El polinomio de Alexander como invariante de Nudos Ma. Elena Vázquez Huerta Universidad Politécnica de Querétaro [email protected]

teoría de nudos fue Lord Kelvin con su teoría atómica donde establecía las propiedades químicas de los elementos relacionados con el anudamiento que ocurría entre los átomos, conjeturó que los átomos eran tubos anudados de éter, esto implicaba que comprender la química sería mejor con un entendimiento de teoría de nudos. Desafortunadamente su teoría no fue válida y los nudos dejaron de ser tema de estudio.

RESUMEN La teoría de nudos tuvo sus orígenes en la teoría matemática de la electricidad y la física atómica primitiva y hay signos de nuevas aplicaciones en ciertas ramas de la química. La teoría de nudos es el estudio matemático de nudos. Un nudo matemático no tiene terminaciones colgadas o perdidas, las terminaciones son unidas para formar un ciclo sencillo enredado. El problema central de la teoría de nudos es distinguir entre varios nudos y clasificarlos. La prueba más importante para distinguir entre varios nudos es el invariante de un nudo el cual es una propiedad única de estos. Existen dos invariantes importantes: el polinomio de Alexander y el polinomio de Conway. Uno de los más excitantes desarrollos ha sido descubierto de las conexiones entre la teoría de nudos y las ramas de la física que estudian las partículas fundamentales y las fuerzas que hacen que se construyan los bloques del universo. También se ha encontrado que el DNA está, algunas veces, anudado y los nudos pueden jugar un papel importante en la biología molecular.

Más adelante se encontró que el DNA frecuentemente llegaba a estar anudado dificultando así sus funciones, por lo que estudiando este anudamiento se facilitaba el estudio del comportamiento de las moléculas de DNA. Este nuevo enfoque fue lo que revivió el interés en el estudio de la teoría de nudos. Peter Guthrie Tait, físico escocés, inspirado en la teoría de Kelvin, descrita anteriormente emprendió un estudio extensivo para la tabulación de nudos en un intento por entender cuando dos nudos eran “diferentes”. El trabajo consistía en crear una lista de todos los nudos que podían ser dibujados con un pequeño número de cruces. Inicialmente el proyecto se enfocó en nudos de 5 o 6 cruces, pero para 1900, junto con C.N. Little, ya se había completado la enumeración de nudos de hasta 10 cruces. Una parte de la tabla de nudos generada por Tait se muestra en la Fig. 2

Palabras clave: Nudos, invariantes, Polinomio

de Alexander, Movimientos de Reidemeister. INTRODUCCIÓN Sin lugar a dudas, los nudos no son un concepto ajeno a la gran mayoría de las personas. Algunos de los cuales han llegado a adoptarse como emblemas como el nudo 62 utilizado como distintivo de rango militar entre los romanos o el nudo 74 que es reconocido como un emblema glorioso para los budistas tibetanos, estos nudos se muestran en la Fig 1. De la misma forma los marinos y boy scouts se enfrentan en su labor diaria con algunos nudos.

Fig. 2. Algunos nudos de la tabla de Tait

Cuando Tait empezó su estudio, las matemáticas formales para orientar sus resultados no estaban disponibles, así que los argumentos de que su lista era completa eran

Fig 1. Los nudos 62 y 74

El primero que dió importancia al estudio de la 18

convincentes pero las evidencias de que los nudos mostrados en la lista son distintos eran empíricas. Por ello se tenía que trabajar en un fundamento más formal.

NUDOS

Un nudo en la realidad es un enredo de una cuerda, una vez que se tiene ese enredo se unen las puntas de la cuerda, así se tendrá un nudo objeto de estudio de este trabajo de investigación, como lo muestra la Fig. 4.

Para atacar las conjeturas hechas por Tait y las preguntas básicas de la igualdad de nudos, los topologistas desarrollaron invariantes de nudos. El ejemplo más reciente de un eficiente invariante de nudos fue el polinomio de Alexander, descubierto por el americano J. W. Alexander, este método asocia un polinomio a cada nudo de tal forma que si un nudo puede ser transformado en otro, ambos tendrán el mismo polinomio, si dos polinomios son diferentes, se sabrá entonces que sus nudos asociados son diferentes también. La Fig. 3 muestra dos nudos que aparentemente son diferentes, sin embargo su polinomio de Alexander es el mismo para los dos, entonces uno de ellos puede ser transformado en el otro, es decir, son isomorfos. El polinomio de Alexander fue exitoso al distinguir los nudos de la tabulación de Tait y comprobó el gran trabajo que había hecho. De los 87 nudos de hasta 9 cruces, solo 8 de ellos poseían el mismo polinomio de Alexander. Sin embargo, estos nudos son isotópicamente diferentes a través del uso de otros invariantes.

Fig. 4 Pasos para crear un nudo

La teoría de nudos es parte del campo matemático de la topología, en el cual la textura, el tamaño y la forma son ignoradas. La topología algebraica trata con el estudio de modelos algebraicos de los espacios, la teoría de nudos se ocupa del estudio de la inmersión de un espacio topológico en otro. [Juarez97]. Las únicas propiedades geométricas que se consideran importante son aquellas permitidas para doblar y estirar y otras deformaciones en el espacio con excepción de la ruptura. Para los topólogos, diferentes nudos, no importa que tan torcidos o enredados estén, representan varias formas de colocar un círculo en un espacio tridimensional. [Rangel96]. En las figuras presentadas en este documento, basados en la forma como [Alexander28] lo define, se dibujará un nudo usando curvas finas en vez de polígonos como se ve en la Fig.5 La forma como se representará un nudo en este trabajo, será utilizando un grafo 4-valente, donde en cada vértice se representarán los puntos donde cruzan las aristas del nudo, Fig. 5.

Fig. 3. Dos nudos isomorfos

Los algoritmos aplicados en teoría de nudos son algoritmos interesantes y sencillos de seguir utilizando papel y lápiz, sin embargo la recursión de dichos algoritmos llega a dificultar su estudio. Por ello se busca la eficiencia de los algoritmos implementándolos en computadora en un lenguaje de programación a fin de verificar y conocer los resultados. Se eligió el lenguaje de programación funcional Mathematica para su implementación.

Fig. 5. Los nudos 31 (trefoil) y 01 (unknot) representados con curvas poligonales.

Aparentemente los puntos donde cruzan las aristas parecen estar separados, esto se dibuja

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así para diferenciar como se da el cruce, recordando que el nudo es una curva cerrada y por lo tanto no puede estar separado en ningún punto. El punto donde cruzan dos aristas puede ser por arriba o por abajo, Fig. 6. Para los algoritmos aquí presentados es importante identificar el tipo de cada cruce del nudo.

Computacionalmente hablando, la notación de Gauss se puede representar por una secuencia de longitud 2n en la cual los números 1 a n aparecen dos veces. Cada uno de estos números corresponde a las intersecciones en el grafo 4-valente asociado. Las secuencias describen nudos cuando cumplen ciertas restricciones adicionales: Que empiecen con 1, 2, 3 Que no haya dos números iguales adyacentes (tomando también en cuenta el primero y último índice) Debe haber un número par de etiquetas entre cada dos iguales. Las primeras apariciones de índices deben ocurrir en orden creciente.

Fig. 6. Tipos de cruces de un nudo

Siguiendo la notación que se utiliza en la tabla de Tait, Fig. 4 el número grande representa la cantidad de cruces que tiene el nudo y el subíndice significa un número consecutivo dado al nudo, conforme se fueron descubriendo.

La Fig.8 muestra las secuencias para nudos de 3, 4, y 5 cruces, generadas con Mathematica

La primera notación para un diagrama de nudo fue presentada por Gauss. Esta notación partía de un diagrama de nudo orientado. Se selecciona arbitrariamente un punto que no sea un cruce, se recorre el camino siguiendo la orientación hasta llegar al primer cruce, éste cruce se etiqueta con el número 1, se continúa hasta el siguiente cruce, si el cruce al que se llegó no está etiquetado se le asigna el número siguiente, si el cruce ya está etiquetado se sigue al siguiente cruce así hasta llegar al punto seleccionado inicialmente. Una vez etiquetado el diagrama, se hace el recorrido del nudo desde el punto seleccionado y se escriben cada una de las etiquetas por las que se pasa, si el cruce es por arriba se le asignará signo positivo y negativo en caso contrario (Fig. 7.)

Fig. 8. Nudos de 3, 4, y 5 cruces representados como secuencias

En [BarNatan05] se propone una representación de nudos llamada Diagrama Planar (PD). En esta notación cada diagrama de nudo se representa etiquetando sus aristas con números naturales de 1 a n e incrementando las etiquetas conforme se va recorriendo el nudo. Se nombran los cruces con el símbolo Xijkl donde i, j, k y l son las etiquetas de las aristas alrededor del cruce, empezando por la arista inferior, frecuentemente la arista de entrada, y continuando en el sentido contrario a las manecillas del reloj como se muestra en la Fig. 9. El PD del nudo 62, se escribe como [X[1,4,2,5], X[5,10,6,11 ], X[3,9,4,8], X[9,3,10,2], X[7,12,8,1], X[11,6,12,7]], el PD del nudo 74 es [X[6,2,7,1], X[12,6,13,5], X[14,8,1,7], X[8,14,9,13], X[2,12,3,11 ], X[10,4,11,3],

7

Fig. 7. Notación de Gauss para el diagrama de un nudo

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X[4,10,5,9]]. La forma como se etiquetan sus aristas se ven en las Fig. 10.

decidir si dos diagramas de nudos o links representan nudos o links equivalentes, es suficiente con estudiar las proyecciones de un nudo en otro. En algunos casos el diagrama mismo es isotópico planar, esto significa que un diagrama puede ser deformado continuamente en otro en el mismo plano. Tales deformaciones no alteran la topología del diagrama. No se puede cambiar el número de cruces pero si se puede modificar el tamaño y la forma de la proyección de un nudo, como se ve en la Fig.11 con el Trefoil.

Fig. 9. Etiquetas de los cruces en un Diagrama planar (PD)

Fig. 11. Proyeciones del Trefoil

Fig. 10. Diagrama planar (PD) del nudo 62 y del nudo 74

Las equivalencias más interesantes de los diagramas donde se hacen movimientos son llamadas movimientos de Reidemeister. Estos movimientos o equivalencias se muestran en la Fig.1 2.

INVARIANTES DE NUDOS

Una de las preguntas más importantes en teoría de nudos, aún sin respuesta, es determinar si dos nudos son isotópicamente iguales o no-isomorfos, para resolver esta pregunta es necesaria una clasificación de nudos. Una isotopía es un conjunto de deformaciones continuas de un nudo haciendo dobleces, enredos, reducir o aumentar el tamaño evitando siempre romper el nudo. Un grupo de nudos son isótopos si existe una isotopía entre ellos, a este grupo se le llama clase isotópica y a los miembros de la clase se les llaman proyecciones y son considerados nudos isomorfos. [Schrarein2004]

Aplicando estas transformaciones a un nudo, se podrá reducir a un nudo isomorfo. En la Fig. 13 se aplican los movimientos de Reidemeister a un nudo para reducirlo a su diagrama mínimo, en este ejemplo, el nudo se reduce al nudo trivial. POLINOMIO DE ALEXANDER

El polinomio de Alexander es un invariante de nudo descubierto en 1923 por James Waddell Alexander.

Uno de los primeros métodos para conocer la isotopía de nudos consistía en reducir el nudo a su más mínima forma, es decir encontrar algún nudo isomorfo a través de transformaciones.

La versión original del polinomio [alexander28] parte de la representación de un nudo mediante un diagrama bidimensional o un grafo. En este grafo se marcan con dos puntos la arista que pasa por arriba.

Para hacer esto, K. Reidemeister, científico Alemán, mostró el primer enfoque combinatorio de la teoría de nudos. Usando este enfoque, Reidemeister escribió el primer libro de teoría de nudos en 1932. El teorema de Reidemeister decía que para 21

Después, la ecuación de un cruce ci es De acuerdo a lo anterior las ecuaciones del diagrama de la Fig. 14 son

Estas ecuaciones de un diagrama determinan su estructura. Con estas ecuaciones se genera la matriz de coeficientes, con n filas y v+2 columnas, donde las filas representan los cruces y las columnas representan las regiones. Así que la matriz M de coeficientes para el ejemplo queda como sigue

Fig. 13. Aplicación de los movimientos de Reidemeister para reducir un nudo a un diagrama mínimo

El diagrama de un nudo con n cruces genera un diagrama con n+2 regiones, a cada región se le asigna un índice. No existe una indicación especial para asignar los índices a las regiones. Una de estas asignaciones se muestra en la Fig. 14, donde ri indica las regiones y ci indica los puntos cruce del diagrama de nudo.

Esta matriz tiene una propiedad importante para nuestro estudio, si se reduce la matriz M a una matriz cuadrada eliminando las dos columnas consecutivas de índices p y p +1, el determinante de la matriz restante M0 será independiente de las dos columnas eliminadas, dentro de un factor de la forma n ± x L a demostración de éste teorema dado por Alexander se muestra a detalle en [Alexander28]. El determinante obtenido es el llamado polinomio de Alexander y es un invariante para nudos. En la matriz M, removiendo las primeras dos columnas el determinante resultante es x - x + x y eliminando las dos últimas

Fig. 14. Nudo 31 con regiones etiquetadas

Es posible asignar una serie de ecuaciones a un diagrama de nudo. Supóngase que en un cruce ci las regiones se llaman rj, rk, rl y rm en el sentido inverso al movimiento de las manecillas del reloj y asignando rj y rk a las regiones que están marcadas con un punto.

1 (

2)

columnas se obtiene el determinante -x + x . Se observa que la diferencia

1 (

22

2)

entre estas dos ecuaciones es un factor de

Fig.16 El nudo 62 a) orientado y b) etiquetado

n

x ±

.

Algoritmo del Polinomio de Alexander 1.

Asignar una orientación al grafo del nudo 2. Asignar un número consecutivo a cada una de las aristas (arcos) del grafo 3. Asignar un número consecutivo a cada uno de los vértices (cruces) del g rafo 4. Definir una matriz cuadrada n x n, donde n es el número de vértices (o aristas) 5. Asignar el valor en las entradas de la matriz bajo las siguientes condiciones Si el cruce l es derecho, como se ve en la Fig15a Escribir 1-t en la columna i fila l Escribir -1 en la columna j fila l Escribir t en la columna k fila l Si el cruce l es izquierdo, como se ve en la Fig15b Escribir 1-t en la columna i fila l Escribir t en la columna j fila l Escribir -1 en la columna k fila l 6. Obtener la matriz de Alexander eliminando una fila f y una columna f 7. Obtener el determinante de la matriz de Alexander y ese es el polinomio de Alexander en la variable t.

Se obtiene la matriz

El determinante de la Matriz de Alexander del nudo 62, es decir, el polinomio de Alexander del nudo 62 es 1- + 3t 3 t 2 - 3t3 + t4 Si el polinomio de Alexander para un nudo es calculado utilizando diferentes conjuntos de elecciones de diagramas y etiquetados, los polinomios resultantes difieren por un múltiplo de ± tk $ k , k Ì Ζ . Así que no importa la fila y/o columna que se elimine para obtener la matriz de Alexander, tampoco importa el sentido del recorrido del nudo y tampoco importa el etiquetado de las aristas y vértices. Esta es, justamente, la propiedad de invariantes. APLICACIONES

La teoría de nudos tiene una importante aplicación en la biología molecular, específicamente relacionadas con el DNA. En 1953 James Watson y Francis Crack descubrieron que el material genético básico de la vida en la tierra tomaba la forma de una doble hélice de DNA´s, en realidad esta doble hélice está formada por dos largas curvas entrelazadas millones de veces. Se encontró que el DNA frecuentemente llegaba a estar anudado dificultando así sus funciones, de aquí la estrecha relación entre el DNA y la teoría de nudos. Hay enzimas que pueden realizar manipulaciones topológicas en el DNA. Los científicos permitieron a esas enzimas actuar en un DNA circular realizando acciones que ellos pudieran estudiar de su nudo resultante.

Fig. 15. Cruce a) Derecho y b) Izquierdo Aplicando el algoritmo al nudo 62. Se elige la orientación del nudo y se numeran las aristas y los vértices, como se muestra en la Fig.16 a y b respectivamente

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estudiar y analizar. En el desarrollo de este trabajo se observa lo contrario. Los algoritmos que estudia la teoría de nudos son sencillos de aplicar, analizar y explicar gráficamente. La complejidad se presenta cuando se quieren obtener resultados y generalizarlos para aplicarlos a la solución de problemas reales. Esta complejidad viene dada por el enfoque computacional que se le da a esta investigación.

La doble hélice del DNA tiene que separarse en dos partes para completar el proceso de división de células. Cuando la hebra se anuda, el DNA no se puede separar en los cruces donde esta anudado. Para que el DNA se separe, se reproduzca y se recombine, hay unas enzimas especiales en el núcleo que cortan la hebra de DNA y las terminaciones son unidas una vez que los cruces se resuelven. Este es un proceso de gran interés estudiado por los científicos por el hecho de que los cambios químicos ocurren en el DNA durante este proceso. Los cambios en la estructura del DNA debido a las acciones de las enzimas han necesitado que los estudiosos de la genética utilicen técnicas avanzadas de la topología matemática, la cual incluye teoría de nudos, y geometría en el estudio de biología molecular.

De la investigación bibliográfica, se obtuvo una aplicación de teoría de nudos en redes eléctricas [Goldman93] y una más en problemas de tipo ajedrecísticos [Gonzalez00]. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [Alexander28]

Alexander, J.W. 1928. Topological Invariants of knots and links Transactions of the American Mathematical Society, Vol 30, Issue 2 [BarNatan05] Bar-Natan, D, 2005. The Mathematical Packages Knot Theory. [Crowell63] Crowell, R. H. and R. H. Fox. 1963. Introduction to Knot Theory. Springer Verlag, 1963 [Goldman93] Goldman J. R. 1993.Knots, Tingles and electrical networks. Advances in Applied mathematics 14, 267 -306 [Gonzalez00] González A. F. Problema Ajedrecísticos en la teoría de nudos. Instituto de Matemáticas, UNAM [Juarez97] Juárez M. J. F. 1997. Teoría de Nudos: Un enfoque computacional. ITESM-Campus Morelos. [Livingston93] Livingston, C. 1993. Knot Theory. Mathematical Association of America. [Rangel96] Rangel M. J. 1996.Knots and permutations. Research

Los genéticos han descubierto que el DNA puede formar nudos y links. Para entender ampliamente la teoría de nudos, los científicos han llegado a comprender la complejidad involucrada en la vida y la reproducción de las células. El conocimiento amplio de los nudos y sus propiedades contiene una de las claves principales para abrir el misterio del DNA en la actualidad. CONCLUSIONES El problema de la teoría de nudos, como muchos otros, es un problema algorítmico fundamental que involucra cálculos combinatorios de alto nivel. A pesar de los esfuerzos invertidos en este tema, aún no se conocen muchos resultados con exactitud, pero se está trabajando en ello. Por lo anterior, este problema representa una importante área de desarrollo para los estudiosos de las ciencias computacionales. Es interesante conocer cómo surge la teoría de nudos y como vuelve a ser objeto de estudio al fundamentar una de las investigaciones genéticas más importantes. La teoría de nudos es una de los temas que parece ser muy amigable, accesible y fácil de

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[Tait67]

Report ITESM Campus Morelos, División de Graduados e Investigación, Centro de Ingeniería Computacional. Tait, P.G. 1867. On Knots. Scientific paper I,

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