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Scientia et Technica Año XVII, No 51, Agosto de 2012. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701
Desigualdad de Chebyshev bidimensional Two - dimensional Chebyshev Inequality Edgar Alirio Valencia, Yuri Alexander Poveda, Carlos Arturo Escudero Salcedo Departamento de Matemáticas, Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia
[email protected] [email protected] [email protected]
para todo Resumen—En este artículo se presentan y se demuestran en forma detallada, algunas desigualdades interesantes en probabilidad y estadística que son consecuencia de la desigualdad de Chebyshev. Palabras clave— Chebyshev.
Variable
aleatoria,
Desigualdad
y todo entero positivo .
La estimación que la desigualdad de Chebyshev da a la }; puede ser muy | probabilidad del evento {| buena. Esta probabilidad generalmente es menor que
de
y en consecuencia este valor es una buena sobre estimación de Abstract—This article presents and demonstrates in detail some interesting inequalities in probability and statistics that result from Chebyshev's inequalit Key Word — Random variable, Chebyshev Inequality
I.
|
.
Una de las aplicaciones principales de las desigualdades de tipo Chebyshev es el de aproximar o estimar probabilidades de la | forma | por medio de calculo de cotas ver [5].
INTRODUCCIÓN
La desigualdad de Chebyshev es uno de los resultados más importantes e interesantes en la teoría de la probabilidad. Este resultado establece que si es una variable aleatoria y es la esperanza de , la cual existe, entonces | para todo aleatoria
|
|
donde ver [3] y [4].
es la varianza de la variable
|
La demostración de esta desigualdad se basa en la desigualdad de Markov, la cual dice lo siguiente: Si es una variable aleatoria, entonces
| |
Es conocido en la literatura, que si conocemos la función de distribución de la variable aleatoria , podemos calcular su esperanza y su varianza , si estas existen. De igual modo si conocemos dos variables aleatorias con su función de distribución conjunta, podemos calcular y su matriz de covarianzas . Pero el problema reciproco no es cierto, es decir si conocemos y , no necesariamente, se puede construir la función de distribución de la variable aleatoria y por consiguiente cantidades como
| |
Fecha de Recepción: 05 de Mayo de 2012 Fecha de Aceptación: 30 de Agosto de 2012
|
son muy difíciles de obtener. Igualmente para el caso de funciones de distribuciones conjuntas de dos variables aleatorias. En este artículo vamos a desarrollar principalmente la desigualdad de Chebyshev bidimensional, la cual no es muy conocida en la literatura de la probabilidad, además es muy
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conveniente, ya que en ocasiones la estimación del valor real de una probabilidad conjunta, suele dar información insuficiente para nuestro objetivo, como por ejemplo, lado derecho de la desigualdad mayor o igual a uno. En este sentido podemos decir que entre mas pequeño sea el lado derecho de la desigualdad más precisa es la información de las probabilidades. Esta desigualdad bidimensional aparece como un problema propuesto en [8]. Además del resultado la desigualdad de Chebyshev bidimensional vamos a presentar otros resultaos interesantes que son consecuencia de la desigualdad de Chebyshev.
De las Proposiciones 1 y 2, se obtiene la desigualdad de Chebyshev, la cual dice lo siguiente: Proposición 3 (Desigualdad de Chebyshev). Si es una variable aleatoria y es la esperanza de , entonces para todo |
|
Demostración. Si consideramos la desigualdad anterior para el |, entonces, caso y la variable aleatoria | |
II.
|
|
|
DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV (
Finalmente como Antes de hacer la demostración de la desigualdad de Chebyshev bidimensional y presentar algunos resultados que son consecuencia de esta desigualdad, presentamos algunos resultados que vamos a utilizar en el desarrollo de este artículo. Proposición 1. Si entonces para
es una variable aleatoria no negativa, se tiene
|
|
El resultado principal en este artículo, tiene que ver con la desigualdad de Chebyshev en dos variables aleatorias, pero antes de enunciar y demostrar este resultado el cual esta propuesto en [8], demostremos, la siguiente proposición. Proposición 3 Si
y
son variables aleatorias con y
La demostración se puede ver en [6] y [7]. El siguiente resultado es una consecuencia de la Proposición 1
) , se concluye que
y con coeficiente de correlación {
Proposición 2. Si es una variable aleatoria no negativa, entonces, para todo y para todo entero positivo , se tiene
Muestre que
}
√
Demostración. Por definición
√ Demostración. Es claro que
√
Como y
por la proposición anterior entonces
y por lo tanto
Además, el máximo de {
viene dado por }
|
|
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esto implica que
|
(|
{
}
|
}
|
||
|
√ (
|+
Aplicando esperanza en ambos lados, obtenemos {
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{ }
{
|
√
)
)
√
Demostración. Sea
|
}, veamos que { }.
Supongamos que
Ahora, como
{
}
,
por lo tanto Similarmente
{
, por consiguiente {
}
|
||
|
}
{
}
{
Análogamente se tiene el resultado si Ahora
}
.
esto es equivalente a {
}
|
||
|
(|
|
√
elevando al cuadrado, obtenemos {
}
| | |
|
||
|
|
|
|
| |
(
{
(
{
√
√ |
|
√ |
|
|
|
) | } |
) }
| )
Luego { (
(
}
)(
)
(
)
esto es, }
(
|
})
por consiguiente |
(| {
{
√
) .
(
{
|
|
|
|
√
)
|
|
})
Finalmente, como y por la proposición anterior , entonces {
}
{
}
.
(
{
|
|
|
|
}) √
Luego √
Proposición 4 (Desigualdad de C. Bidimensional). Si y son variables aleatorias con coeficiente de correlación , entonces para
Luego se concluye que (|
|
|
√ (
√
|
√
)
)
Proposición 5. Sea una función no negativa, no decreciente, para todo número positivo . Entonces para una variable aleatoria con | | , donde es una constante, se tiene:
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(
)
|
|
Como
( (
)) entonces
, luego
Demostración. Sea ( (
)
(
)
{
{
y como
}
es una función positiva, se tiene que
así que
( (
Como
)
}
)
(
)
{
}
)
Y finalmente llegamos a que
es creciente y
(
)
entonces (
)
Otro resultado interesante, el cual es una consecuencia de la desigualdad de Chebyshev, se resume en la siguiente proposición:
,
de aquí se sigue (
)
{
Proposición 5. Si independientes con
}
Ahora, como es una variable aleatoria positiva y acotada, es decir
son variables aleatorias ( para ), entonces
({|
Entonces
|
})
para todo (
)
{
}
Demostración. Sea
esto implica que ( (
))
entonces por la desigualdad Chebyshev aplicada a la variable aleatoria
luego ( (
)) se tiene que
Demostremos la otra desigualdad.
({|
Podemos escribir
})
.
Ahora, como {
}
{
}
(∑
Como y
|
es creciente, entonces
, por consiguiente
como
∑
)
para todo
entonces .
Luego
,
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({|
|
})
[7]. Vicente Quesada y Alfonso García. Lecciones de Calculo de Probabilidad. Días de Santos. 1988. [8]. A. N. Shiryaev. Probability. Second Edition. Academic Press, 1975.
III.
CONCLUSIONES
Entre las principales aplicaciones de la desigualdad de Chebyshev esta el calcular cotas inferiores para probabilidades, lo cual es muy importante cuando no es posible o es difícil dar un valor exacto de la probabilidad. La desigualdad de Chebyshev se emplea para demostrar otros resultados importantes en probabilidad como la ley débil de los grades números, esta ley es una consecuencia inmediata de la Proposición 5, la ley dice que si tiende a infinito esta probabilidad tiende a cero. Finalmente la La desigualdad de Chebyshev se puede generalizar a dos variables aleatorias que tienen cierta correlación. REFERENCIAS [1]. R. B. Ash, Analysis and probability. Ac Press, 1972.
[2]. D. L. Cohn, Measure theory . Cambridge Birkhauser Boston, 1980.
[3]. M. Degroot. Probabilidad y estadística, Segunda edición, Addison-Wesley Iberoamericana, S. A. 1988. [4]. P. Ibarrola, L. Pardo y V. Quesada. Teoría de la probabilidad, Editorial Síntesis S. A, 1997.
[5].
Paul Meyer. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. Addinson –Wesley Iberoamericana, S. A 1970.
[6]. M. Muñoz, L. Blanco. Introducción a la teoría avanzada de la probabilidad. Universidad Nacional de Colombia, Primera edición 2002.
[9]. A. J. Weir, General integration and measure. Vol II Cambridge Univ. Press 1974.
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