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2

Eje: Matemáticas

-

Nivel: Secundaria

Índice de Fichas Didácticas

No.

Título

Página

1

El geo plano

4

2

Carrera de caballos

10

3

Pintando cubos

16

4

Cuádrate con los triángulos

19

5

Cuadrados, cuadritos y magia

24

6

Laberintos de decimales

29

7

Doblar y doblar

34

8

¿Qué es eso de los algoritmos?

41

9

¿Qué tanto es poquito?

44

10

Veo, veo y tú qué ves

48

11

Cuánta bebida para la fiesta

52

12

¿El juego es justo?

56

13

Tarjeta mágica

64

14

¿Cuántos son?

68

15

Reglas graduadas

72

3

1. EL GEOPLANO APRENDIZAJES ESPERADOS 



Que los alumnos utilicen el geoplano para representar, identificar y modelar triángulos y cuadriláteros para reconocer, identificar y comunicar sus características generales. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen identificar las características generales de polígonos de tres y cuatro lados.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Para la realización de esta actividad se sugiere que el profesor inicie contando brevemente la historia del Geoplano, debe precisarse que se trabajará con el geoplano cuadrangular y se recomienda que las actividades se resuelvan por equipos de 2 personas.

DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas EL GEOPLANO El geoplano fue inventado por el matemático y pedagogo egipcio Galeb Gattegno (19111988) con el propósito de enseñar geometría a niños pequeños. Consiste en una superficie plana en la que se dispone, de manera regular, una serie de puntos. Dependiendo de cómo estén colocados estos puntos se distinguen varios tipos de geoplanos, aunque los que más se utilizan son el geoplano triangular, el cuadrado o cuadrangular y el circular.

Geoplano triangular

Geoplano cuadrado

4

Geoplano circular

Secuencia de actividades 1. Traza con ligas en el geoplano todas las rectas que pasan por un punto. (5 min) Recorridos sobre un geoplano 2. La figura muestra un geoplano de tamaño 5 x 5 con un camino que va de esquina a esquina desde A hasta B y que visita una y sólo una vez cada nudo de la cuadrícula (no se permiten caminos en diagonal) (10 min).

a) Estudia qué otros recorridos de mismo tipo puedes encontrar.

b) ¿Hay algún camino simétrico al anterior? __________________________________ c) ¿Cómo son entre sí las longitudes de estos caminos? _______________________

3. ¿Cuántos triángulos diferentes puedes formar sobre un geoplano? _________

 Forma en el geoplano todos los triángulos distintos posibles y dibújalos a continuación (10 min):

5

 ¿Podrás formar un triángulo equilátero en el geoplano? ________________ Utiliza el geoplano para justificar tu respuesta. 4. Construir al menos 3 triángulos rectángulos diferentes al dado y obtener su área (5 min):

6

5. Une cuatro puntos con una liga y forma en el geoplano todos los cuadriláteros que se puedan construir en él (15 min):  Escribe el nombre de cada cuadrilátero que formaste y clasifícalos a partir del paralelismo entre sus lados:

6. Ahora forma todos los cuadrados posibles que puedan formarse en el geoplano. ¿Cuántos cuadrados distintos encontraste? ___________ Puesta en común de los productos 7. Compara tus respuestas con tus compañeros 8. Construir en el geoplano las siguientes figuras, escribe su nombre y obtén su área.

9. Traza dos figuras que no sean comunes y pídele a un compañero que obtenga el área de ellas (10 min):

7

Cierre de la sesión Construir una figura cualquiera y obtener su área. Registrar en una hoja las áreas obtenidas. Por ejemplo:

8

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR El uso del geoplano dentro del salón de clases es una herramienta poderosa que permite tratar de manera concreta distintos temas de la geometría, se recomienda al profesor que al iniciar la actividad se estimule a los estudiantes a formar con las ligas, distintas figuras en el geoplano, después poco a poco lo llevará hacia la realización de la actividad propuesta en esta ficha de trabajo. Por otro lado es importante que el profesor en todo momento:  Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas.  Favorezca la cooperación y el respeto mutuo.  Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo.  Acepte los “errores” de los participantes como un elemento inherente al proceso de aprendizaje.  Genere oportunidades para que los niños elijan y resuelvan problemas por sí mismos.  Valore los esfuerzos y logros alcanzados.

9

2. CARRERA DE CABALLOS APRENDIZAJES ESPERADOS 



Que los alumnos convivan en un ambiente de competencia en situaciones en las que interviene el azar, se pretende además que reflexionen y comparen dos o más eventos probabilísticos. Que los alumnos comparen eventos probabilísticos a fin de distinguir que una actividad aleatoria se rige por reglas que son posibles de conocer.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Comente al grupo que imaginen que van a las carreras de caballos y se convertirán en apostadores. Deberán reunirse en equipos de 6 integrantes, incluso podrían ser 12 integrantes, cada uno elige su caballo favorito al cual le seguirán la pista en un tablero.

DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas Inicie la actividad proporcionando a cada equipo un tablero (Anexo 1) y un dado. Comente que deben imaginar que están en una carrera de caballos en donde todos los caballos tienen la oportunidad de avanzar una posición cuando se lance el dado. Pregunte: ¿Qué caballo creen que llegará primero a la meta? ______________________ ¿Por qué? _______________________________________________________________ Induzca a los alumnos a identificar un evento en el que interviene el azar y un evento seguro. (5 min) Secuencia de actividades ¡Arrancan!  Los alumnos van a jugar una carrera de caballos. Primero elegirán libremente uno y le asignarán un nombre.  Posteriormente iniciarán la carrera, para ello, por turnos deberán lanzar un dado y avanzará una casilla el caballo que tenga el número de puntos que corresponda al dado.  Gana el primero que llegue a la meta. (15 min) CARRERA DE CABALLOS Después de que un jugador gane plantee las siguientes preguntas: ¿Qué caballo ganó la carrera?____________________________________________ 10

¿Qué caballo(s) quedó (aron) en segundo lugar?_____________________________ ¿Existe la posibilidad de que gané la carrera el caballo con el número 10?_________ ¿Y el caballo 1? ¿Por qué?_____________________ ¿Crees qué algún caballo tiene mayor posibilidad de ganar la carrera? ____________ ¿Por qué?____________________________________________________________

La siguiente actividad es similar a la anterior pero ahora se necesitan 12 personas, mismas que deberán utilizar el tablero que se encuentra en el Anexo 2. Explique a los alumnos que ahora lanzarán dos dados. La suma de los resultados indicará el número de caballo que debe avanzar una posición. Gana el primero que llegue a la meta. (15 min) Al final analicen los resultados y respondan a las siguientes preguntas: ¿Cuál caballo no conviene elegir? ¿Por qué?_________________________________________________________ ¿Qué caballo(s) tiene(n) mayor posibilidad de ganar la carrera? _______________ ¿Por qué?_________________________________________________________ ¿Existe la posibilidad de que el caballo con el número 12 gane la carrera?_______ ¿Por qué?_________________________________________________________ ¿Cuántas veces lanzaron los dados?_______________________

SEGUNDO DADO

Puesta en común de los productos Posteriormente, por turno los equipos lanzarán dos dados. Pida que sumen los puntos de los dados y completen la siguiente tabla: (20 min)

+ 1 2 3 4 5 6

1

PRIMER DADO 2 3

4

Después de lanzar los dos dados responda las siguientes preguntas: ¿Cuál suma es más probable que caiga?_______________ 11

5

6

¿Cuál suma es menos probable que caiga? _______________ ¿Cuáles número (s) nunca caerá (n)?_________________ Cierre de la sesión Para concluir pida que piensen en el lanzamiento de dos dados y contesten las siguientes preguntas:  ¿Qué es más probable que en los dos dados caigan en número par o impar?  ¿Qué es más probable que la suma de sus caras sea 10 o que en ambas caras aparezca el mismo número? Expliquen su respuesta. (5 min).

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Debe prever el tiempo suficiente para analizar todas las respuestas y detenerse en las que haya diferencias. Hay que centrar la atención sobre todo en los dos últimos incisos, analizando algunas respuestas para ver si los alumnos logran distinguir lo que son eventos compuestos. Respecto a las reglas del juego, si juegan tres o cuatro jugadores en la versión de la suma, se encontrarán que muchas veces sale un valor de la suma correspondiente a un caballo que no ha elegido nadie, por lo que bastantes tiradas no servirán para que avance ninguno de los caballos seleccionados. Una forma de solucionar lo anterior es que en ese caso cada jugador elija dos caballos distintos, con lo cual al participar seis u ocho caballos la partida es más dinámica. El orden en que se recomienda plantear este juego en clase es:  Primero utilizar la suma; cuando ya han jugado varias veces entonces se podrá plantear el caso que se resuelve con una resta. Una vez acabado los dos lo más importante es hacer el estudio matemático de por qué un caballo u otro avanza más rápido. Este análisis es fácil de hacer por los alumnos pues sólo tienen que construir dos tablas de valores con los posibles resultados, tanto para la suma como para la resta.  Al hacer el estudio anterior se puede observar que el 7 tiene ventaja (se puede aprovechar para hacer ver la razón por la que en las películas de casinos, quienes lanzan los dados siempre quieren un 7) en el caso de la suma. Sin embargo los resultados previstos teóricamente se pueden ver alterados por el azar. Por ello cuando se lanzan los dados, en algunos grupos puede ser que gane el caballo con dorsal 6 u 8 o incluso más alejados del 7. Lo mismo ocurre con el 1 en la diferencia, aunque en este caso al haber dos puntos de diferencia entre ese valor y el siguiente (que es el 2), es más raro que no gane el caballo 1. 12

 Invite a los alumnos a predecir que caballo ganaría la carrera si al lanzar el dado avanza una posición el caballo que tenga dicho número. Proponga que jueguen algunas partidas y comprueben si es acertada o creen que deben modificarla, sugiera un registro de los lugares que ocupo cada caballo y las casillas en donde quedaron.

ANEXO 1

13

ANEXO 2 NÚMERO DE TIRADA 1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

14

6

7

8

9

META

Nombre del caballo

3. PINTANDO CUBOS APRENDIZAJES ESPERADOS 



Que los alumnos desarrollen las habilidades matemáticas de imaginación y visualización espacial para determinar las características geométricas de cuerpos geométricos para los elementos no visibles. Que los alumnos desarrollen habilidades matemáticas que les ayuden a enfrentar con éxito distintos temas de geometría, especialmente aquellos en los que deben imaginar elementos no visibles de los cuerpos geométricos.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Se recomienda iniciar la actividad de manera individual, posteriormente la segunda parte (Generalización) es recomendable hacerla en equipos de dos personas. La parte final de la actividad es de suma importancia hacer la confrontación de resultados y la socialización de manera grupal.

DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas: Puede iniciarse esta actividad haciendo un breve reconocimiento de las habilidades que tienen los alumnos respecto a la imaginación espacial, para ello se recomienda realizar la siguiente actividad: (15 min)  El siguiente arreglo fue hecho con tres cubos, a partir de esta vista determina: ¿Cuántas caras son visibles? ______________ ¿Cuántas caras no pueden ser vistas desde esta perspectiva? _____________________ ¿Cuántos vértices no pueden ser vistos desde esta perspectiva? _____________________  Observa el siguiente arreglo de cubos: ¿Cuántos cubos faltan para completar tres pisos? ______ Completa el cuadro siguiente:

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¿Cuántos cubos faltan para completar tres pisos? ______ Completa el cuadro siguiente:

Puesta en común de los productos A continuación se presentan algunos arreglos con cubos, obsérvalos con atención y responde las preguntas que se presentan (20 min): Figura 1 Al pintar los cubos sin ser separados ¿Cuántos cubos quedarán pintados de…? a) Una cara ________ b) Dos caras ________ c) Tres caras ________ d) Sin pintar ________ ¿Con cuántos cubos se formó ésta en la figura?

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Figura 2

Al pintar los cubos sin ser separados ¿Cuántos cubos quedarán pintados de…? a) Una cara ________ b) Dos caras ________ c) Tres caras ________ d) Sin pintar ________ ¿Con cuántos cubos se formó ésta en la figura?

Cierre de la sesión Llena la tabla con base en la información anterior si consideramos que las siguientes figuras conservan el mismo patrón. (10 min) Número de figura 1 2 3 4 10 ... n

Cubos con 1 cara pintada

Cubos con 2 cara pintada

Cubos con 3 cara pintada

Cubos sin pintar

Total de cubos

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es común ver que algunos estudiantes tengan dificultades para imaginar los arreglos con cubos, en tal caso se recomienda que el profesor considere la posibilidad de mostrar algunos arreglos sencillos con material concreto para favorecer el desarrollo de esta habilidad. Al final es recomendable llegar a la generalización para ello debe retomarse la fórmula del producto notable de un binomio al cubo. Por otro lado es importante que el profesor en todo momento:  Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas. 17

 Favorezca la cooperación y el respeto mutuo.  Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo.  Acepte los “errores” de los participantes como un elemento inherente al proceso de aprendizaje.  Genere oportunidades para que los niños elijan y resuelvan problemas por sí mismos.  Valore los esfuerzos y logros alcanzados.

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4. CUÁDRATE CON LOS TRIÁNGULOS APRENDIZAJES ESPERADOS 

Que los alumnos comprueben geométricamente la validez del Teorema de Pitágoras por equivalencia entre áreas de figuras planas, en el caso particular del triángulo rectángulo isósceles utilizando el tangrama.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO  Para la realización de esta actividad se sugiere que cada alumno tenga un tangrama.  Después los alumnos deberán organizarse en equipos de 3 o 4 personas para iniciar la actividad.

DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas Explore la noción de semejanza y congruencia de triángulos mediante una lluvia de ideas, puede usar las siguientes preguntas: (10 min) a) ¿Cuánto miden los lados del triángulo 1? b) ¿Cuánto miden los lados del triángulo 2? c) ¿Cómo son entres sí las medidas de los lados del triángulo 1 y 2? d) Menciona otra característica que tengan en común los triángulos 1 y 2 e) ¿Qué tienen en común el triángulo 5 y 7? f) ¿Qué tienen en común los triángulos 1 y 5? g) ¿Qué tienen en común los triángulos 1, 3 y 5? h) ¿Qué diferencias encuentras entre los triángulos 1, 3 y 5? Guíe a los alumnos a deducir la diferencia entre semejanza y congruencia, así como los elementos y características del triángulo rectángulo isósceles (catetos, hipotenusa, ángulo recto).

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Secuencia de actividades 1. Pedir a los alumnos que clasifiquen los distintos triángulos y que los dibujen en los cuadros correspondientes con base en los criterios: Triángulos que tengan la misma área y la misma medida en sus lados y ángulos.

Triángulos que tengan diferente área y diferente medida en sus lados, pero la misma medida en sus ángulos (Tiempo 10) min)

Cuando dos triángulos tienen la misma medida en sus lados correspondientes, sus ángulos y área, se dice que son congruentes. Cuando dos triángulos son semejantes entre sí, tienen la misma medida en sus ángulos interiores correspondientes y la medida de sus lados son proporcionales entre sí pero sus áreas son distintas Al terminar de dibujar las parejas de triángulos congruentes y semejantes deberán comparar los resultados con sus compañeros a fin de validar sus respuestas. Posterior a ello deberán completar las siguientes definiciones:  Dos triángulos son congruentes entre sí cuando: __________________________________________________________________  Dos triángulos son semejantes entre sí cuando: __________________________________________________________________  Los triángulos rectángulos isósceles se caracterizan por: __________________________________________________________________ 2. Pida a los alumnos que trabajen en equipos de cuatro integrantes, junten sus tangramas y realicen lo siguiente: (15 min)

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Pedir a los alumnos que identifiquen por su nombre los lados de un triángulo rectángulo isósceles, de tal forma que:

Respecto al área total del tangrama determina la fracción que representan los triángulos:

Tomen el triángulo que tiene un área de 1/16 colóquenlo sobre una superficie firme y seleccionen dos triángulos con los que se pueda construir un cuadrado sobre el lado hipotenusa:

Con las piezas sobrantes arma un cuadrado sobre cada uno de los lados iguales del triángulo (catetos).

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Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Qué piezas del tangrama utilizaste en la actividad anterior? _____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ b) ¿Cuál es el área de cada pieza? _____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ c) ¿Cuál es el área total de las figuras utilizadas para formar uno de los catetos? _______________________ d) Suma el área de los cuadrado construidos sobre los catetos ¿Qué resultado obtuviste? _______________________________________ e) ¿Cómo son entre sí las áreas de la suma de los cuadrados formados en los catetos, respecto al cuadrado formado en la hipotenusa? _______________________________________

3. Solicite a los alumnos que ahora coloquen como base el triángulo de área, proponga que sobre los catetos e hipotenusa construyan un cuadrado, de tal forma que al sumar las áreas de los cuadrados pequeños (catetos) obtengan el área del cuadrado mayor (hipotenusa). (15 min) a) ¿Cuál es el área del cuadrado que se forma en la hipotenusa?__________ b) ¿Cuál es el área del cuadrado que se forma en uno de los catetos?__________ c) Al sumar el área de los cuadrados que se forman en los catetos, ¿qué resultado obtienes?______ d) Justifica tu respuesta. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

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Puesta en común de los productos En grupo, propicie un momento de argumentación fundamentado en las equivalencias entre las áreas de las diferentes piezas. Para ello, el docente debe permitir que el alumno compruebe sus resultados de forma aritmética y geométrica, es decir, mediante las operaciones con fracciones o empalmando las piezas sobre el cuadrado mayor. También puede pedir que realicen la actividad anterior para el triángulo faltante. Cierre de la sesión Propicie que el alumno genere una conclusión respecto a las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos del triángulo y para la hipotenusa.

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es probable que los alumnos tengan dificultades con el manejo y acomodo de las piezas, por lo que se les puede orientar al respecto. Durante la actividad se precisarán los términos: triángulo rectángulo, cateto, hipotenusa, cuadrado, área. Con la manipulación de los diferentes triángulos como base se pretende que relacionen las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo, para que concluyan que “en todo triángulo rectángulo el área de los dos cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa”. Incluso puede llegarse, si el profesor lo considera pertinente, a que construyan la expresión algebraica que representa esta relación. Por otro lado, es importante que el profesor en todo momento:  Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas.  Favorezca la cooperación y el respeto mutuo.  Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo.  Acepte los “errores” de los participantes como un elemento inherente al proceso de aprendizaje.  Genere oportunidades para que los niños elijan y resuelvan problemas por sí mismos.  Valore los esfuerzos y logros alcanzados.

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5. CUADRADOS, CUADRITOS Y MAGIA APRENDIZAJES ESPERADOS  

Que los alumnos encuentren patrones aritméticos y expresiones algebraicas a partir de construcciones geométricas. Que los alumnos construyan el conjunto de Cantor a fin de generar patrones y determinar la expresión general para el enésimo término de una sucesión numérica y figurativa.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Para la realización de esta actividad cada alumno debe tener una hoja blanca, en la primera fase de la sesión los alumnos trabajarán de forma individual y en la segunda fase se organizarán en equipos de 3 o 4 personas. (5 min)

DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas Pida a los alumnos que con la hoja obtengan un cuadrado de la mayor área posible e indique que ese cuadrado tiene de área una unidad. Presente una breve narración de la versión del conjunto de Cantor mostrando cada una de sus etapas de evolución, enfatice que a cada transformación realizada se hablará de una etapa. (5 min)

Secuencia de actividades 1. Considera que el siguiente cuadrado tiene área igual a una unidad (A = 1) y coloca los datos que se te piden (5 min) Etapa 0 No de cuadrados _________ Área _______

2. Divide el cuadrado en cuatro cuadrantes iguales, después ilumina el cuadrado superior derecho:

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El cuadrado inicial tenía de área una unidad y no había ninguna división. ¿En cuántas partes se ha dividido el cuadrado en esta primera etapa?____________ ¿Cuántas de esas partes no están iluminadas?___________ ¿Qué parte del cuadrado quedó sin iluminar?______________ Puede sugerir a los alumnos el uso de la regla para realizar las divisiones o bien el doblado de papel. Durante la obtención de la parte que queda sin iluminar explore las respuestas de los alumnos y cerciórese que estén convencidos que el área es ¾ (10 min). 3. Para realizar la segunda etapa, deberás dividir los cuadros sin iluminar en cuatro cuadrados iguales, después debes iluminar los cuadrantes equivalentes al primero que coloreaste: En esta segunda etapa ¿cuántas partes del cuadrado no están iluminadas? _______________ ¿Qué parte del cuadrado quedó sin iluminar? _________ Explica brevemente tu respuesta __________________________________________________ __________________________________________________ Se sugiere que el docente enfatice que cada etapa se refiere a una iteración; así mismo proponga que realicen una nueva etapa (tercera), guíe al alumno al uso de las fracciones para representar la región sin iluminar. Para la tercera etapa a) Para la tercera etapa (iteración) debes repetir los pasos anteriores; divide los cuadrados restantes en cuatro partes. Ilumina los cuadrantes equivalentes al primero que coloreaste (10 min):

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Puesta en común de los productos 4. Reunidos en equipo completen la siguiente tabla con base en la información obtenida en las etapas anteriores:

Cierre de la sesión Debe promover la validación de estrategias de solución enfatizando que al realizar todo correctamente se obtiene la siguiente sucesión de áreas (10 min):

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En la séptima iteración ¿cuál será la fracción que representa el área sin iluminar? _____________________________________________________________________ Explica brevemente cómo hacer para obtener el área que representa la etapa diez.

¿Qué observas en esta sucesión? Promueva que expresen como potencias el área de las regiones sin iluminar (10 min):

¿Existe alguna operación con la que puedas expresar

…? ________

Escríbela_________________ La sucesión anterior puede ser representada mediante potencias; observa la información, resuelve las potencias y escribe los resultados

_________

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Expresa como potencias:

Escribe una expresión para encontrar el área de la región sin iluminar para cualquier etapa. ¿Qué le pasa al área de la región sin iluminar después de la iteración 1000?

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es probable que los alumnos tengan dificultades con las divisiones de los cuadrados. Guíelos de tal manera que siempre iluminen el mismo cuadrante que al inicio. También es importante propiciar un momento para la justificación de procedimientos así como el manejo de la expresión general. Para ello, el docente debe permitir que el alumno compruebe sus resultados de forma aritmética y geométrica, es decir, mediante las iteraciones en el cuadrado y las operaciones por conteo o potencias. Asimismo, cuestione a los alumnos acerca de las áreas conforme se realizan las iteraciones. Además, no olvide que en todo momento debe:  Animar a los participantes a expresar sus opiniones y dudas.  Favorecer la cooperación y el respeto mutuo.  Generar la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo.  Valorar los esfuerzos y logros alcanzados

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6. LABERINTOS DE DECIMALES APRENDIZAJES ESPERADOS  

Que los alumnos reflexionen y distingan algunas propiedades de los números que se escriben con punto decimal. Que los alumnos identifiquen las propiedades de densidad, escritura y valor posicional de los números con punto decimal.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Para la realización de esta actividad se sugiere trabajar la primera parte en forma individual, es importante comentarles que pueden utilizar la calculadora para apoyarse en la realización de las actividades propuestas. Después de la primera actividad se recomienda que organice a los alumnos en equipos de 2 elementos y permita la libre exploración de tareas.

DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas Antes de iniciar con las actividades se recomienda que reflexionen a partir de las siguientes preguntas: a) b) c) d)

¿Cuál número es el antecesor de 1.75? ¿Cuál número es mayor 5.18 o 5.6? Escribe un número que vaya entre 0.25 y 0.26 Inventa un problema que se resuelva con la siguiente operación: 4 x 2.5 =

Secuencia de actividades 1. A continuación se iniciará la actividad del “laberinto”. De manera individual cada persona empieza el juego con 100 puntos. a. Se trata de que remarque aquel camino que considere lleva a la meta consiguiendo el mayor puntaje. b. Las condiciones son: no pasar dos veces por el mismo segmento ni por el mismo punto. c. Usa una calculadora para hacer las operaciones indicadas.

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2. Ahora, utilizando la calculadora, resuelve cada uno de los siguientes problemas: a) Encuentre un número que multiplicado por 0.4 de un resultado mayor que 4.3, pero menor que 4.31 b) Encuentre un número que al dividirlo entre 0.25 de un resultado mayor que 3.24, pero menor que 3.25 c) Entre cuanto hay que dividir el número 8 375 para que el resultado sea menor que 41.9, pero mayor que 41.8

3. El siguiente juego podrá jugarlo utilizando la calculadora y se pretende explorar la propiedad de densidad y el valor posicional de los números decimales. Juego con recta numérica y calculadora: a) Utiliza el siguiente segmento de recta para empezar con el juego:

30

b) Se organiza el grupo en parejas, uno será el jugador A y el otro será el B. c) El jugador A hace aparecer en la pantalla de la calculadora un número mayor de 100 pero menor que 200. d) El jugador B debe hacer aparecer en la pantalla de su calculadora otro número que sea mayor que 900, pero menor que 1000. e) Cada uno de los jugadores sitúa su número en el lugar más aproximado sobre la recta numérica. f) El equipo A puede utilizar sólo la tecla (+) y cualquier número; el equipo B sólo utilizará la tecla (-) y cualquier número. g) Cada jugador realizará una operación de forma alternativa comenzando por el jugador A. El primer jugador que llegue al número del otro jugador o que lo rebase, será el perdedor. Esta situación permite poner en juego la densidad de los números decimales: siempre es posible que los números de ambos jugadores se sigan acercando sin coincidir y sin rebasarse, si se recurre a décimos, centésimos, milésimos… Aunque la calculadora tiene sus límites. Puesta en común de los productos 4. Exploración del valor posicional en los números decimales. Actividad 2.1 Se presionan al azar las teclas de 9 cifras y entre ellas la de punto decimal haciendo aparecer un número en la pantalla, por ejemplo: 64 523.89174 El juego consiste en llegar a cero haciendo cada vez una operación que convierta en cero una sola cifra. Las cifras deben hacerse desaparecer en orden ascendente (1, 2, 3,…9). No debe alterarse el resto de las cifras. Se puede jugar en equipos de dos o en dos grandes equipos formados por todo el grupo. Las operaciones sucesivas deben quedar en el pizarrón si juega todo el grupo o en los cuadernos si se juega entre parejas.

31

Por ejemplo, en este caso los pasos sucesivos pueden ser: 64 523.8917 - 0.001 = 64 523.8907 -20 = 64 503.8907 -3 = 64 500.8907 -4000 = 60 500.8907 - 500 = 60 000.8907 … -0.09 =0 El juego invita a reflexionar sobre el valor posicional de las cifras, un error común en el caso anterior es que para convertir el 9 en cero, resten 9. Hacer esto implicaría restar 9 unidades en lugar de 0.09, afectando a los demás números y sin lograr convertir el 0 en 9. Cierre de la sesión 5. Una variante del juego anterior se puede aplicar al imponer la condición de que sólo se pueda sustraer un número cuando ocupa el lugar de las unidades, lo que obliga a hacer previamente multiplicaciones y divisiones por potencias de 10. Con esta consigna, y para el mismo número, el juego se desarrollaría de la siguiente manera: 64 523.8917 X 1000 = 64 523 891.7 -1 = 64 523 890.7 ÷ 10 000 = 6452.38907 -2 = 6460.38907 X 10 = 64 503.8907 -3 = 64 500.8907 … -9 =0

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es conveniente que durante el desarrollo de esta actividad observe a los alumnos de cerca para identificar las concepciones erróneas que tienen respecto a las propiedades de los números naturales. Es común que los alumnos trasladen las propiedades de los números naturales a los decimales, como ocurre en el caso de las fracciones, por eso es importante que el profesor esté al pendiente desde el inicio de la actividad, incluso para intervenir cuando se dé cuenta de este tipo de errores. 32

Asimismo, conviene que el profesor en todo momento:  Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas.  Favorezca la cooperación y el respeto mutuo.  Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo.  Valore los esfuerzos y logros alcanzados.

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7. DOBLAR Y DOBLAR APRENDIZAJES ESPERADOS   

Los alumnos aplicarán estrategias de doblado y ensamblado para realizar la construcción de figuras geométricas. Los alumnos utilizarán diferentes familias de figuras geométricas para reconocer su aplicación en las construcciones arquitectónicas de la vida diaria. Los alumnos emplearán el trabajo colaborativo en la resolución de problemas para desarrollar actitudes de tolerancia, respeto y cordialidad ante las ideas de otros.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO ¡Canto, bailo y me divierto! Recortar una hoja tamaño carta en 20 partes iguales y en cada uno escribir: bailar, cantar, adivinanza y chiste. Doblar cada uno y revolverlos en una bolsa de plástico. Solicitar que cada alumno tome un papel y reunirse con sus compañeros que tienen la misma consigna, ponerse de acuerdo y ante el grupo tendrán que realizar lo que se solicita. El equipo que se conformó será el que trabajará colaborativamente en el desarrollo de la actividad. Es importante que el número de integrantes de los equipos sea equitativo y tenga representatividad de alumnas y alumnos. Propiciar un ambiente agradable para que se involucren y motiven los alumnos, en el trabajo colaborativo de las actividades en el logro de los aprendizajes esperados.

DESARROLLO DE LA SESIÓN Esta actividad pretende desarrollar la parte psicomotriz de los alumnos, aspecto que se ha ido olvidando. Esto se desarrolla de manera apropiada en el Jardín de Niños, pero se ha olvidado un poco en la Primaria y totalmente, en la Secundaria. Por eso, resulta un buen ejercicio, si los alumnos realizan la construcción, al momento de hacer la puesta en común. Es necesario contar con hojas blancas para construir figuras geométricas. Los alumnos trabajarán colaborativamente para recortar los cuadrados de papel de 10 x 10, éstos serán utilizados en el doblado, ensamblado, que formarán las aristas de los cubos. Es necesario seguir indicaciones para lograr la construcción de la figura geométrica. Registrar el proceso de la construcción de la figura geométrica por equipo para comentar posteriormente con los otros equipos. 34

La participación de todos los alumnos en el equipo favorece el desarrollo de habilidades motrices en el ensamblado de figuras que forman parte de otra figura compleja. Solicitar a los alumnos que recorten hojas tamaño carta, de tal manera que se puedan obtener cuatro recortes cuadrados de la mayor área posible. Serán 36 para cada equipo. Seguir las indicaciones de doblado de papel. Ver las siguientes imágenes para orientar la formación de la figura geométrica. El primer doblez sirve para determinar la diagonal de un área cuadrada.

El segundo doblez, es la parte de la hoja que se debe cortar y eliminar.

En la tercera imagen, aparecen los cortes realizados. Si le damos dos dobleces, se puede obtener los cuadrados que serán doblados y se podrán utilizar para formar las aristas del cubo.

35

En una hoja tamaño carta, se obtienen cuatro cuadrados iguales, calcular ¿cuántas hojas se requieren si necesitas 12 aristas para el cubo? Secuencia de actividades Al tener los cortes apropiados, continuar con los pasos para construir las aristas del cubo; seguir las instrucciones como se muestran en las siguientes figuras:

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Esta secuencia de dobleces es lo que se debe realizar, antes de empezar la construcción del cubo. El cubo tiene la forma que se muestra en la siguiente figura.

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Contestar las siguientes preguntas:  ¿A qué familia de figuras geométricas, pertenecen el cubo?  ¿Cuántos cuadrados, listos para las aristas, se necesitan para la construcción del cubo?  ¿Qué ocurre si no marcas bien los dobleces?  ¿Cómo se ensamblan las piezas, para formar las aristas?  ¿Se forma un cubo perfecto o se deforma fácilmente?  Construye dos cuadrados y trata de que se abracen entre sí, por una de sus aristas.  ¿Puedes formar un rectángulo con ambos cubos?  ¿Qué tendrías que hacer, para que no se deformara? Puesta en común de los productos Fortalecer el desarrollo psicomotriz y para esto se propone el siguiente reto que es construir la siguiente figura:

Es importante para la construcción de la figura geométrica, el contestar las siguientes preguntas por equipo:  ¿Cuántas aristas se necesitan para construirla?  ¿Cómo se llama dicha figura geométrica?  ¿A qué familia de figuras geométricas, pertenece la figura? 38

 ¿Cuántas figuras constituyen esta familia? Elegir a un representante del equipo y comentar sus respuestas a las preguntas que fueron planteadas, y de los inconvenientes a los que se enfrentaron, a lo largo de la actividad. Cualquier controversia que se presente dentro de la misma, permitirá la participación de los integrantes del equipo para enriquecer el trabajo y obtener los mejores logros en los alumnos. Cierre de la sesión Concluir que la construcción de figuras geométricas es la secuencia de pasos a seguir en una metodología de figuras regulares y las caras se conforman del mismo tipo. Como en el caso del cubo, todas sus caras son iguales y cuadradas. La pirámide triangular, sus caras son iguales y triangulares, son triángulos equiláteros. Al cierre de sesión, los alumnos contarán con la información necesaria, para determinar a qué familia de figuras geométricas pertenecen, tanto el cubo como el icosaedro. Los alumnos hablarán sobre las figuras geométricas conocidas como Platónicos, definiendo su característica principal. Con ello, podrán contestas a las siguientes preguntas:     

¿Cuántas figuras hay a las que se les llame Platónicas? Da el nombre de todas las figuras geométricas platónicas. ¿Qué tipo de polígonos definen sus caras? ¿Cuántos polígonos integran a cada una de las figuras platónicas? ¿Cuántas aristas se deben construir, para obtener cada una de las figuras platónicas?

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es conveniente que el profesor permita que los alumnos den a conocer sus ideas y posturas, con relación a lo que han observado, en el desarrollo de la presente actividad. Lo que se pretende es que, se de la comunicación, sin importar que las ideas de los alumnos se salgan de lo ortodoxo. Si se observa que están haciendo consideraciones erróneas, hacer que el grupo participe y que sean ellos los que retomen las ideas y que las enriquezcan hasta donde sea posible. El aceptar sus aportaciones y el permitir que el grupo participe en la solución de los comentarios, además de enriquecer, se está permitiendo que entre iguales, se apoyen y mejoren. 39

El favorecer la comunicación oral y escrita permite la oportunidad a los alumnos para que:  Razonen a través de las situaciones problemáticas que se ponen como retos a superar;  Formulen explicaciones recuperando conocimientos y relacionándolos entre ellos.  Empleen un vocabulario matemático que puedan comprender en diferentes contextos.  Experimenten formas diversas de argumentar en una solución a una situación cotidiana.  Justifiquen conjeturas que sean planteadas para la resolución a una situación o reto que se presente.  Critiquen justificaciones en soluciones planteadas.  Reflexionen acerca de su propio desempeño y el de otros.  Acepten que el error es parte del proceso en el aprendizaje.

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8. ¿QUÉ ES ESO DE LOS ALGORITMOS? APRENDIZAJES ESPERADOS   

Por medio de una situación problemática, los alumnos comprenderán la importancia del algoritmo en el planteamiento de la solución. A través de la argumentación y la conjetura, los alumnos solucionarán un problema y reconocerán las estrategias matemáticas empleadas. Los alumnos emplearán el trabajo colaborativo en la resolución de problemas desarrollando actitudes de tolerancia, respeto y cordialidad ante las ideas de otros.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO El zoológico. En 4 trozos de papel escriba el nombre de un animal y así repita esto por cinco veces, con los nombres de otros animales. Meta en una bolsa los papelitos, revuélvalos y pida a cada alumno tomar uno. Solicitar a los alumnos que imiten el sonido que produce el animal para buscar a su manada. Por ejemplo el león: serán cuatro alumnos imitando el mismo sonido. Al encontrarse los cuatro alumnos con el mismo nombre del animal, serán los integrantes que formen los equipos que trabajarán en la siguiente actividad. Es importante que la distribución de los nombres de los animales integren equipos que se formen, tanto por alumnas como por alumnos.

DESARROLLO DE LA SESIÓN La situación problemática para esta actividad, es la que se plantea a continuación: Un campesino desea atravesar un río, llevando un lobo, un borrego y una paca de heno. Como el único transporte es una embarcación, en la que sólo pueden ir el campesino y uno de los animales o la paca de heno. ¿Es posible que pueda cruzar el río? El lobo y el borrego, no pueden quedarse solos en una orilla mientras el campesino lleva el heno al otro lado, pues el lobo se comería al borrego. Así mismo, el cordero no puede quedarse con la paca de heno, mientras el campesino lleva el lobo hasta la otra orilla.  ¿Cuántas veces tuvo que cruzar el campesino el río?  ¿Hay otras soluciones al problema?  ¿Crees que haya una más corta?

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Secuencia de actividades Aunque el problema propuesto es muy explícito, no lo es con las ideas para llegar a la solución. Pero, se considera que las ayudas que se proporcionan, dan una idea sobre lo que se debe atender, si se proponen pasos o algoritmos de solución. Como se puede apreciar, el lobo y el borrego, no podrían estar solos, por ninguna circunstancia. Ocurriría lo mismo si se deja al borrego con su alimento. Se deben respetar estas condiciones, para que el problema no cambie y se llegue a transformar: ¿Cómo se resolvería? Esa es una pregunta interesante, así que, ponte en marcha para que logres cumplir con el cometido propuesto. Elaborar el modelo en el que se puedan apreciar los pasos necesarios, para lograr el objetivo propuesto en este problema. Puesta en común de los productos Como toda abstracción, este problema es interesante y más si podemos recrear la situación, por medio de un modelo. Si dan símbolos que representen a cada elemento del problema y al plantear una solución. Lo principal es que te diviertas y que compartas tu solución. Habrá quienes hayan obtenido algunas variantes, pero en todo caso, tendrás que argumentar sobre lo que realizaron. Cada conjetura será refutada y si eso ocurre, tendrás la oportunidad de enriquecer lo que han realizado. Fijarán una secuencia de pasos o una serie, por medio de la cual se obtenga el resultado deseado. Que los elementos participantes logren cruzar el río. El diálogo con tus compañeros te permitirá ver todas las posibilidades que dan solución a este problema y, por supuesto, la tuya es una de ellas. Cierre de sesión Al final, el grupo estará de acuerdo con el modelo obtenido. Si tu resultado es positivo, es conveniente que pongas a prueba tu modelo, aplicándolo a este problema, pero ahora haciendo las siguientes variables:  El heno, cámbialo por 4 kg de maíz.  El lobo, cámbialo por un perro.  El borrego, cámbialo por una gallina. o ¿Cómo es la solución?

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ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR El problema que se propone, está hecho para pensar y para que empiecen a jugar con las posibilidades que brinda la construcción de modelos simbólicos, para obtener soluciones a situaciones problemáticas. La idea es alcanzar un cierto nivel de abstracción y desarrollar la imaginación espacial. Aquí se verá con más claridad, lo importante que resulta el que los alumnos estén motivados. Les da la energía necesaria, para seguir jugando, aunque en ocasiones se crea que se está perdiendo la batalla. El favorecer la comunicación oral y escrita permite la oportunidad a los alumnos para que:  Razonen a través de las situaciones problemáticas que se ponen como retos a superar.  Formulen explicaciones recuperando conocimientos y relacionándolos entre ellos.  Empleen un vocabulario matemático que puedan comprender en diferentes contextos.  Experimenten formas diversas de argumentar en una solución a una situación cotidiana.  Justifiquen conjeturas que sean planteadas para la resolución a una situación o reto que se presente.  Critiquen justificaciones en soluciones planteadas.  Reflexionen acerca de su propio desempeño y el de otros.  Acepten que el error es parte del proceso en el aprendizaje.

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9. ¿QUÉ TANTO ES POQUITO? APRENDIZAJES ESPERADOS  

Los alumnos combinarán información visual y numérica para aplicar razones, proporciones y porcentajes en la resolución de problemas de la vida cotidiana. A través de la argumentación y la conjetura, los alumnos encontrarán la solución a un problema y reconocerán las estrategias matemáticas empleadas.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Complementar Colocar las bancas alrededor del salón dejando el espacio del centro despejado. Recortar 5 frases en secciones. Doblar cada una y revolverlas en una bolsa de plástico. Solicitar que cada alumno tome un papel, busquen el complemento y formen su equipo. Es importante que el número de integrantes de los equipos sea equitativo y tenga representatividad, tanto de alumnas como alumnos.

DESARROLLO DE LA SESIÓN Es necesario preparar con anticipación los materiales de cada equipo para el desarrollo de la actividad práctica. El propiciar un ambiente de confianza y cordialidad, ayudará a los alumnos a integrarse en el trabajo colaborativo para la solución de situaciones que se presenten. Secuencia de actividades En un parque cercano a la secundaria construyeron un recipiente en forma de prisma triangular que tiene una altura de 15 cm y uno de los lados de su base mide 10 cm. Si las 2/3 partes de su volumen equivale a 400 cm. ¿cuánto mide la altura del triángulo que forma la base?  ¿Pueden explicar con sus propias palabras de qué trata el problema?  ¿Los datos que se dan en el enunciado son suficientes? Expresen su opinión o determinen qué dato hace falta.  ¿Consideran que un dibujo ayudaría para entender mejor el problema o para resolverlo? ¿Por qué?  ¿Tiene idea de cómo resolver el problema? ¿Cuál es el primer paso que necesitan realizar para resolverlo?  ¿Será necesario conocer el volumen total del recipiente? Si así fuera, ¿tendría que recurrirse a la fórmula de volumen para obtener este dato? ¿Por qué?  ¿La altura del triángulo de la base es igual a la altura del prisma? ¿Por qué? 44

 Si la respuesta anterior fue negativa, entonces, ¿cómo se calcula la altura del triángulo de la base? Realicen un esquema donde representen el procedimiento para la solución del problema. Puesta en común de los productos Determinar las operaciones que deben hacer para obtener el resultado a la situación que se presenta. 1. 2. 3. 4.

Representen los pasos a seguir para resolver el problema. Corroboren que el resultado obtenido es el correcto. Identifiquen los datos conocidos y los desconocidos. Analicen si existe alguna fórmula que ayude a resolver el problema. a) ¿Cómo comprobarían que su resultado fue el correcto? b) Si el problema se acompañara con el siguiente dibujo, ¿qué datos ocuparía?, ¿le sobran datos?, ¿le faltan?

Cierre de la sesión La puesta en común, permite que todos lleguen a la misma conclusión y que, los que no lo lograran, aclaren sus dudas y, al mismo tiempo, modifiquen sus creencias, con relación a La actividad propuesta. Los procesos que se dan en el estudio de las matemáticas y en la resolución de problemas, son los que se tratan de atender, al presentar a los alumnos, actividades como las que aquí se están trabajando. Se debe lograr que el alumno forme parte de la actividad y que se sienta comprometido en su realización.

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Con lo aprendido en esta actividad, ahora te proponemos la siguiente situación, en la que se puede observar la importancia que tienen los datos en una figura y la forma en que se pueden utilizar. Calcula el volumen de la siguiente figura geométrica: Si se tiene V = Ab * h Nos lleva a determinar: V = 4 * 3 4: núm. de unidades que cubren la base. 3: hay tres capas de dichas unidades. Es válido calcular el volumen de un prisma con la fórmula para el cálculo del volumen de un paralelepípedo. Primero se encuentra el número de unidades que cubren la base y se multiplica por el número de capas.     

¿Cómo se calcula del número de unidades que cubren la base? ¿A qué equivale el número de capas, de acuerdo a la fórmula del prisma? ¿Cuál sería el volumen de la figura propuesta? ¿La expresión se cumple en todos los casos? ¿Qué dimensiones debe tener el prisma, si tiene siete unidades de base?

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es conveniente que el profesor permita que los alumnos den a conocer sus ideas y posturas, con relación a lo que han observado, en el desarrollo de la presente actividad. El aceptar sus aportaciones y el permitir que el grupo participe en la solución de los comentarios, además de enriquecer, se está permitiendo que entre iguales, se apoyen y mejoren. El favorecer la comunicación oral y escrita permite la oportunidad a los alumnos para que:  Razonen a través de las situaciones problemáticas que se ponen como retos a superar.  Formulen explicaciones recuperando conocimientos y relacionándolos entre ellos.  Empleen un vocabulario matemático que puedan comprender en diferentes contextos.  Experimenten formas diversas de argumentar en una solución a una situación cotidiana. 46

 Justifiquen conjeturas que sean planteadas para la resolución a una situación o reto que se presente.  Critiquen justificaciones en soluciones planteadas.  Reflexionen acerca de su propio desempeño y el de otros.  Acepten que el error es parte del proceso en el aprendizaje.

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10. VEO, VEO Y TÚ ¿QUÉ VES? APRENDIZAJES ESPERADOS   

Los alumnos combinarán información visual y numérica para aplicar razones, proporciones y porcentajes en la resolución de problemas de la vida cotidiana. Los alumnos utilizarán la argumentación y la conjetura para solucionar un problema y reconocer las estrategias matemáticas empleadas. Los alumnos trabajarán colaborativamente en la resolución de problemas, para desarrollar actitudes de tolerancia, respeto y cordialidad ante las ideas de otros.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Naufragio. Colocar las bancas alrededor del salón dejando el espacio del centro despejado. En el piso del salón poner cinco hojas de periódico, solicitar a los alumnos que transiten por todo el salón e indicar que se encontraban en un barco y que acaban de chocar con unas rocas y se están hundiendo y tienen que subirse en unas lanchas (son las hojas del periódico) donde caben 7 personas; al decir esto, los alumnos forman equipos de 7 integrantes y tienen que estar todos dentro de la hoja del periódico, los que no alcanzan a subir a una lancha se quedan por el momento fuera. Se vuelve a dar la indicación de que tienen que caminar por todo el salón y ahora se dice que caben 6 en la lancha y forman ahora equipos de 6; por último, vuelven a caminar por el salón y se indica que ahora serán de 5 en las lanchas. Se espera que todos los alumnos estén formando parte de una lancha (equipo). Es importante que el número de integrantes de los equipos sea equitativo y tenga representatividad, tanto de alumnas como alumnos.

DESARROLLO DE LA SESIÓN Es necesario preparar con anticipación los materiales de cada equipo, para el desarrollo de la actividad práctica. El propiciar un ambiente de confianza y cordialidad, ayudará a los alumnos a integrarse en el trabajo colaborativo, para la solución de situaciones que se presenten. Secuencia de actividades Construyan cuatro cubos de cartulina de color verde de dimensiones 3x3x3, 4x4x4, 5x5x5 y 6x6x6 y cortados en cubos de dimensiones 1x1x1, como se muestra a continuación:

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Establezcan una expresión que permita calcular, para los cubos anteriores y para un cubo de dimensiones nxnxn la cantidad de cubos 1x1x1 que sólo tienen dos caras pintadas. Contestar lo siguiente. a) b) c) d) e) f) g) h)

¿De qué trata el problema? ¿Qué se le está pidiendo? ¿Cómo lo resolvería? ¿Cuántas respuestas tendrá que dar? ¿Dónde se ubican los cubos de 1x1x1 que no tienen ninguna cara pintada? ¿Dónde están los cubos de 1x1x1 que tienen una cara pintada? ¿Dónde están los que tienen caras pintadas? Marque aquellos que tienen dos caras pintadas. Una alumna, para resolver el problema, puso un punto en aquellos cubos de 1x1x1 que pensó tenían sólo dos caras pintadas.

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Concluyó: Dimensiones del cubo

3x3x3 4x4x4 5x5x5 6x6x6 nxnxn

Cantidad de cubos de 1 x 1 x 1 con dos caras pintadas 9 18 27 36 (n – 2) 9

Puesta en común de los productos  ¿Es adecuado el procedimiento que utilizó la alumna? ¿Por qué?  ¿Son correctos los resultados a los que llegó la alumna? ¿No le faltó contar ningún cubo de 1 x 1 x 1 que tuviera dos caras pintadas? ¿Por qué?  En caso de ser incorrectos, elabore una tabla con los resultados correctos. Cierre de la sesión La puesta en común, permite que todos lleguen a la misma conclusión y que, los que no lo lograron, aclaren sus dudas y, al mismo tiempo, modifiquen sus creencias, con relación a la actividad propuesta. Los procesos que se dan en el estudio de las matemáticas y en la resolución de problemas, son los que se tratan de atender, al presentar a los alumnos, actividades como las que aquí se están trabajando. Se debe lograr que el alumno forme parte de la actividad y que se sienta comprometido en su realización. Prueba lo que experimentaste en esta actividad, con las siguientes figuras. - ¿Cuántos cubos hay en la figura? ______ - ¿Cuál es la posición de los cubos? _____ - ¿Están de cabeza? ___________

Has la observación, considerando que lo negro es la parte superior de los cubos. Para la siguiente figura: 50

- ¿Cuántos cubos ves? _______ - ¿Cuántos cubos pequeños aparecen en la figura? _________ - ¿Consideras que pueden ser la mitad de los que se pueden construir en el cubo mayor? ___________ - ¿Cómo ves la figura? ___________ - ¿Crees que se encuentren de cabeza los cubos y la figura total? ___________

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es conveniente que el profesor permita que los alumnos den a conocer sus ideas y posturas, con relación a lo que han observado, en el desarrollo de la presente actividad. El aceptar sus aportaciones y el permitir que el grupo participe en la solución de los comentarios, además de enriquecer, propicia que entre iguales, se apoyen y mejoren. El favorecer la comunicación oral y escrita permite la oportunidad a los alumnos para que:  Razonen a través de las situaciones problemáticas que se ponen como retos a superar.  Formulen explicaciones recuperando conocimientos y relacionándolos entre ellos.  Empleen un vocabulario matemático que puedan comprender en diferentes contextos.  Experimenten formas diversas de argumentar en una solución a una situación cotidiana.  Justifiquen conjeturas que sean planteadas para la resolución a una situación o reto que se presente.  Critiquen justificaciones en soluciones planteadas.  Reflexionen acerca de su propio desempeño y el de otros.  Acepten que el error es parte del proceso en el aprendizaje.

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11. ¿CUÁNTA BEBIDA PARA LA FIESTA? APRENDIZAJES ESPERADOS 

 

Los alumnos comprenderán, por medio de la preparación de bebidas, a relacionar e interconectar números y razones en procedimientos relacionados con situaciones cotidianas. Los alumnos utilizarán la argumentación y la conjetura en la solución a un problema y el reconocimiento de las estrategias matemáticas empleadas. Los alumnos emplearán el trabajo colaborativo en la resolución de problemas para desarrollar actitudes de tolerancia, respeto y cordialidad ante las ideas de otros.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Cuidar al amigo/a. Colocar las bancas alrededor del salón dejando el espacio del centro despejado. Formar equipos de 4 o 5 integrantes y distribuir la misma cantidad de globos del mismo color, para que se inflen y amarrarlos a un costado del tobillo. Entre los equipos van a tratar de tronar los globos de los otros equipos y se cuidaran entre los integrantes de que sus globos permanezcan sin que los rompan, el equipo que mantenga más globos a salvo gana. Es importante que el número de integrantes de los equipos sea equitativo y tenga representatividad, tanto de alumnas como de alumnos. En una puesta en común, dar a conocer sus conclusiones ante todo el grupo, para que argumenten, sobre las posibles observaciones.

DESARROLLO DE LA SESIÓN Es necesario preparar con anticipación los materiales de cada equipo, para el desarrollo de la actividad práctica. El propiciar un ambiente de confianza y cordialidad, ayudará a los alumnos a integrarse en el trabajo colaborativo, para la solución de situaciones que se presenten.

Secuencia de actividades La banda “Chips” de música Rock, está organizando un concierto. Los grupos de tercer grado se encargarán de las bebidas. Una de las bebidas que se van a servir es jugo de frutas. En la sala de juntas de los docentes se van a preparar, de acuerdo con cuatro recetas, que proporcionó un alumno, a base de soda y jugo de arándano.

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1. ¿Con que receta se hará la bebida con más sabor a arándano? 2. ¿Con qué receta se hará la bebida con menos sabor a arándano? 3. El representante de los terceros dice que se necesitan 120 vasos de bebida. ¿Cuántos vasos de jugo de arándano y cuántos de soda se necesitan para cada receta? Los alumnos forman cinco equipos y proponen experimentar con una de las recetas para preparar y determinar la bebida con más sabor, con menos sabor y cubrir la cantidad de 120 vasos de arándano. Puesta en común de los productos Analizar cada una de las propuestas de solución, con la receta que trabajaron y debatir cual de los equipos logró seleccionar la receta correcta, para preparar las bebidas y la cantidad de 120 vasos. Equipo con receta A Con 2 vasos de jugo y 3 vasos de agua se obtienen 5 vasos de bebida. Por tanto, para obtener 120 vasos de bebida necesitan hacer 120 dividido por 5, que es 24, veces la mezcla. Y como necesitamos 2 vasos de jugo y 3 vasos de soda cada vez, nos hacen falta 2 x 24 = 48 vasos de jugo y 3 x 24 = 72 vasos de soda. Dado que 48 vasos de jugo + 72 vasos de soda dan 120 vasos de bebida, el resultado tiene que ser correcto. Equipo con receta B Hacen la relación entre 4 vasos de jugo y 8 vasos de soda es la misma que la relación entre 1 vaso de jugo y 2 vasos de soda. Luego imaginan los 120 vasos 53

repartidos entre tres grupos de 40 vasos cada uno: 40 +40 + 40 = 120. Se necesita 1 parte de jugo (o sea, 40 vasos) y 2 partes de soda (o sea, 80 vasos). Esto hace 120 vasos de refresco, y todavía se tiene una razón de 1 parte de jugo a 2 partes de soda. Equipo con receta C Se tiene que duplicar las cantidades de jugo y soda, pero esto no era suficiente. Las triplicamos y tampoco bastaba. Así, seguimos considerando equimúltiplos de 2 y 5 y viendo cuántos vasos de bebida contenía al sumarlos. De esta forma se llega a los 120 vasos, obtenidos con 45 vasos de jugo y 75 de soda. Grupo con receta D Ensayan con varios números. Posteriormente, con 20 vasos de jugo. Necesitan, por tanto, 80 vasos de soda. Pero esto era poco, ya que 20 + 80 es sólo 100. Probamos con 30 vasos de jugo y, en consecuencia, 30 x 4 = 120 vasos de soda. Así, resultaba demasiada bebida, 30 + 120 = 150. Con 25 vasos de jugo, resultaban 100 de soda y 125 de bebida, lo que era más próximo a 120. Vieron finalmente, que con 24 vasos de jugo y el cuádruplo, 96 de soda, podían obtener las 120 bebidas que se necesitan (24 + 96 = 120). ¿Existirá otra forma que, al seleccionar una de las recetas, se llegue al resultado esperado? Comentarlo por equipo y plantear su solución. Cierre de la sesión La puesta en común, permite que todos lleguen a la misma conclusión y que, los que no lo lograron, aclaren sus dudas y, al mismo tiempo, modifiquen sus creencias, con relación a la actividad propuesta. Los procesos que se dan en el estudio de las matemáticas y en la resolución de problemas, son los que se tratan de atender, al presentar a los alumnos, actividades como las que aquí se están trabajando. Se debe lograr que el alumno forme parte de la actividad y que se sienta comprometido en su realización, independientemente de que vaya a obtener alguna evaluación. Se puede extrapolar la actividad, dando oportunidad de hacer que una de las recetas, que no fueron seleccionadas, se pueda utilizar para obtener una preparación de bebida, que pueda cumplir con lo que se pide para 120 vasos. A final de cuentas, se podría quitar la limitante de los 120 vasos y que se tenga la misma calidad de bebida.

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- ¿Cuál de la recetas podría producir dicho resultado?

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es conveniente que el profesor permita que los alumnos den a conocer sus ideas y posturas, con relación a lo que han observado, en el desarrollo de la presente actividad. El aceptar sus aportaciones y el permitir que el grupo participe en la solución de los comentarios, además de enriquecer, se está permitiendo que entre iguales, se apoyen y mejoren. El favorecer la comunicación oral y escrita permite la oportunidad a los alumnos para que:  Razonen a través de las situaciones problemáticas que se ponen como retos a superar.  Formulen explicaciones recuperando conocimientos y relacionándolos entre ellos.  Empleen un vocabulario matemático que pueda comprender en diferentes contextos.  Experimenten formas diversas de argumentar en una solución a una situación cotidiana.  Justifiquen conjeturas que sean planteadas para la resolución a una situación o reto que se presente.  Criticar justificaciones en soluciones planteadas.  Reflexionen acerca de su propio desempeño y el de otros.  Acepten que el error es parte del proceso en el aprendizaje.

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12. ¿EL JUEGO ES JUSTO? APRENDIZAJES ESPERADOS  

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Los alumnos aprenderán, por medio de un juego de dados, a calcular valores esperados en situaciones cotidianas. Los alumnos decidirán, por medio de sus conocimientos sobre las distribuciones de probabilidad y el valor esperado, si es o no justo el juego de dados al aplicar la probabilidad. Los alumnos aprenderán a trabajar colaborativamente en la resolución de problemas para desarrollar actitudes de tolerancia, respeto y cordialidad ante las ideas de otros.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Jugar a la gallina ciega. Cubrir los ojos de un compañero/a con un suéter (o de preferencia con un paño o pañuelo limpios); y, ella o él, selecciona a cinco compañeros, a los cuales se les cubren sus ojos de igual manera para que ellos elijan a 4 o 5 integrantes del equipo (según el total del grupo). Es importante que el número de integrantes de los equipos sea equitativo y tenga representatividad, tanto de alumnas como de alumnos. Esta dinámica es solamente para organizar los equipos y que trabajen de manera colaborativa en la actividad práctica.

DESARROLLO DE LA SESIÓN El propiciar un ambiente de confianza y cordialidad, ayuda a los alumnos a integrarse en el trabajo colaborativo para la solución de situaciones que se presenten. Es importante monitorear los equipos, para escuchar los argumentos que manejan y, si es necesario, reorientar sus ideas sin necesidad de dar las respuestas. Secuencia de actividades Los alumnos aprenderán a calcular valores esperados. Pueden utilizar sus conocimientos sobre las distribuciones de probabilidad y el valor esperado, para decidir si es o no justo el siguiente juego. Lanzas dos dados tetraédricos con las caras numeradas con 1, 2, 3 y 5. Ganas un número de fichas igual a la suma de los puntos correspondientes a las caras que quedan ocultas y, por participar en el juego, pagas 5 fichas.

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Los profesores pueden pedir a los alumnos que discutan sobre si el juego es justo y, quizás, deban permitirles jugar varias partidas para ver si hay algunas tendencias en los resultados que obtengan. Y luego, dejar que lo analicen. Primero, es necesario que describan el espacio muestral, que se corresponde con el lanzamiento de dos dados tetraédricos.

La fila superior, muestra los puntos en las caras del primer dado; la columna de la izquierda, muestra los correspondientes al segundo dado. Las sumas posibles se indican en las otras casillas de la tabla. Dado que todos estos resultados son igualmente probables, cada uno tiene 1/16 de probabilidad de ocurrir. Puesta en común de los productos Los alumnos pueden calcular que la probabilidad de obtener una suma igual a 2 es de 1/16; igual a 3, de 1/8; igual a 4, de 3/16; igual a 5, de 1/8; igual a 6, de 3/16; igual a 7, de 1/8; igual a 8, de 1/8; e igual a 10, de 1/16. El valor esperado de “ingresos” en fichas de un jugador, al lanzar los dos dados es, por lo tanto:

[2(1/16) + 3 (1/8) + 4 (3/16) + 5 (1/8) + 6 (3/16) + 7 (1/8) + 8 (1/8) + 10(1/16)] = 5.5 Fichas. Dado que el jugador paga 5 fichas por participar en el juego, la ganancia efectiva es de 0,5 fichas. Por tanto, el juego no es estadísticamente justo, ya que el jugador puede esperar ganar. También pueden utilizar el espacio muestral para responder a preguntas sobre probabilidad condicionada. Ejemplo: Suponiendo que la suma sea par, ¿qué probabilidad hay de que sea igual a 6? Dado que diez de las sumas del espacio muestral son pares, y tres de ellas igual a 6, la probabilidad es 3/10.

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Cierre de la sesión La puesta en común, permite que todos lleguen a la misma conclusión y que, los que no lo lograran, aclaren sus dudas y, al mismo tiempo, modifiquen sus creencias, con relación a la actividad propuesta. Los procesos que se dan en el estudio de las matemáticas y en la resolución de problemas, son los que se tratan de atender, al presentar a los alumnos, actividades como las que aquí se están trabajando. Se debe lograr que el alumno forme parte de la actividad y que se sienta comprometido en su realización, independientemente de que vaya a obtener alguna evaluación. Para este cierre, ¿qué te parece si construyes tu tetraedro? Para ello, se te propone una serie de pasos, para hacerlo por doblado de papel. Puedes utilizar los recortes realizados para el cubo, siguiendo las indicaciones que aparecen en este apartado.

Empezar con los que aquí aparecen:

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ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es conveniente que el profesor permita que los alumnos den a conocer sus ideas y posturas, con relación a lo que han observado, en el desarrollo de la presente actividad. El aceptar sus aportaciones y el permitir que el grupo participe en la solución de los comentarios, además de enriquecer, se está permitiendo que entre iguales, se apoyen y mejoren. El favorecer la comunicación oral y escrita permite la oportunidad a los alumnos para que:  Razonen a través de las situaciones problemáticas que se ponen como retos a superar.  Formulen explicaciones recuperando conocimientos y relacionándolos entre ellos.  Empleen un vocabulario matemático que puedan comprender en diferentes contextos.  Experimenten formas diversas de argumentar en una solución a una situación cotidiana.  Justifiquen conjeturas que sean planteadas para la resolución a una situación o reto que se presente.  Critiquen justificaciones en soluciones planteadas.  Reflexionen acerca de su propio desempeño y el de otros.  Acepten que el error es parte del proceso en el aprendizaje.

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13. TARJETA MÁGICA APRENDIZAJES ESPERADOS 

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Los alumnos desarrollarán habilidades de comunicación y argumentación, con un juego de tarjetas, para reconocer que existen diferentes métodos en la solución de un problema. Los alumnos trabajarán de forma colaborativa, para poner a prueba lo que consideran con su par, grupo y profesor. Los alumnos aprenderán a trabajar colaborativamente en la resolución de problemas para desarrollar actitudes de tolerancia, respeto y cordialidad ante las ideas de otros.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO El limón en su lugar. Colocar las bancas en círculo para dejar despejada el área del centro del salón. Cinco voluntarios (alumnas y alumnos), tendrán que llevar entre las rodillas un limón al extremo del salón y depositarlo en una bolsa que tenga sostenida un compañero. Esto es para animar al grupo a trabajar en la siguiente actividad. Formar equipos de dos alumnos que trabajarán en el desarrollo de las actividades. Es importante que el número de integrantes de los equipos esté conformado por alumnas y alumnos.

DESARROLLO DE LA SESIÓN Propiciar que los alumnos se involucren en la realización de las actividades, para que logren resolver la situación que se presenta. Evitar dar soluciones, para que entre los alumnos propongan posibles métodos que crean que les podrán ser de ayuda, en un proceso de prueba y error. Favorecer que argumenten con respecto a las rutas propuestas de solución, sin importar lo que propongan al inicio, ya que todo lo tendrán que probar. Es importante orientarlos para lograr atravesar la tarjeta, pero a base de preguntas que orienten a los alumnos, hacia una posible respuesta. Tampoco se les dirá si está bien lo que proponen, ya que ellos mismos, tendrán que responderse, al poner en práctica su idea.

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Secuencia de actividades Solicitar a los alumnos que introduzcan a su compañero de equipo, a través de una tarjeta del tamaño de una ficha de trabajo (la mitad de una hoja tamaño carta). En binas, proponer diferentes maneras de cómo hacer pasar a su compañero, a través de una tarjeta. Planear diferentes métodos de resolver la situación y ponerlas en práctica. Escribir en su cuaderno los resultados de la metodología que siguieron. Realizar la siguiente ruta, para dar solución al reto propuesto y comparar con su metodología que llevaron a cabo, así como los resultados que obtuvieron: Se dobla la tarjeta y se le trazan dos rectas paralelas, próximas a los bordes de 1 cm de ancho, aproximadamente; éstas se identifican con las letras A y B. Se hacen dos cortes paralelos, desde el borde doblado; uno que pase por el punto A y otro, por el punto B, y que no rebase la paralela del otro extremo. Es recomendable hacer los cortes de afuera hacia adentro, hacia el centro de la tarjeta. Se deja a los alumnos la posibilidad de determinar el ancho de los cortes, para que al final observen que mientras más estrechos sean dichos cortes, al desenrollar la tarjeta, ésta adquiera un mayor diámetro. Finalmente, del lado donde se encuentra el doblez, se corta éste con unas tijeras, desde el punto A, hasta el punto B, dejando los bordes sin cortar.

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Puesta en común de los productos Después de haber cumplido con el propósito de la actividad, proponerles que hagan algo similar, pero con una tarjeta más pequeña y observen lo que ocurre. Que utilicen una tarjeta del tamaño de las fichas bibliográficas.  ¿Qué tendrían que hacer, para lograr que su compañero de equipo, logre atravesar una tarjeta de papel, del tamaño de una ficha bibliográfica?  ¿A qué distancia se tendrán que ir haciendo los cortes, para que se cumpla con el propósito de hacer que su compañero atraviese por la tarjeta y que ésta no se rompa? Los alumnos presentarán los procesos realizados, así como cada uno de los intentos y pruebas que realizaron, para poder llegar al resultado esperado. Es importante hacer notar, que el trabajo colaborativo favorece el compartir ideas y lograr la resolución de un problema. Cierre de la sesión El alumno mostrará que su trabajo cumple con la solución al reto propuesto en la actividad, haciendo que su compañero de equipo, pase a través de la tarjeta. Esto lo podrá realizar de forma cómoda. Lo mismo debe ocurrir, con la ficha bibliográfica. La puesta en común, permite que todos lleguen a la misma conclusión y que, los que no lo logran, aclaren sus dudas y, al mismo tiempo, modifiquen si es necesario, sus propuestas con relación a la actividad. Deberán probar su método para lograr que su compañero de equipo, pase a través de la ficha de trabajo (del tamaño de una media hoja carta), pero ahora, lo tendrán que realizar, con una tarjeta del tamaño de una ficha bibliográfica, aproximadamente de la cuarta parte de la media hoja carta. Con esto, tienen que ver si el tamaño de los cortes realizados, son apropiados, para el caso de un material más pequeño y cómo tendrían que realizarlos, para que se pueda pasar a través de ella.

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es conveniente que el profesor de oportunidad de que los alumnos expongan a los demás, sus ideas y aportaciones. En estos casos, favorecer la tolerancia y el respeto, hacia aquellos que no opinan lo mismo que ellos.

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Dejar que los alumnos pongan en práctica cada una de sus ideas, para identificar sus fortalezas y debilidades, el dar solución a una situación problemática y lograr avanzar en la construcción de su aprendizaje. Orientar con ideas, en forma de preguntas y evitar el dar las respuestas. Propiciar con el desarrollo de la actividad, que el alumno aprenda haciendo y transformando sus propios conocimientos previos, para generar un razonamiento lógico, al plantear estrategias. El favorecer la comunicación oral y escrita permite la oportunidad a los alumnos para que:  Razonen a través de las situaciones problemáticas que se ponen como retos a superar.  Formulen explicaciones recuperando conocimientos y relacionándolos entre ellos.  Empleen un vocabulario matemático que puedan comprender en diferentes contextos;  Experimenten formas diversas de argumentar en una solución a una situación cotidiana;  Justificar conjeturas que sean planteadas para la resolución a una situación o reto que se presente.  Critiquen justificaciones en soluciones planteadas.  Reflexionen acerca de su propio desempeño y el de otros.  Acepten que el error es parte del proceso en el aprendizaje.

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14. ¿CUÁNTOS SON? APRENDIZAJES ESPERADOS  

Los alumnos analizarán una construcción geométrica, utilizando la atención y la concentración. Los alumnos reconocerán, por medio de una situación problemática, los diferentes tipos de triángulos para aplicar su conocimiento en contextos diferentes.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Que los alumnos trabajen en equipos, para reproducir la figura propuesta en la situación problemática, con el fin de ir descubriendo los diferentes triángulos que están presentes en una construcción particular. Se deberá poner especial atención a las propiedades que se mencionan en el problema y alcanzar el objetivo propuesto. El tener presentes las características que se indican en el enunciado, nos dará más oportunidad de encontrar lo que se nos solicita. Cada actividad deberá ser debidamente reportada y anotada, para llevarla a una puesta en común.

DESARROLLO DE LA SESIÓN A propósito de los buenos observadores. En esta actividad tendrás que poner en juego tus habilidades, para descubrir las familias de triángulos que aquí se te están pidiendo. Si es necesario, hay que ponerse de cabeza o girar la hoja de tu actividad, para ir descubriéndolos. Es un desarrollo diferente para la imaginación espacial, ya que se te pide que vayas encontrando determinadas figuras y que las diferencies. Es un buen entrenamiento, para el que desea ser un buen investigador. No hay mucho que decir al respecto, pero sí tendrás que concentrar toda tu atención, para alcanzar el propósito que plantea el problema. Secuencia de actividades Esta es la situación problemática planteada para la actividad. Recuerda que el centrar tu atención y evitar las distracciones, serán puntos fundamentales, para encontrar lo que te plantea el problema: En la siguiente figura aparece una gran cantidad de triángulos. ¿Serán muchos? Existen cinco diferentes tamaños de triángulos rectángulos: tres tamaños diferentes de triángulos equiláteros y tres tamaños diferentes de triángulos isósceles. ¿Cuántos triángulos de cada clase hay? 68

Puesta en común de los productos Será interesante que los alumnos expliquen la forma en que se organizaron para ir descubriendo cada una de las figuras y posiblemente, en la misma puesta en común, irán encontrando otras más. Es complejo el que los estudiantes alcancen ese nivel de concentración o que logren poner la suficiente atención. Esto se podrá observar al momento de que se vaya dando la exposición. Sin embargo, la motivación que estén recibiendo, permitirá que no cesen en su intento y que realicen su mejor esfuerzo. Puede ser que generen sus propias estrategias, lo cual resultará interesante de observar y dar la libertad de que den a conocer su forma de trabajo. Lo ideal es que se sientan a gusto, para que sean capaces de proponer y, al mismo tiempo, enriquecer la presentación de la solución. Para que esto sea enriquecedor, la motivación de los alumnos deberá ser constante y siempre tendiente a que se conozcan sus trayectos, a lo largo de su exposición. Todo depende de la intención que se genere en cada equipo de trabajo. Recuerden que cualquier propuesta va a ser válida. La puesta en común y el diálogo que se genere en el grupo, es el que determinará, la mejor aproximación a la solución del problema. Cierre de sesión Por lo expuesto hasta este punto, será interesante el cierre, comprobando que se haya alcanzado el resultado esperado. Las dudas que se externen, serán de gran ayuda, porque lo que esperan los alumnos, al menos en este caso, no se dará dentro de su marco de 69

comprensión. El diálogo en torno a esta actividad proporcionará elementos de gran riqueza, que se espera apoyen el que se dé una aproximación al resultado, además de una mayor comprensión sobre la clasificación de los diferentes triángulos. Las ideas que se les propongan, deben ser tales que, no se les dé la respuesta, sino que se les den ideas con las que puedan acceder a una posible respuesta, incluso, a partir de una serie de preguntas. Para que continúes con la concentración y con las buenas observaciones, te proponemos la siguiente construcción, que tendrás que resolver, de acuerdo con su enunciado. Los 15 puntos de la figura, se colorean de rojo y verde. Prueba que no importa en qué forma se realice la coloración siempre existen tres puntos del mismo color que son los vértices de un triángulo equilátero. Nota: Numera los puntos como se muestra en la figura 2, y considera lo siguiente: el triángulo formado por los puntos (5), (8) y (9). Si todos tienen el mismo color, se demostró lo que pide el enunciado. Pero si (8) y (9), son de color verde y el (5) de color rojo. Si el (13) es verde, está demostrado. Pero si fuera rojo, y (7) o (10) son rojos, entonces, el triángulo (7), (5), (13) o el (10), (5), (13), darán la respuesta. Y así, sucesivamente.

 ¿Qué similitudes encuentras en los dos casos propuestos en la actividad?  ¿Se pueden resolver de manera similar?  ¿Qué diferencias encuentras entre los dos casos? 70

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR El problema que se propone, está hecho para pensar, pero no todo es como parece. Pensar de forma lógica, te puede dar una idea sobre lo que se puede decir en la respuesta. La idea es centrarse en lo que se está pidiendo y evitar sesgos inesperados o situaciones que nos interrumpan y nos alejen de nuestra meta. Por lo anterior, resulta muy importante el proceso que permita el que los alumnos se sientan motivados. De que se haya creado el ambiente propicio, para lograr el reconocimiento de las propiedades buscadas, en la figura propuesta. Se debe seguir jugando, aunque se crea desfallecer y a punto de perder la batalla. El favorecer la comunicación oral y escrita permite la oportunidad a los alumnos para que:  Razonen a través de las situaciones problemáticas que se ponen como retos a superar.  Formulen explicaciones recuperando conocimientos y relacionándolos entre ellos.  Empleen un vocabulario matemático que puedan comprender en diferentes contextos.  Experimenten formas diversas de argumentar en una solución a una situación cotidiana.  Justifiquen conjeturas que sean planteadas para la resolución a una situación o reto que se presente.  Critiquen justificaciones en soluciones planteadas.  Reflexionen acerca de su propio desempeño y el de otros.  Acepten que el error es parte del proceso en el aprendizaje.

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15. REGLA SIN GRADUAR APRENDIZAJES ESPERADOS 

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Los alumnos determinarán, por medio de figuras geométricas, distancias con instrumentos sin graduar, como se hacía en la antigüedad para valorar los adelantos que se tienen en la actualidad. Los alumnos determinarán, las distancias en una figura dada, sin recurrir a su juego de geometría, para desarrollar habilidades de razonamiento matemático.

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Que los alumnos trabajen en equipos para reproducir la figura propuesta en la situación problemática, con el fin de percibir las propiedades del mismo y darle la solución apropiada. Al descubrir estas propiedades, se podrá determinar la forma en que se dé la distancia que se pide, sin recurrir a un instrumento de medición con graduación (sin regla graduada). Cada actividad deberá ser debidamente reportada y anotada, para llevarlo a una puesta en común.

DESARROLLO DE LA SESIÓN En la antigüedad, en la cultura griega, los filósofos hablaban de distancias y medidas, pero no le daban un valor, ya que en ese tiempo no existían los pesos y medidas como se tienen en la actualidad. Era obligatorio hacer demostraciones con instrumentos sin graduar y es lo que se plantea en esta actividad. Se dan referencias que van orientando el trabajo de los alumnos, de tal manera que de forma intuitiva, encuentren el resultado de un problema en el que no se puede utilizar un instrumento graduado, como lo es la regla. Se puede acceder a la forma de la construcción que se muestra en la figura, si se intenta hacerla desde el principio. Es una forma en la que se podrán dar cuenta de los detalles que en ella aparecen y determinarán al mismo tiempo, lo que en el problema se está pidiendo. Secuencia de actividades Este es el problema que se propone en la actividad, que todo sea sin graduar, para la medida. De acuerdo a la siguiente figura, si se tuviese una regla graduada, se podría determinar la longitud del segmento propuesto. Pero, no se encontró una, con la que se pudieran medir los centímetros. La figura consiste en dos circunferencias con centros marcados en P y Q. Se sabe que el segmento PQ mide 4 centímetros. ¿Cuánto mide el segmento MN, paralelo a PQ? 72

Puesta en común de los productos Posiblemente nadie logre dar respuesta al problema, porque todos tenemos la idea de operar y estarán tratando de verlo desde un aspecto matemático. Se darán cuenta al final, que esto no será necesario, pero en el trayecto, tendrán dolor de cabeza. Puede ser que intenten crear su propia unidad de medida, tal vez eso sea oportuno. Pero, todo depende de la intención que se genere en cada equipo de trabajo. Recuerden que cualquier propuesta va a ser válida. La puesta en común y el diálogo que se genere en el grupo, es el que determinará, cuál será la respuesta que más se aproxime a la solución del problema. Espero que esto les sirva de ayuda, aunque la psicología nos juega en muchas ocasiones más problemas que aquellos que nos puede eliminar. Si te sigue causando situaciones de conflicto, lo podemos dejar para el final. Pero, si te aplicas, el dolor de cabeza se convertirá en hilaridad. Intenta de nuevo y sabrás de qué te estoy hablando.

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Cierre de sesión Por lo expuesto hasta este punto, será interesante el cierre, comprobando que se haya alcanzado el resultado esperado. Las dudas que se externen, serán de gran ayuda, porque lo que esperan los alumnos, al menos en este caso, no se dará dentro de su marco de comprensión. El diálogo en torno a esta actividad, proporcionará elementos de gran riqueza, que se espera apoyen el que se dé una aproximación al resultado. La parte numérica estará socorrida por los alumnos, al momento de pretender generar su propia unidad de medida. Pero, cuando se logre el propósito, esperamos que los alumnos lo tomen como un motivo para acercarse a la solución. Las ideas que se les proporcionen, deben ser tales que, no se les dé la respuesta, sino que se les den ideas con las que puedan acceder a una posible respuesta. Ya que hayan logrado cumplir con el propósito de la actividad, se les dará la siguiente situación. ¿Cómo lo abordarían? En la siguiente figura se supone que AB = 5, BD = 5, BC = 7 y AC = 9. Encuentra la razón.

¿Se requiere de instrumentos de medición graduados?

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¿En dónde se debe colocar el punto E, de forma que BE, sea radio de una circunferencia? ¿Se pueden resolver de manera tal que no se requiera de mediciones directas?

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR El problema que se propone, está hecho para pensar, pero no todo es como se parece. Si no requieres de cálculos, sólo se debe pensar de forma lógica y lo que te dicen, puede ser la respuesta. La idea es entrar en la mente del que debe dar la respuesta y no sabe nada de acomodos, ni matemáticas. Aquí se verá con más claridad, lo importante que resulta el que los alumnos estén motivados. Les da la energía necesaria, para seguir jugando, aunque en ocasiones se crea que se está perdiendo la batalla. El favorecer la comunicación oral y escrita permite la oportunidad a los alumnos para que:  Razonen a través de las situaciones problemáticas que se ponen como retos a superar.  Formulen explicaciones recuperando conocimientos y relacionándolos entre ellos.  Empleen un vocabulario matemático que puedan comprender en diferentes contextos.  Experimenten formas diversas de argumentar en una solución a una situación cotidiana.  Justifiquen conjeturas que sean planteadas para la resolución a una situación o reto que se presente.  Critiquen justificaciones en soluciones planteadas.  Reflexionen acerca de su propio desempeño y el de otros.

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