Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Ejemplo 1. Ejemplo introductorio Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Dos especies de insectos se cr´ıan juntas en un recipiente de laboratorio. Todos los d´ıas se les proporcionan dos tipos de alimento A y B. 1 individuo de la especie 1 come: 5 unid. A + 3 unid. B. 1 individuo de la especie 2 come: 2 unid. A + 4 unid. B. A los insectos se les suministra diariamente: 80 unid. A + 76 unid. B. ¿Cu´antos insectos hay de cada especie?

Ejemplo 1. Interpretaci´on geom´etrica Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

5x + 2y = 80 3x + 4y = 76

 −→

x = 12 especie 1, y = 10 especie 2.

Ecuaciones lineales Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Expresi´ on general de una ecuaci´ on lineal: a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b, donde b ∈ R, ai ∈ R (i = 1, . . . , n) son los coeficientes, xi (i = 1, . . . , n) son las variables o inc´ ognitas. Definici´on Una soluci´ on de la ecuaci´ on lineal anterior es una lista de n´ umeros reales (s1 , s2 , . . . , sn ) tales que a1 s1 + a2 s2 + · · · + an sn = b.

Sistemas de ecuaciones lineales Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Definici´on Un sistema lineal de m ecuaciones y n inc´ ognitas es una colecci´on de m ecuaciones lineales:  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1     a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2  .. ..  , . .     am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm donde bi ∈ R, aij ∈ R son los coeficientes, xj son las variables o inc´ ognitas, i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n.

Sistemas equivalentes Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Definici´on Una soluci´ on del sistema lineal anterior es una lista de n´ umeros reales (s1 , s2 , . . . , sn ) que son soluci´on de cada una de sus m ecuaciones

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Definici´on Dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

N´umero de soluciones Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales

Teorema Un sistema lineal puede tener cero, una o infinitas soluciones.

Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Definici´on Un sistema lineal se dice: Incompatible: si no tiene soluci´ on. Compatible determinado: si tiene una soluci´on. Compatible indeterminado: si tiene infinitas soluciones.

Operaciones elementales Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

A un sistema lineal le podemos aplicar tres tipos de transformaciones, las operaciones elementales, que afectan a sus ecuaciones pero dejan invariantes sus soluciones: Tipo I: Ei ↔ Ej , i 6= j. Tipo II: Ei → Ei + λEj , i 6= j. Tipo III: Ei → βEi , β 6= 0. Donde Ei es la ecuaci´ on i del sistema. Teorema Sea B un sistema lineal obtenido a partir del sistema A mediante operaciones elementales, entonces A y B son equivalentes.

Ejemplo 2. Un ejemplo de eliminaci´on gaussiana Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Ejemplo  x + 2y + 3z = 6   2x − 3y + 2z = 14 −→ x = 1, y = −2, z = 3.   3x + y − z = −2

Ejemplo 2. Notaci´on matricial Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

En el ejemplo anterior: Sistemas de ecuaciones lineales

 x + 2y + 3z = 6   2x − 3y + 2z = 14 ⇐⇒ AX = b,   3x + y − z = −2

Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

donde 

 1 2 3 A =  2 −3 2  , 3 1 −1



 x X =  y , z



 6 b =  14  . −2

Notaci´on matricial Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

En general:  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1     a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2  .. ..  ⇐⇒ AX = b, . .     am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm donde    A= 

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

... ... .. .

a1n a2n .. .

am1 am2 . . . amn





    ,X =   

x1 x2 .. . xn





    ,b =   

b1 b2 .. . bm

   . 

Notaci´on matricial Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Definici´on  a11  a21  A= .  ..    X =     b= 

a12 a22 .. .

... ... .. .

a1n a2n .. .

    es la matriz de coeficientes, 

am1 am2 . . . amn  x1 x2   ognita y ..  es el vector inc´ .  xn b1 b2 .. . bm

   erminos independientes.  es el vector de t´ 

Definici´on de matriz Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Definici´on Una matriz sobre R es una estructura rectangular   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n    A= . .. ..  , . . .  . . . .  am1 am2 . . . amn donde aij ∈ R y se denominan elementos de la matriz. Notaci´on El conjunto de todas las matrices m × n con elementos en R las denotaremos por Mm×n .

Filas y columnas Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Definici´on ai1 ai2 . . . ain     

aj1 aj2 .. .




es la i-´ esima fila de A.

   esima columna de A.  es la j-´ 

ajm aij es el elemento en la fila i y la columna j. Si la matriz tiene m filas y n columnas, se dice que es una matriz m × n.

Tipos particulares de matrices Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Sea A ∈ Mm×n . A es una matriz: fila, si m = 1. columna, si n = 1. cuadrada, si m = n. La diagonal principal de A la forman los elementos a11 , a22 , . . . , ann . diagonal, si aij = 0 ∀i 6= j. triangular superior, si aij = 0 ∀i > j. triangular inferior, si aij = 0 ∀i < j. La matriz identidad In es la matriz diagonal de orden n con aii = 1 ∀i = 1, . . . , n. La matriz nula 0m×n es la matriz m × n con aij = 0 ∀i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m.

Igualdad de matrices Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Definici´on Sean A ∈ Mm×n y B ∈ Mp×q . A es igual a B (A = B) si m = p, n = q, aij = bij

∀i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n.

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Propiedades: Reflexiva: A = A ∀A ∈ M. Sim´etrica: A = B ⇒ B = A ∀A, B ∈ M. Transitiva: A = B, B = C ⇒ A = C

∀A, B, C ∈ M.

Suma de matrices Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Definici´on Sean A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n . Llamamos matriz suma de A y B a la matriz C = A + B ∈ Mm×n tal que cij = aij + bij Sean A, B, C ∈ Mm×n , se verifican las propiedades: Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C ). Conmutativa: A + B = B + A. Existe neutro Om×n : A + Om×n = Om×n + A = A. El opuesto de A es −A = (−aij ): A + (−A) = −A + A = Om×n

Producto de un escalar por una matriz Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales

Definici´on Sean A = (aij ) ∈ Mm×n y λ ∈ R. La matriz λA es la matriz m × n cuyos elementos son λaij , i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n.

Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Sean A, B ∈ Mm×n , λ, µ ∈ R, se verifican las propiedades: Distributiva: λ(A + B) = λA + λB. Distributiva: (λ + µ)A = λA + µA. Asociativa: (λ · µ)A = λ · (µA). Existe neutro 1 ∈ R: 1A = A.

Producto de matrices Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Definici´on Sean A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×p . Llamamos matriz producto de A por B a la matriz C = AB ∈ Mm×p tal que cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj .

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

 a 11  .  .  .   ai1   .  .  . am1

a12 . . . ai2 . . . am2

···

···

···

a1n . . . ain . . . amn

   b11    b21   .  .  .   bn1

··· ···

···

b1j b2j . . . bnj

··· ···

···

b1p b2p . . . bnp

   c11  =   cn1

··· cij ···

c1p

 

c1p

Propiedades del producto de matrices Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Sean A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p , C ∈ Mp×q . Se verifican las propiedades: Asociativa: (AB)C = A(BC ). Distributivas: Sean A, B ∈ Mm×n , C ∈ Mn×p , entonces (A + B)C = AC + BC . Sean A, inMm×n , B, C ∈ Mn×p , entonces A(B + C ) = AB + AC . Existe neutro por la derecha In : AIn = A. Existe neutro por la izquierda Im : Im A = A. Asociativa: λ(AB) = (λA)B = A(λB), ∀λ ∈ R.

No conmutatividad del producto de matrices Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Observaci´on Sistemas de ecuaciones lineales

El producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa.

Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Ejemplo 

   3 −1 1 2 Sean A =  1 0 2  y B =  1  . 2 1 1 0

Matriz inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Definici´on Sistemas de ecuaciones lineales

A ∈ Mn es invertible si existe una matriz B tal que

Op. elementales Notaci´ on matricial

AB = BA = In .

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Diremos que B es la inversa de A. Observaci´on B debe pertenecer a Mn .

Propiedades de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Propiedades: No toda matriz cuadrada tiene inversa. Si A es invertible, entonces tiene una u ´nica inversa y se −1 denota por A . Si A es invertible, entonces A−1 tambi´en lo es y su inversa es A. Si A y B son invertibles, entonces AB tambi´en lo es y su inversa es (AB)−1 = B −1 A−1 .

El c´alculo de la inversa lo abordaremos m´as adelante.

Matriz traspuesta Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Definici´on Sea A = (aij ) ∈ Mm×n . La matriz B ∈ Mn×m con B = (bij ) = (aji ) se llama matriz traspuesta de A. La denotamos por AT : AT = (aji ).

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Propiedades: (AT )T = A. (A + B)T = AT + B T . (AB)T = B T AT . A invertible ⇒ AT invertible y (AT )−1 = (A−1 )T .

Matriz sim´etrica Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales

Definici´on Una matriz A ∈ Mn se dice sim´ etrica si AT = A.

Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Ejemplo 

 1 2 −1 A= 2 0 3  −1 3 7

es sim´etrica.

Objetivo Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Objetivo: obtener un m´etodo u ´til de resoluci´on de sistemas lineales. Para lograrlo sistematizaremos el m´etodo de eliminaci´on de inc´ognitas que aplicamos en la resoluci´ on del sistema lineal considerado anteriormente:  x + 2y + 3z = 6   2x − 3y + 2z = 14 −→ x = 1, y = −2, z = 3.   3x + y − z = −2

Matriz ampliada Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Sea el sistema lineal  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1     a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2  .. ..  A. . .     am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm El m´etodo comenzar´a considerando la matriz ampliada A∗ del sistema A:   a11 a12 . . . a1n b1  a21 a22 . . . a2n b2    A∗ = (A|b) =  . .. ..  .. ..  .. . . . .  am1 am2 . . . amn bm

Matrices escalonadas Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Definici´on El primer elemento no nulo de cada fila de una matriz se denomina pivote. Observaci´on Si todos los elementos de una fila son 0, dicha fila no tiene pivote. Definici´on La matriz A es escalonada cuando cumple las propiedades: Si A tiene k filas en las que todos sus elementos son 0, ´estas son las u ´ltimas k filas de A. Todo pivote de A, excepto el de la primera fila, tiene m´as ceros a su izquierda que el de la fila anterior.

Matrices escalonadas reducidas Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Definici´on La matriz A es escalonada reducida cuando es escalonada y adem´as cumple:

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Todos los pivotes de A son iguales a 1. Si un elemento de A que no es pivote est´a situado en la misma columna que un pivote, entonces es 0.

Ejemplo. Matrices escalonadas Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Ejemplo ¿Son escalonadas las siguientes matrices?

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa





1 0 3 4  0 1 −2 5   A=  0 1 2 2 , 0 0 0 0 

   B=  

2 0 0 0 0

0 1 0 0 0

 2 −4 2 7 7 4 0 6   5 −3 −2 −1   0 0 −1 2  0 0 0 0

 1 −3 9 0 2 0 6 C =  0 0 0 1 −2 0 2  0 0 0 0 0 1 3

Ejemplo. Matrices escalonadas Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

¿Son escalonadas las siguientes matrices?





1 0 3 4  0 1 −2 5   A=  0 1 2 2 , 0 0 0 0 A no es escalonada

   B=  

2 0 0 0 0

0 1 0 0 0

 2 −4 2 7 7 4 0 6   5 −3 −2 −1   0 0 −1 2  0 0 0 0

B es escalonada



 1 −3 9 0 2 0 6 C =  0 0 0 1 −2 0 2  0 0 0 0 0 1 3 C es escalonada reducida

Operaciones elementales Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

A una matriz A le podemos aplicar tres tipos de operaciones elementales que afectan a sus filas: Tipo I: fi ↔ fj , i 6= j. Tipo II: fi → fi + λfj , i 6= j. Tipo III: fi → βfi , β 6= 0. Donde fi es la fila i de la matriz A. Definici´on Dos matrices A y B son equivalentes si se puede transformar la matriz A en la matriz B mediante una sucesi´on de operaciones elementales.

Matrices equivalentes Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Teorema Para cada matriz A existe una matriz escalonada equivalente a A. Adem´as para transformar A en una matriz escalonada s´olo se necesitan operaciones elementales tipo I y II. Ejemplo Transf´ormese la matriz A en una  0 0  3 6 A=  3 6 0 0

matriz escalonada equivalente.  2 6 1 2   0 −1  1 5

Matrices equivalentes Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales

Teorema Para cada matriz A existe una matriz escalonada reducida equivalente a A.

Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Ejemplo Encu´entrese una matriz escalonada reducida equivalente a:   0 0 2 6  3 6 1 2   A=  3 6 0 −1  0 0 1 5

Matrices equivalentes Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Teorema Para cada matriz A existe una y s´ olo una matriz escalonada reducida equivalente a A.

Correlaci´on entre operaciones elementales Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Dada la identificaci´ on entre  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n = b1     a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n = b2  .. ..  A . .     am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn = bm

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

y    A∗ =  

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

... ... .. .

a1n a2n .. .

b1 b2 .. .

am1 am2 . . . amn bm

   , 

Correlaci´on entre operaciones elementales Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

... se tiene tiene una correlaci´ on entre las operaciones elementales que afectan al sistema lineal y las operaciones elementales que afectan a su matriz ampliada: Tipo I: Ei ↔ Ej

equivale a

fi ↔ fj .

Tipo II: Ei → Ei + λEj

equivale a

fi → fi + λfj .

Tipo III: Ei → βEi

equivale a

fi → βfi , β 6= 0.

Teorema Sean A y B dos sistemas lineales cada uno con m ecuaciones y n inc´ognitas. Si las matrices ampliadas A∗ y B ∗ son equivalentes, entonces A y B son equivalentes, es decir, tienen las mismas soluciones.

N´umero de soluciones Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Teorema Sea A un sistema lineal con n inc´ ognitas cuya matriz ampliada A∗ es escalonada reducida, entonces: A es incompatible si A∗ tiene un pivote en la u ´ltima columna. A es compatible determinado si A∗ tiene n pivotes y ninguno de ellos est´a en la u ´ltima columna. A es compatible indeterminado si A∗ tiene menos de n pivotes y ninguno de ellos est´a en la u ´ltima columna.

Observaci´on Se tiene el resultado an´alogo para A∗ matriz escalonada.

M´etodo de Gauss Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

M´ etodo de Gauss o de eliminaci´ on gaussiana para resolver sistemas lineales Sea AX = b. Paso 1: Formar la matriz ampliada A∗ . Paso 2: Mediante operaciones operaciones elementales por filas obtener una matriz C ∗ escalonada equivalente a A∗ . Paso 3: Resolver (en caso de que sea compatible) el sistema lineal correspondiente a C ∗ mediante sustituci´on hacia atr´as.

Ejemplo. Eliminaci´on gaussiana Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Ejemplo Resu´elvase el siguiente sistema lineal mediante el m´etodo de eliminaci´on gaussiana:  x + 2y + 3z = 9  2x − y + z = 8   3x − z = 3

M´etodo de Gauss-Jordan Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

M´ etodo de Gauss-Jordan para resolver sistemas lineales Sea AX = b. Paso 1: Formar la matriz ampliada A∗ . Paso 2: Transformar A∗ en su forma escalonada reducida C ∗ mediante operaciones elementales por filas. Paso 3: Para cada fila distinta de cero en C ∗ se despeja la inc´ognita correspondiente al pivote de esa fila.

Variables b´asicas y libres Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Definici´on Una columna pivote de una matriz A es aquella que est´a en la misma posici´on que una columna de la forma escalonada o escalonada reducida de A que contiene a un pivote. Definici´on Las inc´ognitas o variables correspondientes a las columnas pivote se denominan variables b´ asicas. Las restantes se denominan variables libres Observaci´on Las variables que se despejan en el Paso 3 del m´etodo de Gauss-Jordan son las variables b´asicas. Las dem´as son las variables libres.

Ejemplo. M´etodo de Gauss-Jordan Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Ejemplo Resu´elvase el siguiente sistema lineal mediante el m´etodo de Gauss-Jordan:  3x + 6y + z = 2  2x + 4y + 3z = 6   x + 2y + 3z = 6

¿Qu´e procedimiento emplearemos en cada caso? Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas incompatibles: M´etodo de Gauss. Sistemas compatibles determinados: M´etodo de Gauss.

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Sistemas compatibles indeterminados: M´etodo de Gauss-Jordan.

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Ejemplo Resu´elvase el siguiente sistema lineal:  x + y − z = 1  2x + y + z = 2   4x + 3y − z = 0

Recordamos la definici´on Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

La inversa de una matriz A ∈ Mn es una matriz A−1 ∈ Mn tal que AA−1 = A−1 A = In

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Teorema Sean A, B ∈ Mn . Si AB = In , entonces BA = In . SI BA = In , entonces AB = In .

Objetivo Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Objetivo: Dada una matriz A, obtener un m´etodo pr´actico para calcular A−1 .

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Lo lograremos con el m´etodo de Gauss-Jordan para el calculo de la inversa.

M´etodo de Gauss-Jordan para el c´alculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sea A ∈ Mn . Buscamos B = (bij ) ∈ Mn tal que AB = BA = In .

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Notaci´ on: 

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

   xj =  

b1j b2j .. . bnj

   , 

 0  ..   .     0     ej =   1  ← j,  0     ..   .  0

j = 1, . . . , n.

M´etodo de Gauss-Jordan para el c´alculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Determinar B tal que  b11 b12  b21 b22  A . ..  .. .

··· ··· .. .

b1n b2n .. .

bn1 bn2 · · ·

bnn





    =  

1 0 ··· 0 1 ··· .. .. . . . . . 0 0 ···

0 0 .. .

    

1

equivale a determinar n matrices x1 , . . . , xn ∈ Mn×1 tal que Axj = ej , j = 1, . . . , n.

M´etodo de Gauss-Jordan para el c´alculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Utilizaremos el m´etodo de Gauss-Jordan para resolver los sistemas Axj = ej , j = 1, . . . , n.

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Observaci´on Como todos tienen la misma matriz de coeficientes los resolveremos de forma simult´anea.

M´etodo de Gauss-Jordan para el c´alculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Consideramos la matriz n × 2n (A|e1 e2 · · · en ) = (A|In ) y la transformamos a la forma escalonada reducida

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

(C |D). La matriz (C |D) da lugar a n sistemas lineales Cxj = dj , j = 1, . . . , n, donde dj son las columnas de D.

M´etodo de Gauss-Jordan para el c´alculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Casos posibles: 1

C = In . Entonces xj = dj y B = D.

2

C 6= In . Entonces C tiene un fila llena de ceros (C ∈ Mn escalonada reducida) y D no (se obtiene haciendo operaciones elementales en In ). ⇓ Uno de los sistemas Cxj = dj no tiene soluci´on. ⇓ Axj = ej tampoco tiene soluci´on. ⇓ A no tiene inversa.

M´etodo de Gauss-Jordan para el c´alculo de la inversa Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

M´ etodo de Gauss-Jordan para el c´alculo de la inversa Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Sea A ∈ Mn . Paso 1: Formar la matriz ampliada (A|In ). Paso 2: Transformar (A|In ) en su forma escalonada reducida (C |D) mediante operaciones elementales por filas. Paso 3: 1 2

Si C = In , entonces A−1 = D. SI C 6= In , entonces A es singular y no existe A−1 .

Ejemplo. C´alculo de la inversa. Tema 6. Sistemas lineales. Matrices

Sistemas de ecuaciones lineales Op. elementales Notaci´ on matricial

Matrices Def. y tipos Operaciones Matriz inversa Matriz traspuesta

Resoluci´ on de sistemas lineales Matrices escalonadas y op. elementales M´ etodo de Gauss M´ etodo de Gauss-Jordan

C´ alculo de la inversa

Calc´ ulense, en caso de que existan, las inversas siguientes matrices:    1 3 3 1 3 A= 1 4 3  B= 1 4 1 3 4 1 5

de las  3 3  3