Nota técnica

Dos pruebas de desempeño para controladores no lineales y óptimos Por Ings. Daniel Chuk, Benjamín R. Kuchen, Enrique A. Núñez y Gustavo Rodríguez Medina Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de San Juan

Resumen

ción x1 que consume un sustrato x2, y crece a

Las pruebas de desempeño o benchmarks,

merced del mismo (ver figura 1). El sustrato in-

son problemas que suponen una cierta dificultad

gresa en un caudal F, con una concentración

de solución y se utilizan en control para compa-

x2f. Como resultado de la digestión microbiana,

rar las bondades de distintas soluciones o con-

se produce un caudal de metano QCH4. A los fi-

troladores propuestos para dicho problema. To-

nes de evitar variaciones en el volumen provo-

mando como base el comportamiento no lineal

cadas por la acción de control sobre el caudal

de un digestor metanogénico, se propone en

de entrada, es frecuente encontrar un lazo de

este trabajo una prueba para evaluar el desem-

control de nivel, tal como se muestra en la mis-

peño de un controlador no lineal que estabilice

ma figura.

la concentración de biomasa. Asimismo, y dado que el proceso tiene como salida un caudal de metano, se propone una segunda prueba destinada a evaluar la capacidad de un controlador óptimo para maximizar dicha producción. Palabras claves Desempeño - Control no lineal - Control óptimo - Digestores 1. Introducción

Figura 1. Esquema del digestor y su control

Un digestor es un reactor bioquímico, el cual se asume perfectamente mezclado. Estos dis-

2. Modelo matemático del proceso

positivos son usados en una amplia gama de

En lo que respecta a la descripción matemá-

procesos, desde tratamiento de efluentes hasta

tica del sistema, existen modelos sumamente

fermentación de alcohol.

detallados como el expuesto por Kiely y otros

El reactor, de volumen V, contiene una po-

(1997). Sin embargo, a los fines de poner de

blación microbiana o biomasa con concentra-

manifiesto las características no lineales del

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proceso que motivan este artículo, es apropia-

No se contempla en este modelo la influencia

do el uso de un modelo más compacto, expre-

de la temperatura, la cual se considera constante.

sado por las siguientes ecuaciones de estado (Srisertpol y otros, 2010): dx1/dt = ( μ - D) x1

3. Análisis del sistema El análisis del comportamiento del proceso

dx2/dt = D (x2f - x2) μx1/Y

se ha realizado para un cierto digestor en parti-

QCH4 = βμ x1

cular, para el cual se han identificado los parámetros del modelo de la siguiente manera:

donde μ es la tasa específica de crecimiento modelada empíricamente por la expresión μ =

μmax = 0,53; ko = 0,12; k1 = 0,4545; Y = 0,4

(μmax x2)/(ko + x2 + k1x2 ), en donde μmax, ko, k1 2

son coeficientes de modelado, para un comportamiento tipo Haldane. x1: concentración del microorganismo que provoca la digestión (biomasa), [g/l] (Los pesos

Considerando una situación habitual de estado estacionario, en la cual D = 0,3 1/h y x2f = 4 g/l, el sistema presenta tres puntos de equilibrio (ver figura 2).

en gramos tanto de la concentración microbiana como del sustrato están expresados en g DW (Dry Weight), es decir, peso seco diluido.) x2: concentración de sustrato, en el cual crece el microorganismo [g/l] QCH4: caudal de gas metano [m3/h] x2f: concentración del sustrato en la alimentación [g/l] F: caudal de alimentación [l/h] V: volumen del medio de fermentación [l] D = F/V: tasa de dilución [1/h]; con una saturación provocada por el actuador en D = 0,6 1/h Y y β - coeficientes de rendimiento.

Figura 2. Tres puntos de equilibrio del sistema, y comportamiento en el plano de estados del sistema no lineal, simulando a partir de distintas condiciones iniciales

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3.1 Equilibrio N° 1 (x1, x2) = (0,9951, 1,51)

Los autovalores de la matriz de estados son λ1,2 = (-0,1139, -0,3), equilibrio estable (nudo).

El sistema linealizado alrededor de este punto de equilibrio es

4. Pruebas de desempeño para controladores Las pruebas de desempeño, o benchmarks en la nomenclatura anglosajona, son problemas que suponen una cierta dificultad de solución

Los autovalores de la matriz de estados son

y se utilizan en control para comparar las bon-

λ1,2 = (0,1698, -0,3), lo que indica que se trata

dades de distintas soluciones o controladores

de un equilibrio inestable (punto silla).

propuestos para dicho problema. En particular, estos problemas son usados para probar el ren-

3.2 Equilibrio N° 2

dimiento de controladores de sistemas no linea-

(x1, x2) = (1,5302, 0,1746)

les, los cuales plantean dificultades particulares

El sistema linealizado alrededor de este

para su control. De igual manera, aunque me-

punto de equilibrio es

nos habitual, es oportuno proponer pruebas de desempeño para controladores óptimos. 5. Pruebas de desempeño basadas en el digestor metanogénico

Los autovalores de la matriz de estados son λ1,2 = (-0,3, -2,262), equilibrio estable (nudo).

5.1 El equilibrio inestable del digestor como prueba de desempeño de controladores no lineales

3.3 Equilibrio N° 3 (x1, x2) = (0, 4) Solución trivial (se queda sin población microbiana, y se estaciona allí). El sistema linealizado alrededor de este punto de equilibrio es

Sin lugar a dudas, el benchmark más conocido para controladores no lineales es el péndulo invertido en su punto de equilibrio inestable (Aracil y Gordillo, 2004; Khan, 2009) y sus variaciones, como el péndulo invertido esférico (Liu y otros, 2008). Otros procesos propuestos como benchmarks han sido, por ejemplo, una caldera (Pellegrinetti y Bentsman, 1996) y un oscilador traslacional (Bupp y otros, 1998).

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En el caso del digestor, el objetivo habitual de control es la concentración microbiana x1 a la salida del digestor, o su equivalente, la demanda de oxígeno en el efluente (COD). Con este propósito, siguiendo el esquema de la figura 3, se cierra un lazo de control en el cual un controlador de biomasa BC modifica la variable manipulada, que es la dilución D = F/V. La concentración de entrada x2f es considerada como la perturbación del sistema. Figura 4. Comportamiento del digestor partiendo del punto de equilibrio inestable N° 1

equilibrio, se produce un pulso en la concentración del sustrato de alimentación x2f, comprobándose que sale del punto de equilibrio inestable. Una vez perturbado, el sistema debe tender a cualquiera de los otros dos equilibrios estables, el 2 o el 3. En las Figuras 4 y 5 puede observarse Figura 3. Esquema del control de biomasa del digestor

cómo ante un pulso positivo el sistema se dirige hacia el equilibrio N° 3 (x1, x2) = (0, 4) –gráfica en línea llena-; caso contrario, si el pulso en la con-

En la figura 4 se muestra la evolución del di-

centración de alimentación es negativo, tiende a

gestor, sin control alguno, a partir del equilibrio

ubicarse en el equilibrio N° 2 (x1, x2) = (1,5302,

inestable N° 1 (x1, x2) = (0,9951, 1,51), con las

0,1746) –gráfica en línea de puntos-.

condiciones de estudio de estado estacionario ya establecidas anteriormente: D = 0,3 1/h, x2f = 4 g/l.

Tomando como base este comportamiento,

Si estas condiciones no se modifican, el siste-

el problema de prueba de desempeño puede

ma debe permanecer en el equilibrio N° 1, tal cual

expresarse como “Mantener al digestor meta-

ocurre en la primera parte de la simulación. Para

nogénico en su punto de equilibrio inestable,

observar el comportamiento inestable de dicho

frente a una determinada perturbación, mante-

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Nota técnica

tadísticas (Sreela-or y otros, 2011), lógica difusa (Warda y otros, 2008) y redes neuronales (Holubar y otros, 2002). Sin embargo, no se encuentran aplicaciones que propongan una optimización en el sentido de la maximización/ minimización de una función de costo. Por esto, y dado que el sistema presenta la interesante particularidad de tener un caudal de salida maximizable, es oportuno proponer una segunda prueba de desempeño basada en el digestor metanogénico formulada de la siguiente manera: "A partir del sistema ubicado en el punto de Figura 5. Plano de estados de las dos posibles evoluciones mostradas en la figura 4

equilibrio estable N° 2, optimizar (maximizar) la producción de metano manteniendo la acción de control dentro de determinadas cotas". Al-

niendo la acción de control dentro de determi-

gunos condicionantes adicionales al problema

nadas cotas”, adicionalmente se puede requerir

pueden ser un tiempo de establecimiento pre-

un cierto tiempo de establecimiento y una so-

determinado y la limitación de las variaciones

brelongación máxima.

en la acción de control.

A diferencia del péndulo invertido, el digestor presenta un grado de dificultad mayor al exhibir un comportamiento disímil al ser desviado del equilibrio inestable en una dirección o en otra, tal como puede apreciarse en las gráficas precedentes. 5.2 La maximización del caudal de metano como prueba de desempeño para controladores óptimos En la optimización del proceso de digestión microbiana se han usado consideraciones es-

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Figura 6. Esquema del digestor y su control óptimo

El controlador resultante debe realimentar el

Referencias

caudal de metano QCH4 y modificar la dilución D

Por norma editorial no se publican las refe-

como variable manipulada, tal como se muestra

rencias bibliográficas que dan sustento a este

en la figura 6.

trabajo. Por consultas de esta índole o demás cuestiones referidas al tema tratado, contactar

6. Alternativas de control

a Daniel Chuk a [email protected]

En un estudio complementario (Chuk y otros, 2012) se han ensayado distintos controladores para la prueba de desempeño plantea-

Nota del editor: El trabajo aquí reproducido

da en 5.1. Al igual que otros autores tales como

fue presentado por sus autores en la última edi-

Álvarez-Ramírez y otros (2002), se ha evalua-

ción del Congreso AADECA, en 2012.

do el desempeño de un control PID tradicional, pero se proponen también un control no lineal de Lyapunov, una versión robusta del anterior y el control GPC no lineal. De igual manera, para la prueba de desempeño de optimización sugerida en 5.2 se ha utilizado un sistema de control óptimo no lineal, resuelto ya sea por SQP o por medio de algoritmos genéticos. 7. Conclusiones Las características no lineales del proceso de digestión microbiana, sumadas al hecho de poseer un punto de equilibrio inestable, lo hacen un sistema ideal para ser usado como prueba de desempeño para controladores no lineales. De igual manera, por tener un producto que puede ser maximizado, es también apropiado para probar el desenvolvimiento de controladores óptimos.

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