Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre Conjunto de los números racionales Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente (división) entre dos números enteros. Existen dos maneras de escribir un mismo número racional: como fracción o en forma decimal; una y otra representan exactamente el mismo número. La expresión decimal de un número racional tiene un número finito de cifras decimales o es periódica. a)

22  2, 444... 9

b)

15  7,5 2

1 c)   0,1666.... 6

d) 

12  2, 4 5

Los números irracionales son aquellos que no puede ser expresados como un cociente entre dos números enteros, por tener infinitas cifras decimales no periódicas. Todas las raíces no exactas de base entera son números irracionales. a)

2  1, 41423...

b)

7  2,545751...

c)

3

4  1,587401...

d)

5

18  1,782602...

Hay números irracionales que se determinan a partir de una ley de formación, los inventamos siguiendo alguna regla y teniendo especial cuidado que no se repita. a)

4,369121518...

c) 3,1122334455...

b) 0,123456789...

d) 25,102030405060...

Operaciones con números racionales Al efectuar la división no exacta entre dos número enteros puede suceder que:  El resto de la división sea cero; en ese caso el cociente es una expresión decimal con un número finito de cifras decimales (expresiones decimales finitas o exactas) a)

3  3: 4  0, 75 4

b)

11  11: 5  2, 2 5

1 c)   1: 8  0,125 8



El resto nunca se anule; necesariamente se repite y al repetirse también lo hacen las cifras decimales del cociente, determinando el período (expresiones decimales periódicas). 1 3 1 a) b)   3:11  0, 27 c)  1: 3  0, 3  1: 45  0, 02 3 11 45 Para transformar una expresión periódica en fracción, se escribe en el numerador de la misma el número decimal, sin coma y se le resta la parte periódica, en el denominador, tantos nueves como cifras decimales periódicas tenga la expresión, seguido de tantos ceros como cifras decimales no periódicas contenga. 23  2 21 7 412  4 408 136 46  4 42 7       a) 2,3  c) 4,12  e) 0, 46   9 9 3 99 99 33 90 90 15 152  15 137 5 1 3215  321 2894 1447     b) 15, 2   d) 0, 05  f) 3, 215  9 9 90 18 900 900 450 Operaciones con fracciones Para sumar o restar fracciones hay que transformarlas en fracciones equivalentes de igual denominador y luego sumar y/o restar los numeradores. 1

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre 1 2 5 4 9     2 5 10 10 10 3 5 6 5 1 b)     4 8 8 8 8

1 1 12 11 2    6 6 6 6 1 2 3 12 8 1 d) 1       4 3 12 12 12 12

a)

c)

Para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí, aplicando la regla se los signos. 2 1 2   5 3 15

a)

2 10 20 b)     3 3 9

c)

4  15  60 3        5  8 40 2

Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por el inverso del divisor. a)

4 7 4 3 12 :    5 3 5 7 35

 4  7  21 c) 3:     3       7  4 4

1 5 1 6 6 3 b)  :        2 6 2 5 10 5

Potenciación y radicación La potenciación es una operación entre dos números “a” y “n”, llamados base y exponente respectivamente, y es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales. a n  a  a  a  a  a...a n veces

a) 23  2  2  2  8 b)

 3

4

2

2 16 4 4 4 4 d)          2  49 7 7 7 7

  3   3   3   3  81

c) 0, 22  0, 2  0, 2  0,04

3

23 8  2  2  2  2 e)                  3   3 27  3  3  3  3

Propiedades de la potenciación

a n  a m  a nm a n : a m  a nm

Producto de potencias de igual base Cociente de potencias de igual base

a 

n m

Potencia de otra potencia

 a n m

 a  b   a n  bn n  a : b   a n : bn n

Distributiva de la potencia respecto de la multiplicación Distributiva de la potencia respecto de la división Exponente negativo Si el exponente es un número negativo, se define a a) 31  b)

 2 

2

1 3

2



1

 2 

2

1  4

n

1 a  n   a b

3

125  4  5 d)          64  5  4

2

b   a

n

2

 2  3 9 c)         4  3  2 3

n

e)

 3

3

4



1

 3

3



4  1 f)      2   16  2

1 27

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre Radicación La radicación es una operación entre dos números “a” y “n”, llamados base e índice, respectivamente. n a  b  bn  a 25  5  52  25 b)

a)

4

81  3  34  81 c)

3

64  4   4   64 d) 3

5

32  2   2   32 5

La raíz de una fracción es igual a la raíz del numerador y la del denominador de la misma. 25 25 5 27 3 27 3 16 4 16 2 a) b) 3 c) 4    3    64 8 2 81 4 81 3 64 8 8 Propiedades de la radicación 1

La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: e)

5 5

1 2

f) 7  7 3

1 3

3

g)

x x 2

2 3

h)

n

a  an

4

5  1 4  x x5

Las propiedades de la radicación son análogas con las de la potenciación. 1

a. Raíz de raíz.

n

1  1 n m a   a m   a n m  n m a  

b. Distributivita respecto de la multiplicación. c. Distributivita respecto de la división.

n

4

i.

52  5

e. Eliminación del radical. a) a)

4

1 n

1 n

1 n

a  b   a  b  a  b  n a  n b 1 n

1 n

n a a a a    1  n b b b bn

m

n

d. Simplificación de índices.

n

m:r

a m  a n  a n:r  n:r a m:r  r  0 6

ii.

8  6 23  2

n

a n  a  n es impar

n

a n  a  n es par

iii.

12

81  12 34  3 3

25  52  5  5

b)

3

27  3 33  3

16  4 24  2  2

c)

5

32  5  2   2

f. Amplificación de índices.

n

m n

a a a m

6  22 612  4 62  4 36

i. ii.

3

4  33 223  9 26  9 64

iii.

5

x3  54 x34  20 x12

3

m p n p



n p

5

a m p  p  0

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre Ejercicios combinados Orden de las operaciones: Para resolver un cálculo combinado sin paréntesis, primero se resuelven las potencias y raíces, luego los productos y cocientes, y por último, las sumas y restas. Si en el cálculo hay paréntesis, primero se resuelve lo que ellos encierran, respetando el mismo orden anterior. Es conveniente separar en términos (los signos que separan términos son los “+” y “-2” que no estén dentro de paréntesis) para asegurarnos de cuáles son los operaciones que deben realizarse primero. En el caso que haya números decimales y fracciones mesclados, es conveniente expresar todos los números con la misma representación, preferiblemente en forma de fracción. Ejemplos: 1

2

1

2

2

5 7 2 1 1    :  2    16  7   2 5  14

1  3 2 3    1   41  2  8

5 32  7  7   5 2      :  16  10  14 2

 1   1 2  3  1          2  2  8 4 3

1

2

1

2

5 25 49 7     :  16 4  10  14

1 3 3 1      8 2 8 4 1 9 3 1     8 4 8 4 1  18  3  2  8 18 9  8 4

1

 10  5 5 49    :    7  14 4 4 10 14 5 49     7 5 4 4 140 5 49    35 4 4 560  175  1715  140 980 98 49     7 140 14 7

Notación científica La notación científica se utiliza para escribir números muy grandes o muy pequeños de una manera abreviada. Por ejemplo: la temperatura en el interior del Sol, que es de 15000000 °C o el volumen de una célula humana, que es de 0,000000004 cm3, puede expresarse de la siguiente manera: 1,5 107C y 4 109 cm3 . Un número está escrito en notación científica cuando está expresado como producto entre una potencia de 10 y un número cuyo valor absoluto es mayor o igual que 1 y menor que 10. a) 12500000000  1, 25 10000000000  1, 25 1010 b) 580000  5,8 100000  5,8 105 c) 0,000000247  2, 47  0,0000001  2, 47 107 d) 0,000034  3, 4  0,00001  3, 4 105 4

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre Potencias de 10

100  1 101  10 102  100 103  1000 104  10000 105  100000 106  1000000 101  0,1 102  0, 01 103  0, 001 104  0, 0001 105  0, 00001 106  0, 000001 Expresiones algebraicas enteras Una expresión algebraica es una combinación cualquiera de números, de letras o de números y letras, unidos entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz. En una expresión algebraica a los números se los denomina coeficientes y a las letras, variables o indeterminadas. 2  y3 x y 3x  43 3  2 8 Si las variables no están afectadas por una raíz o actuando como divisor, las expresiones algebraicas 2 son enteras y se denominan polinomios; o 3 x no son polinomios. x Un polinomio puede tener una o varias variables. 3xy  5m  8z 4 (varias variables) 2 x3  4 x  5x2  1 (una sola variable) Si un polinomio tiene un solo término se llama monomio 6x 2 Si tiene 2 términos se llama binomio 3x  2 Si tiene 3 términos se llama trinomio 4 x2  5x  1 Y si tiene 4 términos se llama cuadrinomio 7  4 x 2  2 x  x3 El mayor exponente con el que aparece la variable en los términos, con coeficiente distinto de cero, determina el grado de un polinomio. P  x   2 x 2  5x  4 x 4  1 ; polinomio de 4° grado.

Q  x   x  2 ; polinomio de primer grado.

El coeficiente que multiplica a la variable de mayor exponente en un polinomio es el coeficiente principal. R  x   2 x  3x 2  5 ; el coeficiente principal es -3 T  x   x5  7 x  9 ; el coeficiente principal es 1.

5

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente respecto de los exponentes de las variables.

M  x   2 x3  4 x  3

Un polinomio está completo si tiene todas las potencias decrecientes del grado

H  x   2 x  5x3  x 2  4

Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficiente cero.

N  x   5 x 4  0 x3  2 x 2  x  0

3  3x0 ; 8  8x0

El término de grado cero es aquel que no tiene variable. Suma y resta de polinomios

El día lunes, un fabricante de juguetes compró 2m3 de gomaespuma, 10m2 de tela y 20 m de cinta. El viernes hizo otra compra de 4m3 de gomaespuma, 5m2 de tela y 8 m de cinta. ¿Cuál fue la compra total que hizo? Para resolver el problema se debe sumar la compra del día lunes y la del día viernes. 2m3  10m 2  20m  4m3  5m 2  8m 

 2m

3

 4m3   10m2  5m2    20m  8m  

 2  4  m3  10  5 m2   20  8  m  6m3  15m2  28m En total compró 6m3 de gomaespuma, 15m2 de tela y 28 m de cinta.

No se puede sumar cantidades de distintas magnitudes como volumen ( m3 ), superficie ( m 2 ) y longitud (m). La expresión de la compra realizada en cada uno de los días y el total, son polinomios cuya variable es m. Los términos que tienen la misma variable y exponente se llaman términos semejantes. En el ejemplo anterior, 2m3 y 4m3 son términos semejantes; también lo son 10m2 y 5m2 , y 20m y 8m. Sólo se pueden sumar o restar entre sí términos semejantes. Reducir un polinomio es sumar y/o restar los términos semejantes del mismo. a) 3x  2  7 x  2 x2  3  2 x2  4 x  5 b) x3  4 x  7 x3  9 x  2 x3  7 x  4 x3  20 x Para sumar o restar polinomios, se deben sumar o restar los términos semejantes entre sí. Sean los polinomios P  x   2 x3  x2  2; Q  x   3x  x3  4 x2 a) Hallar P  x   Q  x  Se completan y ordenan polinomios, se encolumnan términos semejantes y se suma.

2 x3  x 2  0 x  2 

los los

 x3  4 x 2  3x  0 x3  5 x 2  3x  2

b) Hallar P  x   Q  x  Restar dos polinomios es equivalente a sumar el opuesto del sustraendo. P  x   Q  x   P  x   Q  x 

2 x3  x 2  0 x  2  x3  4 x 2  3x  0 3x3  3x 2  3x  2 6

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 – Primer Trimestre

Multiplicación de polinomios Para multiplicar dos monomios deben multiplicarse los coeficientes y las variables entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación. a) b)

2 x  5x  10 x2 5x2  4 x  20 x3

c) d)

xn  xm  x nm

x 

n m

 x nm

3x 2   4 x 2   12 x 4

6 x    x 4   6 x7

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma o resta, efectuando luego la multiplicación de monomios y reduciendo si es posible el polinomio. Dados: P  x   2 x 2  3x y Q  x   5x3  x 2 ; hallar P  x   Q  x 

 2x

2

 3x    5x3  x 2   2 x 2   5x3   2 x 2  x 2  3x   5x3   3x  x 2  10 x5  2 x 4  15 x 4  3x3  10 x5  13x 4  3x3

Forma práctica

2 x 2  3x   5 x3  x 2 2 x 4  3 x3 10 x5  15 x 4 10 x5  13x 4  3 x3

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