12 %

'

$

Para comprobar que efectivamente estas ecuaciones de estado corresponde al sistema de la ecuaci´ on diferencial (), podemos comenzar por la representaci´ on de la salida en funci´ on de las variables de estado y recursivamente ir obteniendo relaciones en funci´ on de las dem´as variables de estado en funci´ on de las derivadas de y. La salida y est´a dada como y

= x1

y˙

= x˙ 1

de la ecucaci´ on de estado x˙ 1 x˙ 1 = x2 − 9x1 despejamos x2 de la ecuaci´ on anterior en funci´ on de las variables y x2 = x˙ 1 + 9x1 = y˙ + 9y ⇒ x˙ 2 = y¨ + 9y˙ Control Moderno N1 &

abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

13 %

'

$

de la ecucaci´ on de estado x˙ 2 x˙ 2 = x3 − 24x1 + u de la misma forma que antes despejamos ahora x3 en funci´ on de las variables y como x3 = x˙ 2 + 24x1 − u x3 = y¨ + 9y˙ + 24y − u d3 y x˙ 3 = + 9¨ y + 24y˙ − u˙ dt de la ecucaci´ on de estado x˙ 3 x˙ 3 = −20x1 + 3u Control Moderno N1 &

abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

14 %

'

$

y de aqu´ı obtenemos la ecuaci´ on diferencial de nuestro sistema din´amico d3 y + 9¨ y + 24y˙ − u˙ = −20y + 3u dt la cual es la misma que () la cual representa la ecuaci´ on diferencial de orden n. La ecuaci´ on de estado y la ecuaci´ on de salida     −9 1 0 x˙ 1 x˙ =  x˙ 2  =  −24 0 1   −20 0 0 x˙ 3 y

= [1

0

son 





0 x1 x2  +  1  u 3 x3

0]x + 0 · u

3. Forma can´ onica de Jordan (diagonalizaci´ on) De la forma can´ onica controlable, obtener valores propios y vectores propios de matriz A. Control Moderno N1 &

abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

15 %

'

$

Formar matriz de transformaci´ on (matriz modal) compuesta por los vectores propios de la matriz A Hacer transformaci´ on de similitud por medio de la matriz modal, suponiendo que la matriz de transformaci´ on T est´a dada por una matriz modal M y utilizando el cambio de variable de estado de la siguiente manera: Supongamos que nuestro modelo es x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Suponga que Un vector de estado z que est´a relacionado al vector de estado original x mediante una transformaci´ on de similitud x = T z. Asumiendo que la matriz de transformaci´ on T es no-singular (invertible) Control Moderno N1 &

abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

16 %

'

$

sabemos por lo tanto que z = T −1. z˙

= T −1x˙ = T −1(Ax + Bu) = T −1(AT z + Bu) ¯ + Bu ¯ = T −1AT z + T −1Bu = Az

¯ + Du ¯ y = Cx + Du = CT z + Du = Cz Suponga que la matriz de transformaci´ on T est´a dada por una matriz modal M . De esta manera, la matriz A resultante ser´a diagonal, y estar´a en forma de Jordan. La forma Jordan de una matriz es diagonal. Un sistema din´amico que se expresa como una ecuaci´ on de estado A, B, C, D se puede expresar en la forma can´ onica de Jordan mediante la transformaci´ on de similitud dada por la matriz modal obtenida por los valores propios y vectores propios de la matriz A. Control Moderno N1 &

abril 2007

Dr. Rodolfo Salinas

17 %