Ecuaciones lineales en una variable MATE 3001 Prof. Caroline Rodriguez

Ecuaciones lineales en una variable (ecuaciones de grado 1)  A continuación consideraremos técnicas para resolver

ecuaciones lineales en una variable.  Estas ecuaciones contienen una variable, y ésta tiene exponente de uno.  Algunos ejemplos:

Terminología de ecuaciones Terminología

Definición

Una ecuación en Un enunciado de x igualdad que envuelve una sola variable, x

Ejemplo

x2  5  4x

Solución o raiz de una ecuación en x

Un número, b , que al sustituirse por x produce un enunciado cierto

5 es solución de x2 – 5 = 4x por que 52 – 5 = 4(5) simplifica a 20 = 20 que es un enunciado cierto

Un número b satisface la ecuación

b es una solución de la ecuación

5 satisface x2 – 5 = 4x

resolver una ecuación en x

Encontrar todas las soluciones de la ecuación

Para resolver la ecuación x2 – 5 = 4x, recogemos todos los términos a un lado, factorizamos e igualamos cada factor a cero.

Pasos comunes para resolver ecuaciones  Algunas técnicas que se usan para resolver ecuaciones son…  Sumar la misma expresión a ambos lados de la

ecuación;  Restar la misma expresión a ambos lados de la ecuación;  Multiplicar o dividir en ambos lados de la ecuación por una expresión cuya valor sea diferente a cero.

Resolviendo ecuaciones lineales  Resolver: 3x + 4 = 7 (Buscamos el valor de x que hace que la expresión

del lado izquierdo tenga un valor de 7) 3x + 4 = 7 Verificación: 3x + 4 – 4 = 7 – 4 3x + 4 = 7 3x = 3 3(1) + 4 =? 7 𝟑𝒙 𝟑 3 + 4 =? 7

=

𝟑 x=1

𝟑

7=7

Resolviendo ecuaciones lineales  Resolver: 8w + 7 = 5w - 8

(Buscamos el valor de w que hace que las expresiones en ambos lados tengan el mismo valor.) 8w + 7 = 5w - 8 8w + 7 - 7 = 5w – 8 - 7 Verificación: 8w = 5w – 15 8w + 7 = 5w - 8 8w – 5w = 5w – 5w – 15 LI: 8(-5) + 7 = -40 + 7 = -33 LD: 5(-5) – 8 = - 25 – 8 = -33 3w = -15

𝟑𝒘 −𝟏𝟓 = 𝟑 𝟑 w= -5

-33 = -33

Resolviendo ecuaciones lineales  Resolver: 3(p – 1) + 5 = 14 (Buscamos el valor de la variable p que hace que la

expresión del lado izquierdo tenga un valor de 14) Solución: 3(p – 1) + 5 = 14 Verificación: 3p – 3 + 5 = 14 3(p – 1) + 5 = 14 3p + 2 = 14 LI: 3(4 – 1) + 5 = 3(3) + 5 = 14 3p = 12 LD: 14 14 = 14 p=4

Resolviendo ecuaciones lineales  Resolver: 3(5y – 2) = 2(y – 16 )

Nota: Nos interesa saber el valor de y que hace que las dos expresiones tengan el mismo valor. 3(5y – 2) = 2(y – 16 ) 15y – 6 + 6 = 2y – 32 + 6 Verificación: 15y = 2y – 26 – 2) = 2(y – 16 ) 15y – 2y = 2y – 2y – 26 3(5y LI: 3(5(-2) – 2))=3( -10 – 2)= -36 13y = –26 LD: 2((-2) – 16 )= 2(– 18) = -36 𝟏𝟑𝒚 −𝟐𝟔 = 𝟏𝟑 𝟏𝟑

y = -2

-36 = -36

Resolviendo ecuaciones lineales Resolver: 5x – 4 = 2(x – 2 )

Nota: Nos interesa saber el valor de x que hace que las dos expresiones tengan el mismo valor. 5x – 4 = 2x – 4 (Aplicar la distributiva.) 5x – 2x = 4 – 4 (Recoger términos semejantes.) 3x = 0 (Simplificar) x=0 (El único valor de x que hace que ambas expresiones tengan el mismo valor es cero. No es lo mismo que decir que la ecuación no tiene solución.)

Resolviendo ecuaciones lineales 4x  2  2x 2

Resolver: Nota: Nos interesa saber el valor de x que hace que las dos expresiones tengan el mismo valor. 4x – 2 = 4x (Multiplicar ambos lados por 2.) 4x – 4x = 2 (Recoger términos semejantes.) 0 = 2 (Enunciado FALSO.) ¡No existe solución! (No existe un valor de x que haga que ambas expresiones tengan el mismo valor.)

Resolviendo ecuaciones lineales Resolver:

6x  9  2x  3 3

6x – 9 = 3(2x – 3) (Multiplicar ambos lados por 3.) 6x – 9 = 6x – 9 (Aplicar la distributiva.) Nota: Cualquier valor de x hace que las dos expresiones tengan el mismo valor.

6x – 6x = 9 – 9 (Recoger términos semejantes.) 0 = 0 (Enunciado CIERTO para SIEMPRE.) ¡Existen una cantidad infinita de soluciones!

Ecuaciones lineales en una variable que tienen fracciones Podemos eliminar los denominadores que aparecen en una ecuación lineal, si multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores, TODA la ecuación. Ejemplo:

3x Resolver :  4  2x  3 2

Usamos la propiedad distributiva para multiplicar todos los términos de la ecuación por 2.

 3x  2  4  2 x  3   2 

23x   24   22 x   23 2 3x – 8 = 4x + 6 -8 – 6 = 4x – 3x -14 = x

Ejemplo Halle la solución de:

2x  5 1 x   5 3 2 3

Primeramente, multiplicamos por el MCM(2,3) que es 6 a ambos lados.

x  2x  5 1   6    6 5   2  3  3 62 x  5 61 6x    65  3 2 3 2(2x – 5) + 3(1) = 30 – 2x

4x – 10 + 3 = 30 – 2x 4x + 2x = 30 + 10 – 3 6x = 37 𝟑𝟕 x= 𝟔

Ejemplo

5u 3 1 Resolver:   4 16 2 Aquí el denominador común el 16. Así que multiplicamos TODA LA ECUACIÓN por 16 para eliminar el denominador:

3  1  5u 16    16 16  2  4  5u   3  1 16   16   16   4   16  2 continua:

Ejemplo (cont)

4(5u )  3  8

20u  8  3 20u  5 20 5 u 20 20 Ahora dividimos por 20 a ambos lados para dejar la “u” sola, esto es, con coeficiente 1. De donde tenemos que:

5 1 u  , que simplifica a u  20 4

Ejemplo: Resolver 3)

9z  1 1  z 4 3

Multiplicamos toda la ecuación por 12 para eliminar los denominadores:

1  9z  1   12   z  12 4 3   

1 3(9z  1)  12z  12  3

39z   31  12z  4 27 z  3  12z  4

Ejemplo: (cont) 27 z  3  12z  4 27𝑥 − 𝟏𝟐𝒛 + 3 = 12𝑧 − 𝟏𝟐𝒛 + 4 15𝑧 + 3 = 4

15𝑧 + 3 − 3 = 4 − 3 15𝑧 = 1 1 z 15

Hallar el conjunto solución.

Hallar el conjunto solución(cont)

El conjunto solución es:

Práctica adicional:

Problemas verbales - Sugerencias 1.

Leer el problema cuidadosamente hasta que tenga una visión general de la situación que se describe.

2. Identificar los datos conocidos, así como los que se debe encontrar.

3. Dibujar cualquier figura o diagrama el problema.

puede ser útil para analizar

4. Nombrar una variable para representar la cantidad desconocida en el problema.

5. Formar

una ecuación que contiene la variable y que traduce las condiciones que se describen en la declaración del problema al álgebra.

6. Resolver la ecuación y utilizar la solución para determinar todos los datos desconocidos solicitados en el problema.

7. Verificar que las respuestas tengan sentido.

Problemas verbales - Ejemplo Dos más que el triple de un número es igual a 4 menor que siete veces el número. Encuentra el número.  n: el número que se busca  Dos más que el triple de un número :

2 + 3𝑛

 4 menor que siete veces el número :

7𝑛 − 4

2 + 3𝑛 = 7𝑛 − 4

Problemas verbales – cont. 2 + 3𝑛 = 7𝑛 − 4 2 + 3𝑛 − 7𝑛 = 7𝑛 − 7𝑛 − 4 2 − 4𝑛 = −4 2 − 2 − 4𝑛 = −4 −2

−4𝑛 = 6 −4 6 𝑛= −4 −4 3 6 𝑛=− =− 2 4

El número es

3 − 2

.

Problemas verbales - Ejemplo 4 menor que dos tercios de un número es igual a un sexto el mismo número. Hallar el número.  n: el número que se busca

2 𝑛−4  4 menor que dos tercios de un número: 3  Un sexto del mismo número: 1 𝑛 6

Problemas verbales – cont.

El número es 8.

Problemas verbales - Ejemplo  Loretta tiene 19 monedas (pesetas y monedas de 5¢).

En total tiene $2.35. ¿Cuánto de cada tipo de moneda tiene?  dinero en pesetas + dinero en monedas de 5 = $2.35  Sea q = num. pesetas

5¢

y 19 – q = num. monedas de

Problemas verbales – cont.

Si q = 7, entonces 19 – q = 19 – 7= 12.

Loretta tiene 7 pesetas y 12 monedas de 5¢