Ignacio Cascos Fern´ andez Departamento de Estad´ıstica Universidad Carlos III de Madrid Hoja 2, curso 2006–2007. Ejercicio 1. Dados cuatro sucesos A, B, C y D, la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos sucesos A ´o C es igual a 0’75 y la probabilidad de que ocurra al menos uno de los cuatro sucesos A, B, C ´o D es igual a 0’90. Hallar la probabilidad del suceso G =“no ocurre ni A ni C, pero al menos uno de los dos sucesos B ´o D ocurre”. Ejercicio 2. Sean A,
B dos sucesos tales que P (A) = 0’4, P (B) = 0’65 y P (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = 0’35. Hallar P (A ∪ B). Ejercicio 3. Dados dos sucesos A, B, demostrar que: 1. si P (A) = P (B) = 1, entonces P (A ∩ B) = 1;
2 2. P (A ∩ B) ≤ P (A)P (B); 3. si P (A) + P (B) > 1, entonces A ∩ B 6= ∅. Ejercicio 4. Sean A, B dos sucesos tales que tales que la probabilidad de que ocurra A es 0’6, la de que ocurran A ´o B es igual a 0’8 y, si se sabe que ha ocurrido B, la probabilidad de que ocurra A es igual a 0’5. ¿Puede determinarse de forma u ´nica el valor de P (B)? (en caso afirmativo, determinar dicho valor, y en caso negativo justificar por qu´e no es posible su determinaci´on u ´nica.) Ejercicio 5. Una ciudad tiene tres equipos de f´ utbol A, B y C y no hay nadie que sea socio de los tres equipos a la vez. El 20 % de los habitantes de la ciudad son socios del equipo A, el 10 % lo son del B y el 10 % del C. Si la mitad de los socios del A no son socios del C y la mitad de los socios del B lo son tambi´en del A, ¿cu´al es la probabilidad de que un habitante de dicha ciudad sea simult´aneamente socio del equipo A y de alg´ un otro equipo?, ¿y la probabilidad de que alguien sea socio del equipo C, pero no del A? 1

Ejercicio 6. Una prueba de selecci´on consta de dos preguntas tipo test. Se consideran aptos aquellos individuos que contesten correctamente a la segunda pregunta, independientemente de c´omo hayan contestado a la primera. La primera pregunta tiene cuatro posibles respuestas. A los individuos que contestan correctamente a la primera pregunta, se les plantea una segunda pregunta con dos posibles respuestas, mientras que a quienes fallan la primera pregunta les proponen una segunda cuesti´on con ocho posibles respuestas. Si un individuo que se presenta a la prueba contesta a las preguntas al azar, a) ¿cu´al es la probabilidad de que sea considerado apto? b) ¿cu´al es la probabilidad de que conteste correctamente a la primera pregunta y mal a la segunda?

Ejercicio 7. Un taller de reparaciones tiene dos proveedores de buj´ıas. El 60 % de las buj´ıas que monta son de la marca A y el resto de la marca B. Si se sabe que el 1 % de las buj´ıas de la marca A son defectuosas y el 2 % de las buj´ıas de la marca B son defectuosas, a) ¿cu´al es la probabilidad de que una buj´ıa montada en ese taller sea defectuosa? b) si una buj´ıa montada en ese taller es defectuosa, ¿cu´al es la probabilidad de que sea de la marca A?

Ejercicio 8. En una transmisi´on binaria se codifican mensajes con los s´ımbolos 0 y 1. Si el emisor transmite un 0, la probabilidad de que el receptor reciba un 0 es 0’8 y si el emisor transmite un 1, la probabilidad de que no haya error en la transmisi´on es 0’9. Si suponemos que el 60 % de los s´ımbolos que se reciben son 0, responde a las siguientes preguntas: a) si el emisor transmite un u ´nico s´ımbolo, ¿cu´al es la probabilidad de que ´este sea 0? b) ¿cu´al es la probabilidad de que el mensaje transmitido por el emisor haya sido 0 si recibimos un 0?

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Ejercicio 9. En un sistema de comunicaci´on, los mensajes se codifican en base 3, es decir, con los tres s´ımbolos 0, 1 y 2. La probabilidad de emitir cualquiera de los tres s´ımbolos es la misma y se ha observado que el 0 y el 2 nunca se confunden, es decir, la probabilidad de recibir 0 si se ha emitido 2 (resp. recibir 2 si se ha emitido 0) es cero. Adem´as sea cual sea el s´ımbolo que emitimos, la probabilidad de recibir ese mismo s´ımbolo es 0’9 y finalmente sabemos que cuando se emite 1, la probabilidad de recibir 0 y la probabilidad de recibir 2, es la misma. Calcular entonces, a) la probabilidad de recibir 1; b) la probabilidad de que el s´ımbolo emitido haya sido 0 si se recibi´o 0.

Ejercicio 10. Un circuito el´ectrico est´a constituido por tres interruptores i1 , i2 e i3 como indica la figura. Cada interruptor est´a cerrado (deja pasar la corriente) con id´entica probabilidad 0’8, con independencia del estado de los dem´as interruptores.

Consideremos los sucesos Ij =“el interuptor ij est´a cerrado” y C=“el circuito est´a cerrado”. a) Si el interruptor i1 est´a cerrado, ¿cu´al es la probabilidad de que el circuito est´e cerrado? b) Si el circuito est´a cerrado, ¿cu´al es la probabilidad de que el interruptor i1 est´e cerrado?

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Ejercicio 11. Una urna contiene 1 bola blanca y 2 rojas. Se extrae 1 bola al azar de la urna, y se restituye a la urna junto con otra del mismo color si la extra´ıda result´o ser blanca, o se restituye junto con otras 2 rojas si la extra´ıda result´o ser roja. A continuaci´on, se extrae al azar una segunda bola de la urna. 1. Hallar la probabilidad de que la segunda bola extra´ıda sea roja. 2. Si se sabe que la segunda bola extra´ıda result´o ser roja, hallar la probabilidad de que tambi´en lo haya sido la primera.

Ejercicio 12. El 80 % de las piezas que se producen en una empresa salen de una m´aquina que tiene una tasa de piezas defectuosas del 1 %. Del 20 % restante, la mitad est´an producidas por una m´aquina que tiene una tasa de defectos del 5 % y la otra mitad por una tercera m´aquina que tiene una tasa de piezas defectuosasa del 10 %. Se elige una pieza al azar de un gran lote de piezas producidas por la misma m´aquina y resulta defectuosa, 1. ¿Cu´al es la probabilidad de que el 1 % de las piezas producidas por la m´aquina a la que corresponde el lote sean defectuosas? 2. ¿Cu´al es la probabilidad de que el 5 % de las piezas producidas por la m´aquina a la que corresponde el lote sean defectuosas? 3. ¿Cu´al es la probabilidad de que el 10 % de las piezas producidas por la m´aquina a la que corresponde el lote sean defectuosas? Supongamos que se restituye al lote la pieza anterior, y se extrae al azar una segunda pieza y resulta tambi´en defectuosa. 4. ¿Cu´al es la probabilidad de que el 1 % de las piezas producidas por la m´aquina a la que corresponde el lote sean defectuosas? 5. ¿Cu´al es la probabilidad de que el 5 % de las piezas producidas por la m´aquina a la que corresponde el lote sean defectuosas? 6. ¿Cu´al es la probabilidad de que el 10 % de las piezas producidas por la m´aquina a la que corresponde el lote sean defectuosas?

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Ejercicio 13. Un individuo debe seleccionar una de entre n respuestas a una pregunta formulada, de las que s´olo una es correcta. Si el individuo conoce la respuesta correcta har´a una selecci´on adecuada, mientras que si no la conoce seleccionar´a la respuesta al azar entre las n ≥ 1 disponibles. Sea A el suceso “seleccionar la respuesta correcta” y B el suceso “conocer la respuesta correcta antes de realizar la selecci´on”. Si P (B) = 0’25: 1. Hallar P (B|A). 2. Demostrar que P (B|A) ≥ P (B). 3. Probar que P (B|A) es mayor cuanto mayor sea n.

Ejercicio 14 (Junio 2005). La polic´ıa utiliza para los controles en carretera un test r´apido para medir el nivel de alcohol en sangre, el cual falla el 10 % en conductores borrachos y el 20 % en conductores sobrios. Si un conductor da positivo, la polic´ıa lo traslada a un hospital y con una m´aquina m´as precisa repiten el test. Si un conductor esta sobrio la maquina acierta seguro, y si no lo est´a falla el 1 % de las veces. Sabiendo que el 15 % de los conductores controlados (a los que se les hace control en carretera) est´a borracho, se pide: a) ¿A qu´e proporci´on de conductores controlados les da negativo en el segundo test? b) Si un conductor dio negativo en el segundo test, ¿cu´al es la probabilidad de que est´e borracho?

Ejercicio 15. Un proceso de selecci´on consta de dos pruebas. En la primera de ellas hay que contestar a dos preguntas tipo test con cuatro posibles respuestas cada una. Si se contestan correctamente las preguntas de la primera prueba, en la segunda hay que contestar una pregunta de verdadero o falso, mientras que si s´olo se acierta una de las preguntas de la primera prueba, la segunda consta de k preguntas de verdadero o falso. (Si se contestan err´oneamente las dos preguntas de la primera prueba, no se tiene acceso a la segunda.) Un individuo es considerado apto si supera la segunda prueba. a) Si un individuo contesta las preguntas al azar, ¿cu´al es la probabilidad de que sea considerado apto? 5

b) Se sabe que un individuo que contest´o a las preguntas al azar fue considerado apto, ¿cu´al es la probabilidad de que haya contestado correctamente todas las preguntas de la primera prueba? c) Obt´en el n´ umero de preguntas k de las que tiene que constar la segunda prueba para que, de los individuos que contestan al azar, como mucho el 12’5 % sean considerados aptos y, de entre los aptos, no m´as del 25 % hayan contestado correctamente todas las preguntas de la primera prueba.

Ejercicio 16 (Junio 2006). En un partido de tenis, el jugador que pone la bola en juego, tiene dos oportunidades para introducir la misma en el campo contrario (el primer y el segundo servicio), de tal modo que si falla en la primera ocasi´on, utilizar´a inmediatamente la segunda oportunidad, que ya es la definitiva. A lo largo de la presente temporada, Rafael Nadal ha logrado poner en juego un 71 % de sus primeros servicios y de los tantos que ha jugado con sus primeros servicios ha ganado el 69 %, mientras que cuando ha fallado su primer servicio (y ha utilizado el segundo servicio), ha logrado el 55 % de los puntos. a) ¿Qu´e porcentaje de puntos ha ganado Nadal cuando estaba sirviendo? b) Si Nadal ha ganado un tanto al servicio, ¿con qu´e probabilidad ha sido con su primer servicio? Ejercicio 17 (Junio 2006). Una empresa compra iguales cantidades de planchas de acero a 3 fabricantes, A, B y C, cuyos porcentajes de planchas defectuosas son, respectivamente A = 2 %, B = 5 % y C = 10 %. Se pide: a) Probabilidad de que una plancha tomada al azar sea defectuosa. b) Si la plancha elegida al azar es defectuosa, calcular la probabilidad de que provenga del fabricante C.

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