UNIVERSIDAD DEL VALLE PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO CONTINUIDAD. 1.- Continuidad en un punto. Continuidad lateral. 2.- Continuidad en un intervalo. 3.- Operaciones con funciones continuas 4.- Discontinuidades. Tipos. 1.- Continuidad en un punto. Continuidad lateral. Intuitivamente, una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Los puntos en que haya que levantar el lápiz se llaman puntos de discontinuidad.

En las figuras anteriores vemos algunos casos (no todos) que pueden presentarse al pasar por un punto x0. (en este caso, para x0=2) En la primera figura la función no es continua porque desde los dos lados no vamos hacia el mismo punto, es decir, no existe lim f(x) . x  x0

En la segunda figura sí van hacia el mismo sitio, pero falta (no existe) el punto de unión entre los dos trozos o ramas, que sería f(x0).

En la tercera existe ese punto de unión f(x0) pero no está colocado en el sitio adecuado: lim f(x)  f(x 0 ) . x  x0

Y por último, en la cuarta figura todo está bien y la función es continua. A la vista de esto podemos dar la definición formal de función continua en un punto. Así, diremos que una función f(x) es continua en un punto x0 si cumple las tres condiciones siguientes: 1.   lim f(x) x  x0

2.   f(x 0 ) 3.  lim f(x)  f(x 0 ) x  x0

Nota: Existen otras formas equivalentes de dar la definición. Por ejemplo: una función f(x) es continua en un punto a si: 1. Existe el límite de la función f(x) en x = a. 2. La función está definida en x = a; es decir, existe f(a) 3. Los dos valores anteriores coinciden. O también, Si tenemos en cuenta la definición métrica de límite podemos escribir: f

Ejemplos:  La función f ( x ) 

es continua en x  a    0   0 / | x  a |    | f ( x )  f (a ) |  

x2 ¿es continua en el punto x = 3? x2

Veamos si se cumplen las tres condiciones anteriores:

1. lim f ( x )  lim x3

x3

x  2 3 2  5 x  2 3 2

3 2 2. f (3)  5 3 2 3. lim f ( x )  f (3) x 3

Por tanto, f(x) es continua en el punto x = 3.  Dada la función f ( x ) 

x2  1 , estudiar la continuidad de dicha función en x = 1. x2  x

Veamos si se cumplen las condiciones necesarias: x2  1 ( x  1)  ( x  1) x 1 11  lim  lim  2 1. lim 2 x 1 x  x x 1 x 1 x  ( x  1) x 1 12  1 2. f (1)  2  no existe, pues se anula el denominador. 1 1 3. El lim f ( x ) y f (1) no son iguales porque f(1) no existe y, en consecuencia, no se pueden comparar. x1

Por tanto, al no estar definida la función en el punto x = 1 no podemos hablar de la continuidad en dicho punto. 3x  5 si x  1   Dada la función f ( x )   2 si x  1 , estudiar la continuidad de dicha función en x = 1 3  x si x  1 

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores: 1.

Estudiamos la existencia del lim f ( x). x  1

Como en el punto x = 1 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto: lim f ( x )  lim (3x  5)  2 x 1

x 1

lim f ( x )  lim (3  x )  2

x 1

x 1

En consecuencia, existe lim f ( x )  2 pues los límites laterales son iguales. x1

2. f (1) = 2 3. lim f ( x )  f ( 1) x1

Luego la función es discontinua en el punto x = 1. 3x  2 si x  2   Dada la función f ( x )  5 si x  2 , estudiar la continuidad de dicha función en x = 2. 3  x si x  2 

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores: 1. Estudiamos la existencia del lim f ( x) x 2

Como en el punto x = 2 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto: lim f ( x )  lim (3x  2)  4

x2 

x2

lim f ( x )  lim (3  x )  1

x2 

x2

En consecuencia, no existe lim f ( x ) pues los límites laterales son distintos. x2

2. f (2) = 5 Luego la función es discontinua en el punto x = 2.

Continuidad lateral Cuando una función no es continua en un punto podemos preguntarnos si lo es lateralmente; es decir, si desde algún lado llegamos a f(x0). En concreto: Una función f(x) es continua por la izquierda en un punto x0 si y sólo si lim f ( x )  f ( x 0 ) .

x  x 0

Una función f(x) es continua por la derecha en un punto x0 si y sólo si lim f ( x )  f ( x 0 ) .

x  x 0

2.- Continuidad en un intervalo. El concepto de continuidad no tiene excesivo interés y aplicación práctica mientras no se extienda a un intervalo para poder tener propiedades en un “trozo” más amplio que un entorno, a veces muy pequeño, alrededor de un punto. Una función es continua en un intervalo si lo es en todos los puntos del intervalo. Así, en la función adjunta, podemos apreciar que hay continuidad en el intervalo [-4, -1], pero no en el intervalo [-1,1]

En en

caso de que el intervalo sea cerrado, [a, b], es necesario que la función también sea continua lateralmente los extremos.

Estas apreciaciones serán de vital importancia para aplicarlas posteriormente a los teoremas sobre funciones continuas.

3.- Operaciones con funciones continuas. Propiedades. Teniendo en cuenta las propiedades de las funciones y de los límites, podemos deducir las siguientes propiedades: 

Si f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas en  a , b , entonces la función (f + g)(x) es continua en  a , b .



Si f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas en  a , b , entonces la función (fg)(x) es continua en  a , b .



f Si f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas en  a , b , y g(x) no se anula en  a , b , entonces la función   ( x ) es continua en  a , b .  g

 

Si f(x) es continua en  a , b , entonces (f)(x) es continua en  a , b , para todo  R. Si f(x) es continua en  a , b y g(x) es continua en f  a , b , entonces la función ( g  f )( x ) es continua en  a , b .

Nota: Como ejemplo de que cómo se debe realizar una demostración de esas afirmaciones, veamos el caso de la suma de dos funciones continuas en un punto y comprobemos que también es una función continua en ese punto. Demostración:

Aplicando una de las propiedades de los límites de funciones,

En resumen: Las operaciones con funciones continuas tienen como resultado otra función continua, siempre que tenga sentido la operación. De hecho, la mayoría de las funciones más usuales son continuas. 1. La función constante f(x) = k es continua en R. En efecto, sea un número cualquiera a  R y estudiemos la continuidad de la función constante en dicho punto: lim f ( x)  lim k  k  f (a ) xa

xa

Por tanto, la función es continua en el punto a  R y como “a” es un número real cualquiera, la función es continua para cualquier valor real, es decir, es continua en R . 2. La función identidad f(x) = x es continua en R . En efecto, sea un número cualquiera a  R y estudiemos la continuidad de la función identidad en dicho punto: lim f ( x)  lim x  a  f (a ) xa

xa

Por tanto, la función es continua en el punto a  R y como “a” es un número real cualquiera, la función es continua para cualquier valor real, es decir, es continua en R . 3. La función potencial f ( x)  x n , n  N es continua en R .

Si tenemos en cuenta que f ( x )  x n  x  x  ( n )   x , la función potencial es un producto de n funciones continuas y, por tanto, será otra función continua. 4. La función polinómica f ( x )  a n  x n  a n 1  x n 1   + a 1  x  a 0 , es una función continua en R . La función polinómica está formada por la suma de un número finito de productos de una función constante por una función potencial: si tenemos en cuenta que el producto de funciones continuas es otra función continua y la suma de funciones continuas también es continua, la función polinómica será continua en todo R . 5. La función racional f ( x)  denominador.

P( x) es continua en todo su dominio, es decir, en todo R menos en aquellos valores que anulen el Q( x)

El dominio de la función racional está formado por todos los números reales que no anulan el denominador de la fracción:

Dom( f ( x))  R  x  R / Q( x)  0 Entonces, a  Dom( f ) se verifica que: lim f ( x)  lim xa

x a

P( x) P(a )   f (a) Q( x) Q(a)

y la función es continua en aDom(f) y como a es un punto cualquiera del dominio, será continua en éste.

Propiedades de las funciones continuas.

Si una función es continua en un punto, entonces tiene límite en dicho punto. Esta propiedad es consecuencia directa de la definición de la continuidad.

Teorema de acotación. Si una función es continua en un punto x = a, entonces está acotada en ese punto, es decir, existe un entorno simétrico de x = a en el que la función está acotada. Teorema del signo. Si f(x) es continua en un punto x = a y f(a)  0, entonces existe un entorno de x = a en el que f(x) tiene el mismo signo que f(a). O

f (a )   f (a )

f (a )   f (a )

f (a )  

O

a  a a  ( )

f (a )   a 

( a) a 

4.- Discontinuidades. Tipos. Cuando una función no es continua en un punto x0 decimos que tiene o que presenta una discontinuidad en ese punto. Teniendo en cuenta que una función es continua en un punto x = a si, y solo si, lim f ( x)  f (a ). , en caso de que esta condición no se cumpla por algún motivo, tendremos uno de los siguientes tipos de discontinuidades.

xa

 Evitables         De salto (1ª especie)   Discontinuidades  Inevitable s          Esencial (2 ª especie    Nota: En las discontinuidades evitables va a existir el límite pero en las inevitables, no

Discontinuidad evitable. Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x0 cuando:

 lim f(x) pero o bien no coincide con f(x0) o bien no existe f(x0). x  x0

Salto finito   Salto inf inito 

Este tipo de discontinuidad se llama evitable porque se resolvería o evitaría definiendo una nueva función a partir de la que tenemos, de la siguiente manera:  f ( x) g ( x)   L

si x  a si x  a

es decir, definimos la nueva función igual que la función que tenemos en todos los puntos donde no hay problema y en el punto donde presenta la discontinuidad le asignamos el valor del límite. Ejemplo:  Explica como harías para que la siguiente función sea continua: f ( x ) 

x 2  5x  6 en el punto x = 3. x3

Si observamos la función, resulta que no está definida en el punto x = 3 pero, si calculamos el límite de la función en ese punto, obtenemos: x2  5x  6 ( x  3)  ( x  2) lim  lim  lim( x  2)  3  2  1 x 3 x  3 x 3 x 3 x3

que sería el verdadero valor de la función en ese punto. La nueva función  x 2  5x  6  g (x )   x  3 1 

sería continua en el punto x = 3.

si x  3 si x  3

Discontinuidad de salto finito. Cuando, no existe lim f(x) pero si existen los límites laterales, que son finitos aunque distintos. x  x0

En este caso, puede existir o no f(a) Además, llamamos salto a la diferencia entre los límites laterales de la función en el punto. Salto = lim f ( x )  lim f ( x ) x a

x a

Ejemplo 3x  1 si x  1 Estudiar la continuidad de la función f ( x )   en el punto x = 1. 3  2 x si x  1

Para estudiar la continuidad en el punto x = 1, analizamos si se verifican los tres puntos de los que hablamos con anterioridad: 1º.- La función está definida en el punto x = 1: f (1)  4

2º.- Estudiamos la existencia del límite en x = 1, para lo cual tenemos que recurrir a calcular los límites laterales en él puesto que en dicho punto existe un cambio de definición de la función lim f ( x)  lim(3 x  1)  4 

x 1

lim f ( x)  lim(3  2 x)  1 

x 1

x 1

x 1

Al ser los límites laterales distintos, la función no tiene límite en dicho punto. En consecuencia, en x = 1, la función presenta una discontinuidad inevitable de salto finito: Salto = lim f ( x)  lim f ( x)  4  1  3 x 1

x 1

Si observamos los valores de los límites laterales, vemos que el límite a la izquierda coincide con el valor que toma la función en el punto, por lo que la función tiene una continuidad lateral a la izquierda en el punto x = 1.

Discontinuidad de salto infinito. Cuando no existe lim f(x) y alguno de los límites laterales (o los dos) es infinito x  x0

Ejemplo 3x  1 si x  1  Estudiar la continuidad de la función f ( x)   1 en el punto x = 1. si x  1  x  1

Para estudiar la continuidad en el punto x = 1, analizamos si se verifican los tres puntos de los que hablamos con anterioridad: 1º.- La función está definida en el punto x = 1: f (1)  4 2º.- Estudiamos la existencia del límite en x = 1, para lo cual tenemos que recurrir a calcular los límites laterales en él puesto que en dicho punto existe un cambio de definición de la función lim f ( x)  lim(3 x  1)  4 

x 1

lim f ( x)  lim

x 1

x 1

x 1

1   x 1

En consecuencia, en x = 1, la función presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito: Nota: Si observamos los valores de los límites laterales, vemos que el límite a la izquierda coincide con el valor que toma la función en el punto, por lo que podemos decir que la función es continua por la izquierda en el punto x = 1. Discontinuidad esencial Cuando no existe alguno de los límites laterales (o los dos)

Por ejemplo, la función f ( x)  sen( x ) no tiene límites laterales en el 0 porque oscila infinitas veces entre 1 y – 1 cada vez mas cerca del 0. Por tanto, presenta un discontinuidad esencial en x=0 1

Ejemplo Estudiar la continuidad de la función f ( x)  x 2

si x  2 en el punto x = 2.

Teniendo en cuenta que su gráfica es la que se adjunta, podemos observar que en x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no existe el límite por la derecha.