Geometría con Cabri

GEOMETRÍA CON CABRI INTRODUCCIÓN

Alberto Bagazgoitia (*)

El programa CABRI permite trabajar la Geometría de un modo experimental. Nos facilita la construcción de figuras geométricas planas: puntos, segmentos, rectas, polígonos, circunferencias, etc. y nos permite definir relaciones entre ellas. Pero, sin duda, la característica más importante y la aportación más novedosa del programa CABRI es que nos permite modificar la construcción inicial, manteniendo las propiedades o relaciones que hayamos definido. La Geometría, que tradicionalmente ha sido presentada como el modelo de ciencia deductiva, –enunciando un determinado resultado que hay que probar a partir de los axiomas básicos o de otros resultados ya conocidos–, puede trabajarse también desde un planteamiento inductivo, es decir, los resultados no se conocen de antemano y el primer paso será, a través de la experimentación, lograr establecer una conjetura razonable que, si posteriormente lo consideramos necesario, deberíamos demostrar. Los enunciados clásicos: “Demuestra que el ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del ángulo central correspondiente”. “Demuestra que el ángulo exterior a una circunferencia, es igual a la semidiferencia de los arcos que abarca” “Demuestra ...” pueden presentarse de otra manera: ¿Qué relación existe entre el ángulo inscrito en una circunferencia y el ángulo central correspondiente? ¿Cuál es la relación entre el ángulo exterior y los arcos que abarca? La metodología de la Resolución de Problemas entra así de lleno en el estudio de la Geometría gracias al uso de CABRI, convirtiendo a este programa en una herramienta metodológica de primer orden: la experimentación con el problema, el análisis de casos particulares y de casos extremos, la búsqueda de pautas o relaciones, la elaboración de conjeturas, ... son procesos, partes todos ellos del razonamiento inductivo, que se abordarán de una forma natural en las actividades desarrolladas con CABRI. El objetivo de las actividades que se presentan a continuación es dar ejemplos sencillos en los que se ponga de manifiesto este enfoque. No se trata, por tanto aquí, de enseñar a manejar el programa, lo que por otra parte no requiere gran esfuerzo, pues funciona a través de submenús, sino de plantear propuestas de uso en las que se pueda comprobar la alternativa que supone este enfoque al tradicional. Los temas que se abordan son : · Ángulos en la circunferencia · Ángulo de tiro Las actividades se plantean en formato Hoja de Alumno y Hoja de profesor. Las ayudas que proporcione el profesor, que dependerán de las destrezas del alumnado con el programa CABRI, pueden ir desde simples sugerencias hasta ofrecer la figura ya realizada en la que la modificación de valores por parte de los alumnos les haga ver las pautas o relaciones buscadas. · El Rugby y la geometría

(*) asesor de matemáticas del Berritzegune de Vitoria-Gasteiz.

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HOJA DEL ALUMNO ¿HAY ALGUNA RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO CENTRAL EN UNA CIRCUNFERENCIA Y LA LONGITUD DEL ARCO QUE ABARCA?

SUGERENCIAS

1.- Con la Opción Compás construye la circunferencia de radio 3 cms. 2.- Fija los puntos A y B en la circunferencia y define el arco AB. 3.- Mide el ángulo AOB y la longitud del arco AB y trata de establecer una relación (Tal vez lo veas más claro si mides el ángulo en radianes). 4.- Comprueba si hay una relación de tipo lineal.

CONJETURA

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SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.

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HOJA DEL PROFESOR ¿HAY ALGUNA RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO CENTRAL EN UNA CIRCUNFERENCIA Y LA LONGITUD DEL ARCO QUE ABARCA?

SOLUCIÓN

Una vez construida la figura y obtenidas las medidas del ángulo y del arco, observarás que al modificar el punto B sobre la circunferencia se van modificando las medidas correspondientes. El alumno podrá apreciar cómo la relación entre la longitud del arco y la medida del ángulo es mucho más natural cuando el ángulo se mide en radianes que cuando se utilizan los grados. Para analizar si existe o no una relación lineal basta con calcular el cociente entre las dos cantidades. CABRI, dispone de la opción “Tabular” que nos permite, de una forma muy sencilla (basta pulsar la tecla Tab para que se guarden los distintos valores), ir almacenando en un tabla los valores que vamos obteniendo al modificar los elementos. Así podemos recoger una amplia información sobre qué ocurre con nuestro problema en distintos casos particulares y elaborar una conjetura.

CONJETURA: La longitud del arco es proporcional al ángulo, y si éste se mide en radianes el cociente es el radio. ¿Ocurrirá lo mismo con todas las circunferencias?

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HOJA DEL ALUMNO ¿HAY ALGUNA RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO INSCRITO APB EN UNA CIRCUNFERENCIA Y LA LONGITUD DEL ARCO AB QUE ABARCA?

SUGERENCIAS

1.- Sigue los mismos pasos que en el ejercicio anterior. (El alumno no necesita saber CABRI para aprovecharse de sus ventajas. El profesor podría haber preparado la figura correspondiente para ser manipulada a través del explorador de Internet). 2.- Haz la figura y experimenta con ella.

CONJETURA

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SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.

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HOJA DEL PROFESOR ¿HAY ALGUNA RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO INSCRITO APB EN UNA CIRCUNFERENCIA Y LA LONGITUD DEL ARCO AB QUE ABARCA?

SOLUCIÓN

La longitud del arco es 6 veces el ángulo medio en radianes, es decir, 2 veces la longitud del radio

¿Ocurrirá lo mismo para todas las circunferencias? NECESIDAD DE LA DEMOSTRACIÓN

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HOJA DEL ALUMNO ¿QUÉ RELACIÓN HAY ENTRE EL ÁNGULO APB INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA Y EL ÁNGULO CENTRAL AOB QUE ABARCA EL MISMO ARCO?

SUGERENCIAS

1.- Sigue los mismos pasos que en el ejercicio anterior. 2.- Haz la figura y experimenta con ella.

CONJETURA

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SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.

Geometría con Cabri

HOJA DEL PROFESOR ¿QUÉ RELACIÓN HAY ENTRE EL ÁNGULO APB INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA Y EL ÁNGULO CENTRAL AOB QUE ABARCA EL MISMO ARCO?

SOLUCIÓN

El ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco

NECESIDAD DE LA DEMOSTRACIÓN?

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HOJA DEL ALUMNO ¿QUÉ RELACIÓN HAY ENTRE EL ÁNGULO DPB INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA Y LOS ARCOS BD Y AC? (Observa la figura)

SUGERENCIAS

1.- Ya sabes por los ejercicios anteriores que el arco DB se mide mediante el ángulo DOB, y el arco AC mediante el ángulo AOC. 2.- Trata de establecer una relación entre los 3 ángulos : DPB, DOB, AOC. 3.- Haz la figura y experimenta con ella.

CONJETURA

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SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.

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HOJA DEL PROFESOR ¿QUÉ RELACIÓN HAY ENTRE EL ÁNGULO DPB INTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA Y LOS ARCOS BD Y AC?

SOLUCIÓN

El ángulo DBP es la semisuma de los ángulos DOB y AOC

NECESIDAD DE LA DEMOSTRACIÓN?

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HOJA DEL ALUMNO ¿QUÉ RELACIÓN HAY ENTRE EL ÁNGULO DPB EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA Y LOS ARCOS BD Y AC? (Observa la figura)

SUGERENCIAS

1.- Sigue las indicaciones del caso anterior: Analiza la relación entre APC, BOD y AOC. 2.- Haz la figura y experimenta con ella.

CONJETURA

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SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.

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HOJA DEL PROFESOR ¿QUÉ RELACIÓN HAY ENTRE EL ÁNGULO DPB EXTERIOR A LA CIRCUNFERENCIA Y LOS ARCOS BD Y AC?

SOLUCIÓN

El ángulo APC es la semidiferencia de los ángulos AOC y BOD

NECESIDAD DE LA DEMOSTRACIÓN?

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HOJA DEL ALUMNO ¿QUÉ POSICIÓN PUEDEN OCUPAR LOS FUTBOLISTAS A, B Y C, PARA QUE TODOS TENGAN UN ÁNGULO DE TIRO DE 40º RESPECTO A LA PORTERÍA PQ? (Observa la figura)

SUGERENCIAS

1.- A partir de la figura marca unos cuantos puntos en los que se cumpla la condición. ¿Qué figura representan? 2.- Recuerda que cualquier ángulo inscrito en una circunferencia, que abarca un arco fijo vale siempre lo mismo.

CONJETURA

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SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.

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HOJA DEL PROFESOR ¿QUÉ POSICIÓN PUEDEN OCUPAR LOS FUTBOLISTAS A, B Y C, PARA QUE TODOS TENGAN UN ÁNGULO DE TIRO DE 40º RESPECTO A LA PORTERÍA PQ?

SOLUCIÓN

¿Desde qué puntos se ve la portería PQ bajo elmismo ángulo de 40º?

Al desplazar el punto A sobre la circunferencia observarás que el ángulo se mantiene constante: 40º. Comprueba que al desplazar el punto B por fuera de la circunferencia el ángulo es 40º.

Los puntos desde los que se ve la portería bajo un mismo ángulo están sobre la circunferencia de la figura, en el arco PAQ

¿CÓMO PUEDE CONSTRUIRSE ESTA CIRCUNFERENCIA? PARA CONSTRUIRLA BASTA TENER EN CUENTA LAS SIGUIENTES CONSIDERACIONES: 1.- Si el ángulo de tiro es de 40º, el ángulo central en O que abarca el mismo arco PQ será de 80º. 2.- Por tanto los otros dos ángulos del triángulo isósceles OPQ valdrán 50º cada uno. 3.- Así, la circunferencia se construye trazando, a partir de PQ los segmentos OP y OQ que forman respectivamente 50º. El punto O es el centro de la circunferencia buscada. ARCO CAPAZ: El proceso habitual de construcción del Arco Capaz (desde el que se ve un segmento PQ bajo el ángulo de 40º) es el siguiente: 1.- Se construye el ángulo de 40º sobre PQ. 2.- Se traza la perpendicular por P a PR (que formará un ángulo de 50º con PQ). 3.- Se traza la mediatriz de PQ que cortará en O a la recta anterior. 4.- O es el centro de la circunferencia desde cuyos puntos (del arco grande) se ve el segmento PQ bajo el ángulo de 40º.

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El Rugby y la Geometría Aunque entre nosotros el Rugby no es un deporte muy popular, sí que tiene a nivel aficionado una relativa implantación. El objetivo es doble: depositar el balón en el suelo detrás de la línea de fondo, o conseguir hacerlo pasar de una patada por entre los tres postes de la portería (por encima del poste horizontal, no por debajo). AB es la portería CD es la línea de ensayo Cuando el balón se ha depositado en el punto E, el jugador puede elegir un punto cualquiera T de la perpendicular CD por E para colocar el balón y tratar de introducirlo por AB.

Cuando un jugador logra depositar el balón detrás de la línea de ensayo CD, por ejemplo en el punto E, tiene derecho a lanzar a la portería AB desde un punto T, elegido por él, en la perpendicular a CD que pasa por E.

¿QUÉ PUNTO T DEBE ELEGIR PARA QUE EL ÁNGULO CON EL QUE SE VE LA PORTERÍA AB SEA MÁXIMO? 1.- Usaremos Cabri para recoger datos que nos permitan elaborar una conjetura y realizar la construcción geométrica y visualizaremos el lugar geométrico. 2.- Usaremos la Geometría analítica para encontrar la ecuación del lugar geométrico. Construimos mediante CABRI la figura adjunta:

Con los datos de la tabla podemos pensar que el máximo se alcanzará entre 2,87 y 3,27. Vemos que para el 3 se alcanza el ángulo mayor. Si se quiere más precisión sería cuestión de aproximar con más detalle. Mediante un razonamiento geométrico se puede demostrar (Ver ANEXO I) que el máximo ángulo se encuentra construyendo la circunferencia que pasa por A y B y es tangente a la recta ET. El punto de tangencia T es el punto de máximo ángulo.

Construcción de la Circunferencia que pasa por A B y es tangente a la Recta ET En la figura adjunta es conocido (Teorema de la Potencia) que ET2 = (AE)(BE). Para construir la distancia ET, definamos el punto M, punto medio de AE y construimos la circunferencia de centro M y radio ME.

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Sea F el punto de intersección de esta circunferencia con la perpendicular trazada por B sobre AE. El triángulo AFE es rectángulo puesto que AE es diámetro del círculo. Aplicando el teorema del cateto al lado FE se cumple FE2 = (AE)(BE), luego esta distancia FE coincide con la ET que estaba buscando. Bastará llevar esta distancia FE sobre la recta perpendicular a AE por E para obtener el punto T que nos da el máximo ángulo. Por tanto el punto T será el punto de intersección de la circunferencia de centro en E y radio EF con la perpendicular a AE por E.

Lugar Geométrico del punto T a medida que el punto E se desplaza por la línea de ensayo AB El punto T construido varía a medida que el punto E se desplaza sobre la recta de ensayo AB. Cabri nos permite ocultar las figuras auxiliares que hemos utilizado en la construcción para resaltar la dependencia directa entre el punto E (lugar de ensayo) y el punto T situado en la perpendicular a la recta AB que pasa por E y desde el cual el ángulo de visión de la portería AB es máximo. USANDO LA GEOMETRÍA ANALÍTICA: La curva que aparece en la figura anterior como lugar geométrico nos sugiere la forma de una rama de hipérbola. Su comprobación exige la conexión entre la Geometría sintética y la analítica. Fijemos un sistema de coordenadas con el Origen de coordenadas en el punto medio del segmento AB y el eje X sobre la propia recta AB. Las coordenadas del punto A serán (-a,0) y las del punto B (a,0). El punto E que se desplaza sobre el eje X será de coordenadas (x,0) y a las coordenadas del punto T que describe el lugar geométrico les llamamos (x,y). (Evidentemente la x de E y la de T es la misma). ¿Qué relación liga las coordenadas (x,y) de T? La relación que fijaba el punto T era ET2 = (AE)(BE) y teniendo en cuenta que ET = y,, AE = x+a ,,BE = x-a Se tiene y2=(x+a)(x-a) ó y2=x2-a2

Que es la ecuación de la hipérbola x2-y2=a2 x2 y2 –– – –– = 1 a2 a2

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Es decir, consiguiendo un ensayo en cualquier lugar x del eje X, el ángulo de máxima visión de la portería (entre los puntos de la perpendicular a AB) se consigue en el punto (x,y) de la hipérbola que tiene como vértices los postes de la portería.

ANEXO I Demostración de que el máximo Ángulo de visión de un Segmento AB , cuando nos podemos desplazar por una perpendicular ET se alcanza en el punto de tangencia de la Circunferencia que pasando por A y B es tangente a ET. Queremos probar que el máximo ángulo para ver AB se alcanza en el punto T. Sabemos que el ángulo en T’ (AT’B) es : 1 < AT’B = –– (AˆB– Jˆ K) 2 Como la medida del arco AB es constante la medida de ATB será máxima cuando el arco JK sea 0. Esto sucede en el punto T de tangencia.

BIBLIOGRAFÍA: Troy Jones and Steven Jackson: “Art: Rugby and Mathematics: A surprising link among geometry, the conics and calculus”. Mathematics Teacher Vol 94 Nº 8, November 2001.

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