Departamento de F´ısica Aplicada ´ Area de F´ısica Aplicada

F´ısica I ´ nica, Oscilaciones y Ondas, Termodina ´ mica Meca Enero, 2011

Segundo armónico

Tercer armónico

Cuarto armónico

Quinto armónico

A A A

N

n=4

n=3

n=2

Alejandro Medina Dom´ınguez

n=5

N

A

A

A

A

A

A

N

A

A

A

A

A

A

N

N

Primer armónico ó fundamental

Jes´ us Ovejero S´anchez versi´ on OCW

n=1

´Indice general 1. Sistemas de medida y an´ alisis dimensional 1.1. Magnitudes fundamentales en F´ısica

I

11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2. Sistemas de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3. Conversi´on de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4. An´alisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5. Notaci´on cient´ıfica y ´ordenes de magnitud . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Fundamentos de Mec´ anica Cl´ asica

2. Cinem´ atica de una part´ıcula

25 27

2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2. Movimiento en una dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.1. Velocidad media

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.2. Velocidad instant´anea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2.3. Aceleraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.4. Ejemplos particulares: movimientos uniforme y uniformemente acelerado

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3. Movimiento en dos y tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3.1. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3.2. Aceleraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3.3. Componentes de la aceleraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3.4. Ejemplos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

´INDICE GENERAL

4

2.4. Movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.4.1. Velocidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.4.2. Movimiento relativo de traslaci´on uniforme . . . . . . . . . . . .

48

2.4.3. Movimiento relativo de rotaci´on uniforme . . . . . . . . . . . . .

50

2.4.4. Movimiento relativo con respecto a la Tierra . . . . . . . . . . .

52

2.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3. Leyes de Newton y sus aplicaciones

65

3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.2. Primera Ley de Newton. Sistemas de referencia inerciales . . . . . . . .

67

3.3. Fuerza, masa y segunda Ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

3.4. Ley de acci´on y reacci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

3.5. Las fuerzas en la Naturaleza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.6. Campos y fuerzas de contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

3.7. Fuerza gravitatoria terrestre y peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

3.8. Fuerzas de rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.8.1. Fricci´on est´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.8.2. Fricci´on cin´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.8.3. Fricci´on por rodadura

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.8.4. Fuerzas de arrastre en fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

3.9. Movimiento relativo a sistemas de referencia no inerciales . . . . . . . .

86

3.9.1. Concepto de fuerza ficticia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

3.9.2. Ejemplos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

3.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

4. Trabajo, energ´ıa y conservaci´ on de la energ´ıa

101

4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2. Concepto de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2.1. Sistemas unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2.2. Expresi´on general de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.3. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

´INDICE GENERAL

5

4.4. Energ´ıa cin´etica. Teorema trabajo-energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.5. Fuerzas conservativas y energ´ıa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.6. An´alisis de curvas de energ´ıa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.7. Conservaci´on de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.7.1. Sistemas conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.7.2. Sistemas no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.7.3. Principio de conservaci´on de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . 118 4.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5. Sistemas de part´ıculas. Momento lineal y su conservaci´ on

125

5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.2. Centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.2.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.2.2. Movimiento del centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.3. Momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.3.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.3.2. Conservaci´on del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.4. Sistemas de referencia del centro de masas y del laboratorio . . . . . . 131 5.5. Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.5.1. Colisiones el´asticas en una dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.5.2. Colisiones inel´asticas en una dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . 136 5.5.3. Colisiones en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.6. Impulso y fuerza media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6. Din´ amica de la rotaci´ on

147

6.1. Cuerpo r´ıgido, traslaci´on y rotaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.2. Energ´ıa cin´etica rotacional. Momento de inercia . . . . . . . . . . . . . 148 6.3. C´alculo de momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.1. Sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.2. Sistemas continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

´INDICE GENERAL

6

6.3.3. Teorema de los ejes paralelos (Steiner) . . . . . . . . . . . . . . 156 6.3.4. Teorema de los ejes perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.4. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.5. Segunda Ley de Newton para la rotaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.5.1. Part´ıcula u ´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.5.2. Sistemas de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.6. Conservaci´on del momento angular y sus aplicaciones . . . . . . . . . . 165 6.7. Trabajo de rotaci´on. Teorema trabajo-energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . 167 6.8. Analog´ıas entre las ecuaciones de la traslaci´on y la rotaci´on . . . . . . . 168 6.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7. Propiedades el´ asticas de los materiales. Mec´ anica de Fluidos

175

7.1. Propiedades el´asticas de los materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.1.1. Curvas esfuerzo-deformaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.1.2. Materiales el´asticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.1.3. Constantes el´asticas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.2. Estados de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.3. Fluidos en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.3.1. Presi´on en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.3.2. Variaci´on de la presi´on con la altura en un fluido incompresible

185

7.3.3. Variaci´on de la presi´on con la altura en un fluido compresible . . 187 7.3.4. Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.3.5. Principio de Arqu´ımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.4. Fluidos en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.4.1. Fluido ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.4.2. Ecuaci´on de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.4.3. Ecuaci´on de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7.5. Fluidos viscosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

´INDICE GENERAL

II

Fundamentos de oscilaciones y ondas

8. Movimiento oscilatorio

7

205 207

8.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.2. Cinem´atica del movimiento arm´onico simple . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.3. Din´amica del movimiento arm´onico simple . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8.4. Energ´ıa de un oscilador arm´onico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.5. Ejemplos de movimiento arm´onico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.5.1. Muelle vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.5.2. P´endulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.5.3. P´endulo f´ısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.5.4. P´endulo de torsi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.6. M.A.S. y movimiento circular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.7. Movimiento en las proximidades del equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 222 8.8. Movimiento arm´onico amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 8.9. Oscilaciones forzadas y resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 8.10. An´alisis de Fourier de movimientos peri´odicos . . . . . . . . . . . . . . 228 8.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9. Movimiento ondulatorio

237

9.1. Introducci´on: conceptos b´asicos y tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . 237 9.2. Pulsos unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.2.1. Funci´on de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.2.2. Superposici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.2.3. Reflexi´on y transmisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 9.2.4. Velocidad de propagaci´on de las ondas unidimensionales . . . . 245 9.3. Ondas arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 9.3.1. Energ´ıa transmitida por las ondas arm´onicas . . . . . . . . . . . 250 9.3.2. Interferencia de ondas arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 9.3.3. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.4. Ecuaci´on de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

´INDICE GENERAL

8

9.5. Ondas en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 9.5.1. Propagaci´on de ondas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . 259 9.5.2. Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 9.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

III

Fundamentos de Termodin´ amica

10.Introducci´ on a la Termodin´ amica

275 277

10.1. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 10.1.1. Sistemas termodin´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 10.1.2. Interacciones termodin´amicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 10.1.3. Estados de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 10.1.4. Variables termodin´amicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 10.1.5. Procesos termodin´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 10.2. Temperatura

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

10.2.1. Equilibrio t´ermico. Principio Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 10.2.2. Escala de temperaturas del gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . 282 10.2.3. Gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 10.3. Primer Principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 10.3.1. Trabajo termodin´amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 10.3.2. Trabajo disipativo y procesos cuasiest´aticos . . . . . . . . . . . 288 10.3.3. Interpretaci´on geom´etrica del trabajo cuasiest´atico . . . . . . . 289 10.3.4. Experimentos de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10.3.5. Trabajo adiab´atico y energ´ıa interna . . . . . . . . . . . . . . . 292 10.3.6. Calor y Primer Principio de la Termodin´amica . . . . . . . . . . 293 10.3.7. Capacidades calor´ıficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 10.4. Segundo Principio de la Termodin´amica . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.4.1. M´aquinas termodin´amicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.4.2. Enunciados del Segundo Principio . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 10.4.3. Procesos reversibles e irreversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 10.4.4. Ciclo y teorema de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

´INDICE GENERAL

9

10.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

IV

Pr´ acticas de laboratorio

313

Ca´ıda libre

315

Est´ atica y din´ amica de un muelle vertical

319

P´ endulo simple

324

P´ endulo f´ısico

330

P´ endulo de torsi´ on y momentos de inercia

335

Ondas estacionarias

341

Conservaci´ on de la energ´ıa

346

Dilataci´ on de s´ olidos y l´ıquidos

350

Ecuaci´ on de estado del gas ideal

355

Bibliograf´ıa

360

´Indice alfab´ etico

363

Cap´ıtulo 1 Sistemas de medida y an´ alisis dimensional 1.1.

Magnitudes fundamentales en F´ısica

La F´ısica es una ciencia cuantitativa que trata de entender un cierto conjunto de hechos observables en la Naturaleza. Las leyes de la F´ısica expresan relaciones entre ciertas magnitudes como pueden ser fuerza, aceleraci´on, corriente el´ectrica, temperatura, energ´ıa, etc. Son necesidades fundamentales en F´ısica el definir con claridad y unicidad esas magnitudes y ser capaz de medirlas con precisi´on. Aunque existen gran cantidad de magnitudes en F´ısica, la mayor parte de ellas se pueden expresar en t´erminos de unas cuantas magnitudes fundamentales. En Mec´anica, por ejemplo, las magnitudes fundamentales son longitud, masa y tiempo. Cualquier otra magnitud f´ısica propia de la Mec´anica se puede expresar como combinaci´on de esas tres. Las magnitudes que no son fundamentales, sino que se expresan como combinaci´on de ellas se denominan derivadas. Ejemplos en Mec´anica son la velocidad, ~v , la aceleraci´on, ~a, la energ´ıa, E, la presi´on, P , etc. Las magnitudes fundamentales o derivadas pueden ser escalares o vectoriales, dependiendo de que puedan ser caracterizadas mediante un u ´nico n´ umero o sea necesario incluir una direcci´on y un sentido. La medida de cualquier magnitud f´ısica y, en particular, de las magnitudes fundamentales, exige acompa˜ nar el valor medido de la referencia o patr´on respecto a la que se compara esa medida para asignarle un valor. No tiene sentido decir que la altura de una casa es 5, hay que a˜ nadir una referencia o patr´on (unidad) respecto a la que

´ CAP´ITULO 1. SIST. DE MEDIDA Y ANALISIS DIMENSIONAL

12

se mide. El resultado de la medida de magnitud f´ısica escalar debe expresarse con una cifra y una unidad. Y si es vectorial con dos o tres cifras (dependiendo del espacio vectorial a que pertenezca) y una unidad.

1.2.

Sistemas de unidades

La elecci´on de una medida est´andar con la cual comparar las mediciones de una cierta magnitud es hasta cierto punto arbitraria. Sin embargo, algunos criterios son convenientes para determinar si un patr´on de medida es adecuado para ser utilizado con asiduidad. Caracter´ısticas deseables de un patr´on de medida son: 1. Estabilidad: el patr´on no debe variar con el tiempo. De este modo la medida de la misma magnitud en diferentes instantes temporales debe dar el mismo resultado. 2. Reproducibilidad: el patr´on debe ser f´acilmente reproducible para que se pueda utilizar en diversas circunstancias y lugares. 3. Aceptabilidad: el patr´on debe ser aceptado por la mayor cantidad posible de usuarios. No es deseable la existencia de muchos patrones diferentes para una misma magnitud. 4. Precisi´on: el patr´on debe estar determinado con mucha m´as precisi´on que la que se pretende para las medidas ordinarias en las que se utilice. De este modo se evitan errores en la determinaci´on de esas medidas. 5. Accesibilidad: el patr´on debe ser f´acilmente accesible para cualquiera que pueda necesitarlo. 6. Seguridad: el patr´on debe ser lo m´as seguro posible para que no se deforme o var´ıen sus propiedades debido a su utilizaci´on u otras razones. La elecci´on de un patr´on para cada una de las magnitudes fundamentales determina un sistema de unidades. El sistema de unidades m´as ampliamente aceptado en F´ısica es el denominado Sistema Internacional de Unidades (S.I.). Fue establecido en 1960

´ DE UNIDADES 1.3. CONVERSION

13

Magnitud

Unidad

S´ımbolo

longitud masa tiempo corriente el´ectrica temperatura cantidad de materia intensidad luminosa

metro kilogramo segundo amperio kelvin mol candela

m kg s A K mol cd

por un comit´e internacional. Las unidades en el S.I. de las magnitudes fundamentales en F´ısica 1 son las que se relacionan en la tabla adjunta. Cualquier otra magnitud f´ısica se puede expresar en unidades del S.I. como combinaci´on de esas unidades b´asicas. Otros sistemas de unidades que se utilizan ocasionalmente son el sistema cegesimal (c.g.s.) y el sistema t´ecnico ingl´es. En el c.g.s., las unidades b´asicas son el cent´ımetro (cm), el segundo (s) y el gramo (g). En el sistema t´ecnico ingl´es, se toma como unidad de fuerza patr´on la libra y a partir de ella se define la libra como unidad de masa (1 libra = 0, 454 kg). La longitud se expresa en pies (1 pie = 0, 3048 cm) y el tiempo en segundos.

1.3.

Conversi´ on de unidades

Aunque siempre es recomendable expresar la medida de un magnitud en el S.I., en algunas ocasiones es necesario convertir las unidades de un sistema a otro.

1.3.1 Ejemplo ~ Transformar 90 km/h a: m/s y millas/h .

90

1

 km 

m 1 1000  = 25 m/s h km 3600 s   h 

Otras unidades de car´ acter ge´ ometrico en el S.I. son el radian (rd), unidad de ´angulo y el estereorradian (sr), unidad de ´ angulo s´ olido.

´ CAP´ITULO 1. SIST. DE MEDIDA Y ANALISIS DIMENSIONAL

14

90

 km 

h

1 1, 61

 km 

= 55, 9

mi h

mi

~ La masa de un cubo s´olido es 856 g y cada arista tiene una longitud de 5, 35 cm. Determ´ınese la densidad del cubo en unidades del S.I.. ρ=

m = 856  g

1 1000

m V

= 0, 856 kg

g  kg

 m 3 3 10−2 cm = 1, 531 × 10−4 m3 V = l3 = 153, 13    cm =⇒

1.4.

ρ=

kg 0, 856 kg = 5, 590 × 103 3 −4 3 1, 531 × 10 m m

An´ alisis dimensional

Cada magnitud f´ısica posee una cualidad propia que impide que pueda compararse con otra magnitud distinta. Por eso no se puede decir que una cierta velocidad sea mayor o menor que una densidad, velocidad y densidad son cosas intr´ınsecamente diferentes. Y al serlo no pueden compararse. Como s´olo pueden compararse cantidades de la misma magnitud, las ecuaciones de la F´ısica deben expresar siempre la igualdad de magnitudes de la misma especie. A=B

=⇒

A y B son comparables.

Se dice que esa ecuaci´on es dimensionalmente homog´enea. El tipo de especie o magnitud queda determinado por lo que se conoce en F´ısica como dimensi´on. Por ejemplo, una longitud se puede simbolizar con la letra L. Y como una superficie es el producto de dos longitudes se puede simbolizar como L2 . Y un volumen como L3 . La masa es una magnitud que no puede reducirse a una longitud y por ello necesitamos otro modo de referirnos a ella. Por ejemplo, denotamos su dimensi´on por M . Es

´ 1.4. ANALISIS DIMENSIONAL

15

indiferente que la masa a que nos refiramos sea la de un planeta, la de un a´tomo o la de una persona. Aunque sus medidas ser´an distintas en cada caso, intr´ınsecamente la magnitud es la misma. Igual sucede con el tiempo. Su dimensi´on suele denotarse como T. Una densidad es una masa dividida por un volumen y se dice que dimensionalmente es M/L3 . La velocidad siempre es una longitud dividida por un tiempo. Se dice, entonces, que dimensionalmente es LT −1 . Otros ejemplos pueden ser: aceleraci´on (a) fuerza (f ) energ´ıa (E)

v −→ LT −2 se denota [a] = LT −2 t → ∼ m a −→ M LT −2 se denota [f ] = M LT −2 → ∼

→ ∼fd

−→

M L2 T −2

se denota [E] = M L2 T −2

Cualquier magnitud mec´anica, por complicada que sea, se puede expresar dimensionalmente en t´erminos de M , L y T . Podr´ıamos entonces definir el concepto dimensi´on como una forma sencilla de representar la dependencia de una magnitud cualquiera en t´erminos de las magnitudes fundamentales. Hay magnitudes que no tienen dimensiones. Se dice que son adimensionales. Por ejemplo, un a´ngulo es

arco . radio

Su dimensi´on es L/L = L0 . Otro ejemplo es cualquier

exponente de una funci´on exponencial. Esto se debe a que al hacer el desarrollo en serie de la funci´on: ex ' x +

x3 x5 + + ..., 3! 5!

esta ecuaci´on s´olo es homog´enea si x es adimensional. No se puede sumar una fuerza con una densidad. En general, cuando se representa una igualdad mediante una ecuaci´on algebraica, ambos t´erminos deben ser dimensionalmente iguales para ser comparables: A=B+C

=⇒

[A] = [B] = [C]

S´olo en este caso tiene sentido la suma y la igualdad. De este modo la ecuaci´on es dimensionalmente homog´enea. Utilidades del an´alisis dimensional: + Comprobar si una ecuaci´on es correcta.

´ CAP´ITULO 1. SIST. DE MEDIDA Y ANALISIS DIMENSIONAL

16

+ Preveer c´omo debe ser una relaci´on entre varias magnitudes.

1.4.1 Ejemplo Compru´ebese si las siguientes ecuaciones son dimensionalmente correctas. ~ x = 12 at2 [x] = L [a] = LT −2 [t] = T −→

  L = L T −2 T2 

=⇒

correcta

~ v 2 = 2a(x − x0 ) + v02 v 2 = (LT −1 )2 = L2 T −2 [a] = LT −2 [x] = [x0 ] = L [v02 ] = [v 2 ] = L2 T −2 −→

L2 T −2 = L2 T −2 + L2 T −2

=⇒

correcta

1.4.2 Ejemplo 2.- Determ´ınense los exponentes desconocidos para que las siguientes ecuaciones sean correctas. ~ E = 12 ma v b [E] = M L2 T −2 [ma v b ] = M a (LT −1 )b = M a Lb T −b −→

a = 1,

b=2

=⇒

1 E = mv 2 2

´ CIENT´IFICA Y ORDENES ´ 1.5. NOTACION DE MAGNITUD

17

~ E = ma g b hc [E] = M L2 T −2 [ma g b hc ] = M a (LT −2 )b Lc = M a Lb+c T −2b −→

1.5.

a = 1,

b + c = 2,

2b = −2

−→

b = 1,

c=1

=⇒

E = mgh

Notaci´ on cient´ıfica y o ´rdenes de magnitud

El manejo de n´ umeros muy grandes o muy peque˜ nos se simplifica notablemente utilizando potencias de 10. En esta notaci´on, denominada cient´ıfica, un n´ umero se escribe como el producto de uno entre 0 y 10 y una potencia de 10. Para denominar a las potencias se suelen utilizar los prefijos y abreviaturas que aparecen en la tabla adjunta. M´ ultiplos 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 100 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18

Prefijo

Abreviatura

exa peta tera giga mega kilo hecto deca − deci centi mili micro nano pico femto ato

E P T G M k h da − d c m µ n p f a

´ CAP´ITULO 1. SIST. DE MEDIDA Y ANALISIS DIMENSIONAL

18

Cuando se llevan a cabo c´alculos por aproximaci´on o comparaciones hay veces en que se redondea un n´ umero hasta la potencia de 10 m´as pr´oxima. Tal n´ umero recibe el nombre de orden de magnitud. Se podr´ıa definir entonces como la potencia de 10 m´as pr´oxima a un cierto n´ umero. Por ejemplo, si la altura de una pared es 8 m, su potencia m´as pr´oxima es 101 . Se dice que su orden de magnitud es 10. Si la altura de una persona es de 1, 70 m, se dice que el orden de magnitud de la altura es 100 = 1. Si la masa de un coche es 2000 kg, se dice que su orden de magnitud, en kilos es 103 . Sin embargo en toneladas ser´ıa 1. El orden de magnitud siempre est´a asociado a un sistema de unidades. Este concepto es muy importante puesto que aunque muchas veces sea dif´ıcil estimar el tama˜ no, la masa de un objeto u otras magnitudes, es posible, con razonamientos sencillos, estimar su orden de magnitud. Tambi´en es fundamental para razonar si el resultado de la resoluci´on de un problema tiene sentido o no. Veamos algunos ejemplos de ambos casos:

1.5.1 Ejemplo } ¿Qu´e espesor de la banda de rodadura de un neum´atico se desgasta en un recorrido de 1 km? Supongamos que el espesor del neum´atico nuevo es 1 cm. Quiz´as no sea ese, sino 2 ´o 3 cm, pero seguro que no es 1 mm ni 10 cm. Su orden de magnitud puede ser 1 cm. Si los neum´aticos deben cambiarse cada 60000 kms, consideremos que la banda est´a completamente gastada despu´es de esos km. Entonces:

1 cm cm = 1, 7 × 10−5 60000 km km

−→

O.M. : 10−5

cm km

} Est´ımese el grosor de las hojas de un libro. Supongamos que el libro tiene aproximadamente 500 p´aginas, es decir, 250 hojas de papel. Si su espesor (sin contar las portadas) es 2 cm, resulta:

´ CIENT´IFICA Y ORDENES ´ 1.5. NOTACION DE MAGNITUD

g=

0, 02 = 8 × 10−5 m = 0, 08 mm 250

−→

19

O.M. : 10−1 mm

} Sup´ongase que en la resoluci´on de un problema de Termodin´amica se obtiene que la temperatura de ebullici´on del agua es ' 104 K. ¿Tiene sentido, o no? } En un problema se pide calcular la potencia necesaria que debe suministrar el motor de un coche para ascender una pendiente del 10 %. ¿De qu´e orden de magnitud ser´a esa potencia? } Si en un problema nos piden calcular el orden de magnitud de la masa de un prot´on, ¿cu´al debe ser? } Est´ımese el n´ umero de peluqueros que hay en Madrid (¡de hombres!). Cada peluquero trabaja 10 h/d´ıa y cada hombre tarda 0,5 h en cortarse el pelo. Entonces cada peluquero corta el pelo a 20 hombres/d´ıa. Si en Madrid hay 1 mill´on de hombres y se cortan el pelo en promedio cada 3 meses. En tres meses un peluquero corta el pelo a: 20 × 30 × 3 = 1800 ' 2 × 103 hombres/3 meses 106 1 = × 103 peluqueros 3 2 × 10 2

20

´ CAP´ITULO 1. SIST. DE MEDIDA Y ANALISIS DIMENSIONAL Ejemplos de algunos o´rdenes de magnitud: Longitud

(m)

radio del prot´on 10−15 radio del a´tomo 10−10 radio de una c´elula 10−5 altura de una persona 100 altura de una monta˜ na 104 radio de la Tierra 107 radio del Sol 109 distancia Tierra-Sol 1011 radio de la V´ıa L´actea 1021

Masa

(kg)

electr´on 10−30 prot´on 10−27 c´elula 10−12 gota de lluvia 10−6 hormiga 10−2 persona 102 Tierra 1024 Sol 1030 V´ıa L´actea 1041

Tiempo

(s)

tiempo que tarda la luz en atravesar un n´ ucleo periodo de la radiaci´on de la luz visible periodo de la radiaci´on de microondas periodo de la nota musical Do periodo de las pulsaciones del coraz´on humano periodo de la rotaci´on terrestre (1 d´ıa) periodo de la revoluci´on terrestre (1 a˜ no) vida media de una persona vida media de una cordillera edad de la Tierra edad del Universo

10−23 10−15 10−10 10−2 101 105 107 109 1015 1017 1018

1.6. PROBLEMAS

1.6.

21

Problemas

1. En una carretera de Estados Unidos, el l´ımite de velocidad marca 55 millas/hora. ¿Cu´al ser´ıa la velocidad l´ımite equivalente en una carretera espa˜ nola? (Respuestas: 88,5 km/h) 2. El radio de una esfera en cent´ımetros es 0,3. ¿Cu´ales ser´ıan su superficie y su volumen en el SI? (Respuestas: S = 1,13 × 10−4 m2 ; V = 1,13 × 10−7 m3 ) 3. Una estaci´on meteorol´ogica marca una presi´on atmosf´erica de 775 mmHg. ¿A cu´antas atm´osferas corresponde esa presi´on? ¿Corresponde esa medida al SI? (Respuestas: P = 1,02 atm; P = 1,03 × 105 Pa) 4. Comprueba si las siguientes ecuaciones son dimensionalmente correctas: s l x = vt; m = ρV ; V = V0 e−k ; T = 2π g at2 x = vt + ; 2 v 2 = 2a(x − x1 ) + v12 ;

v2 a= ; r r=

 A=

x20

v02 sen 2θ0 ; g

v2 + 02 ω

2

~l = ~r × p~

5. Haciendo uso de an´alisis dimensional, calcula n, m y p para que las siguientes ecuaciones tengan sentido: a) a = k rn v m , donde k es una constante adimensional. b) F cos θ = mg (1 − α) cos λ, donde α ∼ RTm g n TTp . (Respuestas: a) m = 2; n = −1; b) m + n = 0 −2n + p = 0. La soluci´on no es u ´nica.)

22

´ CAP´ITULO 1. SIST. DE MEDIDA Y ANALISIS DIMENSIONAL 6. ¿Cu´ales deben ser las dimensiones de los par´ametros C1 y C2 para que las siguientes ecuaciones sean dimensionalmente correctas? x = C1 + C2 t; 1 x = C1 t2 ; 2

x = C1 cos C2 t

v = C1 e−C2 t ;

v 2 = 2C1 x.

7. Halla las dimensiones de la constante G de la gravitaci´on universal, sabiendo que: m1 m2 F~g = G ~u. r2 (Respuestas: [G] = M −1 L3 T −2 ) 8. Un objeto situado en el extremo de una cuerda se mueve seg´ un un c´ırculo. La fuerza ejercida por la cuerda depende de la masa del objeto, de su velocidad y del radio del c´ırculo. ¿Qu´e combinaci´on de estas variables ofrece las dimensiones correctas de la fuerza? mv 2 ) (Respuestas: F ∼ r 9. Utilizando notaci´on cient´ıfica, calcula: 150000 × 3000000 0, 0005 × 2000 3200 16 4800 × 0, 002 ×

1 10000

10. Sabiendo que la distancia entre Nueva York y Los Angeles es de 4800 kms y que hay una diferencia horaria de 3 horas, estima la circunferencia de la Tierra. (Respuestas: l ' 40,000 km) 11. Sabiendo que la velocidad de salida por un peque˜ no orificio practicado en la pared de un dep´osito es proporcional a la distancia vertical (h) del centro del orificio a la superficie del l´ıquido y a la aceleraci´on de la gravedad (g), dudamos si esa

1.6. PROBLEMAS

23

velocidad depende tambi´en de la densidad del l´ıquido. ¿Se puede resolver esta duda utilizando an´alisis dimensional? (Respuestas: v ∼ (gh)1/2 ) 12. Supongamos que un helic´optero es capaz de quedarse suspendido en el aire cuando sus motores desarrollan una potencia, P . Un segundo helic´optero tiene la mitad de tama˜ no que el primero, pero los mismos motores. ¿Qu´e potencia deben desarrollar sus motores para mantenerse suspendido? (Respuestas: P2 ' 0,09 P )

Parte I Fundamentos de Mec´ anica Cl´ asica

Cap´ıtulo 2 Cinem´ atica de una part´ıcula 2.1.

Introducci´ on

La Mec´anica es una parte de la F´ısica que tiene por objeto estudiar el estado de movimiento de los cuerpos, buscar sus causas y establecer las leyes que rigen estos movimientos. Dependiendo de la naturaleza del estudio, la Mec´anica se divide en dos partes Cinem´atica y Din´amica. La Cinem´atica estudia de forma gen´erica el movimiento independientemente de las causas que lo producen. Sin embargo, la Din´amica atiende tambi´en a las causas que lo provocan. Dentro de la Din´amica, existe otra parte, de especial inter´es en Ingenier´ıa, denominada Est´atica . Trata de estudiar en que circunstancias los cuerpos est´an en reposo, aunque est´en sometidos a varias fuerzas. Los elementos b´asicos de la Cinem´atica son el espacio, el tiempo y el m´ovil. La Cinem´atica Cl´asica admite la existencia de un espacio y un tiempo absolutos y continuos. Este espacio es independiente de los objetos materiales que contiene. Postula tambi´en la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todo el Universo y que es el mismo para todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento. De este modo el tiempo se puede representar como una variable real. Aunque en este curso nosotros nos dedicaremos esencialmente al estudio de la Mec´anica Cl´asica, cabe decir que existen otros modos dentro de la F´ısica de entender el espacio y el tiempo. En Mec´anica Relativista esos conceptos no son absolutos sino que est´an relacionados entre s´ı y con el observador y su estado de movimiento.

28

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

Es la mec´anica apropiada para el estudio de problemas en que aparecen velocidades pr´oximas a la de la luz. Existe otro tipo de descripci´on mec´anica de la naturaleza apropiada para sistemas de dimensiones peque˜ nas, como a´tomos y n´ ucleos. Se denomina Mec´anica Cu´antica. En ella la posici´on y la velocidad de una part´ıcula no se pueden determinar simult´aneamente con precisi´on arbitraria (Principio de Incertidumbre). Un cuerpo cualquiera puede considerarse como un punto material o como una part´ıcula cuando sus dimensiones son despreciables frente a las dimensiones de sus desplazamientos. As´ı por ejemplo, la Tierra puede considerarse como un objeto puntual al estudiar su movimiento respecto al sol, puesto que su di´ametro son aproximadamente 10,000 km y la distancia media al sol son 1013 km. Es por lo tanto, un concepto relativo relacionado con el observador. En Mec´anica se considera que un cuerpo est´a en movimiento cuando su posici´on cambia en el espacio con relaci´on a otros que consideramos fijos y que sirven de referencia. Pero tambi´en puede suceder que no s´olo el cuerpo se mueva sino que tambi´en lo haga el sistema de referencia. Por lo tanto, el concepto de movimiento siempre tiene un sentido relativo. El mejor modo de establecer la relaci´on entre el cuerpo en estudio y su referencial es utilizando un sistema de coordenadas. Para un punto material bastar´a determinar sus coordenadas, pero para un cuerpo extenso habr´a que determinar las coordenadas de todos sus puntos. Se dice que el movimiento del punto material es unidimensional si queda perfectamente determinado por una u ´nica coordenada, x = x(t). Esa ecuaci´on matem´atica describe la trayectoria del cuerpo. A cada valor de la variable temporal, t, se le asigna un´ıvocamente una posici´on de la part´ıcula. Este tipo de movimiento se denomina a veces rectil´ıneo. Existen muchos movimientos reales, que tienen lugar en el espacio tridimensional ordinario, que pueden entenderse como unidimensionales, pues de alg´ un modo s´olo una de las coordenadas de posici´on var´ıa apreciablemente en el tiempo. Ejemplos de esto son un movimiento de ca´ıda libre o el de un tren sobre unos ra´ıles en l´ınea recta. En otras ocasiones es necesario estudiar la evoluci´on de dos coordenadas para describir correctamente la evoluci´on de la part´ıcula. En este caso es como si el movimiento tuviera lugar sobre una superficie plana (bidimensional ). Ejemplos de

´ 2.2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION

29

estos movimientos son el de una bola de billar sobre una mesa o el de un proyectil. En general, para describir el movimiento de una part´ıcula en el espacio tridimensional se requiere una trayectoria de la forma: x = x(t), y = y(t) y z = z(t). Expresado en forma vectorial, el vector de posici´on de la part´ıcula es una funci´on del tiempo de la forma: ~r = ~r(t).

2.2. 2.2.1.

Movimiento en una dimensi´ on Velocidad media

Consideremos una part´ıcula o punto material movi´endose sobre una l´ınea recta representada por la coordenada x. Supongamos que en el instante ti se encuentra en la posici´on xi y en el tf en la posici´on xf . Se define la velocidad media de la part´ıcula en ese intervalo de tiempo como: ∆x xf − xi ≡ [¯ v ] = LT −1 v¯ = tf − ti ∆t

x

x(t)

xf ∆x α xi

∆t

ti

tf

t

La velocidad media es independiente de la trayectoria seguida por la part´ıcula, s´olo depende del espacio recorrido y el tiempo transcurrido. Si una part´ıcula parte de un determinado punto y vuelve a ´el despu´es de un tiempo, su velocidad media en ese intervalo es cero. Geom´etricamente, la velocidad media representa la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final. v¯ =

∆x = tan α. ∆t

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

30

2.2.2.

Velocidad instant´ anea

La velocidad de la part´ıcula en un instante de tiempo cualquiera se denomina velocidad instant´anea. Es un concepto importante especialmente cuando la velocidad media en diferentes intervalos de tiempo no es constante. Para determinarla debemos hacer el intervalo temporal tan peque˜ no como sea posible de modo que esencialmente no tengan lugar cambios en el estado de movimiento durante ese peque˜ no intervalo. Matem´aticamente: ∆x dx = ∆t→0 ∆t dt

v = l´ım v¯ = l´ım ∆t→0

=⇒

dx(t) . dt

v(t) =

0

x

∆t

x(t) xi

t i +∆t

ti

t

La interpretaci´on geom´etrica se puede entender a partir de la figura. Cuando ∆t → 0, el cociente, ∆x/∆t, representa la pendiente de la recta tangente a la curva, x(t), en el instante ti . Una vez conocida la velocidad como funci´on del tiempo, v = v(t), es posible determinar la posici´on de la part´ıcula en cualquier instante sin m´as que utilizar el concepto de integral. dx v= dt

Z −→

v dt = dx

x

−→

Z dx =

x0

Z =⇒

v

v(t) dt v0

t

x = x0 +

v(t) dt

(2.1)

t0

A partir de esto, el desplazamiento, x − x0 , se puede interpretar geom´etricamente como el ´area bajo la curva v = v(t).

´ 2.2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION

2.2.3.

31

Aceleraci´ on

Cuando la velocidad de una part´ıcula permanece constante se dice que realiza un movimiento uniforme, pero en general la velocidad puede variar con el tiempo. Supongamos una part´ıcula que en el instante ti tiene velocidad vi y en el tf velocidad vf . Se define la aceleraci´on media en ese intervalo como : a ¯=

vf − vi ∆v = tf − ti ∆t

De esa ecuaci´on se deduce que las dimensiones de esta nueva magnitud son, [¯ a] = LT −2 . En algunos casos la aceleraci´on media es diferente en distintos intervalos temporales y conviene entonces definir una aceleraci´on instant´anea como l´ımite de la aceleraci´on media en un intervalo temporal muy peque˜ no. dv ∆v = ∆t→0 ∆t dt

=⇒

a = l´ım a ¯ = l´ım ∆t→0

a(t) =

dv(t) . dt

Si conocemos la aceleraci´on instant´anea, a = a(t), podemos calcular la velocidad instant´anea, v = v(t), as´ı: Z

dv a(t) = dt

−→

v

−→

dv = a dt

Z

t

dv = v0

Z a dt

=⇒

t

v(t) = v0 +

t0

a(t) dt. t0

(2.2) La aceleraci´on, en general, se puede relacionar con la posici´on del siguiente modo:   d dx d2 x dv d2 x = a(t) = = 2 =⇒ a(t) = 2 . dt dt dt dt dt Una relaci´on importante entre velocidad y aceleraci´on se obtiene as´ı: a=

dv dt

−→

−→

dv = a dt

Z

v

Z

x

v dv = v0

2.2.4.

a dx x0

dx dt =⇒ v dv = a dx dt Z x 2 2 a(x) dx (2.3) v = v0 + 2

v dv = av dt = a =⇒

x0

Ejemplos particulares: movimientos uniforme y uniformemente acelerado

Dos casos anal´ıticamente sencillos son el movimiento uniforme y el movimiento uniformemente acelerado . El primero se produce cuando v ≡ v0 =cte. y el segundo cuando a ≡ a0 =cte.

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

32

En el caso particular v = v0 =cte., la integral (2.1) es trivial y resulta: Z t x = x0 + v0 dt = x0 + v0 (t − t0 ), t0

que es la relaci´on que liga posici´on con tiempo en un movimiento unidimensional uniforme. Si la aceleraci´on es constante, a = a0 =cte. En este caso a 6= a(t) y a partir de (2.2), Z t v = v0 + a0 dt = v0 + a0 (t − t0 ) =⇒ v(t) = v0 + a0 (t − t0 ). (2.4) t0

Utilizando las ecuaciones (2.1) y (2.4) tambi´en se puede obtener para el caso de movimiento uniformemente acelerado: Z t 1 x = x0 + [v0 + a0 (t − t0 )] dt = x0 + v0 (t − t0 ) + a0 (t − t0 )2 . 2 t0 Por u ´ltimo, a partir de (2.3) se obtiene: v 2 = v02 + 2a0 (x − x0 ). En la figura adjunta se resumen las interpretaciones geom´etricas de las ecuaciones que hemos obtenido para el movimiento uniforme y uniformemente acelerado. + Movimiento uniforme: a=0 v ≡ v0 = cte. x = x0 + v0 (t − t0 )

v

x v= cte.

a=0

x x0

~ v0

x-x 0

t0

t

t

t0

t

t

´ 2.2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION

33

+ Movimiento uniformemente acelerado: a ≡ a0 = cte. v = v0 + a0 (t − t0 ) x = x0 + v0 (t − t0 ) +

a0 (t − t0 )2 2

v x v

v0

~ a0

~v x0

t0

t

t

t0

t

2.2.1 Ejemplo Una part´ıcula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuaci´on, x(t) = 2t3 + 5t2 + 5 (S.I.). Determ´ınense: a) La velocidad y aceleraci´on instant´aneas. b) La posici´on, velocidad y aceleraci´on en t = 2 s. c) Velocidad y aceleraci´on medias entre t = 2 s y t = 3 s. a) x(t) = 2t3 + 5t2 + 5 dx = 6t2 + 10t v(t) = dt dv a(t) = = 12t + 10 dt

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

34 b) En t = 2 s,

x = 2,23 + 5,22 + 5 = 41 m v = 24 + 20 = 44 m/s a = 34 m/s2 c) En el intervalo t = 2 s → 3 s,

vf − vi 84 − 44 = = 40 m/s2 tf − ti 1 104 − 41 xf − xi = v¯ = = 63 m/s tf − ti 1

a ¯=

2.2.2 Ejemplo La aceleraci´on de un cuerpo que se desplaza a lo largo del eje x viene dada en funci´on de su posici´on por a(x) = 4x − 2 (S.I.). Suponiendo que v0 = 10 m/s cuando x = 0, obt´engase la velocidad en cualquier otra posici´on. a(t) =

dv dt

−→

dv = a(t)dt =⇒

con lo que integrando: Z v Z v dv = v0

−→

x

a dx

dx dt dt

v dv = a dx,

=⇒

2

v =

v02

Z

x

+2

x0

En este caso: Z x 2 2 v = v0 + 2 (4x − 2) dx = v02 + 2(2x2 − 2x) x0

v dv = av dt = a

a(x) dx. x0

=⇒

v(x) = [100 + 4x(x − 1)]1/2 .

´ 2.2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION

35

2.2.3 Ejemplo Ca´ıda libre. Es un hecho experimental que todo objeto en las proximidades de la superficie terrestre adquiere una aceleraci´on aproximadamente g = 9,81 m/s2 cuando se deja en libertad (supondremos que no hay rozamientos y que g no var´ıa con la latitud, altitud u otros factores). Tomando como origen la superficie terrestre y coordenadas positivas, y, hacia arriba, la aceleraci´on ser´a negativa, a = −g, y las ecuaciones de movimiento adecuadas las de un movimiento uniformemente acelerado. Particularizadas a este caso tomar´an la forma: v(t) = v0 − g(t − t0 ) 1 y(t) = y0 + v0 (t − t0 ) − g(t − t0 )2 2 2 2 v (y) = v0 − 2g(y − y0 ) Un ejemplo de aplicaci´on de estas ecuaciones de movimiento podr´ıa ser el siguiente. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 98 m/s desde el techo de un edificio de 100 m de altura. Obt´enganse: a) La m´axima altura que alcanza sobre el suelo y el tiempo que tarda en llegar a ella. b) La velocidad con que llega al suelo y el tiempo total transcurrido hasta que llega a ´el. a)-b) t0 = 0; Altura m´axima: v = 0

v0 = 98 m/s; −→

y0 = 100 m;

v0 = g tmax

−→

a = −g

ymax = y0 + v0 tmax − 21 g t2max

v0 = 10 s g = 590 m

tmax = ymax c)-d) Al llegar al suelo y = 0: 1 0 = y0 + v0 t − gt2 2

resolviendo

−−−−−−→

( t tt

= −0,96 s = 20,96 s

(sin sentido f´ısico)

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

36

vt = v0 − g tt = −107,41 m/s

2.3. 2.3.1.

Movimiento en dos y tres dimensiones Velocidad

Supongamos ahora una part´ıcula movi´endose en el espacio. Denotamos su posici´on en cada instante de tiempo por medio de un vector posici´on ~r = ~r(t). En coordenadas cartesianas, la ecuaci´on de la trayectoria vendr´a dada por: x = x(t), y = y(t) y z = z(t). En el caso de movimiento en un plano, las dos primeras ecuaciones son suficientes para describir el movimiento de la part´ıcula. Si la posici´on de la part´ıcula en el instante ti viene dada por ~ri y en el tf por ~rf , se define su velocidad media en ese intervalo temporal como: ~v¯ =

~rf − ~ri ∆~r = tf − ti ∆t

(2.5)

z

tf

r(t)

∆r

ti

rf ri x

y

~v¯ es un vector paralelo al desplazamiento ∆~r. Para definir la velocidad instant´anea basta tomar el l´ımite cuando el intervalo temporal tiende a cero. ∆~r d~r = ∆t→0 ∆t dt

~v = l´ım

(2.6)

2.3. MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES

37

En componentes tomar´a la forma: ~v =

dx~ dy ~ dz ~ i + j + k = vx ~i + vy ~j + vx ~k. dt dt dt

La velocidad instant´anea ser´a un vector tangente a la trayectoria curvil´ınea, es decir, se puede expresar: ~v =| ~v | u~t , donde ~ut es un vector unitario tangente a la trayectoria.

2.3.2.

Aceleraci´ on

En un movimiento curvil´ıneo, la velocidad puede variar en general, tanto m´odulo como en direcci´on ´o sentido. Se define la aceleraci´on media como el cambio de velocidad en un intervalo temporal determinado: ~a ¯=

∆~v ∆t

y la aceleraci´on instant´anea como: d~v dvx~ dvy ~ dvz ~ ∆~v = = i+ j+ k ∆t→0 ∆t dt dt dt dt

~a = l´ım ~a ¯ = l´ım ∆t→0

Es un vector que tiene la misma direcci´on que el cambio de la velocidad, pero en general no es ni tangente ni perpendicular a la trayectoria. Pero s´ı es importante destacar, tal y como se comprueba en la figura, que siempre est´a dirigida hacia la concavidad de la curva (formalmente, hacia la regi´on que contiene el centro de curvatura) que representa la trayectoria de la part´ıcula, porque esa es la direcci´on en que cambia la velocidad.

a

v(t) v(t+∆t)

v a

v

a

a v

a v

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

38

La aceleraci´on instant´anea tambi´en se puede expresar as´ı: d d~v = ~a = dt dt



d~r dt



d2~r = 2 = dt



d2 x d2 y d2 z , , dt2 dt2 dt2

 .

2.3.1 Ejemplo Una part´ıcula se desplaza en el espacio y su vector posici´on, en cada instante de tiempo, toma en el SI la siguiente forma: ~r(t) = (t2 − 2)~i + cos t ~j + e2t ~k Obt´enganse: a) La velocidad en cualquier instante de tiempo, ~v (t). b) La velocidad inicial de la part´ıcula y su velocidad en t = 1 s. c) Su aceleraci´on, ~a(t). d) Su aceleraci´on en el instante inicial y su m´odulo. a) ~v (t) =

d~r = 2t~i − sen t ~j + 2e2t ~k dt

b) ~v (0) = (0, 0, 2)

~v (1) = (2, − sen 1, 2e2 )

c) ~a(t) =

d~v = 2~i − cos t ~j + 4e2t ~k dt

b) ~a(0) = (2, −1, 4) |~a| = (22 + 1 + 42 )1/2 = 4,58

2.3. MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES

2.3.3.

39

Componentes de la aceleraci´ on

Consideremos una part´ıcula que describe una trayectoria curva. Supondremos por simplicidad que es plana, pero los resultados que obtendremos en esta secci´on son v´alidos en general. Considerando que el vector aceleraci´on siempre est´a dirigido hacia el lado c´oncavo de la curva siempre se puede descomponer en una componente tangencial a la trayectoria, ~at , y otra componente normal dirigida hacia el interior de la curva, ~an . Veremos en esa secci´on que cada una de estas componentes tiene un significado f´ısico claro.

at r (t) a

an

* Aceleraci´on tangencial , ~at

!

cambios del m´odulo de la velocidad, | ~v |

* Aceleraci´on normal o´ centr´ıpeta, ~an

!

cambios en la direcci´on de ~v

A continuaci´on demostraremos ambos enunciados. Sea ~ut un vector unitario tangente a la trayectoria de la part´ıcula: ~v = v ~ut . ~a =

d~v d dv d~ut = (v~ut ) = ~ut + v dt dt dt dt

(2.7)

De la u ´ltima igualdad queda claro que la componente tangencial tiene por m´odulo la derivada del m´odulo de la velocidad, es decir, est´a asociada al cambio del m´odulo de ~v . Veremos ahora cu´anto vale la derivada que aparece en el segundo sumando, d~ut /dt. S´olo es distinta de cero cuando el movimiento no es rectil´ıneo, es decir, cuando cambia

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

40

la direcci´on de la velocidad. Atendiendo al esquema adjunto se puede expresar: ~ut = cos ϕ~i + sen ϕ ~j π π ~un = cos( − ϕ)~i + sen( − ϕ) ~j = 2 2 ~ ~ = − sen ϕ i + cos ϕ j y

c ut ρ

dϕ ρ

dϕ ut

ds

un π/2-ϕ

ϕ x

r (t)

x

Derivando la primera ecuaci´on: d~ut dϕ dϕ dϕ = − sen ϕ ~i + cos ϕ ~j = ~un . dt dt dt dt

(2.8)

Luego d~ut /dt es un vector normal a la curva. Calcularemos ahora su m´odulo. Sea ds el arco que se desplaza la part´ıcula en dt: dϕ dϕ ds dϕ = =v , dt ds dt ds y sea ρ el radio de curvatura local de la trayectoria: ds = ρdϕ

→

dϕ 1 = ds ρ

→

dϕ v = . dt ρ

2.3. MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES

41

Sustituyendo en las ecuaciones (2.7)-(2.8) resulta: ~a ≡ ~at + ~an =

dv v2 ~ut + ~un . dt ρ

Es sencillo demostrar que: at = ~a.~ut y an = (~ut × ~a) × ~ut . De esta manera hemos descompuesto la aceleraci´on en una componente tangente a la trayectoria, ~at , y asociada a la variaci´on del m´odulo de la velocidad y otra normal, ~an , dirigida hacia el centro local de curvatura, asociada a la variaci´on de la direcci´on de la velocidad. En el caso particular de un movimiento rectil´ıneo, la direcci´on de la velocidad es constante y entonces la componente normal es nula. En el caso de un movimiento uniforme es nula la componente tangencial. El m´odulo de la aceleraci´on en general se puede expresar como: a = (a2t + a2n )1/2 =

2.3.4.

"

dv dt

2

 +

v2 ρ

2 #1/2 .

Ejemplos particulares

Movimiento circular Consideremos ahora el caso particular de un movimiento plano con trayectoria circular. Si el radio de la circunferencia es R, y el arco recorrido, s, abarca un a´ngulo θ, s = Rθ. ~v = v~ut =

ds ~ut dt

−→

v=

ds dθ =R dt dt

La funci´on dθ/dt se denomina velocidad angular y se suele denotar como ω. Sus dimensiones y unidades en el S.I. son: [ω] = T −1 ;

S.I.

−→

rad s

Con esta definici´on: v = ωR. La velocidad angular tambi´en se puede definir como una magnitud vectorial, asociandole una direcci´on y sentido. Por definici´on se considera su direcci´on como perpendicular al plano del movimiento y su sentido el dado por la regla de la mano derecha en funci´on del sentido del movimiento, tal y como muestra la figura.

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

42

z

ω v

R

γ

r x

y

R = r sen γ

−→

v = ωr sen γ;

ω ~ =

dθ ~ k dt

=⇒

~v = ω ~ × ~r.

Esta relaci´on s´olo es v´alida para el movimiento circular, porque s´olo en ´el r y γ son constantes. Existe un caso de movimiento circular especialmente sencillo. Es aquel en que la velocidad angular permanece constante. Se denomina movimiento circular uniforme. Es un movimiento peri´odico puesto que la part´ıcula vuelve a pasar cada cierto tiempo por el mismo punto. Para este tipo de movimiento es u ´til definir los siguientes conceptos. - Periodo, T : tiempo que tarda la part´ıcula en regresar al mismo punto. Si la part´ıcula realiza n revoluciones en un tiempo t, T = t/n. Sus dimensiones son [T ] = T . - Frecuencia, ν: n´ umero de revoluciones por unidad de tiempo, ν = 1/T . Sus dimensiones son [ν] = T −1 y su unidad en el S.I. es s−1 que recibe el nombre de herzio (Hz). Para este tipo de movimiento (ω ≡ ω0 = cte.) es sencillo obtener la posici´on angular de la part´ıcula a partir de la definici´on de ω: Z θ Z t Z t dθ ω= −→ dθ = ω0 dt = ω0 dt dt θ0 t0 t0

=⇒

θ(t) = θ0 + ω0 (t − t0 ).

2.3. MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES

43

Si se toma la condici´on inicial, θ0 = 0 en t0 = 0, resulta: θ = ω0 t. Tras una vuelta completa a la circunferencia: t = T;

θ = 2π

−→

−→

2π = ω0 t

ω0 =

2π = 2πν. T

Consideremos ahora el caso en que la velocidad angular de la part´ıcula cambia con el tiempo. Se define la aceleraci´on angular como:¡ d~ω . dt

α ~=

Como el movimiento tiene lugar en un plano, la direcci´on de ω ~ no var´ıa y se verifica la ecuaci´on anterior tambi´en para los m´odulos de las magnitudes involucradas. α=

d2 θ dω = 2. dt dt

Si α es constante el movimiento se denomina circular uniformemente acelerado. En este caso, α ≡ α0 = cte.:

Z

ω

Z

t

α0 dt = α(t − t0 )

dω = ω0

ω(t) = ω0 + α0 (t − t0 ).

=⇒

t0

Esta ecuaci´on es an´aloga a la correspondiente para el movimiento rectil´ıneo uniformemente acelerado.

dθ ω= dt

Z =⇒

t

θ − θ0 =

Z

t

[ω0 + α0 (t − t0 )] dt.

ω dt = t0

t0

Resolviendo la integral resulta: 1 θ = θ0 + ω0 (t − t0 ) + α0 (t − t0 )2 . 2 Todas estas ecuaciones son como en el movimiento lineal en una dimensi´on, sin m´as que hacer las sustituciones: x

−→

θ

v

−→

ω

a

−→

α

(2.9)

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

44

Veamos ahora c´omo son las componentes de la aceleraci´on en el caso del movimiento circular: dv dω d2 θ =R = R 2 = Rα dt dt dt 2 v = ω2R = R

at = an

En el movimiento circular uniforme, at = 0 pero an 6= 0. En este caso adem´as se puede calcular la aceleraci´on de otro modo:

~v = ω ~ × ~r

−→

d~r d~v = ~a = ω ~× =ω ~ × ~v , dt dt

porque d~ω /dt = 0. Entonces, ~a = ω ~ × (~ω × ~r).

Movimiento parab´ olico Uno de los casos particulares m´as interesantes de movimiento uniformemente acelerado es el estudio del movimiento de proyectiles. Es simplemente el caso de movimiento plano en que la aceleraci´on es la debida a la fuerza gravitatoria. A diferencia del movimiento de ca´ıda libre en este caso consideramos que la velocidad inicial, ~v0 , puede formar un cierto a´ngulo con la horizontal y as´ı el movimiento tiene dos componentes. Igual que hicimos en el movimiento de ca´ıda libre, despreciando las fuerzas de rozamiento y las anomal´ıas gravitatorias, podemos considerar que la aceleraci´on gravitatoria es aproximadamente constante y se puede expresar como ~a = ~g = −g~j. Si el proyectil se lanza con una velocidad inicial ~v0 que forma un a´ngulo α con el eje x, su movimiento bidimensional es una composici´on de un movimiento uniforme en el eje horizontal (donde no hay ninguna aceleraci´on) y un movimiento uniformemente acelerado en el eje vertical.

2.3. MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES

45

y v=v0x

ym

v (t)

v0x vy(t)

v(t )

v0 g α

R

x

Condiciones iniciales: t0 = 0

→

~r0 = (0, 0);

~v0 = v0x ~i + v0y ~j = v0 cos α~i + v0 sen α ~j.

Velocidad en cualquier instante de tiempo: ~v (t) = vx ~i + vy ~j, donde:

( vx vy

= v0x = v0 cos α = cte. = v0y − gt = v0 sen α − gt

Vector posici´on en cualquier instante: ~r(t) = x(t)~i + y(t) ~j, donde:

( x(t) = v0x t = v0 cos α t y(t) = v0y t − 21 gt2 = v0 sen α t − 12 gt2

- Tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la m´axima altura, tm . La condici´on de m´axima altura viene dada porque en ella vy = 0. Entonces v0y = gtm y despejando tm : tm = v0 sen α/g.

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

46 - Altura m´axima, ym .

Basta sustituir tm en la ecuaci´on que da y = y(t).  ym = y(tm ) = v0 sen α

v0 sen α g



1 − g 2



v0 α g

2 =⇒

ym =

1 v02 sen2 α 2 g

- Tiempo de vuelo, tv . Se define como el tiempo que tarda el proyectil en volver a la altura inicial, y = 0. 1 0 = v0 sen α t − gt2 2

=⇒

tv =

2v0 sen α = 2tm g

- Alcance, R. Es la distancia horizontal total que recorre el proyectil, R = x(tv ). R = x(tv ) = v0x

2v0 sen α v2 v2 = 0 (2 sen α cos α) = 0 sen 2α. g g g

Esta funci´on toma un valor m´aximo para α = 45o . T´engase en cuenta que en estos razonamientos no se ha tenido en cuenta la curvatura de la Tierra por lo que s´olo son v´alidos para alcances no demasiado grandes. Ecuaci´on de la trayectoria, y = y(x). Eliminando t entre las ecuaciones x = x(t) e y = y(t) se obtiene: y(x) = x tan α −

2v02

g x2 cos2 α

que es la ecuaci´on de una par´abola invertida, de ah´ı que este tipo de movimiento reciba el nombre de parab´olico.

2.4.

Movimiento relativo

El concepto de movimiento siempre es un concepto relativo, pues debe referirse a un sistema de referencia particular, escogido por el observador. Como diferentes observadores pueden elegir distintos sistemas de referencia, es importante estudiar qu´e relaci´on hay entre las observaciones de uno y otro.

2.4. MOVIMIENTO RELATIVO

47

Por ejemplo, la mayor parte de las observaciones de nuestra vida cotidiana est´an referidas a la Tierra, es decir, a un sistema de referencia que se mueve con ella (de forma muy compleja). Sin embargo, los astrof´ısicos prefieren considerar como sistema de referencia, las denominadas estrellas fijas (estrellas tan lejanas que su movimiento es inapreciable desde la Tierra) y en f´ısica at´omica el movimiento de los electrones se refiere al n´ ucleo at´omico. La posibilidad de elegir un sistema de referencia absoluto preocup´o durante mucho tiempo a f´ısicos y fil´osofos. Y de hecho durante algunos siglos se supuso la existencia de un extra˜ no sistema, llamado ´eter que era una sustancia que llenaba el espacio vac´ıo y se pod´ıa considerar como un sistema de referencia absoluto. Hoy en d´ıa la b´ usqueda de un sistema absoluto es innecesaria e irrelevante.

2.4.1.

Velocidad relativa

Consideremos dos objetos puntuales A y B y un observador O que utiliza como sistema de referencia unos ejes cartesianos. Las velocidades de A y B respecto a O ser´an: ~vA =

d~rA ; dt

~vB =

d~rB dt

La velocidad relativa de B respecto de A ser´a, ~rAB = d~rAB /dt, y la de B respecto de A: ~rBA = d~rBA /dt, donde ~rAB = ~rB − ~rA y ~rBA = ~rA − ~rB .

z

A

vA

vB rAB B

rA

rB O

y

x

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

48

Como ~rAB = −~rBA resulta que las velocidades relativas son vectores id´enticos pero con sentidos opuestos: ~vAB = −~vBA . d~rAB d~rB d~rA = − = ~vB − ~vA dt dt dt = −~vAB = ~vA − ~vB

~vAB = ~vBA

Luego la velocidad relativa es la diferencia vectorial de velocidades respecto al sistema O. Veamos qu´e sucede con las aceleraciones. ~aAB

2.4.2.

d~vAB d~vB d~vA = − dt dt dt

=⇒

~aAB = ~aB − ~aA ,

~aBA = ~aA − ~aB

Movimiento relativo de traslaci´ on uniforme

Consideremos dos observadores, O y O0 , que se mueven uno respecto del otro paralelamente, con velocidad constante y sin rotaciones relativas. El observador O percibe al O0 moviendose con velocidad ~v y el O0 al O con velocidad −~v . Compararemos las descripciones del movimiento de un objeto para los dos observadores. Por ejemplo, vamos a comparar la descripci´on que hace un observador situado en un and´en de una estaci´on de trenes (O) de un avi´on (A) y la que realiza otro observador sobre un tren (O0 ) que se mueve con velocidad constante paralelamente al primero.

z'

z

A v

r r'

vt O y

O' y'

x, x'

2.4. MOVIMIENTO RELATIVO

49

Por simplicidad elegiremos los ejes, x y x0 , en la direcci´on del movimiento relativo y supondremos que en t = 0, O y O0 coinciden. Con estas condiciones se verificar´a: ~v = v~i −−→0 OO = ~v t −−→ ~r = OO0 + r~0 → r~0 = ~r − ~v t. En componentes:  0 x    y 0  z0   0 t

= x − vt =y =z =t

Esta transformaci´on de coordenadas se denomina transformaci´on galileana. Veamos cu´ales son las velocidades del objeto A para los dos observadores. Sea ~u la velocidad de A respecto a O y ~u0 la velocidad de A respecto a O0 . d~r dt dr~0

~u = u~0 =

dt

=

d(~r − ~v t) dt

Como r~0 = ~r − ~v t y v = cte. dr~0 d~r = − ~v → ~u0 = ~u − ~v dt dt En componentes:  0  ux u0y   0 uz

= ux − v t = uy = uz

Aceleraciones de A respecto a O y O0 : ~a =

d~u ; dt

du~0 a~0 = dt

0 0  ~
du d~u d~v = −
=⇒ a~0 = ~a dt dt
dt Ambos observadores miden la misma aceleraci´on. Luego la aceleraci´on es una magnitud f´ısica invariante bajo una transformaci´on galileana. En resumen, en una transformaci´on galileana: ~r0 = ~r − ~v t, ~u0 = ~u − ~v t y ~a0 = ~a.

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

50

2.4.3.

Movimiento relativo de rotaci´ on uniforme

Consideremos ahora dos observadores O y O0 que rotan uno respecto del otro con velocidad angular uniforme ω, de modo que el origen es el mismo para los dos. Sea O0 el observador que rota respecto a O.

z

z'

A

x'

r r'

ω

k k'

i' i

j

x

j' y y' Vector de posici´on de la part´ıcula A respecto a O: ~r = x~i + y~j + z~k   dx dy dz ~v = , , . dt dt dt Respecto a O0 : r~0 = ~r = x0~i0 + y 0 j~0 + z 0 k~0  0  dx dy 0 dz 0 0 ~ v = , , . dt dt dt Pero como O0 est´a rotando, para O los vectores unitarios, ~i0 , j~0 y k~0 , cambian de direcci´on y no son constantes. Desde O:  d  0~0 d~r ~v = = x i + y 0 j~0 + z 0 k~0 dt dt dx0 ~0 d~i0 dy 0 ~0 dj~0 dz 0 ~0 dk~0 = i + x0 + j + y0 + k + z0 dt dt dt dt dt dt

(2.10)

2.4. MOVIMIENTO RELATIVO

51

d~i0 /dt representa la velocidad de un punto que est´a a la distancia unidad del origen (y lo mismo para los otros ejes) girando con velocidad constante respecto a O, y recordemos que en un movimiento circular: ~v = ω ~ × ~r. Entonces: d~i0 =ω ~ × ~i0 ; dt

=⇒

x0

dj~0 =ω ~ × j~0 ; dt

dk~0 =ω ~ × ~k 0 dt

d~i0 dj~0 dk~0 + y0 + z0 = x0 (~ω × ~i0 ) + y 0 (~ω × j~0 ) + x0 (~ω × k~0 ) = dt dt dt ~ × r~0 = ω ~ × ~r(2.11) = ω ~ × (x0~i0 + y 0 j~0 + z 0 k~0 ) = ω

Poniendo (2.10) en t´erminos de v~0 y (2.11): ~v = v~0 + ω ~ × ~r Esta ecuaci´on relaciona las velocidades ~v y v~0 de un objeto para dos observadores que rotan entre s´ı con velocidad angular ω ~ . Para obtener la relaci´on entre las aceleraciones procederemos de forma similar. Aceleraci´on de A medida por O respecto a xyz: ~a = Para O0 :

d~v dvx~ dvy ~ dvz ~ = i+ j+ k dt dt dt dt

dvy0 0 dvz0 0 dv~0 dv 0 a~0 = k~ = x ~i0 + j~ + dt dt dt dt

Como ~v = v~0 + ω ~ × ~v : d~v dv~0 d~r = +ω ~× dt dt dt porque ω = cte. Calculemos cada uno de los sumandos que aparecen en esa ecuaci´on. •

dv~0 dvx0 ~0 dvy0 ~0 dvz0 ~0 d~i0 dj~0 dk~0 i + j + = k + vx0 + vy0 + vz0 dt dt{z dt } | dt dt dt} |dt {z a~0

=⇒

ω ~ ×v~0

dv~0 = a~0 + ω ~ × v~0 dt

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

52 • ω ~×

d~r =ω ~ × (v~0 + ω ~ × ~r) = ω ~ × v~0 + ω ~ × (~ω × ~r) dt

En definitiva, d~v = ~a = (a~0 + ω × v~0 ) + (~ω × v~0 + ω ~ × (~ω × ~r)) = dt = a~0 + 2~ω × v~0 + ω ~ × (~ω × ~r)

(2.12)

Esta ecuaci´on relaciona las aceleraciones ~a y a~0 de A registradas por dos observadores O y O0 que rotan uno respecto del otro con velocidad ω ~ . El t´ermino 2~ω × v~0 se denomina aceleraci´on de Coriolis y el t´ermino ω ~ ×(~ω ×~r) aceleraci´on centr´ıpeta. Profundizaremos en el significado f´ısico de ambos sumandos estudiando el caso particular de la rotaci´on de la Tierra. En resumen, en una transformaci´on de rotaci´on constante: r~0 = ~r, v~0 = ~v − ω ~ × ~r y a~0 = ~a − 2~ω × v~0 − ω ~ × (~ω × ~r).

2.4.4.

Movimiento relativo con respecto a la Tierra

La Tierra rota respecto a su eje con velocidad ω = 7,292 × 10−5 rad/s. Si en un punto sobre la superficie la aceleraci´on de la gravedad es ~g0 (para un observador que no gira) y est´a dirigida hacia el centro de la Tierra, para un observador que gire con la Tierra ser´a: g~0 = ~g0 − 2~ω × v~0 − ω ~ × (~ω × ~r). Caso a) Cuerpo en reposo o movi´endose lentamente: 2~ω × v~0 ' 0 =⇒

g~0 ' ~g0 − ω ~ × (~ω × ~r)

es decir, s´olo consideramos aceleraci´on centr´ıpeta. Esta aceleraci´on efectiva, ~g es la que se medir´ıa, por ejemplo, con un p´endulo en un laboratorio. El t´ermino centr´ıpeto es vectorialmente paralelo al ecuador y su m´odulo vale ω 2 R cos λ donde λ es la latitud y R el radio de la Tierra (R ' 6,37×106 m). Este t´ermino disminuye del ecuador hacia los polos, pero siempre es peque˜ no. Como m´aximo vale ' 0,3 % de g0 cerca del ecuador. Provoca una peque˜ na desviaci´on de la direcci´on radial de g0 hacia el centro de la Tierra as´ı:

2.4. MOVIMIENTO RELATIVO

53

g'

g0

g0

S

N

A

A'

S

Hemisferio Norte

g'

A

A'

N

Hemisferio Sur

Caso b) Cuerpo que cae con velocidad apreciable. En este caso v~0 est´a dirigida verticalmente hacia abajo y el t´ermino de Coriolis provoca una desviaci´on en la ca´ıda en direcci´on Este u Oeste. Por ejemplo, si se deja caer una part´ıcula desde una altura de 100 m en latitud 45o , la desviaci´on que experimenta son 1,6 m.

-2 w x v'

-2 w x v'

v'

v'

W A

A'

E

W

Hemisferio Norte

A'

A

E

Hemisferio Sur

Num´ericamente esta aceleraci´on s´olo es significativa para objetos que se mueven a gran velocidad como misiles bal´ısticos o sat´elites. Caso c) Part´ıcula movi´endose horizontalmente. Este es el caso de las mol´eculas de aire movi´endose r´apidamente en direcci´on radial a un centro de bajas presiones debido al gradiente de presiones. La aceleraci´on

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

54

de Coriolis provoca una desviaci´on respecto a la trayectoria radial en forma de remolino como muestra la figura. Esto no sucede en el ecuador. En general, la aceleraci´on de Coriolis disminuye desde los polos hacia el ecuador.

ω = cte.

ω=0

N S

N S

Otro ejemplo es el p´endulo de Foucault (un p´endulo largo y pesado con amplitud peque˜ na de modo que el movimiento es aproximadamente horizontal y duradero en el tiempo), donde el plano de oscilaci´on gira en sentido horario en el hemisferio norte y al contrario en el sur. Recibe ese nombre porque en 1851 Jean Leon Foucault demostr´o espectacularmente la existencia de la aceleraci´on de Coriolis y por lo tanto la rotaci´on de la Tierra, construyendo un gran p´endulo en Paris (67 m de altura, Los Inv´alidos). En el polo, el plano de oscilaci´on hace una revoluci´on completa justamente en 24 h. En cualquier otra latitud el periodo es ligeramente mayor, T = 2π/(ω cos λ). Por ejemplo, en 45o de latitud es aproximadamente de 34 h. En el ecuador es te´oricamente infinito.

2.4. MOVIMIENTO RELATIVO

55

Hemisferio Norte

2.5. PROBLEMAS

2.5.

57

Problemas

1. La velocidad de una part´ıcula que se mueve en l´ınea recta viene dada por v = 4t2 − 6t + 2 (S.I.). Sabiendo que en t = 0, x0 = 3 m, calcula: a) Su posici´on en cualquier instante. b) Su aceleraci´on instant´anea. c) Su aceleraci´on media entre t1 = 1 s y t2 = 2 s. 4 (Respuestas: a) x(t) = 3 + t3 − 3t2 + 2t; b) a(t) = 8t − 6; 3

c) a ¯ = 6 m/s2 )

2. La ecuaci´on de la aceleraci´on en funci´on de la velocidad de una part´ıcula en una trayectoria rectil´ınea es a = 3(1 − v 2 )1/2 . Sabiendo que el m´ovil parte del reposo y que el origen de espacios y tiempos coinciden, calcula las ecuaciones de este movimiento. (Respuestas:

1 v(t) = sen(3t); a(t) = 3 cos(3t); x(t) = [1 − cos(3t)]) 3

3. La variaci´on de la aceleraci´on de la gravedad con la altura viene dada por:

g=−

GM0 (R0 + h)2

y cuando h = 0, g0 = 9,8 m/s2 . Teniendo en cuenta esta expresi´on calcula la velocidad inicial, v0 , que habr´ıa que darle a un objeto para que lanzado desde la superficie terrestre ascienda una altura vertical de 4000 km. (R0 = 6000 km). (Respuestas:

v0 = 6858 m/s)

4. La ecuaci´on que define la trayectoria de una part´ıcula en un plano XY viene √ dada por ~r = 5t~i + (10 3t − 5t2 ) ~j. Determ´ınense: a) La ecuaci´on de su trayectoria, y = f (x). b) Los vectores velocidad y aceleraci´on. c) Los m´odulos de la aceleraci´on tangencial y normal en t = 1 s. √ √ 1 (Respuestas: a) y(x) = 2 3x − x2 . b) ~v = 5~i + 10( 3 − t) ~j; 5 c) at = 8,2 m/s2 ; an = 5,7 m/s2 )

~a = −10 ~j.

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

58

5. El vector aceleraci´on de una part´ıcula en movimiento viene expresado en el S.I. por ~a = 6t~i − 2 ~k. Inicialmente la part´ıcula se encuentra en P0 : (1, 3, −2) y transcurridos 3 s su velocidad es ~v = 3~i + 2 ~j − 6 ~k. Calc´ ulense su posici´on y su velocidad en cualquier instante. (Respuestas:

a) ~v (t) = (3t2 − 24, 2, −2t).

~r(t) = (1 + t3 − 24t, 3 + 2t, −2 − t2 ))

6. Calcula la velocidad lineal y la aceleraci´on normal de un punto sobre la Tierra ◦

situado a 60 de latitud. (Radio de la Tierra: 6300 km). (Respuestas: v = 827,8 km/h;

an = 217,5 km/h2 ) ◦

7. Se dispara un ca˜ no´n con una inclinaci´on de 45 respecto a la horizontal, siendo la velocidad inicial del proyectil 490 m/s. Calc´ ulense: a) El alcance, la altura m´axima y los tiempos correspondientes. b) La posici´on del proyectil y su velocidad al cabo de 2 s. (Respuestas:

a) tmax = 35,3 s; ymax = 6125 m; tv = 70,6 s; R = 24500 m; b) ~r(t = 2 s) = 693,0~i + 673,4 ~j m; ~v (t = 2 s) = 346,5~i + 326,9 ~j m/s) ◦

8. Una pelota rueda por un tejado que forma un ´angulo de 30 con la horizontal y al llegar a su extremo tiene una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es de 60 m y la anchura de la calle a la que vierte el tejado es de 30 m. Calcula: a) Las ecuaciones de movimiento de la pelota y la ecuaci´on de su trayectoria. b) ¿Llegar´a directamente al suelo o chocar´a antes con la pared opuesta? c) Tiempo que tarda en llegar al suelo y velocidad en ese momento. ◦

d) Posici´on en que se encuentra cuando su velocidad forma un a´ngulo de 45 con la horizontal. a) ~a(t) = −9,8 ~j (S.I.); ~v (t) = (v0 cos α, −v0 sen α − gt); ~r(t) = 1 (v0 t cos α, y0 − v0 t sen α − gt2 ); b) No choca con la pared; c) t = 3 s; v = 35,5 2 m/s; d) ~r = 3,5~i + 2,8 ~j (S.I.).) (Respuestas:

2.5. PROBLEMAS

59

9. Un plano inclinado forma un a´ngulo β con la horizontal. Se dispara un proyectil desde su punto m´as bajo con velocidad v0 y formando un a´ngulo α con la horizontal. Calcula el alcance sobre el plano inclinado y su valor m´aximo.  v02 1 π (Respuestas: R = [sen(2α − β) − sen β]; αmax = + β ; Rmax = g cos2 β 2 2 v02 ) g(1 + sen β) 10. Un r´ıo fluye en direcci´on oeste-este con una velocidad de 3 m/s. Si un nadador nada hacia el Norte con una velocidad de 2 m/s respecto al agua, ¿cu´al es la velocidad del nadador respecto a la orilla? (Respuestas: vno = 3,6 m/s;

◦

tan θ = 33,7 )

11. Una barca que se dirige hacia el norte cruza un r´ıo muy ancho con una velocidad de 10 km/h con respecto al agua. La velocidad del agua del r´ıo es de 5 km/h hacia el este. a) Determina la velocidad del bote respecto a un observador estacionario en tierra. b) Si el bote desease ir directamente hacia el norte (con la misma velocidad), ¿en qu´e direcci´on debe dirigirse? (Respuestas: a) vbt = 11,2 km/h;

◦

θ = 26,6 ;

◦

b) θ0 = 30,0 )

12. Un dispositivo est´a situado en el centro de un vag´on que se mueve con velocidad ~vv . En un cierto instante lanza simult´aneamente dos pelotas con velocidad v, una en el sentido de la marcha y otra en el opuesto. ¿Chocan las dos pelotas con las paredes del vag´on al mismo tiempo? ¿Qu´e suceder´ıa si el vag´on estuviese en reposo? (Respuestas: t1 = t2 . En reposo suceder´ıa lo mismo.) 13. Un avi´on militar vuela horizontalmente a una velocidad de 360 km/h y a una altura de 1000 m. a) Si quiere lanzar una bomba sobre un objetivo est´atico en tierra, ¿a qu´e distancia horizontal de ´este debe hacerlo?

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

60

b) Si el objetivo es un cami´on que circula a 72 km/h en la misma trayectoria rectil´ınea que el bombardero, ¿a qu´e distancia debe lanzar la bomba, tanto si el cami´on se acerca como si se aleja? (Respuestas: a) x = 1429 m;

b) x = 1714 si se acerca y x = 1143 si se aleja.)

14. Un avi´on tarda 60 min en ir de Valencia a Palma, que est´an a una distancia de 300 km, mientras que para volver s´olo tarda 50 min. En toda la traves´ıa sopla ◦

un viento constante cuya direcci´on forma un a´ngulo de 60 con la trayectoria. Determina: la velocidad del avi´on respecto del viento (supuesta en m´odulo igual en los dos caminos) y la velocidad del viento. √ ! 1 3 (Respuestas: Velocidad del viento: − , km/min; Velocidad del avi´on 2 2 √ ! 11 3 respecto al viento en la ida: , km/min; Velocidad del avi´on respecto 2 2 √ ! 11 3 al viento en la vuelta: − , km/min.) 2 2 15. Sabiendo que el periodo de rotaci´on de la Tierra alrededor de su eje es de 24 horas, encontrar la velocidad y aceleraci´on de un punto sobre su superficie en funci´on de la latitud. ¿Cu´al deber´ıa ser la velocidad de rotaci´on de la Tierra para que en el ecuador no se experimentase aceleraci´on de la gravedad? (radio de la Tierra: R = 6,38 × 106 m). (Respuestas: ω0 ' 17ω.) 16. Un dispositivo situado en el centro de una plataforma que gira con velocidad angular ω lanza un proyectil con velocidad horizontal v0 . ¿Cu´al es la trayectoria del proyectil en un sistema de referencia ligado a la plataforma? (Desprecia el efecto de la gravedad). (Respuestas: x02 + y 02 = vx2 t2 ) 17. Una part´ıcula se mueve en el espacio con una velocidad ~v = (3t − 2)~i + (6t2 − 5)~j + (4t − 1)~k y el vector posici´on en el instante inicial es ~r0 = 3~i − 2~j + ~k. Calcula:

2.5. PROBLEMAS

61

a) El vector posici´on en cualquier instante. b) El vector aceleraci´on. c) Las aceleraciones normal y tangencial en t = 1 s.   3 2 3 2 (Respuestas: a) ~r(t) = t − 2t + 3, 2t − 5t − 2, 2t − t + 1 ; b) ~a = (3, 12t, 4); 2 27 c) at (t = 1) = √ ; an (t = 1) = 10,1 (S.I.).) 11 18. Un cuerpo inicialmente en reposo se mueve en una trayectoria rectil´ınea con una aceleraci´on a = m e−nt , donde m y n con constantes. Calcula la velocidad m´axima que puede alcanzar el cuerpo y el espacio recorrido en un tiempo t.   m m 1 −nt m − 2) t+ e (Respuestas: vmax = ; x(t) = n n n n 19. Un bloque de madera est´a unido por una varilla de longitud constante `, a un punto de una rueda de radio a, que gira con velocidad angular constante ω. Calcula la velocidad con que se desplaza el bloque a lo largo de la l´ınea que une el centro del bloque con el centro de la rueda. (Respuestas:    dx a cos ωt = −aω sen ωt −1 dt (`2 − a2 sen2 ωt)1/2 20. a) Un disco gira a 33,3 rev/min. ¿Cu´al es su velocidad angular? b) Un disco gira con aceleraci´on angular constante α = 2 rad/s2 . Si parte del reposo, ¿Cu´antas revoluciones dar´a en los 10 primeros segundos? c) ¿Cu´al es la velocidad angular del disco del apartado anterior al cabo de 10 s? (Respuestas: a) ω = 3,5 rad/s; b) θ = 15,9 rev; c) ω = 20 rad/s. ) 21. El vector de posici´on de una part´ıcula que se mueve en una trayectoria plana es ~r = [5 cos(πt) − 1]~i + (5 sen(πt) + 2]~j (S.I.). a) Demu´estrese que el movimiento es circular y uniforme. b) Calcula el radio de la trayectoria. c) Calcula la frecuencia del movimiento.

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

62

(Respuestas: a) v =cte. y an =cte. luego el moviemiento es circular y uniforme; b)

R = 5 m; c)

ν = 0,5 s−1 .)

22. Un polic´ıa persigue a un ladr´on de joyas a trav´es de los tejados de la ciudad. Ambos corren a una velocidad de 5 m/s, cuando llegan a un espacio vac´ıo entre dos tejados que tiene 4 m de altura y desnivel de 3 m. El ladr´on salta con una ◦

inclinaci´on de 45 y el polic´ıa horizontalmente. ¿Conseguir´a el ladr´on escapar del polic´ıa? (Respuestas: x = 4,3 m > 4 m, luego el ladr´on consigue escapar.) 23. Una part´ıcula parte del origen de coordenadas y recorre la par´abola 2y = x2 , siendo la proyecci´on del movimiento sobre el eje x de velocidad constante v0 = 2 m/s. Calcula: a) La velocidad. b) La aceleraci´on. c) El m´odulo de las componentes intr´ınsecas de la aceleraci´on. d) El radio de curvatura. (Respuestas: a) v = 2(1 + 4t2 )1/2 ;

b) ~a = 4~j;

c) at =

8t ; an = (1 + 4t2 )1/2

4 ; d) ρ = (1 + 4t2 )3/2 .) (1 + 4t2 )1/2 24. Una part´ıcula parte del reposo en la posici´on A : (R, 0, h) y recorre con velocidad ω constante la circunferencia de radio R y centro C : (0, 0, h) que est´a contenida en el plano z = h. Determ´ınense: a) La ecuaci´on vectorial de la trayectoria. b) El vector velocidad lineal. c) El vector aceleraci´on. d) Las aceleraciones tangencial y normal. (Respuestas: a) ~r = (R sen ωt)~i + (R cos ωt) ~j + h~k; b) ~v = (ωR cos ωt)~i − (ωR sen ωt) ~j; c) ~a = −(ω 2 R sen ωt)~i − (ω 2 R cos ωt) ~j; d) at = 0; ~an = ~a.)

2.5. PROBLEMAS

63

25. Admitiendo que el centro de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol describe una circunferencia de radio 150 MKm con velocidad constante en m´odulo, calcula: el m´odulo de la velocidad. (Respuestas: a) v = 1,07 × 105 km/h.) 26. Tres peque˜ nos caracoles est´an situados en los tres v´ertices de un tri´angulo equil´atero de lado 60 cm. El primero se dirige hacia el segundo, ´este hacia el tercero y ´este u ´ltimo hacia el primero, todos con velocidad constante de 5 cm/min. Durante su movimiento siempre est´an orientados hacia el caracol diana. ¿Cu´anto tiempo tardan en encontrarse? ¿Qu´e distancia recorren hasta hacerlo? (Respuestas: t = 8 min; s = 40 cm.) 27. Las ecuaciones param´etricas del movimiento de una part´ıcula son: x = 3 + 2t + 4t2 ; y = −1 + t + 2t2 ; z = 5 − 3t − 6t2 . Determinar: a) El tipo de movimiento descrito por la part´ıcula. b) La ecuaci´on de la trayectoria. c) La velocidad media en el intervalo de tiempo (1, 3). d) La ley horaria del movimiento, tomando como origen su posici´on en t = 0 s. (Respuestas: a) Movimiento rectil´ıneo uniformemente acelerado; √ z−5 y+1= ; c) (18, 9, −27) m/s; d) 14 (2t2 + t)) −3

b)

x−3 = 2

28. Un punto material se mueve en el plano XY con las siguientes velocidades y aceleraciones: vy = 8t (m/s) ; ax = 4t (m/s2 ) con t en segundos. Cuando t = 0 s, ~r = (0, 2) m, vx = 0 m/s. Hallar: a) La ecuaci´on cartesiana de la trayectoria. b) La rapidez de la part´ıcula cuando la coordenada x alcanza el valor de 18 m.  2/3 3 (Respuestas: a) y = 2 + 4 x ; b) 30 m/s) 2 29. Una part´ıcula se mueve en el plano XY con las siguientes velocidades vx = 2/x m/s , vy = 2t + 4 m/s, y para t = 0 s la posici´on de la part´ıcula es (0, 1) m. Calcular: a) La ecuaci´on de la trayectoria. b) La velocidad y aceleraci´on para t = 1 s. c) La pendiente de la trayectoria para t = 1 s. d) La aceleraci´on tangencial, aceleraci´on normal y radio de curvatura para t = 1 s.

´ CAP´ITULO 2. CINEMATICA DE UNA PART´ICULA

64

  4 x 1 (Respuestas: a) y(x) = 1 + x2 + ; b) ~v = (1, 6) m/s ; ~a = − , 2 m/s2 ; c) 16 2 k = 6; d) at = 1, 89 m/s2 ; an = 0, 822 m/s2 ; ρ = 45, 01 m) ◦

30. Se lanza una part´ıcula de masa m con un a´ngulo de 45 respecto de la horizontal, desde un punto situado a una altura de 2 m sobre el suelo. La part´ıcula cae al suelo a una distancia de 18 m. Teniendo en cuenta que la aceleraci´on debida al g viento es av = (1, 1) (m/s2 ), siendo g la aceleraci´on de la gravedad. Calcular: 3 a) La velocidad inicial. b) La velocidad con la que la part´ıcula llega al suelo. c) La altura m´axima alcanzada por la part´ıcula. ◦

(Respuestas: a) 7, 93 m/s; b) 14, 38 m/s ; α = −31, 87 ;

c) 4, 41 m)

31. Un artillero dispara una pieza 10 s despu´es se ve en el cielo la nubecilla de la ◦

explosi´on que se halla 30 sobre la horizontal y 2 s despu´es de verla, oye el estampido que el proyectil produce al explosionar. Si la aceleraci´on del viento es gt av = − (m/s2 ) en direcci´on horizontal y suponiendo la velocidad del sonido en 10 el aire 340 m/s, calcula la velocidad inicial del proyectil y el ´angulo de tiro. ◦

(Respuestas: 112, 02 m/s; α = 47, 81 ) 32. La ecuaci´on del movimiento de una part´ıcula que se desplaza por una circunferencia viene dada por: s = 1 − t + 2t2 (S.I.). Calcular: a) La rapidez del m´ovil y su aceleraci´on tangencial, normal y total en el instante t = 2 s, sabiendo que an = 0, 2 m/s2 para t = 1 s. b) La aceleraci´on angular y la velocidad angular para t = 10 s. (Respuestas: a) 7 m/s; at = 4 m/s2 ; an = 1, 09 m/s2 ; a = 4, 15 m/s2 ; b) 88, 89 × 10−3 rad/s2 ; 0, 87 rad/s) 33. Una part´ıcula se mueve sobre un c´ırculo de radio r = 2 m seg´ un la ley φ = 3t2 −2t, donde φ est´a expresado en radianes y t en segundos. Calcular: el a´ngulo descrito, el arco recorrido, las velocidades lineal y angular, y las aceleraciones tangencial, centr´ıpeta y angular a los 4 s de iniciado el movimiento. (Respuestas: φ = 40 rad; s = 80 m; v = 44 m/s; ω = 22 rad/s; m/s2 ;

an = 968 m/s2 ; α = 6 rad/s2 )

at = 12

Cap´ıtulo 3 Leyes de Newton y sus aplicaciones 3.1.

Introducci´ on

La Din´amica estudia las relaciones entre los movimientos de los cuerpos y las causas que los provocan, en concreto las fuerzas que act´ uan sobre ellos. Aqu´ı estudiaremos la Din´amica desde el punto de vista de la Mec´anica Cl´asica, que es apropiada para el estudio din´amico de sistemas grandes en comparaci´on con los a´tomos (∼ 10−10 m) y que se mueven a velocidades mucho menores que las de la luz (∼ 3,0 × 108 m/s). Para entender estos fen´omenos, el punto de partida es la observaci´on del mundo cotidiano. Si se desea cambiar la posici´on de un cuerpo en reposo es necesario empujarlo o levantarlo, es decir, ejercer una acci´on sobre ´el. Aparte de estas intuiciones b´asicas, el problema del movimiento es muy complejo. Todos los movimientos que se observan en la Naturaleza (ca´ıda de un objeto en el aire, movimiento de una bicicleta o un coche, de un cohete espacial, etc) son realmente complicados. Estas complicaciones motivaron que el conocimiento sobre estos hechos fuera err´oneo durante muchos siglos. Arist´oteles pens´o que el movimiento de un cuerpo se detiene cuando la fuerza que lo empuja deja de actuar. Posteriormente se descubri´o que esto no era cierto, pero el gran prestigio de Arist´oteles como fil´osofo y cient´ıfico hizo que estas ideas perduraran muchos siglos. Un avance muy importante se debi´o a Galileo (1564-1642) qui´en introdujo el m´etodo cient´ıfico, que ense˜ na que no siempre se debe creer en las conclusiones intuitivas basadas en la observaci´on inmediata, pues esto lleva a menudo a equivocaciones. Galileo

CAP´ITULO 3. LEYES DE NEWTON Y SUS APLICACIONES

66

realiz´o un gran n´ umero de experiencias en las que se iban cambiando ligeramente las condiciones del problema y midi´o los resultados en cada caso. De esta manera pudo extrapolar sus observaciones hasta llegar a entender un experimento ideal. En concreto, observ´o c´omo un cuerpo que se mueve con velocidad constante sobre una superficie lisa se mover´a eternamente si no hay rozamientos ni otras acciones externas sobre ´el. Inmediatamente se present´o otro problema: ¿si la velocidad no lo revela, qu´e par´ametro del movimiento indica la acci´on de fuerzas exteriores? Galileo respondi´o tambi´en a esta pregunta, pero Newton (1642-1727) lo hizo de manera m´as precisa: no es la velocidad sino su variaci´on la consecuencia resultante de la acci´on de arrastrar o empujar un objeto. Esta relaci´on entre fuerza y cambio de velocidad (aceleraci´on) constituye la base fundamental de la Mec´anica Cl´asica. Fue Isaac Newton (hacia 1690) el primero en dar una formulaci´on completa de las leyes de la Mec´anica. Y adem´as invent´o los procedimientos matem´aticos necesarios para explicarlos y obtener informaci´on a partir de ellos. Antes de enunciarlas, introduciremos con precisi´on los conceptos de masa y fuerza, que son b´asicos en ellas: Masa. Es el par´ametro caracter´ıstico de cada objeto que mide su resistencia a cambiar su velocidad. Es una magnitud escalar y aditiva. Fuerza. Todos tenemos un concepto intuitivo de qu´e es una fuerza. Aunque dar una definici´on rigurosa y precisa no es sencillo, s´ı que tiene unas propiedades b´asicas observables en la vida cotidiana: 1. Es una magnitud vectorial. 2. Las fuerzas tienen lugar en parejas. 3. Una fuerza actuando sobre un objeto hace que ´este o bien cambie su velocidad o bien se deforme.

3.2. PRIMERA LEY DE NEWTON. SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES67 4. Las fuerzas obedecen el Principio de superposici´on: varias fuerzas concurrentes en un punto dan como resultado otra fuerza que es la suma vectorial de las anteriores. Para medir fuerzas en los laboratorios se utilizan dinam´ometros. Un dinam´ometro es un dispositivo formado por un muelle y un cilindro que sirve de carcasa. Un puntero o aguja indica sobre una escala el grado de deformaci´on del muelle cuando sobre ´el act´ ua una fuerza. Generalmente la escala que se utiliza es de tipo lineal porque el muelle se construye para que fuerza ejercida y deformaci´on sean directamente proporcionales. Enunciado de las Leyes de Newton: 1. Primera ley (Principio de inercia): Todo cuerpo permanece en su estado inicial de reposo o movimiento rectil´ıneo uniforme a menos que sobre ´el act´ ue una fuerza externa neta no nula. 2. Segunda ley: La aceleraci´on de un objeto es inversamente proporcional a su masa y directamente proporcional a la fuerza neta que act´ ua sobre ´el ~a =

1 ~ F m

o´

F~ = m~a,

donde F~ es la suma vectorial de todas las fuerzas que act´ uan sobre ´el (fuerza neta). 3. Tercera ley (Principio de Acci´on-Reacci´on) : Si un objeto A ejerce una fuerza sobre un objeto B, ´este ejerce sobre el A una fuerza igual en m´odulo y direcci´on pero de sentido contrario.

3.2.

Primera Ley de Newton. Sistemas de referencia inerciales

La primera Ley de Newton no distingue entre un cuerpo en reposo y otro en movimiento rectil´ıneo uniforme. Esto s´olo depende del sistema de referencia desde el que se observa el objeto. Consideremos como ejemplo un vag´on en el que se coloca una mesa con un libro sobre su superficie, de manera que no existe fricci´on entre el libro

CAP´ITULO 3. LEYES DE NEWTON Y SUS APLICACIONES

68

~ y sobre el libro no y la mesa. Si el vag´on se mueve con velocidad uniforme ~v = cte. act´ ua fuerza alguna, seguir´a en reposo sobre la mesa, tanto para un observador sobre la vagoneta (O) como para un observador sobre la v´ıa (O0 ).

Sistema de referencia inercial y' y

O

v=cte.

O‘

x x'

Sistema de referencia no inercial y' y

O

a

O‘

x x'

Sin embargo, supongamos que inicialmente el vag´on est´a en reposo y que en el instante t = 0 comienza a avanzar con una cierta aceleraci´on, ~a. En este caso el libro

3.2. PRIMERA LEY DE NEWTON

69

permanecer´a en reposo respecto a la v´ıa, pero no respecto al vag´on. ¡Y sobre ´el no act´ ua ninguna fuerza! Esto quiere decir que la primera ley de Newton no se verifica en cualquier sistema de referencia. Se denominan sistemas de referencia inerciales a aqu´ellos en los que s´ı se verifica la ley de la inercia: Un sistema de referencia inercial es aquel en que un cuerpo que no est´a sometido a la acci´on de ninguna fuerza se mueve con velocidad constante. Cualquier sistema de referencia que se mueve con velocidad constante respecto a otro sistema inercial es a su vez un sistema inercial. La Tierra no es un sistema inercial perfecto puesto que tiene dos aceleraciones centr´ıpetas: una debida a su movimiento de rotaci´on sobre su eje y otra debida al movimiento de traslaci´on alrededor del Sol. Sus valores aproximados son estos: - alrededor del Sol −→ 4,4 × 10−3 m/s2 - rotaci´on −→ 3,4 × 10−2 m/s2 Sin embargo, estas aceleraciones son muy peque˜ nas y generalmente no se comete demasiado error si se considera a la Tierra como un sistema de referencia inercial. A menos que se especifique lo contrario los sistemas que consideraremos habitualmente son inerciales. Los sistemas de referencia m´as inerciales que existen son las denominadas estrellas fijas, que son estrellas tan alejadas de la Tierra que sus movimientos resultan indetectables. Como hemos visto, un objeto en reposo o movimiento rectilineo uniforme presenta una cierta inercia o resistencia a cambiar su velocidad. Masa es precisamente la medida de esta resistencia. Pero conviene se˜ nalar que esta masa no se corresponde con el concepto de peso habitual. Es una masa inercial y se mide simplemente ejerciendo una misma fuerza sobre dos objetos y comparando sus aceleraciones. m1 a2 = . m2 a1 Si una de estas masas es conocida, resulta sencillo determinar la otra a partir de esa ecuaci´on. La masa es una propiedad intr´ınseca del cuerpo, independiente del medio que lo rodea. Es una magnitud escalar y aditiva. M´as adelante volveremos sobre los conceptos de peso y masa y masa inercial y masa gravitatoria.

CAP´ITULO 3. LEYES DE NEWTON Y SUS APLICACIONES

70

3.3.

Fuerza, masa y segunda Ley de Newton

La primera ley de Newton explica qu´e le sucede a un objeto cuando la resultante de todas las fuerzas externas sobre ´el es nula. La segunda explica lo que le sucede cuando se ejerce una fuerza neta no nula sobre ´el. En realidad, estas dos leyes pueden considerarse como una definici´on de la fuerza. Una fuerza es la causa capaz de provocar en un cuerpo un cambio de velocidad, es decir, una aceleraci´on. Adem´as, la direcci´on de la aceleraci´on coincide con la de la fuerza y el par´ametro que relaciona fuerza y aceleraci´on es precisamente la masa del objeto, una propiedad intr´ınseca a ´el. Sin embargo, la experiencia nos dice que algunas veces la fuerza se manifiesta de forma ligeramente distinta. Cuando act´ ua una fuerza sobre un cuerpo extenso ´este puede acelerarse (y desplazarse) o simplemente deformarse. En realidad, lo que pasa en este u ´ltimo caso es que hay un desplazamiento relativo entre las part´ıculas que forman el objeto y se modifica su geometr´ıa. Es decir, tienen lugar aceleraciones, pero a nivel microsc´opico. En realidad Newton no enunci´o su segunda ley con la ecuaci´on: d~v F~ = m , dt

(3.1)

sino que lo hizo de una forma m´as general: d(m~v ) F~ = , dt

(3.2)

donde m~v es lo que m´as adelante definiremos como momento lineal o cantidad de movimiento de la part´ıcula. Ambas ecuaciones coinciden si la masa de la part´ıcula es constante, pero la segunda tambi´en es v´alida en el caso de que no lo sea. Imaginemos por ejemplo el caso de una bola de nieve que rueda por una ladera nevada y su tama˜ no va aumentando. La forma correcta de relacionar la fuerza que act´ ua sobre ella con la aceleraci´on ser´ıa la ecuaci´on (3.2), que es una generalizaci´on de la (3.1). Unidades y dimensiones de la fuerza: Unidades S.I.: newton=kg.m/s2 . Sistema cegesimal: dina=2 . Equivalencia: 1 N= 105 dinas.

´ Y REACCION ´ 3.4. LEY DE ACCION

71

dimensiones: [F ] = M LT −2 .

3.4.

Ley de acci´ on y reacci´ on

Esta ley dice que si un cuerpo A ejerce una acci´on sobre otro B, ´este reacciona sobre el primero con una reacci´on igual y de sentido contrario. Ambas cosas ocurren simult´aneamente y siempre las dos fuerzas act´ uan sobre distintos objetos.

3.4.1 Ejemplo Un bal´on en ca´ıda libre. La Tierra ejerce una fuerza gravitatoria sobre el objeto que cae, su peso. Pero adem´as el objeto ejerce una fuerza igual y opuesta en sentido sobre la Tierra pero como la masa de la Tierra, MT , es mucho mayor que la del objeto, mo , su aceleraci´on es despreciable frente a la de ´este. F =

  aT  ao Pero como MT >> mo

=⇒

MT m0 G r2 F MT F = mo

=

at > mc entonces ac >> am .

3.4.4 Ejemplo Un cuerpo en reposo sobre una mesa. Desde el punto de vista del cuerpo, las fuerzas que act´ uan sobre el son la gravitato~ , que ejerce la mesa para sujetarlo. ria, P~ , y la normal, N

3.5. LAS FUERZAS EN LA NATURALEZA

73

N

P

~ = −P~ ; N

3.5.

P = mg

−→

N = mg

Las fuerzas en la Naturaleza

Hoy en d´ıa la F´ısica reconoce cuatro tipos fundamentales de interacci´on: gravitatoria, electromagn´etica, fuerte y d´ebil. Cualquier otra fuerza observable se puede explicar en t´erminos de una o varias de ´estas. Por ejemplo, la fricci´on al mover un bloque sobre una mesa se explica en t´erminos de la fuerza electromagn´etica o la fuerza que ejerce un amortiguador sobre la rueda de un coche. • Interacci´on gravitatoria. Existe entre dos masas cualquiera, sean dos balones de f´ utbol o dos plantas. Es la m´as d´ebil de todas las interacciones y s´olo es num´ericamente relevante en el caso de objetos de masas enormes. Disminuye con la distancia, pero tan lentamente que se puede considerar que su alcance es infinito. Es la responsable de la estructura del Universo a nivel de galaxias, estrellas y planetas. • Interacci´on electromagn´etica. Esta interacci´on tiene dos vertientes, la el´ectrica, que existe siempre entre dos cargas cualquiera, y la magn´etica, que es una interacci´on entre cargas en movimiento. Su esencia es la misma y por eso se denomina electromagn´etica. A nivel

74

CAP´ITULO 3. LEYES DE NEWTON Y SUS APLICACIONES macrosc´opico es la responsable de que un peine frotado atraiga unos trozos de papel, del funcionamiento de una br´ ujula o de que existan corrientes el´ectricas. A nivel microsc´opico es la responsable del movimiento de los electrones alrededor del n´ ucleo, de las interacciones entre dos ´atomos, de que existan gases, l´ıquidos y s´olidos o de que un muelle se deforme. Es mucho m´as intensa que la gravitatoria y su alcance tambi´en es muy grande. Por ejemplo, en un a´tomo de H2 . Interacci´on p+ − e− : gravitatoria, 10−47 N; electromagn´etica, 10−7 N.

• Fuerza nuclear fuerte. Es la responsable de la estabilidad de los n´ ucleos at´omicos. Es la m´as intensa de las fuerzas conocidas, pero su alcance es extremadamente corto (10−14 m). Por lo tanto s´olo es importante en los n´ ucleos, donde protones y neutrones est´an confinados en un espacio de 10−15 m de di´ametro. Como los protones se repelen entre s´ı el´ectricamente, si no existe otra fuerza de cohesi´on m´as intensa, no se podr´ıan formar n´ ucleos.

• Fuerza nuclear d´ebil. Es la responsable de ciertos tipos de desintegraci´on radiactiva (β). Existe entre electrones y protones, es extremadamente d´ebil y de corto alcance. En 1979 los f´ısicos predijeron te´oricamente que la fuerza electromagn´etica y la d´ebil eran manifestaciones diferentes de una u ´nica fuerza. Esto fue confirmado experimentalmente en 1984. Se bautiz´o a esta interacci´on con el nombre de electrod´ebil.

Camino hacia la unificaci´on de las fuerzas fundamentales de la Naturaleza.

3.6. CAMPOS Y FUERZAS DE CONTACTO

75

gravedad celeste gravitación universal

(Newton)

??

(1686) gravedad terrestre fuerza eléctrica (Maxwell) fuerza magnética

fuerza electromagnética (1864) fuerza electrodébil (Weinberg y Salam) (1979)

??

?? fuerza nuclear débil fuerza nuclear fuerte

Intensidades relativas y alcances de las cuatro fuerzas fundamentales en la Naturaleza. Gravitatoria

Electromagn´ etica

Fuerte

D´ ebil

Alcance

Infinito

Infinito

10−15 m

0 fx

fx

x

U'= 0, f x = 0

Su derivada en cada punto, es decir, la pendiente de la recta tangente, representa la fuerza (con signo opuesto) que act´ ua sobre la masa. ã Para x < 0, la pendiente es negativa, luego la fuerza es positiva. Adem´as la pendiente, es mayor (en m´odulo) cuanto m´as alejados estamos del origen. Luego la fuerza aumenta con la distancia a x = 0. En ese punto, U 0 = 0 y la part´ıcula no experimenta fuerza ni aceleraci´on (lo cual no quiere decir que en ese punto est´e en reposo).

CAP´ITULO 4. TRABAJO Y ENERG´IA.

112 ã Para x > 0

−→

U 0 > 0, con lo cual la fuerza es negativa. Si est´a situada

la part´ıcula inicialmente en x = 0, y se la somete a una peque˜ na perturbaci´on tratando de alejarla de ese punto, el muelle reacciona con una fuerza que se opone a esa perturbaci´on y trata de retornar la part´ıcula a x = 0. Se dice que este punto es de equilibrio estable. Matem´aticamente se caracteriza porque es un m´ınimo de la funci´on U = U (x): U 0 = 0 y U 00 > 0.

Consideremos ahora otro tipo de funci´on U = U (x), con un m´aximo local, tal y como muestra la figura.

U

U'= 0, f x = 0

U' > 0

U' < 0 fx

fx

x

Ahora si la part´ıcula est´a inicialmente en el m´aximo de la funci´on (x = 0 en este caso sencillo) y se ve sometida a una peque˜ na perturbaci´on, la fuerza que experimenta es tal que tiende a alejarla definitivamente de ese punto. Se dice que la posici´on del m´aximo de U , es un punto de equilibrio inestable. Puede haber tambi´en curvas de energ´ıa potencial con puntos de equilibrio indiferente o neutro que son aquellos puntos de equilibrio, en que una peque˜ na perturbaci´on hace que la part´ıcula pase a otro punto de equilibrio adyacente. Geom´etricamente estas regiones son mesetas en U (x).

´ 4.6. ANALISIS DE CURVAS DE ENERG´IA POTENCIAL

113

U

equilibrio inestable

equilibrio neutro

equilibrio estable x

4.6.1 Ejemplo La energ´ıa potencial de un par de ´atomos (denominado potencial de Lennard-Jones) de un gas tiene la forma:    σ 12  σ 6 U (x) = 4ε − , x x donde ε y σ son constantes que dependen de las peculiaridades de los ´atomos. a) Obt´enganse los estados de equilibrio. b) Dib´ ujese la curva de energ´ıa potencial. a) dU =0 dx

−→

−12σ 12 x−13 + 6σ 6 x−7 = 0 −→ 2σ 6 x−13 = x−7

=⇒

xe = 21/6 σ.

S´olo hay un punto de equilibrio y es f´acil demostrar que es estable. Basta comprobar que U 00 (xe ) > 0. " U (xe ) = 4ε

12 

 σ

 22 σ 12

−

σ

6

#

2σ 6



 1 1 = 4ε − = −ε. 4 2

Ceros de la funci´on: U (x) = 0 −→

 σ 12 x

=

 σ 6 x

−→

x = σ.

CAP´ITULO 4. TRABAJO Y ENERG´IA.

114

150 U (x) 100 50

1/6

1/6

x=2

xe =2

4

5

σ 6

7

x

8

-50 -100

U(xe )= - ε

En el caso de sistemas tridimensionales se puede hacer un planteamiento semejante, pero introduciendo un operador habitual en an´alisis diferencial en varias variables, que es el concepto de gradiente3 . dU = −f~.d~r

−→

−−→ f~ = −∇U .

4.6.2 Ejemplo Calc´ ulese la fuerza asociada a la energ´ıa potencial dada por la funci´on: U (x, y, z) = k x2 yz, donde k es una constante. −−→ f~ = −∇U ∂U = −2kxyz ∂x ∂U = − = −kx2 z ∂y ∂U = − = −kx2 y ∂z

fx = − fy fz 3

Dada una funci´ on escalar, f = f (x, y, z), se define su gradiente en coordenadas cartesianas, como el vector dado por: −→ ∂f ~ ∂f ~ ∂f ~ ∇f = i+ j+ k. ∂x ∂y ∂z

´ DE LA ENERG´IA 4.7. CONSERVACION f~ = −k(2xyz~i + x2 z~j + x2 y~k).

=⇒

4.7.

115

Conservaci´ on de la energ´ıa

4.7.1.

Sistemas conservativos

Supongamos una fuerza conservativa actuando sobre una part´ıcula. Seg´ un el teorema trabajo-energ´ıa, se verifica: Z W =

f

f~.d~r = ∆Ec .

i

Adem´as, por ser la fuerza conservativa, existe una funci´on energ´ıa potencial que satisface: W = −∆U. Igualando ambas ecuaciones: W = ∆Ec = −∆U

−→

∆(Ec + U ) = 0

−→

Ec + U ≡ E = cte.

La suma de las energ´ıas cin´etica y potencial de la part´ıcula recibe el nombre de energ´ıa mec´anica. Y la ecuaci´on que acabamos de demostrar significa que si sobre una part´ıcula s´olo act´ uan fuerzas conservativas, la energ´ıa mec´anica total, E = Ec + U , permanece constante. De aqu´ı el nombre de fuerza conservativa. U E

Ec

U -x r

xr

x

CAP´ITULO 4. TRABAJO Y ENERG´IA.

116

Es interesante dar una interpretaci´on geom´etrica a este principio. Supongamos que una fuerza conservativa con energ´ıa potencial, U , act´ ua sobre la part´ıcula. Como la energ´ıa mec´anica es constante, se puede representar mediante una l´ınea horizontal de un gr´afico que representa las energ´ıas del sistema frente a su posici´on. En cualquier punto, U viene dada por la curva, U = U (x), y la diferencia con E ser´a la energ´ıa cin´etica de la part´ıcula. As´ı por ejemplo en un estado de equilibrio, como el de la figura, la energ´ıa potencial es cero, y por tanto, E = Ec . En ese punto la velocidad de la part´ıcula es m´axima. Aqu´ı se comprueba c´omo en un estado de equilibrio la part´ıcula no tiene porqu´e estar en reposo. Su aceleraci´on es nula (no hay fuerzas), pero su velocidad no tiene porqu´e serlo. En los puntos de corte de E con U , Ec = 0. Se denominan puntos de retorno y en ellos cambia el m´odulo de la velocidad de la part´ıcula y la energ´ıa potencial es m´axima. Conociendo la energ´ıa mec´anica y potencial de una part´ıcula, calcular su velocidad en cualquier posici´on es sencillo a partir de esta expresi´on: 1 2 mv + U (x) = E 2

1/2 2 . v= (E − U (x)) m 

−→

4.7.1 Ejemplo Un esquiador inicialmente en reposo en lo alto de una pista (a una altura h respecto a la horizontal) se dispone a iniciar un descenso. Calc´ ulese su velocidad en funci´on de la altura.

v(y) h y

t=0

t

´ DE LA ENERG´IA 4.7. CONSERVACION

117

Si despreciamos el rozamiento, la u ´nica fuerza que act´ ua sobre ´el es la gravitatoria, que es conservativa. Para calcular E podemos utilizar cualquier instante, por ejemplo, el inicial. En este punto: 1 E = mv 2 + mgh = mgh 2 En otro punto cualquiera (cuando el esquiador est´a a una altura y respecto a la horizontal): 1 E = mv 2 + mgy = mgh 2

4.7.2.

−→

v = [2g(h − y)]1/2 .

Sistemas no conservativos

Cuando sobre un sistema act´ uan fuerzas no conservativas, su energ´ıa mec´anica total no permanece constante. Supongamos una part´ıcula sometida tanto a fuerzas conservativas como no conservativas: f~ = f~c + f~nc . Como el teorema trabajo-energ´ıa es v´alido para cualquier tipo de fuerzas: Z Z ~ Wt = fc .d~r + f~nc .d~r = ∆Ec = Wc + Wnc . Para la fuerza conservativa se puede definir una energ´ıa potencial de forma que Wc = −∆U . Entonces: ∆Ec = −∆U + Wnc −→

Wnc = ∆Ec + ∆U = ∆E.

Esta expresi´on se denomina teorema generalizado trabajo-energ´ıa y significa que si sobre una part´ıcula act´ uan fuerzas no conservativas, la variaci´on de su energ´ıa mec´anica total es precisamente el trabajo que estas fuerzas ejercen sobre ella.

4.7.2 Ejemplo Una ni˜ na de masa 17 kg comienza a deslizarse desde el reposo por un tobog´an. La parte superior est´a a 2 m de altura sobre el suelo. Si su velocidad final es de 4,2 m/s, ¿cu´ al es el trabajo efectuado por las fuerzas de rozamiento?

CAP´ITULO 4. TRABAJO Y ENERG´IA.

118

Las fuerzas que act´ uan sobre la ni˜ na son: peso, rozamiento con el aire y el tobog´an y fuerza normal. Las de rozamiento no son conservativas y la normal no ejerce trabajo, luego el u ´nico trabajo no conservativo es el asociado a las fuerzas de rozamiento: Wnc = ∆E = ∆Ec + ∆U  ∆E

0

c

>= E = 1 mv 2 = Ecf −  Eci cf f 2 0

∆U =⇒

4.7.3.

= U f − Ui = −mgh

1 Wnc = Ecf − Ui = mvf2 − mgh = −180 J. 2

Principio de conservaci´ on de la energ´ıa

Macrosc´opicamente las fuerzas no conservativas siempre est´an presentes. Las m´as familiares son las de rozamiento, pero existen otras (como las magn´eticas). Por ejemplo, al empujar una caja sobre una superficie rugosa, podemos interpretar que la variaci´on de energ´ıa mec´anica de la caja es igual al trabajo que hacemos para vencer el rozamiento. Pero la experiencia dice que en el proceso, la superficie de contacto se calienta. Otra forma de interpretar este hecho es diciendo que la energ´ıa mec´anica que se pierde se transforma en otro tipo de energ´ıa, la t´ermica. Este tipo de ideas surgi´o en el s. XIX, con el desarrollo de la Termodin´amica. Hoy en d´ıa se admite que la energ´ıa ni se crea ni se destruye, simplemente se transforma. En Mec´anica, s´olo se manejan habitualmente las energ´ıas cin´etica, potencial y mec´anica, pero si se incluyen otras energ´ıas que provienen de otras ramas de la F´ısica, la energ´ıa total siempre es constante. Otros tipos de energ´ıa son la interna (asociada a la estructura interna de un cuerpo), la qu´ımica (que se pone en juego al producirse reacciones qu´ımicas), la el´ectrica, la magn´etica, etc. La ley de conservaci´on de la energ´ıa no tiene demostraci´on matem´atica, es un Principio y se admite como tal. Se justifica diciendo que no se ha observado nunca ninguna situaci´on f´ısica en que no se satisfaga.

4.8. PROBLEMAS

4.8.

119

Problemas

1. Una caja de 4 kg se levanta desde el suelo hasta una altura de 3 m aplicando una fuerza vertical hacia arriba de 60 N. Determina: a) el trabajo realizado por la fuerza aplicada. b) el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad. c) la velocidad final de la caja. (Respuestas: a) W = 180 J; b) W = 62 J; c) vf = 5,57 m/s) 2. Una part´ıcula experimenta un desplazamiento ∆~r = 2~i − 5~j (en el S.I.) a lo largo de una l´ınea recta. Durante el desplazamiento act´ ua sobre la part´ıcula una fuerza constante f~ = 3~i + 4~j (en el S.I.). Determina el trabajo realizado por la fuerza y la componente de la fuerza en la direcci´on del desplazamiento. (Respuestas: W = −14 J; fr = −2,6 N) 3. Un caj´on de 48 kg es arrastrado 8 m por una rampa hacia arriba mediante una cuerda de tensi´on T = 540 N. Si el ´angulo que forma la rampa con la horizontal es de 30o y el coeficiente de fricci´on cin´etico es µc = 0,4, determina el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que act´ uan sobre el caj´on. (Respuestas: WT = 4,3 kJ; Wg = −1,9 kJ; WN = 0; Wr = −1,3 kJ) 4. Un objeto de 0,4 kg se mueve en una trayectoria circular de 0,5 m de radio sobre un plano horizontal. El coeficiente de rozamiento es µc = 0,24. Determina el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento cuando el objeto se mueve un cuarto de vuelta. (Respuestas: Wr = −0,74 J) 5. Un autom´ovil que viaja a 48 km/h se puede detener en una distancia m´ınima de 40 m cuando frena. Si el mismo autom´ovil se encuentra viajando a 96 km/h, ¿cu´al es la distancia m´ınima que necesita para detenerse? (Respuestas: d = 160,0 m)

CAP´ITULO 4. TRABAJO Y ENERG´IA.

120

6. Un trineo comienza a deslizarse desde el reposo en la cima de una colina siguiendo un camino cubierto de nieve y con el perfil de la figura. El tramo f q es circular con radio R. Despreciando cualquier tipo de rozamiento: a) Determina el m´odulo de la velocidad del trineo en f . b) ¿Cu´al es la fuerza normal ejercida por la superficie en ese punto? c) ¿Cu´anto valen el m´odulo de la velocidad y la fuerza normal en el punto q? (Respuestas: a) vf = (4gR)1/2 ; b) N = 5mg; c) vq = (2gR)1/2 m/s; N = 2mg)

i 2R R

q

R

f 7. Consid´erese un autom´ovil de masa m que se acelera hacia arriba por una pendiente que forma un ´angulo θ con la horizontal. Sup´ongase que la magnitud de la fuerza de rozamiento que se opone a su movimiento est´a dada por: fa = 218 + 0,7 v 2

(N)

Calc´ ulese la potencia que debe suministrar el motor. En particular, consid´erese el caso, m = 1450 kg, v = 97,2 km/h, a = 1 m/s2 y θ = 10o . (Respuestas: P = mav+mvg sen θ+218 v+0,7 v 3 = 52,0+89,0+7, 9+18,0 = 167,0 CV) 8. Un p´endulo formado por una cuerda de longitud L y una part´ıcula de masa m forma inicialmente un ´angulo θ0 con la vertical. Determina la velocidad de la

4.8. PROBLEMAS

121

part´ıcula y la tensi´on de la cuerda en el punto m´as bajo de la trayectoria cuando se deja oscilar libremente desde el reposo. (Respuestas: v = [2gL(1 − cos θ0 )]1/2 ;

T = mg(3 − 2 cos θ0 ))

9. Un muelle de constante k est´a colgado verticalmente. Se ata a su extremo libre una masa m y se deja el sistema libre desde el reposo. Determina la m´axima distancia que cae el bloque. (Respuestas: ym =

2mg ) k

10. Determina para una m´aquina de Atwood de masas m1 y m2 la velocidad de los bloques cuando el m´as pesado desciende una altura h. (Respuestas: v 2 = 2

m2 − m1 gh) m1 + m2

11. Una part´ıcula est´a sometida a una fuerza f~ = 6xy ~i + 3(x2 − y 2 ) ~j (N). Calcula el trabajo realizado por esta fuerza para desplazar la part´ıcula del punto O = (0, 0) al A = (1, 1) (coordenadas en metros), a lo largo de cada uno de estos caminos: 1) De O a B = (1, 0) por una recta horizontal y de B a A por una recta vertical. 2) De O a A a lo largo de la recta y = x. 3) De O a A a lo largo de la par´abola y = x2 . (Respuestas: W = 2 J en los tres caminos.) 12. El vector posici´on de una part´ıcula de masa 2 kg que se mueve en el espacio viene dado por ~r = 3t3~i + (t2 + t + 1)~j + (2t + 3)~k, expresado en el S.I. H´allese el trabajo experimentado por la part´ıcula en el quinto segundo. (Respuestas: W = 29,9 J) 13. Calcula la energ´ıa potencial asociada a las siguientes fuerzas centrales: a) f = k r; b) f = k/r2 , donde en ambos casos k es una constante arbitraria. (Respuestas: a) U (r) = −

kr2 k ; b) U (r) = ) 2 r

CAP´ITULO 4. TRABAJO Y ENERG´IA.

122

14. Ded´ uzcanse las ecuaciones de movimiento de una part´ıcula en una dimensi´on sometida a una fuerza constante a partir de la conservaci´on de la energ´ıa.  1/2 2E f 2 t + (Respuestas: x = t) 2m m 15. Un cuerpo cae a trav´es de un fluido viscoso partiendo del reposo y de una altura y0 . Calcula la velocidad con la que se disipa su energ´ıa. d(Ec + U ) (mg)2 (Respuestas: =− ) dt B 16. La figura muestra un sistema bidimensional formado por dos muelles de constantes k1 y k2 . Determina las componentes de la fuerza total experimentada por el cuerpo conectado en el extremo de coordenadas (x, y). (Respuestas: f~ = −[k1 x + k2 (x − c)]~i − y(k1 + k2 )~j) y (x,y)

k1

(0,0)

k2

(c,0)

x

17. Una part´ıcula de masa m est´a colocada en el punto m´as alto de una esfera lisa de radio a. La part´ıcula se desplaza ligeramente sobre la esfera. ¿En qu´e punto se separa de ella? ¿Cu´al es la velocidad en ese punto?  1/2 2ga o (Respuestas: θ = 41,8 ; v = ) 3 18. Una part´ıcula est´a sometida a una fuerza f~ = xy ~i (N). Calcula el trabajo realizado por esa fuerza para desplazar la part´ıcula del punto A : (0, 3) al B : (3, 0) a lo largo de los siguientes caminos:

4.8. PROBLEMAS

123

1) A lo largo de la recta que une A y B. 2) A lo largo del arco de circunferencia con centro en el origen de coordenadas y extremos A y B. (Respuestas: a) W = 4,5 J; b) W = 9 J) 19. El potencial 6 − 12 de Lennard-Jones representa de forma realista la interacci´on entre dos ´atomos separados una distancia r:    σ 12  σ 6 VLJ = 4 , − r r 1

donde r = (x2 + y 2 + z 2 ) 2 y  y σ son par´ametros que dependen de las caracter´ısticas de los ´atomos. Calcula la fuerza que experimentan entre s´ı los a´tomos.    σ 12  6 24 σ (Respuestas: f~ = − 2 −2 ~r) r r r 20. Un p´endulo de longitud ` y masa m est´a conectado en su posici´on de equilibrio a un muelle horizontal de constante k tambi´en en equilibrio. Se eleva el p´endulo hasta que forma un a´ngulo θ (muy peque˜ no) respecto a la vertical. ¿Cu´al ser´a la velocidad del p´endulo cuando pase por la posici´on de equilibrio?   k (Respuestas: v 2 = θ2 ` g + ` ) m 21. Un muelle de constante el´astica k y masa despreciable est´a apoyado sobre una superficie horizontal y mantiene su eje vertical. Sobre su extremo libre se apoya una masa m y se comprime el muelle una longitud d, en cuyo momento se suelta. Calcula: a) La altura m´axima que alcanza la masa. b) ¿A qu´e altura tendr´a la masa su velocidad m´axima? c) ¿Qu´e valor tiene la velocidad m´axima? (Respuestas: a) ym =

kd2 ; 2mg

ymax =

d mg − ) 2 2k

22. La funci´on energ´ıa potencial de una part´ıcula de masa 4 kg en un campo de fuerzas viene descrita por: Ep = 3x2 − x3 para x ≤ 3 y Ep = 0 para x ≥ 3 en

CAP´ITULO 4. TRABAJO Y ENERG´IA.

124

donde Ep se expresa en julios y x en metros. a) ¿Para que valores de x la fuerza Fx es cero? b)H´agase un esquema de Ep en funci´on de x. c) Discute la estabilidad del equilibrio para los valores de x obtenidos en a). d) Si la energ´ıa total de la part´ıcula es 12J, ¿cu´al es su velocidad en x = 2m? (Respuestas: a) x = 0;

x = 2 m; x ≥ 3 m; d) v = 2 m/s)

Cap´ıtulo 5 Sistemas de part´ıculas. Momento lineal y su conservaci´ on 5.1.

Introducci´ on

Hasta ahora hemos considerado la cinem´atica y la din´amica de part´ıculas individuales. Nuestro objetivo ahora se centra en sistemas formados por varias part´ıculas. Estos sistemas pueden ser continuos o discretos, dependiendo del n´ umero y distancia relativa entre las part´ıculas que los componen. Veremos c´omo en los dos casos la din´amica del sistema se puede describir a partir de las leyes de Newton, pero introduciendo algunos conceptos nuevos como los de centro de masas y momento lineal.

5.2. 5.2.1.

Centro de masas Definici´ on

Se define el centro de masas de un sistema discreto de part´ıculas como: ~rcm

n 1 X mi~ri , = M i=1

donde M es la masa total del sistema: M =

n X

mi . De alg´ un modo este punto re-

i=1

presenta la posici´on en promedio de la masa del sistema. El motivo de su definici´on lo entenderemos a posteriori, cuando demostremos que el centro de masas de un sistema, se comporta en cuanto a su movimiento de traslaci´on como si en ´el estuviese

CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE PART´ICULAS. MOMENTO LINEAL

126

concentrada toda su masa y sobre ´el actuasen todas las fuerzas presentes en el sistema.

5.2.1 Ejemplo Dos masas iguales o diferentes.

m1

x cm

m2

m1

x cm

x

x

m1 = m2

m1 =/ m 2

m1 = m2 1 xcm = (x1 + x2 ) 2 m1 6= m2 xcm =

1 (x1 m1 + x2 m2 ) m1 + m2

5.2.2 Ejemplo Consid´erese la siguiente distribuci´on de masas en un plano:   m1 = 1 kg −→ ~r1 = (1, 1) (m) m2 = 2 kg −→ ~r2 = (−2, 1) (m)   m3 = 3 kg −→ ~r3 = (3, −2) (m) y (m) m2

m2

m1

x (m) c.m. m3

5.2. CENTRO DE MASAS

127

La posici´on del centro de masas viene dada por: ~rcm

xcm

3 1 X mi~ri = M i=1

3 1 1 X = mi xi = (1 − 4 + 9) = 1 m M i=1 6

ycm =

1 1 (1 + 2 − 6) = − m 6 2   1 (m) =⇒ ~rcm = 1, − 2

A menudo un sistema f´ısico real no est´a formado por part´ıculas identificables individualmente, cuyas contribuciones puedan simplemente sumarse. Esto pasa con cualquier objeto macrosc´opico, formado por mol´eculas, pero que observado desde una distancia adecuada, puede considerarse como un continuo. Se define el vector de posici´on del centro de masas para un sistema continuo como: Z 1 ~rcm = ~r dm, M donde dm representa un elemento infinitesimal de masa localizado en la posici´on ~r. Un modo alternativo de expresar ~rcm es introduciendo la densidad1 : dm ρ(~r) = dV z

dm r x y 1

En sistemas bidimensionales es habitual definir la densidad superficial de masa como: σ = dm/dS, es decir, la masa por unidad de superficie y en sistemas unidimensionales se define la densidad lineal de masa como: λ = dm/d`.

128

CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE PART´ICULAS. MOMENTO LINEAL

Esta es la definici´on general de densidad de masa. Es una funci´on local, que, en ´ general, depende del punto del cuerpo donde se calcule. Unicamente en sistemas uniformes u homog´eneos, la densidad es independiente de la posici´on, ρ 6= ρ(~r) y entonces ρ = M/V , donde M y V son la masa y volumen total del sistema. La posici´on del centro de masas para un sistema heterog´eneo ser´a: ~rcm

1 = M

Z ~rρ(~r) dV

Y si es homog´eneo: ~rcm

ρ = M

Z

1 ~r dV = V

Z ~r dV

5.2.3 Ejemplo Determ´ınese el centro de masas de una varilla homog´enea de longitud `.

dm 0

x

dx x l

Sea λ la densidad lineal de masa de la varilla, que es constante por ser la varilla uniforme y dm un elemento diferencial de masa de longitud dx situado a una distancia x del origen. λ=

xcm

1 = m

Z

m dm = ` dx

λ xλ dx = m

−→ Z

dm = λ dx

λ x2 x dx = m 2

` = 0

λ `2 ` = , m2 2

que es el resultado que cabr´ıa de esperar por ser el sistema homog´eneo.

5.2. CENTRO DE MASAS

5.2.2.

129

Movimiento del centro de masas

En general, describir el movimiento de un sistema formado por varias part´ıculas es muy complicado, ya sea el movimiento de una mol´ecula formada por varios a´tomos (sistema discreto) o de un objeto macrosc´opico extenso y continuo. Veremos c´omo el estudio del movimiento del centro de masas del objeto facilita conocer el movimiento del sistema. Supongamos, por ejemplo, un sistema discreto: ~rcm

n 1 X = mi~ri M i=1

−→

M~rcm =

n X

mi~ri ,

i=1

derivando respecto al tiempo: n

d~rcm X d~ri = mi M dt dt i=1

−→

M~vcm =

n X

mi~vi ,

i=1

y derivando otra vez, n

d~vcm X d~vi M = mi dt dt i=1

−→

M~acm =

n X

mi~ai .

i=1

Seg´ un la segunda ley de Newton, mi~ai , representa la fuerza neta resultante sobre cada part´ıcula, f~i . Esta fuerza siempre se puede descomponer en una suma de las fuerzas externas e internas al sistema: f~i = f~i,int + f~i,ext Las internas se deben a las part´ıculas que forman el sistema entre s´ı. Obedecen el principio de acci´on y reacci´on, por lo que al sumar sobre todas las part´ıculas, la fuerza neta debida a interacciones internas se anula: n 0 n X > X~   ~ M~acm = fi,int + fi,ext = F~ext .  i=1

i=1

Es decir, que el centro de masas se mueve como si en ´el estuviese concentrada toda la masa del sistema y sobre ´el actuasen todas las fuerzas externas presentes. Esta ecuaci´on de movimiento permite s´olo describir la din´amica del centro de masas del sistema. Veremos m´as adelante c´omo podemos estudiar el movimiento general de todo el sistema. Aunque hemos hecho la deducci´on s´olo para sistemas discretos, en el caso de sistemas continuos el resultado que se obtiene es an´alogo.

CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE PART´ICULAS. MOMENTO LINEAL

130

5.3. 5.3.1.

Momento lineal Definici´ on

Part´ıcula u ´nica. Se define el momento lineal de una u ´nica part´ıcula como la magnitud vectorial p~ = m~v . En el Sistema Internacional de unidades se mide en kg.m/s y sus dimensiones son [p] = M LT −1 . Esta magnitud tambi´en recibe el nombre de cantidad de movimiento. Veamos c´omo se expresa la segunda ley de Newton en t´erminos de p~ para un sistema formado u ´nicamente por una part´ıcula 2 : d~p d~v = m = m~a = f~. dt dt Es decir, que la fuerza neta que act´ ua sobre la part´ıcula no es m´as que la variaci´on respecto al tiempo de su momento lineal. Sistema de part´ıculas. Para un sistema de part´ıculas se define la cantidad de movimiento como: P~ =

n X i=1

p~i =

n X

mi~vi = M~vcm .

i=1

Veamos c´omo se expresa la segunda ley de Newton en este caso: d~vcm dP~ =M = M~acm = F~ext . dt dt Es decir, que la variaci´on del momento lineal total del sistema coincide con la fuerza externa que act´ ua sobre ´el. El cambio de la cantidad de movimiento de un sistema s´olo est´a asociado a las fuerzas externas que act´ uan sobre ´el, porque seg´ un el principio de acci´on y reacci´on la suma de todas las fuerzas internas se cancela. 2

Considerando la masa constante.

5.3. SISTEMAS DEL CENTRO DE MASAS Y DEL LABORATORIO

5.3.2.

131

Conservaci´ on del momento lineal

Hemos visto que tanto para una part´ıcula individual como para un sistema de part´ıculas, la cantidad de movimiento s´olo se puede alterar si existe alguna fuerza externa neta no nula. Dicho de otro modo, F~ext = 0

−→

dP~ =0 dt

=⇒

~ P~ = cte.

Si la suma de todas las fuerzas externas es nula, la cantidad de movimiento del sistema se conserva, es una constante del movimiento. Este principio de conservaci´on es una de las leyes m´as importantes de la Mec´anica. Es m´as amplia que la ley de conservaci´on de la energ´ıa en el sentido de que la energ´ıa mec´anica s´olo se conserva si todas las interacciones son de car´acter conservativo. En cambio, la conservaci´on del momento lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas que act´ uan sobre el sistema. Siempre que la acci´on externa neta sobre ´el se anula, P~ permanece constante. Se dice entonces que el sistema est´a aislado. Conviene adem´as destacar que P~ se conserva como una magnitud vectorial, es decir, en m´odulo, direcci´on y sentido, lo que a efectos pr´acticos permite plantear sistemas de varias ecuaciones. Ejemplo t´ıpico de situaciones que se resuelven aplicando la conservaci´on de la cantidad de movimiento son las colisiones, que estudiaremos a continuaci´on.

5.4.

Sistemas de referencia del centro de masas y del laboratorio

En problemas de sistemas de part´ıculas y, concretamente, de colisiones, es u ´til definir un sistema de referencia alternativo al habitual, el denominado sistema del laboratorio. Por ´este se entiende un sistema de referencia (inercial) externo al sistema en estudio. Es como si estuvi´esemos observando un hecho f´ısico en un laboratorio y tom´asemos como sistema de referencia el propio laboratorio. Pero si la fuerza neta externa sobre el sistema es nula, la velocidad del centro de masas permanece inalterada. Entonces, respecto al sistema de referencia original, el centro de masas se desplaza con velocidad constante y se puede situar sobre ´el un sistema de referencia inercial. Este sistema de referencia se denomina de centro de

CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE PART´ICULAS. MOMENTO LINEAL

132

masas . Con respecto a ´el, la velocidad del centro de masas es nula y por lo tanto, tambi´en lo es el momento lineal total del sistema. Veamos como ejemplo el caso de dos part´ıculas.  Sistema de referencia del laboratorio:

vcm v2

v1 m1

m2

c.m.

 Sistema de referencia del centro de masas: v~0 1 = ~v1 − ~vcm

v'1

;

v~0 2 = ~v2 − ~vcm

vcm = 0

v'2

c.m. m1

5.5.

m2

Colisiones

Denominaremos colisi´on a una interacci´on entre dos o m´as objetos que tiene lugar en un tiempo muy corto y en una regi´on determinada del espacio. Esta interacci´on produce fuerzas entre los objetos que son mucho m´as importantes que el resto de las fuerzas que puedan existir. Esto conlleva que el momento lineal total se conserve, pues las fuerzas externas en la colisi´on se consideran despreciables frente a las existentes entre las part´ıculas del sistema. En un choque dos objetos se acercan con velocidad constante, interaccionan y se separan con velocidad otra vez constante. No estaremos interesados en el proceso que tiene lugar en la propia colisi´on, sino en el antes y el despu´es, es decir, c´omo obtener el estado final de movimiento de las part´ıculas a partir del inicial. En cualquier tipo de colisi´on, el momento lineal total del sistema permanece constante: P~ =

n X i=1

~ p~i = cte.

5.5. COLISIONES

133

Esto se debe simplemente a que consideramos despreciable cualquier acci´on externa sobre el sistema. Tipos de colisiones: ? Colisiones el´asticas: son aquellas en que adem´as de conservarse P~ , se conserva la energ´ıa cin´etica total del sistema. ? Colisiones inel´asticas: son aquellas en que s´olo se conserva el momento lineal total del sistema. Colisiones perfectamente inel´asticas son aquellas colisiones inel´asticas en que los objetos que interaccionan permanecen unidos despu´es del choque. Sus velocidades finales son iguales entre s´ı e igual a la del centro de masas del sistema. Estamos considerando que justo antes y justo despu´es de la colisi´on no hay fuerzas externas sobre las part´ıculas que colisionan, es decir, no tienen energ´ıa potencial, s´olo cin´etica. Decir que en una colisi´on el´astica se conserva Ec es decir que durante la colisi´on se conserva la energ´ıa mec´anica total del sistema, o sea, que la fuerza de interacci´on justo en la colisi´on es conservativa. Si no se conserva Ec es porque parte de ella se ha convertido en trabajo no conservativo. En general, las colisiones reales son inel´asticas. La variaci´on de energ´ıa cin´etica se debe a la existencia de fuerzas conservativas que, por ejemplo, var´ıan la forma del objeto. De este modo una parte de la energ´ıa de la colisi´on se invierte en deformar el propio objeto y de ah´ı que la energ´ıa cin´etica quede alterada en el choque.

5.5.1.

Colisiones el´ asticas en una dimensi´ on

Consideremos dos part´ıculas que chocan seg´ un la siguiente notaci´on en el sistema de referencia del laboratorio: colisión

vi1 m1

vi2

x m2

vf 2

vf 1 m1

m2

134

CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE PART´ICULAS. MOMENTO LINEAL

Por el principio de conservaci´on del momento lineal (al ser un sistema en una dimensi´on se expresa mediante una u ´nica ecuaci´on): Pi = Pf

−→

m1 vi1 + m2 vi2 = m1 vf 1 + m2 vf 2 .

(5.1)

Por ser el choque el´astico, la energ´ıa cin´etica total del sistema tambi´en se conserva, −→

Eci = Ecf

1 1 1 1 2 2 + m2 vi2 = m1 vf21 + m2 vf22 . m1 vi1 2 2 2 2

(5.2)

Sacando factor com´ un a las masas en las dos ecuaciones: m1 (vi1 − vf 1 ) = m2 (vi2 − vf 2 ) 1 1 2 2 m1 (vi1 m2 (vi2 − vf21 ) = − vf22 ), 2 2 y dividiendo ambas ecuaciones: vi1 + vf 1 = vi2 + vf 2

−→

vi1 − vi2 = −(vf 1 − vf 2 )

−→

vf 2 − vf 1 = −(vi2 − vi1 )

Es decir, que la velocidad relativa (en m´odulo) de las part´ıculas se conserva en el choque. Esta es una caracter´ıstica esencial de las colisiones el´asticas en una dimensi´on. Si consideramos como datos de partida del problema las masas y las velocidades iniciales, las velocidades finales se pueden obtener considerando (5.1) y (5.2) como un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas. Se puede resolver para obtener:     2m2 m1 − m2 vf 1 = vi1 + vi2 m1 + m2 m1 + m2     2m1 m2 − m1 vf 2 = vi1 + vi2 , m1 + m2 m1 + m2 Si consideramos como caso particular que la part´ıcula 2 est´a en reposo (o fijamos sobre ella el sistema de referencia) se verifica que:   m1 − m2 vf 1 = vi1 m1 + m2   2m1 vf 2 = vi1 , m1 + m2

5.5. COLISIONES

135

5.5.1 Ejemplo m1 = m2 Si el objeto 2 est´a inicialmente en reposo: vf 1 = 0;

vf 2 = vi1 .

Es decir, que si dos masas iguales chocan, estando una inicialmente en reposo, despu´es de la colisi´on se mueve ´esta u ´ltima con la velocidad de la incidente y ´esta queda en reposo. Si el objeto 2 no est´a inicialmente en reposo: vf 1 = vi2 ;

vf 2 = vi1 .

Las masas intercambian sus velocidades en la colisi´on.

5.5.2 Ejemplo m1 >> m2 y el objeto 2 est´a inicialmente en reposo vf 1 ' vi1 ;

vf 2 ' 2vi1 .

La velocidad del objeto incidente no var´ıa y la del menos m´asico se hace el doble que la de aquel.

5.5.3 Ejemplo m2 >> m1 y el objeto 2 est´a inicialmente en reposo vf 1 ' −vi1 ;

vf 2 ' 0.

El objeto peque˜ no rebota hacia atr´as y el estado de movimiento del grande permanece inalterado.

CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE PART´ICULAS. MOMENTO LINEAL

136

5.5.2.

Colisiones inel´ asticas en una dimensi´ on

En general, un choque inel´astico es d´ıficil de estudiar porque, como la energ´ıa cin´etica no se conserva, s´olo existe una ecuaci´on (conservaci´on escalar de P~ ) para obtener las dos velocidades finales. Por analog´ıa con el caso el´astico se introduce el denominado coeficiente de restituci´on, e, que es la medida de la elasticidad de una colisi´on. Se define de forma que: vf 2 − vf 1 = −e(vi2 − vi1 ) ( e =1 e =0

−→ −→

colisi´on el´astica vf 2 = vf 1 −→

colisi´on perfectamente inel´astica

En una colisi´on perfectamente inel´astica las dos masas permanecen unidas tras el choque. Es el caso, por ejemplo, de dos bolas de plastilina:

v f 1 = vf 2 ≡ vf vi 1

vi 2

m1

colisión m2 m1 + m2

Como se conserva la cantidad de movimiento: m1 vi1 + m2 vi2 = (m1 + m2 )vf

−→

vf =

m1 vi1 + m2 vi2 . m1 + m2

Un ejemplo de choque inel´astico es el denominado p´endulo bal´ıstico, que es un dispositivo v´alido para medir la velocidad de un proyectil que se mueve a gran velocidad.

5.5.4 Ejemplo Supongamos un proyectil disparado con velocidad desconocida, vi1 sobre un bloque de madera que se puede elevar tal y como muestra la figura:

5.5. COLISIONES

137

m2 m1 colisión v i1

h

v i2=0

Energ´ıa cin´etica inmediatamente despu´es de la colisi´on: Ec = 12 (m1 + m2 )vf2 . Particularizando la ecuaci´on para vf en el caso vi2 = 0: vf =

m1 vi1 m1 + m2

−→

Ec =

1 m21 2 vi1 . 2 m1 + m2

Despu´es del choque, la energ´ıa cin´etica se transformar´a en energ´ıa potencial que eleva el conjunto (no hay fuerzas no conservativas y la energ´ıa mec´anica se conserva): 1 m21 2 vi1 = (m1 + m2 )gh 2 m1 + m2

−→

vi1 =

m1 + m2 p 2gh. m1

Mediante esta ecuaci´on podemos entonces determinar la velocidad del proyectil incidente sin m´as que medir la altura que se eleva el conjunto.

5.5.3.

Colisiones en tres dimensiones

Los choques en dos o tres dimensiones son de m´as dif´ıcil tratamiento que los unidimensionales. Para su tratamiento es b´asico considerar el car´acter vectorial de P~ y su conservaci´on. Supongamos el caso m´as sencillo de una colisi´on en un plano y de tipo el´astico. En este caso tendremos dos ecuaciones de conservaci´on del momento y otra de conservaci´on de la energ´ıa. Y, sin embargo, habr´a cuatro inc´ognitas, dos por cada una de las velocidades finales. Es decir, que el problema no se puede resolver completamente si s´olo conocemos las velocidades iniciales. Hace falta obtener informaci´on adicional. Consideremos como ejemplo un choque en un plano de una part´ıcula m1 de velocidad inicial ~vi1 con otra m2 inicialmente en reposo.

CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE PART´ICULAS. MOMENTO LINEAL

138

vf 1 θ1

y x

colisión

vi1 m1

θ1

b

vi2= 0

m1

θ2

m2

m2

θ2 vf 2 Conservaci´on de la cantidad de movimiento: P~i = P~f . eje x :

m1 vi1 = m1 vf 1 cos θ1 + m2 vf 2 cos θ2

eje y :

0 = m1 vf 1 sen θ1 − m2 vf 2 sen θ2

Conservaci´on de la energ´ıa cin´etica: 1 1 1 2 m1 vi1 = m1 vf21 + m2 vf22 . 2 2 2   −→ datos ecuaciones −→   inc´ognitas −→

m1 , m2 , vi1 3 vf 1 , vf 2 , θ1 , θ2

Generalmente lo que se hace a nivel experimental es determinar la direcci´on de salida al menos de una part´ıcula, con lo que las velocidades finales se pueden calcular resolviendo el sistema correspondiente. Los estudios de este tipo son fundamentales en la F´ısica actual, pues permiten obtener informaci´on sobre las interacciones entre part´ıculas. Esto es lo que se hace, por ejemplo, en los aceleradores de part´ıculas. Aunque hemos visto como ejemplo el caso bidimensional, el tridimensional es an´alogo tanto en su planteamiento como en la dificultad de su resoluci´on. Simplemente aparece un n´ umero mayor de datos, ecuaciones e inc´ognitas.

5.6. IMPULSO Y FUERZA MEDIA

5.6.

139

Impulso y fuerza media

En nuestro estudio sobre los choques no hemos comentado nada acerca de la interacci´on entre las part´ıculas en el momento de la colisi´on. S´olo hemos supuesto que esta fuerza de interacci´on es muy intensa en comparaci´on con otras posibles y que su duraci´on es muy corta. Si representamos esta interacci´on en funci´on del tiempo obtendr´ıamos una gr´afica as´ı: 1

f 0.8 0.6 0.4 0.2

0

4

ti 2

6

8

tf

t

10

Antes de ti y despu´es de tf no existe interacci´on y ∆t = tf − ti es el tiempo de contacto, que puede ser del orden de 10−3 s para colisiones de objetos macrosc´opicos. Se define el impulso como: Z

tf

f (t) dt

I= ti

Geom´etricamente representa el a´rea bajo la curva f = f (t). Como seg´ un la segunda ley de Newton f~ = d~p/dt se tiene que: Z

tf

I=

Z

tf

f (t) dt = ti

ti

dp dt = dt

Z

tf

dp = pf − pi = ∆p ti

Es decir, que el impulso representa la variaci´on del momento lineal de un objeto durante el choque. Evidentemente, el momento lineal de cada objeto en la interacci´on var´ıa aunque el total se mantenga constante porque despreciamos las fuerzas externas. Se define el promedio temporal o fuerza media de una fuerza, fm como la fuerza constante que produce el mismo impulso en el mismo intervalo de tiempo.

140

CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE PART´ICULAS. MOMENTO LINEAL 1

f A1

0.8 0.6

fm

0.4

A2 0.2

0

ti

4

2

6

8

tf

t

10

I ∆t Este concepto es importante a la hora de estimar el orden de magnitud de la interacci´on. A1 = A2

→

fm ∆t = A1 = I

−→

fm =

5.6.1 Ejemplo Est´ımese la fuerza media ejercida por el cintur´on de seguridad de un autom´ovil sobre un conductor de 80 kg cuando choca contra un obst´aculo fijo a una velocidad de 90 km/h. El coche comienza a decelerar cuando su parachoques toca el obst´aculo. Si se deforma 1 m, ´este ser´a el espacio recorrido por el conductor hasta que est´e parado. Si suponemos que la velocidad media durante la colisi´on es la mitad de la velocidad inicial: v¯ =

90 km/h = 12,5 m/s 2

∆t =

s 1 = = 0,08 s v¯ 12,5

Aceleraci´on media: ∆v 25 = = 312 m/s2 ∆t 0,08 Esta aceleraci´on es aproximadamente 32 veces g, y la fuerza media es fm = mam = am =

25000 N. Esta es la fuerza que sujeta al conductor durante la colisi´on. Si el conductor no llevase cintur´on de seguridad, la distancia de frenado ser´ıa mucho menor, el tiempo tambi´en y la aceleraci´on y la fuerza media ser´ıan mucho mayores.

5.7. PROBLEMAS

5.7.

141

Problemas

1. Determina el centro de masas de un alambre semicircular uniforme en funci´on de su radio. (Respuestas: xcm = 0 ; ycm = 2R/π) 2. Halla el centro de masas del sistema formado por las dos barras uniformes de la figura.

y (m)

m =1 kg 1

3

m 2=2 kg 0

1

5

x (m)

(Respuestas: ~rcm = (2.5, 0.5) m) 3. Halla el centro de masas de un objeto uniforme en forma de tri´angulo rect´angulo. Considera como datos su masa (M ), y la longitud de sus catetos (a y b). (Respuestas: ~rcm = (a/3, b/3) (orientando el cateto a seg´ un el eje x y el b seg´ un el eje y) 4. Un proyectil de 10 g de masa se mueve horizontalmente con una velocidad de 400 m/s hasta empotrarse en un bloque de madera de 390 g situado sobre una mesa horizontal pulida. a) Calcula la velocidad final del sistema. b) Calcula la energ´ıa mec´anica inicial y final del sistema. (Respuestas: a) vf = 10 m/s; b) Ei = 800 J; Ef = 20 J)

142

CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE PART´ICULAS. MOMENTO LINEAL

5. Una caja de 2 kg se mueve hacia la derecha con una velocidad de 5 m/s y choca con otra de 3 kg que se mueve en la misma direcci´on a 2 m/s. Si despu´es del choque la caja de 3 kg se mueve a 4,2 m/s, determina: a) la velocidad de la caja de 2 kg despu´es del choque. b) el coeficiente de restituci´on de la colisi´on. (Respuestas: a) vf 1 = 1,7 m/s; b) e = 0,83) 6. Una bola de billar inicialmente en reposo debe tener un ´angulo de salida de 35o al ser golpeada por otra de igual masa. ¿Cu´al es el ´angulo de salida de la bola incidente? (Respuestas: θ = 55o ) 7. Una esfera A se mueve con una velocidad viA , choca con otra esfera B, inicialmente en reposo y ´esta, al salir despedida, choca a su vez con otra esfera, C, tambi´en en reposo antes. Calcula la velocidad con que sale despedida la bola C. Todos los choques se suponen frontales y el´asticos y las relaciones entre las masas son MA : MB : MC = 3 : 6 : 2. (Respuestas: vf C = viA ) 8. Sobre un saco de arena de 4 kg de masa colgado de un hilo se dispara un fusil cuya bala tiene una masa de 40 g. La bala atraviesa el saco y recorre una distancia de 20 m antes de chocar contra el suelo, que se encuentra 1,5 m debajo del saco. Si por el impacto de la bala el saco asciende 30 cm, calcula la velocidad de la bala en el momento del impacto. (Respuestas: vi = 278,6 m/s) 9. Un cuerpo de masa 5 kg se mueve sobre una mesa lisa con velocidad de 10 m/s y choca con otro de masa 10 kg que se desplaza en direcci´on perpendicular al anterior con velocidad 5 m/s. Ambos bloques, despu´es del choque, quedan unidos y se mueven juntos. Calcula la velocidad de ambos despu´es del choque, su direcci´on y la p´erdida de energ´ıa cin´etica.

5.7. PROBLEMAS

143

(Respuestas: vf = 4,7 m/s; θ = 45o ; ∆Ec = −208,3 J) 10. Un observador mide la velocidad de dos part´ıculas de masas m1 y m2 y obtiene respectivamente los valores ~v1 y ~v2 . Determina la velocidad del centro de masas relativo a dicho observador y la velocidad de cada part´ıcula relativa al centro de masas. (Respuestas: ~vcm =

m2 m1 m1~v1 + m2~v2 ; ~v10 = ~v12 ; ~v20 = − ~v12 ) m1 + m2 m1 + m2 m1 + m2

11. Una part´ıcula α choca contra un n´ ucleo de O2 inicialmente en reposo. La part´ıcula se desv´ıa en una direcci´on que forma un a´ngulo de 72o con la direcci´on del movimiento inicial y el n´ ucleo de O2 se desv´ıa formando un ´angulo de 41o hacia el lado opuesto de la part´ıcula α. ¿Cu´al es la raz´on entre las velocidades finales de las dos part´ıculas? ¿Y entre las dos velocidades de la part´ıula α? (La masa del n´ ucleo de O2 es cuatro veces mayor que la de la part´ıcula α.) vf α vf α (Respuestas: = 2,76; = 0,71) vf o viα 12. Un individuo de 80 kg se encuentra en el extremo de una tabla de 20 kg de masa y 10 m de longitud que flota en reposo sobre la superficie de agua de un estanque. Si el hombre se desplaza al otro extremo, a) ¿qu´e distancia recorre la tabla? b) ¿Qu´e distancia recorrer´ıa la tabla si el hombre se encontrara inicialmente en el centro de la misma? (Considera despreciable el rozamiento con el agua). (Respuestas: a) x = 8 m; b) x = 4 m) 13. Se dispara un proyectil con una velocidad de 200 y un a´ngulo de elevaci´on de π/3 (rad). Cuando se encuentra en el punto m´as alto de su trayectoria explota dividiendose en dos fragmentos iguales, uno de los cuales cae verticalmente. ¿A qu´e distancia del punto de lanzamiento caer´a el segundo fragmento? (Respuestas: x2 = 5160 m) 14. Una bala de masa m se introduce en un bloque de madera de masa M que est´a unido a un resorte espiral de constante de recuperaci´on k. Por el impacto el resorte se comprime una longitud x. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el suelo es µ, calcula la velocidad de la bala antes del choque.

144

CAP´ITULO 5. SISTEMAS DE PART´ICULAS. MOMENTO LINEAL 2(m + M )x (Respuestas: vi2 = m2



 kx + µ(m + M )g ) 2

15. Demuestra que cuando un cuerpo colisiona oblicuamente con otro de masa mucho mayor e inicialmente en reposo, si el choque es perfectamente el´astico, el a´ngulo de incidencia coincide con el de reflexi´on.

16. Desde la azotea de un edificio de 64 m de altura dejamos caer una pelota. Si el coeficiente de restituci´on de los botes de la pelota en el suelo es e = 1/2, averigua la altura que asciende sobre el suelo despu´es de botar tres veces. (Respuestas: h3 = 1 m)

17. Estima la fuerza media ejercida por el cintur´on de seguridad de un autom´ovil sobre un conductor de 80 kg cuando choca contra un obst´aculo fijo a una velocidad de 90 km/h. (Respuestas: f¯ = 25 kN)

18. Un soldado dispara un rifle con una masa mr = 3 kg. Si la bala pesa mb = 5 g y la velocidad con la que sale del rifle es vb = 300 m/s, ¿cu´al es la velocidad de retroceso del rifle? (Respuestas: v3 = 0,02 m/s)

19. Siguiendo el esquema de la figura, se suelta un p´endulo de longitud l = 120 cm y de masa m = 100 g desde una posici´on inicial que forma un a´ngulo θi = 37o con la vertical. Despu´es de la colisi´on con la masa M = 300 g, el p´endulo rebota hasta una posici´on θf = 20o y la masa M se desliza por la superficie hasta detenerse. Si el coeficiente de fricci´on de la superficie con la masa M vale µc = 0,2, calcula la distancia que recorre M hasta detenerse. (Respuestas: d = 0,32 m)

5.7. PROBLEMAS

145

l

m M

20. Un juguete consiste en tres bolas de acero de masas M , µ y m suspendidas en ese orden de modo que sus centros forman una recta horizontal. La bola M se separa y eleva en el mismo plano hasta que su centro queda elevado una altura h. Si M 6= m y todas las colisiones son el´asticas, ¿cu´anto debe valer µ para que la bola m alcance la m´axima altura posible? (Respuestas: µ = (mM )1/2 )

Cap´ıtulo 6 Din´ amica de la rotaci´ on 6.1.

Cuerpo r´ıgido, traslaci´ on y rotaci´ on

En los temas anteriores hemos estudiado u ´nicamente movimientos de traslaci´on para part´ıculas y sistemas de part´ıculas. Hemos definido el centro de masas como aquel punto que se comporta como si todas las fuerzas que act´ uan sobre el sistema se concentraran en ´el. El movimiento de un cuerpo extenso se puede describir en t´erminos del movimiento traslacional de su centro de masas y del movimiento de los puntos del sistema respecto al centro de masas (por ejemplo, respecto a un eje que pasa por ´el). Para completar, por lo tanto, el estudio del movimiento de un cuerpo extenso nos falta estudiar esta u ´ltima parte. Veremos que el estudio de este tipo de movimiento rotacional es an´alogo al traslacional, pero introduciendo nuevas magnitudes f´ısicas que siempre tienen su equivalente lineal. Por ejemplo, si la ecuaci´on de movimiento del centro de masas de un cuerpo relaciona aceleraci´on con fuerzas externas, la de la rotaci´on, como veremos, relaciona otro tipo de aceleraci´on (angular ) con el momento de las fuerzas aplicadas. La principal hip´otesis simplificadora en el estudio de movimientos rotacionales suele ´ ser la consideraci´on del objeto a estudiar como un cuerpo r´ıgido. Este es aquel sistema en que la distancia entre dos puntos cualquiera no var´ıa con el tiempo. Es un sistema que no se deforma. Consideraremos que un cuerpo r´ıgido describe un movimiento de rotaci´on cuando cada una de sus part´ıculas (salvo las que est´an sobre el eje) realiza un movimiento circular.

´ ´ CAP´ITULO 6. DINAMICA DE LA ROTACION

148

El movimiento m´as general de un cuerpo r´ıgido tiene lugar cuando el eje de rotaci´on cambia de direcci´on al mismo tiempo que se traslada. Esto sucede, por ejemplo, en un pase de f´ utbol con efecto: el eje no s´olo cambia de posici´on en el tiempo, sino que tambi´en var´ıa su orientaci´on. En este tema restringiremos nuestra discusi´on a la rotaci´on de un cuerpo r´ıgido respecto a un eje que no cambia de orientaci´on.

6.2.

Energ´ıa cin´ etica rotacional. Momento de inercia

Consideremos un s´olido r´ıgido rotando con velocidad angular ω, tal y como muestra la figura. z ω

vi i ri O x

y

Su energ´ıa cin´etica se puede expresar como la suma de las energ´ıas cin´eticas de todos los puntos que lo componen: Ec =

n X 1 i

2

n

mi vi2

1X = mi ri2 ω 2 . 2 i

Como ω es igual para todos los puntos: 1 Ec = 2

! X i

mi ri2

ω2.

´ 6.3. CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA

149

X mi ri2 , obtenemos una ecuaci´on para la energ´ıa

Si denominamos I a la magnitud

i

cin´etica de la rotaci´on similar a la de la traslaci´on: 1 Ec = Iω 2 . 2 La magnitud I se denomina momento de inercia del sistema y como iremos comprobando en este tema constituye de alg´ un modo, la magnitud equivalente en din´amica de la rotaci´on a la masa en din´amica de la traslaci´on. Sus dimensiones y sus unidades en el Sistema Internacional son: [I] = M L2 →

S.I.

kg m2

Conviene resaltar que en esta definici´on, las distancias que aparecen son las distancias de cada masa del sistema al eje de giro (¡no al origen de coordenadas!), luego el momento de inercia depende del eje de giro elegido. No es una propiedad inherente al sistema, sino que tambi´en depende de cu´al es el eje de giro.

6.3.

C´ alculo de momentos de inercia

6.3.1.

Sistemas discretos

6.3.1 Ejemplo Consid´erese la mol´ecula de O2 . Si la distancia media entre sus ´atomos es de 1,21 ˚ Ay la masa de cada ´atomo es 2,77 × 10−26 kg, calc´ ulese su momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de masas (considerando que los ´atomos son masas puntuales).

z

O m

O d

m

´ ´ CAP´ITULO 6. DINAMICA DE LA ROTACION

150

I=

2 X

mi ri2

i=1

 2 d = 2m = 1,95 × 10−46 kg m2 . 2

6.3.2 Ejemplo Calc´ ulese el momento de inercia de la siguiente distribuci´on de 8 masas id´enticas respecto a los dos ejes que se muestran en la figura: z

m

z a

r a

a z

z

a) Un eje que pasa por el centro de masas de la distribuci´on. b) Un eje que pasa por dos masas en el mismo lado.

´ 6.3. CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA

151

√ a) En este caso la distancia de todas las masas al eje es a 2/2. I=

8 X i=1

√ !2 2 mi ri2 = 8m a = 4ma2 . 2

b) En este caso hay varios tipos de distancias al eje. I=

8 X

√ mi ri2 = 0 + 0 + 4ma2 + 2m( 2a)2 = 4ma2 + 4ma2 = 8ma2 .

i=1

Luego I depende del eje considerado.

6.3.2.

Sistemas continuos

En el caso de sistemas continuos el momento de inercia se define del siguiente modo: Z X 2 I = l´ım r dm = r2 dm. ∆m→0

Utilizando la definici´on de densidad de masa se pueden presentar tres situaciones: a) Sistemas tridimensionales (esferas, cilindros, conos, etc.): Z dm ρ= −→ I = ρ(r)r2 dV. dV V b) Sistemas bidimensionales (discos y superficies planas): Z dm σ= −→ I = σ(r)r2 dS. dS S c) Sistemas unidimensionales (varillas e hilos rectil´ıneos): Z dm λ= −→ I = λ(r)r2 dx. dx l En el caso de sistemas homog´eneos, las densidades son constantes y salen fuera de la integral correspondiente.

´ ´ CAP´ITULO 6. DINAMICA DE LA ROTACION

152 6.3.3 Ejemplo

Calc´ ulese el momento de inercia de un anillo de masa M y radio R respecto a un eje perpendicular al plano que lo contiene y que pasa por su centro.

dm R x

z Z I=

2

r dm = R

2

Z

dm = M R2 .

En este caso, el momento de inercia es independiente de que el anillo sea homog´eneo o no (cosa que no ocurre, por ejemplo, cuando se calcula su centro de masas).

6.3.4 Ejemplo Momento de inercia de un disco uniforme de masa M y radio R respecto a un eje perpendicular al plano que lo contiene y pasa por su centro.

y

r

R x dm

z

´ 6.3. CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA

153

Tomamos como elemento de masa dm un anillo situado entre r y r + dr. Su ´area ser´a ds = 2πrdr. dm = σds =

Z I=

M r dm = 2 2 R 2

Z

M 2 πrdr πR2 

R

r3 dr = 2

0

M R4 1 = M R2 . 2 4R 2

Este momento de inercia se puede aplicar a calcular el de un cilindro uniforme respecto a su eje de simetr´ıa, sin m´as que considerarlo como una superposici´on de discos de radios id´enticos Z I=

Z dI =

1 2 1 R dm = M R2 . 2 2

dm

dI

R

6.3.5 Ejemplo Momento de inercia de una esfera uniforme respecto a un eje que pasa por su centro en funci´on de su masa M y de su radio R.

´ ´ CAP´ITULO 6. DINAMICA DE LA ROTACION

154

y

r dm

y

R

x

z

La esfera se puede considerar como una superposici´on de discos de radio variable y espesor infinitesimal. El radio de cada uno vale: r2 = R2 − y 2 ; y su volumen: dV = πr2 dx = π(R2 −y 2 )dx. Y, por lo tanto, la masa infinitesimal de cada uno, dm = ρdV = M π(R2 V

− y 2 )dy.

Momento de inercia de cada disco elemental: 1 1 M πM 2 dI = r2 dm = (R2 − y 2 ) π(R2 − y 2 )dy = (R − y 2 )2 dy 2 2 V 2V Z M R 4 πM 2 2 2 (R − y ) dy = π (R + y 4 − 2R2 y 2 )dy I=2 2V V 0 0     5 3 M R R M 1 2 8 M 5 2 5 =π R + − 2R =π R 1+ − = π R5 V 5 3 V 5 3 15 V Z

R

Como V = (4/3)πR3 : I=

8 M 2 π 4 3 R5 = M R2  15 3 πR 5

6.3.6 Ejemplo Momento de inercia de una placa rectangular homog´enea respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro de masas.

´ 6.3. CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA

155

z

dm

x

b

a y

Z I=

I=σ

Z

2

2

b/2

Z

(x + y ) dxdy = σ Z

=σ

a/2

dy −b/2

M = ab

Z

Z

a/2

Z



y dxdy

b/2 2

dx



y dy −b/2

ba3 ab3 + 12 12



2

x dxdy +

−a/2



= x2 + y 2 = dx dy

2

x dx + −a/2

b a3 a b 3 =σ 2 + 2 3 4 3 4 

2

r2 σds.

r dm =

( r2 ds

Z

Z

2

 =

=

 3 a/2 b/2  x y3 =σ b +a = 3 −a/2 3 −b/2

M 2 (a + b2 ). 12

La figura adjunta resume algunos otros momentos de inercia habituales (para objetos r´ıgidos y uniformes).

´ ´ CAP´ITULO 6. DINAMICA DE LA ROTACION

156 Aro cilíndrico

Cilindro hueco

Cascarón esférico

R1

R2

R

I=MR

R

2

2

I= _1 M (R 1+R 2 ) 2

2

Placa rectangular

I= _2 MR 3

2

Varilla

L L b

a

I= _1 M (a 2+b ) 12 2

6.3.3.

I= _1 ML 2 12

I= _1 ML2 3

Teorema de los ejes paralelos (Steiner)

Como hemos visto, el momento de inercia de un cuerpo no es u ´nico, sino que depende del eje respecto al que se calcula. Esto hace muchas veces su c´alculo complicado. Se ha de recurrir entonces a expresiones generales que relacionen el momento de inercia respecto a dos ejes diferentes. Uno de los teoremas al respecto m´as pr´acticos es el denominado de Steiner o de los ejes paralelos. Relaciona el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro de masas con el relativo a un eje paralelo. La

´ 6.3. CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA

157

demostraci´on es sencilla a partir de la figura adjunta. y'

y dm

y

r'

r

c.m.

ycm

x'

d z O

  ~r : (x, y) r~0 : (x0 , y 0 )  ~ d : (xcm , ycm )

−→ −→ −→

x

x cm

x

coordenadas de dm respecto a O coordenadas de dm respecto al c.m. coordenadas del c.m. respecto a O

Vectorialmente, ~r = d~ + r~0 y en coordenadas, (x, y) = (xcm , ycm ) + (x0 , y 0 ). Respecto a z: Z

Z

Z

  0 (x + y ) dm = (x + xcm )2 + (y 0 + ycm )2 dm = Z Z Z Z 02 02 0 0 2 = (x + y ) dm + 2xcm x dm + 2ycm y dm + (x2cm + ycm ) dm {z } | {z } | {z } | {zR } |

I=

2

r dm =

=Icm

2

2

=M x0cm =0

0 =0 =M ycm

2 ) =(x2cm +ycm

dm=d2 M

donde d es la distancia entre los ejes. En definitiva: I = Icm + d2 M.

6.3.7 Ejemplo Como ejercicio es f´acil obtener la relaci´on entre el momento de inercia de una varilla respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro de masas, Icm = (1/12)M L2 , y a un eje perpendicular que pasar por uno de sus extremos, Icm = (1/3)M L2 .

´ ´ CAP´ITULO 6. DINAMICA DE LA ROTACION

158

6.3.4.

Teorema de los ejes perpendiculares

Este teorema s´olo es v´alido para figuras planas. Relaciona los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares contenidos en una figura plana con el momento de inercia respecto a un tercer eje perpendicular a los dos anteriores. z

x

r

dm y

x

y

Z Iz =

2

Z

r dm =

2

Z

2

(x + y ) dm =

2

x dm +

Z

y 2 dm

=⇒

Iz = Ix + Iy .

6.3.8 Ejemplo Calcularemos el momento de inercia de un anillo respecto a un eje que contiene a uno de sus di´ametros. Consideremos que el anillo est´a situado en el plano XY y el origen de coordenadas en el centro del anillo. Por lo tanto el eje Z es perpendicular al plano del anillo y pasa por su centro. Ya hemos obtenido anteriormente que Iz = mr2 . Por simetr´ıa,

6.4.

Iy = Ix

−→

Ix = Ix + Iy = 2Ix

−→

1 Ix = mr2 = Iy . 2

Momento angular

El an´alogo rotacional del momento lineal o cantidad de movimiento de una part´ıcula es una nueva magnitud f´ısica denominada momento angular . Se define el momento

6.4. MOMENTO ANGULAR

159

angular de una part´ıcula en un instante determinado y respecto a un cierto origen de coordenadas O como: ~` = ~r × p~, donde ~r es el vector de posici´on de la part´ıcula respecto a ese origen y p~ es su momento lineal en ese instante. Con esta definici´on vemos que ~` es una magnitud vectorial, perpendicular tanto a ~r como a p~. Dimensiones: [`] = LM LT −1 = M L2 T −1 ;

Unidades S.I.: kg.m2 /s.

Conviene recalcar que la definici´on de esta nueva magnitud depende del origen de coordenadas elegido, por lo que siempre que se hable de momento angular debe quedar claro a que sistema de coordenadas nos referimos.

6.4.1 Ejemplo Part´ıcula describiendo una circunferencia.

ω l r

O

p z ~` = ` ~k

−→

` = rmv sen

Si ω es constante, ` tambi´en lo es.

π  2

= rmv = r2 mω.

´ ´ CAP´ITULO 6. DINAMICA DE LA ROTACION

160 6.4.2 Ejemplo

Part´ıcula movi´endose en l´ınea recta.

z

l p

r

r

θ x

O y ~` = −`~j

−→

` = rmv sen θ = mvr⊥ .

´ Unicamente si el origen est´a en la trayectoria de la part´ıcula, ~` valdr´a cero. Si la velocidad es constante, ~` ser´a constante, pero si la part´ıcula est´a acelerada, ~` var´ıa en el tiempo.

6.5. 6.5.1.

Segunda Ley de Newton para la rotaci´ on Part´ıcula u ´ nica

En el caso del movimiento de traslaci´on, comprobamos c´omo la derivada temporal del momento lineal est´a relacionada con las fuerzas exteriores que act´ uan sobre cierta part´ıcula. De hecho, esta es una expresi´on alternativa de la ecuaci´on newtoniana del movimiento de la part´ıcula. Veremos a continuaci´on qu´e informaci´on est´a contenida en la derivada del momento angular. Consideremos una u ´nica part´ıcula: 0 > d(~r × p~) d~r  d~p d~p d~` = = × p~ + ~r × = ~r × dt dt dt dt dt  d~p d~` = f~ =⇒ = ~r × f~ = ~τ . dt dt

´ 6.5. SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA LA ROTACION

161

Esta u ´ltima ecuaci´on constituye la segunda ley de Newton para la rotaci´on. La variaci´on del momento angular con el tiempo es el momento neto de las fuerzas que act´ uan sobre la part´ıcula. Veamos intuitivamente qu´e significa esto con un ejemplo.

6.5.1 Ejemplo Consideremos una puerta vista desde arriba y que pretendemos abrirla ejerciendo una fuerza sobre ella. La experiencia nos dice que la aceleraci´on con que conseguimos abrirla no s´olo depende de la magnitud de la fuerza aplicada, sino tambi´en de su direcci´on y punto de aplicaci´on. La fuerza f~3 no consigue abrirla, la f~2 s´ı, pero ’despacio’. Y la f~1 consigue abrirla con m´as facilidad. Repitiendo la experiencia sistem´aticamente se comprueba que la aceleraci´on angular con que se abre la puerta es proporcional, no s´olo a la magnitud de la fuerza aplicada, sino tambi´en a la distancia de la l´ınea de acci´on de la fuerza al eje de giro. Esta distancia se denomina brazo de palanca. Entonces α ∝ f r⊥ = f r sen θ. f3

f2

f1

r θ

f

f r

Se define el m´odulo del momento asociado a la fuerza f~ como: τ = f r sen θ. Y, por lo tanto, experimentalmente se comprueba que, α∝τ

−→

segunda ley de Newton para la rotaci´on

´ ´ CAP´ITULO 6. DINAMICA DE LA ROTACION

162

La relaci´on matem´atica rigurosa entre ambas magnitudes la obtenemos a partir del concepto de momento angular.

Como en la obtenci´on de esta segunda ley para la rotaci´on, hemos aplicado la correspondiente a la traslaci´on, que s´olo es v´alida en sistemas de referencia inerciales, el resultado obtenido es tambi´en u ´nicamente v´alido en estos sistemas de referencia. Esta ley constituye la analog´ıa rotacional de la segunda ley de Newton que ya conoc´ıamos para la traslaci´on.

6.5.2.

Sistemas de part´ıculas

Se define el momento angular total de un sistema de part´ıculas como la suma de los momentos individuales de cada una: ~ = L

n X

~`i

i=1 n n X ~ dL d~`i X = = ~ri × f~i = ~τt , dt dt i=1 i=1

donde ~τt representa el momento de fuerzas total sobre el sistema, que se puede descomponer en un momento asociado a fuerzas internas al sistema y otro a externas. ~τt = ~τint + ~τext . Es f´acil darse cuenta de que ~τint = 0. Por ejemplo, para un sistema de dos part´ıculas:

i

fji fij

θi ri

r

j

θj rj

O

´ 6.5. SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA LA ROTACION

−f~ij = f~ji

−→

163

fij = fji

Si el eje perpendicular al papel es el z:

~τint = ri fij sen θi ~k − rj fij sen θj ~k = fij (ri sen θi − rj sen θj )~k = fij (r⊥ − r⊥ )~k = 0

La demostraci´on para un n´ umero arbitrario de part´ıculas ser´a an´aloga. Por lo tanto, queda demostrado que: ~ dL = ~τext dt

Esta es la expresi´on de la segunda ley de Newton para la rotaci´on aplicada a un sistema de part´ıculas. No lo demostraremos aqu´ı, pero esta ecuaci´on no s´olo es v´alida en cualquier sistema de referencia inercial, sino que tambi´en lo es siempre respecto al sistema de referencia de centro de masas del sistema, aunque est´e acelerado. Es por esto que siempre se puede descomponer el movimiento de un cuerpo extenso en traslaci´on del centro de masas y rotaci´on respecto a ´el. En el primer caso se elige un sistema de referencia inercial y se aplica la segunda ley de Newton respecto a ´el. Para la rotaci´on se considera como sistema de referencia el centro de masas y se aplica la segunda ley de Newton para la rotaci´on respecto a ´el. Trataremos ahora de expresar la segunda ley de Newton para la rotaci´on de modo an´alogo a la ecuaci´on, f~ = m~a. Consideremos un s´olido r´ıgido rotando alrededor del eje z y tomemos como origen un punto cualquiera del eje.

´ ´ CAP´ITULO 6. DINAMICA DE LA ROTACION

164 z ω

z p

liz

i

Ri

i Ri

l θi i i

ri O

ri

x θi

y

plano xy

`i = ri pi sen

π  2

= ri mi vi = ri Ri mi ω

Componente z de li : `iz = ri Ri mi ω sen θi

y como: ri sen θi = Ri

=⇒

`iz = Ri2 mi ω.

Sumando para todas las part´ıculas que forman el objeto: ! n n X X Lz = `iz = mi Ri2 ω = Iω. i=1

i=1

Luego para todo s´olido r´ıgido, la componente sobre el eje de rotaci´on del momento angular verifica una ecuaci´on similar a p = mv. Aunque no lo demostraremos, se puede comprobar que para cualquier s´olido r´ıgido con simetr´ıa axial : ~ =Iω L ~, ~ est´a dirigido en la direcci´on de ω es decir, que L ~ . Pero esto no es cierto para cualquier s´olido r´ıgido. En resumen, + Para un s´olido r´ıgido (I = cte.) cualquiera: dLz dω =I = Iα dt dt donde τz es la componente z de ~τext .

−→

τz = Iα

´ DEL MOMENTO ANGULAR Y SUS APLICACIONES 165 6.6. CONSERVACION + Si adem´as de ser r´ıgido tiene simetr´ıa de revoluci´on: ~ d~ω dL =I = I~ α dt dt

−→

~τext = I~ α

d~p Estas expresiones constituyen la analog´ıa rotacional de = m~a para la segunda ley dt ~ dL de Newton en movimientos lineales. De otro modo: = ~τext = I~ α. dt

6.6.

Conservaci´ on del momento angular y sus aplicaciones

Hasta aqu´ı hemos introducido dos principios de conservaci´on b´asicos en Mec´anica Cl´asica, el de conservaci´on de la energ´ıa y el de conservaci´on del momento lineal de un sistema. Adem´as de su gran importancia te´orica, ambos permiten resolver gran cantidad de problemas pr´acticos. Presentaremos ahora otro principio de conservaci´on de gran trascendencia y lo aplicaremos a la resoluci´on de ciertos problemas interesantes. Cuando el momento de la fuerzas externas que act´ uan sobre un sistema se anula, se verifica que: ~τext = 0

=⇒

~ = cte. ~ L

=⇒

~i = L ~f. L

Esto quiere decir que para un sistema en el que ~τext = 0, el momento angular total es constante. Esto no significa que el momento angular de cada una de las part´ıculas que forman el sistema permanezca constante, sino solamente que la suma de todos ellos s´ı que lo es. Adem´as, este principio de conservaci´on s´olo es cierto punto a punto. ´ Unicamente si ~τext respecto a un cierto punto es nulo, entonces el momento angular ~ respecto a ese punto es invariante. Respecto a otro punto cualquiera esto no total, L, tiene porqu´e verificarse. i) Regresemos a la ecuaci´on Lz = Iω, v´alida para sistemas de geometr´ıa arbitraria. Si el sistema es un s´olido r´ıgido, I = cte., pero existen ciertos problemas donde el dI momento de inercia del sistema var´ıa. En este caso 6= 0 y para conservarse el dt momento angular (si no existen momentos externos) debe cumplirse: Li = Lf

=⇒

Ii ωi = If ωf

´ ´ CAP´ITULO 6. DINAMICA DE LA ROTACION

166

Esto implica una variaci´on de la velocidad angular del sistema. En resumen, la conservaci´on del momento angular da lugar a una variaci´on de la velocidad angular del sistema si el momento de inercia cambia.

6.6.1 Ejemplo Una persona est´a sentada sobre un taburete y gira respecto a un eje vertical con una velocidad angular ωi mientras sostiene dos pesas con sus brazos extendidos. Repentinamente encoge sus brazos de modo que If = Ii /3. Calc´ ulese la velocidad angular una vez encogidos los brazos. ¿Qu´e relaci´on hay entre la energ´ıa cin´etica de rotaci´on inicial y final? Ii Ii ωi = If ωf = ωf −→ ωf = 3ωi 3     1 1 Ii Ii 2 2 2 Kf = If ωf = ω = 3Ki . (3ωi ) = 3 2 2 3 2 i

ii) Fuerzas centrales y conservaci´on del momento angular La conservaci´on del momento angular es b´asica en el estudio de movimientos planetarios y otro tipo de problemas gravitatorios. La fuerza gravitatoria es un ejemplo t´ıpico de fuerza central , es decir, es una fuerza que s´olo depende de la distancia de los objetos que interaccionan.

6.6.2 Ejemplo Supongamos, por ejemplo, un planeta en ´orbita el´ıptica alrededor del sol.

θ

v f P vP

r

Planeta

vA A

Sol

´ TEOREMA TRABAJO-ENERG´IA 6.7. TRABAJO DE ROTACION.

167

El momento de la fuerza gravitatoria que act´ ua sobre el planeta es cero respecto al Sol, porque ~r y f~ son colineales. Por lo tanto, si despreciamos otras fuerzas, el momento angular del planeta respecto al Sol permanece constante. ~ = ~r × p~ = cte. ~ L

−→

mvr sen θ = cte.

Todas las magnitudes que aparecen en esa ecuaci´on var´ıan durante el movimiento orbital, pero su producto permanece constante. As´ı por ejemplo, veremos qu´e pasa en la posici´on m´as pr´oxima al Sol ( perihelio) y en la m´as alejada ( afelio). En estas posiciones, θ = π/2

→

sen θ = 1

=⇒

vA rA = vP rP

Como rA > rP , entonces vA < vP . Es decir, que la velocidad del planeta en su ´orbita va cambiando con el tiempo, aumentando en el camino A → P , y disminuyendo en el inverso. En general, para cualquier fuerza central, el momento angular se mantiene constante respecto al centro de fuerzas.

6.7.

Trabajo de rotaci´ on. Teorema trabajo-energ´ıa

Supongamos como ejemplo una puerta que puede girar sobre sus bisagras.

ds

dθ

ft

α f

z R

Cuando se abre o cierra, se efect´ ua un trabajo. Si la fuerza aplicada es f~, la u ´nica componente relevante para obtener el trabajo es la tangente al movimiento, f~t . dW = f~.d~s = f cos αds = ft ds,

´ ´ CAP´ITULO 6. DINAMICA DE LA ROTACION

168 y como ds = Rdθ, entonces:

dW = ft Rdθ. ~ × f~, y considerando que el eje de giro es z, Por otra parte, ~τ = R τz = Rf sen

π 2

 − α = Rf cos α = Rft

−→

dW = τz dθ.

En un proceso finito: Z

θf

τz dθ,

W = θi

ecuaci´on que constituye la definici´on general de trabajo de rotaci´on. Demostraremos ahora el teorema trabajo-energ´ıa a partir de esa expresi´on para el trabajo. τz = Iα   d 1 2 dω = ω ω −→ dt dt 2 =⇒

dω dW = Iα dθ = I ω dt dt   Z f d 1 2 I ω dt −→ W = d(ω 2 ) dW = I dt 2 i 2

−→

1 W = I(ωf2 − ωi2 ) = ∆Ec . 2

Luego el trabajo realizado coincide con la variaci´on de la energ´ıa cin´etica de rotaci´on. Por u ´ltimo, se puede tambi´en definir una potencia de rotaci´on como: P =

dθ dW = τz = τz ω. dt dt

Esta ecuaci´on tambi´en es an´aloga a la correspondiente para la traslaci´on.

6.8.

Analog´ıas entre las ecuaciones de la traslaci´ on y la rotaci´ on

A modo de ap´endice, resumimos en la siguiente tabla el paralelismo entre las ecuaciones que hemos obtenido en los casos traslacional y rotacional.

6.8. ANALOG´IAS. . .

169

Traslaci´ on

Rotaci´ on

m

I

p~ = m~v

Lz = Iω ~ = I~ω ) (simetr´ıa axial → L

f~

~τ

d~p = m~a f~ = dt

dLz = Iα dt ~ dL (simetr´ıa axial → ~τ = = I~ α) dt

Ec = 12 m v 2

Ec = 12 I ω 2

dW = f~.d~s

dW = τz dθ

P = f~.~v

P = τz ω

1 W = m(vf2 − vi2 ) 2

1 W = I(ωf2 − ωi2 ) 2

τz =

6.9. PROBLEMAS

6.9.

171

Problemas

1. Se sujeta un cuerpo de masa m a una cuerda enrollada alrededor de una rueda de momento de inercia I y radio R. La rueda puede girar sin rozamiento y la cuerda no se desliza en su borde. Halla la tensi´on de la cuerda y la aceleraci´on del cuerpo. (Respuestas: T =

mgI mR2 ; a = g ) mR2 + I mR2 + I

2. Determina la aceleraci´on de la cuerda del problema anterior aplicando el concepto de momento angular y la segunda ley de Newton para la rotaci´on. 3. Un disco de momento de inercia I1 est´a girando con velocidad angular ωi alrededor de un eje sin rozamiento. En un cierto instante cae sobre otro disco con momento de inercia I2 inicialmente en reposo sobre el mismo eje. Debido al rozamiento entre ellos, los dos bloques adquieren una velocidad angular com´ un, ωf . ¿Cu´al es esta velocidad final com´ un? I1 (Respuestas: ωf = ωi ) I1 + I2 4. Un muchacho de masa, m, se acerca corriendo con una velocidad, v, a un tiovivo de feria, que est´a inicialmente parado, y se sube de un salto a su borde. ¿Qu´e velocidad angular adquiere el tiovivo cuando el muchacho ha subido y se encuentra en reposo relativo respecto a ´el? mvR (Respuestas: ω = ) I + mR2 5. Dos masas, m1 y m2 , est´an conectadas a trav´es de una cuerda que pasa por dos poleas id´enticas de momento de inercia, I. Encu´entrese la aceleraci´on de cada masa y las tensiones en la cuerda. (m2 − m1 )g ; (Respuestas: a = 2I + m1 + m2 R2 m2 (g − a))

T1 = m1 (a + g); T2 =

aI + T1 ; T3 = R2

6. Una barra uniforme de longitud L y masa M puede girar libremente sobre un pivote sin fricci´on que pasa por uno de sus extremos. La barra se encuentra inicialmente en reposo y en posici´on horizontal.

´ ´ CAP´ITULO 6. DINAMICA DE LA ROTACION

172

a) Calcula la velocidad angular de la barra cuando pasa por su posici´on m´as baja. b) Determina la velocidad lineal del centro de masas de la barra y la velocidad lineal del punto m´as bajo de la barra en la posici´on vertical.  1/2 3g (Respuestas: a) ω = ; b) v = (3Lg)1/2 ) L 7. Consid´erense dos masas (m1 y m2 ) conectadas por medio de una polea con radio R y momento de inercia I respecto a su eje de rotaci´on. Si la cuerda no resbala sobre la polea y el sistema se libera a partir del reposo, determ´ınense las velocidades lineales de las masas despu´es de que m2 haya ca´ıdo una distancia h. ¿Cu´al es la velocidad angular de la polea en ese instante? #1/2 " 1 2(m2 − m1 )gh ) (Respuestas: ω = R m1 + m2 + RI2 8. El rotor de un motor el´ectrico tiene un momento de inercia de 0,85 kg.m2 y gira inicialmente a 1670 rev/min. Calc´ ulese el momento de la fuerza necesaria para pararlo en 1,5 min. (Respuestas: τ = 1,65 Nm) 9. ¿Cu´al es la m´ınima velocidad que tiene que llevar un proyectil, de masa m, para que al chocar e incrustarse en el extremo inferior de una barra homog´enea de longitud l y masa M que se encuentra atravesada en el otro extremo por un eje, d´e una vuelta completa alrededor de dicho eje despu´es del impacto?   1/2 M 6g(M + 2m) (Respuestas: v = l +1 ) 3m l(M + 3m) 10. Dos objetos (A y B) est´an conectados a trav´es de dos poleas (C y D) de radios: RC = 8 cm y RD = 15 cm. Las masas de los objetos son mA = 27 kg y mB = 16 kg. Si la masa de la polea C es mC = 8 kg, calcular: a) la masa mD para que la pesa B se mueva con una aceleraci´on de 2 m/s2 hacia arriba. b) las tensiones en el cable.

6.9. PROBLEMAS

173

(Respuestas: a) mD = 13,8 kg; b) T1 = 210,6 N; T2 = 202,6 N; T3 = 188,8 N) 11. A una part´ıcula de masa 1 kg que se encuentra inicialmente en el punto A = (1, 2, 1) y que posee una velocidad ~v0 = 3~i − 2~j + ~k (m/s) se le aplica una fuerza tal que su momento respecto al origen permanece constante y de valor ~τ = 3~i − 4~j + 2~k (N.m). Calcula el momento angular de la part´ıcula al cabo de 3 s. ~ = 13~i − 10~j − 2~k) (Respuestas: L 12. Calcula el momento de inercia de un cono recto respecto a su eje de simetr´ıa. 3 (Respuestas: I = M R2 ) 10 13. Estima el momento angular de la Tierra en su movimiento alrededor del sol y el de un electr´on alrededor de n´ ucleo en un a´tomo de H2 . En ambos casos, sup´ongase, por simplicidad, que las ´orbitas son circulares. Datos: mT = 5,98 × 1024 kg (masa de la Tierra) d¯S = 1,49 × 1011 m (distancia media al Sol) me = 9,11 × 10−31 kg (masa del e− ) d¯n = 5,29 × 10−11 m (distancia media del e− al n´ ucleo) we = 4,13 × 1016 rad/s (velocidad angular del e− ) (Respuestas: LT = 2,67 × 1040 m2 kg s−1 ; le = 1,05 × 10−34 m2 kg s−1 ) 14. Calcula el momento de inercia de una placa rectangular homog´enea de masa M y lados a y b. (Respuestas: I =

m 2 (a + b2 )) 12

15. Una esfera, un cilindro y un aro, todos del mismo radio, ruedan hacia abajo sobre un plano inclinado partiendo de una altura y0 . Encu´entrese en cada caso la velocidad con la que llegan a la base del plano. 10 4 (Respuestas: ve2 = g(y0 − y); vd2 = g(y0 − y); va2 = g(y0 − y)) 7 3

´ ´ CAP´ITULO 6. DINAMICA DE LA ROTACION

174

16. Los dos objetos de la figura se aproximan entre s´ı sobre una superficie sin rozamiento. Pueden considerarse como dos masas puntuales m unidas entre s´ı por un alambre de longitud 2`. Inicialmente no est´an rotando. Describe su movimiento despu´es de la colisi´on si se considera el´astica. (Respuestas: Despu´es de la colisi´on los objetos dejan de trasladarse y comienzan a rotar con velocidad angular ω = v/`. Despu´es de un semiperiodo (t = π/ω) volver´ıan a colisionar, cesar´ıa la rotaci´on y volver´ıan a trasladarse con las velocidades anteriores a la primera colisi´on.) m

2l

v

m

c.m. m

v 2l

m

Cap´ıtulo 7 Propiedades el´ asticas de los materiales. Mec´ anica de Fluidos 7.1. 7.1.1.

Propiedades el´ asticas de los materiales Curvas esfuerzo-deformaci´ on

Hemos definido anteriormente un s´olido r´ıgido como aquel cuerpo en que la distancia entre sus puntos es constante. Dicho de otro modo, es un material que no se deforma. Pero, en realidad, cuando sobre un material se aplica una fuerza ´este se deforma 1 . La deformaci´on depende del tipo de material (propiedades microsc´opicas), de la fuerza aplicada (m´odulo, direcci´on, tiempo de aplicaci´on, . . . ) y de las condiciones termodin´amicas (temperatura, presi´on, . . . ).

1

Por ejemplo, en Geolog´ıa el conocimiento de la estructura y naturaleza del interior de la Tierra ´ se ha obtenido en gran medida a partir de las ondas s´ısmicas que se generan en los terremotos. Estos ocurren cuando las fuerzas tect´ onicas superan las fuerzas m´aximas que pueden soportar los materiales que las forman y tiene lugar una fractura. Desde ese punto se propagan ondas s´ısmicas alej´andose del epicentro. Esta propagaci´ on est´ a ´ıntimamente ligada tambi´en a las propiedades el´asticas de los materiales que forman la corteza y las relaciones entre tensiones y deformaciones en ellos

´ CAP´ITULO 7. ELASTICIDAD. MECANICA DE FLUIDOS

176

l0 A ∆l

f

Consideremos como ejemplo una varilla de un cierto material sobre la que aplicamos una fuerza f~. Si A es la secci´on, se denominan: esfuerzo

−→

σ=

f ; A

deformaci´on

−→

ε=

∆` `0

donde `0 es la longitud de la varilla en ausencia de tensi´on. La experiencia en los laboratorios dice que si la fuerza aplicada no es muy grande, la relaci´on entre σ y ε es aproximadamente lineal y que, al cesar la fuerza, la varilla recupera la longitud inicial. Es decir, f ' k∆`. Se dice que el comportamiento del material es lineal y esa relaci´on es la ley de Hooke (formalmente an´aloga a la que relaciona fuerza y elongaci´on en un muelle). Pero al seguir aumentando la fuerza sobre el material llega un momento en que esa relaci´on lineal deja de ser v´alida. Si el material recupera su longitud inicial al cesar la fuerza, sigue siendo el´astico pero no lineal. Aumentando a´ un m´as f , llega un momento en que el material no recupera `0 cuando f = 0. Se dice que el material ha sobrepasado su l´ımite el´astico y entra en la zona pl´astica. Aumentando a´ un m´as la fuerza llega un momento en que el material se fractura. El punto en que eso sucede se llama punto de ruptura o fractura. El tama˜ no y la localizaci´on de estas regiones

´ 7.1. PROPIEDADES ELASTICAS DE LOS MATERIALES

177

depende del tipo de material, pero cualitativamente el comportamiento es similar para todos los materiales. Se puede esquematizar en una curva σ − ε, que se denomina curva esfuerzo-deformaci´on.

σ régimen elástico

r. plástico

zona lineal límite elástico

punto de ruptura

ε Normalmente, en la vida cotidiana, se emplea el t´ermino el´astico cuando la zona que abarca su r´egimen el´astico es amplia y es pl´astico cuando, incluso para fuerzas no muy grandes, queda deformado permanentemente al cesar la acci´on.

σ

material elástico

σ

material plástico

zona elástica zona plástica

ε

ε

Cuando sobre un material est´a actuando una fuerza y se elimina progresivamente, la curva esfuerzo-deformaci´on, (recorrida en el sentido en que σ disminuye) no pasa

´ CAP´ITULO 7. ELASTICIDAD. MECANICA DE FLUIDOS

178

por los mismos puntos que al aumentar. Este efecto se denomina hist´eresis. Significa que la longitud de un material a una cierta tensi´on no s´olo depende de la tensi´on en ese momento, sino tambi´en de las que ha experimentado anteriormente, es decir, de su historia el´astica. As´ı ser´ıan las curvas de hist´eresis para un material el´astico y pl´astico.

σ

material elástico

material plástico

σ

deformación permanente

ε

ε

La deformaci´on del material depende, adem´as de f~ como vector, del tiempo que se aplica la fuerza. El diagrama deformaci´on-tiempo ser´ıa as´ı:

on

actúa f

off

ε Mat. elástico

Mat. plástico

deform. permanente

t

´ 7.1. PROPIEDADES ELASTICAS DE LOS MATERIALES

7.1.2.

179

Materiales el´ asticos

Estudiaremos m´as detalladamente la relaci´on entre la tensi´on y la deformaci´on de un material t´ıpicamente el´astico como puede ser una goma de caucho. A tensiones bajas el material se comporta linealmente y verifica la ley de Hooke: f = k∆`, donde k es la constante de Hooke correspondiente que depende de las caracter´ısticas microsc´opicas del material, de `0 y de la temperatura. En el resto de la zona el´astica donde el material se aleja del comportamiento lineal, una buena aproximaci´on a la curva, f = f (`), viene dada por la denominada ley de Kuhn:

 f =A

` `20 − `0 `2



donde A es una constante caracter´ıstica del material. En t´erminos de la deformaci´on relativa

ε = ∆`/`0

−→

`/`0 = ε + 1

=⇒

 f =A 1+ε−

 1 . (1 + ε)2

La ley de Hooke se puede recuperar como un desarrollo en serie de esta ecuaci´on para deformaciones peque˜ nas. En general,

1 ' 1 − 2x + 3x2 + . . . (1 + x)2

Truncando el desarrollo a primer orden:

f ' A [1 + ε − (1 − 2ε)] = 3Aε = 3A

Luego comparando con la ley de Hooke, k = 3A/`0 .

` − `0 . `0

(7.1)

´ CAP´ITULO 7. ELASTICIDAD. MECANICA DE FLUIDOS

180

f límite lineal

Kuhn

∆l

7.1.3.

Constantes el´ asticas

Se denomina as´ı a los diferentes par´ametros que caracterizan el comportamiento el´astico de un material en funci´on del tipo de esfuerzo aplicado.

a) M´odulo de Young (Y). Y ≡

σ ε

S.I. −→ N/m2 ≡ Pa

Esta unidad, el Pascal, como veremos un poco m´as adelante es la unidad de presi´on en el S.I. Mide el comportamiento del material sometido a una fuerza de tracci´on (estiramiento) o compresi´on. Para un material que obedece la ley de Kuhn: Y = 3A/S (ver Eq. (7.1)). Por ejemplo, para una goma de caucho, Y ' 1 × 106 − 2 × 106 Pa. b) M´odulo de cizalladura (C). Otro tipo de elasticidad proviene del caso en que una de las caras del cuerpo permanezca en posici´on fija y act´ ue una fuerza tangencial sobre la opuesta tal y como se muestra en el siguiente esquema.

´ 7.1. PROPIEDADES ELASTICAS DE LOS MATERIALES

181

f ∆x

h A

Este tipo de deformaci´on se denomina cizalladura y en ella no tiene lugar cambio de volumen del sistema. C≡

f /A ∆x/h

S.I. −→ N/m2 = Pa.

c) M´odulo de compresibilidad (k). Otro tipo de deformaci´on es el experimentado cuando sobre cada uno de los puntos de las caras exteriores de un objeto act´ ua una misma fuerza en m´odulo. O sea, un sistema sometido a una presi´on uniforme. En este caso se produce un cambio de volumen, pero no un cambio en la forma.

∆P

V V0

´ CAP´ITULO 7. ELASTICIDAD. MECANICA DE FLUIDOS

182

Se define la compresibilidad como la variaci´on de la presi´on respecto a la variaci´on del volumen del sistema. k=−

∆P ; ∆V /V0

S.I. −→ N/m2 = Pa.

Se introduce un signo negativo en la definici´on para que sea un n´ umero positivo: ∆P > 0

−→

∆V < 0

−→

k>0

∆P < 0

−→

∆V > 0

−→

k>0

En la siguiente tabla representamos valores num´ericos concretos para los m´odulos que hemos definido. N´otese que los l´ıquidos no tienen ni m´odulo de Young ni cizalladura, porque son fluidos.

7.2.

Material

Y (N/m2 )

C (N/m2 )

k (N/m2 )

Aluminio Cobre Acero Tungsteno Vidrio Agua Mercurio

7 × 1010 11 × 1010 11 × 2010 35 × 1010 6,5 − 7,8 × 1010 − −

2,5 × 1010 4,2 × 1010 8,4 × 1010 14 × 1010 2,6 − 3,2 × 1010 − −

7 × 1010 14 × 1010 16 × 1010 20 × 1010 5,0 − 5,5 × 1010 0,21 × 1010 2,8 × 1010

Estados de la materia

Normalmente, la materia se clasifica seg´ un tres tipos de estados: s´olido, l´ıquido y gaseoso, aunque en ciertas condiciones muy especiales se puede hablar de un cuarto estado de la materia, el plasma. Las diferencias entre unos estados y otros se pueden entender a varios niveles: A nivel macrosc´opico, los s´olidos tienen forma y volumen definidos. Sin embargo, los fluidos en general no tienen forma definida. Dentro de ellos, los l´ıquidos

7.2. ESTADOS DE LA MATERIA

183

s´ı tienen un volumen concreto (en el sentido de que su compresibilidad es peque˜ na), pero los gases, debido a su alta compresibilidad ni siquiera tienen un valor definido, sino que ocupan por completo el volumen donde est´en confinados. A nivel microsc´opico, los s´olidos est´an formados por a´tomos o mol´eculas que ocupan puntos fijos del espacio, no se trasladan, aunque s´ı pueden vibrar. Las mol´eculas que forman l´ıquidos y gases se mueven m´as o menos libremente por el espacio. Atendiendo a la forma en que est´an dispuestos los a´tomos en un s´olido, ´estos se dividen en amorfos y cristalinos. En estos u ´ltimos, los a´tomos se distribuyen de forma ordenada sobre una red en el espacio. Por contra, los amorfos est´an formados por a´tomos distribuidos de forma irregular. La distribuci´on espacial de las mol´eculas que componen la materia se debe a la relaci´on entre las energ´ıas cin´etica y potencial a nivel microsc´opico.   S´olidos: U >> K      L´ıquidos: U ∼ K

−→ −→

   Gases: U > K        L´ıquidos: U ∼ K          Gases: U > A1 y se ejerce una fuerza, f1 , sobre A1 , la presi´on, P = f1 /A1 , se debe transmitir por igual a todos los puntos, en particular a la zona A2 . P =

f1 f2 = A1 A2

−→

f2 =

A2 f1 >> f1 . A1

Luego la fuerza en 2 es mucho mayor que en 1 y permite elevar objetos muy pesados. Supongamos como caso num´erico particular, que el ´embolo grande de un elevador hidr´aulico tiene un radio de 20 cm. ¿Qu´e fuerza debe aplicarse al ´embolo peque˜ no, de radio 2 cm, para elevar un coche de masa 1500 kg? Para elevar el coche hay que contrarrestar su peso, luego debe ser como m´ınimo f2 = mg = 1,47 × 104 N. f1 =

A1 πr2  f2 = 12 mg = 147 N. A2 πr2 

Es decir, que la fuerza a aplicar en el ´embolo peque˜ no es cien veces m´as peque˜ na que el propio peso del coche.

7.3.5.

Principio de Arqu´ımedes

”Cualquier cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba por una fuerza que es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo”. Adem´as, la fuerza de empuje tiene una l´ınea de acci´on que pasa por el centro de gravedad del fluido desalojado, es vertical y hacia arriba. La comprobaci´on de este principio a partir de las leyes de Newton es sencilla.

´ CAP´ITULO 7. ELASTICIDAD. MECANICA DE FLUIDOS

190

fluido desalojado

objeto

Cuando el objeto est´a sumergido, se encuentra en equilibrio traslacional y rotacional, al igual que el fluido inicialmente. La fuerza que el resto del fluido ejerce sobre el cuerpo es igual a la que ejerce sobre ese mismo volumen de fluido. Y esa fuerza coincide precisamente con el peso del fluido. Adem´as debe estar dirigida hacia arriba y vale: fe = ρf gVf , donde ρf es la densidad del fluido y Vf el volumen desalojado. Caso I. Objeto totalmente sumergido, Vf = Vc (Vc , volumen del cuerpo). ( empuje −→ fe = ρf gVc −→ fneta = fe − P = (ρf − ρc )gVc peso del cuerpo −→ P = ρc gVc Entonces existen dos posibilidades: ( ρf > ρc =⇒ fneta hacia arriba ρf < ρc =⇒ fneta hacia abajo

−→ −→

el objeto flota el objeto se hunde

Un hecho importante es que cuando un objeto se pesa en el aire sufre un empuje ascensional, debido a que el aire es un fluido. Pero su densidad es tan peque˜ na que este empuje no es m´as que una correcci´on peque˜ n´ısima al peso del cuerpo en el vac´ıo. Caso II. Objeto parcialmente sumergido, Vf 6= Vc .

7.4. FLUIDOS EN MOVIMIENTO

191

En este caso la fuerza de empuje y el peso del objeto deben ser iguales, para que exista equilibrio. ( empuje −→ peso del cuerpo −→ como P = fe

−→

ρc Vc = ρf Vf

fe = ρf gVf P = ρc gVc =⇒

Vf =

ρc Vc . ρf

7.3.3 Ejemplo ¿Qu´e fracci´on del volumen de un iceberg queda debajo del mar? (

Vf =

7.4.

ρc Vc ρf

−→

ρf = ρmar = 1, 024 g/cm3 ρc = ρhielo = 0, 917 g/cm3 Vf ρc 0, 917 = = = 0,895 Vc ρf 1, 024

=⇒

89,5 %

Fluidos en movimiento

Hasta ahora hemos estudiado fluidos en reposo. Dedicaremos ahora nuestra atenci´on al estudio de la din´amica de fluidos. Para ello consideraremos la variaci´on de las propiedades del fluido en un punto determinado como funci´on del tiempo. Es decir, no estudiaremos la variaci´on en el tiempo de la posici´on de cada part´ıcula, sino de las propiedades globales del fluido.

7.4.1.

Fluido ideal

Cuando un fluido est´a en movimiento existen dos grandes tipos de flujo: i) Estacionario: Cada part´ıcula del fluido sigue un camino uniforme y las trayectorias de dos part´ıculas no se cortan. La velocidad, presi´on y densidad del fluido en un punto cualquiera no dependen del tiempo, aunque s´ı var´ıen de punto a punto del fluido. Estas condiciones suelen verificarse cuando las velocidades del flujo son peque˜ nas.

´ CAP´ITULO 7. ELASTICIDAD. MECANICA DE FLUIDOS

192

ii) Turbulento: Por encima de una cierta velocidad cr´ıtica (para cada tipo de fluido) el flujo deja de ser estacionario. Se convierte en irregular, se forman remolinos y turbulencias y las velocidades y dem´as par´ametros dejan de ser constantes. Se dice que el flujo es laminar , si se puede asimilar a un conjunto de l´aminas paralelas desliz´andose entre s´ı sin rozamiento. Esto s´olo es una simplificaci´on de trabajo, puesto que en los fluidos reales existen problemas de rozamiento entre unas capas del fluido y otras, con lo que la energ´ıa mec´anica no se conserva ya que parte de la energ´ıa cin´etica se transforma progresivamente en energ´ıa t´ermica. El camino seguido por una part´ıcula del fluido en un flujo estacionario se denomina l´ınea de corriente. La velocidad de la part´ıcula siempre es tangente a la l´ınea de corriente. Dos l´ıneas de corriente no se pueden cortar por considerar el flujo como estacionario. Un conjunto de l´ıneas de flujo se denomina tubo de flujo. El estudio de un fluido real es muy complejo, por lo que comenzaremos modelizando un fluido en base a ciertas hip´otesis sencillas. Se dice que un fluido es ideal si se verifica lo siguiente: a) Fluido no viscoso: se desprecia la fricci´on interna. Un objeto que se desplace dentro del fluido no sufre fuerzas opuestas a su movimiento. b) Flujo estacionario: la velocidad, densidad y presi´on en un punto del fluido son constantes en el tiempo. c) Fluido incompresible: la densidad del fluido es igual en todos los puntos (es constante espacialmente)2 . d) Flujo irrotacional : no hay momento angular del fluido respecto a ning´ un punto. Es decir, si se coloca una peque˜ na rueda en el seno del fluido, simplemente se traslada, no se producen giros3 . 2

Esta suele ser una buena aproximaci´ on en l´ıquidos y tambi´en en gases si no hay grandes diferencias de presi´ on. 3 Por ejemplo, un flujo con turbulencias no es irrotacional.

7.4. FLUIDOS EN MOVIMIENTO

7.4.2.

193

Ecuaci´ on de continuidad

Consideremos ahora una tuber´ıa de secci´on no uniforme por la que circula un flujo estacionario, con la notaci´on de la figura adjunta. Si el fluido es incompresible y el flujo estacionario la masa m1 que pasa por la secci´on de entrada, A1 en un tiempo ∆t debe ser igual que la que pasa por A2 en ese mismo tiempo: ∆m1 = ∆m2 .

v

2

A2

v

1

A1

x2 x1

Si la velocidad del fluido en A1 es v1 , la masa que entra en ∆t recorre un espacio ∆x1 = v1 ∆t, es decir, llena un cilindro de secci´on A1 y longitud x1 . La masa contenida en ´el es: ∆m1 = ρ1 A1 ∆x1 = ρ1 A1 v1 ∆t. En el otro extremo ocurre lo mismo, luego: ∆m2 = ρ2 A2 ∆x2 = ρ2 A2 v2 ∆t, pero como la masa se conserva: ∆m1 = ∆m2

=⇒

 = ρ2 A2 v2  ρ1 A1 v1 ∆t ∆t

=⇒

ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2 .

Esta expresi´on se denomina ecuaci´on de continuidad y no es m´as que una manifestaci´on de la conservaci´on de la masa para un flujo estacionario. En un fluido incompresible la densidad es constante, ρ1 = ρ2 , entonces, A1 v1 = A2 v2

=⇒

Av = cte.

en cualquier par de puntos de la tuber´ıa. Es decir, que la velocidad del fluido en la tuber´ıa es mayor cuanto m´as estrecha es la tuber´ıa y al contrario.

194

7.4.3.

´ CAP´ITULO 7. ELASTICIDAD. MECANICA DE FLUIDOS

Ecuaci´ on de Bernoulli

A medida que un fluido se mueve a lo largo de una tuber´ıa no horizontal y de secci´on variable, la presi´on cambia a lo largo de la tuber´ıa. Veremos que como consecuencia de la conservaci´on de la energ´ıa se puede construir una ecuaci´on que relacione presi´on, velocidad y altura para un fluido ideal.

v2 f 2=P2 A 2 v1 A2

f 1=P1 A1 A1 y

1

y2

La fuerza sobre el extremo m´as bajo del fluido ser´a f1 = P1 A1 . El trabajo realizado por esta fuerza para desplazar el fluido una distancia ∆x1 ser´a: W1 = f1 ∆x1 = P1 A1 ∆x1 = P1 ∆V. Del mismo modo, para el punto 2 y para el mismo tiempo: W2 = P2 ∆V. Los dos incrementos de volumen son iguales puesto que la masa se conserva y la densidad en el fluido es constante. W = W1 − W2 = (P1 − P2 )∆V. Adem´as del trabajo para variar la presi´on del fluido, existir´a otro asociado a la variaci´on de energ´ıa potencial gravitatoria: Wg = −∆mg(y2 − y1 ) = −∆Ug .

7.4. FLUIDOS EN MOVIMIENTO

195

El trabajo total ser´a Wt = W + Wg y aplicando el teorema trabajo-energ´ıa, 1 Wt = ∆Ec = ∆m(v22 − v12 ), 2 se obtiene: ∆Ec = W + Wg

1 (P1 − P2 )∆V = ∆m(v22 − v12 ) + ∆mg(y2 − y1 ). 2

=⇒

Dividiendo cada t´ermino por ∆V y teniendo en cuenta que ρ = ∆m/∆V , 1 P1 − P2 = ρ(v22 − v12 ) + ρg(y2 − y1 ) 2

1 1 P1 + ρv12 + ρgy1 = P2 + ρv22 + ρgy2 2 2

=⇒

Esta es la ecuaci´on de Bernoulli , que establece que la suma de la presi´on, la energ´ıa cin´etica por unidad de volumen y la energ´ıa potencial por unidad de volumen es constante a lo largo de una l´ınea de corriente. Escrita de forma m´as general: 1 P + ρv 2 + ρgy = cte. 2 Casos particulares: Cuando el fluido est´a en reposo, v1 = v2 = 0

=⇒

P1 − P2 = ρgh

lo que est´a de acuerdo con la variaci´on de presi´on con la profundidad para un fluido incompresible. Tuber´ıa horizontal de secci´on no constante. y1 = y2

−→

1 P + ρv 2 = cte. 2

Esto quiere decir que cuando aumenta la velocidad del fluido, debe disminuir la presi´on y, al contrario, para que esa suma permanezca constante. Este resultado se suele conocer como efecto Venturi. Esto tambi´en se puede asociar a la ecuaci´on de continuidad, Av = cte. A ↓↓ −→

v ↑↑ −→

P ↓↓

A ↑↑ −→

v ↓↓ −→

P ↑↑

´ CAP´ITULO 7. ELASTICIDAD. MECANICA DE FLUIDOS

196

El efecto Venturi tiene una aplicaci´on real muy interesante. El ala de los aviones se dise˜ na de manera que el aire se mueva con m´as rapidez en su parte superior que en la inferior. Esta diferencia de velocidades da lugar a una diferencia de presiones que tiene como efecto el provocar un empuje ascensional sobre el ala que hace elevarse el avi´on.

fe

v1 P1

P2 v2

v1 > v2

−→

P1 < P2

−→

f~e

hacia arriba

Estas fuerzas se denominan fuerzas de sustentaci´on. Su valor depende de la velocidad del avi´on, el ´area del ala, su forma y su inclinaci´on respecto a la horizontal.

7.5.

Fluidos viscosos

Seg´ un la ecuaci´on de Bernoulli, si un fluido circula de forma estacionaria por una tuber´ıa horizontal y de secci´on constante, la presi´on debe ser la misma en todos los puntos.4 En la pr´actica, sin embargo, se observa una ca´ıda de presi´on seg´ un nos desplazamos en la direcci´on del flujo. Dicho de otro modo, para que efectivamente exista un flujo 4

1 P + ρv 2 = cte. 2 Si v = cte. −→ P = cte. y v = cte. si la secci´on de la tuber´ıa lo es, por la ecuaci´on de continuidad. Entonces en una tuber´ıa horizontal de secci´on constante, si el fluido es ideal, la presi´on es constante a lo largo de la tuber´ıa.

7.5. FLUIDOS VISCOSOS

197

de materia debe haber una diferencia de presi´on entre los extremos del fluido. Esta diferencia est´a asociada a las fuerzas de rozamiento internas que hay que vencer para que se produzca un flujo de materia. Estas fuerzas de rozamiento o viscosas se producen tanto entre el fluido y las paredes de la tuber´ıa, como entre las distintas l´aminas de fluido. Tienen tambi´en como consecuencia que la velocidad del fluido no sea igual en todos los puntos de la tuber´ıa, sino mayor en el eje central y menor junto a las paredes.

l r v A P2

P1

∆P = P1 − P2 = vAR, donde R es una constante que mide la resistencia al flujo. Depende de la longitud de la tuber´ıa, de su radio y de la viscosidad del fluido, que definiremos a continuaci´on. Supongamos un fluido en r´egimen laminar, y consideremos una porci´on de modo que la parte inferior se mantiene en reposo y a la superior se le aplica una fuerza f~ que hace que las l´aminas superiores se desplacen a una velocidad ~v 5 . Por efecto de la viscosidad, la velocidad de las placas ir´a descendiendo en las inferiores. Si A es el a´rea de cada placa, se define la viscosidad como: η=

f /A . v/z

f v z v=0 5

Los fluidos en que la fuerza aplicada y la velocidad resultante de las l´aminas superiores es propor´ cional se denominan newtonianos. Estos son por ejemplo el agua y el aire. En otros como la sangre o ciertos pl´ asticos la fuerza es proporcional al cuadrado de la velocidad.

´ CAP´ITULO 7. ELASTICIDAD. MECANICA DE FLUIDOS

198 Unidades de η:

S.I.

−→

S. ceg.

−→

N.s = Pa.s ≡ 10 poise m2 dina.s = poise cm2

Los ´ordenes de magnitud de la viscosidad de algunos fluidos se representan en la siguiente tabla. Fluido

t (o C)

η (mPa · s)

Agua

0 20 60 37 30 0 20 60 20

1.8 1.0 0.65 4.0 200 104 1,41 × 103 81 1,8 × 10−2

Sangre Aceite de motor Glicerina

Aire

Generalmente, la viscosidad aumenta al disminuir la temperatura. En t´erminos de η, se puede demostrar que la resistencia al flujo, R, viene dada por: R=

8η` , πr4

que sustituida en la expresi´on para a ca´ıda de presi´on en una tuber´ıa horizontal de secci´on circular resulta: 8η` Av, πr4 que se denomina ley de Poiseuille. Luego la ca´ıda de presi´on en proporcional a la ∆P =

viscosidad e inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio de la tuber´ıa. Cuando la velocidad de flujo de un fluido es suficientemente grande, se rompe el flujo laminar y aparecen turbulencias, con torbellinos o remolinos que complican mucho el estudio de la din´amica del fluido. Se puede definir un par´ametro adimensional que caracteriza el r´egimen laminar o turbulento. NR =

2rρv . η

7.5. FLUIDOS VISCOSOS Se denomina n´ umero de Reynolds y aproximadamente: ( NR < 2000 −→ r´egimen laminar NR > 2000 −→ r´egimen turbulento

199

´ CAP´ITULO 7. ELASTICIDAD. MECANICA DE FLUIDOS

200

7.6.

Problemas

1. Un bloque de un material desconocido pesa 3 N en aire y 1,89 N cuando est´a sumergido en agua. ¿Cu´al es su densidad? ¿Qu´e correcci´on deber´a tenerse en cuenta debido a la fuerza ascensional en el aire cuando se pesa en ´el? (Respuestas: ρ = 2,7 × 103 kg/m3 ; Paire /Pvacio = 0,9995 ) 2. La tensi´on superficial del mercurio es 0,465 N/m y θc = 140o . En un recipiente lleno de mercurio se introduce un tubo capilar de 3 mm de radio. ¿Cu´al es la altura del mercurio en el tubo? (Respuestas: h = −1,78 mm ) 3. Un dep´osito de agua tiene un peque˜ no orificio a una distancia h por debajo de la superficie del agua. Halla la velocidad del agua cuando escapa por el orificio. (Respuestas: vb = (2gh)1/2 mm ) 4. Por una tuber´ıa horizontal circula agua a 4 m/s bajo una presi´on de 200 kPa. La tuber´ıa se estrecha progresivamente hasta llegar a la mitad de su di´ametro original. Halla la velocidad y la presi´on del agua en la parte m´as estrecha de la tuber´ıa. (Respuestas: v2 = 16,0 m/s; P2 = 80 kPa ) 5. Una presa est´a llena de agua hasta una altura H. Si su anchura es a, determ´ınese la fuerza total que act´ ua sobre ella. 1 (Respuestas: P = ρ g a H 2 ) 2 6. Un objeto de aluminio, suspendido de un dinam´ometro, se sumerge completamente en un recipiente con agua. Si su masa es 1 kg y la densidad del aluminio vale 2,7 × 103 kg/m3 , calc´ ulese la tensi´on que marca el dinam´ometro antes y despu´es de sumergir el objeto. (Respuestas: T2 = 6,17 N )

7.6. PROBLEMAS

201

7. Un tubo Venturi tiene como secciones en los puntos 1 y 2, A1 y A2 . Si la diferencia de presiones en estos puntos, P1 − P2 , es conocida, calcula la velocidad del flujo en el punto 2.  (Respuestas: v2 = A1

2(P1 − P2 ) ρ(A21 − A22 )

1/2 )

8. Una placa de metal de 0,15 m2 de a´rea se conecta por medio de una polea ideal a una masa de 8 g. Se coloca un lubricante de 0,3 mm de espesor entre la placa y la superficie. Cuando se libera el sistema, se observa que la placa se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 0,085 m/s. Determ´ınese la viscosidad del lubricante. (Respuestas: η = 5,53 × 10−3 Pa.s ) 9. Un lingote de oro y cobre pesa 6660 g. Sumergido en el agua pesa 6250 g. Sabiendo que las densidades del oro y del cobre son 19,5 g/cm3 y 8,9 g/cm3 respectivamente, calc´ ulese el tanto por ciento de oro que contiene el lingote. mo (Respuestas: = 83,1 % ) mo + mc 10. Un cubo de un material de densidad 0,7 g/cm3 y de 20 cm de arista est´a en el fondo de un recipiente que contiene aceite (ρa = 0,8 g/cm3 ) a 40 cm de la superficie. Su base inferior est´a sobre un orificio circular de 200 cm2 de una ca˜ ner´ıa de desag¨ ue que sobresale 2 mm del fondo del recipiente. Calcula la presi´on del aire que habr´a que inyectar por la ca˜ ner´ıa de desag¨ ue para que el cubo se desprenda. (Respuestas: P = 4,31 × 103 Pa ) 11. Un globo lleno de gas sufre una fuerza de fricci´on con el aire que viene dada por: fr = 0,2 v, donde v es su velocidad en el S.I.. Si la masa total del globo y el gas que contiene es 10 g y el globo parte del reposo: a) Representa gr´aficamente la aceleraci´on del globo en funci´on de la velocidad si el empuje es de 1,8 N. b) ¿Cu´al es la m´axima velocidad que alcanzar´a el globo? (Respuestas: b) vmax = 8,5 m/s)

202

´ CAP´ITULO 7. ELASTICIDAD. MECANICA DE FLUIDOS

12. Para medir la velocidad de las aguas de un r´ıo se introduce en ´el un tubo acodado en a´ngulo recto con un peque˜ no orificio en su extremo. El agua asciende en el tubo una altura h = 10 cm. Calcula la velocidad del r´ıo. (Respuestas: v = 1,4 m/s ) 13. El ala de un avi´on tiene 4 m2 de superficie y 300 kg de masa. La velocidad del aire en la cara superior es de 70 m/s y debajo de la cara inferior 50 m/s. ¿Cu´al es la fuerza de sustentaci´on del ala? ¿Cu´al es la fuerza total que act´ ua sobre ella? (densidad del aire: ρ = 1,29 kg/m3 ). (Respuestas: f = 3252 N ) 14. Un dep´osito de gran superficie, de 10 m de altura, se encuentra lleno de agua. De una pared lateral sale una tuber´ıa de 500 cm2 de secci´on, que acaba horizontalmente 2 m por debajo del dep´osito. En la parte final de este tramo horizontal la tuber´ıa se estrecha hasta presentar una secci´on final uniforme de 250 cm2 . Calcula la presi´on en la parte horizontal de la tuber´ıa de secci´on 500 cm2 . (Respuestas: P = 1,88 × 105 Pa ) 15. Disponemos de una plancha de corcho de 1 dm de espesor. Calcula la superficie m´ınima que debe tener para flotar en el agua sosteniendo a un naufrago de 70 kg. Masa espec´ıfica del corcho: 0,24 g/cm3 . (Respuestas: A = 0,92 m2 ) 16. Un objeto de corcho se deja caer desde una altura de 5 m sobre la superficie de un lago. Considerando que se opone al movimiento el empuje del agua y que la densidad del corcho es 0,2 g/cm3 , calcula: a) ¿Cu´anto se hunde el objeto en el agua? b) ¿Cu´anto tiempo tarda en llegar a esa profundidad y volver a la superficie? (Respuestas: a) h0 = 1,25 m;

b) T = 0,5 s )

7.6. PROBLEMAS

203

17. Destapamos un orificio de radio R1 que se encuentra en el fondo de un dep´osito cil´ındrico lleno de agua que tiene radio R2 y una altura H. Si el proceso de vaciado no es turbulento, obt´engase el tiempo que tarda en vaciarse el dep´osito.  1/2 1 2H 4 4 (r2 − r1 ) ) (Respuestas: T = 2 r1 g 18. Un vaso cil´ındrico tiene un radio de 5 cm y se encuentra lleno de agua hasta una altura de 20 cm. Se echa un cubito de hielo de arista 1 cm. Calcular el incremento de presi´on sobre el fondo del vaso al echar el cubito. (Datos: ρagua = 103 kg/m3 ; ρhielo = 900 kg/m3 .)

Parte II Fundamentos de oscilaciones y ondas

Cap´ıtulo 8 Movimiento oscilatorio 8.1.

Introducci´ on

Los principales objetivos de los cap´ıtulos dedicados a la Mec´anica Cl´asica fueron c´omo predecir el movimiento de un cuerpo si se conocen su estado inicial (velocidad y posici´on) y las fuerzas que act´ uan sobre ´el. Un caso particular es cuando la fuerza es proporcional al desplazamiento del cuerpo desde su posici´on de equilibrio. Si dicha fuerza siempre est´a dirigida hacia la posici´on de equilibrio se produce un movimiento de ida y vuelta, es decir, un movimiento peri´odico u oscilatorio. En F´ısica, y en la Naturaleza en general, hay gran variedad de ejemplos de este tipo de movimiento y de ah´ı la importancia de su estudio: los latidos del coraz´on el movimiento del p´endulo de un reloj la vibraci´on de las mol´eculas de un s´olido alrededor de sus posiciones de equilibrio la corriente el´ectrica que circula por el filamento de una bombilla las vibraciones de las cuerdas de un viol´ın. El movimiento oscilatorio est´a intr´ınsecamente relacionado con los fen´omenos ondulatorios. Cuando vibra la cuerda de un viol´ın se producen oscilaciones de las mol´eculas del aire que lo rodea y, por el contacto o interacci´on entre unas y otras, las oscilaciones se propagan en el espacio en forma de onda. Luego, por ejemplo, el sonido y

CAP´ITULO 8. MOVIMIENTO OSCILATORIO

208

su transmisi´on (como veremos en el siguiente tema) no son m´as que consecuencia de movimientos de tipo oscilatorio. El ejemplo m´as sencillo de movimiento oscilatorio es el denominado movimiento arm´onico simple (MAS) que se produce cuando un cuerpo oscila indefinidamente entre dos posiciones espaciales fijas sin perder energ´ıa mec´anica. Adem´as de ser el tipo de movimiento oscilatorio m´as f´acil de describir matem´aticamente, constituye una buena aproximaci´on a muchas oscilaciones que se encuentran en la Naturaleza.

8.2.

Cinem´ atica del movimiento arm´ onico simple

Se dice que una part´ıcula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento arm´onico simple cuando su desplazamiento respecto a su posici´on de equilibrio var´ıa con el tiempo de acuerdo con la relaci´on 1 : x(t) = A cos(ωt + δ), donde A, ω y δ son constantes del movimiento 2 . La representaci´on gr´afica de x = x(t) tiene esta forma:

x A ωt= π/2

ωt=2 π

ωt= π

ωt=3 π/2

t

T

Conceptos b´asicos en la descripci´on de este tipo de movimiento son los siguientes: A: Amplitud −→ m´aximo desplazamiento de la part´ıcula (negativo o positivo) respecto de su posici´on de equilibrio. 1

Conviene recordar que las funciones sen x y cos x son peri´odicas: sen(x + 2nπ) = sen x; cos(x + 2nπ) = cos x. Por lo que, como veremos m´ as adelante est´a funci´on para x(t) representa un movimiento peri´ odico en el tiempo. 2 Sabiendo que cos x = sen(x + π/2), se puede definir un MAS alternativamente seg´ un x(t) = A sen(ωt + δ + π/2) ≡ A sen(ωt + δ 0 ).

´ ´ 8.2. CINEMATICA DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

209

δ: Desfase inicial −→ junto a la amplitud indica cuales son las condiciones iniciales del movimiento. Se determina, como veremos m´as adelante, a partir de la posici´on y velocidad iniciales. ωt + δ: Fase. T : Periodo. Es el tiempo que necesita la part´ıcula para realizar un ciclo completo de su movimiento. Es decir, x(t) = x(t + T ). En el tiempo T la fase aumenta 2π. ω(t + T ) + δ = ωt + δ + 2π

−→

ωT = 2π

−→

ω=

2π T

o´ T =

2π . ω

ω: Frecuencia angular (se mide en el S.I. en rad/s). f = 1/T : Frecuencia −→ n´ umero de oscilaciones por unidad de tiempo que realiza la part´ıcula: 2πf = ω. En el S.I. se mide en 1/s o´ herzios (Hz).

δ=0 x(t)

t

-A

v(t) t -ωA

a(t) t -ω 2A

CAP´ITULO 8. MOVIMIENTO OSCILATORIO

210

La velocidad y la aceleraci´on de una part´ıcula que realiza un MAS se obtienen sin m´as que derivar su posici´on en funci´on del tiempo:

dx = −ωA sen(ωt + δ) dt dv = −ω 2 A cos(ωt + δ) = −ω 2 x(t). a(t) = dt v(t) =

(8.1) (8.2)

v(t) y a(t) son tambi´en funciones oscilantes y tienen la misma frecuencia que x(t), pero diferente amplitud y desfase:   x −→ xmax = A Amplitudes : v −→ vmax = ωA   a −→ amax = ω 2 A ( x − v −→ π/2 Desfases : x − a −→ π La amplitud, A, y el desfase, δ, del movimiento se obtienen a partir de las condiciones iniciales del siguiente modo: −→

x(t) = A cos(ωt + δ)

v(t) = −Aω sen(ωt + δ)

x(t = 0) ≡ x0 = A cos δ

−→

v(t = 0) ≡ v0 = −Aω sen δ.

Dividiendo ambas ecuaciones: v0 = −ω tan δ x0

−→

v0 tan δ = − ωx0

Por otra parte:

x  0 A − v0 Aω

=⇒

  v0 δ = arctan − . ωx0

(8.3)

= cos δ = sen δ

Elevando al cuadrado y sumando: x20 v02 + =1 A2 A2 ω 2

−→

2

A =

x20

v2 + 02 ω

 =⇒

A=

x20

v2 + 02 ω

1/2 .

(8.4)

Para concluir este apartado resumiremos las propiedades m´as importantes de la cinem´atica del MAS:

´ ´ 8.3. DINAMICA DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

211

1. x(t), v(t) y a(t) son funciones oscilantes (senoidales) pero de diferentes amplitudes y desfasadas entre s´ı. 2. La aceleraci´on es proporcional al desplazamiento, pero en sentido opuesto. 3. La frecuencia y el periodo del movimiento son independientes de la amplitud.

8.3.

Din´ amica del movimiento arm´ onico simple

Ahora que ya sabemos c´omo describir el movimiento arm´onico simple, investigaremos sus posibles causas, es decir, las fuerzas que lo provocan. El sistema f´ısico m´as sencillo que da lugar a un movimiento de este tipo es un muelle que horizontalmente sujeta una masa (y se desprecian los rozamientos).

k

x

x=0

-x

CAP´ITULO 8. MOVIMIENTO OSCILATORIO

212

Cuando la masa se desplaza ligeramente de su posici´on de equilibrio el muelle ejerce una fuerza sobre ella proporcional a la elongaci´on pero con signo opuesto a ella y que viene dada por la ley de Hooke, f = −kx, donde k es una constante que depende de las caracter´ısticas del muelle. Despejando la aceleraci´on (f = ma): a=−

k x. m

Luego al igual que en el MAS, la aceleraci´on es proporcional en m´odulo al desplazamiento y de sentido opuesto. Comprobemos que, efectivamente, la masa realiza un MAS estudiando la ecuaci´on de movimiento, d2 x k = − x. dt2 m Es f´acil comprobar que la soluci´on de esta ecuaci´on puede escribirse:  x(t) = A cos(ωt + δ) En efecto:

 dx     dt

donde

ω=

k m

1/2 .

= −Aω sen(ωt + δ)

 2    d x = −Aω 2 cos(ωt + δ) dt2 k =⇒ −Aω 2 cos(ωt + δ) = − A cos(ωt + δ) m

debe ser ω 2 =

k . m

Con esto podemos concluir que siempre que sobre una part´ıcula act´ ue una fuerza proporcional a su desplazamiento y en sentido opuesto a ´este, realiza un MAS. El periodo y la frecuencia del desplazamiento son:   1/2  T = 2π = 2π m  ω  k 1/2 1 1 k   f = = T 2π m T y f s´olo dependen de la masa y de la construcci´on del resorte. La frecuencia es mayor para un resorte duro y al contrario.

´ 8.4. ENERG´IA DE UN OSCILADOR ARMONICO SIMPLE

8.4.

213

Energ´ıa de un oscilador arm´ onico simple

En temas anteriores ya estudiamos que un sistema masa-resorte es conservativo y que su energ´ıa potencial viene dada por: 1 U (x) = kx2 . 2 La energ´ıa total del sistema ser´a: 1 1 E = Ec + U = mv 2 + kx2 . 2 2 Por el principio de conservaci´on de la energ´ıa, E debe ser una constante del movimiento (si despreciamos las fuerzas de tipo no conservativo), por lo que para calcularla podemos elegir el punto m´as c´omodo. Elijamos, por ejemplo, el punto donde la elongaci´on es m´axima y la velocidad nula, es decir, en los extremos de la trayectoria: x = A cos(ωt + δ)

−→

v = −Aω sen(ωt + δ)

−→

x=A v = 0.

E=cte. U(t) Ec (t)

t En ese punto: 1 E = kA2 . 2 Esta es la energ´ıa de un MAS. Como vemos s´olo depende de la amplitud del movimiento y de la constante del muelle. Como la energ´ıa mec´anica es constante es instructivo

CAP´ITULO 8. MOVIMIENTO OSCILATORIO

214

representar c´omo se compensan Ec y U en un diagrama de energ´ıas frente al tiempo (en la figura se ha elegido δ = 0). 1 1 U = kx2 = kA2 cos2 (ωt + δ) 2 2 1 1 Ec = mω 2 A2 sen2 (ωt + δ) = kA2 sen2 (ωt + δ). 2 2 La energ´ıa cin´etica tambi´en se puede expresar en t´erminos de la posici´on: 1 1 Ec = E − kx2 = k(A2 − x2 ), 2 2 que es la ecuaci´on de una par´abola invertida y centrada en x = 0.  1/2 k 2 1 2 1 2 2 2 −→ v= (A − x ) . Ec = mv = k(A − x ) 2 2 m De esta ecuaci´on se deduce inmediatamente que la velocidad es m´axima en x = 0 y que se anula en los puntos de m´axima elongaci´on: x = ±A.

E Ec (x)

U(x)

x

-A

8.5. 8.5.1.

A

Ejemplos de movimiento arm´ onico simple Muelle vertical

La ecuaci´on de movimiento de un objeto colgado de un muelle vertical viene dada por: m

d2 y = −ky − mg, dt2

´ 8.5. EJEMPLOS DE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

215

ecuaci´on diferencial que difiere de la de un oscilador arm´onico simple en el t´ermino constante mg 3 . Al colgar la masa del muelle en reposo ´este se deforma una cierta elongaci´on, de manera que cuando alcanza el equilibrio se verifica: 0 = −ky0 − mg

−→

y0 = −

mg , k

donde y0 es la nueva posici´on de equilibrio. Haciendo el cambio de variable,

y 0 ≡ y − y0

=⇒

m

→

 dy     dt

=

dy 0 dt

 2   d y dt2

=

d2 y 0 dt2

d2 y 0 = −k(y 0 + y0 ) − mg = −ky 0 . 2 dt

k

y0

y0 y y'

m

Tras este cambio de variables la ecuaci´on de movimiento obtenida es id´entica a la de un MAS (es decir, que si despu´es de alcanzarse el equilibrio gravitacional, la masa experimenta una elongaci´on, el movimiento que se produce es un MAS alrededor de esa posici´on de equilibrio). Su soluci´on ser´a: r y 0 = A cos(ωt + δ) 3

Criterio de signos para y: ↑ y > 0;

↓ y < 0.

con ω =

k . m

CAP´ITULO 8. MOVIMIENTO OSCILATORIO

216

Luego el u ´nico efecto de la fuerza gravitatoria es desplazar la posici´on de equilibrio de y = 0 a y 0 = 0 (y = y0 ). La energ´ıa potencial de este muelle ser´a U = ky 02 /2 (U = 0 en y 0 = 0).

8.5.2.

P´ endulo simple

El p´endulo simple consta de una masa puntual, m, suspendida de un hilo de longitud, `, inextensible y de masa despreciable frente a m. El otro extremo del hilo se encuentra sujeto a una posici´on fija. Demostraremos que el p´endulo realiza un MAS cuando se desplaza ligeramente de su posici´on vertical de equilibrio y se deja evolucionar libremente, considerando que no hay rozamientos.

θ l T m s

θ P

La fuerza en la direcci´on tangente al movimiento viene dada por: ft = −mg sen θ = m

d2 s dt2

−→

d2 s d2 θ = ` = −g sen θ dt2 dt2

d2 θ g =⇒ = − sen θ. dt2 ` Si θ es suficientemente peque˜ no se puede hacer la aproximaci´on, sen θ ' θ. Esto se debe a que haciendo un desarrollo en serie de la funci´on sen x se obtiene sen x = x−x3 /3!+. . . y cortando el desarrollo en el primer t´ermino la diferencia entre x y sen x s´olo es de un 1 % cuando θ ∼ 15o .

´ 8.5. EJEMPLOS DE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE x 1

217

4

sen(x)

0.5

3 50

150

250

-0.5

x (º)

|x-sen(x)| x 100 x

350 2 1

-1

5

10

15

20

25

x (º)

30

Luego si el p´endulo no oscila con demasiada amplitud, su ecuaci´on de movimiento angular es la de un MAS: θ = θmax cos(ωt + δ). La frecuencia del movimiento y el periodo son: ω=

 g 1/2 `

;

2π = 2π T = ω

 1/2 ` . g

Ambos par´ametros s´olo dependen de l y g, no de la masa. Entonces todos los p´endulos de igual longitud oscilar´an del mismo modo. El p´endulo simple suele utilizarse en la pr´actica para gran cantidad de aplicaciones que se podr´ıan dividir en dos bloques:

medir tiempos −→ su periodo es constante (salvo rozamientos y variaciones de ` por las condiciones termodin´amicas o´ de g por la latitud o altitud) y es f´acil visualizar el n´ umero de oscilaciones. medir g −→ las medidas de g con este m´etodo son bastante precisas, lo que es importante porque cambios locales de g pueden dar informaci´on valiosa sobre la localizaci´on de recursos minerales o energ´eticos.

8.5.3.

P´ endulo f´ısico

Cualquier s´olido r´ıgido colgado de alg´ un punto que no sea su centro de masas oscilar´a cuando se desplace de su posici´on de equilibrio. Este dispositivo recibe el nombre de p´endulo f´ısico o compuesto.

CAP´ITULO 8. MOVIMIENTO OSCILATORIO

218

eje de giro

z m, I

h φ h sen φ

c.m.

P

El momento del peso respecto al eje de giro ser´a τ = mgh sen φ y la segunda ley de Newton para la rotaci´on se expresar´a, τ = Iα = I

d2 φ dt2 .

El momento ejercido por la gravedad tiende a disminuir el ´angulo φ por lo que: −mgh sen φ = I

d2 φ dt2

−→

d2 φ mgh =− sen φ. 2 dt I

Para un p´endulo simple, I = ml2 y h = l, con lo que se recuperan las ecuaciones del apartado anterior. Cuando los desplazamientos angulares son peque˜ nos sen φ ' φ y  1/2  1/2 d2 φ mgh mgh I 2 =− φ = −ω φ donde ω = y T = 2π . dt2 I I mgh Este dispositivo puede utilizarse para determinar momentos de inercia de s´olidos r´ıgidos.

8.5.4.

P´ endulo de torsi´ on

Un p´endulo de torsi´on est´a formado por un cuerpo r´ıgido como un disco o una varilla colgado de una fibra vertical. Cuando se gira el cuerpo tomando como eje la fibra, ´esta ejerce un momento que tiende a recuperar la situaci´on inicial.

8.6. M.A.S. Y MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

219

k

I θ

Para la mayor´ıa de las fibras el momento suele ser proporcional al desplazamiento angular, τ = −kθ = I

−→

d2 θ dt2

d2 θ k = − θ = −ω 2 θ 2 dt I

=⇒

 1/2 k ω= . I

En este caso no hemos necesitado hacer ninguna aproximaci´on para a´ngulos peque˜ nos. Siempre que el momento de la fuerza restauradora sea lineal con θ se produce un MAS.

8.6.

M.A.S. y movimiento circular uniforme

Existe una relaci´on matem´atica sencilla pero interesante entre el MAS y el movimiento circular uniforme. Consideremos una part´ıcula que se mueve con velocidad v constante sobre una circunferencia de radio A. Su velocidad angular ser´a ω = v/A y si δ es el desplazamiento angular en t = 0, se verifica:

θ = ωt + δ.

220

CAP´ITULO 8. MOVIMIENTO OSCILATORIO y

A

v

θ Acos θ

x

La componente x de su posici´on en funci´on del tiempo se puede obtener as´ı: x = A cos θ = A cos(ωt + δ). Esta ecuaci´on es la del desplazamiento de un MAS. Es decir, la proyecci´on de la posici´on de la part´ıcula sobre el eje x realiza un movimiento oscilatorio de amplitud A y frecuencia angular que coincide con la velocidad angular de rotaci´on. Del mismo modo, la proyecci´on sobre el eje y tambi´en realiza un MAS, pero desplazado π/2 respecto a la proyecci´on sobre x. Por lo tanto, un movimiento circular uniforme se puede considerar como la composici´on de dos movimientos arm´onicos de igual frecuencia y desplazados π/2. A partir de dos movimientos arm´onicos tambi´en es posible describir movimientos m´as complicados. Se denominan figuras de Lissajous. Algunos ejemplos est´an representados en la gr´afica adjunta.

8.6. M.A.S. Y MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

x=sen t y=sen t

x=sen t y=cos t

x=sen t y=sen 2t

x=sen t y=cos 2t 1

x=sen t y=sen 3t

x=sen t y=cos 3t

x=sen t y=sen 4t

x=sen t y=cos 4t

x=sen t y=sen 5t

x=sen t y=cos 5t

221

CAP´ITULO 8. MOVIMIENTO OSCILATORIO

222

8.7.

Movimiento en las proximidades del equilibrio

Siempre que se desplaza una part´ıcula desde una posici´on de equilibrio estable aplic´andole una peque˜ na perturbaci´on, el movimiento que se produce es de tipo arm´onico simple. Supongamos una fuerza arbitraria correspondiente a una cierta funci´on energ´ıa potencial y veamos c´omo son las curvas U = U (x) y f = f (x) sabiendo que f = −dU/dx.

U ~kx 2

x2

x1

x

f f f ~ -kx x1

x2

x

x1

x

En el diagrama de fuerzas, x1 , es una posici´on de equilibrio estable porque por ejemplo un peque˜ no desplazamiento positivo da lugar a una fuerza negativa que tiene a restituir la posici´on de equilibrio. Sin embargo, para x2 desplazamiento y fuerza tienen el mismo signo, es un punto de equilibrio inestable. Ge´ometricamente la fuerza que devuelve la part´ıcula a la posici´on x1 se puede aproximar localmente por una recta de tipo f ∼ −kx (en el diagrama U = U (x) esto corresponde a aproximar el m´ınimo por una par´abola). Matem´aticamente, si x1 es un m´ınimo local de U (x), se puede hacer un desarrollo en

´ 8.8. MOVIMIENTO ARMONICO AMORTIGUADO

223

serie del siguiente modo:  U (x) = U (x1 ) +

dU dx



1 (x − x1 ) + 2! x1



d2 U dx2



(x − x1 )2 + . . .

(8.5)

x1

con lo que a primer orden: dU '− f (x) = − dx



d2 U dx2

 (x − x1 ) ≡ −k(x − x1 ), x1

donde k es una constante. Es decir, que en un entorno de la posici´on de equilibrio la fuerza que act´ ua sobre la part´ıcula se puede aproximar por el tipo de fuerza que provoca un MAS. Podemos concluir, pues, que cuando sobre una part´ıcula en una situaci´on de equilibrio estable act´ ua una perturbaci´on de peque˜ na amplitud la part´ıcula efect´ ua un MAS alrededor de esa posici´on. En resto de los t´erminos despreciados en la ecuaci´on anterior para U (x) se denominan anarm´onicos y son una medida de la diferencia de la forma de U (x) respecto a una par´abola en torno a x1 . En la representaci´on de fuerzas, los t´erminos anarm´onicos son de la forma: −k 0 (x − x1 )2 − k 00 (x − x1 )3 − . . . .

8.8.

Movimiento arm´ onico amortiguado

Los movimientos oscilatorios que hemos considerado hasta ahora se refieren a sistemas ideales, es decir, oscilan indefinidamente bajo la acci´on de una fuerza lineal opuesta al desplazamiento. Sin embargo, en los sistemas reales siempre est´an presentes fuerzas disipativas que hacen que la energ´ıa mec´anica se vaya perdiendo progresivamente. En este caso se dice que el movimiento arm´onico est´a amortiguado. Un tipo habitual de fuerzas de fricci´on son las proporcionales a la velocidad fr = −bv. La ecuaci´on de movimiento de un sistema sometido a una fuerza lineal y otra de rozamiento ser´ıa: m

d2 x = −kx − bv. dt2

Un ejemplo f´ısico de esta situaci´on ser´ıa un muelle sumergido en un fluido. Resolviendo la ecuaci´on diferencial anterior se puede obtener que su soluci´on es de la forma, b

x(t) = Ae− 2m t cos(ωt + δ),

CAP´ITULO 8. MOVIMIENTO OSCILATORIO

224 donde la frecuencia viene dada por:

"

k ω= − m



b 2m

2 #1/2 .

Evidentemente en el l´ımite b = 0 se recupera la soluci´on de un MAS. Exceptuando la exponencial que aparece en la amplitud, el movimiento que resulta es de tipo oscilatorio con una frecuencia menor que si no hubiese rozamiento. Pero, adem´as, el factor exponencial hace que la amplitud del movimiento decrezca de forma progresiva. Si el amortiguamiento es peque˜ no la ecuaci´on anterior da como soluci´on una funci´on de la siguiente forma:

x Ae -(b/2m) t

A

x(t) t

Se dice que el movimiento es subamortiguado. Matem´aticamente se produce cuando (b/2m)2 < k/m. Cuando el amortiguamiento es muy grande [(b/2m)2 > k/m], ni siquiera se producen oscilaciones. Se habla entonces de movimiento sobreamortiguado y la soluci´on matem´atica es: b

x(t) = e− 2m t Aeωt + Be−ωt




8.9. OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIAS

225

x

sobreamortiguado crítico

t

Existe adem´as el caso especial en que (b/2m)2 = k/m. En esta situaci´on, adem´as de no haber oscilaciones la ca´ıda de la amplitud es m´as r´apida que en el caso sobreamortiguado. Se dice que el amortiguamiento es cr´ıtico. Matem´aticamente la soluci´on es de la forma: r x(t) = e−ωt (A + Bt)

con

ω=

k . m

Aunque tampoco lo haremos, se puede demostrar formalmente que la p´erdida de la energ´ıa mec´anica con el tiempo en este tipo de movimiento es exponencial: E = E0 e−t/τ

con

τ=

m , b

donde τ es una constante de tiempo que mide la rapidez con que se pierde la energ´ıa. Se denomina factor de calidad , Q, a una magnitud adimensional que relaciona la energ´ıa total, E, con la energ´ıa p´erdida en un periodo, ∆E: Q ≡ 2π

8.9.

E . | ∆E |

Oscilaciones forzadas y resonancias

Es posible compensar la perdida de energ´ıa de un oscilador amortiguado aplicando una fuerza externa. Esto es, por ejemplo, lo que hace un ni˜ no en un columpio para mantenerse en movimiento. Realiza impulsos sincronizados de cierto modo para que se compensen las fricciones. Otro ejemplo es que para mantener oscilando un muelle

CAP´ITULO 8. MOVIMIENTO OSCILATORIO

226

vertical se puede ejercer una fuerza oscilatoria sobre su soporte para mantener el movimiento. En el caso m´as com´ un las fuerzas aplicadas son peri´odicas, por ejemplo de la forma, f = f0 cos ω0 t.

La ecuaci´on de movimiento ahora ser´a:

m

d2 x dx − kx. = f cos ω t − b 0 0 dt2 dt

La soluci´on de esta ecuaci´on consta de dos partes, la soluci´on transitoria y la soluci´on estacionaria. La transitoria es an´aloga a la de un oscilador amortiguado, con constantes que dependen de las condiciones iniciales. Quiere esto decir que desde que se comienza a aplicar la fuerza externa hasta que desaparece el amortiguamiento y la amplitud se mantiene constante pasa un cierto tiempo. Cuando el movimiento se ha estabilizado la soluci´on de la ecuaci´on es estacionaria, ya no depende de las condiciones iniciales y se puede escribir as´ı, x(t) = A cos(ω0 t − δ),

donde ω = (k/m)1/2 , ω0 es la frecuencia de la fuerza impulsora y:

   A   

=

    tan δ

=

f0 1/2

[m2 (ω02 − ω 2 )2 + b2 ω 2 ] bω − ω2)

m(ω02

Ahora la amplitud depende de dos frecuencias. Si consideramos que la del oscilador, ω es fija y variamos la externa, se obtiene una figura as´ı para la amplitud A:

8.9. OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIAS

A

227

A máx =f0 /bω 0

ω = ω0

ω0

El dr´astico incremento de la amplitud que se produce cuando ω = ω0 se denomina resonancia. F´ısicamente la resonancia se produce cuando la fuerza aplicada y la velocidad del oscilador est´an en fase. Entonces como P = f~.~v , la potencia transferida es m´axima. Ejemplos de situaciones con resonancia son los siguientes:

Cuando nos balanceamos en un columpio buscamos la frecuencia natural del sistema para repetir los impulsos con esa frecuencia. Cuando un pelot´on de soldados marcha por un puente ha de tener cuidado de que la frecuencia del paso no sea la de resonancia del puente. Un vaso se puede romper si se emite cerca de ´el un sonido de frecuencia parecida a su frecuencia de resonancia. Un puente se puede derribar si el viento le proporciona una frecuencia de vibraci´on similar a la de su resonancia. Sintonizar un aparato de radio o TV no es m´as que buscar la frecuencia con que emite la fuente para que coincida en resonancia con la del circuito el´ectrico del receptor.

CAP´ITULO 8. MOVIMIENTO OSCILATORIO

228

8.10.

An´ alisis de Fourier de movimientos peri´ odicos

El movimiento arm´onico simple es u ´nicamente un caso particular de movimiento peri´odico u oscilatorio. En general, un movimiento peri´odico est´a descrito por x = f (t) donde la funci´on f (t) verifica: f (t) = f (t + T ). Es decir, que el valor que toma se repite con periodo T . Por ejemplo, la funci´on que se representa en esta figura es una funci´on peri´odica, pero no arm´onica simple. Sin embargo, se puede expresar como combinaci´on de dos movimientos arm´onicos simples con distintas amplitudes y frecuencias.

T f(t) g (t) 1

g (t) 2

t

f(t)=a sen (ωt)+b sen (2ωt) Un movimiento peri´odico cualquiera se puede siempre expresar como combinaci´on de varios movimientos arm´onicos simples. Matem´aticamente este resultado se conoce como teorema de Fourier : dada una funci´on f (t) peri´odica y con periodo T = 2π/ω siempre se puede expresar como la suma, f (t) =a0 + a1 cos ωt + a2 cos 2ωt + a3 cos 3ωt + . . . + · · · + b1 cos ωt + b2 cos 2ωt + b3 cos 3ωt + . . . De otro modo: f (t) =

n X k=0

[ak cos(kωt) + bk sen(kωt)]

´ ´ 8.10. ANALISIS DE FOURIER DE MOVIMIENTOS PERIODICOS

229

Cada uno de los sumandos se denomina arm´onico o sobretono y los coeficientes ai y bi pesan la importancia de cada uno. El teorema de Fourier demuestra que sus valores son: Z 1 T a0 = f (t) dt; T 0 Z 2 T f (t) cos(kωt) dt; (k > 0) ak = T 0

b0 = 0 bk =

2 T

RT 0

f (t) sen(kωt) dt

Este teorema refuerza una vez m´as la importancia del movimiento arm´onico simple, pues un movimiento peri´odico cualquiera se puede siempre expresar como combinaci´on de diversos MAS. Esta descomposici´on permite entender hechos importantes. Por ejemplo, distintos instrumentos musicales pueden emitir la misma nota o tono (con una frecuencia determinada) y, sin embargo, nosotros percibimos un timbre diferente para cada uno. El mismo tono indica que el periodo que generan es igual en todos los instrumentos, pero la forma de la onda se descompone en distintos arm´onicos porque cada uno la genera con unas determinadas caracter´ısticas. Es decir, el an´alisis de Fourier de cada instrumento es diferente. De hecho es posible generar sonidos haciendo una s´ıntesis de Fourier que no es otra cosa que generar ondas arm´onicas electr´onicamente, con distintas amplitudes y frecuencias y combinarlas para conseguir un determinado sonido. Este es el fundamento de los sintetizadores musicales utilizados actualmente. El m´etodo de Fourier se puede utilizar para analizar funciones no peri´odicas. En este caso es como si el periodo se extendiera desde −∞ hasta +∞. En este caso en vez de analizar la curva en t´erminos de un espectro discreto de frecuencias (ω, 2ω, 3ω, . . . ) se hace en t´erminos de un espectro continuo en el que la frecuencia puede tomar cualquier valor. La amplitud correspondiente a cada frecuencia viene dada por una funci´on llamada transformada de Fourier. Tambi´en es importante el an´alisis de Fourier en Geof´ısica, puesto que las caracter´ısticas espaciales de una anomal´ıa gravitatoria se pueden tambi´en descomponer y analizar como suma de arm´onicos. En este caso la variable no es el tiempo sino la posici´on de la anomal´ıa, pero las ecuaciones anteriores se pueden aplicar exactamente igual.

8.11. PROBLEMAS

8.11.

231

Problemas

1. Un cuerpo de 3 kg de masa sujeto a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y un periodo de 2 s. a) ¿Cu´al es su energ´ıa total?; b) ¿Cu´al es su velocidad m´axima? (Respuestas: a) E = 2,37 × 10−2 J; b) vmax = 0,13 m/s ) 2. ¿Cu´al es el periodo de oscilaci´on de una regla de 1 m que puede girar alrededor de uno de sus extremos? (Respuestas: T = 1,64 s ) 3. Un coche de 1200 kg se construye a partir de un chasis unido por cuatro amortiguadores a las ruedas. Si cada amortiguador tiene una constante de fuerza de 20000 N/m, encu´entrese el periodo y la frecuencia de vibraci´on cuando el autom´ovil pasa por un bache llevando en su interior dos personas con una masa conjunta de 160 kg. (Respuestas: T = 0,85 s;

f = 1,18 Hz )

4. Una part´ıcula de 10 g describe un M.A.S. en el eje x. La amplitud es 5 cm y cada segundo efect´ ua media vibraci´on. Calc´ ulense: a) La ecuaci´on que rige el movimiento. b) La fuerza que lo produce. c) Los valores de la elongaci´on para los que ser´a m´axima la velocidad. d) Los valores de la elongaci´on para los que ser´a nula la aceleraci´on. (Respuestas: a) x(t) = 5 cos πt;

b) f = −mπ 2 x;

c) x(vmax ) = 0; d) x(a =

0) = 0) 5. El ´embolo de una m´aquina de vapor pesa 20 kg, siendo la longitud del cilindro 40 cm y suponemos que se mueve con un movimiento arm´onico simple a raz´on de 120 rev/min . Determina:

CAP´ITULO 8. MOVIMIENTO OSCILATORIO

232

a) El tiempo que tarda en recorrer 10 cm a partir del momento en que pasa por el centro del cilindro. b) La energ´ıa cin´etica cuando pasa por el centro del cilindro. c) El instante en que la aceleraci´on es m´axima y su valor. (Respuestas: a) t = 0,08 s;

b) Ec = 63,2 J;

c) amax = 31,6 m/s2 ; t = 0,25 s)

6. Un resorte espiral tiene una longitud de 15 cm. Cuando de ´el se cuelga una masa de 50 g queda en reposo con una longitud de 17 cm. Calcula: a) La constante de recuperaci´on del resorte. b) La frecuencia de las oscilaciones verticales que se producen cuando se cuelga una masa de 90 g. c) El trabajo realizado por el resorte para elevar la masa de 90 g entre los extremos de la trayectoria, si la distancia entre ellos es de 6 cm. (Respuestas: a) k = 24,5 N/m;

b) f = 2,63 Hz;

c) W = 0,053 J)

7. Una masa de 250 g se encuentra sobre una mesa sin rozamiento sujeta por dos muelles de constantes k1 = 30 N/m y k2 = 20 N/m. Calcula el periodo del movimiento oscilatorio que realiza la masa cuando es sometida a una peque˜ na perturbaci´on. (Respuestas: T = 0,42 s) 8. El p´endulo de un reloj de pared est´a constituido por una varilla homog´enea de 1 m de longitud y masa m1 en cuyo extremo se encuentra un peque˜ no cilindro macizo y homog´eneo de masa tres veces mayor que la varilla. Calc´ ulese el radio que debe tener este cilindro para que el reloj funcione con un periodo de 2 s. (Respuestas: r = 5,11 cm) 9. Una part´ıcula describe una curva de Lissajous de ecuaci´on: π  √ t x = 2 3 sen 2

8.11. PROBLEMAS

233 π  y = 2 sen t 2

en el S.I.. Calc´ ulense el m´odulo de la velocidad en funci´on del tiempo y el ´angulo que ´esta forma con el eje de ascisas. ¿Cu´al ser´a su m´axima velocidad? π  (Respuestas: v(t) = 2π cos t ; α = 30o ; vmax = 2π m/s) 2 10. Calcula la tensi´on en la cuerda de un p´endulo simple en funci´on del a´ngulo que forma la cuerda con la vertical. (Respuestas: T = mg(3 cos θ − 2 cos θ0 )) 11. Un anillo de 10 cm de radio est´a suspendido de una varilla de modo que puede oscilar libremente. Determina su periodo de oscilaci´on. (Respuestas: T = 0,90 s) 12. Obt´engase la frecuencia de oscilaci´on correspondiente al potencial intermolecular:     x0 6  x0 12 U (x) = −0 2 − , x x donde 0 y x0 son constantes arbitrarias.  1/2 720 (Respuestas: ω = ) mx20 13. Una masa de 20 kg de mercurio cae en el interior de un tubo en forma de U de 3 cm2 de secci´on transversal. Calcula su periodo de oscilaci´on sabiendo que la densidad del mercurio vale: ρ = 13, 6 g/cm3 . (Respuestas: T = 3,1 s) 14. Dos resortes id´enticos (k = 20 N/m) se encuentran conectados de la forma que muestran las figuras a una masa de 300 g. Obt´engase el periodo de oscilaci´on de cada uno de los dos sistemas. (Respuestas: a), b) T = 0,54 s)

CAP´ITULO 8. MOVIMIENTO OSCILATORIO

234

a) k

k m

b)

k

k

m

15. Un objeto de masa M conectado a un muelle de constante k oscila arm´onicamente con amplitud A1 . En el instante en que el objeto pasa por su posici´on de equilibrio se deja caer sobre ´el un trozo de plastilina de masa m que se adhiere a ´el. a) Calcula la nueva amplitud y el nuevo periodo del movimiento. b) Rep´ıtase el apartado anterior en el caso en que la plastilina se deja caer en un extremo de la trayectoria. A22

(Respuestas: a)  1/2 M +m 2π ) k

M A2 ; T2 = 2π = M +m 1



M +m k

1/2 ;

b) A1 = A2 ; T2 =

16. Desde una altura de 2 m se deja caer un cuerpo de 10 kg de masa sobre un plato de una b´ascula de masa 10 kg . El muelle de la b´ascula tiene una constante el´astica

8.11. PROBLEMAS

235

de 8 kg/cm. Suponiendo que despu´es del choque el plato y el cuerpo permanecen unidos, calc´ ulense: a) el desplazamiento m´aximo del plato de la b´ascula y b) la ecuaci´on del movimiento del conjunto cuerpo-plato. (Respuestas: y2 = 0, 171 m; x = 0, 16 cos(19, 8t)) 17. Por la garganta de una polea, cuya masa M puede considerarse concentrada en su periferia, pasa un hilo inextensible y sin masa. De uno de los extremos del hilo cuelga una masa m y el otro extremo del hilo est´a atado a un resorte vertical cuyo extremo est´a fijo en el suelo. Calcula el periodo para peque˜ nas oscilaciones de m. Datos: M = 900 g; m = 150 g ; K = 1600 N/m. (Respuestas: T = 0,16 s)

Cap´ıtulo 9 Movimiento ondulatorio 9.1.

Introducci´ on: conceptos b´ asicos y tipos de ondas

El movimiento ondulatorio puede considerarse como un transporte de energ´ıa y cantidad de movimiento de una regi´on a otra del espacio sin que tenga lugar ning´ un transporte neto de materia. En cuanto al tipo de medio material en que se pueden propagar, podemos dividir las ondas en dos grandes grupos: } Ondas mec´anicas: En este caso las ondas se originan mediante una perturbaci´on en el espacio que se propaga a trav´es de un medio material debido a sus propiedades el´asticas. Ejemplos de este tipo de ondas son las ondas sonoras (vibraciones de las mol´eculas de aire que se transmiten de unas a otras), ondas en la superficie de un estanque, ondas en una cuerda, ondas s´ısmicas, etc. } Ondas electromagn´eticas: Estas ondas no necesitan de ning´ un medio material para propagarse. Pueden hacerlo en el vac´ıo. La energ´ıa y el momento son transportados por campos el´ectricos y magn´eticos que se propagan conjuntamente en el espacio. Ejemplos de estas ondas son las ondas luminosas, las ondas de radio o televisi´on, las ondas de telefon´ıa m´ovil, los rayos X, etc. Las ondas que se propagan en el espacio se denominan ondas viajeras. Sin embargo, hay otro tipo de ondas (que estudiaremos m´as adelante con detalle) que se denomi-

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

238

nan estacionarias y que est´an confinadas en una determinada regi´on del espacio. Por ejemplo, al pulsar la cuerda de una guitarra se produce una onda, pero limitada a la regi´on entre los extremos de la cuerda. Para una onda estacionaria, la energ´ıa que lleva asociada permanece acotada en una cierta regi´on del espacio. Cuando una onda se propaga a trav´es de un medio, las part´ıculas de ´este no acompa˜ nan su movimiento de avance, sino que oscilan alrededor de posiciones fijas. Al considerar el movimiento de una onda hemos de distinguir dos aspectos:  el movimiento de la onda a trav´es del medio  el movimiento oscilatorio de las propias part´ıculas del medio.

propagación y

x oscilación y

x

y

x

Una forma de clasificar ondas alude precisamente a la relaci´on entre la direcci´on de propagaci´on y la direcci´on en que vibran las part´ıculas del medio. • Ondas transversales son aquellas en que las part´ıculas oscilan perpendicularmente a la direcci´on de propagaci´on de la onda. Reproducen el esquema de la figura

´ CONCEPTOS BASICOS ´ 9.1. INTRODUCCION: Y TIPOS DE ONDAS

239

adjunta. Ejemplos de este tipo de ondas son las que se generan en una cuerda cuando se mueve arriba y abajo uno de sus extremos.1 • Ondas longitudinales son aquellas en que las part´ıculas oscilan en la misma direcci´on en que se propaga la onda.

propagación

oscilación

Estas ondas se producen, por ejemplo, cuando se pinza uno de los extremos de un muelle situado horizontalmente. La compresi´on entre las espiras del muelle, se transmite a trav´es de ´el debido a sus propiedades el´asticas y pinzamiento y direcci´on de propagaci´on coinciden. Las ondas sonoras tambi´en son ondas longitudinales. Se pueden entender como perturbaciones de la posici´on de las part´ıculas del medio (aire) que se propagan por las interacciones entre unas y otras (tambi´en pueden entenderse como ondas de presi´on, pero eso lo estudiaremos en la secci´on espec´ıfica dedicada a ondas sonoras).

Hay ondas que no son estrictamente longitudinales ni transversales. Esto sucede, por ejemplo, en las ondas que se producen en la superficie del agua, en mares o r´ıos. En estas ondas las part´ıculas de la superficie realizan trayectorias el´ıpticas o casi circulares.

1

Las ondas electromagn´eticas tambi´en son ondas transversales, aunque en ese caso no tiene lugar ninguna vibraci´ on de las part´ıculas del medio, sino que son los propios campos el´ectrico y magn´etico los que vibran perpendicularmente entre s´ı y a la direcci´on de propagaci´on.

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

240

propagación

oscilación

En este tema nos ocuparemos u ´nicamente de ondas mec´anicas. Estas ondas requieren tres elementos b´asicos: a) Alguna fuente que produzca la perturbaci´on. b) Un medio que se pueda perturbar. c) Un mecanismo f´ısico por el cual puntos adyacentes del medio interaccionen para propagar la perturbaci´on. Conceptos b´asicos en cualquier tipo de ondas: ∗ Longitud de onda: distancia entre dos puntos que en el mismo instante est´an a la misma distancia de su posici´on de equilibrio (dicho de otro modo, distancia entre dos puntos que vibran del mismo modo). ∗ Frecuencia: n´ umero de vibraciones por unidad de tiempo de la perturbaci´on. ∗ Velocidad de propagaci´on: velocidad con que se transmite la perturbaci´on. ∗ Amplitud: m´axima separaci´on de un punto respecto a su posici´on de equilibrio.

9.2.

Pulsos unidimensionales

Un pulso es una onda de extensi´on relativamente corta, interesante desde el punto de vista te´orico porque permite visualizar el comportamiento gen´erico de cualquier onda. Matem´aticamente, un pulso se puede representar como una cierta funci´on, y = f (x), que se mueve con una cierta velocidad.

9.2. PULSOS UNIDIMENSIONALES

241

Por ejemplo, un pulso es el resultado de mover el extremo de una cuerda horizontal (estando el otro extremo sujeto a un punto fijo) con fuerza arriba o abajo durante un breve intervalo de tiempo.

propagación

9.2.1.

Funci´ on de ondas

Si la forma de un pulso no cambia con el tiempo, respecto a un sistema de referencia inercial, la curva f (x) se mover´a con la velocidad de propagaci´on del pulso, v. Es decir, matem´aticamente un pulso que se desplaza hacia la derecha ser´a una funci´on: y = f (x − vt), y si se mueve hacia la izquierda: y = f (x + vt). La forma funcional f (x ± vt) se denomina funci´on de ondas. De otro modo: y = y(x, t) = f (x ± vt). La velocidad con que se propaga la onda no debe confundirse con la velocidad con que vibran las part´ıculas del medio. En concreto, la velocidad del pulso se suele denominar velocidad de fase y se obtiene como: v=

dx . dt

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

242

t=0

t

y

y

y=f(x)

y'

vt

y=f(x')=f(x-vt)

O O 9.2.2.

x

O' x

x'

x'

Superposici´ on

Muchos fen´omenos ondulatorios que se presentan en la Naturaleza no se pueden describir en t´erminos de un u ´nico pulso, sino como una combinaci´on de varios de ellos. Para analizar qu´e sucede si, por ejemplo, sobre una cuerda coinciden dos o mas pulsos se postula el Principio de Superposici´on: Si dos o m´as part´ıculas coinciden en la misma regi´on del espacio, la funci´on de onda resultante es la suma algebraica de las funciones de ondas individuales. Las ondas que obedecen este principio se denominan lineales. Nosotros nos ocuparemos u ´nicamente de este tipo de ondas. Una consecuencia de este principio es que dos ondas pueden pasar una sobre otra sin que se destruyan o alteren. La combinaci´on de dos o m´as ondas en la misma regi´on del espacio se denomina interferencia. Puede ser de tipo constructivo si las funciones de onda se suman, y = y1 + y2 , o , si las funciones tienen signos opuestos y se cancelan total o parcialmente, y = y1 − y2 .

9.2. PULSOS UNIDIMENSIONALES Interferencia constructiva

Interferencia destructiva

243

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

244

9.2.3.

Reflexi´ on y transmisi´ on

Siempre que una onda viajera alcanza una frontera, se refleja. Consideremos el caso de un pulso en una cuerda. Existen al menos dos posibilidades sencillas, que el extremo donde se encuentra la frontera est´e libre o fijo.

pulso incidente

pulso reflejado

En el caso de extremo libre, el pulso reflejado se invierte respecto al inicial, mientras que si el extremo est´a fijo, el pulso incidente y el reflejado son del mismo signo pero con velocidades opuestas. Se produce una transmisi´on de una onda entre dos medios, cuando la onda puede pasar de un medio a otro y continuar su propagaci´on. En el caso de pulsos en cuerdas un ejemplo es cuando dos cuerdas de distinto grosor est´an unidas y un pulso pasa de una a otra. Como se observa en la figura, adem´as de un pulso transmitido en el segundo medio, existe tambi´en un pulso reflejado. Estos dos pulsos, transmitido y reflejado, tienen menor amplitud que el incidente porque la energ´ıa de ´este se reparte entre los dos.

9.2. PULSOS UNIDIMENSIONALES

245

pulso incidente

pulso transmitido pulso reflejado

9.2.4.

Velocidad de propagaci´ on de las ondas unidimensionales

Una propiedad general de las ondas es que su velocidad depende de las propiedades de medio, pero no de la velocidad de la fuente relativa al medio. Por ejemplo, la velocidad de una onda en una cuerda depende u ´nicamente de las propiedades de la cuerda. Otro ejemplo es que la velocidad de las ondas sonoras que emite el silbato de un tren depende s´olo de las propiedades del aire y no del movimiento del tren. A continuaci´on demostraremos que la velocidad de las ondas en una cuerda depende s´olo de la tensi´on a que est´a sometida y de su masa. Supongamos un pulso desplaz´andose por una cuerda. Consideraremos que su longitud es peque˜ na en comparaci´on con la longitud de la cuerda, lo que nos permitir´a trabajar con una tensi´on u ´nica en todos los puntos de la cuerda (que adem´as coincidir´a con la de la cuerda en ausencia de pulsos). Tomaremos como sistema de referencia uno que se mueve con velocidad constante, v igual a la velocidad de propagaci´on del pulso. Es decir, que en este sistema el pulso est´a estacionario y la cuerda se mueve hacia la izquierda con velocidad, v. El segmento de cuerda ∆s se est´a moviendo entonces sobre una circunferencia de radio, r, y experimenta una aceleraci´on centr´ıpeta, v 2 /r. Si la amplitud del pulso es suficien-

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

246

temente peque˜ na, las componentes tangenciales de la tensi´on ser´an aproximadamente horizontales (se anulan) y las radiales verticales (se suman).

∆s

θ _ 2

τ

τ

_ θ 2

r

v

X

fr = 2τ sen

θ θ ' 2τ ' τ θ. 2 2

Si µ es la masa por unidad de longitud de la cuerda, la masa del segmento ser´a: m = µ∆s = µrθ Entonces: X

fr = ma

−→

v2 τ θ
= µr
θ
. r


Y despejando v:  1/2 τ v= µ Esta velocidad es independiente de r y θ, luego es v´alida para todos los segmentos de la cuerda. Queda demostrado, por tanto, que la velocidad del pulso depende s´olo de la tensi´on de la cuerda y de su masa por unidad de longitud. Mayor tensi´on llevar´a asociada mayor velocidad y entre dos cuerdas sometidas a la misma tensi´on, las ondas se propagar´an a mayor velocidad en la m´as ligera.

´ 9.3. ONDAS ARMONICAS

9.3.

247

Ondas arm´ onicas

Si el extremo de una cuerda se desplaza arriba y abajo siguiendo un MAS, se produce un tren de ondas sinusoidal que se propaga por la cuerda. La forma de la cuerda en cualquier instante de tiempo es una funci´on senoidal y adem´as se propaga con una cierta velocidad. Este tipo de onda, que tiene como origen una perturbaci´on de tipo arm´onico simple, se denomina onda arm´onica. t=0 λ y A x

t t=0 y

t

x vt

En t = 0 la forma de la onda siempre se puede representar como:   2π y = A sen x . λ ~ Amplitud: M´aximo desplazamiento respecto a la posici´on de equilibrio ~ Longitud de onda: Distancia entre dos crestas o valles consecutivos o entre dos puntos adyacentes con la misma fase. y(x) = y(x + nλ),

n = 1, 2, 3, . . .

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

248 porque: 

   2π 2πx y(x + nλ) = A sen (x + nλ) = A sen + 2nπ = y(x). λ λ Si la onda se desplaza hacia la derecha con velocidad v, en un tiempo t, posterior, la funci´on de onda ser´a:  2π (x − vt) . y(x, t) = A sen λ 

Si la onda viaja hacia la izquierda, ser´ıa:   2π (x + vt) . y(x, t) = A sen λ ~ Periodo: El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a λ se denomina periodo: v=

λ . T

Luego una manera alternativa de expresar la funci´on de ondas es:    x t y(x, t) = A sen 2π − λ T Esta funci´on muestra el car´acter peri´odico de la onda: y tiene el mismo valor en las posiciones x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ . . . . Y para cualquier posici´on dada, x, y toma el mismo valor en los instantes: t, t + 2T , t + 3T , . . . Es decir, la periodicidad espacial la determina λ y la temporal T . Matem´aticamente: y(x, t) = y(x + nλ, t)

−→

λ periodicidad espacial

y(x, t) = y(x, t + nT )

−→

T

periodicidad temporal

Otras definiciones usuales son las siguientes: 2π λ 2π ω≡ T 1 f≡ T k≡

−→

n´ umero de onda (1/m)

−→

frecuencia angular (rad/s)

−→

frecuencia (1/s=Hz) (herzio)

´ 9.3. ONDAS ARMONICAS

249

En t´erminos de algunos de estos par´ametros: y(x, t) = A sen(kx − ωt), y la velocidad se puede expresar: ω k v = λf.

v=

Las funciones de onda expuestas hasta ahora presuponen que en el instante inicial, t = 0, x = 0 y el desplazamiento desde el equilibrio es nulo, y = 0. En general, esto no tiene porqu´e suceder. Para ello matem´aticamente se puede introducir un desfase inicial, δ, de manera que la forma m´as general de la funci´on de ondas es: y(x, t) = A sen(kx − ωt − δ). El desfase inicial se determina a partir de las condiciones iniciales. La velocidad con la que vibra un punto cualquiera del medio material en que se transmite la onda y su aceleraci´on, se determinan derivando y(x, t) respecto al tiempo:  ∂y vy = = ωA cos(kx − ωt) ∂t x=cte  ∂ 2y ay = 2 = −ω 2 A sen(kx − ωt). ∂t x=cte Los valores m´aximos son: vy,max = ωA ay,max = ω 2 A. Una onda real no puede ser arm´onica, porque ´estas no tienen ni principio ni fin. Se extienden hacia el infinito tanto en el espacio como en el tiempo. Las ondas reales, sin embargo, est´an limitadas espacial y temporalmente, pero una buena aproximaci´on es suponer que se comportan como arm´onicas en cierta regi´on. En las ondas reales suele ser λ >> A y adem´as su extensi´on espacial es mucho mayor que λ. Este tipo de ondas se denomina tren de ondas. Una onda arm´onica es una representaci´on idealizada de un tren de ondas.

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

250

9.3.1.

Energ´ıa transmitida por las ondas arm´ onicas

Las ondas mec´anicas, cuando se propagan por un medio, transportan energ´ıa. La forma m´as sencilla de visualizar este hecho es colgando una peque˜ na masa de una cuerda horizontal y provocar una onda sobre ella.

propagación

∆y

Al llegar el pulso a la masa, ´esta sufre una variaci´on de su posici´on vertical y por tanto de energ´ıa potencial (y tambi´en cin´etica porque sufre una aceleraci´on en direcci´on vertical). Aunque el ejemplo del dibujo es un pulso, en el caso de ondas arm´onicas el razonamiento es id´entico. Supongamos una onda arm´onica de amplitud A y frecuencia ω. Se puede demostrar que la variaci´on de energ´ıa de un segmento de cuerda de masa ∆m = µ∆x ser´a: 1 1 ∆E = ∆mω 2 A2 = µω 2 A2 ∆x. 2 2 Si la velocidad de propagaci´on es v, ∆x = v∆t, la energ´ıa transmitida en ese tiempo ser´a: 1 ∆E = µω 2 A2 v∆t, 2 y la energ´ıa transmitida por unidad de tiempo ser´a la potencia asociada: P =

∆E 1 = µω 2 A2 v. ∆t 2

(9.1)

´ 9.3. ONDAS ARMONICAS

251

Luego, efectivamente, la propagaci´on de una onda conlleva una transmisi´on de energ´ıa de un punto a otro del espacio sin que haya un transporte neto de materia.

9.3.1 Ejemplo Una cuerda con una densidad lineal µ = 0,05 kg/m se encuentra sometida a una tensi´on de 80 N. ¿qu´e potencia se le debe suministrar para generar en ella ondas arm´onicas de frecuencia 60 Hz y amplitud 6 cm?  1/2 τ v= µ ω = 2πf = 377 s−1 1 1 kg 1 m   P = µω 2 A2 v = 5 × 10−2 377 (6 × 10−2 )2 m2 40 = 512 W. 2 2 m s s  

9.3.2.

Interferencia de ondas arm´ onicas

La superposici´on de ondas se denomina en general interferencia. Consideremos dos ondas arm´onicas que coinciden en la misma regi´on del medio en que se propagan: y1 = A sen(kx − ωt + δ1 ) y2 = A sen(kx − ωt + δ2 ). Suponemos que s´olo se diferencian en su fase, ∆δ = (kx − ωt + δ2 ) − (kx − ωt + δ1 ) = δ2 −δ1 . Si δ2 = δ1 , se dice que ambas est´an en fase y si son distintas que est´an desfasadas en ∆δ. Para encontrar la onda resultante de la interferencia hacemos uso del principio de superposici´on: y(x, t) = y1 + y2 = A [sen(kx − ωt + δ1 ) + sen(kx − ωt + δ2 )] . Si, por comodidad, tomamos δ1 = 0 y δ2 = ∆δ, entonces si las ondas est´an en fase δ = 0 y, en general, si est´an desfasadas δ tendr´a un valor no nulo.

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

252

y

y

1

y

A

2

x

δ/k

i) δ = 0 (´o δ = 2nπ con n = 0, 1, 2 . . . ). y(x, t) = 2A sen(kx − ωt)

Este tipo de interferencia se denomina constructiva.

y

y+y 1

2

2A

y ,y 1

A x

ii) δ = π [´o δ = (2n + 1)π con n = 0, 1, 2 . . . ]. y(x, t) = A sen(kx − ωt) + A sen(kx − ωt + π) = 0 porque sen(π + α) = − sen α. Este tipo de interferencia se denomina destructiva.

2

´ 9.3. ONDAS ARMONICAS

253

y

y

1

y+y 1

2

x y

2

iii) Desfase δ. En el caso general de un desfase δ arbitrario se puede utilizar la identidad:     1 1 sen α + sen β = 2 sen (α + β) cos (α − β) . (9.2) 2 2 Tomando en nuestro caso α ≡ kx − ωt y β ≡ kx − ωt + δ, y teniendo en cuenta que la funci´on cos x es una funci´on par, resulta:     δ δ sen kx − ωt + . y1 + y2 = 2A cos 2 2 Vemos entonces que la superposici´on resulta ser otra onda arm´onica de igual frecuencia y n´ umero de ondas, pero con distinta amplitud [2A cos( 2δ )] y fase inicial (δ/2).

9.3.3.

Ondas estacionarias

Cuando las ondas est´an confinadas en una determinada regi´on del espacio, como las ondas en las cuerdas de un viol´ın, se producen reflexiones en ambos extremos de la cuerda, y por consiguiente, existen dos ondas moviendose en los dos sentidos que se combinan de acuerdo con el principio de superposici´on. Si se cumplen determinadas condiciones esta interferencia da lugar a un tipo de onda que se denomina estacionaria. Consideremos dos ondas arm´onicas id´enticas que viajan en sentidos opuestos: y1 (x, t) = A sen(kx − ωt) e y2 (x, t) = A sen(kx + ωt). y(x, t) = y1 + y2 = A [sen(kx − ωt) + sen(kx + ωt)] .

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

254

Haciendo uso de la identidad (9.2) y llamando: α ≡ kx + ωt; β ≡ kx − ωt, se obtiene: y(x, t) = 2A cos(ωt) sen(kx). Esta es la funci´on de onda correspondiente a una onda estacionaria. F´ısicamente representa una onda que no se desplaza en la direcci´on de propagaci´on, aunque todos los puntos realizan un MAS con amplitud dependiente de la posici´on [2A sen(kx)]. Esta amplitud es m´axima en las posiciones que verifican:     1 1 λ kxm = m + π −→ xm = m + 2 2 2

donde m = 0, 1, 2 . . .

Estos m´aximos se denominan antinodos. Los m´ınimos o nodos se determinan a partir de: kx0m = mπ

−→

x0m =

mπ λ =m . k 2

Supongamos, por ejemplo, el caso de una cuerda sujeta por ambos extremos y de longitud `. Si los extremos permanecen fijos deben ser dos nodos2 . Es decir, las condiciones de contorno ser´ıan: y(0, t) = y(`, t) = 0. Como los nodos est´an separados entre s´ı una semilongitud de onda, x0m − x0m−1 = λ/2, debe haber un n´ umero entero de nodos, n (con n > 1), entre los extremos: n

λn =` 2

−→

λn =

2` . n

En frecuencias: fn =

v v =n . λn 2`

Esta ecuaci´on se denomina condici´on de onda estacionaria (para una cuerda de extremos fijos) y significa que una onda estacionaria no puede tener una longitud de onda (o frecuencia) cualquiera, sino que s´olo se producen a unas determinadas frecuencias de resonancia. La m´as baja recibe el nombre de frecuencia fundamental o primer arm´onico. La siguiente segundo arm´onico y as´ı sucesivamente. 2

En realidad, el extremo donde se genera la onda es un nodo s´olo aproximadamente, pues se debe agitar continuamente para evitar la atenuaci´on.

´ 9.3. ONDAS ARMONICAS

255

Por ejemplo, en un instrumento musical que opera en frecuencias de resonancia, como una guitarra, su frecuencia depende de la longitud de la cuerda, de la tensi´on y de su masa. Y sobre estos tres elementos se act´ ua para variar su sonido: la guitarra se afina variando la tensi´on, la longitud se cambia presionando la cuerda con una ceja y la masa depende del tipo de cuerda del instrumento.

N

N

Primer armónico fundamental

n=1

A

A

A

N

n=2

N

A

Segundo armónico

N

A

A

n=3

Tercer armónico

A

A

A

A

n=4

Cuarto armónico

A

A

A

A Quinto armónico

n=5

A

l

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

256

9.4.

Ecuaci´ on de ondas

Una funci´on de onda cualquiera, f (x − vt), es siempre soluci´on de una ecuaci´on diferencial denominada ecuaci´on de ondas que puede deducirse a partir de las leyes de Newton. Supongamos un peque˜ no segmento de cuerda de masa µ∆x, longitud ∆x y que al pasar a trav´es de ´el una onda se desplaza verticalmente formando un cierto a´ngulo con la horizontal. Supondremos adem´as que la amplitud de la onda es peque˜ na, de modo que ese a´ngulo sea tambi´en peque˜ no y comparable a su seno.

θ2

τ ∆x

∆y

θ1

τ

Si ~τ es la tensi´on de la cuerda, la fuerza vertical neta sobre el elemento de cuerda vale: X

θ ↓↓ =⇒

( cos θ ' 1 sen θ ' θ

fy = τ sen θ2 − τ sen θ1

−→

tan θ ' 0

−→

X

fy = τ (tan θ2 − tan θ1 ).

Como la tangente es igual a la pendiente de la curva en esos puntos: S = tan θ =

∂y ∂x

X

=⇒

fy = τ (S2 − S1 ) = τ ∆S.

Aplicando la segunda ley de Newton (f = ma): τ ∆S = µ∆x

∂ 2y ∂t

2

=⇒

τ

∆S ∂ 2y =µ 2. ∆x ∂t

´ DE ONDAS 9.4. ECUACION

257

Y en el l´ımite ∆x = 0, ∆S ∂S ∂ ∂y ∂ 2y ∂ 2y µ ∂ 2y l´ım = = = =⇒ = . ∆x→0 ∆x ∂x ∂x ∂x ∂x2 ∂x2 τ ∂t2 Esta es la ecuaci´on de ondas para una cuerda con las hip´otesis realizadas. Cualquier onda en la cuerda debe tener una funci´on de ondas que verifique esa identidad. 9.4.1 Ejemplo Comprobaremos ahora, como ejemplo, que cualquier funci´on f (x ∓ vt) satisface esa ecuaci´on de ondas. y0 ≡

y = y(x ∓ vt) ≡ y(α);

∂y ∂α

; y 00 =

∂ 2y ∂α2

∂ 2y = y 00 ∂x2 ∂ 2y ∂y 0 ∂y 0 ∂α ~ ~ = −v = −v = v 2 y 00 ∂t2 ∂t ∂α ∂t 1 ∂ 2y ∂ 2y = =⇒ ∂x2 v 2 ∂t2 Esta es la ecuaci´on de ondas que obtuvimos anteriormente haciendo, v = (τ /µ)1/2 . Por ~

∂y ∂y ∂α ∂α = = y0 = y0 ∂x ∂α ∂x ∂x ∂y ∂y ∂α ∂y = = −v = −vy 0 ∂t ∂α ∂t ∂α

~

lo tanto, efectivamente esa es la velocidad de propagaci´on de una onda en una cuerda.

9.4.2 Ejemplo Demu´estrese que una onda arm´onica es soluci´on de la ecuaci´on de ondas y obt´engase su velocidad. y(x, t) = A sen(kx − ωt) ∂y ∂y = Ak cos(kx − ωt) = Aω cos(kx − ωt) ∂x ∂t ∂ 2y ∂ 2y 2 = −Ak sen(kx − ωt) = −Aω 2 sen(kx − ωt) ∂x2 ∂t2 1 ∂ 2y 1 ∂ 2y (( (( (ωt) (ωt) = −→ −Ak 2( sen(kx = − 2 Aω 2( −→ sen(kx (((− (((− 2 2 2 ∂x v ∂t v ω =⇒ v = , k que es la velocidad de una onda arm´onica en t´erminos de la frecuencia angular y el

n´ umero de ondas.

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

258

9.5.

Ondas en tres dimensiones

Hasta ahora hemos estudiado u ´nicamente ondas unidimensionales. Sin embargo, en una cubeta llena de agua se producen ondas bidimensionales al agitar la superficie del agua. En este caso, la longitud de la onda es la distancia entre dos crestas de las ondas sucesivas. Estas ondas se visualizan en forma de circunferencias conc´entricas denominadas frente de ondas. λ

En el caso de las ondas de sonido, que se propagan en el espacio tridimensional, los frentes de ondas son superficies que se alejan del foco emisor. Estos frentes de onda pueden ser esf´ericos y su movimiento se puede indicar trazando rayos, que son l´ıneas perpendiculares al frente de ondas y que pasan por el foco emisor. Si el foco es puntual y el medio uniforme, cualquier onda emitida es esf´erica. Ondas esféricas

Ondas planas rayos

frentes foco

Cuando se observan los frentes de onda desde un punto muy alejado del foco emisor, son planos. Se suelen denominar ondas planas.

9.5. ONDAS EN TRES DIMENSIONES

259

Si un foco puntual emite ondas uniformemente en todas direcci´ones, la energ´ıa a una distancia r estar´a distribuida uniformemente sobre una superficie esf´erica de radio r. Se denomina intensidad a la potencia media por unidad de a´rea que est´a incidiendo perpendicularmente a la direcci´on de propagaci´on. Para ondas esf´ericas: I=

Pm Pm = S 4πr2

(W/m2 )

Esta definici´on asume impl´ıcitamente que el medio no aten´ ua las ondas y que las ondas emitidas por la fuente se propagan uniformemente en todas las direcciones. Como la energ´ıa de una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud3 : A21 r22 I1 = 2 ∝ 2 I2 r1 A2

−→

A22 r22 ∝ A21 r12 .

Esto quiere decir que la amplitud de una onda esf´erica tridimensional debe decrecer con r. La funci´on de ondas de una onda esf´erica arm´onica se puede escribir entonces como: Ψ(r, t) =

s0 sen(kr − ωt), r

donde s0 es una constante. Si la onda es plana y se propaga seg´ un el eje x: Ψ(x, t) = s0 sen(kx − ωt).

9.5.1.

Propagaci´ on de ondas en el espacio

La forma m´as sencilla de entender la propagaci´on de ondas mec´anicas en el espacio es a trav´es del denominado Principio de Huygens: Cada part´ıcula puntual de un medio material al que llega una perturbaci´on se convierte en una fuente puntual secundaria de ondas que emite ondas esf´ericas secundarias que alcanzan la siguiente capa de part´ıculas del medio. 3

De otro modo: I ∝ 1/r2 , por la denifici´on de intensidad y adem´as, I ∝ A2 , por serlo la energ´ıa de una onda arm´ onica. En consecuencia, A ∝ 1/r.

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

260

... A'' A' ... A B'' ...

B' C''

B C'

...

C

D'' D' D

...

Cuando la onda alcanza las part´ıculas A, B, C . . . , se ponen a vibrar y act´ uan como fuentes puntuales de ondas secundarias, cuya envolvente representa la propagaci´on del frente inicial. Una consecuencia importante del Principio de Huygens es que en un medio is´otropo y homog´eneo, donde la velocidad de la onda es la misma en todos los puntos y en todas las direcciones, las superficies de onda se mantienen paralelas durante la propagaci´on. Mediante el principio de Huygens se pueden entender, al menos fenomenol´ogicamente, algunas de las propiedades de las ondas en su propagaci´on en el espacio: reflexi´on, refracci´on y difracci´on.

9.5. ONDAS EN TRES DIMENSIONES

261

Para considerar la reflexi´on y la refracci´on supongamos el caso m´as sencillo de una onda plana que separa dos medios donde la velocidad de propagaci´on de la onda es diferente. Sean ~ui , ~ur y ~uR los vectores unitarios que indican la direcci´on de propagaci´on de las ondas incidente, reflejada y refractada, y θi , θr y θR , los a´ngulos que forman los respectivos rayos con la vertical.

θr 1 2

θi ui

ur θR

uR

La reflexi´on se debe a la interferencia de la onda incidente con la onda secundaria que se genera en la superficie que separa los dos medios. La refracci´on se debe al cambio de velocidad de la onda en el segundo medio. Experimentalmente se ha concluido que las leyes que gobiernan la reflexi´on y la refracci´on son las siguientes: 1. Las direcciones, ~ui , ~ur y ~uR , se encuentran en el mismo plano. 2. θi = θr . 3. Ley de Snell. vi sen θi = cte. = . sen θR vR

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

262

Otro fen´omeno caracter´ıstico del movimiento ondulatorio es la difracci´on. Se produce cuando una onda encuentra obst´aculos o aberturas en su camino de dimensiones similares a su longitud de onda. Experimentalmente se comprueba que las ondas sonoras rodean las aberturas o que las ondas superficiales en un l´ıquido rodean los obst´aculos. Para entender en qu´e consiste, en el siguiente diagrama se representan las diferencias entre el efecto de un haz de part´ıculas que atraviesa un orificio o una onda haciendo lo mismo.

Haz de partículas (sin difracción)

Onda esférica

a) Haz de part´ıculas: las part´ıculas transmitidas est´an confinadas en un ´angulo peque˜ no. b) Frente de ondas esf´erico: como los puntos de la abertura se comportan como focos secundarios, en el segundo medio se produce una onda esf´erica en un ´angulo mucho m´as amplio que en el caso del haz de part´ıculas. Cuando la abertura es grande en comparaci´on con la longitud de ondas, entonces los frentes de ondas no se deforman y s´olo cerca de los bordes de la abertura se observa difracci´on.

9.5. ONDAS EN TRES DIMENSIONES

263

a

a >> λ

9.5.2.

Ondas sonoras

Las ondas sonoras son ondas mec´anicas longitudinales que se propagan en cualquier medio material. Una perturbaci´on en una regi´on del medio provoca una oscilaci´on de las part´ıculas del medio, que se propaga debido a sus propiedades el´asticas. Las ondas de sonido se pueden entender como ondas de desplazamiento u ondas de presi´on. En el caso m´as sencillo, una onda sonora se puede producir a trav´es de la vibraci´on de una membrana. Si ´esta vibra de forma arm´onica, la onda de sonido resultante tambi´en lo ser´a. Una forma de representar esto es mediante un tubo que contiene gas y con un extremo cerrado por una membrana. En el momento en que se empuja la membrana (o pist´on) se forma una capa de part´ıculas comprimidas que interaccionan con las otras capas en contacto con ella, transmitiendose la regi´on de compresi´on. Cuando el pist´on vuelve hacia atr´as, las part´ıculas se expanden en la zona vac´ıa, form´andose regiones de baja presi´on, que tambi´en se propagan a lo largo del tubo. La distancia entre dos zonas de compresi´on consecutivas es la longitud de onda y es evidente que las ondas que se producen son de tipo longitudinal.

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

264

λ Si el pist´on se mueve arm´onicamente, el desplazamiento de un peque˜ no volumen respecto a su posici´on de equilibrio ser´a: s(x, t) = sm sen(kx − ωt). Veremos ahora otra manera alternativa de comprender las ondas arm´onicas, como ondas de presi´on. Supongamos una capa de anchura ∆x, que en un instante, t0 , se desplaza respecto al equilibrio. Sea K el m´odulo de compresibilidad del gas (que definimos en el tema de elasticidad): K = −V0

∆P ∆V

=⇒

∆P = −

K ∆V. V0

9.5. ONDAS EN TRES DIMENSIONES

265

donde ∆V es el volumen de la masa de gas que se comprime.

s2

s1

x1

∆x

x2

Si A es la secci´on del pist´on, ∆V = A∆s, con ∆s = s(x2 , t0 ) − s(x1 , t0 ). ∆P = −K

∆s A∆s = −K A∆x ∆x

porque V = A∆x

Si ∆x → 0: ∆s ∆x s = sm sen(kx − ωt)

−→

−→

∂s ∂x

=⇒

∆P = −K

∂s ∂x

∆P = −Ksm k cos(kx − ωt) ≡ ∆Pm cos(kx − ωt).

Si arbitrariamente tomamos la presi´on en equilibrio como 0, se obtiene:  π P = Pm cos(kx − ωt) = Pm sen kx − ωt + 2 Luego efectivamente la onda de presi´on asociada a la de desplazamiento es tambi´en arm´onica y tiene las mismas caracter´ısticas, salvo la fase, en la que hay un desplazamiento π/2. Aunque no lo demostraremos, la velocidad de este tipo de ondas se puede expresar como:  v=

K ρ

1/2 .

Esta velocidad, depende, por tanto, de las caracter´ısticas del medio y de sus condiciones termodin´amicas. En la tabla adjunta se resumen los o´rdenes de magnitud de la velocidad del sonido en s´olidos, l´ıquidos y gases.

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

266

Medio

Velocidad (m/s)

Gases

Aire (10o C) Aire (20o C) Helio (0o C)

331 343 972

L´ıquidos

Alcohol (25o C) Agua (25o C) Agua de mar (25o C)

1143 1493 1533

S´ olidos

Cobre Aluminio Acero

3560 5100 5130

La intensidad de las ondas sonoras suele representarse en escala logar´ıtmica, debido al amplio rango de intensidades que puede detectar el o´ıdo humano. Se define el nivel de intensidad sonoro como4 :  β = 10 log

I I0



En esta escala la intensidad se mide en unidades de decibelio (dB). I0 es una intensidad de referencia, que se toma como el umbral de audici´on, I0 = 10−12 W/m2 . En esta escala β(I0 ) = 0 y el umbral de dolor, Id , suele corresponder en promedio a 1 W/m2 , que en decibelios vale 120 dB. W m2 W Id = 1 2 m

I0 = 10−12

−→

β(I0 ) = 0

−→

β(Id ) = 120 dB.

Las variaciones de presi´on que corresponden a estas intensidades extremas var´ıan entre 3 × 10−5 Pa (umbral de audici´on) hasta 30 Pa para el umbral de dolor. Teniendo en cuenta que la presi´on atmosf´erica promedio es 1, 013 × 105 Pa, son valores de presi´on realmente peque˜ nos. La tabla adjunta resume los niveles sonoros de algunas perturbaciones ac´ usticas habituales. Intervalo de frecuencias que es capaz de percibir un o´ıdo humano medio: 20 −→ 20000 Hz. 4

log representa logaritmo decimal.

9.5. ONDAS EN TRES DIMENSIONES

267

Fuente

I/I0

dB

Respiraci´on Conversaci´on en voz baja (5 m) Conversaci´on normal (1 m) Tr´afico denso Cataratas del Ni´agara Concierto rock (altavoces a 2 m) Avi´on reactor (a poca distancia)

100 102 106 107 109 1012 1015

0 20 60 70 90 120 150

Umbral de audici´on Escasamente audible Ruidoso Mucho tiempo da˜ na al o´ıdo Umbral de dolor

9.6. PROBLEMAS

9.6.

269

Problemas

1. Una cuerda se tensa colgando una masa de 3 kg en uno de sus extremos. Si su longitud es 2,5 m y su masa 50 g, ¿cu´al es la velocidad de las ondas que se propagan sobre ella? (Respuestas: v = 38,3 m/s) 2. La funci´on de ondas de una onda arm´onica que se propaga a trav´es de una cuerda es, y(x, t) = 0,03 sen(2,2x − 3,5t) en el S.I.. Determina su amplitud, longitud de onda, frecuencia angular, frecuencia, periodo, n´ umero de ondas y velocidad de propagaci´on. (Respuestas: A = 0,03 m; λ = 2,9 m; ω = 3,5 rad/s; f = 0,55 Hz; T = 1,8 s; k = 2,2 m−1 ; v = 1,6 m/s) 3. Una cuerda de 3 m de longitud y densidad lineal 2,5 × 10−3 kg/m3 est´a sujeta por ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 252 Hz y la siguiente 336 Hz. H´allese la frecuencia fundamental y la tensi´on de la cuerda. (Respuestas: f1 = 84 Hz; T = 635 N) 4. Demuestra que la ecuaci´on de ondas es lineal, es decir, que si y1 (x, t) y y2 (x, t) son soluciones de la ecuaci´on, cualquier combinaci´on lineal suya tambi´en lo es. 5. Una fuente emite ondas con una potencia de salida de 80 W. Si se supone que es puntual, calc´ ulese la intensidad a una distancia de 3 m de la fuente y la distancia a la que el sonido se reduce a un nivel de 40 dB. (Respuestas: I = 10−8 W/m2 ; r = 25,2 km) 6. Calcula la relaci´on entre las frecuencias de los sonidos fundamentales emitidos por dos hilos de la misma longitud, igual secci´on y sometidas a id´entica tensi´on si uno de ellos es de acero (ρa = 7,7 g/cm3 ) y el otro de plata (ρAg = 10,5 g/cm3 ). (Respuestas: fa /fAg = 1,17)

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

270

7. Determina la velocidad del sonido en el agua sabiendo que si se incrementa en 1 atm la presi´on sobre un cierto volumen, disminuye 50 mill´onesimas sobre el inicial. (Respuestas: v = 1423,4 m/s) 8. Determina la ecuaci´on de una onda arm´onica que se propaga en el sentido negativo del eje x con una velocidad de 900 m/s, siendo su frecuencia 400 Hz y 0,02 m su amplitud. Se sabe adem´as que en t = 0, el punto x = 0 se encuentra a 0,02 m de su posici´on de equilibrio. (Respuestas: y(x, t) = 0,02 cos(2,8 x + 2,5 × 103 t) (S.I.)) 9. Dos ondas de igual frecuencia y amplitud (f = 50 Hz, A = 2 cm) viajan a una velocidad de 1 m/s en el sentido positivo del eje x y entre ellas existe una diferencia de fase de π/3. Ded´ uzcase la ecuaci´on de la onda resultante de la interferencia entre las dos y las ecuaciones de movimiento de una part´ıcula que se encuentra a 20 cm del origen de coordenadas.  π (Respuestas: y(x, t) = 2A cos(π/6) sen 314 x − 314 t + (S.I.); 6   π y(x0 , t) = 2A cos(π/6) sen 314 x0 − 314 t + ) 6 10. La luz se propaga en el vac´ıo con una velocidad c = 3×108 m/s. H´allese la longitud de onda correspondiente a la frecuencia de 5 × 104 Hz, que es la frecuencia de la luz roja del espectro visible. (Respuestas: λ = 6,0 × 10−7 m) 11. Consid´erese un p´ajaro que emite un sonido de potencia constante, ¿cu´antos dB disminuir´a el nivel de intensidad del sonido si nos alejamos el doble de la distancia inicial al p´ajaro? (Respuestas: β2 − β1 = −6,0 dB) 12. Una persona deja caer una piedra desde un puente elevado y oye que choca (justamente debajo de ´el) 4 s despu´es.

9.6. PROBLEMAS

271

a) Estima la altura del puente respecto al r´ıo despreciando el tiempo que tarda el sonido en recorrer esa distancia. b) Mejora esa estimaci´on incluyendo la velocidad finita del sonido. (Respuestas: a) h = 78,5 m; b) h = 70,5 m) 13. Demuestra expl´ıcitamente que las siguientes funciones satisfacen la ecuaci´on de ondas unidimensional: a) y(x, t) = (x + vt)3 b) y(x, t) = Aei(kx−ωt) c) y(x, t) = log[k(x + vt)] 14. En una cuerda real siempre se produce una p´erdida de energ´ıa a medida que una onda se propaga por ella. Esta posibilidad se puede expresar matem´aticamente a trav´es de una funci´on de ondas cuya amplitud depende de la posici´on: y = A(x) sen(kx − ωt) = A0 e−bx sen(kx − ωt). a) ¿Cu´al es la energ´ıa transportada por la onda en x = 0? b) ¿Y cu´al es la energ´ıa transportada en un punto x cualquiera? 1 1 (Respuestas: a) P (x = 0) = µω 2 A20 v; P (x) = µω 2 A20 e−2bx v) 2 2 15. Una onda arm´onica se propaga con velocidad de 10 m/s a trav´es de una cuerda de densidad 0,01 kg/m. La amplitud de la onda es 0,5 mm. a) ¿Qu´e energ´ıa en promedio transmite la onda si su frecuencia son 400 Hz? b) ¿C´omo se puede aumentar la energ´ıa transportada? 1 (Respuestas: a) P = 0,079 W; b) P = ω 2 A2 (µT )1/2 . La potencia aumen2 tar´a m´as r´apidamente aumentando ω o´ A porque depende de esos par´ametros cuadr´aticamente.)

CAP´ITULO 9. MOVIMIENTO ONDULATORIO

272

16. A tiempo t = 0, la forma de un pulso generado sobre una cuerda viene dada por: y(x) =

a , b + x2

donde a = 0,12 m3 y b = 4,0 m2 . a) Representa gr´aficamente el pulso en ese instante. b) ¿Cu´al es su funci´on de ondas, y(x, t), si se desplaza en el sentido positivo del eje x con velocidad de 10 m/s? c) ¿Y si el pulso se mueve con la misma velocidad, pero en el sentido negativo del eje x? (Respuestas: b) y(x, t) =

0,12 0,12 (S.I.); c) y(x, t) = 2 4 + (x − 10 t) 4 + (x + 10 t)2

(S.I.)) 17. Una cuerda de una guitarra tiene una longitud de 60 cm. Su frecuencia fundamental es de 247 Hz. a) ¿Cu´al es la velocidad de propagaci´on de las ondas en la cuerda? b) Si la densidad de la cuerda es 0,01 g/cm, ¿cu´al es su tensi´on? (Respuestas: a) v = 296,4 m/s; b) T = 87,9 N) 18. Una onda estacionaria en una cuerda est´a representada por la siguiente funci´on de ondas, y(x, t) = 0,02 sen

 πx  2

cos(40πt)

donde todos los par´ametros se representan en el S.I. a) Escribe las ecuaciones de las dos ondas que interfieren para generar la onda estacionaria. b) ¿Cu´al es la distancia entre los nodos de la onda estacionaria? c) ¿Cu´al es la velocidad con que vibra un punto de la cuerda situado a 1 m del origen? d) ¿Cu´al es la aceleraci´on de la cuerda en x = 1 m?

9.6. PROBLEMAS

273 π

 π  (Respuestas: a) y1 (x, t) = 0,01 sen x − 40π t (S.I.); y2 (x, t) = 0,01 sen x + 40π t 2 2 (S.I.) ; b) λ/2 = 2 m; c) vy (x = 1, t) = −0,8π sen(40π t) m/s; d) ay (x = 1, t) = −3,2π 2 cos(40π t) m/s2 )

Parte III Fundamentos de Termodin´ amica

Cap´ıtulo 10 Introducci´ on a la Termodin´ amica Es usual identificar la Termodin´amica como aquella rama de la F´ısica en la que se estudian los fen´omenos relacionados con el calor y la temperatura. En realidad, una definici´on de Termodin´amica deber´ıa contemplar los principios en que se basa, sus fines y m´etodos y su campo de aplicaci´on. Este cap´ıtulo est´a destinado justamente a precisar algunos de estos aspectos de una manera muy breve.

10.1.

Conceptos b´ asicos

10.1.1.

Sistemas termodin´ amicos

Por sistema termodin´amico entendemos una regi´on cualquiera del espacio con su contenido. La descripci´on de un sistema se puede hacer, en general, de dos formas: macrosc´opica y microsc´opica. La descripci´on macrosc´opica se refiere a las propiedades a gran escala del sistema, sin hacer hip´otesis sobre la estructura de la materia. Las magnitudes f´ısicas utilizadas en esta descripci´on suelen ser: a) reducidas en n´ umero, b) sugeridas por los sentidos y c) medibles directamente. En la descripci´on microsc´opica se analizan las propiedades a peque˜ na escala del sistema, haciendo hip´otesis o modelos sobre la estructura de la materia. Las magnitudes que entran en juego son: a) un n´ umero muy elevado, b) no vienen sugeridas por nuestros sentidos y c) no se pueden medir de forma directa.

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

278

La Termodin´amica es un ejemplo de teor´ıa macrosc´opica. En ella se hace ´enfasis en aquellas magnitudes macrosc´opicas que tienen relaci´on con aspectos internos al sistema. Estas magnitudes se denominan magnitudes termodin´amicas. Por tanto, son aqu´ellas que describen macrosc´opicamente el estado interno de un sistema. Como para todo sistema f´ısico, la definici´on de un sistema termodin´amico requiere precisar su extensi´on espacial. Esto, a su vez, exige precisar sin ambig¨ uedad la superficie geom´etrica que lo delimita, que recibe el nombre de frontera o contorno, que puede ser real o imaginaria. La regi´on fuera de la frontera se suele llamar medio exterior o entorno y el sistema total formado por el sistema en estudio y su medio exterior, universo termodin´amico . Los sistemas termodin´amicos, respecto a la naturaleza de sus fronteras, se pueden clasificar del siguiente modo: Sistema aislado: sistema con fronteras que impiden el intercambio de materia y energ´ıa con su medio exterior. Sistema cerrado: sistema con fronteras que permiten el intercambio de energ´ıa con su medio exterior, pero impiden el de materia. Sistema abierto: sistema con fronteras que permiten el intercambio tanto de energ´ıa como de materia con su medio exterior. Se entiende por componentes de un sistema termodin´amico a las diferentes especies qu´ımicas independientes que lo forman. Los sistemas pueden ser monocomponentes o multicomponentes. Se llama fase a un sistema f´ısicamente homog´eneo, es decir, un sistema cuyas propiedades son invariantes bajo traslaciones del sistema de referencia.

10.1.2.

Interacciones termodin´ amicas

Experimentalmente se observa que dos o m´as sistemas termodin´amicos pueden interaccionar. Esta interacci´on se pone de manifiesto al observarse que cambios en los valores de las magnitudes termodin´amicas en uno de ellos provocan inequ´ıvocamente cambios en las magnitudes termodin´amicas de los otros. Tipos b´asicos de interacci´on:

´ 10.1. CONCEPTOS BASICOS

279

Interacci´on mec´anica: caracterizada por un intercambio de energ´ıa mec´anica (se puede describir totalmente en t´erminos de conceptos provenientes de la Mec´anica). Interacci´on t´ermica: caracterizada por un intercambio de energ´ıa t´ermica. Interacci´on material : caracterizada por un intercambio de materia y/o por un cambio de composici´on debido a la existencia de reacciones qu´ımicas. Esta interacci´on siempre va acompa˜ nada de interacciones t´ermica y mec´anica. Se denomina pared a aquel ente conceptual mediante el que se permite o impide el establecimiento de interacciones entre sistemas. Se dice que la pared es adiab´atica si impide la interacci´on t´ermica. Una buena aproximaci´on a una pared adiab´atica es la que constituye un aislante t´ermico como la madera, la lana, etc. Una pared diat´ermica, como una pared met´alica por ejemplo, es aquella que permite la interacci´on t´ermica. Se denominan ligaduras termodin´amicas al conjunto de paredes que impiden las interacciones termodin´amicas y pueden ser externas si son restrictivas respecto a la interacci´on de un sistema con su medio exterior o internas si son restrictivas respecto a la interacci´on entre subsistemas.

10.1.3.

Estados de equilibrio

Se denomina estado de un sistema al conjunto de valores de las magnitudes termodin´amicas que lo caracterizan. Experimentalmente se han constatado los siguientes hechos: Al interaccionar dos sistemas se modifican, en general, los valores de sus magnitudes termodin´amicas. Todo sistema aislado llega a tener fijos los valores de sus magnitudes termodin´amicas. Se dice que dos sistemas han alcanzado un estado de equilibrio mutuo respecto a una cierta interacci´on cuando, estando en contacto con una pared permisiva a dicha

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

280

interacci´on, sus magnitudes termodin´amicas tienen valores constantes en el tiempo. Se pueden distinguir tantos tipos de equilibrio como de interacciones: equilibrio mec´anico, equilibrio t´ermico y equilibrio material. Un sistema se dice que est´a en equilibrio termodin´amico si se cumplen simult´aneamente los equilibrios mec´anico, t´ermico y material, tanto externos como internos. Dicho de otro modo, cuando sus magnitudes termodin´amicas permanecen invariables en el tiempo si no se modifican las paredes y si al aislarlo no se producen cambios.

10.1.4.

Variables termodin´ amicas

Se denominan variables termodin´amicas a aquellas magnitudes termodin´amicas asociadas a un sistema en equilibrio termodin´amico. Seg´ un su procedencia pueden ser de tres tipos: Variables de composici´on: especifican la cantidad de cada uno de los componentes. Por ejemplo, la masa de cada uno o el n´ umero de moles. Variables mec´anicas: son aquellas que proceden de una interacci´on mec´anica, como presi´on, volumen, pero tambi´en aquellas que proceden de otras ramas de la F´ısica como el Electromagnetismo (intensidad del campo el´ectrico o magn´etico, etc.). Variables t´ermicas: son las que surgen de los postulados propios de la Termodin´amica o combinaciones de ´estas con variables mec´anicas. Las variables pueden ser extensivas o intensivas. Las extensivas son globales, es decir, dependen del tama˜ no del sistema y son aditivas. Ejemplos son el volumen, la masa, el n´ umero de moles, etc. Las variables intensivas son locales (est´an definidas en cada parte del sistema y son, por lo tanto, independientes de su tama˜ no) y no son aditivas, como por ejemplo, la temperatura, la presi´on, etc. Las variables extensivas pueden convertirse en espec´ıficas cuando se establecen por unidad de masa o molares cuando se expresan por unidad de mol. Las variables espec´ıficas y molares son intensivas. La experiencia muestra que no todas las variables termodin´amicas son independientes entre s´ı y, adem´as, que las variables de dos sistemas en equilibrio mutuo est´an

10.2. TEMPERATURA

281

relacionadas entre s´ı. La primera idea nos lleva al concepto de variables de estado, que es el conjunto de variables termodin´amicas independientes en t´erminos de las cuales se pueden especificar todas las dem´as. Se denominas funciones de estado a las variables que no se consideran independientes sino que son funci´on de las variables de estado y que tienen un valor u ´nico en cada estado de equilibrio. Se denomina sistema simple a un sistema cerrado que necesita u ´nicamente dos variables como variables de estado. Por ejemplo, si las variables son la presi´on, P , y el volumen, V , se dice que el sistema es hidrost´atico.

10.1.5.

Procesos termodin´ amicos

Un proceso termodin´amico es el camino que conecta dos estados termodin´amicos diferentes. Si el estado inicial y final est´an infinitesimalmente pr´oximos se dice que el cambio de estado es infinitesimal y cualquiera de los caminos que los une es un proceso infinitesimal . Si los estados inicial y final coinciden se dice que el proceso es c´ıclico. Un proceso se dice que es cuasiest´atico no disipativo o reversible cuando es secuencia continua de estados de equilibrio. Son procesos ideales de modo que al invertirlos y regresar al estado inicial, tanto el sistema como el resto del universo vuelven a sus respectivos estados de partida sin ning´ un cambio. Se denomina proceso irreversible a todo aquel que no es reversible. Cualquier proceso real es irreversible. En algunos tipos de procesos alguna variable permanece constante: isotermo, temperatura constante; is´obaro, presi´on constante; is´ocoro, volumen constante, etc.

10.2.

Temperatura

10.2.1.

Equilibrio t´ ermico. Principio Cero

En Termodin´amica la temperatura es un concepto esencial, y su medida constituye una de sus principales actividades pr´acticas. Pero su definici´on correcta es complicada. Si consideramos un trozo de aluminio y otro de madera en una misma habitaci´on, ambos est´an en equilibrio t´ermico, pero, sin embargo, al tocarlos, el de aluminio se siente m´as fr´ıo. Luego la sensaci´on fisiol´ogica fr´ıo/caliente no puede dar una base s´olida para fundamentar el concepto de temperatura.

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

282

Sup´onganse dos bloques de un mismo metal, que inicialmente, al tacto, est´an uno m´as caliente que el otro. Si los ponemos en contacto en un recinto aislado tiene lugar una interacci´on t´ermica entre ellos. Al cabo de un tiempo ambos bloques producen la misma sensaci´on al tacto. Se dice que han alcanzado un estado de equilibrio com´ un que hemos denominado antes equilibrio t´ermico. El Principio Cero de la Termodin´amica se formula, con una base experimental, del siguiente modo:

1. Dos sistemas en contacto a trav´es de una pared diat´ermica un tiempo suficiente alcanzan el equilibrio t´ermico. 2. Dos sistemas en equilibrio t´ermico con un tercero se encuentran en equilibrio t´ermico entre s´ı.

Este principio permite introducir el concepto de temperatura emp´ırica, θ, como aquella propiedad que tienen en com´ un todos los sistemas que se encuentran en equilibrio t´ermico entre s´ı. El conjunto de estados que tienen la misma temperatura emp´ırica se denomina isoterma. Establecer valores num´ericos a las distintas isotermas se denomina establecer una escala termom´etrica y conlleva elegir un term´ometro y una variable termom´etrica, X, es decir, escoger la variable que va a cambiar con la temperatura, θ = θ(X).

10.2.2.

Escala de temperaturas del gas ideal

Es un hecho comprobado experimentalmente que todos los gases a baja presi´on presentan un comportamiento muy similar. Por ello se utiliza el term´ometro de gas a volumen constante como un sistema termom´etrico independiente del gas elegido. La figura adjunta esquematiza este term´ometro. El volumen del gas se mantiene constante ajustando el mercurio con el tubo en forma de U de manera que se encuentre siempre en el mismo punto de la rama en contacto con el gas. La presi´on se mide entonces a partir de la diferencia de altura h entre las dos ramas, P = Pa + ρgh y es la variable termom´etrica.

10.2. TEMPERATURA

283

Pa

h

Hg

GAS

Tubo flexible

La escala de temperaturas del gas ideal se elige a partir de la siguiente ecuaci´on: P Ppta →0 Ppta

θg.i. (P ) = 273,16 l´ım

donde Ppta es la presi´on del gas cuando el term´ometro se encuentre en equilibrio t´ermico con un sistema a la temperatura del punto triple del agua (aquel estado en que coexisten las fases s´olida, l´ıquida y gaseosa). Experimentalmente se observa que el cociente P/Ppta cuando la cantidad de gas es muy peque˜ na es independiente del tipo de gas.

gas 1

θ gas 2 (g.i.)

θ

gas 3 gas 4

Ppta Sin embargo, la forma m´as universal de definir una escala de temperaturas surge a partir del Segundo Principio de la Termodin´amica, es la escala absoluta de temperaturas

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

284

y en ella la temperatura del punto triple del agua vale Tpta = 273,16 K. Esta escala tambi´en se denomina Kelvin y es la unidad de temperatura en el S.I. Existe otra escala muy utilizada habitualmente que es la Celsius que se define como: t(o C) ≡ T (K) − 273,15 donde 273,15 es la temperatura de fusi´on del hielo a la presi´on de 1,013 bar. Obs´ervese que la escala Kelvin y la Celsius no son iguales pero sus incrementos s´ı, es decir, ∆t(o C) = ∆T (K). El Principio Cero permite introducir la temperatura y demuestra que para sistemas hidrost´aticos en equilibrio termodin´amico debe existir entre las variables P , V y T una relaci´on funcional del tipo: f (P, V, T ) = 0 que se denomina ecuaci´on emp´ırica de estado. La determinaci´on de una ecuaci´on concreta para un sistema particular no es objeto en s´ı de la Termodin´amica, si no que se obtiene experimentalmente en el laboratorio o por medio de m´etodos microsc´opicos (F´ısica Estad´ıstica).

10.2.3.

Gas ideal

El qu´ımico ingl´es Robert Boyle (1627-1691) puso de manifiesto experimentalmente en 1660 que para gases a alta temperatura y/o baja presi´on se verifica que a temperatura constante: P V = constante (a T constante) Tiempo despu´es (1802) el f´ısico y qu´ımico franc´es Joseph Louis Gay-Lussac (17781850) comprob´o que en las mismas condiciones, si se mantiene constante la presi´on, el volumen var´ıa de forma proporcionalmente inversa a la temperatura: T /V = constante (a P constante) Estas dos ecuaciones se pueden combinar en otra: P V = CT . Se comprob´o tambi´en que la constante C es proporcional al n´ umero de moles de gas, n, y se puede expresar as´ı, C = nR donde: R ≈ 8,314

J atm.l cal ≈ 0,082 ≈ 1,987 mol.K mol.K mol.K

10.2. TEMPERATURA

285

es la constante universal de los gases. Y se puede entonces escribir: P V = nRT Esta ecuaci´on se denomina ecuaci´on de estado del gas ideal , da buenos resultados para gases reales a bajas presiones y/o bajas densidades y altas temperaturas. N´otese que es independiente del tipo de gas que se considere.

H2

___ PV nT [J/(mol.K)]

N2

8,314

CO O2 10

20

30

40

P (atm)

10.2.1 Ejemplo ¿Qu´e volumen ocupa 1,0 mol de gas ideal a una temperatura de 0,0o C y una presi´on de 1,0 atm. A partir de la ecuaci´on de estado del gas ideal: V =

(1,0 mol)[0,082 (atm.l)/(mol.K)](273,15 K) nRT = = 22,4 l P 1,0 atm

10.2.2 Ejemplo Un gas tiene un volumen de 2,0 l, una temperatura de 30o C y una presi´on de 1,0 atm. Se calienta a 60o y al mismo tiempo se comprime hasta un volumen de 1,5 l. ¿Cu´al es su nueva presi´on? Como la cantidad de gas es constante, P1 V1 P2 V2 = T1 T2

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

286 Despejando P2 ,

V1 T2 P1 T1 V2 Poniendo las temperaturas en K resulta, P2 = 1,47 atm. P2 =

10.3.

Primer Principio

10.3.1.

Trabajo termodin´ amico

El concepto de trabajo proviene originalmente de la Mec´anica. Se define el trabajo mec´anico infinitesimal que la fuerza f~ hace para desplazar una part´ıcula un trayecto d~` como: δW = f~.d~` donde δ significa que, en general, el trabajo depende de la trayectoria elegida y no s´olo de los estados inicial y final. En Termodin´amica se define el trabajo termodin´amico en un proceso dado como el trabajo realizado por las fuerzas que durante el proceso los alrededores ejercen sobre el sistema, F~ext . De este modo: δW > 0 si es realizado sobre el sistema δW < 0 si es realizado por el sistema Se dice que el criterio de signos utilizado es un criterio ego´ısta. El objetivo ahora ser´a tratar de expresar el trabajo termodin´amico en un proceso en funci´on de las variables macrosc´opicas propias de la Termodin´amica. Supondremos un proceso infinitesimal tal que los estados inicial y final est´an muy pr´oximos y los estados intermedios son de equilibrio. Consideraremos adem´as u ´nicamente sistemas cerrados, sin intercambio de materia. Comencemos como ejemplo con un gas contenido en un sistema cilindro-pist´on. La fuerza que ejerce el gas sobre el pist´on ser´a F~ = P A~i, o de otro modo, la fuerza que el pist´on ejerce sobre el gas es F~ext = −P A~i, entonces δW = F~ext .d~x = −P A dx = −P dV

10.3. PRIMER PRINCIPIO

287

siendo dV la variaci´on infinitesimal del volumen del cilindro. De este modo hemos expresado el trabajo en t´erminos de una variable macrosc´opica intensiva (P ) y otra extensiva (V ). Si el trabajo es de expansi´on, dV > 0 −→ δW < 0 (realizado por el sistema) y si es de compresi´on, dV < 0 −→ δW > 0 (realizado sobre el sistema).

Compresión >

Fext

dV0

>

dx P Expansión >

Fext dV>0 δW

dx

P

x Siguiendo un proceso an´alogo se ha podido constatar que en todo sistema termodin´amico existen unas variables extensivas, (X1 , X2 . . . Xn ) y otras intensivas (Y1 , Y2 . . . Yn ) de modo que el trabajo termodin´amico siempre se puede expresar como: δW =

n X

Yi dXi

i=1

Las variables {Xi } se denominan coordenadas de trabajo y las {Yi } variables conjugadas. El n´ umero de variables depende del tipo de sistema. Si u ´nicamente hay una coordenada de trabajo se dice que el sistema es simple. Y si esas variables son P y V se dice que el sistema es expansivo. La notaci´on δ indica que el trabajo no se puede expresar directamente como la variaci´on de una coordenada termodin´amica, sino que depende

288

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

del camino recorrido. Se dice que es una diferencial inexacta. En un proceso finito, Z δW

Wc = c

10.3.2.

Trabajo disipativo y procesos cuasiest´ aticos

Adem´as del trabajo asociado a la variaci´on de las coordenadas de trabajo siempre es posible ejercer otro tipo de trabajo. Por ejemplo, la figura adjunta representa una polea de la que cuelga una masa y est´a conectada a unas paletas en el interior de un fluido. Este trabajo no est´a directamente asociado a la variaci´on de ninguna coordenada de trabajo. Aparece en fen´omenos de rozamiento, hist´eresis, etc. En un sistema expansivo simple, el trabajo total se puede expresar as´ı: δW = −P dV + δWdis

m Pex

Se define un proceso cuasiest´atico como aquella sucesi´on de procesos infinitesimales en los que no se realiza trabajo disipativo. Es decir, son procesos donde los estados intermedios son de equilibrio y donde el trabajo termodin´amico siempre est´a asociado a la variaci´on de alguna coordenada de trabajo. Z δW =

Wc = c

Z X n c i=1

Yi dXi

10.3. PRIMER PRINCIPIO

10.3.3.

289

Interpretaci´ on geom´ etrica del trabajo cuasiest´ atico

En el espacio termodin´amico de un sistema cualquiera s´olo pueden representarse mediante curvas los procesos cuasiest´aticos, en que los estados intermedios son de equilibrio. En el caso de un sistema expansivo simple, el espacio P −V se denomina diagrama de Clapeyron. El trabajo en un proceso cualquiera representa el ´area encerrada bajo la curva correspondiente (salvo signos): Z W =−

f

Z P dV = −

c i

f

f (V ) dV

c i

Un proceso es c´ıclico si los estados inicial y final coinciden.

P Pf

Pi

f

|W| i

Vi

Vf

V

10.3.1 Ejemplo C´alculense los trabajos necesarios para expandir el sistema desde i hasta f a lo largo de los tres caminos se˜ nalados, geom´etricamente y calculando las integrales correspondientes.

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

290

P (1)

2P0

i

(3) (2) P0

f

V0

2V0

V

Geom´etricamente: (1) −→ W1 = −2P0 V0 + 0 (2) −→ W2 = −P0 V0 3 (3) −→ W3 = − P0 V0 2 Integrales1 : Z

2V0

(1) −→ W1 = −

P dV = −2P0 V0 V0

Z

2V0

(2) −→ W2 = 0 − Z

V0 2V0

(3) −→ W3 = − V0

P0 dV = −P0 V0  Z 2V0  3 −P0 V + 3P0 dV = − P0 V0 P dV = − V0 2 V0

10.3.2 Ejemplo Consid´erese un proceso por el que un gas ideal pasa de un estado inicial i a otro final f . Calcula el trabajo termodin´amico si el proceso es: a) is´obaro, b) is´ocoro y c) isotermo. 1

Ecuaci´ on de la recta que pasa por los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ): y − y1 x − x1 = x2 − x1 y2 − y1

10.3. PRIMER PRINCIPIO

291

a) Is´obaro Si la presi´on es constante, Z

Vf

P (V ) dV = P (Vi − Vf )

W =− Vi

que se corresponde, en m´odulo con el ´area encerrada en el rect´angulo que se muestra en la figura. b) Is´ocoro Si en el proceso se mantiene el volumen constante, el trabajo realizado por el sistema es nulo, W = 0. c) Isotermo Utilizando la ecuaci´on de estado del gas ideal: Z Z Vf P (V ) dV = −nRT W =−

Vi

Vi

dV Vi = nRT ln V Vf

P

P Isóbaro Pi = Pf

Vf

Pf

Isócoro

f

f

i

Pi

i

Vi = Vf

Vf V

Vi P Pf

i

Pi

Isotermo

f

Vi

Vf V

V

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

292

10.3.4.

Experimentos de Joule

Entre 1840 y 1845 el f´ısico ingl´es J.P. Joule realiz´o una serie de experimentos intentando establecer la cantidad de trabajo requerido para producir un determinado incremento de la temperatura en una masa conocida de agua. En la figura adjunta se esquematizan algunos de los experimentos. En ellos un recipiente de paredes adiab´aticas (la temperatura en el interior no est´a correlacionada con la del exterior) contiene un l´ıquido sobre el que se efect´ ua un trabajo, bien con unas paletas conectadas a una polea (Wad = mgh) o directamente un trabajo el´ectrico con una resistencia (Wad = V It).

A V m R

Joule demostr´o que, en condiciones adiab´aticas, para pasar de un mismo estado inicial al mismo estado final se requiere la misma cantidad de trabajo, independientemente de las particularidades del proceso. Obtuvo adem´as que la relaci´on entre el trabajo ejercido y el calor2 requerido viene dado por: |Wifad | = J|Qif | La constante J se denomin´o equivalente mec´anico del calor y Joule obtuvo para ella un valor muy similar al aceptado hoy en d´ıa: J = 4,186 J/cal.

10.3.5.

Trabajo adiab´ atico y energ´ıa interna

Los resultados experimentales de Joule se pueden generalizar de forma emp´ırica en los siguientes postulados: 2

Aunque m´ as adelante analizaremos la definici´on rigurosa de calor, consid´erese aqu´ı en el sentido cl´ asico, hasta el s. XVIII, seg´ un el cu´ al el calor es la forma de energ´ıa capaz de elevar la temperatura de un cuerpo.

10.3. PRIMER PRINCIPIO

293

i) Dados dos estados de equilibrio cualquiera, de un sistema cerrado, siempre es posible alcanzar uno a partir del otro a trav´es de un proceso adiab´atico. ii) El trabajo que se requiere para llevar un sistema rodeado de paredes adiab´aticas desde un estado inicial a otro final depende u ´nicamente de dichos estados. Matem´aticamente, estos postulados llevan a que, cuando i y f son dos estados de un sistema conectados mediante un proceso adiab´atico, existe una funci´on termodin´amica (que llamaremos energ´ıa interna) tal que3 , Wifad = Uf − Ui = ∆U Como el trabajo necesario para pasar de un estado a otro depende del tama˜ no del sistema (masa, n´ umero de moles, etc.), la energ´ıa interna es una funci´on de estado extensiva. Se puede expresar siempre en t´erminos de las variables independientes del sistema.

10.3.6.

Calor y Primer Principio de la Termodin´ amica

Hemos visto que para un sistema cerrado cualquiera es posible pasar de un estado inicial a otro final realizando un trabajo adiab´atico, Wifad . Se puede comprobar tambi´en experimentalmente que el trabajo necesario para alcanzar f desde i no es el mismo que si la pared es diaterma, Wif . Se define el calor absorbido por el sistema como la diferencia entre ambos trabajos, es decir, Qif = Wifad − Wif = ∆U − Wif O expresado de otro modo, ∆U = Q + W Esta expresi´on se conoce como Primer Principio de la Termodin´amica: las sumas de las cantidades de energ´ıa comunicadas a un sistema cerrado en forma de calor y de trabajo es igual a la variaci´on de su energ´ıa interna. 3

Este razonamiento es an´ alogo en Mec´anica al concepto de energ´ıa potencial para fuerzas conservativas, aunque en Mec´ anica hace falta hacer la hip´otesis de que las interacciones entre part´ıculas son conservativas y en Termodin´ amica no es necesario ninguna hip´otesis microsc´opica.

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

294

Puesto que Wif no s´olo depende de los estados, si no del camino recorrido y U es una funci´on de estado, Qif depende del camino, no es una funci´on de estado. En forma infinitesimal es una diferencial inexacta, δQ. Si en un proceso s´olo hay interacci´on mec´anica, Qif = 0 −→ ∆U = Wif . Si s´olo hay interacci´on t´ermica, Wif = 0 −→ ∆U = Qif . Si Q > 0 el sistema absorbe calor y si Q < 0, lo cede al exterior. Expresiones del Primer Principio para procesos infinitesimales (cuasiest´aticos): dU =δQ + δW n X dU =δQ + Yi dXi i=1

dU =δQ − P dV

(Para un sistema hidrost´atico simple)

En un proceso c´ıclico, i = f , por lo tanto, ∆U = 0. En un sistema aislado, U = cte., puesto que Q = 0 y W = 0.

10.3.3 Ejemplo Supongamos un sistema Σ, aislado del exterior y dividido en dos subsistemas, ΣA y ΣB , inicialmente a temperaturas diferentes, TAi y TBi , y separados por una pared adiab´atica y r´ıgida. En determinado momento la pared adiab´atica se transforma en diaterma de modo que se permite el contacto t´ermico entre ambos. Veremos cu´al es el calor transferido de uno a otro subsistema durante el proceso.

Σ

Σ

ΣA

ΣB

ΣA

ΣB

TAi

TBi

TA

f

TB

f

10.3. PRIMER PRINCIPIO

295

Considerando primero como sistema s´olo ΣA , UfA − UiA = QA if . Y si el sistema es s´olo ΣB , UfB − UiB = QB if . Para el sistema total, Σ: (UfA + UfB ) − (UiA + UiB ) = 0 por estar el sistema aislado. Entonces, comparando las ecuaciones debe ser, B QA if = −Qif

Esta ecuaci´on se denomina ecuaci´on fundamental de la calorimetr´ıa. Cuando dos sistemas se ponen en contacto t´ermico, el calor absorbido por uno es igual al cedido por el otro.

10.3.7.

Capacidades calor´ıficas

Cuando un sistema absorbe o cede calor a lo largo de un proceso pueden ocurrir dos cosas: 1) que var´ıe su temperatura, o´ 2) que tenga lugar una transici´on de fase manteni´endose la temperatura constante. En el primer caso, la variaci´on de temperatura asociada a una cierta transferencia de calor se mide con un coeficiente termodin´amico denominado capacidad calor´ıfica:  CX =

δQ dT

 X

donde el sub´ındice X indica que la variaci´on de calor est´a asociada al proceso X. En el SI se expresa en J/K, aunque tambi´en es usual expresarlo en cal/K (1 J= 0,24 cal). Las capacidades calor´ıficas son magnitudes extensivas. En sustancias puras se pueden expresar por mol, cX = CX /n, denomin´andose capacidad calor´ıfica molar o por unidad de masa, c¯X = CX /m, llam´andose entonces calor espec´ıfico. A partir de su definici´on, es f´acil conocer el calor transferido en un proceso conocida como dato la capacidad calor´ıfica, Qif X

Z =

f

CX (T ) dT i

En principio, ser´ıa necesario conocer la dependencia de CX con la temperatura, pero normalmente no se comete demasiado error considerando que es aproximadamente

296

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

Sustancia

c¯ [kJ/(kg.K)] c [J/(mol.K)]

L´ıquidos Agua Alcohol et´ılico Mercurio

4.18 2.4 0.140

75.2 111 28.3

0.900 0.386 2.05 0.126 0.840

24.3 24.5 36.9 25.6 25.6

S´ olidos Aluminio Cobre Hielo (−10o C) Oro Vidrio

constante. En ese caso el calor transferido en el proceso X entre el estado i y el f ser´a: Qif = Cx (Tf − Ti ) = ncX (Tf − Ti ) = m¯ cX (Tf − Ti ) En el caso de un sistema expansivo, si se trata de un proceso a volumen constante, X = V , se tiene la capacidad calor´ıfica a volumen constante y si es a presi´on constante, X = P , es la capacidad calor´ıfica a presi´on constante. Se puede demostrar que siempre CP ≥ CV > 0 porque CP = CV + nR. Las capacidades calor´ıficas molares de un gas ideal dependen del n´ umero de grados de libertad microsc´opicos que tenga: Monoat´omico

−→

Diat´omico

−→

3 cV = R 2 5 cV = R 2

5 cP = R 2 7 cP = R 2

La tabla adjunta resume los calores espec´ıficos de algunos l´ıquidos y s´olidos. Debido a su peque˜ na compresibilidad en ellos la capacidad calor´ıfica a presi´on y a volumen constante son aproximadamente iguales. El calor espec´ıfico del agua l´ıquida vale: cagua = 1 cal/(g.K)= 1 kcal/(kg.K)= 4,184 kJ/(kg.K).

10.3. PRIMER PRINCIPIO

297

10.3.4 Ejemplo Para medir el calor espec´ıfico del plomo, se calientan 600 g de perdigones de este metal a 100o C y se colocan en un calor´ımetro de aluminio de 200 g de masa, que contiene 500 g de agua inicialmente a 17,3o C. Si la temperatura final del sistema es de 20o C, ¿cu´ al es el calor espec´ıfico del plomo? (Dato: calor espec´ıfico del aluminio, 0,900 kJ/(kg.K)) Qcedido = Qabsorbido −→ QPb = QH2 O + QAl QPb = mPb c¯Pb |∆TPb | QH2 O = mH2 O c¯H2 O ∆TH2 O QAl = mAl c¯Al ∆TAl mPb c¯Pb |∆TPb | = mH2 O c¯H2 O ∆TH2 O + mAl c¯Al ∆TAl Y despejando c¯Pb : c¯Pb = 0,13 kJ/(kg.K)

10.3.5 Ejemplo Un sistema formado por 0,32 moles de un gas ideal monoat´omico con cV = 32 R, ocupa un volumen de 2,2 l a una presi´on de 2,4 atm (punto A de la figura). El sistema describe un ciclo formado por tres procesos: 1. El gas se calienta a presi´on constante hasta que su volumen en el punto B es de 4,4 l. 2. El gas se enfr´ıa a volumen constante hasta que la presi´on disminuye a 1,2 atm (punto C). 3. El gas experimenta una compresi´on isoterma y vuelve al punto A. a) ¿Cu´al es la temperatura en los puntos A, B y C? b) Determina W , Q y ∆U para cada proceso y para el ciclo completo.

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

298

P (atm) 2.4

A

(1)

B

(2)

(3)

1.2

C

2.2

4.4 V (l)

a) A partir de la ecuaci´on de los gases ideales determinamos las temperaturas de los puntos A, B y C: PA V A = 201 K nR 2PA VA PB VB = = 2TA = 402 K TB = nR nR b) El proceso (1) es is´obaro, luego: TC = TA =

W1 = −PA ∆V = −PA (VB − VA ) = −0,53 kJ 5 Q1 = CP ∆T = (CV + nR)∆T = nR∆T = 1,3 kJ 2 ∆U1 = W1 + Q1 = 0,80 kJ En el proceso (2): W2 = 0 3 Q2 = CV ∆T = nR∆T = −0,80 kJ 2 ∆U2 = W2 + Q2 = −0,80 kJ El proceso (3) es isotermo, luego ∆U3 = 04 : W3 = nRTA ln 4

VA = 0,37 kJ VC

Es f´ acil demostrar que para un gas ideal, la variaci´on de energ´ıa interna en un proceso cualquiera se puede expresar siempre como ∆U = CV ∆T . Luego en procesos isotermos (o en los que no haya variaci´ on de temperatura entre los estados inicial y final) es nula. Es importante resaltar entonces que un gas ideal, adem´ as de verificar la ecuaci´on de estado P V = nRT , tiene capacidades calor´ıficas constantes y las variaciones de energ´ıa interna est´an siempre asociadas a cambios de temperatura.

´ 10.4. SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA ∆U3 = W3 + Q3

−→

299

Q3 = −W3 = −0,37 kJ

Para el ciclo total: Wt = W1 + W2 + W3 = −0,16 kJ

Qt = Q1 + Q2 + Q3 = 0,16 kJ ∆Ut = 0 por ser un proceso c´ıclico y U una funci´on de estado.

10.4.

Segundo Principio de la Termodin´ amica

10.4.1.

M´ aquinas termodin´ amicas

Desde un punto de vista pr´actico es muy interesante la existencia y dise˜ no de dispositivos capaces de convertir, al menos parcialmente, calor en trabajo o trabajo en calor. Antes de definir desde un punto de vista termodin´amico estos dispositivos es necesario introducir dos conceptos nuevos:

Fuente de calor : es un sistema tal que s´olo puede interaccionar con otro comunic´andole o absorbiendo energ´ıa en forma de calor, de manera que sus par´ametros intensivos, y en particular, su temperatura permanecen constantes (por ejemplo, la atm´osfera, el mar, etc).

Fuente de trabajo: es un sistema tal que s´olo puede interaccionar con otro comunic´andole o absorbiendo energ´ıa en forma de trabajo, de manera que sus par´ametros intensivos, y en particular su presi´on, permanecen constantes.

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

300

Motor térmico

Frigorífico o bomba de calor

Foco caliente

TC

Foco caliente

TC QC

QC

W

W

QF

QF

Foco frío

TF

Foco frío

TF

Se denomina m´aquina t´ermica a un dispositivo de funcionamiento c´ıclico que transfiere calor y trabajo con su entorno. Las m´as simples intercambian calor con s´olo dos fuentes de calor.

1. Motor t´ermico: m´aquina t´ermica que proporciona un trabajo, |W |, absorbiendo un calor, |QC | (> |W |), de una fuente caliente a temperatura, TC , y cediendo un calor, |QF |, a una fuente fr´ıa a temperatura TF . 2. Bomba de calor : m´aquina t´ermica que tiene por objeto proporcionar un calor, |QC |, absorbiendo energ´ıa en forma de trabajo, |W | (< |QC |), y absorbiendo un calor, |QF |. 3. Refrigerador : m´aquina t´ermica que tiene por objeto extraer energ´ıa en forma de calor, |QF |, de una fuente fr´ıa, absorbiendo un trabajo, |W |, y cediendo un calor, (< |QC |) a una fuente caliente.

De una forma general se define el rendimiento de una m´aquina termodin´amica como el cociente entre la energ´ıa que se desea obtener y la que es necesario suministrar. Se

´ 10.4. SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA

301

tiene entonces que, Motor t´ermico

−→

Bomba de calor

−→

Refrigerador

−→

|QF | |W | =1− (0 ≤ 1) |QC | |QC | |QC | |QC | ν= = (≥ 1) |W | |QC | − |QF | |QF | |QF | = (≥ 0) = |W | |QC | − |QF | η=

10.4.1 Ejemplo En cada ciclo un motor t´ermico absorbe 200 J de calor de un foco caliente, realiza un trabajo y cede 160 J a un foco fr´ıo. ¿Cu´al es su rendimiento? |W | |QF | 160 =1− =1− = 0,20 |QC | |QC | 200 Es decir, el rendimiento del motor es del 20 %. η=

10.4.2.

Enunciados del Segundo Principio

El Segundo Principio de la Termodin´amica se desarroll´o en el s. XIX durante la revoluci´on industrial, en pleno desarrollo de m´aquinas capaces de producir trabajo mec´anico. Basados en consideraciones experimentales, en 1850 y 1851, Clausius y Kelvin (y m´as tarde Planck) formularon los siguientes enunciados: Enunciado de Clausius: es imposible construir un dispositivo que funcionando c´ıclicamente no produzca otro efecto m´as que la transferencia de calor de una fuente a otra de mayor temperatura. Enunciado de Kelvin-Planck: es imposible construir un dispositivo que funcionando c´ıclicamente no produzca otro efecto m´as que extraer calor de una fuente y convertirlo ´ıntegramente en trabajo. Se puede demostrar que ambos enunciados son equivalentes. Es importante resaltar que no es imposible convertir ´ıntegramente calor en trabajo, pero s´ı lo es si el proceso es c´ıclico, es decir, si el sistema vuelve a su estado inicial. Si el proceso es c´ıclico

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

302

necesariamente para producir un trabajo se ha de ceder una fracci´on del calor a una fuente fr´ıa, el rendimiento del motor no puede ser la unidad (0 ≤ η < 1). Y en el caso de un frigor´ıfico, si se pretende extraer un calor de una fuente fr´ıa es imprescindible realizar un trabajo, no puede ser el rendimiento infinito (0 ≤  < ∞). Es decir, el Segundo Principio proporciona unas cotas superiores para el rendimiento de las m´aquinas t´ermicas.

10.4.3.

Procesos reversibles e irreversibles

Formalmente se dice que un proceso termodin´amico es reversible si se puede invertir de modo que el proceso c´ıclico resultante, tanto para el sistema como para el entorno, no viole el Segundo Principio. Proceso irreversible es aquel que no es reversible. Desde un punto de vista m´as pr´actico, un proceso reversible debe reunir al menos las siguientes condiciones: 1. No debe haber transformaciones de energ´ıa mec´anica en t´ermica por medio de fricciones, o de otro tipo de fuerzas disipativas. 2. Las transferencias de energ´ıa como el calor s´olo pueden suceder cuando las diferencias de temperatura entre los objetos son infinitesimalmente peque˜ nas. 3. El proceso debe ser cuasiest´atico, de modo que el sistema siempre se encuentre en un estado de equilibrio termodin´amico. Cualquier proceso real en la naturaleza es irreversible, realmente los procesos reversibles son idealizaciones, que en la realidad se pueden conseguir aproximadamente, pero nunca de forma completa.

10.4.4.

Ciclo y teorema de Carnot

En 1824 el ingeniero franc´es Sadi Carnot public´o un trabajo esencial sobre c´omo podr´ıa obtenerse trabajo a partir del calor absorbido de un foco t´ermico. Dise˜ no un proceso reversible ideal, denominado hoy ciclo de Carnot realizado por un sistema hidrost´atico en contacto con dos fuentes de calor, con las siguientes etapas (ve´ase la figura adjunta):

´ 10.4. SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA

P

TC

303

QC isotermo

adiabático adiabático isotermo

QF

TF

V 1. Proceso isotermo reversible a la temperatura del foco caliente TC en el que el sistema absorbe un calor QC . 2. Proceso adiab´atico reversible hasta que el sistema alcanza la temperatura de la fuente fr´ıa, TF . 3. Proceso isotermo reversible en el que el sistema est´a en contacto con la fuente fr´ıa TF y absorbe un calor QF . 4. Proceso adiab´atico reversible de modo que la temperatura del sistema aumente de TF hasta TC , recuperando su estado inicial. Una vez expuestos los procesos que forman el ciclo de Carnot, ´este demostr´o que ning´ un motor que funcione entre las temperaturas de las fuentes dadas puede tener un rendimiento superior al de un motor de Carnot que funcione entre esas fuentes. Este enunciado se denomina Teorema de Carnot y no lo demostraremos aqu´ı. Un corolario de este teorema es que todos los motores de Carnot operando entre las mismas fuentes tienen el mismo rendimiento. Otra consecuencia fundamental del Teorema de Carnot y de su corolario es que permite formalmente definir una escala absoluta de temperaturas, denominada temperatura termodin´amica. El rendimiento de Carnot en esta escala viene dado por la ecuaci´on: ηC = 1 −

TF TC

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

304

Entonces, cualquier motor termodin´amico que opere entre dos fuentes de calor tiene un rendimiento, η que verifica: η ≤ ηC El teorema de Carnot tambi´en es v´alido para frigor´ıficos y bombas de calor, es decir, que se debe verificar: TC TC − TF TF  ≤ C = TC − TF

ν ≤ νC =

para bombas de calor para frigor´ıficos

10.4.2 Ejemplo Una m´aquina t´ermica extrae 200 J de un foco caliente a una temperatura de 373 K, realiza 48 J de trabajo y cede 152 J al entorno, que se encuentra a 273 K. ¿Cu´anto trabajo se pierde debido a las irreversibilidades del proceso? El trabajo perdido se calcula comparando con una m´aquina reversible de Carnot que opere entre las mismas fuentes: Wperdido = Wm´ax − W El trabajo m´aximo es el que realizar´ıa el motor de Carnot: −→

Wm´ax = ηC QC

Wperdido = ηC QC − W

Y como: ηC = 1 −  Wperdido =

TF 1− TC

TF TC

 QC − W = 5,6 J

10.5. PROBLEMAS

10.5.

305

Problemas

1. Un gas ideal ocupa un volumen de 100 cm3 a 20o C y a una presi´on de 100 Pa. Determ´ınense el n´ umero de moles y de mol´eculas de gas en el recipiente. (Respuestas: n = 4,11 × 10−6 moles; N = 2,47 × 1018 mol´eculas) 2. Un recipiente con un ´embolo m´ovil contiene una cierta cantidad de helio. Inicialmente, las condiciones del gas son las siguientes: Ti = 300 K, Pi = 200 kPa y Vi = 15 × 10−3 m3 . Si el ´embolo comprime el gas hasta un estado final: Pf = 350 kPa y Vi = 1,2 × 10−3 m3 , calc´ ulese su temperatura final (sup´ongase que el helio se comporta como un gas ideal). (Respuestas: Tf = 420 K) 3. El hilo de un p´endulo simple es de acero (αl = 1,2 × 10−5 K−1 ). Cuando la temperatura es 0o C, el periodo de sus oscilaciones es de 2,000 s. Determ´ınese el periodo del p´endulo cuando la temperatura es de 125o C. (Respuestas: T1 = 2,0015 s) 4. Calcular el trabajo realizado sobre un gas ideal que efect´ ua una expansi´on adiab´atica cuasiest´atica desde un estado (P0 , V0 ) a otro estado (P1 , V1 ), sabiendo que en un proceso de ese tipo se verifica la relaci´on: P V γ = cte. donde γ es una constante5 . P1 V1 − P0 V0 ) (Respuestas: W = γ−1 5. Una cantidad dada de N2 , suponiendo que se comporta como un gas ideal, se encuentra inicialmente en un estado i, en el que ocupa un volumen de 0,5 l a 2 atm de presi´on. Pasa a un estado final f en el que ocupa un volumen de 2 l, siguiendo tres caminos diferentes: 5

Se define el coeficiente adiab´ atico, γ, como CP /CV . Para un gas ideal monoat´omico su valor aproximado es 5/3 ≈ 1,67 y para uno diat´omico 7/5 = 1,4.

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

306

a) Expansi´on adiab´atica desde el estado i al f . b) Expansi´on isoterma hasta el volumen de 2 l, seguida de una variaci´on de presi´on a volumen constante hasta alcanzar el estado final f . c) Una reducci´on de presi´on a volumen constante hasta que la presi´on sea la misma que la que corresponde al estado f , seguida de una expansi´on a presi´on constante hasta el estado final f . Dibujar en un diagrama P − V los tres procesos anteriores y calcular el trabajo realizado por el N2 en cada uno de ellos (γ = 1,4). (Respuestas: a) Wa = −107,5 J; b) Wb = −140,0 J; c) Wc = −43,6 J) 6. Calcula el trabajo realizado por n moles de gas durante una expansi´on isoterma cuasiest´atica, desde un volumen inicial V0 a un volumen final 2V0 , si la ecuaci´on t´ermica de estado es: a) P (V − b) = nRT

(R, b ctes.)

b) P V = nRT (1 −

B ) V

(R = cte., B = f (T ))

c) a )(V − b) = nRT (R, a y b ctes.) V2     2V0 − b B (Respuestas: a) Wa = −nRT ln ; b) Wb = nRT ln − ln 2; c) V0 − b 2V0   a 2V0 − b Wc = −nRT ln + ) V0 − b 2V0 (P +

7. Un tubo cil´ındrico de paredes r´ıgidas y adiab´aticas est´a dividido en dos partes por una pared r´ıgida aislante en la que existe un peque˜ no orificio. Contra esta pared se mantiene un pist´on adiab´atico y sin rozamiento, evitando de este modo que el gas que se encuentra al otro lado pase a trav´es del orificio. El gas se mantiene a la presi´on P1 mediante otro pist´on adiab´atico desprovisto de rozamiento. Imaginemos que ambos pistones se desplazan simult´aneamente, de tal modo que

10.5. PROBLEMAS

307

cuando el gas pase a trav´es del orificio, la presi´on conserve su valor constante P1 a un lado del tabique separador y un valor inferior P2 en el otro lado, hasta que todo el gas sea obligado a pasar a trav´es del orificio. Demu´estrese que: U1 + P1 V1 = U2 + P2 V2 . 8. Se consideran dos moles de O2 , considerado como gas ideal, los cuales pueden pasar cuasiest´aticamente del estado inicial A : (PA , VA , TA ) al estado final B : (PB = 3PA , VB , TA ) por tres caminos distintos: A1B: transformaci´on isoterma, A2B: recta en el diagrama P − V , A3B: compresi´on isocora hasta 3PA seguida de una disminuci´on de volumen a P constante hasta VB . Calcula los trabajos y las cantidades de calor puestas en juego durante las transformaciones, en funci´on de R y TA .  (Respuestas: a) W1 = 2RT ln

 VA 8 ; b) W2 = RTA ; c) W3 = 4RTA ) VB 3

9. En un recipiente de paredes adiab´aticas se colocan en contacto t´ermico tres cuerpos de masas, m1 , m2 , m3 , calores espec´ıficos a presi´on constante c1 , c2 y c3 , y temperaturas t1 = 10o C, t2 = 50o C, t3 = 100o C, respectivamente, verific´andose la relaci´on: m1 =

m3 m2 = 2 3

y

c1 c2 c3 = = 5 4 6

Calcula la temperatura final de equilibrio. (Respuestas: tf = 72,6o C) 10. La capacidad calor´ıfica molar a presi´on constante de un determinado gas var´ıa con la temperatura seg´ un la ecuaci´on: CP = a + bT − c/T 2 ; en la que a, b y c son constantes. ¿Qu´e cantidad de calor es transferido al sistema durante un proceso isob´arico cuasiest´atico en el cual n moles de gas experimentan una elevaci´on de temperatura de T1 a 2T1 ?   3 2 C (Respuestas: Q = n aTi + bTi − ) 2 2Ti 11. Un gas que cumple la ecuaci´on P (V − 1) = 0,3 T describe un ciclo formado por dos isotermas y dos isocoras. La relaci´on entre los vol´ umenes extremos V1 y V2

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

308 es tal que:

(V2 − 1) √ = e (V1 − 1) y la relaci´on entre las temperaturas T1 y T2 de las isotermas es T1 =2 T2 El trabajo realizado en este ciclo es de 65 J. Calc´ ulense las temperaturas T1 y T2 . (Respuestas: T1 = 867,0 K; T2 = 433,5 K) 12. ¿Cu´al es el medio m´as eficaz de aumentar el rendimiento de una m´aquina de Carnot: aumentar TC (temperatura de la fuente caliente), mantener TF (temperatura de la fuente fr´ıa) constante o disminuir TF manteniendo TC constante? (Respuestas: Es m´as eficaz disminuir la temperatura de la fuente fr´ıa) 13. Demuestra la imposibilidad de que dos procesos adiab´aticos cuasiest´aticos se corten. (Indicaci´on: Sup´ongase que se cortan y compl´etese el ciclo con una isoterma. Demu´estrese que la realizaci´on de este ciclo contradice el Segundo Principio.) 14. Un recipiente contiene 600 cm3 de helio gaseoso a 2 K y 1/36 atm. T´omese el cero de energ´ıa interna para el helio en este punto. a) Se eleva la temperatura a volumen constante hasta 288 K. Suponiendo que el helio se comporta como gas monoat´omico perfecto, ¿qu´e cantidad de calor ha absorbido y cu´al es la energ´ıa interna del helio? ¿Puede considerarse esta energ´ıa como calor o trabajo almacenados? b) Se expande ahora el helio adiab´aticamente hasta 2 K. ¿Qu´e trabajo se ha realizado y cu´al es la nueva energ´ıa interna? ¿Se ha convertido calor en trabajo sin compensaci´on, contradiciendo as´ı el Segundo Principio? c) Se comprime ahora el helio isot´ermicamente hasta su volumen inicial. ¿Cu´ales son las cantidades de calor y trabajo que intervienen en este proceso? ¿Cu´al es el rendimiento del ciclo? Tr´acese un diagrama P − V . (Respuestas: a) ∆U = Q12 = 362 J; Q31 = −12,36 J;

η = 97 %)

b) W23 = −362 J;

c) W31 = 12,36 J;

10.5. PROBLEMAS

309

15. Un motor de gas ideal trabaja seg´ un un ciclo que, representado en un diagrama P − V , es un rect´angulo. Sean P1 y P2 , respectivamente, las presiones inferior y superior, y llamemos V1 y V2 a los vol´ umenes inferior y superior. a) Calcular el trabajo realizado en un ciclo. b) Indica qu´e partes del ciclo implican un paso de calor al gas y calcular la cantidad de calor absorbida por el gas en un ciclo. (Sup´onganse capacidades calor´ıficas constantes.) c) Demostrar que el rendimiento de este motor es: η=

γ−1 γP2 V1 + P2 − P1 V2 − V1

(Respuestas: a) W = (P1 −P2 )(V2 −V1 ); b) Q =

γ 1 V1 (P1 −P2 )+ P2 (V1 − γ−1 γ−1

V2 ) ) 16. Un congelador se debe mantener a una temperatura de −40o C en un d´ıa de verano cuando la temperatura ambiente es de 27o C. Para mantener el congelador a esa temperatura se necesita extraer de ´el un calor de 17,650 cal/min. ¿Cu´al es la m´axima eficiencia posible del congelador y cu´al es la m´ınima energ´ıa que debe suministrarse al congelador? (Respuestas:  = 3,48;

Wmin = 5072 cal/min)

17. Un gas ideal (cP = 7/2 R) describe el ciclo de la figura. Conocidos los siguientes datos: P1 = 1 atm, T1 = 80o C, P2 = 25 atm y T3 = 3000o C, calc´ ulense los calores y trabajos puestos en juego durante el ciclo (disc´ utase si son absorbidos o cedidos). Obt´engase asimismo su rendimiento. (Respuestas: W12 = 11060 J/mol; Q23 = 49588 J/mol; Q41 = −19766 J/mol;

η = 0,60)

W34 = −40881 J/mol;

310

´ A LA TERMODINAMICA ´ CAP´ITULO 10. INTRODUCCION

P

3

adiabática

4

2 adiabática

1 V

18. Una barra de metal de 30 cm de longitud se dilata 0, 075 cm cuando su temperatura se aumenta de 0◦ C a 100◦ C. Una barra de material diferente y de la misma longitud se dilata 0, 045 cm para el mismo incremento de temperatura. Una tercera barra de 30 cm construida con dos trozos de los metales anteriores unidos por sus extremos, se dilata 0,065 cm entre 0◦ C y 100◦ C. Hallar la longitud de cada una de las porciones de la barra compuesta. (Respuestas: l1 = 20 cm ; l2 = 10 cm) 19. Un bloque de hielo que pesa 10 kg se encuentra a −8◦ C. Determinar la cantidad de agua que hay que a˜ nadir suponiendo que ´esta se encuentra a 50◦ C, para obtener al establecerse el equilibrio una mezcla de hielo y agua por partes iguales. Calor espec´ıfico del hielo: 0,5 cal/g◦ C; calor especifico del agua : 1 cal/g ◦ C ; calor latente de fusi´on : 80 cal/g. (Respuestas: m = 4888, 89 g) 20. Calcular la variaci´on de energ´ıa interna correspondiente a la transformaci´on de 1 kg de hielo a 0◦ C y 3 atm en agua l´ıquida a 4◦ C y a la misma presi´on. Densidad del hielo a 0◦ C : 0, 917 g/cm3 . Calor latente de fusi´on del hielo: 80 cal/g. (Respuestas: ∆U = 351, 7 kJ) 21. Una m´aquina de Carnot absorbe calor de una fuente a temperatura de 120◦ C y entrega calor a otra fuente a temperatura de 10◦ C. Si la m´aquina absorbe 150J de

10.5. PROBLEMAS

311

la fuente caliente, h´allese el trabajo que realiza, el calor que cede y su rendimiento. (Respuestas: W = 41, 97 J ; Q = 108 J; η = 27, 98 %)

Parte IV Pr´ acticas de laboratorio

Ca´ıda libre Objetivos Comprobar las relaciones posici´on-tiempo [y = y(t)] y velocidad-posici´on [v = v(y)] en un caso particular sencillo de movimiento uniformemente acelerado en una dimensi´on. Determinar experimentalmente la aceleraci´on de la gravedad, g.

Material Aparato de ca´ıda libre. Bola de acero (d = 1,9 cm) y bola de goma (d = 3,1 cm). Regla graduada. Contador digital. Barrera fotoel´ectrica.

Fundamento te´ orico Una de las fuerzas habituales en nuestra experiencia diaria es la que ejerce la Tierra sobre un objeto cualquiera. Esta fuerza se denomina gravitatoria, f~g , o, desde el punto de vista del objeto que la experimenta peso, P~ . Si se deja en libertad un objeto cerca de la superficie terrestre comienza a caer hacia ella. Despreciando la resistencia que ejerce el aire de la atm´osfera, experimentalmente se comprueba que la aceleraci´on con

CAP´ITULO 11. CA´IDA LIBRE

316

que cae est´a dirigida hacia el centro de la Tierra, es independiente del objeto y adem´as es constante. Esta aceleraci´on se denomina aceleraci´on de la gravedad y en el S.I. vale aproximadamente 9,81 m/s2 . Se denomina movimiento de ca´ıda libre al movimiento de ca´ıda de un cuerpo hacia la superficie terrestre con una aceleraci´on g si su velocidad inicial es nula y se desprecia la resistencia del aire. En realidad, medidas precisas de la aceleraci´on de la gravedad, indican que: a) La fuerza de atracci´on de la Tierra sobre un objeto depende de la distancia del objeto al centro de la Tierra, r, del siguiente modo: fg ∼ 1/r2 . As´ı, un cuerpo pesa ligeramente menos cuando se encuentra en lugares elevados, que respecto al nivel del mar. fg tambi´en depende de la latitud a la que se encuentra el objeto, puesto que la Tierra no es completamente esf´erica, sino que est´a achatada por los polos. b) La aceleraci´on de un cuerpo en ca´ıda hacia la superficie terrestre depende de la resistencia que oponga el aire a su ca´ıda. Si dejamos caer simult´aneamente una peque˜ na piedra y una hoja de papel con la misma masa, siempre llega antes la piedra. Esto se debe a que la resistencia que ofrece el aire a la hoja de papel es mayor, aunque la aceleraci´on gravitatoria es id´entica para los dos objetos. En cualquier caso, a efectos pr´acticos, podemos despreciar tanto la variaci´on de g con la altitud y la latitud como la resistencia que opone el aire en la ca´ıda y expresar: f~g = m~a o´ de otro modo: P~ = −mg~j donde g =| ~g |= 9,81 m/s2 y es aproximadamente constante. Por lo tanto, el movimiento de ca´ıda libre es uniformemente acelerado. Condiciones iniciales: t = 0 → y0 = 0,

v0 = 0.

Operando en t´erminos de m´odulos: dv g= → dv = g dt → dt

Z

Z

y

dy → dy = v dt → v= dt

v

t

Z dv =

g dt =⇒ v = g t

0

0

Z dy =

0

0

t

1 g t dt =⇒ y = g t2 2

317

Realizaci´ on pr´ actica Medida de la relaci´ on posici´ on-tiempo, y = y(t) Se lleva a cabo el montaje experimental con el contador digital no conectado a la red y utilizaremos la bola de acero. Comprueba que la bola y la cazoleta est´an alineadas de modo que la bola caiga dentro de la cazoleta. Conexiones el´ectricas: salidas del START ⇐⇒ disparador (d) salidas del STOP ⇐⇒ cazoleta bot´on INVERT del START presionado Una vez finalizado el montaje se conecta el contador a la red y se realizan las medidas de los pares (t, y) variando la posici´on de la cazoleta. (Antes de realizar cualquier medida pulsa STOP y luego NULL para poner a cero el contador).

Medida de la relaci´ on velocidad-posici´ on, v = v(y) Estas medidas se realizan con la ayuda de una barrera fotoel´ectrica y la bola de goma. Sabiendo el di´ametro de la bola, ∆s, (para la bola de acero, ∆s = 1,7 cm) y el tiempo que tarda en pasar por la barrera, ∆t, tenemos: v = ∆s/∆t para una altura dada. Coloca la cazoleta por debajo de la barrera de modo que cazoleta, barrera y disparador est´en alineados. Conexiones el´ectricas (hacerlas con el contador apagado): borne rojo del contador ⇐⇒ borne rojo de la barrera (+5) azul del contador ⇐⇒ azul de la barrera amarillos del contador (en cortocircuito) ⇐⇒ rojo del enchufe bipolar de la barrera blancos del contador (en cortocircuito) ⇐⇒ negro del enchufe bipolar de la barrera bot´on INVERT del STOP presionado

CAP´ITULO 11. CA´IDA LIBRE

318

Resultados a obtener 1.1.- Mide 8 pares de valores (t, y). 1.2.- Representa gr´aficamente las funciones: y = y(t), y = y(t2 ), y = y(Ln(t)). 1.3.- Ajusta por el m´etodo de los m´ınimos cuadrados las que m´as se asemejan a una l´ınea recta. 1.4.- Calcula g a partir de los ajustes anteriores.

2.1.- Mide 8 pares de valores (y, v). 2.2.- Representa gr´aficamente las funciones: v = v(y), v 2 = v 2 (y), v = v(Ln(y)). 2.3.- Ajusta por el m´etodo de los m´ınimos cuadrados las m´as parecidas a una recta. 2.4.- Calcula g a partir de los ajustes anteriores, utilizando la relaci´on te´orica que liga v e y.

Cuestiones 1. ¿Bajo qu´e hip´otesis puede considerarse la aceleraci´on de la gravedad constante? 2. Demuestra la relaci´on te´orica que liga la velocidad de ca´ıda con la altura: v = v(y). 3. ¿Qu´e diferencia hay entre los conceptos de peso y masa de un objeto? 4. Imagina dos objetos de igual masa, pero uno de ellos con una superficie mucho mayor que la del otro. Si ambos caen libremente dentro de un recipiente en el que previamente se ha hecho el vac´ıo, ¿cu´al de los dos llega antes al suelo? Razona la respuesta. 5. ¿D´onde pesa m´as un objeto, en Venezuela o en Groenlandia?

Est´ atica y din´ amica de un muelle vertical Objetivos Determinaci´on de la constante del muelle. Estudio de un muelle oscilante como ejemplo de movimiento arm´onico simple.

Material Tr´ıpode con barra soporte. Juego de muelles. Bolas de diferentes materiales. Juego de pesas y soporte. Sensor de movimiento y ordenador.

Fundamento te´ orico y realizaci´ on pr´ actica El movimiento arm´onico simple es consecuencia de una fuerza recuperadora lineal. Esto es, una fuerza directamente proporcional (lineal ) al desplazamiento con respecto a una posici´on de equilibrio. Se dice que la fuerza es recuperadora en el sentido de que siempre tiende a que el cuerpo recupere la posici´on de equilibrio. En esta pr´actica estudiaremos la fuerza recuperadora lineal experimentada por una masa colgada de un muelle espiral con la ayuda de un sensor de movimiento.

CAP´ITULO 11. MUELLE VERTICAL

320

Si la masa se aleja de la posici´on de equilibrio inicia un movimiento oscilatorio de tipo arm´onico simple. El desplazamiento o elongaci´on, z(t), del movimiento viene dado por la distancia desde la posici´on de equilibrio a la posici´on que ocupa la masa en un instante determinado. La amplitud, A, es la distancia entre las m´aximas elongaciones en un sentido y otro del movimiento. El periodo, T , del movimiento arm´onico simple viene dado por el tiempo que tarda la masa en realizar una oscilaci´on completa, por ejemplo, el tiempo que tarda en pasar desde una posici´on de m´axima elongaci´on hasta la siguiente. La frecuencia, f , es el inverso del periodo y la frecuencia angular, ω = 2πf .

La ley de Hooke. C´ alculo de la constante del muelle Si se desplaza del equilibrio un objeto conectado a un muelle, ´este ejerce una fuerza sobre el objeto opuesta al desplazamiento y viene dada por la ley de Hooke: F = −kz

(11.1)

Es decir, se trata de una fuerza proporcional y opuesta al desplazamiento con una constante de proporcionalidad, k, que se denomina constante del muelle. Como esta constante es una fuerza dividida por un desplazamiento, sus unidades en el S.I. son N/m. Esta constante es una medida de la rigidez del muelle. Nos ocuparemos en particular de una masa colgada de un muelle vertical. Si una masa m se cuelga de un muelle vertical, sobre ella act´ uan dos fuerzas, la recuperadora del muelle y el peso, F = −mg. Cuando la masa est´a en equilibrio, ambas son iguales y, por lo tanto, k z (11.2) g Esta ecuaci´on es poco u ´til porque no es sencillo determinar cu´al es el punto inicial de m=

masa m = 0 porque el muelle tambi´en tiene masa. Como es una ecuaci´on lineal, es m´as pr´actico considerar incrementos de posici´on y de masa con respecto a unos valores iniciales z0 y m0 , que tambi´en verifican k z0 . g Si de la ecuaci´on (3) restamos la (4) se obtiene: k ∆m = ∆z g m0 =

(11.3)

(11.4)

321 con ∆m = m − m0 y ∆z = z − z0 . Por tanto, vamos a medir la posici´on inicial, z0 , para el caso en el que s´olo est´a el soporte y a partir de ah´ı consideraremos los desplazamientos, z, para los casos en que se van a˜ nadiendo las pesas disponibles. Para medir las posiciones se coloca el sensor de movimiento debajo del muelle y en su vertical. Utilizando el programa de ordenador para medir distancias se obtiene directamente el valor de la posici´on en metros. A partir de aqu´ı se representa gr´aficamente ∆m frente a ∆z y se realiza un ajuste lineal. La pendiente del ajuste se corresponde con k/g y tomando como dato conocido g = 9,8 m/s2 se despeja k (¡cuidado con las unidades!).

El periodo de un muelle oscilante. Si suponemos que la masa del muelle es despreciable, cuando colgamos de ´el una masa m, y hacemos que ´esta oscile, se puede demostrar que el periodo de la oscilaci´on T viene dado por r

m . (11.5) k T tiene unidades de segundos, la constante del muelle k viene dada en N/m y la masa T = 2π

m en kilos. Si elevamos esta ecuaci´on al cuadrado, T2 =

4π 2 m, k

(11.6)

la masa aparece proporcional al cuadrado del periodo y por consiguiente podemos reescribir esta ecuaci´on en t´erminos de incrementos de masa. En efecto, como ∆m = m − m0 , se tiene que m = ∆m + m0 y sustituyendo en la ecuaci´on anterior obtenemos: T2 =

4π 2 4π 2 4π 2 m0 (∆m + m0 ) = ∆m + k k k

(11.7)

El procedimiento experimental consiste en medir el periodo de oscilaci´on para varias masas. Para calcular el periodo simplemente mediremos el tiempo total, t, empleado para realizar 50 oscilaciones completas, dividiendo t por 50 obtendremos una buena estimaci´on del periodo. El tiempo se medir´a con el cron´ometro del ordenador. De la representaci´on de los periodos al cuadrado, T 2 , frente a los incrementos de masa, ∆m, en kg se obtiene una recta y = ax + b cuya pendiente, a, nos permite calcular la constante del muelle.

CAP´ITULO 11. MUELLE VERTICAL

322

Din´ amica del muelle Despreciando el rozamiento con el aire, el movimiento oscilatorio del muelle cuando se le somete a una peque˜ na perturbaci´on es de tipo arm´onico simple. Matem´aticamente, la elongaci´on del muelle en funci´on del tiempo viene dada por una funci´on senoidal: z(t) = A cos(ωt + δ)

(11.8)

donde δ es el desfase inicial, dependiente de la posici´on y velocidad de la masa conectada al muelle en el instante inicial. Derivando esta ecuaci´on se pueden obtener la velocidad y la aceleraci´on como funciones del tiempo. En la pr´actica construiremos las ecuaciones del movimiento de dos muelles conectados a la misma masa (esfera de madera). Para ello utilizaremos el sensor de movimiento y el programa de ordenador que permite obtener las gr´aficas de z(t), v(t) y a(t). Haciendo un ajuste senoidal a las tres obtendremos los par´ametros que aparecen en las ecuaciones de movimiento.

Resultados a obtener a) Repres´entese gr´aficamente ∆m frente a ∆z. Aj´ ustense los datos a una recta. Calc´ ulese k/g a partir de la pendiente de la recta (ecuaci´on (11.4)). b) Est´ımese el valor de la constante del muelle multiplicando por el valor conocido de g = 9,8 m/s2 . c) Repres´entese gr´aficamente T 2 frente a ∆m y aj´ ustense los datos a una recta. Calc´ ulese la constante del muelle a partir de la pendiente de la recta. d) Calc´ ulense la frecuencia, frecuencia angular y periodo de los dos muelles disponibles conectados a la masa de madera. e) Calcula la amplitud de las tres funciones: z(t), v(t) y a(t) y comprueba que las relaciones entre ellas son las que indican los c´alculos te´oricos. f) Finalmente, escribe las ecuaciones de movimiento z(t), v(t) y a(t) para los dos muelles.

323

Cuestiones 1. ¿En qu´e unidades se miden en el S.I. las siguientes magnitudes: elongaci´on, amplitud, periodo y frecuencia? ¿Cu´ales son sus dimensiones? 2. Demuestra la ecuaci´on (11.5). 3. Comprueba que la ecuaci´on (11.7) es dimensionalmente correcta. 4. Contesta razonadamente a los siguientes enunciados: a) El periodo de un objeto que oscila sobre un determinado muelle es independiente de que el muelle est´e situado vertical u horizontalmente. b) La velocidad m´axima de un objeto que oscila con amplitud A es independiente de que el muelle que lo sujeta est´e situado horizontal o verticalmente. c) ¿Es realmente el movimiento del muelle del laboratorio arm´onico simple? ¿Por qu´e? ¿Qu´e hip´otesis simplificadoras estamos asumiendo?

P´ endulo simple Objetivos Comprobar los factores que determinan el periodo de un p´endulo simple. Determinar la aceleraci´on de la gravedad a trav´es del periodo de un p´endulo.

Material Tr´ıpode con barra soporte. Hilo de nylon. Bolas de diferentes materiales. Regla graduada. Cron´ometro. C´elula fotoel´ectrica y ordenador port´atil

Fundamento te´ orico Un p´endulo simple est´a formado por una peque˜ na masa, m, colgada del extremo de un hilo, que se supone de masa despreciable e inextensible, unido por el otro extremo a un soporte fijo. De este modo, cuando se da un peque˜ no impulso a la masa, oscila alrededor de la posici´on vertical de equilibrio. Las fuerzas que act´ uan sobre la masa, cuando est´a separada un a´ngulo θ de la posici´on de equilibrio, son las que se muestran en el esquema.

´ CAP´ITULO 11. PENDULO SIMPLE

326

θ l

T m

s

θ P

Si denominamos s al desplazamiento sobre el arco de circunferencia y aplicamos la segunda ley de Newton en la direcci´on del movimiento: ft = −m g sen θ = m

d2 s dt2

donde ft son las fuerzas tangenciales (en la direcci´on del movimiento) y el signo negativo se debe al sentido elegido para el movimiento (hacia la izquierda). En t´erminos de a´ngulos (s = lθ): d2 θ g d2 θ −→ = − sen θ 2 2 dt dt l Si consideramos que el a´ngulo θ es suficientemente peque˜ no se puede hacer la apro−g sen θ = l

ximaci´on sen θ ' θ y se obtiene:

d2 θ g = − θ dt2 l Con esta hip´otesis resulta que la aceleraci´on angular es proporcional al a´ngulo, lo

que da lugar a un movimiento oscilatorio de tipo arm´onico simple. La soluci´on de la ecuaci´on diferencial anterior se puede expresar como: θ = θ0 cos(ωt + δ) donde θ0 y δ son el desplazamiento angular y el desfase iniciales, respectivamente y ω es la frecuencia angular de la oscilaci´on: ω 2 = g/l. Por lo tanto, el periodo de oscilaci´on

327 (tiempo que tarda la masa en realizar una oscilaci´on completa, hasta regresar al punto de partida) resulta ser: 2π T = = 2π ω

s

l g

En consecuencia, dentro de las hip´otesis que consideramos se puede afirmar que el periodo de oscilaci´on de un p´endulo simple no depende de su masa sino u ´nicamente de la longitud del hilo y del valor particular de g en el lugar donde se encuentra el p´endulo.

Realizaci´ on pr´ actica Influencia de la masa Se coloca una de las masas que se suministran colgada del hilo con una longitud ◦

aproximada de 1 m. Se separa un a´ngulo peque˜ no (∼ 10 ) de la posici´on vertical de equilibrio y se deja oscilar. Con el cron´ometro se mide el tiempo que tarda el p´endulo en completar 25 oscilaciones y se determina el periodo de la oscilaci´on. Repite la medida 3 veces y toma para T el valor medio. Vuelve a realizar el procedimiento con las otras masas disponibles. Representa en una tabla las medidas obtenidas. Calcula el periodo tambi´en con la c´elula fotoel´ectrica y el programa DataStudio. Para ello, mide directamente el periodo con la c´elula 3 veces para cada masa y toma el valor medio.

Influencia de la longitud del hilo Con objeto de estudiar la dependencia del periodo con la longitud del hilo, utiliza la masa esf´erica y disminuye la longitud del hilo 10 cm. Mide el periodo realizando 3 observaciones de 25 oscilaciones cada una. Repite el proceso disminuyendo de 10 en 10 cent´ımetros la longitud del hilo hasta completar un total de 6 longitudes distintas. Para cada longitud calcula tambi´en el periodo con la c´elula fotoel´ectrica, repitiendo la medida 3 veces.

´ CAP´ITULO 11. PENDULO SIMPLE

328

Influencia de la amplitud inicial Con la masa esf´erica y fijada la longitud del hilo aproximadamente a 90, 80, y 70 ◦

cm determina el periodo si la amplitud inicial es mucho mayor que 10 (por ejemplo, ◦

deja oscilar el p´endulo desde un ´angulo inicial de 45 aproximadamente). Representa en una tabla las medidas obtenidas. Para cada amplitud calcula tambi´en el periodo con la c´elula fotoel´ectrica, repitiendo la medida 3 veces.

Resultados a obtener 1. Comparando las medidas realizadas con la longitud fija (1 m) y distintas masas, discute cu´al es la influencia de la masa en el periodo del p´endulo, tanto en las medidas realizadas con cron´ometro como con la c´elula fotoel´ectrica. ¿Est´a esto de acuerdo con la teor´ıa? 2. Representa gr´aficamente T 2 = T 2 (l) y ajusta por m´ınimos cuadrados tomando los valores de T y l obtenidos en los apartados 4.1 y 4.2 para la bola esf´erica de acero. A partir del ajuste, calcula el valor de la aceleraci´on de la gravedad, g. Repite estos c´alculos y la figura con las medidas tomadas con el ordenador. 3. Calcula g a partir de los resultados del apartado 4.3 para amplitudes iniciales grandes. ¿El valor que obtienes es m´as pr´oximo al valor te´orico para g que el resultado obtenido en el apartado anterior? Seg´ un la teor´ıa, ¿deber´ıa ser m´as pr´oximo o m´as lejano?

Cuestiones 1. ¿Bajo qu´e hip´otesis b´asicas el periodo de un p´endulo s´olo depende de la longitud del hilo y de g? 2. Imagina dos p´endulos id´enticos, uno situado a nivel del mar y el otro a 6000 m de altitud, ¿sus periodos ser´an id´enticos?

329 3. Si un p´endulo de 1 m de longitud se quiere utilizar como reloj, ¿cu´antas oscilaciones representan 1 hora? 4. Un p´endulo ha sido dise˜ nado para funcionar como reloj cuando la temperatura ◦

ambiente es de 20 C. ¿Qu´e suceder´a en un d´ıa de verano si la temperatura se ◦

aproxima a los 40 C, el reloj se adelantar´a o se atrasar´a?

P´ endulo f´ısico Objetivos Comprobar los factores que determinan el periodo de oscilaci´on de un p´endulo f´ısico. Determinar el momento de inercia de una barra. Determinar experimentalmente la aceleraci´on de la gravedad.

Material Barra met´alica con orificios. Tr´ıpode. Barrera fotoel´ectrica. Regla graduada.

Fundamento te´ orico Cualquier cuerpo r´ıgido colgado de alg´ un punto que no sea su centro de masas oscila cuando se desplaza de su posici´on de equilibrio. Este sistema recibe el nombre de p´endulo f´ısico. Consideremos una figura plana suspendida de un punto (como muestra el esquema, el eje de giro ser´a perpendicular al papel) a una distancia h del centro de masas y desplazada un ´angulo φ de su posici´on de equilibrio, tal y como indica la figura.

´ CAP´ITULO 11. PENDULO F´ISICO

332

eje de giro

z m, I

h φ h sen φ

c.m.

P

El m´odulo del momento de la fuerza gravitatoria respecto al punto de suspension es τ = −mghsen φ (el signo negativo se debe a que tiende a disminuir φ) y seg´ un la segunda ley de Newton para la rotaci´on: τ =Iα=I

d2 φ dt2

=⇒

−mgh sen φ = I

d2 φ dt2

donde I es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje de giro. Por lo tanto, d2 φ mgh =− sen φ 2 dt I y si se considera que los desplazamientos angulares son suficientemente peque˜ nos se puede aproximar: sen φ ' φ

=⇒

mgh d2 φ = −ω 2 φ con ω 2 = 2 dt I

En consecuencia, el p´endulo realiza un movimiento arm´onico simple de periodo:  1/2 I T = 2π mgh Tambi´en se puede expresar el periodo en t´erminos del momento de inercia del cuerpo respecto a su centro de masas, Icm , sin m´as que aplicar el teorema de Steiner: I = Icm + m h2 .

333

 T = 2π

Icm + mh2 mgh

1/2 (11.9)

Realizaci´ on pr´ actica Se cuelga la barra por uno de sus orificios y se desplaza ligeramente de su posici´on de equilibrio. Se calcula el periodo utilizando la barrera fotoel´ectrica y el programa DataStudio. A continuaci´on se cambia el eje de giro de la barra eligiendo otro valor de h (distancia eje-centro de masas) y se vuelve a calcular el periodo. De este modo construye una tabla con 8 valores de periodos frente a distancias. Resume en una tabla todas las medidas realizadas.

Resultados a obtener 1. A partir de la ecuaci´on (1) se puede determinar el momento de inercia de la barra respecto a su centro de masas del siguiente modo: 4π 2 Icm + mh2 −→ hT 2 = (Icm + mh2 ) T 2 = 4π 2 mgh mg Una vez obtenida esta ecuaci´on basta representar gr´aficamente la variable y definida como y = hT 2 frente a h2 y realizar un ajuste por m´ınimos cuadrados para determinar tanto Icm como g (tomando como dato conocido la masa de la barra, m = 87,3 g). 2. El valor te´orico del momento de inercia de una barra delgada respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro de masas es Icm =

1 m l2 , 12

donde l es su

longitud. Compara el valor experimental obtenido con el te´orico. ¿Cu´al es el error de la medida?

Cuestiones 1. Con el procedimiento experimental que se ha descrito y a partir de la ecuaci´on (1), ¿se podr´ıan determinar independientemente Icm y la masa de la barra? Razona

´ CAP´ITULO 11. PENDULO F´ISICO

334 la respuesta.

2. A partir del valor experimental obtenido para Icm , calcula mediante el teorema de Steiner el momento de inercia de la barra respecto a un eje perpendicular que pasa por uno de sus extremos. 3. ¿Qu´e tipo de movimiento realiza la barra si el a´ngulo de partida es suficientemente peque˜ no? ¿Qu´e fuerzas se desprecian para considerar que la barra realiza un movimiento de ese tipo? 4. Demuestra te´oricamente la ecuaci´on: τ = −mgh sen φ ¿Cu´ales ser´an la direcci´on y el sentido del vector ~τ en la figura?

P´ endulo de torsi´ on y momentos de inercia Objetivos Determinar la constante de un muelle espiral Determinar el momento de inercia de varios s´olidos r´ıgidos Comprobar la utilidad del teorema de Steiner

Material • Tripode son soporte

• Muelle espiral

• Barrera fotoel´ectrica

• Disco met´alico con orificios • Barra con pesas

• Disco de pl´astico

• Cilindro Macizo

• Cilindro hueco

• Esfera

Fundamento te´ orico P´ endulo de torsi´ on En la figura se muestra un p´endulo de torsi´on, que est´a formado por un objeto suspendido de un hilo que por el otro extremo est´a unido a un punto fijo. Un muelle espiral colocado de forma horizontal tambi´en se puede considerar como un p´endulo de torsi´on. Cuando el hilo o el muelle se giran un ´angulo θ, ejercen un momento que tiende a devolver el objeto a su posici´on inicial. Ese momento suele ser de la forma: τz = −kθ

(11.10)

CAP´ITULO 11. MOMENTOS DE INERCIA

336

donde el eje de giro se representa por z, τz es la componente del momento sobre el eje de giro y k se denomina constante de torsi´on y depende de las propiedades el´asticas del hilo o del muelle.

k

I θ

La segunda ley de Newton para la rotaci´on, aplicada a un cuerpo r´ıgido con simetr´ıa de revoluci´on y de momento de inercia I, se puede expresar as´ı: τz = I

d2 θ dt2

(11.11)

con lo que sustituyendo τz resulta la siguiente ecuaci´on diferencial: I

d2 θ + kθ = 0 dt2

(11.12)

Es sencillo comprobar que la soluci´on de esta ecuaci´on es de la forma: θ(t) = θ0 cos(ωt + δ) que representa un movimiento arm´onico simple de frecuencia y periodo:  1/2  1/2 k 2π I ω= ; T = = 2π I ω k

(11.13)

(11.14)

A diferencia del p´endulo simple, en este caso no se ha necesitado en ning´ un momento suponer que el a´ngulo θ sea suficientemente peque˜ no para que la ecuaci´on diferencial sea lineal. Es decir, en el caso del p´endulo de torsi´on, siempre que el momento sea proporcional al a´ngulo girado, el sistema describe un movimiento arm´onico simple.

337

Teorema de Steiner (o de los ejes paralelos) El momento de inercia de un s´olido r´ıgido no es una propiedad intr´ınseca del cuerpo sino que depende del eje de giro respecto al que se calcule. Por esta raz´on en muchas ocasiones es u ´til conocer las ecuaciones que relacionan el momento de inercia respecto a un eje con el momento respecto a otro diferente. Uno de los teoremas m´as utilizados en estas situaciones es el denominado teorema de los ejes paralelos o de Steiner, que relaciona el momento de inercia respecto a un eje cualquiera con el momento relativo a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas del objeto.

y'

y dm

y ycm z

r'

r

c.m. x'

d x

x cm

x

O

Consideremos un s´olido r´ıgido arbitrario de masa M , que tiene un momento de inercia I respecto a un eje que pasa por el punto O y, como se muestra en la figura, es perpendicular al plano del papel. Por definici´on de momento de inercia: Z Z
2 I = r dm = x2 + y 2 dm

(11.15)

Si consideramos ahora el momento de inercia del objeto en relaci´on a un eje de giro paralelo al anterior y que pasa por su centro de masas, Icm , su definici´on se expresar´ıa as´ı: Z Icm =

02

r dm =

Z 

2

x0 + y 0

2



dm

(11.16)

donde ahora las coordenadas est´an referidas a un sistema de referencia con origen en el centro de masas y cuyos ejes son paralelos a los ejes x e y. La relaci´on entre los

CAP´ITULO 11. MOMENTOS DE INERCIA

338

vectores de posici´on de un elemento infinitesimal de masa cualquiera, dm, vendr´a dada ~ donde d~ es el vector que une los or´ıgenes de los dos sistemas de por: r~0 = ~r − d, referencia. En coordenadas: 2

x2 = x0 + d2x + 2x0 dx ;

2

y 2 = y 0 + d2y + 2y 0 dy

Sustituyendo en la ecuaci´on de I y agrupando t´erminos: Z  Z Z 
2 2 02 02 dx + dy dm + 2 (x0 dx + y 0 dy ) dm dm + I= x +y

(11.17)

(11.18)

De esta suma, el primer sumando representa Icm , en el segundo dx y dy son constantes y resulta ser d2 M y el tercero representa las coordenadas del centro de masas en el sistema de referencia x0 , y 0 , que es precisamente el sistema de centro de masas, o sea, que es nulo. Por lo tanto: I = Icm + M d2

(11.19)

Este resultado se conoce con el nombre de teorema de Steiner y relaciona los momentos de inercia relativos a dos ejes paralelos siempre que uno de ellos pase por el centro de masas del objeto. d simplemente es la distancia entre los dos ejes.

Realizaci´ on pr´ actica y resultados a obtener Medida de la constante del muelle La constante del muelle espiral se puede determinar utilizando las ecuaciones (11.14) y (11.19). Sustituyendo una en otra: T2 =


4π 2 Icm + M d2 k

(11.20)

A partir de esta ecuaci´on se pueden obtener k e Icm sin m´as que medir la dependencia del periodo con la distancia del centro de masas al eje de giro. 1. Col´oquese sobre el muelle el disco met´alico con orificios y determ´ınese el periodo de la oscilaci´on para varias distancias del eje de giro al centro de masas (al menos 5).

339 2. Construye una tabla con la funci´on T = T (d). 3. A partir de la tabla repres´entese gr´aficamente T 2 frente a d2 y por medio de un ajuste por m´ınimos cuadrados determ´ınese la constante del muelle, k (utiliza las masas que aparecen en la tabla adjunta) en unidades del Sistema Internacional e Icm . ¡Advertencia: siempre se midan periodos con la barrera fotoel´ectrica, repite 6 veces la medida, 3 girando el muelle hacia la derecha y otras 3 hacia la izquierda. Toma luego como periodo la media aritm´etica de las 6 medidas!

C´ alculo de momentos de inercia El momento de inercia se puede determinar a partir del periodo haciendo uso de la ecuaci´on (11.14). 1. Determ´ınese el periodo para todos los objetos mencionados en el apartado Material, midiendo para cada uno de ellos el periodo 6 veces (3 hacia cada lado) y tomando como valor m´as probable el valor medio. T´engase en cuenta que para la barra con pesas, I = Ibarra + 2M d2 , donde M es la masa de cada pesa y d la distancia entre ellas y el eje. 2. Una vez calculado T para cada uno de los objetos proporcionados, obt´engase el momento de inercia y comp´arese con los momentos te´oricos de dichos cuerpos, considerando los datos de la tabla adjunta. Calc´ ulense los errores absolutos y relativos de los momentos de inercia.

Cuestiones 1. Demuestra que la ecuaci´on (11.13) junto con los valores de ω y T de la ecuaci´on (11.14) representa, efectivamente, una soluci´on de la ecuaci´on diferencial (11.12). 2. Explica detalladamente cada uno de los t´erminos de la ecuaci´on (11.18). ¿A trav´es de qu´e punto de un cuerpo debe pasar el eje de rotaci´on para que su momento de inercia sea m´ınimo?

CAP´ITULO 11. MOMENTOS DE INERCIA

340

Esfera Cilindro hueco Cilindro macizo Disco de pl´astico Disco met´alico (con orificios) Barra met´alica Pesas (cada una)

masa (kg)

dimensiones (m)

0.846 0.374 0.378 0.297 0.384 0.176 0.211

r=0.07 ri = 0,046, re = 0,050 r=0.0495 r=0.11 r=0.15 l=0.6

3. Calcula el momento de inercia de un sistema formado por cuatro masas puntuales iguales distribuidas en los v´ertices de un rect´angulo de lados a y b respecto a un eje que coincide con la diagonal del rect´angulo.

Ondas estacionarias Objetivos Comprender el concepto de onda estacionaria Determinar la velocidad de propagaci´on de las ondas estacionarias en una cuerda

Material • Cuerda el´astica

• Transformador de voltaje

• Motor el´ectrico

• Mult´ımetro digital

• Generador de frecuencias

Fundamento te´ orico Las ondas confinadas en una regi´on del espacio (como las ondas en las cuerdas de una guitarra, las ondas sonoras en el tubo de un ´organo o las ondas longitudinales en un muelle) se reflejan en los extremos y las ondas incidentes y reflejadas coinciden en esa misma regi´on. Por el principio de superposici´on dichas ondas se combinan sum´andose. Para una cuerda, muelle o tubo determinados existen ciertas frecuencias en que la combinaci´on da como resultado lo que se denomina una onda estacionaria. En esta situaci´on los elementos de la cuerda o muelle vibran alrededor de su posici´on de equilibrio, pero la onda da la sensaci´on de no desplazarse. Sus aplicaciones son importantes por ejemplo en el dise˜ no de instrumentos musicales y en ramas de la ingenier´ıa como la construcci´on de puentes y edificios. Si se fijan los extremos de una cuerda y se hace vibrar con determinadas frecuencias se obtienen ondas estacionarias como las que se muestran en la figura. Estas frecuencias

CAP´ITULO 11. ONDAS ESTACIONARIAS

342

se denominan frecuencias de resonancia del sistema. La m´as baja recibe el nombre de frecuencia fundamental y el esquema que se produce arm´onico fundamental o primer arm´onico. La segunda frecuencia a la que se produce onda estacionaria es justamente el doble de la primera y el patr´on originado se llama segundo arm´onico. Y as´ı sucesivamente. Para cada arm´onico existen puntos del muelle que no se mueven. Se llaman nodos. Y los puntos que tienen m´axima vibraci´on antinodos o vientres. Como los extremos del muelle est´an fijos siempre son nodos. El primer arm´onico tiene un antinodo, el segundo dos y as´ı progresivamente. Se puede demostrar que si la longitud del muelle o cuerda es l su relaci´on con la longitud de onda del arm´onico n-´esimo, λn viene dada por:

l=n

λn 2

n = 1, 2, 3 . . .

(11.21)

Esta ecuaci´on se suele denominar condici´on de onda estacionaria porque indica para una longitud dada las longitudes de onda que tienen las sucesivas ondas estacionarias. En t´erminos de frecuencias:

fn =

v vn = λn 2l

(11.22)

donde v es la velocidad de propagaci´on de la onda. De otro modo:

fn = n

v = n f1 2l

donde f1 = v/2 l es la frecuencia fundamental.

n = 1, 2, 3 . . .

(11.23)

Tercer armónico

n=3

N

A A

Cuarto armónico

Quinto armónico

l

A A A A A

A A A A

A A A

N N n=2

n=1

N

Segundo armónico

n=4

N

Primer armónico fundamental

n=5

343 A

CAP´ITULO 11. ONDAS ESTACIONARIAS

344

Realizaci´ on pr´ actica Una vez situado un extremo de la cuerda en el extremo fijo del soporte y el otro en el motor el´ectrico, fija su longitud aproximadamente en 52 cm. A continuaci´on conecta el generador de frecuencias y localiza los primeros arm´onicos (hasta n = 6 ´o n = 7) para esa longitud. Anota la frecuencia correspondiente a cada uno. Repite las medidas de la frecuencia tres veces y utiliza el valor medio para los c´alculos subsiguientes. Vuelve a seguir el procedimiento para otras 4 longitudes diferentes de la cuerda (por ejemplo 63, 73 y 83 cm).

¡Advertencias! El generador de funciones debe estar situado siempre en el valor U/Vs = 3 Para localizar las frecuencias de resonancia el barrido se debe hacer de menor a mayor valor de la frecuencia ¡ No tocar el motor bajo ning´ un concepto !

Resultados a obtener 1. Representa una tabla para cada una de las longitudes consideradas con los valores de n y fn 2. Para cada una de las longitudes consideradas representa gr´aficamente la frecuencia de vibraci´on, fn frente a n. 3. Mediante ajuste por m´ınimos cuadrados de las gr´aficas anteriores calcula la velocidad de propagaci´on de la onda, v, para cada longitud (ec. (11.22)). 4. La velocidad de propagaci´on de una onda en una cuerda depende de la tensi´on a la que est´a sometida y de su densidad lineal de masa, µ. Utilizando la ecuaci´on correspondiente y sabiendo que para la cuerda empleada µ = 1,05 g/m, calcula a partir de las velocidades obtenidas, la tensi´on de la cuerda para cada longitud en unidades del S.I.

345

Cuestiones 1. ¿Qu´e diferencia hay entre un movimiento ondulatorio y un movimiento oscilatorio? En el montaje de esta pr´actica, ¿qu´e elemento realiza un movimiento oscilatorio? 2. ¿Por qu´e las ondas estacionarias se denominan as´ı? 3. ¿Las ondas que se producen en esta pr´actica son longitudinales o transversales? ¿Por qu´e? 4. Una cuerda con ambos extremos fijos resuena con una frecuencia fundamental de 100 Hz. ¿Cu´al de las siguientes acciones reducir´a esa frecuencia a 50 Hz? a) Duplicar la tensi´on y duplicar la longitud b) Mantener fija la tensi´on y duplicar la longitud c) Mantener fija la tensi´on y reducir la longitud a la mitad

Conservaci´ on de la energ´ıa Objetivos Hacer un an´alisis de la conservaci´on de la energ´ıa en un sistema con movimientos de traslaci´on y rotaci´on Determinar el momento de inercia de un disco

Material • Tripodes son soporte y eje • Hilo • Sensor de movimiento

• Ordenador

• Disco de Maxwell (r = 2,5 ± 0,01 mm; m = 527,0 ± 0,1 g)

Fundamento te´ orico Consideramos como sistema un disco o volante sujeto por dos hilos a un eje fijo de tal manera que al ser liberado desde una cierta altura desciende por acci´on de la fuerza de la gravedad realizando tanto un movimiento de traslaci´on de su centro de masas como un movimiento de rotaci´on alrededor de un eje. Considerando que los rozamientos no son apreciables, el sistema es conservativo, la u ´nica energ´ıa potencial ser´a la asociada a la fuerza gravitatoria. Por lo tanto, si Ei es la energ´ıa mec´anica total en el instante inicial y Ef es la energ´ıa mec´anica total en cualquier otro instante (por ejemplo, cuando el sistema est´e a una altura h cualquiera), se verifica que Ei = Ef . Si se deja caer el sistema desde el reposo la energ´ıa inicial ser´a u ´nicamente potencial gravitatoria y en cualquier otro instante tendr´a una componente cin´etica de traslaci´on, otra cin´etica de rotaci´on y otra potencial

´ DE LA ENERG´IA CAP´ITULO 11. CONSERVACION

348

gravitatoria. Eligiendo como origen de la energ´ıa potencial gravitatoria la que tiene en el instante f y considerando que la altura inicial respecto a f es h0 , 1 1 mgh0 = mv 2 + Iω 2 2 2

(11.24)

donde I es el momento de inercia de la rueda, v la velocidad de traslaci´on y ω la de rotaci´on. Teniendo en cuenta que ω = v/r, donde r es el radio del volante y que en un movimiento uniformemente acelerado que parte de reposo v 2 = 2 a ∆h, podemos despejar v 2 de la Ec. (11.24) e igualando obtener a: a=

mg I m+ 2 r

(11.25)

La ecuaci´on de la altura en funci´on del tiempo ser´a: 1 h(t) = h0 + at2 2

(11.26)

donde h0 es la altura inicial.

Realizaci´ on pr´ actica y resultados a obtener Se deben enrollar los hilos sobre el eje m´ovil del volante de forma que la densidad de hilo enrollado sea similar a ambos lados del volante. Hay que tratar de evitar tambi´en posibles balanceos nivelando bien los dos ejes, el fijo y el m´ovil. Para hacerlo hay un peque˜ no tornillo atado a uno de los hilos. 1. Se enrolla la cuerda para subir la rueda hasta el punto m´as alto. En ese instante se inicia la toma de datos en el ordenador, representando h = h(t). 2. Se hace un ajuste de la curva a una par´abola para estimar la aceleraci´on, Ec. (11.26). 3. Una vez obtenida se calcula el momento de inercia de la rueda a partir de la Ec. (11.25). 4. Utilizando el sensor de movimiento para medir velocidades comprueba la ecuaci´on para la conservaci´on de la energ´ıa en 8 alturas diferentes. Para ello se construye

349 una tabla con la energ´ıa cin´etica de traslaci´on, cin´etica de rotaci´on y potencial gravitatoria. Su suma, que es la energ´ıa mec´anica total, debe ser constante, y aproximadamente independiente de la altura.

Cuestiones 1. ¿C´omo ser´ıa la Ec. (11.24) si elegimos como origen de energ´ıa potencial gravitatoria la altura inicial? ¿Las dem´as ecuaciones que hemos planteado seguir´ıan siendo v´alidas? 2. Un CD digital contiene datos digitales de forma que cada bit ocupa 0,6 µm a lo largo de una pista espiral continua que va desde la circunferencia interior del CD hasta el borde exterior. Un reproductor de CD hace girar el disco para que la pista pase por una lente a una velocidad constante de 1,30 m/s. Calcula la velocidad angular que se necesita: a) Al principio de la grabaci´on, donde la espiral tiene un radio de 2,30 cm. b) Al final de la grabaci´on donde el radio es de 5,80 cm. c) Una grabaci´on de m´axima longitud dura 74 min 33 s. Calcula la aceleraci´on angular media del disco. d ) Calcula la longitud total de la pista. 3. Big Ben, el reloj de la torre del Parlamento de Londres tiene una manecilla de las horas de 2,70 m de longitud y una masa de 60 kg, mientras que la manecilla de los minutos tiene 4,50 m de largo y masa 100 kg. Calcula la energ´ıa cin´etica de rotaci´on total de las dos manecillas respecto a su eje de rotaci´on considerando que son dos varillas delgadas de densidad uniforme.

Dilataci´ on de s´ olidos y l´ıquidos Objetivos Determinar el coeficiente de dilataci´on c´ ubica de una sustancia l´ıquida. Determinar el coeficiente de dilataci´on lineal de un material s´olido.

Material Term´ometro digital. Calentador el´ectrico y ba˜ no t´ermico. Matraz con dilat´ometro de l´ıquidos graduado en escala de 0,01 ml. Dilat´ometro de s´olidos en escala de 0,01 mm y soporte para varillas. Varillas huecas de diversos materiales (Al, Cu, bronce, . . . )

Fundamento te´ orico Coeficiente de dilataci´ on c´ ubica de l´ıquidos Se define como la variaci´on de volumen del l´ıquido cuando experimenta un cambio de temperatura a presi´on constante, por ejemplo cuando el material se encuentra bajo la presi´on atmosf´erica. Matem´aticamente, se define del siguiente modo:   1 ∂V α= V ∂T P

(11.27)

352

´ DE SOLIDOS ´ CAP´ITULO 11. DILATACION Y L´IQUIDOS

En el Sistema Internacional de Unidades se mide en K−1 . El orden de magnitud de α para l´ıquidos es de 10−4 − 10−3 (K−1 ) aunque depende de la temperatura y presi´on a que se encuentre el material. Para la mayor´ıa de las sustancias α es positivo (lo que significa que, por ejemplo, un incremento de temperatura provoca un aumento ◦

◦

de volumen) pero para algunas (agua entre 0 C y 4 C y algunos pol´ımeros) α es negativo. Este hecho se denomina dilataci´on an´omala. En el caso del agua esto se pone ◦

de manifiesto cuando se observa que el agua l´ıquida al congelarse por debajo de 0 C aumenta su volumen, esto es, se dilata. Una utilidad fundamental de los coeficientes t´ermicos es que su conocimiento permite la determinaci´on de la variaci´on de unas variables del sistema en funci´on de otras. Por ejemplo, en el caso de α, si consideramos que permanece constante en un cierto intervalo de temperaturas, de la integraci´on de la ecuaci´on anterior entre dos estados i y f cualesquiera, resulta: Vf = Vi eα(Tf −Ti )

(11.28)

Esta ecuaci´on permite conocer el volumen del l´ıquido a cualquier temperatura Tf sin m´as que conocerlo previamente a la temperatura Ti . Para determinar experimentalmente α llamemos a la temperatura inicial, T0 , y consideremos que las variaciones de volumen son peque˜ nas en comparaci´on con el propio volumen del sistema. Es decir, si V es el volumen a una temperatura cualquiera, consideraremos que V ' V0 donde V0 es el volumen a la temperatura T0 . Haciendo un desarrollo en serie de Taylor a primer orden de la ecuaci´on (11.28), se obtiene: V − V0 = αV0 (T − T0 )

(11.29)

Basta representar gr´aficamente V − V0 frente a T − T0 y hacer un ajuste lineal para obtener α a partir de la pendiente correspondiente.

Coeficiente de dilataci´ on lineal de s´ olidos En el caso de s´olidos se puede definir un coeficiente de dilataci´on c´ ubica de forma an´aloga al anterior sin m´as que sustituir la presi´on por la tensi´on, τ , a la que

353 est´a sometido el material. De este modo: 1 α= V



∂V ∂T

 (11.30) τ

Para s´olidos aproximadamente unidimensionales (varillas) se define de forma an´aloga un coeficiente de dilataci´on lineal del siguiente modo:   1 ∂l αl = l ∂T τ

(11.31)

donde l representa la longitud de la varilla en unas ciertas condiciones de temperatura y tensi´on aplicada. A temperatura ambiente el orden de magnitud de αl suele ser 10−6 − 10−5 (K−1 ). Razonando igual que en el caso de l´ıquidos, la longitud de una varilla a una temperatura cualquiera, Tf , se puede conocer sabiendo su longitud a otra temperatura, Ti , y suponiendo que αl no cambia apreciablemente en el intervalo Ti −Tf , utilizando la relaci´on: lf = li eαl (Tf −Ti )

(11.32)

Experimentalmente, αl se calcula de modo an´alogo a α, a partir de la ecuaci´on: l − l0 = αl l0 (T − T0 )

(11.33)

Realizaci´ on pr´ actica ◦

Conecta el calentador y anota cada 5 C el aumento de volumen del l´ıquido, V − V0 y de longitud de la varilla, l − l0 y la temperatura, T , desde la temperatura ambiente, ◦

T0 , hasta una temperatura final aproximada de 60 C. Repite el proceso con los otros l´ıquidos o s´olidos que se propongan.

Resultados a obtener 1. Representa gr´aficamente V − V0 frente a T − T0 para el l´ıquido considerado. A partir de un ajuste lineal de esa curva (utilizando la ecuaci´on (11.29)), y sabiendo que V0 para el matraz utilizado vale 78 ml, determina α.

´ DE SOLIDOS ´ CAP´ITULO 11. DILATACION Y L´IQUIDOS

354

2. Representa gr´aficamente l − l0 frente a T − T0 para cada varilla considerada. A partir de un ajuste lineal de esa curva (utilizando la ecuaci´on (11.33)), y sabiendo que l0 = 60 cm, determina, αl .

Cuestiones 1. En el laboratorio se ha determinado que el coeficiente de dilataci´on lineal de una ◦

varilla de acero vale 1,1 × 10−5 (K−1 ) a una temperatura aproximada de 25 C. Si ◦

su longitud a esa temperatura es de 38 cm, ¿cu´al es su longitud a 50 C? 2. Al determinar el coeficiente de dilataci´on c´ ubica de los l´ıquidos, ¿habr´ıa que tener en cuenta que al calentar el l´ıquido se dilata el recipiente que lo contiene? Sabiendo que el coeficiente de dilataci´on c´ ubica del vidrio es del orden de 9,0 × 10−6 (K−1 ), ¿de qu´e orden ser´ıa la correcci´on a considerar? 3. Sabiendo que la ecuaci´on t´ermica de estado de un gas ideal es P V = nRT , ¿cu´al es el coeficiente de dilataci´on c´ ubica para un gas de este tipo? 4. Representa de forma aproximada una gr´afica volumen-temperatura para el agua ◦

si inicialmente su temperatura son +10 C y se disminuye progresivamente hasta ◦

alcanzar −10 C.

Ecuaci´ on de estado del gas ideal Objetivos Comprobaci´on de la ecuaci´on de estado del gas ideal experimentalmente Construcci´on de curvas a presi´on, temperatura o volumen constante

Material Bomba/calentador el´ectrico Termostato Term´ometro y bar´ometro Dispositivo para la determinaci´on de vol´ umenes y presiones

Fundamento te´ orico El establecimiento emp´ırico de la ecuaci´on t´ermica de los gases ideales se basa en los experimentos realizados por R. Boyle y E. Mariotte en el siglo XVII y J.L. Gay-Lussac a comienzos del siglo XIX. R. Boyle demostr´o experimentalmente que los gases en condiciones de alta temperatura y/o baja presi´on verifican que: ”a temperatura constante el producto de la presi´on por el volumen permanece constante”, es decir que, en condiciones isotermas presi´on y volumen son inversamente proporcionales: PV = A

(T=cte.)

(11.34)

CAP´ITULO 11. GAS IDEAL

356

donde A es una constante. Esta ecuaci´on fue tambi´en descubierta por E. Mariotte y por ello se denomina ley de Boyle-Mariotte. De modo similar, J.L. Gay-Lussac puso de manifiesto que ” manteniendo constante la presi´on, el volumen de un gas var´ıa proporcionalmente con la temperatura” V = BT

(P=cte.)

(11.35)

donde B es una constante. Por otra parte tambi´en dedujo que ” manteniendo el volumen constante, la presi´on de un gas var´ıa proporcionalmente a la temperatura” P = CT

(V=cte.)

donde C es una constante. Estas dos ecuaciones se conocen con el nombre de leyes de Gay-Lussac. La combinaci´on de todas estas ecuaciones (manteniendo siempre fijo el n´ umero de moles del gas) da lugar a la siguiente relaci´on: P V = KT

(11.36)

donde K es una constante que puede calcularse mediante la ley de Avogadro: ”un n´ umero igual de moles de gases diferentes ocupan el mismo volumen cuando se encuentran a la misma presi´on y temperatura”. Este volumen es 22,4 l cuando la cantidad de gas es 1 mol, la presi´on es 1 atm y la temperatura 0o C. Esto lleva a escribir la Ec. (11.36) como: P V = nRT

(11.37)

siendo n el n´ umero de moles y R = 0,082

atm.l J cal = 8,314 = 1,984 mol.K mol.K mol.K

La ecuaci´on (11.37) se conoce como ecuaci´on t´ermica de estado para el gas ideal y proporciona buenos resultados te´oricos en comparaci´on con los experimentales para gases reales a altas temperaturas y/o bajas densidades.

357

Realizaci´ on pr´ actica Medida de temperaturas El dispositivo experimental consta de dos recipientes de vidrio conectados entre s´ı por un tubo de goma en forma de U que contiene mercurio. El primer recipiente es la c´amara que contiene n moles del gas (aire) que constituye el sistema de trabajo. Esta c´amara est´a rodeada de una camisa de vidrio por la que circula agua permitiendo as´ı fijar la temperatura del sistema. Las temperaturas se seleccionan con el motor-calentador situado sobre el dep´osito de agua. El segundo recipiente contiene una reserva de mercurio que puede desplazarse verticalmente para variar la presi´on y el volumen del gas. Medida de vol´ umenes La regla vertical al lado de la c´amara del gas est´a graduada en cm (trazos gruesos) y mm (trazos finos), para determinar el volumen del gas. La secci´on de la c´amara es de 1 cm2 por lo que el volumen se mide directamente en cm3 sin m´as que medir alturas. Medida de presiones Por otra parte, la presi´on del gas en la c´amara se calcula midiendo diferencia de alturas en la regla graduada y utilizando la ecuaci´on: P = P0 ± ∆P ;

∆P = ρg∆h

donde P0 es la presi´on atmosf´erica medida en el bar´ometro del laboratorio, ρ es la densidad el mercurio y ∆h la diferencia de altura entre las dos ramas de mercurio. De hecho el aparato est´a dise˜ nado de modo que midiendo directamente ∆h, se obtiene P − P0 en unidades de mmHg.

Resultados a obtener 1. Isotermas

CAP´ITULO 11. GAS IDEAL

358

Empezando a temperatura ambiente, construye 3 isotermas a intervalos de 10 grados de temperatura (haciendo la primera a temperatura ambiente). Para cada una de ellas efect´ ua entre 6 y 8 medidas de P y V . Representa las tablas con los resultados para cada una y haz un diagrama P − V con las 3 isotermas. Si para cada isoterma se repiten los valores de volumen de la anterior, los mismos datos tomados aqu´ı se pueden utilizar en el apartado siguiente. 2. Comprobaci´on de la ley de Boyle-Mariotte Seg´ un la Ec. (11.34), cuando la temperatura permanece constante, presi´on y volumen son inversamente proporcionales. Representa gr´aficamente P frente a 1/V para cada isoterma y haz el ajuste por m´ınimos cuadrados de cada una. 3. C´alculo del n´ umero de moles Calcula el n´ umero de moles de aire contenidos en el tubo de medida utilizando: PV =n P →0 RT l´ım

Para ello representa gr´aficamente P V /RT frente a P para las 3 temperaturas de las isotermas. Se obtendr´an rectas cuyo puntos de corte con el eje vertical deben coincidir y se corresponden aproximadamente con n. 4. Isocoras Construye varias isocoras, utilizando los datos tomados en el apartado anterior. Representa las tablas de P frente a T correspondientes y un diagrama P − T con todos los datos. 5. Comprobaci´on de la ley de Gay-Lussac Seg´ un la Ec. (IV), a volumen constante P y T son directamente proporcionales. Haz un ajuste por m´ınimos cuadrados de cada una de las isocoras (P frente a T ) del apartado anterior para comprobar que efectivamente se verifica la ley.

359

Cuestiones 1. ¿En qu´e condiciones de presi´on, volumen y temperatura se puede considerar un gas como ideal? 2. Microsc´opicamente, ¿c´omo es un gas ideal? ¿Qu´e diferencias b´asicas existen entre un gas ideal y uno real? 3. Un globo de forma esf´erica (radio 18 cm) est´a lleno de helio a temperatura ambiente (20o C) y presi´on 1,05 atm. Calcula el n´ umero de moles de helio que contiene el globo y la masa correspondiente. 4. Un neum´atico de autom´ovil se infla a una presi´on de 200 kPa a 10o C. Si despu´es de conducir 100 kms, la temperatura dentro del neum´atico ha aumentado 40o C, ¿cu´al es la presi´on en su interior? (Sup´ongase que el proceso es isocoro). 5. ¿Cu´antas mol´eculas se inhalan aproximadamente al inspirar 1 l de aire en condiciones normales?

Bibliograf´ıa Bibliograf´ıa b´ asica P.A. Tipler y G. Mosca, F´ısica (Revert´e, 2010) 6a Edici´on. R.A. Serway, F´ısica para Ciencias e Ingenier´ıa (Thompson, 2009) 7a Edici´on. W.E. Gettys, F.J. Keller, M.J. Skove, F´ısica para Ingenier´ıa y Ciencias (McGrawHill, 2005) 2a Edici´on. F.P. Beer, Mec´anica vectorial para ingenieros (McGraw-Hill, 2007) 8a Edici´on.

Bibliograf´ıa complementaria F.A. Gonz´alez Hern´andez, La F´ısica en problemas, (Tebar, 2000). C. Fern´andez Pineda y S. Velasco, Introducci´on a la Termodin´amica (S´ıntesis, 2009). C.P. Jargodzki and F. Potter, Mad About Physics (John Wiley, 2001). L.A. Bloomfield, How Things Work (John Wiley, 2001). P. Gn¨adig, G. Honyek and K. Riley, 200 Puzzling Physics Problems (Cambridge, 2001). F. Esquembre, FISLETS : ense˜ nanza de la f´ısica con material interactivo (Pearson, 2004).

CAP´ITULO 11. BIBLIOGRAF´IA

362

P´ aginas web www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm phet.colorado.edu

´Indice alfab´ etico ´ Angulo cr´ıtico, 74

Arm´onico, 221, 246 Arqu´ımedes

Acci´on-reacci´on, 63

principio de, 181

principio, 59 Aceleraci´on

Bomba de calor, 292

angular, 35

Ca´ıda libre, 27

centr´ıpeta, 31, 44

Caballo de vapor

centr´ıpeta de la Tierra, 61 de Coriolis, 44

unidad de potencia, 98 Calidad

instant´anea, 23

factor de, 217

media, 23

Calor espec´ıfico, 287

normal, 31

Campo, 67

tangencial, 31

gravitatorio, 68

Acelerador de part´ıculas, 130

Cantidad de movimiento, 62, 122

Afelio, 159

Capacidad calor´ıfica, 287

Aislante t´ermico, 271

Centro de masas

Alcance, 38, 65

sistema continuo, 119

Altura m´axima, 38

sistema discreto, 117

Amortiguamiento cr´ıtico, 217

Ciclo de Carnot, 294

Amplitud, 200, 232, 239

Cinem´atica, 19

An´alisis

Clapeyron

de Fourier, 221 An´armonico, 215

diagrama de, 281 Coeficiente

Antinodo, 246

de fricci´on cin´etica, 72

Arist´oteles, 57

de fricci´on est´atica, 71 363

´INDICE ALFABETICO ´

364 de fricci´on por rodadura, 76

Decibelio, 258

de restituci´on, 128

Deformaci´on relativa, 168

Coeficiente adiab´atico, 297 Colisi´on, 124

Densidad, 119 del aire, 179

el´astica, 125

lineal, 119

inel´astica, 125

superficial, 119

perfectamente inel´astica, 125 Componentes, 270

Desarrollo en serie, 7, 179, 208 Descripci´on

Compresibilidad

macrosc´opica, 269

m´odulo, 256

microsc´opica, 269

Condici´on de onda estacionaria, 246

Desfase inicial, 201, 241

Condiciones

Diagrama

de contorno, 246 iniciales, 202 Conservaci´on de la energ´ıa, 107 del momento angular, 157 del momento lineal, 123 Conservativa fuerza, 100 Constante

deformaci´on-tiempo, 170 Diferencial inexacta, 97, 280 Difracci´on, 254 Dimensi´on, 6 Din´amica, 19, 57 Dina unidad de fuerza, 62 Dinam´ometro, 59 Ecuaci´on

de tiempo, 217

de Bernoulli, 187

del movimiento, 123

de continuidad, 185

el´astica, 172

de estado del gas ideal, 277

universal de los gases, 277

de la trayectoria, 38

Coulomb ley de, 64

de ondas, 248 dimensionalmente homog´enea, 6

Criterio ego´ısta, 278

emp´ırica de estado, 276

Cuerpo r´ıgido, 139

fundamental de la calorimetr´ıa, 287

Curva esfuerzo-deformaci´on, 169

Efecto Venturi, 187

´INDICE ALFABETICO ´ El´astico r´egimen, 168 Energ´ıa

365 s´olido, 174 termodin´amico, 271 ´ Eter, 39

cin´etica, 100 cin´etica de rotaci´on, 141 de las ondas arm´onicas, 242 de un MAS, 205 interna, 285 mec´anica, 107 potencial, 101 Entorno, 270 Equilibrio estable, 104 indiferente, 104 inestable, 104 mutuo, 271 neutro, 104 termodin´amico, 272

Factor de calidad, 217 Fase, 201, 270 Figuras de Lissajous, 212 Fluido compresible, 177 ideal, 183 incompresible, 177 newtoniano, 189 no viscoso, 184 viscoso, 188 Flujo estacionario, 183 irrotacional, 184 laminar, 184 turbulento, 184

Equivalente mec´anico del calor, 284

Foco emisor, 250

Ergio

Foucault

unidad de energ´ıa, 94 Escala absoluta de temperaturas, 275 Celsius, 276

p´endulo, 46 Fourier teorema de, 220 Frecuencia, 201, 232, 240

Escala termom´etrica, 274

angular, 201, 240

Esfuerzo, 168

de resonancia, 246

Est´atica, 19

fundamental, 246

Estado

movimiento de rotaci´on uniforme, 34

gaseoso, 174 l´ıquido, 174

Frente de ondas, 250

´INDICE ALFABETICO ´

366 esf´erico, 250 Fricci´on

de ondas, 233 Funci´on de estado, 273

cin´etica, 70 est´atica, 70 por rodadura, 75 Frontera, 270 Fuente

Galileo, 57 Gradiente, 106 Herzio, 34 unidad de frecuencia, 201

de calor, 291

Hist´eresis, 170

de trabajo, 291

Historia el´astica, 170

Fuerza, 58, 62 centr´ıfuga, 80 central, 158 conservativa, 100, 107 constante, 101 de arrastre en fluidos, 76 de contacto, 68 de empuje, 181 de rozamiento, 70 de rozamiento viscosa, 189 de sustentaci´on, 188 externa, 121 ficticia, 79

Hooke ley de, 171 Huygens princpio de, 251 Impulso, 131 Inercia principio, 59 Inercial masa, 61 sistema de referencia, 61 Integral de l´ınea, 96 Intensidad

interna, 121

de una onda, 251

media, 131

del sonido, 258

no conservativa, 109

Interacci´on

normal, 64

material, 271

peri´odica, 218

mec´anica, 271

Fuerzas internas, 121 Funci´on

t´ermica, 271 termodin´amica, 270 electromagn´etica, 65

´INDICE ALFABETICO ´

367

gravitatoria, 65

adimensional, 7

nuclear d´ebil, 66

derivada, 3

nuclear fuerte, 66

escalar, 3

Interferencia, 234

fundamental, 3

constructiva, 234, 244

termodin´amica, 270

destructiva, 234, 244

vectorial, 3

Interferencia de ondas, 243 Invariante magnitud, 41 Julio unidad de energ´ıa, 94

Masa, 58 inercial, 61 Mec´anica cl´asica, 19 cu´antica, 20 relativista, 19

Lennard-Jones potencial, 105 Ley

Medida patr´on, 3 unidad, 3

de Kuhn, 171

M´odulo

de Hooke, 168, 171, 204

de cizalladura, 172

de Poiseuille, 190

de compresibilidad, 173, 256

de Stokes, 77

de Young, 172

Ligaduras externas, 271 internas, 271 termodin´amicas, 271 L´ımite el´astico, 168 L´ınea de corriente, 184 Longitud de onda, 232, 239

Momento angular, 150 de inercia, 141 de una fuerza, 153 lineal, 62, 122 Motor t´ermico, 292 Movimiento

M´aquina t´ermica, 292

arm´onico simple, 200

M´ınimo local, 214

bidimensional, 20

Magnitud

circular, 33

invariante, 41

circular uniforme, 34

´INDICE ALFABETICO ´

368 circular uniformemente acelerado, 35

arm´onica, 239

constante del, 123

longitudinal, 255

de rotaci´on, 139

Ondas

ondulatorio, 229

bidimensionales, 250

oscilatorio, 199

de desplazamiento, 255

parab´olico, 36

de presi´on, 255

peri´odico, 34, 199

electromagn´eticas, 229

relativo, 38

estacionarias, 230, 245

relativo de rotaci´on uniforme, 42

lineales, 234

relativo de traslaci´on uniforme, 40

longitudinales, 231

unidimensional, 20

mec´anicas, 229

uniforme, 23

planas, 250

uniformemente acelerado, 23

sonoras, 255

Movimiento arm´onico amortiguado, 215

transversales, 230 viajeras, 229

sobreamortiguado, 216

Orden de magnitud, 10

subamortiguado, 216

Oscilaci´on forzada, 217

Muelle horizontal, 94 vertical, 206

Pared adiab´atica, 271 diat´ermica, 271

Newton, 58 unidad de fuerza, 62 Nodo, 246 Notaci´on cient´ıfica, 9 N´ umero de ondas, 240 N´ umero de Reynolds, 191 Observador

termodin´amica, 271 Part´ıcula, 20 Pascal principio de, 180 unidad de presi´on, 172 Patr´on de medida accesibilidad, 4

inercial, 80

aceptabilidad, 4

no inercial, 81

estabilidad, 4

Onda

reproducibilidad, 4

´INDICE ALFABETICO ´ seguridad, 4 P´endulo

369 de conservaci´on de la energ´ıa, 110 de Huygens, 251

bal´ıstico, 128

de inercia, 59

de Foucault, 46

de Pascal, 180

de torsi´on, 210

de superposici´on, 59, 245

f´ısico, 209 simple, 208

Proceso c´ıclico, 273, 281

Perihelio, 159

cuasiest´atico, 273, 280

Periodicidad

infinitesimal, 273

espacial, 240 temporal, 240 Periodo, 34, 201, 240 Peso, 68 aparente, 69 Plasma, 176 Poise unidad de viscosidad, 190 Poiseuille

irreversible, 273, 294 is´obaro, 273 is´ocoro, 273 isotermo, 273 reversible, 273, 294 termodin´amico, 273 Pulsos unidimensionales, 232 Punto de retorno, 108 Punto de ruptura o fractura, 168 Punto material, 20

ley de, 190 Potencia, 98 de rotaci´on, 160 Potencial Lennard-Jones, 105 Precisi´on, 4 Presi´on atmosf´erica, 178 definici´on general, 176 Principio de acci´on-reacci´on, 59 de Arqu´ımedes, 181

Radio de la Tierra, 44 Rayo, 250 Reflexi´on de ondas, 236, 253 Refracci´on, 253 Refrigerador, 292 Rendimiento, 292 Resistencia al flujo, 189 Resonancia, 219 Rotaci´on terrestre, 44 Segunda ley de Newton para la rotaci´on,

´INDICE ALFABETICO ´

370 153 S´ıntesis de Fourier, 221 Sistema de coordenadas, 20 discreto de part´ıculas, 117 abierto, 270

transitoria, 218 Steiner teorema de, 148 Stokes ley de, 77 Superposici´on de ondas, 234

aislado, 270 cegesimal, 5 cerrado, 270 continuo de part´ıculas, 119 de unidades, 4 expansivo, 279 heterog´eneo, 120 hidrost´atico, 273 homog´eneo, 120 Internacional de unidades, 4 monocomponente, 270 multicomponente, 270

Temperatura, 273 emp´ırica, 274 gas ideal, 275 Teorema de los ejes paralelos, 148 de Steiner, 148 trabajo-energ´ıa de la rotaci´on, 160 Carnot, 295 de Fourier, 220 de los ejes perpendiculares, 150 generalizado trabajo-energ´ıa, 109 trabajo-energ´ıa, 100

simple, 273, 279

term´ometro, 274

t´ecnico ingl´es, 5

T´erminos anarm´onicos, 215

termodin´amico, 269

Termodin´amica

Sistema aislado, 123

Primer Principio, 285

Sistema de referencia

Principio Cero, 274

del centro de masas, 124

Segundo Principio, 293

del laboratorio, 123

temperatura, 295

Sistemas de referencia inerciales, 61

Tiempo de vuelo, 38

Sobretono, 221

Timbre, 221

Soluci´on

Tono, 221

estacionaria, 218

Trabajo

´INDICE ALFABETICO ´

371

coordenadas de, 279

Variables conjugadas, 279

de rotaci´on, 160

Vector

expresi´on general, 96

de posici´on, 21

infinitesimal, 93

unitario, 29

neto, 97 termodin´amico, 278

Velocidad media, 21

Transformaci´on galileana, 41

angular, 33

Transformada de Fourier, 221

de fase, 233

Transmisi´on de ondas, 236

de propagaci´on, 232, 237

Tren de ondas, 241

del sonido, 257

Umbral de audici´on, 258 de dolor, 258 Unidad de presi´on atm´osfera, 176 bar, 176 mil´ımetro de mercurio, 176 pascal, 176 Universo termodin´amico, 270 Variable de composici´on, 272 de estado, 273 espec´ıfica, 272 extensiva, 272 intensiva, 272 mec´anicas, 272 molar, 272 t´ermicas, 272 termodin´amica, 272 termom´etrica, 274

instant´anea, 22, 28 media, 28 relativa, 39 Venturi efecto, 187 Viscosidad, 77, 189 Watio unidad de potencia, 98 Young m´odulo de, 172 Zona pl´astica, 168