como los valores positivos del polinomio

LOS PRIMEROS 50 MILLONES DE ´ NUMEROS PRIMOS

2

F (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o,

DON ZAGIER

p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z) = [k + 2] [1 − (wz + h + j − q)2 − (2n + p + q + z − e)2

Me gustar´ıa hablarles hoy sobre una materia −(a2 y 2 −y 2 +1−x2 )2 −({e4 +2e3 }{a+1}2 −1−o2 )2 que, aunque nunca he trabajado en ella, me ha cau− (16{k + 1}3 {k + 2}{n + 1}2 + 1 − f 2 )2 tivado siempre extraordinariamente, y que ha fascinado a los matem´ aticos desde la antiguedad hasta − ({(a + u4 − u2 a)2 − 1}{n + 4dy}2 + 1 − {x + cu}2 )2 el presente —es decir, la cuesti´ on de la distribuci´on −(ai+k+1−l−i)2 −({gk+2g+k+1}{h+j}−h−z)2 de los n´ umeros primos. Todos ciertamente conocen lo que es un n´ umero − (16r2 y 4 {a2 − 1} + 1 − u2 )2 − (p − m + l{a − n − 1} primo: es un n´ umero natural mayor que 1 que no + b{2an + 2a − n2 − 2n − 2})2 es divisible por otro n´ umero natural excepto por 1. − (z − pm + pla − p2 l + t{2ap − p2 − 1})2 Esta al menos es la definici´ on del especialista en Teor´ıa de N´ umeros; otros matem´ aticos a veces dan − (q − x + y{a − p − 1} + s{2ap + 2a − p2 − 2p − 2})2 otras definiciones. Para el especialista en Teor´ıa de − (a2 l2 − l2 + 1 − m2 )2 − (n + l + v − y)2 ]. Funciones, por ejemplo, un n´ umero primo es una ra´ız de la funci´ on anal´ıtica π Γ(s) sen s ; 1− π sen s ´ para el dedicado al Algebra es “la caracter´ıstica de un cuerpo finito” ´ o “un punto de Spec(Z)” ´o “una valuaci´on no arquimediana”; un especialista en Combinatoria definir´ a los n´ umero primos inductivamente por la recurrencia 1 n h 1 X pn+1 = 1−log2 + 2

X

r=1 1≤i1 2,p primo



Para una presentaci´ on m´ as cuidadosa de este argumento, ver Hardy y Wright An Introduction to the Theory of Numbers, Clarendon Press, Oxford. 1960, § 22.20 (p. 371–373). 10M. F. Jones, M. Lal, y W. J. Blundon, Statistics on certain large primes, Math. Comp. 21 (1967) 103–107.

6

DON ZAGIER

INTERVALOS

(100 000 000, 100 150 000) (1 000 000 000, 1 000 150 000) (10 000 000 000, 10 000 150 000) (100 000 000 000, 100 000 150 000) (1 000 000 000 000, 1 000 000 150 000) (10 000 000 000 000, 10 000 000 150 000) (100 000 000 000 000, 100 000 000 150 000) (1 000 000 000 000 000, 1 000 000 000 150 000)

´ NUMEROS PRIMOS es– en– pe– con– ra– tra– dos dos

PRIMOS GEMELOS es– en– pe– con– ra– tra– dos dos

700

8142

8154

584

601

400

7328

7242

461

466

6514

6511

374

389

5922

5974

309

276

5429

5433

259

276

5011

5065

221

208

4653

4643

191

186

4343

4251

166

161

600

(log x)2

500

g(x)

300 200 100

Como puede verse, el acuerdo con la teor´ıa es extremadamente bueno. Esto es especialmente sorprendente en el caso de los primos gemelos, puesto que todav´ıa no se ha podido probar que existan infinitos de tales parejas de primos, menos a´ un que se distribuyan de acuerdo con la ley conjeturada. Quiero dar una u ´ltima ilustraci´ on de la predictabilidad de los n´ umeros primos, el caso de las lagunas entre n´ umeros primos. Si se miran las tablas de primos, se encuentran a veces intervalos inusualmente largos, por ejemplo entre 113 y 127, que no contienen primos. Sea g(x) la longitud del mayor intervalo libre de primos o laguna hasta x. Por ejemplo la mayor laguna hasta 200 es el intervalo desde 113 hasta 127 mencionado antes, de manera que g(200) = 14. Naturalmente el n´ umero g(x) crece muy err´aticamente, pero un argumento heur´ıstico sugiere la f´ormula asint´ otica 11 g(x) ∼ (log x)2 . En la siguiente gr´ afica podemos ver lo bien que la funci´on g(x), tan salvajemente irregular, se ajusta al comportamiento esperado.

11D. Shanks, On maximal gaps between successive primes, Math. Comp. 18 (1964) 646–651. El gr´ afico de g(x) se obtuvo de las tablas encontradas en los siguientes art´ıculos: L. J. Lander and T. R. Parkin, On first appearance of prime differences, Math. Comp. 21 (1967) 483–488, R. P. Brent, The first occurrence of large gaps between successive primes, Math. Comp. 27 (1973) 959–963

1

10 102 103 104 105 106 107 108 109 1010 1011 1012

Figura 5

LOS PRIMEROS 50 MILLONES DE PRIMOS

7

Hasta ahora he documentado mejor mi afirma600 R(x) − π(x) ci´on sobre el orden de los primos que mi afirmaci´on 300 sobre su desorden. Adem´ as, tampoco he cumplido la 0 promesa hecha en mi t´ıtulo de mostrarles los prime1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ros 50 millones de primos, solamente he mostrado −300 unos pocos miles. Por esto aqu´ı muestro un gr´afi0≤x≤1 000 000 000 co de π(x) comparado con las aproximaciones de Legendre, Gauss y Riemann hasta 10 millones 12. Figura 7 Puesto que estas cuatro funciones est´ an tan pr´oximas que sus gr´ aficos son indistinguibles al ojo — Las oscilaciones de la funci´on R(x) − π(x) se como ya vimos en el dibujo hasta 50,000— he dibu- hacen m´as y m´as grandes, pero incluso para estos jado solamente las diferencias entre ellas: valores, casi inconcebiblemente grandes de x, nunca

π(x)+300

Legendre

Gauss

π(x)+200 Gauss

Gauss

π(x)+100

Legendre

Legendre

π(x)

1

2

Riemann

3

Riemann

x

4

5

6

7

8

9

10

Riemann

(en millones)

π(x)−100

Figura 6

Este gr´afico, pienso, muestra en lo que se mete la persona que decide estudiar Teor´ıa de N´ umeros. Como puede verse, para x peque˜ nos (hasta aproximadamente un mill´ on) la aproximaci´ on de Legendre x/(log x − 1,08366) es considerablemente mejor que la de Gauss Li(x), pero despues de 5 millones Li(x) es mejor, y puede probarse que Li(x) sigue siendo la mejor cuando x crece. Pero hasta 10 millones hay s´ olo unos 600 mil n´ umeros primos; para mostrarles los prometidos 50 millones de primos, tengo que llegar no a 10 millones: tengo que subir hasta los 1000 millones. En este rango el gr´ afico de R(x) − π(x) aparece como sigue13: 12Los datos para este gr´ afico est´ an tomados de las tablas de n´ umeros primos de Lehmer (D. N. Lehmer, List of prime numbers from 1 to 10,006,721, Hafner Publishing Co., New York, 1956). 13Este ´ y el siguiente gr´ afico estan hechos usando los valores de π(x) encontrados en D. C. Mapes, Fast method for computing the number of primes less than a given limit, Math. Comp. 17,

superan unos pocos cientos. En conexi´on con estos datos debemos mencionar a´ un otro hecho sobre el n´ umero de n´ umeros primos π(x). En la figura hasta 10 millones, la aproximaci´on de Gauss era siempre mayor que π(x). Esto sigue as´ı hasta mil millones, como puede verse en la figura 8 en la p´agina siguiente (donde estos datos se dibujan en una escala logar´ıtmica). Seguro que esta gr´ afica nos da la impresi´on de que con x crecientes las diferencias Li(x) −π(x) crecen continuamente hasta infinito, esto es que la integral logar´ıtmica de forma consistente sobreestima el n´ umero de primos hasta x (esto estar´ıa de acuerdo tambi´en con la observaci´on de que R(x) es una aproximaci´on mejor que Li(x), puesto que R(x) es siempre menor que Li(x)). Pero esto es falso: puede probarse que existen puntos donde la oscilaciones (1963), 179–185. En contraste con los datos de Lehmer usados en los gr´ aficos previos, estos valores fueron calculados mediante una f´ ormula para π(x) y no contando los primos hasta x.

8

DON ZAGIER

2000

1000

500

200

100 10

Li(x) − R(x)

Li(x) − π(x) 20 30

50 70 100 200 x (en millones)

500

1000

Figura 8

de R(x) − π(x) son tan grandes que π(x) de hecho llega a ser mayor que Li(x). Hasta ahora no se ha encontrado ning´ un tal n´ umero, y quiz´ as nunca llegue a encontrarse uno, pero Littlewood prob´o que o que hay uno que es menor existen y Skewes 14 prob´ que 1034 1010 (un n´ umero del que Hardy dijo una vez que seguro que era el mayor que haya sido utilizado con un prop´osito definido en matem´ aticas). En cualquier caso, este ejemplo muestra qu´e imprudente puede resultar fundamentar conclusiones sobre los primos tan s´olo en datos num´ericos. En la u ´ltima parte de mi conferencia quisiera hablar sobre algunos resultados te´ oricos sobre π(x) para que no se vayan con la sensaci´ on de haber visto s´olo matem´ atica experimental. Un no iniciado ciertamente pensar´ıa que la propiedad de ser primo es demasiado aleatoria para que nosotros podamos probar algo sobre ella. Esto fue refutado ya hace 2200 a˜ nos por Euclides, quien prob´ o la existencia de 14S. Skewes, On the difference π(x)−Li(x) (I) J. London Math. Soc. 8, (1933), 277–283. La demostraci´ on de Skewes de esta cota supone la validez de la hip´ otesis de Riemann que discutiremos m´ as adelante. Veintidos a˜ nos m´ as tarde (On the difference π(x) − Li(x) (II), Proc. London. Math. Soc. (3) 5, (1955), 48–70) prob´ o sin usar la hip´ otesis de Riemann que existe un x menor que la cota (m´ as grande a´ un) 1010

10964

para el cual π(x) > Li(x). Esta cota ha sido disminuida a 1010

529,7

por Cohen y Mayhew y a 1,65 × 101165 por Lehman (On the difference π(x) − Li(x), Acta Arithm. 11, (1966), 397–410). Lehman muestra incluso que hay un intervalo de al menos 10500 n´ umeros entre 1,53 × 101165 y 1,65 × 101165 donde π(x) supera a Li(x). Como consecuencia de su investigaci´ on, parece probable que haya un n´ umero pr´ oximo a 6,663 × 10370 donde π(x) > Li(x) y que no existe ning´ un n´ umero menor que 1020 con esta propiedad.

infinitos primos. Su argumento puede ser formulado en una frase: Si s´olo hubiera un n´ umero finito de primos, entonces multiplic´andolos todos y sumando 1, obtendr´ıamos un n´ umero que no es divisible por ning´ un primo, y eso es imposible. En el siglo XVIII, Euler prob´o m´as, que la suma de los inversos de los n´ umeros primos diverge, es decir, eventualmente excede cualquier n´ umero dado previamente. Su demostraci´on, que es tambi´en muy simple, usa la funci´on 1 1 ζ(s) = 1 + s + s + · · · , 2 3 cuya importancia en el estudio de π(x) fue completamente reconocida s´olo m´ as tarde, con el trabajo de Riemann. Es divertido se˜ nalar que, aunque la suma de los inversos de todos los primos es divergente, esta suma sobre todos los primos conocidos (digamos que los primeros 50 millones) es menor que cuatro 15. El primer resultado importante en la direcci´on de la teor´ıa de los n´ umeros primos fue probado por Chebyshev en 1850.16 Prob´ o que para x suficientemente grande x x < π(x) < 1,11 , 0,89 log x log x es decir, el teorema de los n´ umeros primos es correcto con un error relativo de a lo m´as el 11 %. Su demostraci´on usa los coeficientes binomiales y es tan bonita que no puedo resistir al menos bosquejar una versi´on simplificada de la prueba (con constantes un poco peores). En una direcci´on probaremos x . π(x) < 1,7 log x Esta desigualdad es v´alida para x < 1200. Supongamos por inducci´on que ha sido probada para x < n y consideremos el coeficiente binomial central   2n . n 15Ya que (como conjetur´ o Gauss en 1796 y prob´ o Mertens en 1874)



p 200).

Pero el producto tiene π(2n) − π(n) factores, cada uno mayor que n, as´ı que obtenemos π(2n)−π(n)

n

≤

Y

n 1200). π(2n) < 3,09 X 1 √ 1 √ log n log(2n) Li(x% ) π(x) + π( x) + π( 3 x) + · · · = Li(x) − 2 3 % Entonces el teorema es v´ alido para 2n. Puesto que π(2n + 1) ≤ π(2n) + 1 < 3,09 1,7

n +1≤ log n

2n + 1 , log(2n + 1)

(n > 1200),

es tambi´en v´alido para 2n + 1, completando la inducci´on. Para la cota en la otra direcci´ on, necesitamos un lema sencillo que puede probarse f´ acilmente usando

17La mayor potencia de p que divide a n! es pa , donde n n + 2 + ··· , a= p p

  

 n k n−k =
p − p −  p .

y bxc es el mayor entero ≤ x. As´ı en la notaci´ on del lema νp

r

r

r

r≥1

Cada sumando en esta suma es o bien 0 o ´ 1 y desde luego es 0 para r > (log n/ log p) (puesto que entonces bn/pr c = 0). As´ı pues νp ≤ (log n/ log p), de donde sigue la afirmaci´ on.

10

DON ZAGIER

donde el ´ındice de la suma recorre las ra´ıces de la funci´on ζ(s)18. Estas ra´ıces (aparte de los llamados ceros triviales % = −2, −4, −6, . . . , que aportan una contribuci´on despreciable a la f´ ormula) son n´ umeros complejos cuyas partes reales est´ an entre 0 y 1. Las primeras diez de ellas son como sigue19: 1 1 %1 = + 14,134725 i %1 = − 14,134725 i 2 2 1 1 %2 = + 21,022040 i %2 = − 21,022040 i 2 2 1 1 %3 = + 25,010858 i %3 = − 25,010858 i 2 2 1 1 %4 = + 30,424876 i %4 = − 30,424876 i 2 2 1 1 %5 = + 32,935062 i %5 = − 32,935062 i 2 2 Es f´acil probar que con cada ra´ız aparece su compleja conjugada. Pero que la parte real de cada ra´ız sea exactamente 1/2 no est´ a todav´ıa probado: esta es la famosa hip´ otesis de Riemann, que tendr´ıa importantes consecuencias para la Teor´ıa de N´ umeros20. Ha sido verificada para 7 millones de ra´ıces.

Con la ayuda de la funci´on de Riemann R(x) introducida antes podemos escribir la f´ormula de Riemann en la forma X π(x) = R(x) − R(xρ ) %

La k-´esima aproximaci´ on a π(x) que proporciona esta f´ormula es la funci´on Rk (x) = R(x) + T1 (x) + T2 (x) + · · · + Tk (x),

donde Tn (x) = −R(x%n )−R(x%n ) es la contribuci´ on del n-´esimo par de ra´ıces de la funci´on zeta. Para cada n la funci´on Tn (x) es una funci´on oscilante y suave de x. Las primeras son como sigue21: 0.3 0.2 0.1 0

x 50

100

T1 (x)

−0.1 −0.2 −0.3

18La definici´ on de ζ(s) como 1 1 1 + s + s + ··· 2 3 dada anteriormente tiene sentido s´ olo cuando s es un n´ umero complejo cuya parte real es mayor que 1 (puesto que la serie converge s´ olo para estos valores de s) y en este dominio ζ(s) no tiene ceros. Pero la funci´ on ζ(s) puede ser extendida a una funci´ on para todos los n´ umeros complejos s, de manera que tiene sentido hablar de sus ra´ıces en todo el plano complejo. El modo m´ as sencillo de extender la definici´ on de ζ(s) al menos al semiplano Re(s) > 0 es usar la identidad




1−

2 1 1 1 1 ζ(s) = 1+ s + s +· · ·−2 s + s +· · · 2s 2 3 2 4










∞

= n=1

(−1)n−1 , ns

Figura 9

0.2 0.1 0



n=1

n=1

∞

(−1)n−1 cos(γ log n) = 0, nβ

∞

(−1)n−1 sen(γ log n) = 0 nβ

La suma sobre las ra´ıces % en la f´ ormula de Riemann no es absolutamente convergente y por tanto debe ser sumado en un orden conveniente (es decir, de acuerdo con los valores absolutos de Im(%) crecientes). Finalmente, debo mencionar que, aunque Riemann afirm´ o la f´ ormula para π(x) correctamente en 1859, no fue probada hasta 1895 (por Von Mangoldt). 19Estas ra´ıces fueron calculadas ya en 1903 por Gram (J. P. Gram, Sur les zeros de la fonction ζ(s) de Riemann, Acta Math., 27, (1903), 289–304). Para una bonita presentaci´ on de la teor´ıa de la funci´ on zeta de Riemann, ver H. M. Edwards, Riemann’s zeta function, Academic Press, New York, 1974. 20En particular la hip´ otesis de Riemann implica (y de hecho es equivalente a la afirmaci´ on) que el error de la aproximaci´ on de Gauss Li(x) a π(x) es a lo m´ as una constante por x1/2 log x. En la

100

T2 (x)

−0.1 −0.2

que es v´ alido para Re(s) > 1, y observar que la serie de la derecha converge para todo s con parte real positiva. Con esto, las ra´ıces interesantes de la funci´ on zeta, es decir, las ra´ıces % = β + iγ con 0 < β < 1, pueden ser caracterizadas en una forma elemental por las dos ecuaciones



x 50

Figura 10

0.2 0.1 0

x 50

100

T3 (x)

−0.1 −0.2

Figura 11

actualidad no es ni siquiera conocido si este error es menor que xc para alguna constante c < 1. 21Este ´ y los siguientes gr´ aficos estan tomados de H. Riesel y G. G¨ ohl, Some calculations related to Riemann’s prime number formula, Math. Comp., 24, (1970), 969–983.

LOS PRIMEROS 50 MILLONES DE PRIMOS

11

0.2 0.1 50

0

x 100

T4 (x)

−0.1 −0.2

20

Figura 12 0.2

R10 (x)

0.1 0

50

x 100

T5 (x)

15

−0.1 −0.2

Figura 13 10

Por tanto Rk (x) es tambi´en una funci´on suave para cada k. Cuando k crece, estas funciones aproximan a π(x). Aqu´ı, por ejemplo, est´ an los gr´aficos de las aproximaciones d´ecima y veintinueveava, 5

x 0

50

Figura 19

100

12

DON ZAGIER

π(x) R10 (x) R29 (x) 20

20

R29 (x) 15

15

10

10

5

5

x

x 0

50

Figura 20

100

0

50

100

Figura 21

si comparamos estas curvas con el gr´ afico de π(x) Espero que con ´este y los otros gr´ aficos que les hasta 100 (p. 9) obtenemos el siguiente gr´afico: he mostrado, les haya comunicado una cierta impresi´on de la inmensa belleza de los n´ umeros primos y de las infinitas sorpresas que guardan para nosotros.

Traducido por J. Arias de Reyna, febrero 2003.