Derivadas. Contenido 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Introducción. (α) Definición de Derivada. (α) Pendiente de la recta tangente. (α) Funciones diferenciables. (α) Función derivada. (α) Propiedades de la derivada. (α) Tabla básica de derivadas. (α) Ejemplos. (α)

Introducción • A menudo nos preguntamos como cambia el valor de las cosas con respecto a una variable de interés. • Los precios con respecto al tiempo, la temperatura con respecto a los meses, etc.

Introducción. • Generalmente para responder estas preguntas lo que hacemos es comparar un valor con otro por medio de proporciones, es decir, por medio de una división expresamos que tan grande es un valor con respecto a otro.

Introducción • Pero a veces necesitamos comparar no solo el valor, sino que tanto cambia un valor cuando el valor de referencia cambia también. • Esto se conoce como razón de cambio o cambio promedio. Cambio de una variable Cambio de la variable de referencia

Introducción. •

Formalmente, la razón de cambio de una variable y con respecto a una variable x, de referencia, se define por medio de la expresión

Δy y f − yi ryx = = Δx x f − xi

•

En esta expresión entendemos que

Δy = y f − yi es la diferencia o cambio de y desde un valor final a uno inicial, y que

Δx = x f − xi es la diferencia o cambio de x desde un valor final a uno inicial

Introducción. •

Si hemos expresado la variable y de tal forma que sus valores dependan de la variable x, es decir si y es función de x

y = f (x) entonces, esta razón de cambio se expresa por medio de

Δy f ( x f ) − f ( xi ) ryx = = x f − xi Δx Y gráficamente se observa que

Introducción. • Si los cambios en la variable de referencia son imperceptibles, es decir, si la diferencia Δx = x f − xi → 0

entonces lo que estamos analizando es una razón de cambio instantánea.

Introducción. •

Veamos el siguiente gráfico:

Introducción Entre los puntos

( x0 , y0 ) y ( x2 , y2 ) Podemos encontrar la pendiente de la recta que pasa por ellos y que corta la curva (en rojo) en esos puntos (recta en negro)

y2 − y0 x2 − x0

Introducción Entre los puntos

( x0 , y0 ) y ( x1 , y1 ) Podemos encontrar la pendiente de la recta que pasa por ellos y que corta la curva (en rojo) en esos puntos (recta en verde)

y1 − y0 x1 − x0

Introducción. • Podemos notar que entre las pendientes encontradas

y2 − y0 x2 − x0

y1 − y0 x1 − x0

tenemos que en el denominador del primero es más pequeño que el otro, x2 − x0 > x1 − x0

Introducción. • Pero, mientras más pequeña es la diferencia Δx = x − x0 tenemos mayor riesgo en encontrar un cero en el denominador de la pendiente, es por esa razón que la estudiamos como un límite. f ( x) − f ( x0 ) Lim x → x0 x − x0

Ω

Definición de Derivada. • Dada una función f , continua en un punto x = a, al número f ( x) − f (a) Lim x →a x−a

cuando existe, se le denomina, derivada de f en x = a, y se denota con el símbolo f ’(a). Ω

• Pendiente de la recta tangente Una recta secante a una curva es aquella que corta la curva en más de un punto, y una recta tangente es aquella que corta la curva en un solo punto. En el gráfico adjunto, la recta en negro es secante a la curva (roja) y la recta en azul es tangente a la curva.

• Pendiente de la recta tangente . Podemos entender la derivada de una función dada f en un punto dado x = a como la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. En el gráfico adjunto, la pendiente de la recta en azul es la derivada de la función en

( x0 , y0 )

Pendiente de la recta tangente. Por medio de la ecuación de la recta que pasa por un punto dado y con pendiente conocida, podemos caracterizar la ecuación de las rectas tangentes a las curvas que poseen derivadas en los puntos dados. Ω

• La ecuación de la recta en azul es

y − y0 = f '( x0 )( x − x0 )

Funciones Diferenciables. 1.

Decimos que una función f es diferenciable en un punto si existe la derivada en el punto indicado

2.

Decimos que una función f es diferenciable en un intervalo, si existe la derivada en cada punto de ese intervalo.

3.

Decimos que una función es diferenciable si es diferenciable en cada punto de su dominio.

Ω

Función derivada. • Si una función es diferenciable entonces es posible definir una nueva función denominada función derivada de f por medio de

f ( x) − f ( x0 ) f '( x0 ) = Lim x → x0 x − x0 para cada punto donde la derivada exista. Ω

Propiedades de la Derivada. • La derivada f ’ de una función f cumple con las

siguientes propiedades: 1. Si f y g son funciones diferenciables, entonces,

(f

± g ) '( x) = f '( x) + g '( x)

2. Si f y g son funciones diferenciables, entonces,

( f ⋅ g ) '( x) =

f '( x) g ( x) + g '( x) f ( x)

Propiedades de la Derivada. 3. Si f y g son funciones diferenciables, y g’(x) ≠ 0 entonces, f '( x) g ( x) − g '( x) f ( x) ( f / g ) '( x) = ( g ( x)) 2

Ω

Tabla básica de derivadas. Derivadas de uso frecuente:

Ω

1. f ( x) = k 2. f ( x) = x

↔ ↔

f '( x) = 0 f '( x) = 1

3. f ( x) = kx

↔

f '( x) = k

4. f ( x) = x n

↔

f '( x) = nx n −1

5. f ( x) = kx n

↔

f '( x) = knx n −1

↔

n ( n / m ) −1 f '( x) = k x m

6. f ( x) = kx

n/m

Ejemplos. • Ejemplo 1. Encontrar la derivada de la función

f ( x) = x 2 − 1 en

x=0

usando la definición de derivada. Solución: ¿Qué nos piden? Encontrar el valor de la derivada de la función dada en el punto indicado, usando la definición de derivada.

Ejemplos. La definición de derivada es como sigue: f ( x) − f (a ) f '(a ) = Lim x →a x−a

Procedemos entonces a calcular f ( x) − f (0) f '(0) = Lim x →0 x−0 x 2 − 1 − (−1) x2 = Lim = Lim = Lim x = 0 x →0 x → 0 x →0 x x

Ejemplos. Entonces, la derivada de la función dada en el punto indicado es

f '(0) = 0

Ejemplo 2: Encontrar la derivada de la función en el ejemplo anterior, en el mismo punto dado, usando las técnicas de diferenciación.

Ejemplos. Solución: Observamos que la función está definida como la resta de dos tipos de funciones, una función potencial

g ( x) = x 2 Y una función constante

h( x ) = 1 Entonces, la derivada de la función dada se encuentra por medio de f '( x) = ( g − h ) '( x) = g '( x) − h '( x)

Ejemplos. Ahora, de la tabla básica de derivadas tenemos que g '( x) = ( x 2 ) ' = 2 x

y que

h '( x) = (1) ' = 0

En consecuencia, f '( x) = ( g − h ) '( x) = g '( x) − h '( x) = 2 x − 0 = 2 x

Ejemplos. Nos han pedido encontrar la derivada en

x=0 Por lo tanto, sustituimos este valor en la derivada encontrada y obtenemos f '(0) = 2.0 = 0

Ejemplos. Ejemplo 3. Usando técnicas de diferenciación encuentre la derivada de la función definida por medio de

f ( x) = 3x 2 ( x3 − 2 x) Solución: Observamos que esta función está expresada por medio de un producto de funciones

g ( x) = 3x 2 y

h( x ) = x 3 − 2 x

Ejemplos. Entonces usaremos la regla para derivar un producto de funciones: f '( x) = ( g ⋅ h ) '( x) = g '( x) h( x) + h '( x) g ( x) = (3x 2 ) '( x 3 − 2 x) + ( x3 − 2 x ) '3x 2

Usando la regla de la función potencial y la regla para derivadas de la suma, encontramos f '( x) = (3x 2 ) '( x 3 − 2 x) + ( x3 − 2 x) '3x 2 = 6 x( x 3 − 2 x) + (3x 2 − 2)3x 2

Ejemplos. Ya hemos derivado. Ahora, encontraremos una expresión más sencilla de esta derivada: f '( x) = 6 x( x 3 − 2 x) + (3 x 2 − 2)3 x 2 = 6 x 4 − 12 x 2 + 9 x 4 − 6 x 2 = 15 x 4 − 18 x 2 = 3 x 2 (5 x 2 − 6)

Ejemplos. Ejemplo. Usando las técnicas de diferenciación encuentre la derivada de

3x 2 f ( x) = 3 x − 2x Solución: La función dada está expresada por medio de la división de las funciones

g ( x) = 3x 2 y

h( x ) = x 3 − 2 x

Ejemplos. Usamos la técnica para derivar la división de funciones: g '( x)h( x) − h '( x) g ( x) ( g / h ) '( x) = (h( x)) 2 (3 x 2 ) '( x 3 − 2 x) − ( x 3 − 2 x) '3 x 2 = ( x 3 − 2 x) 2 6 x( x 3 − 2 x) − (3x 2 − 2)3x 2 = ( x3 − 2 x)2

Ejemplos. Queda entonces darle una mejor forma a esta expresión 6 x( x3 − 2 x) − (3x 2 − 2)3 x 2 f '( x) = ( x3 − 2 x)2 6 x 4 − 12 x 2 − 9 x 4 + 6 x 2 = ( x3 − 2 x) 2 −3 x 4 − 6 x 2 −3 x 2 ( x 2 − 2) = 3 = 2 ( x − 2 x) ( x3 − 2 x) 2

Ω