Geometría Analítica Prof. Miguel Ángel De Carlo

Lección I Coordenadas cartesianas Rectas en el plano Circunferencia Coordenadas polares

INDICE CAPÍTULO I

1.1.1.1.2.1.3.2.2.1 3.3.3.3.4.4.4.1.5.5.1.5.2.5.5.5.6.5.7.6.6.1.6.2.7.7.1.7.2.7.2.1.7.2.2.7.3.7.4.7.5.7.6.7.7.8.8.1.-

Coordenadas Cartesianas..............................................................................................1 La recta dirigida............................................................................................................1 Definición.....................................................................................................................1 Teorema........................................................................................................................2 La recta numérica real ..................................................................................................2 Coordenadas rectangulares...........................................................................................2 Coordenadas en el espacio tridimensional ...................................................................4 Ejercicios y problemas. ................................................................................................4 Distancia entre dos puntos............................................................................................5 Distancia entre dos puntos en una recta oblicua...........................................................5 Teorema........................................................................................................................6 División de un segmento de recta.................................................................................6 Punto medio de un segmento........................................................................................6 Ejercicios y problemas. ................................................................................................7 Inclinación y pendiente de una recta ............................................................................8 Inclinación. ...................................................................................................................8 Pendiente ......................................................................................................................8 Rectas paralelas ............................................................................................................8 Cálculo de la pendiente ................................................................................................8 Teorema........................................................................................................................9 Ángulo entre dos rectas ..............................................................................................10 Tangente de un ángulo ...............................................................................................10 Rectas perpendiculares. ..............................................................................................11 Ejercicios y Problemas ...............................................................................................11 Ecuaciones de la recta ................................................................................................12 Teorema......................................................................................................................12 La recta y la ecuación general de primer grado..........................................................13 Pendiente de la recta y ordenada al origen. ................................................................13 Paralelismo y perpendicularidad ................................................................................13 Ecuación de la recta por un punto dado. ....................................................................14 Ecuación de la recta por dos puntos dados.................................................................14 Ecuación segmentaria de la recta. ..............................................................................14 Ecuación normal de la recta.- .....................................................................................15 Distancia de punto a una recta....................................................................................16 LA CIRCUNFERENCIA ...........................................................................................17 Definición...................................................................................................................17 Ejercicios y problemas. ..............................................................................................18

Bibliografía consultada. Elementos de Geometría Analítica, Percey Smith y Arthur Gale, Editorial Nigar, BS AS,1963 Geometría Analítica, G. Fuller y D Tarwater, Pearson Educación, México, 7ª edición, 1999 Geometría, Stanley R. Clemens y otros, Addison Wesley Logman, México, 1ª edición, 1998.

Prof. Miguel Ángel De Carlo

Capítulo I Coordenadas Cartesianas

1.- La recta dirigida Una recta dirigida es una recta en la cual se toma uno de los sentidos como positivo y el opuesto como negativo. Un segmento de la recta, formado por dos puntos cualesquiera, se llama segmento de recta dirigido. En la figura, la dirección positiva se indica con una flecha. Los puntos A y B determinan un segmento, cuya denotación es AB o BA. Se dice que la distancia de A a B, medida en la dirección positiva, es positiva, y que la distancia de B a A, medida en la dirección negativa, es negativa. Estas dos distancias, cuya denotación es AB y BA se llaman distancias dirigidas. Si la longitud del segmento de recta es 3, entonces AB = 3 y BA = -3. Por tanto, las distancias en un segmento de recta dirigido satisfacen la ecuación

AB = − BA Otro concepto relacionado con la distancia en el segmento AB es el de distancias no dirigidas entre A y B. La distancia no dirigida es la longitud del segmento que se considera positiva. Se usará la notación |AB| o |BA| para indicar la medida positiva de la distancia entre A y B, o la longitud del segmento de recta AB. En vista del análisis anterior, se puede escribir

AB = |AB| = |BA| = 3, BA = -|AB| = -|BA| = -3. Tiene particular importancia el concepto de valor absoluto de un número. Al respecto, se da la siguiente definición. 1.1.- Definición El valor absoluto de un número real |a|, es el número real tal que: |a| = a cuando a es positivo o cero |a| = -a cuando a es negativo De acuerdo con esta definición, el valor absoluto de todo número distinto de cero es positivo y el valor absoluto de cero es cero. |3| = 3,.......|-3| = -(-3) = 3,........|0| =0. Se observa entonces que para cualquier número real a,

a = a2

Puesto que la raíz cuadrada de cualquier número no negativo es no negativa. -1-

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1.2.- Teorema Si A, B y C son tres puntos de una recta dirigida, entonces la distancia dirigida determinada por estos puntos satisface las ecuaciones

AB + BC = AC ,

AC + CB = AB,

BA + AC = BC .

Demostración Si B está entre A y C, las distancias AB , BC y AC tienen el mismo signo y, obviamente, AC es igual a la suma de las otras dos distancias. Las ecuaciones segunda y tercera resultan con facilidad de la primera. Para probar la segunda ecuación, se suma - BC en ambos lados de la primera y luego se usa la condición de que − BC = CB . AB = AC − BC = AC + CB 1.3.- La recta numérica real Un concepto fundamental en geometría analítica es la representación de todos los números reales mediante puntos en una recta dirigida. Para establecer la representación deseada, primero se escoge en una recta una dirección como la positiva (a la derecha, por ejemplo) y se elige un punto 0 de la recta, al cual se le llama origen, para representar el número cero. A continuación se marcan puntos a las distancias 1, 2, 3, y así sucesivamente, unidades a la derecha del origen. Entonces, los puntos así localizados representan los números 1, 2, 3, etcétera. De la misma manera, se localizan puntos a la izquierda del origen para representar los números -1, -2, -3, y así sucesivamente. Ya se han asignado puntos a los enteros positivos, a los enteros negativos y al entero cero. En general, cualquier número positivo p se representa con el punto que se encuentra p unidades a la derecha del origen, y un número negativo q se representa con el punto q unidades a la izquierda del origen. Además, se supone que todo número real corresponde a un punto en la recta y, recíprocamente, que todo punto en la recta corresponde a un número real. Esta relación del conjunto de los números reales y el conjunto de puntos de una recta dirigida se llama correspondencia uno a uno. La recta dirigida de la figura, cuyos puntos corresponden a los números reales, se llama recta numérica real. El número que corresponde a un punto sobre la recta se llama coordenada del punto. Puesto que los números positivos corresponden a puntos en la dirección escogida como positiva a partir del origen y los números negativos corresponden a puntos en la dirección opuesta o negativa a partir del origen, entonces las coordenadas de los puntos sobre una recta numérica se consideran como distancias dirigidas a partir del origen. Por conveniencia, algunas veces se hablará de un punto como si fuera un número y viceversa. Por ejemplo, podría decirse el punto 5 en lugar de el número 5, y el número 5 en lugar de el punto 5. 2.- Coordenadas rectangulares Una vez obtenida una correspondencia uno a uno entre los puntos sobre una recta y el sistema de los números reales, se desarrolla un esquema para poner en correspondencia uno a uno los puntos de un plano con un conjunto de pares ordenados de los números reales, (un par de números (x, y) en el cual importa el orden en el que están colocados). (3, 2) ≠ (2, 3) y (1, 1) = (x, y) si, y sólo si, x = 1 y y = 1. Se trazan una recta horizontal y una recta vertical que se crucen en el origen 0. La recta horizontal se llama eje x y la recta vertical eje y. El eje x y el eje y, considerados juntos, se llaman ejes coordenados, y el plano determinado por los ejes coordenados se llama plano coordenado. El eje x, que usualmente se traza de manera horizontal, se llama eje horizontal o eje de abscisas y el -2-

Coordenadas Cartesianas

eje y, eje vertical o eje de ordenadas. De cada eje coordenada se hace una escala numérica real con una unidad de longitud adecuada, donde el origen sea el punto cero. Se escoge la dirección positiva hacia la derecha del eje x y hacia arriba en el eje y, como lo indican las flechas. Si P es un punto en el plano coordenado, las distancias del punto a los ejes coordenadas se definen como distancias dirigidas. Esto es, la distancia al eje y es positiva si P se encuentra a la derecha del eje y, y negativa si P está a la izquierda, y la distancia al eje x es positiva si P está arriba del eje x, y negativa si P se halla debajo del eje x. Cada punto P del plano está asociado con un par de números llamados coordenadas. Las coordenadas se definen en función de las distancias perpendiculares de los ejes al punto.

Un punto cuya abscisa es x y cuya ordenada es y se denominará (x, y), en ese orden; la abscisa siempre se coloca primero. Por ello, las coordenadas de un punto constituyen un par ordenado de números. Aunque un par de coordenadas determina un punto, a menudo se hace referencia a las coordenadas mismas como a un punto. Se supone que a cualquier par de números reales (coordenadas) le corresponde un punto definido. Recíprocamente, se supone que a cada punto del plano le corresponde un par definido de coordenadas. Esta relación de puntos sobre un plano y pares de números reales se llama correspondencia uno a uno. El mecanismo descrito para obtener esta correspondencia se llama sistema de coordenadas rectangulares. Un punto de coordenadas dadas se localiza midiendo las distancias adecuadas a partir de los ejes y marcando ese punto. Por ejemplo, si las coordenadas de un punto son (- 4, 3), la abscisa - 4 significa que el punto está 4 unidades a la izquierda del eje y y la ordenada 3 (con el signo más sobreentendido) significa que el punto se halla 3 unidades sobre el eje x. En consecuencia, se llegará al punto yendo desde el origen 4 unidades a la izquierda sobre el eje x y después 3 unidades hacia arriba paralelamente al eje y. De manera análoga, si se desea localizar los puntos (5, -3), habrá que moverse 5 unidades a la derecha del origen sobre el eje x y después 3 unidades hacia abajo (pues la ordenada es negativa), paralelamente al eje y. Se habrá localizado así el punto deseado. Los ejes coordenadas dividen el plano en cuatro partes, llamadas cuadrantes, que se numeran del I al IV. Las coordenadas de un punto en el primer cuadrante son positivas, lo cual se indica con (+, +) en la figura. Se indican de manera análoga los signos de las coordenadas en cada uno de los otros cuadrantes.

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Cuando las coordenadas de un punto no son enteros, se hará una aproximación para localizar el punto sobre la gráfica. 2.1 Coordenadas en el espacio tridimensional Sean OX, OY y OZ tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman el eje x, el eje y y el eje z de un sistema coordenada rectangular de tres dimensiones. En este dibujo, y en otros que se harán, el eje y y el eje z están en el plano de la página. El eje x se visualiza como perpendicular a la página. El eje z se puede considerar vertical y los otros, horizontales. Los ejes, por pares, determinan tres planos mutuamente perpendiculares, llamados planos coordenadas. Los planos se designan como el plano XOY, el plano XOZ y el plano YOZ o, de manera más sencilla, el plano xy, el plano xz y el plano yz. Los planos coordenadas dividen el espacio en ocho regiones llamadas octantes. A continuación se dará una escala numérica en cada eje, con el punto 0 como el origen. La posición de un punto P en este sistema coordenada es determinado por sus distancias a los planos coordenadas. La distancia de P al plano yz se llama coordenada x, la distancia al plano xz coordenada y y la distancia al plano xy coordenada z. Las coordenadas de un punto se escriben en la forma (x, y, z), en este orden, x primero, y segundo y z tercero. Por ejemplo, para localizar el punto (1,5, -1, 2) se va 1,5 unidades desde el origen a lo largo del eje x positivo, después 1 unidad a la izquierda, paralelamente al eje y, y finalmente 2 unidades hacia arriba, paralelamente al eje z. Los signos de las coordenadas determinan el octante en el cual se encuentra el punto. Se dice que los puntos cuyas coordenadas son todas positivas pertenecen al primer octante, y no se acostumbra asignar número a los demás octantes. Si un punto se ubica sobre un eje coordenada, dos de sus coordenadas son cero. Para localizar puntos y dibujar figuras, las distancias unitarias en los ejes y y z se harán iguales. Una distancia unitaria sobre el eje x se representará mediante una longitud real de 0,7 de unidad. El eje x se dibujará formando un ángulo de 135° con el eje y. Esta posición del eje x y la reducción en la dirección x ayudan a visualizar figuras en el espacio. Ejercicios y problemas. 1.- En un sistema de ejes cartesiano ortogonal, marque los siguientes puntos: A(-4,2) B(3,4) C(-2, -3) D(4, -2) 2.- Trace un recta que contenga los siguientes pares de puntos: a) P(-3,2) y Q(0, 0) b) R(-2, 3) S(-4, -5) 3.- Tomando los puntos dados como vértices de un triángulo. Dibuje los triángulos e indique que propiedades tienen. (Acutángulo, isósceles,.. etc…). a) A(-2, 3) ; B(4, 1) ; C(7. -2) b) A(4,4); B(-5, 0) ; C(5, 7) c) A(-4, 2); B(-4, -3); C(3, -3) 4.- Encuentre un tercer punto que esté sobre la recta que pasa por los puntos A(3, -2) y B(-1, 2) 5.- En un sistema de coordenadas tridimensional, construya el cubo de vértices: A(0,0,0); B(4,0,0); C(4,4,0); D(0,4,0); E(0,4,4); F(0,0,4); G(4,0,4); H(4,4,4)

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Coordenadas Cartesianas

3.- Distancia entre dos puntos En muchos problemas se requiere conocer la distancia entre dos puntos del plano o del espacio. La distancia entre dos puntos cualesquiera, o la longitud del segmento de recta que los une, se puede calcular a partir de las coordenadas de los puntos. Un segmento de recta (o una recta) se clasificará como horizontal, vertical o inclinado dependiendo de si el segmento es paralelo al eje x, al eje y o a ningún eje. Con el fin de deducir fórmulas adecuadas para encontrar la longitud de estos tipos de segmentos, se usará el concepto de segmentos dirigidos. Sean P(x,, y) y P(x,, y) dos puntos sobre una recta horizontal, y sea A el punto donde la recta corta el eje y. Por el teorema 1.2, se tiene que AP1 + P1 P2 = AP2 P1 P2 = AP2 − AP1 = x2 – x1. De manera análoga, para la distancia vertical Q1Q2, se tiene Q1Q2 = Q1 B + BQ2 = BQ2 − BQ1 = y 2 − y1 Por consiguiente, la distancia dirigida desde un primer punto hasta un segundo punto sobre una recta horizontal es igual a la abscisa del segundo punto menos la abscisa del primero. La distancia es positiva o negativa dependiendo de si el segundo punto se encuentra a la derecha o a la izquierda del primero. Se puede hacer un enunciado correspondiente con respecto a un segmento vertical. En vista de que a menudo se requieren las longitudes de los segmentos, sin importar su dirección, se enuncia una regla que da resultados en cantidades positivas.

3.1.- La longitud de un segmento de recta horizontal que une dos puntos es la abscisa del punto de la derecha menos la abscisa del punto de la izquierda. 3.2.- La longitud de un segmento de recta vertical que une dos puntos es la ordenada del punto superior menos la ordenada del punto inferior. Se puede utilizar para la distancia no dirigida entre P1(x1, y) y P2(x2, y), la expresión

P1 P2 = x1 − x 2 =

(x1 − x2 )2

equivalente a las anteriores. 3.3.- Distancia entre dos puntos en una recta oblicua Si se consideran los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) que determinan la recta inclinada. Para resolverlo trazamos una recta que pase por P1 y sea paralela al eje x y una recta que pase por P2 y sea paralela al eje y. Estas dos rectas se cortan en R, de abscisa x2 y ordenada y1. Por el teorema de Pitágoras tendremos: |P1P2|2 = (x2 – x1)2 + (y2-y1)2 Si denotamos con d la longitud del segmento P1P2, se obtiene: d=

(x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 . -5-

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3.4.- Teorema. Sean p1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) las coordenadas de dos puntos en el espacio tridimensional. La distancia entre P1 y P2 esta dada por:

P1 P2 =

(x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2

En la figura cada arista del paralelepípedo rectangular es paralela a un eje coordenado y cada cara es paralela a un plano coordenado. Las coordenadas de P1, P2, Q y R se indican como: P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2), Q(x2,y1,z1), R(x2,y2,z1) También se observa en la figura que P1QR es un triángulo rectángulo con hipotenusa P1R, y P1RP2 es un triángulo rectángulo con hipotenusa P1P2. Además: |P1Q| = |x2-x1|, |QR| = |y2-y1|, |RP2| = |z2-z1| Por lo tanto: |P1P2|2 = |P1R|2 + |RP2|2 = |P1Q|2 + |QR|2 + |RP2|2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2 Podemos decir:

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2

P1P2 =

4.- División de un segmento de recta 4.1.- Punto medio de un segmento. La abscisa de1 punto medio de un segmento de recta es la mitad de la suma de las abscisas de los extremos; la ordenada es la mitad de la suma de las ordenadas. Para encontrar las coordenadas de un punto que divide un segmento de recta en dos partes que tienen una relación específica. Primero encontraremos las fórmulas para las coordenadas de un punto que se halla a la mitad entre dos puntos de coordenadas dadas. Sean A(x1, y1) y B(x2, y2) los extremos de un segmento de recta, y sea P(x, y) punto medio de AB. Por triángulos semejantes, se tiene que:

Por lo cual

AM x − x1 1 = AN x2 − x1 2

Despejando x e y se obtiene

y

x=

x1 + x2 2

MP y − y1 1 = = NB y2 − y1 2

y

-6-

y=

y1 + y2 2

AP AM MP 1 = = = AB AN NB 2

Coordenadas Cartesianas

Este teorema se puede generalizar haciendo que P(x, y) sea cualquier punto de división de la recta que pasa por A y B. Si la razón de AP a AB es un número r en lugar de ½ entonces: x−x AP 1 =r = AB x 2 − x1

y

y−y AP 1 =r = AB y 2 − y1

Ejemplo. Ubique las coordenadas del punto P(x, y) ubicado a un tercio de la distancia entre los puntos A(2, 1) y B(8, 4). x−x AP 1 =1 = 3 AB x − x 2 1

La ecuación es

y

y− y AP 1 =1 = 3 AB y − y 2 1

Reemplazando AP x − 2 1 = = AB 8 − 2 3

y

AP y − 1 1 = = AB 4 − 1 3

Finalmente. x = 2 + 2 = 4 ; y = 1+1 = 2 ; P(4, 2)

Ejercicios y problemas. 6.- En un sistema de coordenadas localice los puntos A(-4, 0); B(3, 0) y C(5, 0). A continuación encuentre las distancias |AB|, |AC|, |BC|, |CB|, |CA|, y |BA|. 7.- Dibuje el triángulo con los vértices dados, encuentre las longitudes de los lados y verifique que tipo de triángulo es. a) A(-1, 1); B(-1, 4); C(3, 4)

b) A(6, 2); B(2, -3); C(-2, 2)

c) A(-2, -3); B(4, 3); C(-3, 4)

d) A(1, 3); B(10, 5); C(2, 1)

8.- Calcule el punto medio del segmento de extremos, A(-3, -4); B(7, -4) 9.- Si M(2, 1) es el punto medio de denadas de B.

, siendo las coordenadas de A(-4, -2), encuentre las coor-

10.- Los vértices de un triángulo , son A(-4, -3); B(8, 0); C(6, 12). Si se traza una recta paralela al lado que biseque al lado , calcule las coordenadas del punto donde la recta biseca al . 11.-Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(3, -2, 4); B(-6, 5, 8) 12.- Encuentre las coordenadas del punto P(x, y, z) ubicado a 1/3 de la distancia de A(1, 3, 5) a B(5, 7, 9). 13.- Encuentre los dos puntos que trisecan el segmento de extremos A(-3, -4): B(6, 11) -7-

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5.- Inclinación y pendiente de una recta La inclinación de una recta es un concepto de uso extendido en el cálculo y en otras áreas de las matemáticas. 5.1.- Inclinación. La inclinación de una recta que interseca al eje x es el ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje x. Se considera positivo el ángulo tomado desde la dirección positiva del eje x hacia la recta en el sentido contrario al giro de las agujas del reloj. La inclinación de una recta horizontal es 0 De acuerdo con esta definición, la inclinación θ de una recta es tal que 0° < θ < 180°, o, en radianes, 0° < θ < π. 5.2.- Pendiente La pendiente de una recta es la tangente de la inclinación Una recta inclinada hacia la derecha tiene una pendiente positiva, pues la inclinación es un ángulo agudo. La pendiente de una recta inclinada hacia la izquierda es negativa. Sin embargo, las rectas verticales no tienen pendiente, pues 90° no tiene tangente. Si se conoce la inclinación de una recta no vertical, la pendiente se puede determinar usando una tabla de funciones trigonométricas. Recíprocamente, si se conoce la pendiente de una recta, se puede determinar su inclinación. Sin embargo, en la mayoría de los problemas conviene más trabajar con la pendiente de una recta que con su inclinación. 5.3.-

Dibuje una recta que pase por P(2, 2) con inclinación de 35°.

Solución: Trace una recta que pase por P y que forme un ángulo de 35° con la dirección x positiva 5.4.-

Dibuje una recta que pase por el punto P(-2,2) con pendiente -2/3.

Solución Mueva tres unidades a la izquierda de P y después 2 unidades hacia arriba. 5.5.- Rectas paralelas En geometría plana dos rectas son paralelas si tienen la misma inclinación (dirección). Las definiciones de inclinación y pendiente acerca de rectas paralelas, considerando que si dos rectas tienen la misma pendiente, sus inclinaciones son iguales, y recíprocamente, si dos rectas no verticales son paralelas, tendrán inclinaciones iguales y, por tanto, pendientes iguales. Decimos: Dos rectas son paralelas si, y sólo si, sus pendientes son iguales.

5.6.- Cálculo de la pendiente Si se conocen las coordenadas de dos puntos sobre una recta, entonces la pendiente de la recta se puede encontrar a partir de las coordenadas dadas. Se deducirá a continuación una fórmula para ello. -8-

Coordenadas Cartesianas

Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2 ) dos puntos dados, y denotamos con m la pendiente. Entonces, con referencia a la figura, se tiene RP y −y 2 1 con = 2 m = tanθ = PR 1

x −x 2 1

≠x

x 2

1

En la figura siguiente la recta se inclina hacía la izquierda. Las cantidades y1 – y2 y x2 – x1 son positivas y los ángulos θ y ϕ son suplementarios. En consecuencia,

y1 − y 2 = tan φ = − tan θ x 2 − x1 Por tanto, y − y1 y − y2 con x1 ≠ x 2 m = tanθ = 1 = 2 x 2 − x1 x 2 − x1

Por consiguiente, las pendientes de las rectas se determinan de la misma manera, sin importar si están inclinadas hacia la izquierda o hacia la derecha. 5.7.- Teorema. La pendiente m de una recta que pasa por dos puntos dados P1(x1,, y1) y P2(x2, y2) es igual a la diferencia de las ordenadas dividida entre la diferencia de las abscisas tomadas en el mismo orden; esto es, y − y1 m= 2 con x 2 ≠ x1 x 2 − x1 Con esta fórmula se obtiene la pendiente si los dos puntos se hallan en una recta inclinada u horizontal. Si la recta es vertical, el denominador de la fórmula se hace cero, lo cual se relaciona con el hecho de que la pendiente no está definida para una recta vertical. Se observa, además, que cualquiera de los dos puntos se puede representar con P1(x1, y1), y el otro con P2(x2, y2) ya que: y2 − y1 y1 − y2 = x2 − x1 x1 − x2

5.8.- Ejemplo. Dados los puntos A(-1,-1), B(5, 0), C(4, 3) y D(-2, 2) muestre que ABCD es un paralelogramo. Solución Por las pendientes de los lados se determina si la figura es un paralelogramo. Los lados opuestos tienen pendientes iguales y, por tanto, ABCD es un paralelogramo. -9-

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6.- Ángulo entre dos rectas Dos rectas que se intersecan forman dos pares de ángulos iguales, y un ángulo de un par es el suplemento de un ángulo del otro par. Se mostrará cómo encontrar una medida de cada ángulo en función de las pendientes de las rectas. Si se observa la figura y se recuerda que el ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él, se verá que ϕ2 = α + ϕ1

ó

α = ϕ2 - ϕ1

Mediante la fórmula para la tangente de la diferencia de dos ángulos, se tiene que tgα = tg (ϕ 2 − ϕ1 ) =

tgϕ 2 − tgϕ1 1 + tgϕ1tgϕ 2

Si m2 = tg ϕ2 y m1 = tg ϕ1, se tiene entonces que tgα =

m2 − m1 1 + m1m2

Donde m2 es la pendiente del lado terminal y m1 es la pendiente del lado inicial, mientras que α se mide en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj. El ángulo β es el suplemento de α y, por tanto, tgβ = −tgα =

m1 − m2 1 + m1m2

Esta fórmula para tg β es la misma que para tg α, excepto que los términos del numerador están invertidos. Sin embargo, se observa en el diagrama que el lado terminal de β es el lado inicial de α y el lado inicial de β es el lado terminal de α. En consecuencia, en función de las pendientes de los lados inicial y terminal, la tangente de cualquiera de los ángulos se puede encontrar mediante la misma regla. Esta conclusión se enuncia como. 6.1.- Tangente de un ángulo Si α es un ángulo, medido en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj, entre dos rectas, entonces m − m1 tgα = 2 1 + m1m2 Donde m2 es la pendiente del lado terminal y m1 es la pendiente del lado inicial. Esta fórmula no es aplicable cuando alguna de las rectas es vertical, pues una recta vertical no tiene pendiente. Para este caso, el problema sería encontrar el ángulo, o una función trigonométrica del ángulo, que forman una recta de pendiente conocida con la vertical. Por ello, no se necesita otra fórmula.

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6.2.- Rectas perpendiculares. Dos rectas inclinadas son perpendiculares si, y solo si, la pendiente de una es el recíproco negativo de la pendiente de la otra. Para dos rectas inclinadas cualesquiera que no sean perpendiculares, la ecuación enunciada en 6.1.dará un número definido como valor de tan α. Si la fórmula da un valor definido, las rectas no pueden ser perpendiculares, pues no existe la tangente de un ángulo recto. Las rectas son perpendiculares cuando el denominador es igual a cero, entonces decimos que las rectas serán perpendiculares cuando y solo cuando 1 +m1m2 = 0 entonces, 1 m2 = − m1 Ejemplo: Dado el triángulos de vértices A(3, -2); B(-5, 8); C(4, 5). Calcule el valor de los ángulos. Pendiente de AB =

8 − ( −2) 10 5 = =− −5−3 −8 4

Pendiente de AC =

5 − ( −2 ) 7 = =7 4−3 1

Pendiente de BC =

5−8 −3 1 = =− 4 − (−5) 9 3

Calculamos ahora las tangentes de los ángulos. tg

5 −7 − 33 4 4 = 33 = 1,06 → = = 31 31 ⎛ 5⎞ 1 + ⎜ − ⎟.7 − 4 ⎝ 4⎠

= 46º 47’

tg

1 ⎛ 5⎞ − − ⎜− ⎟ 11 3 ⎝ 4⎠ = = ⎛ 1 ⎞⎛ 5 ⎞ 17 1 + ⎜ − ⎟⎜ − ⎟ ⎝ 3 ⎠⎝ 4 ⎠

→

= 32º 54’

tg

⎛ 1⎞ 7 − ⎜− ⎟ ⎝ 3 ⎠ = − 11 = 2 ⎛ 1⎞ 1 + 7⎜ − ⎟ ⎝ 3⎠

→

= -79º 41’ = 180º -79º 41’ = 100º 19’

−

Queda para el alumno la comprobación gráfica.

Ejercicios y Problemas 14.- Una tabla plana se apoya sobre una pared. Calcule la pendiente de la tabla sabiendo que el lado superior de la tabla esta apoyada sobre la pared a 2,40 m de altura y el lado inferior esta a 2 m de la pared.15.- Demuestre que los puntos A(3, 0); B(7, 0); C(5, 3) y D(1, 3) son los vértices de un paralelogramo ABCD. Calcule los ángulos. 16.- Verifique si el siguiente triángulo es rectángulo A(4, -4); B(4, 4); C(0, 0) 17. Dado con A(-2, 4) B(6, 2) y C(0, -4) a) encuentre las coordenadas de los puntos medios D, E, F. b) Determine las pendientes de AB, BC, y AC y compárelas con las de DE, DF y EF. -11-

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7.- Ecuaciones de la recta 7.1.- Teorema. La ecuación de toda recta se puede expresar en términos de primer grado. Recíprocamente, la gráfica de una ecuación de primer grado es una recta. Demostración Comenzamos con una recta fija en el plano coordenado. La recta puede ser o no paralela al eje y. Primero se considera una recta l paralela al eje y a una distancia a del eje. Las abscisas de todos los puntos sobre la recta son iguales a a, de modo que se observa de inmediato que una ecuación de la recta es: x=a

(1)

Recíprocamente, las coordenadas de todo punto sobre la recta a una distancia a del eje y satisfacen la ecuación x = a, por lo que la recta l es la gráfica de la ecuación. Si consideramos una recta que no es paralela al eje y. Dicha recta tiene una pendiente e interseca el eje y en un punto cuya abscisa es cero. Se llamará m a la pendiente y b a la ordenada del punto de intersección. Entonces, si (x, y) son las coordenadas de cualquier otro punto de la recta, se aplica la fórmula de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos y se obtiene la ecuación y −b =m x−0

.

la cual se reduce a y = mx + b

(2)

Esta ecuación hace evidente la pendiente y la ordenada al origen de la recta que representa, y se dice que se encuentra en la forma explícita. Comenzamos con una recta fija y obtuvimos la ecuación. Ahora comenzaremos con la ecuación y trataremos de determinar su gráfica. Es claro que la ecuación se satisface si x = 0 e y = b. Sea (x, y) un punto sobre la gráfica distinto de (0, b). Esto significa que x e y satisfacen la ecuación pendiente – ordenada al origen y, en consecuencia, la ecuación equivalente. y −b =m x−0

Esta ecuación indica que el punto (x, y) de la gráfica debe estar sobre la recta que pasa por (0, b) con pendiente m. Por ello cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan la ecuación está sobre la recta. y = mx + b

(Ecuación explícita de la recta en el plano)

Ejemplo Escriba la ecuación de la recta con pendiente -3 y ordenada al origen 4. Grafique la recta. Solución En la forma pendiente-ordenada al origen, se sustituyen -3 por m y 4 por b. Esto da de inmediato la ecuación y = -3x + 4.

-12-

Coordenadas Cartesianas

7.2.- La recta y la ecuación general de primer grado

Se ha demostrado que las ecuaciones de todas las rectas en el plano se pueden expresar en las formas (1) y (2) y, recíprocamente, que las gráficas de dichas ecuaciones son rectas. Completamos la demostración, señalando que la ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 se puede poner en las forma (1) o (2). A, B y C son constantes, donde A y B no son simultáneamente cero. En consecuencia, si B = 0, entonces A ≠ 0 y la ecuación se reduce a x=−

C A

Si B ≠ 0, despejando. Se obtiene:

y=−

A C x− B B

La ecuación tiene la misma forma que la ecuación (1) con a = - C/A, y también tiene la forma de la ecuación (2) con m =- (A/B) y b = -(C/B). La ecuación (3), con B ≠ 0, da un único valor correspondiente a y para cada valor de x. Esto significa que la ecuación define una función cuya gráfica es una recta no paralela al eje y. Ax + By + C = 0

(Ecuación general de la recta)

Todas las rectas del plano sin excepción que dan incluidas en esta ecuación 7.2.1.- Pendiente de la recta y ordenada al origen.

Teniendo en cuenta que la ecuación general de primer grado se puede expresar como la ecuación A A C explícita de la siguiente forma y = − x − . La pendiente tendrá como expresión m = − B B B C Siendo el valor de la ordenada al origen b = − B 7.2.2.- Paralelismo y perpendicularidad Dadas las rectas Ax + By +C = 0 y A’x + B’y + C’ = 0, teniendo en cuenta las definiciones de paralelismo y perpendicularidad según las pendientes de las rectas diremos: Para que las rectas sean paralelas es necesario y suficiente que los coeficientes de x e y sean proporcionales.

Para que las rectas sean paralelas basta con que las pendientes sean iguales m = m’, en la ecuaA A' A B ción general será: − = − de donde podemos deducir = . B B' A' B ' Ejemplo: r1: 3x + 4y + 2 = 0 ; r2: 6x + 8y + 3 = 0 3 4 1 = = , vemos que las rectas son paralelas. Hallando las explí6 8 2 3 1 6 3 3 3 citas tenemos: y = − x − en la segunda tenemos y = − x − → y = − x − , verificando 4 2 8 8 4 8 que las pendientes son iguales.

Comparando los coeficientes

Para que las rectas sean perpendiculares es necesario y suficiente que se cumpla la relación AA’ + BB’ = 0

Aplicando que dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son inversas y de distinto A A' signo tenemos − = , despejando la condición de perpendicularidad es: AA’ + BB’ = 0 B B' Ejemplo: r1: 3x + 4y + 2 = 0 ; r2: 4x – 3y + 3 = 0

-13-

comprobación 3.4 + 4.(-3) = 12

M.A.D.C

7.3.- Ecuación de la recta por un punto dado.

La ecuación de la recta que pase por el punto dado P1(x1, y1) y tiene pendiente m es y – y1 = m (x – x1)

Para la demostración aplicamos la hipótesis a la ecuación general Ax + By + C = 0. 1

Ax1 + By1 + C = 0

la recta pasa por P1

2

m=−

3

A = -mB

Despejando de la ecuación anterior

4

-mBx1 + By1 + C = 0

Reemplazando en 1

5

C = B(mx1 - y1) = 0

Operando

6

-mBx + By + B(mx1 - y1) = 0

Sustituyendo en la ecuación general

7

B(-mx + y + mx1 - y1 ) = 0

Sacando factor común

8

y – y1 = m(x – x1)

Ecuación explicita de la recta que pasa por P1

A B

Pendiente de la recta

7.4.- Ecuación de la recta por dos puntos dados.

Sabemos que dos puntos diferentes del plano determinan una recta. En este caso trataremos de determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) Se deduce que la pendiente de una recta es:

m=

y 2 − y1 x2 − x1

Reemplazando en la ecuación explicita.

y − y1 = Generalmente se expresa

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

x − x1 x 2 − x1 = y − y1 y 2 − y1

7.5.- Ecuación segmentaria de la recta.

Supongamos que una recta corta al eje x en el punto a y al eje y en el punto b, donde a y b son distintos de cero. Luego la recta pasa por los puntos (a, 0) y (0, b), en consecuencia, la pendiente es -(b/a). Entonces, aplicando la fórmula punto-pendiente se encuentra la ecuación b y − b = − ( x − 0) a

La cual se puede reducir a x y + =1 a b

Se llama también forma de coordenadas al origen o intersecciones con los ejes, pues se exhiben las intersecciones en los denominadores. -14-

Coordenadas Cartesianas

7.6.- Ecuación normal de la recta.-

Si p es la distancia del origen a una recta y α la inclinación de OP sobre el eje +x, si en la ecuación segmentaria de la recta dada: x y + =1 a b

Reemplazamos en los denominadores a y b por: a=

p cos α

b=

p senα

Obtenemos la ecuación normal de la recta x. cosα + y.senα = p x. cos α + y.senα − p = 0

La dirección de la recta está determinada por la del segmento normal de origen 0 y longitud p, cuyos ángulos con los semiejes tienen como cosenos los coeficientes A y B de x e y, llamados cosenos directores. Dada la ecuación Ax + By – C = 0, es necesario que los respectivos coeficientes sean proporcionales, podemos formar las siguientes razones entre las dos ecuaciones: cos α senα − p = = =r A B C

Siendo r el valor común entre estas razones tenemos: cos α = rA senα = rB - p = rC

(7)

Elevando al cuadrado las dos primeras ecuaciones y sumándolas obtenemos: sen2α + cos2α = r2(A2 + B2) Pero

sen2α + cos2α = 1

Y, por tanto

r 2 ( A2 + B 2 ) = 1

O, sea

r=

1 ± A2 + B 2

El signo del radical se deduce de la ecuación (7), pues siendo p negativo r y C deben poseer signos contrarios.

Sustituyendo el valor de r en las fórmulas anteriores tenemos: cos α =

A ± A +B 2

2

,

senα =

B ± A +B 2

2

p=−

C ± A2 + B 2

En resumen: Dada la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 su ecuación normal es Ax + By + C ± A2 + B 2

-15-

=0

M.A.D.C

Y en ella el término independiente es igual, en valor absoluto, a la distancia de la recta al origen de coordenadas. Ejemplo:

Dada la ecuación

3x - 4y = 1,

Se normaliza dividiéndola por 5, resulta la ecuación normal:

3 4 1 x− y = 5 5 5

Para la recta resultan los valores cosα = 3/5, senα = - 4/5 que determinan la inclinación α = 53° 8' y la distancia desde el origen es p = 1/5 Ejercicios y problemas 18.- Halle la ecuación de la recta que pasa por (0, 0) y (8, 2). 19.- Halle la ecuación de la recta que pasa por (-3, 1) y de pendiente = 2 20.- Halle la recta que pasa por el origen y es paralela a la recta 2x – 3y = 4 21.- Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3, 0) y es perpendicular a la recta 2x + y – 5 = 0 22.- Halle las ecuaciones de los lados del triángulo cuyo vértices son A(-3, 2); B(3, -2) y C(0, -1) 23.- Halle las ecuaciones de las medianas y su punto de intersección, del triángulo del problema anterior. 24.- Halle las ecuaciones de las rectas que unen los puntos medios de los lados del triángulo del problema 5 y demuestre que son paralelas a los lados. 25.- Dos lados de un paralelogramo son 2x + 3y – 7 = 0 y x – 3y + 4 = 0 Halle los otros dos lados si uno de los vértices es el punto (3, 2). 7.7.- Distancia de punto a una recta Puesto que en la ecuación normal el término constante es la distancia desde el origen a la recta, para calcular la distancia a ella desde un punto cualquiera Po(xo, yo) basta trasladar a éste el origen de coordenadas.

Si la ecuación de la recta es Ax + By + C = 0, en el nuevo sistema de origen (xo, yo) su ecuación será A(x’ + xo) + B(y' + yo) + C = 0, cuyo término independiente es Axo + Byo, + C. El término independiente de la ecuación normalizada será este mismo número dividido por A 2 + B 2 . Por tanto, considerando sólo valores absolutos por simplicidad, se tiene: Dada una recta por su ecuación general Ax + By + C = 0 y un punto Po(xo, yo), el valor absoluto de la distancia dirigida del punto a la recta está dado por d=

Ax 0 + By 0 + C A2 + B 2

Ejemplo: Encuentre la distancia de la recta 5x – 12y -26 = 0 al punto P(3, 5)

d=

5(3) − 12(5) − 26 5 2 + 12 2

-16-

=

49 = 3,77 13

Coordenadas Cartesianas

8.- LA CIRCUNFERENCIA 8.1.- Definición. Se define la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo del mismo, denominado centro. A la distancia constante de los puntos de la circunferencia al centro de la misma se denomina radio.

Es fácil escribir la ecuación de una circunferencia, si se conoce la localización de su centro y el radio. Sea el centro de la circunferencia un punto fijo C(h, k) y sea el radio igual a r. Entonces, si P(x, y) es cualquier punto de la circunferencia, la distancia de C a P es igual a r. Esta condición requiere que (x - h)2 + (y - k)2 = r2

Esta fórmula exhibe las coordenadas del centro y la longitud del radio y, en consecuencia, a menudo se le llama ecuación canónica de la circunferencia. Recíprocamente, la gráfica de una ecuación de la forma anterior es una circunferencia con centro en (h, k) y radio igual a r. Este hecho es evidente, puesto que la ecuación es satisfecha por y sólo por los puntos cuya distancia a (h, k) es r. Por esta razón es una tarea fácil escribir la ecuación de una circunferencia cuyo centro y radio se conocen, o dibujar una circunferencia cuya ecuación se conoce. Si el centro de una circunferencia está en el origen (h = 0, k = 0) y el radio es r, su ecuación es: x2 + y2 = r2 Ejemplo.-

Encuentre la ecuación de una circunferencia de radio 4 y centro en (3, -2). Solución Si el centro de la circunferencia está en (3, -2) y el radio es 4, la ecuación de la circunferencia resulta ser:

(x - 3)2 + (y + 2)2 = 16 o bien x2 +y2 - 6x + 4y - 3 = 0 La ecuación de la circunferencia se puede presentar en otra forma, elevando al cuadrado los binomios y agrupando términos. (x - h)2 + (y - k)2 = r2

x2 - 2hx + h2 + y2 - 2ky + k2 = r2 x2 + y2 – 2hx − 2ky + h2 + k2 - r2 = 0. La última ecuación es de la forma x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.

Ésta se llama forma general de la ecuación de una circunferencia. Recíprocamente, una ecuación de la forma general se puede reducir a la forma canónica mediante el simple recurso de completar los cuadrados en los términos x y en los términos y. -17-

M.A.D.C

Ejemplo: Hallar la curva de la ecuación. x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

La circunferencia está dada por la ecuación general de segundo grado (contiene todos los términos posibles en x e y de segundo y primer grado.) Según el desarrollo de la ecuación D = -2h =-4 ; E = -2k = 8 ; Por lo tanto despejando queda: h = 2 ; k = -4 ;

F = h2 + k2 – r2 = -5

r = 4 + 16 + 5 = 25

→ r= 5

La curva es una circunferencia cuyo centro es O(2, -4) y el radio es 5 Debemos tener en cuenta que para que exista la circunferencia el valor del radio debe ser positivo, por lo tanto tomamos ese signo de la raíz. si la raíz es imaginaria la ecuación representa una circunferencia imaginaria. Otra forma de resolución - Reducción completando cuadrados.

x2 – 4x + y2 + 8y – 5 = 0

Ordenamos convenientemente los términos

x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 – 5 – 4 - 16= 0

Completamos los cuadrados (sumando y restando)

(x2 – 2)2 + (y2 + 4)2 = 5 +4 +16

Formamos los binomios

(x2 – 2)2 + (y2 + 4)2 = 25

Ecuación canónica de la circunferencia.

La curva es una circunferencia cuyo centro es O(2, -4) y el radio es 5 Ejercicios y problemas.

26.-Una circunferencia es tangente a la recta 2x – y + 1 = 0 en el punto (2, 5) y su centro se encuentra sobre la recta x + y = 9. Encuentre la ecuación de la circunferencia. Solución: Se debe hallar la recta que pasa por (2, 5) y es perpendicular a la recta 2x – y + 1 = 0, esta recta también contendrá al centro de la circunferencia. La solución será entonces la intersección de la recta perpendicular a la tangente y x + y = 9.

27.- Halle la ecuación de la circunferencia que satisface a) que el centro está en (1, -3) y la circunferencia pasa por (-3, 5). b) La circunferencia es tangente al eje y y el centro está en (5, 3). 28.- Reduzca cada ecuación a la forma canónica y dibuje la circunferencia. a) x2 + y2 + 6x – 4x – 12 = 0

b) x2 + y2 – 8x – 2y + 1 = 0

c) x2 + y2 –10x + 4y – 7 = 0

c) 2x2 + 2y2 + 12x – 2y – 3 = 0

29.- Determine cuales ecuaciones representan una circunferencia o no. a) x2 + y2 + 4x – 8x – 5 = 0

b) x2 + y2 – 6x + 2y + 36 = 0

c) a) x2 + y2 + 8x +15 = 0

b) x2 + y2 -4x – 4y +9 = 0

30.- Los lados de un triángulo se encuentran sobre las rectas r1: x – 2y = 0; r2: 5x – 2y = 8; r3: 3x + 2y = 24. Encuentre la circunferencia circunscripta al triángulo. 31.- Halle la circunferencia que pasa por los puntos P(0, 1); Q(0, 6) y R(3, 0). 32.- Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(0, -3) y Q(4, 0) y cuyo centro se encuentra sobre la recta x + 2y = 0 33.- Encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene por diámetro el segmento que une los puntos (3, 2) y (-7, 4) 34.- Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (0, 0); (8, 0); (0, -6)

-18-

Coordenadas Cartesianas

Capítulo II Coordenadas Polares

1. Coordenadas Polares. 1.1. Definición.

Llamaremos sistema de coordenadas polares, al sistema constituido por un eje llamado eje polar y un punto O de dicho eje llamado Polo. Llamaremos coordenadas polares de un punto P(x, y) del plano al par de números reales (ρ, ϕ) donde ρ mide la longitud del segmento OP tomando como unidad la del eje polar, ρ = OP/u, siendo u la unidad del eje polar, y ϕ es el ángulo determinado por la parte positiva del eje polar y el segmento OP , con sentido trigonométrico positivo. 0 ≤ ϕ < 2π

Para obtener todos los puntos del plano, se tendrá:

y

0≤ρ