Espirales con Cabri-Géomètre

ESPIRALES CON CABRI – GÉOMÈTRE Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén (*)

En nuestros trabajos de Geometría, o más exactamente de Cabri-geometría, los firmantes de este artículo, solemos tener siempre un pequeño recuerdo para las espirales. Somos conscientes de que un recurso como Cabri permite excursiones por parajes geométricos poco frecuentados y éste es un hecho que debe aprovecharse. Así: el acercamiento a las cónicas como lugares geométricos o como envolventes de curvas, la aparición tan sencilla de la Astroide, la Cardiode, el Óvalo de Descartes o del Caracol de Pascal, que se convierten en figuras habituales, resultarían sin su concurso casi inabordables. Pero gracias a Cabri-Géomètre y especialmente al movimiento que se puede imprimir a los puntos a través de las animaciones y de sus posibilidades cinemáticas, las curvas ilustres antes citadas y otras muchas dejan de ser una simple y hierática imagen del libro de texto, pasando a convertirse en objetos geométricos que pueden ser representados a partir de ciertas condiciones y cuyas propiedades se pueden investigar sin necesidad de los recursos algebraicos, que, por su desconocimiento en estas etapas, las hacían inaccesibles para nuestro alumnado.

1. ¿POR QUÉ ESPIRALES? Son éstas unas curvas que al margen de sus propiedades matemáticas nos resultan muy conocidas, ya que tienen una notable presencia en el entorno físico en el que nos desenvolvemos y refuerzan nuestros diálogos al servirnos de imagen a la hora de describir ideas o situaciones recurrentes pero cambiantes. Efectivamente, aparecen como adorno en la cerámica popular, en los forjados de ventanas y balcones de nuestras ciudades y pueblos y se alude a la espiral de violencia o al curriculum en espiral como latiguillos que dicen poco a fuerza de repetidos. Fijarnos en tales situaciones, bastaría, quizá, para asumir que esas curvas conviven con nosotros, pero sería precipitado suponer por eso que las conocemos, pues, la información que acerca de ellas se tiene, es bastante precaria. Por otro lado, afirmar que las espirales no pertenecen al mundo escolar, sería erróneo, pues hablar del estilo dórico precisa de una ineludible referencia a los capiteles en forma de espiral y cuando se trata del universo, es paso obligado el de las galaxias espirales, tanto más, cuando la nuestra, la Vía Láctea, es una de ellas. Sin embargo, desde la perspectiva de los contenidos que aportan las matemáticas a la formación del alumnado de Secundaria son curvas inexistentes. A la pregunta: ¿por qué, si el arte o la astrofísica nos muestran esa imagen en los libros de texto, las matemáticas les dan la espalda? Nuestra respuesta como profesores del área aludida sería poco más que encogernos de hombros.

(*) Profesores de Enseñanza Secundaria de Matemáticas. Navarra

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Si recurrimos a la memoria y la activamos en nuestra época escolar, descubriremos su total ausencia en los estudios preuniversitarios y si la situamos en los recuerdos de facultad, entonces sí se ilumina su imagen, unida a las coordenadas polares —situación ésta que parece justificar su ausencia anterior— y al estudio de hélices y helicoides, pues el paso del plano al espacio y su recíproco, aunque vertiginosos, resultan más naturales de lo que parece. No son las espirales curvas sencillas para dibujar, tampoco con CabriGéomètre, cierto, pero en nuestra opinión su interés intrínseco bien merece el pequeño esfuerzo que les hemos dedicado. En los párrafos anteriores se hacía un escueto comentario sobre su presencia permanente en nuestro entorno, pero sería injusto no mencionar que el ser humano tiene con las formas espirales una relación que podríamos calificar de atávica. Efectivamente, han servido para simbolizar la eternidad, la renovación cíclica y los periodos solares, buenas muestras de ello quedan en los petroglifos que por todos los rincones del planeta atestiguan que nuestros antepasaImagen 1. Vincent Van Gogh “Noche Estrellada” dos se servían de ellas para plasmar en piedra su asombro e indefensión ante la naturaleza y el mundo que les rodeaba. De ese carácter litúrgico pasarían a representar el laberinto, metáfora de lo anterior, y a servir de ornamentación en ajuares, tocados y vestidos. De la mano del arte sigue llegándonos su mensaje de continua renovación, de forma que aparecen en la pintura, escultura y, en general, en el diseño, tanto de pequeños objetos como de estructuras complejas. Sin olvidar, por supuesto, que además de su valor simbólico, las espirales tienen una presencia importante en la naturaleza. Las conchas de los caracoles y otros moluscos, el crecimiento de muchas plantas y flores —en particular de girasoles y piñas—, la lengua de las mariposas —espiritrompa— o de los camaleones son buenos ejemplos de ello. Y más, pues esa misma forma está en muchas galaxias y en la estructura más elemental de la vida: las cadenas de ADN. Incluimos en este artículo algunas imágenes que refrendan lo dicho, no con la intención de subrayar algo conocido por todos, sino porque, de cara a su estudio en clase, resulta pertinente mostrar en cuantas ocasiones sea posible que las Matemáticas, muy a menudo, prestan un modelo potentísimo a propuestas o desafíos que proceden del pensamiento humano y que esta disciplina se ha forjado sirviendo de cauce a su estudio y sistematización .

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Imagen 2. Caracol común

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2. DATOS ELEMENTALES Volviendo al campo geométrico, lo primero que cabe señalar es que no puede hablarse de espiral, sino de espirales y que en sentido más amplio es más pertinente hablar de formas espirales, pues la dificultad que conlleva su representación ha obligado a considerar “falsas espirales” que pueden someterse a una sencilla construcción mediante la regla y el compás.

Imagen 3. Petroglifo de Piedra de Polanco. Panamá

Imagen 4. Petroglifo de Laxa das Rodas. Galicia

Queda dicho que su conocimiento y uso se pierde en la larga noche paleolítica, pero su aparición en la Geometría se sitúa de la mano de Arquímedes de Siracusa (282-212 a.d.C.) quien escribió un tratado titulado “Sobre las espirales”, aunque él mismo la atribuye a Conon de Alejandría, su contemporáneo y amigo. El interés por esta curva parece ligado a la solución de los más famosos problemas de la antigüedad clásica: la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. Hermosas y fecundas cuestiones que, lamentablemente, debemos dejar al margen, pues nos separarían demasiado del objetivo que nos proponemos con este artículo. La espiral de Arquímedes, pues no es otro su nombre, se define como el lugar geométrico descrito por un punto del plano que partiendo del extremo de una semirrecta la recorre uniformemente mientras que ésta gira en torno a su extremo también uniformemente (en coordenadas polares). Vemos que el movimiento que simboliza y sugiere su forma aparece en su definición a través de una traslación y un giro. Arquímedes demostró importantes propiedades de esta curva, en especial sobre su longitud y la superficie que encierra, y las utilizó para resolver los citados problemas. Deberían de pasar más de 1800 años para que el mundo de las espirales se viera incrementado con una aportación de Descartes (1596-1650): la espiral logarítmica. Para definirla, supondremos,

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La espiral de la izquierda corresponde a r = u, mientras que la de la derecha es r = 5 u. Estas imágenes muestran que la “forma no varía”, pues un cambio de escala conveniente las muestra iguales

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como en el caso de la espiral de Arquímedes, que en una semirrecta su extremo se desplaza sobre ella de manera que la longitud del segmento determinado por las posiciones de partida y final de ese extremo aumenta de forma continua, mientras que la semirrecta gira uniformemente. Es decir que el punto que describe ese lugar geométrico está sometido a una dilatación y un giro (en coordenadas polares). El hecho de que este involucrado el crecimiento continuo determina la aparición del número “e”. Esta curva fue también estudiada por Torricelli (1608-1647), quien consiguió su rectificación, pero sería el genio de Jacques Bernouilli (16541705), el que profundizó en sus estudio y expuso sus sorprendentes propiedades. Estas son, por ejemplo, que su envolvente y su podaria respecto al polo son también espirales logaAmbas imágenes corresponden a r = e . La forma es la rítmicas iguales a la dada. Pero lo mismo ocurre misma, aunque la de la de derecha es un detalle ampliado del intervalo (-4, 4), podríamos seguir aproximándonos al polo y en el caso de su cáustica de reflexión y su cáusseguir viendo la misma forma espiral tica de refracción para los rayos procedentes de su polo. Esa autosuficiencia impresionó tanto a Bernouilli, que quiso que fuera grabada en la lápida de su tumba junto a la leyenda “Eadem mutata resurgo” (Aún modificada, reaparezco). Parece que el encargado de tallar su lápida en la catedral de Basilea no conocía a fondo esta curva y se conformó con esculpir una espiral arquimediana. u/4

El mismo Bernouilli descubrió la espiral parabólica (r2 = k.u) y con el tiempo irían apareciendo otras espirales: • Hipérbolica (r.u = k). • Sinusoidal (ra.ka cosau) que resulta ser una generalización de la Lemniscata de Bernouilli, pues lo es para a = 2 s

s

• Cornu (en paramétricas x = *0 cost2dt y = *0 sent2dt, con e R. ) Entre las falsas espirales, ya mencionadas, cabe destacar la de Durero o espiral áurea, que se construye mediante cuadrantes de circunferencia concatenados, a partir de cuadrados que surgen de rectángulos áureos. Esta información relativa a definiciones, propiedades y formas, aunque sobradamente conocida, es preciso tenerla muy presente a la hora de realizar las construcciones mediante CabriGéomètre que presentamos a continuación.

Imagen 5. Galaxia M109

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Imagen 6. Modelo para representar la Vía Láctea

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3. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES En este apartado vamos a mostrar cómo Cabri puede servir para obtener construcciones dinámicas de esta curva. Debemos resaltar que en ninguno de los dos casos se van a usar coordenadas, usaremos tan sólo el movimiento de un punto sobre el plano, movimiento que debe cumplir ciertas condiciones.

3.1. Primera Construcción Dispondremos de un punto O fijo en el plano, de una semirecta con origen en O y de un punto A sobre la semirecta. En el instante inicial el punto A coincide con O. La semirecta gira en torno a O con velocidad angular constante y el punto A se desplaza sobre la semirecta a velocidad constante. Con estas condiciones la trayectoria que recorre el punto A es una Espiral de Arquímedes. Veamos ahora cómo realizar esta construcción con Cabri. 1. Trazamos un punto en el plano y lo etiquetamos con O 2. Trazamos una circunferencia con centro O y radio no demasiado grande.

Imagen 7

3. Trazamos un punto sobre la circunferencia y la semirecta que une a O con este punto. Este va a ser el eje polar. Para distinguirlo de la semirecta móvil le cambiamos el color, por ejemplo rojo. Etiquetamos a esta semirecta como Eje Polar.

Imagen 8

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4. Para dibujar la semirecta que va a estar en movimiento en trono a O necesitamos apoyarnos en la circunferencia. Trazamos un punto sobre la circunferencia y lo etiquetamos con M. 5. Trazamos la semirecta con origen en O y que pasa por M y sobre esta semirecta trazamos el punto A. Este es el punto que dibujará la espiral.

Imagen 9

6. Necesitamos que M se desplace sobre la circunferencia a velocidad constante y que A recorra la semirecta también a velocidad constante. Para ello podemos usar la herramienta “Animación Múltiple”. Aplicamos la herramienta sobre los puntos A y M y activamos la traza del punto A para que su trayectoria quede marcada sobre el plano cuando lancemos la animación. Ahora basta con pulsar en el teclado sobre la tecla “Intro” ( ) y el resultado será parecido al siguiente:

Imagen 10

Si se quiere se puede ahora obtener la ecuación polar de esta curva. Para ello basta con tener en cuenta que la velocidad de A es constante k1 = r / t y que la velocidad angular de la semirecta también lo es k2 = ϑ / t Ahora despejando t se obtiene

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r = k1 /k2ϑ = kϑ Que es la ecuación polar de la Espiral de Arquímedes.

3.2. Segunda Construcción Esta construcción se basa en la Imagen 11. En ella la escuadra ABP rueda sin deslizamiento sobre la circunferencia C, M es el punto de tangencia de la escuadra con la circunferencia, con lo que el punto P describe una espiral de Arquímedes. Notemos que en esta construcción el lado BP de la escuadra mide exactamente el radio (R) de la circunferencia C.

Veamos como podemos simular con Cabri esta construcción. En primer lugar trazaremos la escuadra ABP. Para ello basta con trazar el segmento AB y por B trazar una recta perpendicular a él. Sobre la perpendicular situamos el punto P y lo unimos con B mediante la herramienta segmento. Finalmente ocultamos la recta perpendicular. Imagen 11

Imagen 12

Ahora dibujamos la circunferencia C con radio el segmento BP. Para ello basta trazar un punto O en el plano y usar la herramienta compás sobre O y el segmento BP. Ya tenemos los elementos básicos de la construcción. Si queda poco espacio libre en la hoja de dibujo podemos redimensionar la escuadra ABP, si cambiamos BP la circunferencia cambiará pues su radio está ligado al segmento. Ahora pintamos sobre C el punto de tangencia M y la recta tangente a C por M. Basta con trazar el radio OM y la perpendicular al radio por M.

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Imagen 13

Imagen 14

Este punto M se irá desplazando sobre C para simular la rodadura de la escuadra sobre C, veremos más adelante cómo simulamos el movimiento. Necesitamos señalar un punto I sobre C. Sobre este punto estará el punto B de la escuadra cuando vaya a empezar el movimiento de rodadura. Notemos que en ese momento el punto P coincidirá con O.

Imagen 15

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Veamos ahora cómo simular el movimiento de la escuadra sobre la circunferencia. En la figura siguiente tenemos dibujado un cierto instante de la rodadura, desde I hasta M. Notemos que al no haber deslizamiento el segmento BM mide lo mismo que el arco de circunferencia IM. Este es el detalle que permite simular la rodadura, por lo que necesitamos dibujarlo, lo cual haremos usando la herramienta Arco que nos proporciona Cabri.

Imagen 16

Usando la herramienta Longitud podemos medir el arco IM. Ahora usamos la herramienta transferencia de medidas: seleccionamos esta herramienta en su botón, apuntamos al número que expresa la longitud del arco y clicamos sobre el punto B para transferirla. Obtenemos un punto sobre el plano que está a distancia de B el arco IM. Ahora trazamos la circunferencia con centro B y que pasa por M y obtenemos el punto M en la escuadra como corte del segmento AB y esta circunferencia

Imagen 17

Notemos que si desplazamos M sobre la circunferencia el nuevo punto M se desplaza sobre la escuadra determinando los segmentos AM y MB. Este par de segmentos son los que debemos llevar sobre la tangente a la circunferencia para que simulen el movimiento de la escuadra. Por tanto trazamos los segmentos AM y MB sobre la escuadra y ahora haciendo compás los llevamos sobre la tangente:

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Imagen 18

Imagen 19

Con el fin de clarificar la construcción ocultamos los elementos que no son ya necesarios. Seleccionamos la herramienta Ocultar/Mostrar y ocultamos las circunferencias del compás y la recta tangente. Nos quedará una figura como la siguiente:

Imagen 20

Si ahora desplazamos el punto M sobre la circunferencia veremos como el segmento AB rueda sobre ella. Debemos advertir que esta construcción es aproximada ya que la medida del arco IM no es exacta.

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Para terminar la construcción basta con trazar la perpendicular por B al segmento MB y hacer compás sobre B con el radio de la circunferencia, de esta manera obtenemos el punto P. La siguiente figura ilustra este final.

Imagen 21

Ahora ocultamos la perpendicular y la circunferencia del compás con lo que nos quedará la figura 22.

Imagen 22

Lo más difícil está ya hecho, pues la espiral de Arquímedes es el lugar geométrico de P cuando M recorre la circunferencia. Esto puede obtenerse de dos maneras: 1. Activamos la traza de P y arrastramos M sobre C en sentido contrario al de las agujas del reloj. 2. Seleccionamos la herramienta Lugar Geométrico y se la aplicamos a los puntos P y M en ese mismo orden. Las dos figuras siguientes muestran el resultado que se obtiene por cada uno de los dos caminos.

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Imagen 23

Imagen 24

4. ESPIRAL LOGARÍTMICA La construcción con Cabri de la espiral logarítmica se apoya en una propiedad característica, que por su importancia, se utiliza para denominarla. En efecto, la espiral logarítmica, o de Bernouilli, también es conocida como espiral equiángula. Su representación se apoya en considerar dos progresiones, una aritmética para el parámetro angular y otra geométrica para el radio polar. Para ello generaremos un haz de semirrectas con vértice en el polo, construido mediante giros de ángulo constante a partir del eje polar. Los puntos de la espiral logarítmica estarán situados sobre este haz de semirrectas, de manera que sus distancias al polo estén en progresión geométrica. El proceso descrito en el párrafo anterior sugiere un crecimiento, o decrecimiento, continuo, de ahí que la ecuación polar de esta espiral contenga al número “e”:

r = e kϑ

{

k > 0 Crecimiento k > 0 Decrecimiento

Más aún, en el caso del crecimiento la espiral se va expandiendo, podríamos decir que se va desenrollando a partir del polo, y cuando haya decrecimiento la espiral se irá enrollando en torno al polo.

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Veamos cómo dibujar cada punto de nuestra espiral. Tomamos como elementos de partida un segmento AB, cuya longitud es L, y un ángulo a. • A

Angulo: a

• B Polo • A

• B

Eje Polar

Imagen 25

Con estos elementos construimos sobre el eje polar un triángulo rectángulo ABC cuyo ángulo en A es a y cuyo cateto AB es el segmento dado. La longitud de la hipotenusa AC será: L1 =

L cos a

Sobre la hipotenusa AC construimos un nuevo triángulo rectángulo ACD, cuyo ángulo en A es de nuevo a. La longitud de la hipotenusa AD será en este caso: 2 1 L L1 L2 = = = L cos a cos2 a cos a

[ ]

Imagen 26

Reiterando la construcción obtenemos una sucesión de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas están en progresión geométrica de razón 1/Cosa Ln =

[ ]

1 L Ln-1 = =L cos a cosn a cos a

n

Es evidente que los ángulos correspondientes a los extremos de las hipotenusas están en progresión aritmética (na), con lo que dichos puntos están sobre una espiral logarítmica. Veamos cómo realizar esta construcción con Cabri-Géomètre. Seguiremos un método iterativo, es decir, construiremos cada punto a partir del anterior usando las progresiones antes señaladas. Cabri permite realizar tales iteraciones a partir de macroconstrucciones. Se trata de un método iterativo, que trabajando con Cabri se obtiene mediante una “macro”, que permita la determinación de puntos según la pauta sugerida: un ángulo constante que se repite en cada giro y un punto que, en cada giro, determina con el polo un segmento cuya longitud es el producto del anterior por una cantidad constante. Iniciamos la construcción trazando un segmento AB y, mediante la edición numérica, el ángulo que se irá repitiendo en la progresión aritmética. En nuestro caso lo hemos tomado de 20 grados, pero podría ser cualquiera. Únicamente deberemos notar que cuanto más pequeño sea este ángulo mejor será la aproximación de la nube de puntos a la espiral deseada. Ahora dibujamos un punto en el plano y una semirecta con origen en este punto a los que etiquetamos como Polo y Eje Polar respectivamente. Finalmente mediante la herramienta compás trazamos una circunferencia con centro en el Polo y radio el segmento AB. La imagen siguiente ilustra esta situación de partida.

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Imagen 27

Marcamos el punto de corte del Eje Polar con la circunferencia y etiquetamos con P1 a dicho punto. Ahora, con la herramienta segmento, trazamos el radio de circunferencia que une Polo con P1.

Imagen 28

Trazamos por P1 la recta perpendicular al radio y la etiquetamos con r. De esta manera casi tenemos el triángulo rectángulo con el que obtendremos el segundo punto de la espiral.

Imagen 29

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Para completar el triángulo buscado debemos trazar un ángulo de 20º en el Polo. Lograremos tal cosa girando 20º el radio Polo-P1 en torno al Polo. Usaremos para ello la herramienta rotación y obtendremos el punto G1. Para clarificar la figura ocultamos el segmento Polo – G1.

Imagen 30

Trazamos ahora la semirecta con origen en el Polo y que pasa por el punto G1. El corte de esta semirecta con la recta r nos proporciona el punto P2.

Imagen 31

Estamos ya en condiciones de definir la macro que a partir de un ángulo y un punto nos proporciona el siguiente punto de la Espiral Logarítmica. Antes de definirla ocultamos los elementos usados en la construcción y que no son datos ni resultados de la misma, es decir: Circunferencia, radio Polo – P1, recta r, punto G1 y semirecta Polo – G1. La siguiente imagen indica cuáles son los objetos iniciales y cuáles los finales. Por ejemplo, podemos llamar a esta macro EspiraLog. Una vez que hemos definido la macro la podemos usar para trazar más puntos de nuestra Espiral Logarítmica. Llamamos a EspiraLog y apuntamos al 20 y a los puntos Polo y P2. Aparecerá el punto P3. Apuntamos a 20, Polo y P3, aparecerá P4.

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Imagen 32

Imagen 33

Aplicando EspiraLog de forma reiterada, pero siempre sobre el último punto obtenido junto con el Polo y el ángulo 20º, obtendremos una serie de puntos de la espiral. La imagen siguiente muestra el resultado de este proceso.

Imagen 34

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5. ESPIRALES “CUADRADAS” En este apartado presentamos una serie de construcciones relacionadas con la falsa espiral o Espiral de Durero. Los procedimientos de dibujo que se van a desarrollar no son de tipo lugar geométrico o sistema dinámico, como los de la Espiral de Arquímedes, sino que de nuevo son de tipo iterativo como el de la Espiral Logarítmica. En consecuencia, definiremos algunas macros que simplifiquen, o compliquen que todo es posible, las construcciones a realizar. Las construcciones que siguen se obtienen a partir de cuadrantes de circunferencia obtenidos, a su vez, de “esquinas de cuadrado”. Este es el motivo por el que hemos titulado este apartado como espirales cuadradas.

5.1. Espiral cuadrada doble Observemos la siguiente figura:

Imagen 35

Está formada por la concatenación de esquinas de cuadrados, cuyo lado es doble del lado del cuadrado anterior en la serie. Sobre esta serie de cuadrados se puede construir una falsa espiral dibujando arcos de circunferencia:

Imagen 36

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Veamos un procedimiento iterativo para el dibujo de la serie de cuadrados. Se trata de obtener la esquina siguiente a una dada, de esta manera basta con reiterar el procedimiento para obtener la espiral. El paso de una esquina a otra será almacenado en una macro de Cabri a la que llamaremos “EsquinaDoble”, con lo cual una vez que dibujemos la esquina de partida bastará con aplicar la macro tantas veces como sea necesario para dibujar la espiral. Iniciamos el proceso con una esquina dibujada en pantalla. No detallamos cómo se obtiene tal dibujo pues es una construcción muy simple.

Imagen 37

Obtenemos en primer lugar el punto A4. Para ello basta con aplicar dos simetrías, la primera de A2 respecto de A3, obtenemos S, y la segunda de A3 respecto de S, con lo que obtenemos A4.

Imagen 38

Ahora ocultamos el punto S y unimos A3 con A4 mediante un segmento. Ahora basta con trazar la perpendicular a A3A4 por A4 y mediante compás con centro en A4 y radio el segmento A3A4 obtenemos el punto A5

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Imagen 39

Ocultamos la perpendicular, la circunferencia del compás y trazamos el segmento A4A5. De esta manera terminamos la construcción que se va a almacenar en forma de macro.

Imagen 40

Para definir la macro debemos dar primero sus objetos iniciales. En este caso es el segmento A2A3 y para seleccionarlo como objeto inicial lo hacemos señalando sus extremos, primero A2 y luego A3. Lo hacemos de esta manera para que no haya duda de dónde se debe realizar la concatenación con la siguiente esquina. Definimos los objetos finales que son los segmentos A3A4 y A4A5. En este caso los podemos seleccionar apuntando a cada segmento pero en ese mismo orden. Una vez seleccionados los objetos finales pasamos a la opción “Definir Macro”. Cabri debe presentar el siguiente cuadro:

Imagen 41

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Asignamos a la macro que acabamos de definir el nombre “EsquinaDoble” y clicamos en OK. A partir de ahora y hasta que cerremos la sesión de Cabri, podremos usar EsquinaDoble como una herramienta más del programa.

Imagen 42

Para terminar de construir la espiral aplicamos de forma reiterada nuestra nueva herramienta. Para construir la esquina A5A6A7 seleccionamos EsquinaDoble y picamos sobre A4 y A5 sucesivamente. Inmediatamente aparecerá nuestra esquina pero sin las etiquetas, esas las tenemos que poner nosotros.

Imagen 43

Llamamos de nuevo a EsquinaDoble y picamos sobre A6 y A7, aparece la esquina A7A8A9.

Imagen 44

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Vamos a dibujar ahora la falsa espiral. Para ello necesitamos dibujar los arcos de circunferencia que unen los extremos de cada esquina. Nuevamente vamos a usar una macro para el dibujo, a la cual llamaremos “ArcoEsquina”. Para esta construcción necesitamos las herramientas Circunferencia y Arco. La construcción es muy simple, pero para que Cabri acepte la construcción como macro deberemos introducir algunos elementos auxiliares. Dejamos para el lector la justificación de esos nuevos elementos o la búsqueda de una definición alternativa para ArcoEsquina. En primer lugar obtenemos el centro de la circunferencia que soporta al arco A1A3. Para ello basta con trazar las perpendiculares por A1 y A3 a los segmentos A1A2 y A2A3 respectivamente. El corte de ambas rectas, al que denotaremos por C1, es el centro buscado. Ahora con la herramienta circunferencia trazamos la que tiene su centro en C1 y pasa por A1.

Imagen 45

Ocultamos las dos rectas que acabamos de dibujar y trazamos el segmento que une los puntos C1 y A2. Este segmento corta a nuestra circunferencia en un punto que es el que nos falta para poder construir el Arco buscado.

Imagen 46

Ocultamos ahora la circunferencia, el segmento y el centro C1. Con la herramienta arco trazamos el que une A1, el punto de corte de segmento y circunferencia y el punto A2. Nos quedará la siguiente imagen:

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Imagen 47

Ya podemos definir la macro. Como objetos iniciales tomamos los puntos A1, A2 y A3 en ese mismo orden. Como objeto final el Arco. Clicamos en definir macro y le damos el nombre de ArcoEsquina. Ahora aplicamos la macro sobre (A3,A4,A5) y obtenemos el segundo arco. La aplicamos sobre (A5,A6,A7) y aparece el tercer arco. La aplicamos sobre (A7,A8,A9) y tenemos el cuarto arco. Hemos obtenido la figura buscada:

Imagen 48

Parece que nuestro objetivo se ha cumplido pues hemos conseguido dibujar dos falsas espirales, una concatenando esquinas cuadradas y otra empalmando cuadrantes de circunferencia. El método seguido exige dibujar primero la de cuadrados para, a partir de ella, obtener la de cuadrantes de circunferencia. ¿Es posible hacer las cosas al revés? Es decir, ¿podríamos definir un procedimiento, o mejor más de uno, que se base en dibujar primero la espiral de cuadrantes y desde ella dibujar la de cuadrados? Es evidente que la respuesta será afirmativa. En lo que resta de este apartado presentaremos una construcción de las muchas que, casi con toda seguridad, se podrían obtener. El procedimiento que vamos a presentar es de tipo iterativo. Observemos que al pasar de una esquina cuadrada a la siguiente doblamos el lado de la esquina, por tanto también estamos doblando el radio del arco. Además, las circunferencias que soportan arcos consecutivos son tangentes en el punto de empalme de los arcos, por tanto los centros de ambas circunferencias están alineados con el punto de empalme de arcos.

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El método que vamos a seguir consiste en dibujar la sucesión de circunferencias soporte de los arcos con la ayuda de lo expuesto en el párrafo anterior. Crearemos una macro que tome como objetos iniciales la circunferencia del arco actual junto a un cierto punto, y que nos de como objeto final la circunferencia soporte del arco siguiente. Procedemos ya a la creación de la macro. En primer lugar dibujamos una circunferencia con centro en un punto C1 y sobre ella marcamos un punto que etiquetamos como A1. Necesitamos marcar este punto para tener claro dónde va a empezar el primer arco de circunferencia.

Imagen 49

Como cada arco es de amplitud p/2, el punto A3 final del arco se obtendrá trazando la perpendicular al radio de A1 por C1. Este va a ser el punto de empalme, luego será también el punto de tangencia de las dos circunferencias. Si llamamos C2 al centro de la circunferencia siguiente, como C1, C2 y A3 están alineados y la nueva circunferencia tiene radio doble de la primera, C2 será el extremo del diámetro por A3 de la circunferencia inicial. Dibujamos la circunferencia con centro en C2 y que pasa por A3. Para terminar sólo nos falta el punto extremo del arco soportado por la circunferencia con centro en C2. Es evidente que dicho punto es el corte de la paralela al segmento A1C1 por C2. Dibujamos ese punto, lo etiquetamos con A5 y ya tenemos resuelta la construcción necesaria para definir la macro.

Imagen 50

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Ocultamos ahora todos los elementos accesorios de la construcción realizada. Ocultaremos los puntos C1 y C2, el segmento A1C1 y las dos rectas. Dejaremos la figura como muestra la siguiente imagen:

Imagen 51

Almacenamos ya la macro. Como objetos iniciales tomamos el punto A1 y la circunferencia inicial. Como objetos finales la segunda circunferencia y el punto A5. Finalmente en definir macro le damos el nombre “CircSiguiente”. Puede sorprender que el punto A3 no aparezca ni en los objetos iniciales ni en los finales, pero es que este punto aparecerá por ser el punto de tangencia de las dos circunferencias y haberlo dejado visible en la figura final. La construcción de la espiral ya es inmediata, basta con aplicar CircSiguiente de forma reiterada, la figura siguiente muestra el resultado de aplicarla dos veces, en A3 y A5.

Imagen 52

Ahora basta con trazar arcos sobre las circunferencias y ya está. Dejamos para el lector la construcción de la espiral de esquinas a partir de esta, ya que tal construcción es muy sencilla.

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Espirales con Cabri-Géomètre

5. BIBLIOGRAFÍA Bergasa, J.,García. M.V., Eraso, M.D. y Sara, S. (1996): Matemáticas: “Materiales didácticos”. Primer ciclo de E.S.O. Gobierno de Navarra, Pamplona Bouvier, A. y George, N. (1984): “Diccionario de Matemática”, Akal, Madrid. Boyer, C. (1986): “Historia de la Matemáticas”, Alianza, Madrid. Taton, R. (1972): “Historia General de las Ciencias”, Destino, Barcelona. Vinográdov, I.M. (Revisión española a cargo del Dr. José Vicente García Sestafe) (1993) : “Enciclopedia de la Matemáticas”, MIR & Rubiños – 1860. Madrid – Moscú.

OTROS RECURSOS Vídeos didácticos: “Más por menos” Editado por TVE. Imágenes procedentes de diferentes páginas Web y del archivo fotográfico de Joseí.

NOTAS Sobre iconografía que ayude a formarse una idea clara de las espirales, sus propiedades y su presencia en la Naturaleza y el arte, aconsejamos utilizar en clase el capítulo de la colección de vídeos didácticos “Más por menos” dedicado a este tema, titulado El mundo de las espirales, donde pueden encontrarse sugestivas imágenes, además de un estudio bien presentado y fundamentado Todo ello de la mano de Antonio Pérez Sanz, guionista y presentador de la serie.

Octubre 2002 • 2002 Urria

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1) 850-189 (1 a y a k s Kovalev Sofía V.