Geometría y  Trigonometría  Ejercicios para  Politécnica   Ing. Raúl Martínez

Geometría y Trigonometría  

Tema 1: En un cuadrado siempre se cumple que:  I. II. III. IV. V.

Las diagonales son bisectrices de los ángulos interiores  Las diagonales son perpendiculares entre si.  El área es igual a la base por la altura.  La diagonal es equivalente a la raíz cuadrada del lado.  La distancia desde el punto de intersección de las diagonales a uno de los vértices es igual 

a √2/2 del lado  De las proposiciones anteriores son verdaderas solamente:  a) I , III   y  IV  b) I , II , III  y  IV  c) I , II , III , IV   y  V  d) I , II  y  III    e) I , II , IV   y  V  Tema 2: Dado un triángulo    cualquiera, al unir los puntos medios de sus lados, queda formado    otro triángulo  . De las afirmaciones siguientes, la incorrecta es:  a) b) c) d) e)

La relación entre las áreas de los triángulo    y    es 1 a 4.      La relación entre los perímetros de los triángulos    y     es 1 a 2.  Los circuncentros de ambos triángulos no coinciden.  Los incentros de ambos triángulos no coinciden.  Los baricentros de ambos triángulos no coinciden. 

Tema 3: El perímetro de un trapecio rectángulo es 20 . Si la base mayor mide 7 mide 4 , el ángulo agudo del trapecio mide aproximadamente:  a) 53° 

b) 25° 

1 

b) 1 

c) 0  y  1 

Tema 5: Siendo  25 tg 50 . sen 100

)

2

Tema 6: Dado  cos

2

 

a)

5 

b)

b) sec

Tema 7: Si sec a) 1 

d)

cos )

cuarto cuadrante. El valor de la expresión sec a) 5 

e) 0 y  1 

5 cos

)

3 sen   y     ángulo del 

√9. cos 400  es:  d)

/  

e)

5/3 

0  y     del segundo cuadrante, el valor de tg   es: 

2 , con  

     y  tg

e) 37° 

 

6 cotg 50

c) 0 

2

° 

d)

1. El valor de     es: 

√

√   y  cos

Tema 4: Se sabe que sen a)

c) 18° 

, y la altura 

√

c) tg

b) 4 

 

√

d)

, el valor de  cos c) 2 

 

 

e)

cotg   es: 

d) 5 

e)

 

Tema 8: una persona está parada a 500   de  un edificio de 100  de altura que tiene 25 pisos  idénticos. El valor de la tangente del ángulo formado por la visual del observador entre los pisos  9° y   10° es:  a)

/

Cursillo Pi         

 

b) 3143/500 

c) 1/274   

1 

d) 25/3143  Ing. Raúl Martínez 

e) 36/3143 

Geometría y Trigonometría  

Tema 9: El menor ángulo positivo cuyo seno sea igual al doble del seno duplo del mismo ángulo es:  a) 0° 

b) 13° 33  

Tema 10: En el triángulo   son perpendiculares y  a) b) c) d) e)

c) No existe 

d) 79° 44  

  recto en  ,    es punto medio del lado  2√3

, el área del triángulo 

 en 

e) 75° 31  

. Si los segmentos 

 y 

 

 es: 

8 √3  4 √3  16 √3  24  2√3 

    FECHA: 09 – 08 – 2008     Tema 1: El doble del complemento de un ángulo más el triple del suplemento del mismo es 500°. La  semisuma del complemento y el suplemento del ángulo es: 

a) 44° 

 

 

b) 182° 

c) 91° 

d) 250° 

e) 130° 

Tema 2: Dado el triángulo    , donde   82°  y  si las bisectrices del ángulo interior   y del  ángulo adyacente al ángulo interior  , se interceptan en un punto  . La medida en grado centesimal  del ángulo   es:  a) 41   b) 42   c) 45   d) 47   e) 50   Tema 3: En el siguiente gráfico se sabe que   , entonces el valor de    es:   a) b) c) d) e)

 40°   50°   80°   130°   160° 

Φ Φ 40°

Tema 4: A partir de las afirmaciones siguientes:  I) Si dos ángulos iguales son complementarios, entonces cada uno de ellos mide 90°.  II) Los ángulos opuestos por el vértice no pueden ser suplementarios.  III) Si dos ángulos suplementarios son congruentes, entonces cada uno de ellos es cero.  IV) El complemento de un ángulo nulo es otro ángulo nulo.  Podemos decir que son verdaderas:  e) Ninguna   a) Todas  b) Sólo tres  c) Sólo dos  d) Sólo una  Tema 5: La medida del menor ángulo que forman las manecillas del reloj a las 2 a) 150° 

b) 156° 

c) 170° 

44

d) 176° 

, es: 

e) 178° 

Tema 6: En un polígono convexo, desde cuatro vértices consecutivos se puede trazar 33 diagonales.  La cantidad total de diagonales de dicho polígono es:  a) 12  Cursillo Pi         

b) 33 

c) 87   

2 

d) 54  Ing. Raúl Martínez 

e) 52 

Geometría y Trigonometría  

Tema 7: A partir de las siguientes proposiciones:  I) El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento.  II) La tangente de un ángulo del cuarto cuadrante es negativa.  III) La función cosecante es la reciproca de la función secante.  IV) El seno de un ángulo más el coseno de su complemento es igual a 1.  Podemos decir que son verdaderas:  a) Todas  b) Ninguna  c) II   y  III  d) I   y  II  )

Tema 8: La expresión   

)

e) III  y  IV 

, es equivalente a: 

a) cos   b) cotg   c)

 

°)

)  d) sen e) cos 90°

)   .

Tema 9: Reducir a su forma más simple    

 

  ).

)

a) cotg   b) tg   c) sec   Tema 10: En la siguiente figura, el valor de     es:  a) b) c) d) e)

 60°   30°   45°   36°   40° 

d)

tg  

e) cos  

3

Tema 11: Con un compas cuyos brazos miden 15 , se traza una circunferencia de 8  de radio.  Sabiendo que    es el ángulo entre los brazos, entonces el valor de  tg 23° 35 ) es:  a) 1,40 

b) 1,37 

c) 1,41 

d) 1,38 

e) 1,36 

Tema 12: En un triángulo  ,    es el punto medio de  ,   es un punto cualquiera de   y   es  el ortocentro. Si la medida de los ángulos   y   son respectivamente de 80°  y  40°. La razón  entre los segmentos   y    es:  a) 2 

b) 1/2 

c) 1 

d) 3/2 

e) 2/3 

Tema 13: Una transversal corta las rectas paralelas    y    en los puntos   y    respectivamente. Si  las bisectrices de los ángulos conjugados internos se cortan en un punto  , siendo   igual al doble  de  , entonces el menor de los ángulos conjugados internos mide:  a) 90° 

b) 30° 

c) 60° 

d) 15° 

e) 120° 

Tema 14: Se tienen los ángulos consecutivos     y     siendo   152°. Se trazan   , y   , bisectrices de  , ,   y   , respectivamente. Hallar la medida del ángulo  a) 76°  Cursillo Pi         

b) 19° 

c) 34°   

3 

d) 38°  Ing. Raúl Martínez 

e) 52° 

,

   . 

Geometría y Trigonometría  

Tema 15: En la figura   a) b) c) d) e)

  y  

, entonces se puede decir que: 

90°  180° 

         

     

Φ

Tema 16: Marca solo la respuesta correcta.  a) b) c) d) e)

La función seno puede tener 6/5 de valor.  El signo de la cofunción del seno del segundo cuadrante es negativo.  sen cos 1  La tangente de un ángulo es el cociente entre el coseno y el seno de dicho ángulo.  El seno del triplo de un ángulo es el triplo del seno de ese ángulo. 

Tema 17: En el triángulo   , 90°, 22°. Hallar la medida del ángulo formado    por la bisectriz del ángulo   y la mediatriz del segmento  .  a) 23° 

 

b) 22° 

c) 21° 

d) 20° 

e) 18° 

 

Tema 18: En un triángulo   , 12   y   18 . Por  , se traza paralelas a  , cortando  a las bisectrices de los ángulo externos    y   , en los puntos   y   respectivamente. Hallar   :  a) 6

b) 24

 

Tema 19: Si sen

cos

c) 27

 

, el valor de  sen

a) 1  b) 3 1  Tema 20: De las siguientes opciones: 

c) 2

d) 30

  cos 1 

d) 3

En el II , el signo de la cofunción del coseno es positivo. 

II)

Si  cos

III)

1

IV)

La función tangente es decreciente en el III  

V)

1

cos 2

2 sen

2 cos

90° 2 2

180°, el valor de  . cos

90° 2 2

e) N.d.a. 

1 

e) 2

, es: 

I)

4/5 , cos 90°

 

11 

 

tg2   tg2

1 1

Podemos decir que son falsas.  a) I , II  y V  b) II , III y V  c) II, IV  y V  d) I y V  e) II , III, IV  y  V   

Cursillo Pi         

 

 

4 

Ing. Raúl Martínez 

1 

Geometría y Trigonometría  

Prof. Ing. Gary F. Lozano  1. En un triángulo, uno de sus ángulos mide 21° 11 52 . Calcular el valor del ángulo que forman  la bisectriz y la mediana que parten del vértice del ángulo recto.  b) 51° 50 17   c) 52°  d) 44°  e) 53°  a) 23°48 8   2. Calcular el valor del ángulo   ,   cuadrilátero inscriptible.    diámetro de la Cia.  a)  110°  20° b)  120°  c)  90°  d)  100°  20° e)  80°  3. Cuales son las proposiciones no falsas  I) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios, son perpendiculares entre si.  II) Si dos ángulos son suplementarios y tienen un lado común, los otros dos lados estarán en  línea recta.  III) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos, son paralelos.  IV) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son    perpendiculares.  V) Los suplementos de los ángulos conjugados entre paralelas son suplementarios.     , donde    es el complemento de dicho ángulo,  4. Si el suplemento del ángulo    es 4 entonces:  a)   e    son ángulos suplementarios.  b)  es agudo e    es obtuso  c)  es a   como 1  es a 2  d)  es a   como 2 es a 1  e)   e    son ángulos congruentes  5. Los ángulos    y    de un cuadrilátero   valen  78° y  114°. Calcular el valor del ángulo  formado por las bisectrices de los ángulos    y     a) 69°  b) 78°  c) 114°  d) 90°  e) 96°  6. ¿Cuál es la medida de un ángulo interior de un polígono regular de 24 lados?  a) 145°  b) 160°  c) 135°  d) 155°  e) 165°  7. Hallar el valor del ángulo obtuso que forman las diagonales de un rectángulo, siendo una de  ellas el doble de la altura  a) 115°  b) 130°  c) 120°  d) 128°  e) 118°  8. Calcular los valores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la altura  respecto a la hipotenusa, divide a esta en dos segmentos que están en la relación 1/3  a)  53°  y  55°  b)  15°  y  75°  c)  30°  y  60°  d)  30°30   y  59°30   e)  29°30   y  60°30   9. Hallar el valor del ángulo    a)  116°  109° b)  132°  135° c)  122°  d)  112°   e)  102°  Cursillo Pi         

 

5 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

10. En un polígono regular de 14 lados inscripto en una Cía, uno de los lados subtiende un arco de  12,50 . Hallar el radio de la Cía.  a) 28,852   b) 37,852   c) 25,8   d) 30,5   e) 27,852   11. Un rombo tiene diagonales que miden 12  y 16 . La longitud de la cia inscripta a el rombo  es:  a) 24/5    b) 48/5    c) 42/5     d) 40/5     e) 56/5     12. Dada dos cias tangentes exteriores y de radios    y   respectivamente. La longitud del  segmento tangente exterior común a las dos cias es:  a) 4√

  ) 

b) 2 c) 2√ d) √2

   

)  e) 13. Los lados de un triángulo miden  3, 4  y    6 . El coseno del mayor de los ángulos interiores  del triángulo es:    a) 11/24  b) 11/24  c) 3/8  d) 3/8  e) 3/10  14. De las opciones, marca la alternativa correcta:      a) El rombo es un paralelogramo equiángulo.  b) Un cuadrilátero es un paralelogramo.  c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo.  d) El cuadrado es un rombo equilátero.  e) El cuadrado es un rectángulo y viceversa.  15. La función reciproca del cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto de un ángulo agudo  de un triángulo recibe el nombre de:  a) Seno  b) Coseno  c) Cosecante  d) Secante  e) Tangente  16. La cuerda de un arco de cia es igual a 4  y la flecha 0,15 . Calcular el radio  a) 15,5   b) 13,408   c) 18   d) 11,408   e) 12   17. Hallar el área de un cuadrado de perímetro igual al del rectángulo circunscripto a un  hexágono regular de lado  .  a)   1 √3   b) c) d)

7⁄4

√3  

√3/2  2 √3  

e) 3 √3     Fecha: 20 – 10 – 2008   Tema 1: La perpendicular bajada desde un punto de un diámetro mide 6   y divide a dicho  diámetro en dos segmentos que están en la relación 2/3. Calcular la longitud de la cia.  a) 48,4   b) 38,47   c) 35,47   d) 30,47   e) 35,3   Tema 3: Desde un punto se trazan una tangente y una secante a una cia, de longitudes 6   y  12 respectivamente. La secante dista 3,375  del centro de la cia. Hallar la longitud de esta curva.  a) 25,3 Cursillo Pi         

 

b) 30,325

c) 25,325

   

6 

 

d) 35,325

 

Ing. Raúl Martínez 

e) 53,325

,   

Geometría y Trigonometría  

Tema 5: El cociente entre el área de un triángulo equilátero cuya altura es igual al radio de una cia y  el área de un triángulo equilátero inscripto en esa cia es:  a) 4/9 

b) 1/3 

e) 2/3  c) 1/√3  d) √3/2  . El perímetro de la parte sombreada es: 

Tema 6: Dada tres cias de radio igual a 7 a) b) c) d) e)

 5    2√3    4√3    4    7  

Tema 7: Un rombo tiene diagonales que miden 12  y  16 . La longitud de la cia inscripta a el  rombo es:  a) 24/5    b) 48/5    c) 42/5     d) 40/5    e) 56/5  Tema 10: En la figura el lado del cuadrado  a) 2     b) 3   c) 4   d) 4     e) /2   

 es 4

 

. Halla el área de la región sombreada. 

 

Tema 11: Hallar el área en el pentágono (en  a)  28,43  6 b)  35,80  70° c)  35,43  4 d)  34,40  e)  27,50 

):  6 70° 4

2

Tema 12: En una circunferencia de 5  de radio, se inscribe un rectángulo de lados     y  2 . Hallar el  perímetro del rectángulo en  .  e) 12√5  b) 6√5  c) 8√5  d) 10√15  a) 2√5  Tema 13: En un triángulo   se traza la bisectriz correspondiente al ángulo  , que llega hasta el  punto   sobre el lado  . Siendo los lados:  12 ; 6   y   8 . Hallar el área  del triángulo   .    b) 20,4   c) 12,2   d) 15,5   e) 10,4   a) 25,5 Tema 14: Un depósito en forma de cono circular recto de altura  , está con el vértice hacia abajo  esta cargado hasta la mitad de su capacidad ¿Hasta que altura llega el agua?  b) /2  d) /4  c) / √3  e) / √4  a) / √2  Tema 15: Se hace un corte a un cubo de arista igual a  , mediante un plano que pasa por los vértices  ,   y  , como muestra la figura. El área total del poliedro que resulta  al retirar el sólido   es:  a) b) c) d)

  /3   5 /3    9 √3)/2    6 √3 /4 

e)   9

Cursillo Pi         

√3

/4 

 

7 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

Tema 16: La suma de las áreas totales de dos conos circulares rectos semejantes es 25 1 Hallar la raíz cuadrada del producto de las áreas, si las alturas están en razón 3 es a 4.  a) 12

3

√5  

d) 14

1

Tema 17: El área total de un cubo en función de su diagonal  c) 4   a) 2   b) √2  

d) 2

/3 

√5  

b) 12

1

c) 12

√5  

6

√5  

e) 13

2 

√5

1

√5  

e) 2√   Tema 18: El desarrollo de la superficie lateral de un prisma triangular regular, de 8  de altura, es un  rectángulo cuya diagonal mide 10 . Calcular el área total del prisma.  a) 54,65  b) 49,46  c) 55,46  d) 54,15  e) 51,46  Tema 19: Hallar el área total de un tetraedro regular, siendo la suma de todas sus aristas iguales a  12 .   b) 3√3  c) 2√3  d) 8√3  e) 5√3  a) 4√3  Tema 20: En la figura   es triángulo rectángulo,  ,  y   son los lados opuestos, el radio   de la  circunferencia inscripta en el triángulo rectángulo es:  a)     b)   2     )/2  c)   )/2  d)       )/2  e)   Tema 21: Calcular volumen de un tronco de cono de revolución (en  ) de bases paralelas, sabiendo  que se pueden inscribir en él 2 esferas tangentes de 40  y  30  de radio, respectivamente.  e) N.d.a.  a) 0,58  b) 5,8  c) 58,76  d) 587,5  Tema 22: El volumen del material contenida en una esfera hueca cuyo radio interno es    y cuyo  espesor es    es:  a) 4 3 3 )/3  b) 4 )/3  )/3  c) 4 d) 4 )/3  )/3  e) 4 Tema 23: Cuales son las proposiciones no falsas   I) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios, son perpendiculares entre si  II) Si dos ángulos son suplementarios y tienen un lado común, los otros dos lados estarán en  línea recta.  III) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos, son paralelos.  IV) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son  perpendiculares.  V) Los suplementos de los ángulos conjugados entre paralelas son suplementario  e) IV  y V  a) I  y  II  b) Solo I  c) II, III y IV  d) Solo V  Tema 24: De las opciones, marca la alternativa no falsa:  a) El rombo es un paralelogramo equiángulo.  b) Un cuadrilátero es un paralelogramo.  c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo.  d) El cuadrado es un rombo equiángulo.  Cursillo Pi         

 

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Tema 25: En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos mide 21°11 52 . Calcular el valor del  ángulo que forman la bisectriz y la mediana que parten del vértice del ángulo recto.  a) 23°48 8   b) 51°50 17   c) 52°  d) 44°  e) 53°  Tema 26: Cuatro rectas que parten de un punto  , , ,  y  , forman los ángulos continuos  88,257 , 150,36   y   78,0205 . Hallar en grados sexagesimales el valor del  ángulo  .  a) 75°1 34,5   b) 57°1 34,5   c) 70°1 34,5   d) 37° 15 12   e) 73° 1 30   Tema 27: Marcar la correcta:  a) El número de aristas de un icosaedro es treinta y de un dodecaedro doce.  b) Si el radio y la altura de un cono son iguales respectivamente a la altura y el radio de un  cilindro, el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro.  c) El área lateral de una pirámide es igual a la mitad de la suma de su perímetro de base y su  apotema.  d) Si se inscribe una esfera en un hexaedro, el volumen de la esfera es aproximadamente igual a  la tercera parte del volumen del hexaedro.    CAPÍTULO 1  NOCIONES PRELIMINARES. PUNTOS. RECTAS.      1. Siendo   entonces el valor de   es:  a)  18°  b)  45°  c)  90°  135° 1 2 d)  54°  2 e)  120°  2. La suma de dos ángulos es igual a 100°. Uno de ellos es el doble del complemento del otro. La  razón entre el mayor y el menor es:  a) 6  b) 5  c) 4  d) 3  e) 2  3. Dos ángulos opuestos por el vértice miden 3 10  y   50. Entonces uno de ellos mide:  a) 20°  b) 30°  c) 40°  d) 70°  e) 80°  4. La suma de un ángulo más el doble de su complemento es 140°. El ángulo mide:  a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°  5. La suma de un ángulo más la cuarta parte de su suplemento es 90°. El ángulo mide:  a) 30°  b) 40°  c) 50°  d) 60°  e) 70°  6. En la siguiente figura se sabe que las rectas     y     son paralelas. La medida del ángulo   es:  a)  60°  b)  70°  2 10 2 10 c)  30°  d)  50°  e)  40°  7. En la figura en que  . El valor del ángulo   es:  a)  20°  b)  40°  c)  60°  80° d)  80°  20° e)  100°  Cursillo Pi         

 

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8. Dados los ángulos consecutivos  

,

,

. Se sabe que el doble de la medida del ángulo 

, es igual al triple de la medida del ángulo 

. Además las medidas de los ángulos 

y 

  son 92°  y  76° respectivamente. El ángulo    mide:  a) 24°  b) 16°  c) 54°  d) 44°  e) 64°  9. La mitad del complemento de un ángulo es 32°26 55 . El ángulo mide:  a) 24°26 12   b) 48°52 24   c) 16°23 27   d) 64°53 48   e) 25°06 10   10. La suma de dos ángulos es 126°. Si uno de ellos es el doble del complemento del otro, entonces  el mayor de los ángulo excede al menor en:  a) 72°  b) 18°  c) 54°  d) 90°  e) 36°  11. En la siguiente figura se sabe que  , entonces el valor del ángulo   es:  a)  30°  2 10 b)  50°  c)  80°  20 d)  110°  e)  130°    12. Las bisectrices de dos ángulos consecutivos forman un ángulo de 80° si la medida de uno de ellos  es igual a 3/5 de la medida del otro, el menor de los ángulos mide:      a) 30°  b) 40°  c) 50°  d) 60°  e) 100°  13. En la siguiente figura se sabe que  . El ángulo   mide:  a)  25°  25° b)  95°  120° c)  50°  d)  20°  e)  85°  14. Si    y    son paralelas. Calcular el valor de    41° a)  45°  b)  95°  c)  70°  d)  89°  50° e) Ninguna   15. El doble del complemento de un ángulo mas el triple del suplemento del mismo es 500°. La semi  suma del complemento y el suplemento del ángulo es:  a) 44°  b) 182°  c) 91°  d) 250°  e) 130°  16. Dos ángulos que son complemento del mismo ángulo:  a) Son complementarios.  b) Son iguales.  c) Miden cada uno 45°.  d) Son suplementarios.  e) Miden 90°.  17. A partir de las siguientes afirmaciones:  I) Dos ángulos son adyacentes  II) Dos ángulos agudos pueden ser suplementarios  III) Si dos ángulos son suplementarios, uno de ellos es agudo y el otro es obtuso  Podemos decir que son falsas:  a) Solo I  b) Solo I y II  c) Solo III  d) Todas  e) Ninguna  Cursillo Pi         

 

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18. A partir de las siguientes afirmaciones siguientes  I) Si dos ángulos iguales son complementarios, entonces cada uno de ellos mide 90°  II) Los ángulos opuestos por el vértice no pueden ser suplementarios  III) Si dos ángulos suplementarios son congruentes, entonces cada uno de ellos es recto  IV) El complemento de un ángulo nulo es otro ángulo nulo  Podemos decir que son verdaderas:  a) Todas   b) Solo tres  c) Solo dos  d) Solo una  e) Ninguna   19. Dos ángulos complementarios son entre si como 7 es 53. Calcular el ángulo menor  a) 12°  b) 11°30   c) 10°  d) 10°30   e) 79°30   20. Dos ángulos suplementarios son entre si como 3 es a 7. Calcular el ángulo menor  a) 54°  b) 126°  c) 120°  d) 135°  e) 150°  21. A partir de las siguientes afirmaciones:  I) Dos ángulos son consecutivos si tienen el mismo vértice y un lado común.  II) Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice forman un ángulo llano  III) El complemento de un ángulo es siempre un ángulo agudo    Podemos decir que en el mismo orden en que aparecen son respectivamente:  a) V, V, V  b) F, F, F  c) V, F, V  d) V, V, F  e) F, V, V  22. Dos ángulos adyacentes son entre si como 3 es a 5. El menor de los ángulos mide:      a) 22°30   b) 36°  c) 60°  d) 67°30   e) 112°30     23. Los ángulos    y   obtuso y agudo respectivamente son tales que sus lados son  perpendiculares. Si la razón entre ellos es 5. La medida del ángulo   es:  a) 150°  b) 120°  c) 50°  d) 30°  e) 120°  24. Sabiendo que los ángulos agudos  , , tienen sus lados paralelos y dirigidos en igual  sentido y que los lados del ángulo agudo   son perpendiculares a los lados del ángulo   y  que la suma de las medidas de los ángulo    y   es 96°. La medida del ángulo   es:  a) 138°  b) 96°  c) 48°  d) 60°  e) 24°  25. Marca la alternativa correcta:  a) Dos ángulos adyacentes suman 180   b) La suma de dos ángulos complementarios iguales es igual a  /4  c) La suma de dos ángulos opuestos por el vértice es siempre igual a     radianes  d) Los ángulos alternos siempre son congruentes  e) La suma de dos ángulos correspondientes mide siempre como un ángulo obtuso  26. Para convertir un ángulo   dado en el sistema sexagesimal al sistema centesimal y expresarlo en  minutos se debe:  a) Multiplicarlo por el cociente entre 180°  y  200   b) Dividirlo por el cociente entre 180°200   c) Multiplicarlo por el producto entre 100 y el cociente entre 200   y  180°  d) Dividirlo por el producto entre el cociente de 200  y  180°  y  0,01  e) Multiplicarlo por el producto entre 100 y el cociente entre  180°  y  200   27. Un ángulo de 60° es equivalente a:  a) /6  c) 3 /2  e) 2 /2  b) 200 /3  d) 400 /2  28. El ángulo de 270° corresponde a:  a) 2 /3  c) 5 /3  d) 3 /5  b) 300   e) 200   Cursillo Pi         

 

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29. La medida del menor ángulo que forman las manecillas del reloj a las 2 44  es:  a) 150°  b) 156°  c) 170°  d) 176°  e) 178°  30. De las afirmaciones siguientes:  I) Dos ángulos consecutivos son adyacentes.  II) Dos ángulos opuestos por el vértice son  suplementarios  III) Dos ángulos suplementarios son adyacentes  IV) Si el complemento de un ángulo es  , entonces su suplemento es 2   V) Si el complemento de un ángulo es  , entonces el suplemento de su triplo es 3   Son Falsas:  a) Solo cuatro   b) Solo  tres  c) Solo dos  d) Solo una todas  31. A partir de las siguientes proposiciones:  I) Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes    II) Dos ángulos suplementarios son adyacentes  III) Dos ángulos complementarios siempre son desiguales  IV) Dos ángulos suplementarios pueden ser complementarios      V) Dos ángulos consecutivos suman siempre 180°  Son verdaderas:  a) Todas  b) Ninguna  c) Solo una  d) Solo dos  e) Solo tres   32. De las siguientes afirmaciones:  I) Dos ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes.  II) Dos ángulos suplementarios son conjugados internos o conjugados externos.  III) Dos ángulos alternos internos son correspondientes.  IV) Dos ángulos consecutivos formados por una transversal que corta a dos paralelas son  suplementarios.  V) Si dos ángulos alternos externos son congruentes entonces las rectas cortadas por la  transversal son paralelas.  Podemos decir que:  a) Ninguna es verdadera  b) Son verdaderas I, III  y V  c) Son verdaderas I, IV  y V  d) Son verdaderas II, IV  y  V  e) Son verdaderas I, II, IV  y  V     

Cursillo Pi         

 

 

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CAPITULO 2  TRIÁNGULOS. ELEMENTOS.  33. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son entre si como 5 es a 13. Calcular el ángulo  menor.  a) 25°  b) 30°  c) 20°  d) 6°  e) 35°   

34. En un triángulo de lados  , ,  donde    se tiene que las longitudes de los segmentos  determinados sobre el mayor de los lados por la bisectriz del ángulo opuesto y son:  a)

   y  

b)

   y  

   

c) Ambas son iguales  d)

  y  

 

e) Ambas son iguales a   /2   

 

35. En la escuela la maestra ha organizado un concurso. Los niños deberían dar las dimensiones de    triángulos. Si con las medidas dadas era posible construir un triángulo, el niño se ganaba puntos    adicionales por su calificación, las respuestas fueron  Juan 4, 5, 8     Luis 5, 9, 13    Pedro  4, 6, 10   Carlos 3, 5, 8  Entonces la maestra dio puntos adicionales a:  a) Juan y Luis  b) Juan y Pedro  c) Luis y Pedro  d) Pedro y Carlos  36. Teniendo en cuenta la figura y sabiendo que  . Entonces  a)   3   b)   2   c)   180°  d)     e)  3 3   37. Sea el triángulo     y    la bisectriz del ángulo  . Sabiendo que  90° . Entonces    es igual a:  a) 90°  b) /2  c)   d) 90°   e) 45°  38. El ángulo exterior contiguo a uno de los ángulos iguales de un triángulo isósceles mide   150° 12 30 . Calcular el ángulo desigual.  a) 59° 35   b) 120° 25   c) 60° 25   d) 119° 10   e) 148° 10   39. Las bisectrices de los ángulos   y    del triángulo   forman un ángulo de 120°. Calcular el  ángulo  .  a) 30°  b) 40°  c) 50°  d) 60°  e) 20°  40. Determinar la longitud de la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Sabiendo  que esta divide a la hipotenusa en segmentos cuyas longitudes son 9 y  16 respectivamente.  a) 12  b) 24  c) 25/2  d) 8  e) 3  Cursillo Pi         

 

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41. El valor de   en la figura geométrica es:  30° a)  10√2   45° b)  20√2   20 c)  20   d)  10   e)  10√3   42. En un triángulo   se tiene que la recta   es paralela al lado  , cortando a los lados    y    en los puntos    y    respectivamente, y que  6 ,  9 , 2 . Entonces  el segmento   mide:  a) 4   b) 8   c) 6   d) 3   e) 9   ∆  son semejantes. En el   :  39   y   36 .  43. Los triángulos rectángulos   y  ∆ ∆ En el  : 13 . Calcular el perímetro del   .  a)  30    b)  45     c)  15   d)  36   e)  90       44. Trazando una recta paralela a la base de un triángulo, determina en uno de los lados dos  segmentos, uno de 28  y el otro de 17 . ¿Cuál es la longitud de los segmentos determinados  en el otro lado que mide en total 60   e) 25   y  37   b) 27   y 20   c) 35   y  25   d) 22   y  37   a) 37   y  22  

45. En la siguiente figura, el doble de la suma de los cuadrados de     y  , en función de     y   es:     a)  4 b)   4   c)  4   d)  2 /2  /2 /2 e)   /4  46. Si  ; 9 ; 600 ; 0,08 , entonces  2 100 ) es:  a)  111   b)  222   c)  120   d)  11   e)  122   47. En un triángulo   el ángulo  60° y  20°. Cual será el ángulo que forma la altura y  bisectriz trazadas del vértice  .  a) 30°  b) 45°  c) 20°  d) 36°  e) 60°  48. En un triángulo   la bisectriz correspondiente al ángulo   forma con la bisectriz del ángulo  externo correspondiente al ángulo  , 52° y la diferencia entre los ángulos   y   es de 12°.  Calcular los tres ángulos.  a)  12°, 38 , 76   52° b)  22°, 48 , 110   c)  44°, 32 , 104   d)  8°, 68 , 104   e)  22°, 54 , 104   Cursillo Pi         

 

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49. Un poste de teléfono da una sombra de 15 , al mismo tiempo un operario de 1,80  de  estatura da una sombra de 2 , entonces la altura del poste es:  b) 1350   c) 1167   d) 0,027   e) 2803 a) 16   50. Teniendo en cuenta el siguiente gráfico,  a)  √8  y  √8  b)  2√2  y  √2 c)  √8  y  2  d)  8   y   8  e)      y     51. En un triángulo   ,

que:  a) 23,4 

  y  

 

 miden respectivamente: 

√2  3

,  es un punto del segmento  36, b) 21 

24   y   

, y     un punto del segmento 

40, entonces el segmento  c) 18  d) 22,6 

, tales 

 mide:  e) 21,6 

52. En un triángulo  , 2  y se traza la bisectriz interior  . Si  4 y   5, la medida  del lado  , es:    a) 8  b) 5  c) 4/5  d) 6  e) 9  53. En un triángulo  ,  es bisectriz interior. En los triángulos    y   ;    y   son    también, respectivamente, bisectrices. Si    5;  15  y   12. Cual es la medida del  segmento    a) 7  b) 5  c) 6  d) 3  e) 4  54. En la figura las rectas   , ,   y     son paralelas.  2; 5; 6; 8  y   2. El segmento   mide:  a)  7/6  b)  6/7  c)  4/3  d)  3/4  e)  3  55. En la figura adjunta:  ;   y   . Entonces la razón reciproca de   es:  a)

 

 

b)

 

 

c)

 

d)

 

e)

 

)     

;  56. Dadas las siguientes proposiciones de congruencia.  ; ; , además  ; . Entonces la proposición correcta sobre triángulos congruentes es:  ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ a)   b)   c)   d)   e)   57. La hipotenusa     de un triángulo rectángulo  , se divide en cinco partes iguales, mediante  cuatro segmentos paralelos a  . Si  10, entonces la suma de las longitudes de esos  cuatros segmentos es igual a:  a) 15  b) 40  c) 20  d) 25  e) 30  Cursillo Pi         

 

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58. La razón reciproca entre, la media proporcional de 2 y 5 ,y la cuarta proporcional de 3, 6  y  5, es:  a) 10  b) 10√10  c) √10  d) 10 √10  e) 1/√10  ; 0,03 ; 2 30 ;   4 3,4 ,  59. En el grafico   entonces   mide:  a)  0,6   b)  20   c)  9   d)  800   e)  0,02   60. La longitud del lado de un cuadrado, inscripto en un triángulo rectángulo  , recto en  , donde  uno de los vértices del cuadrado es    y el vértice opuesto sobre la hipotenusa del triángulo,  cuyos catetos miden  12   y   8 , es:  a) 23,04  b) 16  c) 6  d) 4,8  e) 13,05  61. En un triángulo rectángulo de lados 6 , 8  y 10, la altura correspondiente al lado de longitud 10  es:    b) 7  a) 4,8  c) 24  d) 6,4  e) 3,6  62. Una columna de 12  de altura proyecta a cierta hora del día una sombra de     , cual será la  sombra proyectada a la misma hora por un poste cuya longitud sea la tercera parte de la longitud      de la columna  a) 3   b) 3  c) 3/   d) 6,4  e) /3  63. En la figura  5; 12;   y   ; , entonces la medida de   es:  a)

 

b)

 

c)

 

d)

 

,

 

√ √

 

, √ , √ ,

   

e)  5/12  64. Marca la proposición correcta:  a) Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son congruentes con dos  lados y un ángulo del otro.  b) El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado  e igual a la mitad de uno de sus lados.  c) Dos triángulos semejantes pueden ser congruentes.  d) Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual uno de sus  ángulos.  e) Dos triángulos rectángulos son congruentes, si comparten un ángulo agudo igual.    65. En un triángulo  , el lado  27 y se considera el punto    como baricentro. Se traza el  segmento    que pasa por el punto   y paralelo al lado   del triángulo (con los extremos    sobre el lado   y el punto   sobre el lado  . La medida del segmento  , es:  a) 16  b) 18  c) 15/5  d) 13/5  e) 12/5  Cursillo Pi         

 

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Geometría y Trigonometría  

66. En la figura  90°. Además  segmento  , en metros es:  a)  13  b)  14  c)  15  d)  16  e)  17  67. Dada la serie de razones iguales: 

15

  donde 

;

16

)

;

17

. La longitud del 

22, entonces los valores de 

; ; ; aumentados en dos unidades, son respectivamente:  a) 12 ; 6 ; 22  b) 8,47 ; 5,38 ; 21,41  c) 12 ; 8 ; 16  d) 14 ; 6 ; 20  e) 12 ; 8 ; 20  68. Teniendo en cuenta el dibujo, donde   10 y   5, el valor de     es:    a) b) c) d) e)

 10√3   9√3   12√3   11√3   8√3 

90°

 

 

;   y   60°. Entonces:  69. En la figura   ∆ ∆ a)      y      son escalenos.  ∆ ∆ b)      y      son congruentes.  ∆ ∆ c)      y     son equiláteros.  ∆ ∆ d)      y      son congruentes.  ∆ ∆ e)      y      son semejantes.        CAPITULO 3  POLÍGONOS. CUADRILÁTEROS.  70. Cada ángulo de un pentágono regular mide:  a) 36°  b) 180°  c) 72°  d) 54°  e) 216°  71. La suma de los ángulos interiores del polígono dibujado en la siguiente figura es:  a)  360°  b)  720°  c)  1080°  d)  540°  e)  600°  Cursillo Pi         

 

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72. De las siguientes afirmaciones:  I) Cualquiera de dos ángulos opuestos de un paralelogramo son suplementarios  II) Cualquiera de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios  III) Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares entre si y se cruzan en su punto  medio, entonces ese paralelogramo es un rombo.  Podemos afirmar que:  a) Todas son verdaderas  b) Solo I y  II son verdaderas  c) Solo II y III son verdaderas  d) Solo II es verdadera  e) Solo III es verdadera.  73. En la figura se tiene un rectángulo cuyos lados miden 8  y 6  respectivamente. Los puntos  , ,   y   son puntos medios de los lados. El perímetro del cuadrilátero   es:  a)  20   b)  25     c)  32   d)  36   e)  52       74. El número total de diagonales de un polígono cualquiera es 170, entonces:  I) El polígono tiene 167 vértices  II) El polígono tiene 17 lados.  III) Cada ángulo interior mide 162°  IV) La suma de los ángulos interiores es igual a 162°  Podemos decir que son falsas:  a) Todas  b) Solo tres  c) Solo dos   d) Solo una  e) Ninguna   75. Se construye un polígono que tenga el mismo número de lados que la suma de los lados de dos  polígonos en los que pueden trazarse desde cada vértice 10  y  12 diagonales respectivamente,  entonces el nuevo polígono tendrá en total:  a) 25 diagonales  b) 22  diagonales  c) 275 diagonales  d) 350 diagonales  e) 250 diagonales  76. Si   y   representan el número de diagonales que pueden trazarse desde cada vértice de dos  polígonos que pueden trazarse desde cada vértice de dos polígonos de     y   lados  respectivamente, entonces     es igual a:  a) 3  b)   c) 6  d) 3  e) 6  77. Hallar los ángulos del paralelogramo  , sabiendo que los ángulos que la diagonal    forma  con los lados   y   miden respectivamente 42°18 36   y 64°35 48   a) 106° 54 24 ; 73°05 36   b) 96°54 24 ; 83°5 36   c) 132°3 10 ; 47°56 50   d) 70°70 10 ; 108°49 50   e) 105°; 95°85 75   Cursillo Pi         

 

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Geometría y Trigonometría  

78. Hallar el perímetro de un hexágono, sabiendo que si se considera una de las diagonales queda  dividido en dos trapecios isósceles congruentes, tales que un lado mide el triple de la cuarta  parte de la base menor y que la diferencia entre ambos es 5.  a) 120   b) 80   c) 50   d) 110   e) 100   79. Sabiendo que la medida de la base media de un trapecio es 9  y que una base mide el doble  que la otra, calcular las medidas de ambas.  a) 5   y  10   b) 6   y  12   c) 7   y  13   d) 4   y  12   e) 8   y  10   , demostrar que  80. Sean    un trapecio y     su base media. Sabiendo que   2 ,   en función de    es:  a)  3/2    b)  2/3    c)  4/3     d)  5/3     e)  7/3     81. Hallar el perímetro de un pentágono  . Sabiendo que si se considera la diagonal    quedan determinados un cuadrado y un triángulo isósceles y que, en este último    

4 3

 

, 

1   

a) 20   b) 16   c) 17   d) 18   82. Determinar la medida de un ángulo interior de un octógono regular.  a) 140°  b) 145°  c) 165°  d) 130°  83. La figura adjunta es un cuadrilátero no convexo (cóncavo). Usando 

e) 22

 

e) 135° 

alguna propiedad de triángulos. Demostrar que:  ; :  bisectriz de  ; : bisectriz de      84. La suma de los ángulos interiores de un trapecio es:  a) 180°  b) 90°  c) 360°  d) 450°  e) 400°  85. Uno de los ángulos de un trapecio isósceles es 3/7 del otro. El mayor de los ángulos mide  entonces:  a) 54°  b) 126°  c) 360°  d) 90°  e) 252°  86. El número de lados de un polígono sabiendo que la suma de los ángulos interiores es igual a  1080° es:  a) 5 lados  b) 6 lados  c) 7 lados  d) 9 lados  e) 8 lados   87. El ángulo interno de un polígono regular de 170 diagonales es igual a:  a) 162°  b) 170°  c) 80°  d) 135°  e) 81°  88. ¿Cuánto es la razón entre la medida de un ángulo interior de un pentágono regular y la medida  de un ángulo interior de un decágono regular?  a) 1/2  b) 2/3  c) 4/3  d) 1/4  e) 3/4  89. Teniendo en cuenta la figura del trapecio rectangular   calcular su perímetro.  16 a)  52  b)  62  13 c)  72  20 d)  82  e)  42  Cursillo Pi         

 

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CAPITULO 4  SEGMENTOS PROPORCIONALES.  90. Hallar las razones directas e inversas de los segmentos   y   . Sabiendo que  18  y   24  a) 3/4  y  4/3  b) 18/24  y  24/18  c) 1/2  y  2  d) 4/3  y  3/4  e)   y     91. Hallar las razones directas e inversas de los segmentos   y  . Sabiendo que  9 , y  8   a) 9/8  y  8/9  b) 8/9 y  9/8  c) 18/16  y  16/18  d)   y    e)   y       92.  Dadas las siguientes proposiciones  I) Dos triángulos son congruentes si sus lados son proporcionales de razón uno  II) Las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes      III) Toda paralela a un lado de un triángulo, divide a los otros lados en segmentos  proporcionales  IV) Las alturas correspondientes a los lados homólogos en dos  triángulos semejantes son  proporcionales  V) Si se tiene dos cantidades    y   , además se cumple   , entonces     se denomina  cuarta proporcional.   En ese mismo orden son:  a) V, F, F, F, F  b) V, V, V, V, V  c) F, V, V, V, V  d) V, V, V, V, F  e) V, F, V, V, F  93. Dada la serie de razones iguales 

 donde 

)

22, entonces los valores de 

; ;   aumentados en dos unidades, son respectivamente:  a) 12; 6; 22  b) 8,47; 5,38 ; 21,41  c) 12; 8 ; 16  d) 14; 6 ; 20  e) 12; 8 ; 20  94. La razón entre la media proporcional de 2  y  5  y la cuarta proporcional de 3 , 6  y  5 es:  a) 10  b) 10√10  c) √10  d) 10 √10  e) 1/√10  95. A partir de las afirmaciones siguientes:  I) Los lados de un triángulo son proporcionales a los segmentos determinados por la  bisectriz  II) Si una recta determina sobre dos de los lados de un triángulo segmentos proporcionales,  entonces la recta es paralela al tercer lado.  III) La media proporcional de    y   es igual a la raíz cuadrada del producto de ambas.  IV) Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen sus catetos proporcionales.  V) Si la razón entre     y     es  3/4, entonces   3  y   4  Podemos decir que son verdaderas:  a) Todas   b) Solo una  c) Solo dos  d) Solo tres  e) Ninguna   Cursillo Pi         

 

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Geometría y Trigonometría  

96. En un triángulo rectángulo de lados 6 , 8   y  10, la altura correspondiente al lado de longitud 10   es:  a) 4,8  b) 7  c) 2,4  d) 6,4  e) 3,6  97. La expresión que representa    es tercera proporcional de     y  , correspondiente a:  a)

 

b)

 

c)

 

d)

 

e)

 

98. La expresión que representa     es tercera proporcional de     y   corresponde a:  a)

 

b)

 

c)

 

d)

 

e)

 

  CAPITULO 5  CIRCUNFERENCIA. CÍRCULO.  99. Dadas dos circunferencias concéntricas cuyos radios se diferencian en 2 . Calcular la diferencia  entre las longitudes de los dos arcos correspondientes al mismo ángulo central de 36°  e)       b) d) a) c)      

 

100. Por un punto   exterior a un circulo de centro      y radio igual a  5 , se traza la recta      9   y   7. Calcular la distancia    secante    tal que  a)  13   b)  12   c)  10   d)  15   e)  14     101. Teniendo en cuenta la figura, donde   es la distancia de   al centro de la circunferencia de  radio  , entonces     es igual a:  a)     b)     c)     )   d)   e)     102. En una circunferencia dada se traza un diámetro y una cuerda paralela a él y correspondiente  al contorno de un polígono regular de 216 lados. Cual es el valor del ángulo formado por esa  cuerda y la que resulta de unir uno de sus extremos con el extremo más distante del citado  diámetro  a) 44°35   b) 178°20   c) 1°40   d) 89°10   e) 100°10   103. Un arco de circunferencia mide 250° y su longitud es de 150 . El numero entero más  próximo a la medida del radio es:  a) 2  b) 10  c) 34  d) 17  e) 69  104. El arco comprendido entre los lados de un ángulo inscripto en una circunferencia mide lo  mismo que el ángulo exterior respectivo al ángulo no congruente de un triángulo isósceles cuyos  otros ángulos miden cada uno   /4 7°. La mitad del suplemento del ángulo central cuyos  lados están comprendidos entre ese mismo arco corresponde a:  a) 76°  b) 52°  c) 38°  d) 26°  e) 104°  Cursillo Pi         

 

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105. El perímetro de la parte reyada de la figura es:  a)  6 1  b)  15   c)  

 

2

1

1

d)  7 1  e)  9 /2   106. Dada la siguiente figura, tenemos que las circunferencias son tangentes,    y     son los  centros y     y   , son tangentes en     y   , respectivamente. Sabiendo que los radios son 9  y   6, el cuádruplo de la suma de    y    es:  a)  12  b)  25,75  c)  79  d)  103  e)  100,75  107. En la figura cada una de las circunferencias con centros en   ,   y   , siendo  10 ,  14   y    18 , miden respectivamente en metros:    a)  3 ; 7 ; 11  b)  3 ; 11 ; 7  c)  8 ; 11 ; 3      d)  11 ; 3 ; 8   e)  7 ; 3 ; 11  108. Los diámetros de las dos ruedas de una bicicleta miden  40  y  20 . La primera dio 500  vueltas al recorrer cierta distancia. Entonces el número de vueltas que dio la segunda rueda es:  a) 4725  b) 1000  c) 1250  d) 600  e) 1025  109. Entre las afirmaciones siguientes:  I) Si una recta bisecta al arco menor de una cuerda, también bisecta al arco mayor.  II) Una cuerda de un círculo siempre es diámetro.  III) Si un triángulo está inscripto en un círculo, con un lado como diámetro, entonces el triángulo  es rectángulo.  IV) La región de plano comprendido entre dos cias. Concéntricas se llama sector circular.  V) La intersección de una recta y un círculo puede ser vacío.  VI) El segmento rectilíneo que une dos puntos de un círculo siempre es una cuerda.  Las verdaderas son:  a) I  y  V  b) III  y  V  c) II  y VI  d) I  y  II  e) III ,  V   y  VI  110. De las afirmaciones siguientes:  I) Si dos tangentes a una cia son paralelas, entonces sus puntos de tangencia determinan un  diámetro.  II) Si un triángulo está inscripto en un circulo y los arcos interceptados tienen medidas de  200°, 90°  y  70°, entonces el triángulo es obtusángulo.  III) Si se duplica el radio de una circunferencia, entonces el diámetro se duplica.  IV) Toda circunferencia contiene al menos dos arcos diferentes.  V) Toda cuerda es subconjunto de una secante.  Podemos afirmar que:  a) Todas son verdaderas  b) Solamente tres son verdaderas  c) Ninguna son verdaderas  d) Solamente dos son verdaderas  e) Solamente una es verdadera.  Cursillo Pi         

 

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111. Determinar la posición relativa de dos circunferencias de longitudes 175   y 94,2 .  Siendo las distancia entre sus centros 22 .  a) Tangentes   b) Tangentes interiores  c) Secantes  d) Exteriores  e) Concéntricas     112. Una circunferencia tangente interiormente pasa por el centro de otra cuya longitud es de   31,40 . La distancia entre los centros en   es:  a) 5   b) 4,5   c) 1,5   d) 2,5   e) 3     113. La distancia entre los centros de dos cias tangentes exteriormente, sabiendo que las  longitudes respectivas miden 12,56   y  50,24   es:  a) 12   b) 14   c) 13   d) 8   e) 10       114. La distancia que separa a dos cias concéntricas cuyas longitudes respectivas miden 18,84    y  45,96  es:      a) 0,6   b) 0,4   c) 0,5   d) 0,7   e) 0,3     115. Hallar el valor de un ángulo inscripto en la cia siendo de 64° 37 14  y 136° 56 09  los arcos  subtendidos por los lados de aquel  a) 158° 26 37   b) 79° 13 18,5   c) 56° 9   d) 254° 36   e) 32 18 37     116. El valor de un ángulo inscripto en un circulo cuyos lados corresponden a polígonos regulares  de 12 lados y 18 lados  a) 155°  b) 310°  c) 103° 20   d) 77° 30   e) 205°    117. Dos ángulos exteriores consecutivos de un cuadrilátero inscriptible en un circulo vale 97° 14    y  106° 8 40 . Calcular los ángulos del cuadrilátero.  a) 82° 46 ; 106° 08 40 ; 97° 14 ; 73° 51 20   b) 92° 46 ; 76°08 40 ; 107° 14 ; 83° 51 20   c) 87° 46 ; 91° 08 40 ; 112° 14 ; 88° 51 20   d) 72° 46 ; 135° 08 40 ; 122° 14 ; 98°51 20   e) 62° 46 ; 165° 08 40 ; 112° 14 ; 88° 51 20     118. Hallar el valor del ángulo   siendo    a)  44°  b)  26°  66° c)  33°  d)  22°  e)  16°      Cursillo Pi         

 

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Geometría y Trigonometría  

CAPITULO 6  ÁREA DE FIGURAS PLANAS  119. El lado del cuadrado   mide  “ ”   y   los  puntos medios de los lados   respectivamente son    y   , entonces el área de la región sombreada es:  a)   2    

d)  

 

120. a) b) c) d) e) 121. a)

 

 

b)   c)  

e)  

 y 

 

El área del paralelogramo    10    12,3    16      8    21     El área de un círculo es 25 100   b) 20  

, sabiendo que el área de la parte sombreada es 2

 es: 

0

 

. Entonces el perímetro del cuadrado circunscripto es:  c) 40   d) 10   e) 20√2

122. Sabiendo que un hexágono regular inscripto en una circunferencia tiene área  

√

, entonces 

la longitud de la circunferencia es:  a) 3   b) 4   c) 5   d) 6   e) 10   123. El área de un triángulo es  . Si su base es 2 , entonces la altura correspondiente a dicha  base mide:  a) /2  b)   c) 2   d) /4  e) 4   124. El pentágono de la figura está dividido en un cuadrado de 64  y en un triángulo de  24 . Entonces   mide:  a)  3   b)  8   c)  4,5   d)  6   e)  12   125. El área de la figura en términos de  ,   y    es:  a)  

)

   

b)   c)   d)   e)   Cursillo Pi         

)

45°

 

) )

     

24 

Ing. Raúl Martínez 

 

Geometría y Trigonometría  

126. Hallar el lado de un triángulo equilátero equivalente a un cuadrado de 0,25  de lado.  a) 38   b) 48   c) 40   d) 28   e) 24   127. Un trapecio isósceles tiene 12  de altura y  84,84  de perímetro. Si la diferencia de las  bases es de 16 . Cual será el área de dicho trapecio.  a) 350   b) 400   c) 320   d) 420   e) 336   128. Calcular el área de un sector circular de 14  de radio equivalente a un cuadrado cuyo lado es  igual a la longitud del arco de aquel.  a) 49   b) 29   c) 52   d) 46   e) 36   129. Se tiene un cuadrado de 5  de lado. ¿Cuál es el número mínimo de cortes que deben  hacerse para obtener rectángulos iguales de 5  de área?  a) No cortar  b) 3  c) 4  d) 5  e) 1  130. Al aumentar en 3 el largo de un rectángulo y disminuida en 3 el ancho del mismo, el área  queda:  a) Aumentada en 3  b) Disminuida en 3  c) Invariable    d) Aumentada en 3 1 3)  e) Disminuida en 3 1)    3   131. El área de la región sombreada es:  a)  16  b)  8   4√2 c)  4   d)  2   e)       132. Las diagonales de un rombo se diferencian en 17 . Calcular su área sabiendo que excede en  4  al triple del área de un cuadrado de diagonal igual a la menor diagonal del rombo  a) 96   b) 100   c) 101   d) 98   e) 110   133. Los lados de un triángulo rectángulo son tres números pares consecutivos y su área es igual a  24 . Calcular el perímetro.  a) 20   b) 25   c) 24   d) 18   e) 21   134. Si la suma de las áreas de dos círculos es 136   y la suma de las longitudes de sus  circunferencias es de 32 , sus radios miden  a) 4   y  8   b) 5   y  10   c) 6   y 10   d) 7   y  14   e) 2   y  4     135. Las bases de un trapecio isósceles miden 88   y  24 . El área es igual a 1848 .  Calcular la diagonal.  a) 65   b) 60   c) 75   d) 80   e) 55   136. El área de un rectángulo de 46   de perímetro inscripto en un circulo de 8,5  de radio es:  a) 100   b) 120   c) 130   d) 140   e) 110     137. La superficie de un triángulo es de 3750   y dos de sus lados miden 75  y  125 .  Calcular la longitud del tercer lado.  a) 110   b) 112   c) 115   d) 120   e) 100   Cursillo Pi         

 

25 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

138. En la figura, cada lado del cuadrado mide  1 a) b) c)

2 2 2

   

  2

d) e) 1

. ¿Cuál es la región sombreada? 

   

2

    CAPITULO 7  POLÍGONOS INSCRIPTOS Y CIRCUNSCRIPTOS  139. La longitud de una cia en  , que está inscripta en un triángulo equilátero cuyos lados miden  10√3  es:  a) 62,6  c) 56,73  d) 81,14  e) 62,83    b) 60  140. Dada una cia de radio  7,5 . El perímetro del cuadrado circunscripto a ella es:  a) 60   b) 40   c) 30   d) 15   e) 15√2       141. El perímetro de un hexágono regular cuya apotema mide  7√3, es:  a) 80  b) 84  e) 60  c) 35√3  d) 102√3  142. Las longitudes de las cias inscriptas y circunscriptas a un pentágono regular, miden,  respectivamente 75,36   y  93,13 . El perímetro del pentágono regular es:  a) 83,14   b) 77,45   c) 91,28   d) 87,14   e) 93,14   143. Calcular la longitud de la circunferencia circunscripta a un rectángulo de 5  de base y  3   de altura.  a) 28,20   b) 10   c) 18,30   d) 16,30   e) 12,80   144. Calcular el área del circulo inscripto en un triángulo equilátero de 30  de superficie.  a) 82,1   b) 42,51   c) 72,51   d) 62,1   e) 52,5       CAPÍTULO 8  POLIEDROS – CUERPOS REDONDOS  145. Si el número que representa el volumen de un cubo es el número que indica el área total del  mismo, entonces la diagonal del cubo mide:  a) 6  c) 6, 3  d) 8, 3  e) 6√6  b) 6√2  146. Si     y    son los volúmenes de dos paralelepípedos rectángulos, y el perímetro es tal que  sus dimensiones son la mitad de las del segundo, entonces la relación entre los volúmenes es:  a)

 

b)

 

c)

 

d)

 

e)

8 

147. Un círculo es equivalente a la superficie total de un cilindro cuya altura es de 21   y cuyo  radio de base es  6 . El diámetro del círculo mide entonces:  a) 324  b) 18  c) 9  d) 36  e) 6  148. La razón entre los radios de dos esferas es de 1/3, entonces la razón entre sus áreas es de:  a) 1/3  b) 1/6  c) 1/9  d) 36  e) 1/8  Cursillo Pi         

 

26 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

149. El volumen de un cubo es de 125 a) 15  b) 30  150. Un cubo tiene área total igual a 72

, entonces la suma de sus aristas es igual a:  c) 45  d) 60  e) 70  . Su diagonal mide:  c) 6  b) √6  a) 2√6  d) √12  e) 2√24  151. Una pirámide regular de base hexagonal es tal que su altura mide 8  y su arista de base 

mide  2√3 . El volumen de esa pirámide es en    b) 36√3  c) 48√3  d) 72√3  e) 144√3  a) 24√3  152. Dos cilindros, uno de altura 4 y el otro de altura 6, tienen como perímetro de base  6 y 4  respectivamente. Si    es el volumen del primero y   es el volumen del segundo, entonces:  a)   b) 2   c) 3   d) 2 3   e) 2 3   153. En una esfera, el volumen y el área de la superficie tienen el mismo valor  . Determinar el  valor de:  a) 2   b) 18   c) 26   d) 36   e) 3   154. Si se duplica el radio de una esfera, su volumen queda:  a) Multiplicado por dos    b) Multiplicado por 4  c) Multiplicado por 8  d) Inalterado      e) Reducido a la mitad  155. La razón entre las áreas de dos esferas es de 25/64. La razón entre sus volúmenes es:  a) 3/4  b) 125/512  c) 12/55  d) 1/3  e) 1/4  156. Se desea construir un tanque para almacenar combustible. El tanque debe tener la forma de  un cilindro recto y circular con semiesferas acopladas en cada uno de los extremos. Para evitar la  corrosión, es necesario revestir el interior del con una determinada pintura. Se necesita 1 litro de  pintura para revestir 1 . Si la longitud del cilindro es 5   y  1  de diámetro, el número  mínimo de latas de pintura que deberán comprarse es de:  a) 15  b) 20  c) 16  d) 18  e) 19  157. Un plano intercepta una esfera según un círculo de diámetro   . Si   es el centro de la   mide 90° y el radio de la esfera 12 . El volumen del cono de base    esfera, el ángulo   que se forma es de:      a) 9   c) 48√2   d) 144√2   e) 1304 b) 36√2 158. En un tubo cilíndrico de 20  de altura y 2  de radio de base, se cargan esferas iguales  tangentes al mismo, y de modo que también queden tangentes entre ellas. El volumen interior  del cilindro, pero exterior a las esferas es entonces de:    e) 80 3 3 3 3   c) a) d)   b)     159. La suma de todas las aristas de un cubo es de 24 cubo es de:  a)

3

 

b)

3

3

c)

 

 

. El volumen de la esfera inscripta en el  d)

3

 

e)

3

 

160. Si     es el volumen de una esfera inscripta en un cubo de volumen  , entonces la razón   /   es igual a:  a) /9  b) /6  c) /4  d) /3  e) 2/3  Cursillo Pi         

 

27 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

161. Una esfera   está inscripta en un cubo y otra esfera   está circunscripta al mismo cubo. La  razón entre los volúmenes de    y    es de:  a) √3/9  b) 2√3  c) 3√3/2  d) 3√3  e) 4√3/3  162. Un octaedro regular esta inscripto en una esfera cuyo radio mide  3√2  a) 36  b) 216  d) 108√2  e) 72√2  c) 216√2  163. Un cilindro recto y circular esta circunscripto a una esfera de radio  . Entonces la razón entre  las áreas de la superficie esférica y el área total del cilindro es de:  a) 1/2  b) 2/3  c) 3/2  d) 2  e) 4/3  164. Una esfera de 6  de diámetro está inscripta en un cono circular recto de 8  de altura.  Entonces el área de la base del cono mide:  a) 54   b) 48   c) 4   d) 40   e) 36   165. El área de un paralelepípedo rectángulo es 62 . Las dimensiones de base miden 5  y   2 . La diagonal del paralelepípedo mide:  a) 38   b) 42   e) 19   c) √38   d) √42          

Cursillo Pi         

 

 

 

 

28 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

TRIGONOMETRÍA  CAPÍTULO 1  CONVESIÓN DE UNIDADES  1. Reducir al sistema sexagesimal  14 12 47   a) 12°47 30   b) 12°  c) 10°42 44   d) 11°24 44   2. Reducir 2/3   al sistema sexagesimal  a) 135°  b) 120°  c) 150°  d) 180°  3. Calcular en radianes, el ángulo exterior del triángulo equilátero.  c)     b) a)   d)   4. Calcular en radianes, el ángulo interior del pentágono regular.  b)     c)   a) d) 5. Calcular en el sistema sexagesimal el ángulo     del triángulo  

e) 12°24 44   e) 90° 

  , siendo  

e) 2

 

e)

 

70°  y  

.  a) 60°  c) 90°  d) 70°  e) 45°    b) 30°  6. Calcular la longitud de un arco de 28  correspondiente a una circunferencia de 125  de radio  22/7      a) 59,45   b) 55,54   c) 55,14   d) 54,95   e) 50,45   7. Calcular la longitud del arco igual a  /2 radianes perteneciente a la circunferencia de 2  de  radio.  a) 2   b) 3   c) 3 ⁄2   d) 4   e)   8. La suma de dos ángulos es 45° y la diferencia 20 . Calcular dichos grados en grados sexagesimal  y en grados centesimales.  a) 58°30    y  40°30 ; 65   y  50   b) 31° 30   y  13°30 ; 35   y  15   c) 51°30    y  33°30 ; 55   y  35   d) 21°30    y   3° 30 ; 28   y  30   e) 41°30    y  23°30 ; 48   y  28   9. Calcular la longitud de un arco de circunferencia de 1,25  de radio sabiendo que su valor es de  28   a) 0,45   b) 0,35   c) 0,55   d) 0,65   e) 0,25   10. Calcular la longitud de un arco de circunferencia de 50  de radio sabiendo que su valor es de  63°   22/7  a) 55   b) 65   c) 45   d) 35   e) 75      

CAPÍTULO 2  FUNCIONES TRIGONOMETRICAS  11. Reducir a su forma más simple:  sen 140°  a) sen 40°  b) sen 40°  c) sen 50°  12. Reducir a su forma más simple:  cos 222°  a) cos 42°  b) cos 48°  c) cos 48°  13. Reducir a su forma más simple:  tg 110°  a) tg 20°  b) tg 20°  c) tg 70°  Cursillo Pi         

 

29 

d)

sen 50° 

d) cos 84°  d)

tg 70°  Ing. Raúl Martínez 

e) sen 60°  e)

cos 42° 

e) tg 30° 

Geometría y Trigonometría  

14. Reducir a su forma más simple:  cotg 200°  a) cotg 20°  b) cotg 20°  c) cotg 70°  d) cotg 70°  e) cotg 30°  15. Reducir a su forma más simple:  sec 130°  a) sec 50°  b) sec 50°  c) cotg 70°  d) sec 60°  e) sec 45°  16. Reducir a su forma más simple: cosec 212°  a) cosec 12°  b) cosec 32°  c) cosec 12°  d) cosec 32°  e) cosec 22°  17. Reducir a su forma más simple:  sen 1940°  a) sen 30°  b) sen 40°  c) sen 40°  d) sen 50°  e) sen 50°  18. Reducir a su forma más simple:  tg 2720)  a) tg 70°  b) tg 70°  c) tg 20°  d) tg 20°  e) tg 80°  ) cos 450° ) sen 19. Reducir a su forma más simple:  2 sen 720° 1080°)  a) 3 sen   b) 2 cos   c) 2 sen   d) tg   e) cos   .

20. Reducir a su forma más simple:  

 

).

)

a) cotg   b) tg   c) sec   d) tg   e) cos     21. Reducir a su forma más simple: cos 1863°23 29   a) cos 63°30 29   b) cos 63°29 31       c) cos 73°30 29   d) cos 63°23 29   e) cos 73°30 29   22. Reducir  a su forma más simple: tg 1640°23 50   a) tg 21°23 50   b) tg 20°23 50   c) tg 10°23 50   d) tg 21°36 10   e) tg 20°23 50   23. Siendo cos 40⁄41  y  el arco   del cuarto cuadrante, calcular   tg   a) 9/40  b) 9/40  c) 9/41  d) 9/41  e) 40/9    CAPÍTULO 3  FUNCIONES DEL  2° GRUPO  24. Siendo       un arco del 2° cuadrante y  sen 12⁄13. Calcular   sen 2   y  cos 2   120 119 119 169 119 c)   y    d)      y      e)    y     y  169  a)      y       b)   169 169 169 20 25. Siendo       un arco del 1  cuadrante y   tg 2 √3. Calcular  sen .  a) 1/4  b) 1/3  c) 1/5  d) 1/2  e) 2  26. Siendo tg a) 8/17 

3    calcular  sec .  5

b) 17/4 

27. Calcular  cos 2   siendo cos a) 1  28. Sabiendo que tg a)  3  Cursillo Pi         

b) 2  2

2

c) 17/2 

d) 17/6 

e) 17/8 

c)

d)

2 

e) 3 

d)

3 

e)

0,7   

√3⁄3. Calcular el valor de  tg 2   b) √3/3 

c)  

√3/3  30 

Ing. Raúl Martínez 

√3 

 

Geometría y Trigonometría  

29. Transformar en producto  sen 45° a) cos 15°  b) sen 15°  30. Transformar en producto  sen 50°

sen 15°  c) cotg 15°  cos 50° 

d) sec 15° 

e) tg 15° 

a) √2 cos 10°  b) √2 sen 5°  c) √2 sec 10°  31. Transformar en producto cos 60°  sen 60° 

d) √2 cos 5° 

e) cos 5° 

a) √2 sen 15°  b) √2 cos 15°  32. Transformar en producto  cos 10°)

d) sen 15° 

e) cos 15° 

c) √2 tg 15°  cos 130° 

d) cotg 70°  e) sec 70°  b) √3 tg 70°  c) √3 sen 70°  a) √3 cos 70°  33. Siendo     y      arcos del tercer cuadrante,   cosec 17/8   y  sen 24/25. Calcular   ).  cos 297 287 297 425 c)     e)   d)   b) a)   526 33/65 y  cos 13/65  34. Siendo los arcos   del 3   cuadrante, y     del  4  cuadrante, sen ).  calcular tg a) 171/130  b) 171/120  c) 171/150  d) 171/140  e) 171/110    35. Calcular tg 15° sin hacer uso de tabla ni máquina.  a) 3 √3  b) 2 √3  c) 4 √3  d) 5 √3  e) 1           CAPÍTULO 4  36. Si   ,  y   son enteros cualesquiera y    , la opción correcta es:  a) sen /   b) cos /   c) cosec /   d) cotg /   e) sec /   37.  Cuantos radianes recorre el minutero cuando marca 50 minutos de cualquier hora  a) 3 /5  b) 5 /3  c) 5 /6  d) 6 /5  e) 3 /2    )·

38. La expresión  a) b) c) d) e)

)

  es equivalente a: 

cos   cotg   1/ sec 90°)  )  sen cos 90°)  7/3, entonces el doble de 

39. Si la cotangente es negativa, sec a)

√3 

√

 

b)

√

 

c)

√

 

d)

√

)

 

 es: 

e)

√

 

40. Si   es un arco del segundo cuadrante y la reciproca del coseno es igual a   5/3, entonces la  diferencia entre el quíntuplo del cuadrado del seno y el triplo de la tangente del ángulo es igual a:   a) 5/36  b) 36/5  c) 4/5  d) 32/15  e) 4/5    Cursillo Pi         

 

31 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

41. A partir de las siguientes proposiciones:  I) El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento  II) La tangente de un ángulo del cuarto cuadrante es negativa  III) La función cosecante es la reciproca de la función secante  IV) El seno de un ángulo más el coseno de su complemento es igual a 1.  Podemos decir que son verdaderas:  a) Todas  b) Ninguna  c) II  y  III  d) I   y  II  e) III   y   IV  42. Marca solo la respuesta correcta  a) La función seno puede tener  6/5 de valor.  b) El signo de la cofunción del seno del 2° cuadrante es negativo.  c) sen cos 1  d) Tangente de un ángulo es el cociente entre el coseno y el seno de dicho ángulo.  e) El seno del triplo de un ángulo es el triplo del seno de ese ángulo.  43. La función seno es función  a) Inversa de la cosecante    b) Reciproca de la secante  c) Inversa del coseno  d) Reciproca de la cosecante      e) Inversa de la secante  44. Al cociente ente el radio vector y la abscisa se denomina  a) Seno  b) Coseno  c) Tangente  d) Secante  e) Cosecante   45. Al hacer girar una semirecta alrededor del origen de coordenadas hasta  3, 4)  en sentido  antihorario, se puede afirmar que:  a) El ángulo es negativo  b) La tangente del ángulo es 4/3  c) El ángulo es positivo y está en el 2° cuadrante  d) La quinta parte del seno del ángulo es 4  e) El radio vector correspondiente tiene signo negativo  46. Si     es un ángulo positivo menor o igual a   y además:  a) tg b) cosec c) tg d) cotg

0  y   cos 0   y  sec 0   y  sen 0   y  cosec

0, entonces  0

 

0, entonces  0

 

0, entonces 

 

0, entonces  

 

e) sen 0   y  cos 0, entonces 0   47. Cuando se genera un ángulo negativo cuyo extremo libre tiene coordenadas  ángulo está en el:  a) Limite entre el 1  cuadrante y el 2° cuadrante  b) 4° cuadrante  c) 1  cuadrante  d) 3  cuadrante  e) 2° cuadrante      Cursillo Pi         

 

32 

Ing. Raúl Martínez 

,

), dicho 

Geometría y Trigonometría  

CAPÍTULO 5  ECUACIONES – IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS  48. Si     es un ángulo del tercer cuadrante y la reciproca de la función cosecante es igual a   1/2,  entonces la diferencia entre la cuarta parte del coseno de    y el cuadrado de su recíproca es:  a)

√

 

√

b)

 

24) cos 3 c) 10,48° 

49. El valor de   en la expresión  sen 2 a) 12°  b) 10°48   sen2

50. El valor de la expresión  tg a) 1 

√

c)

 

√

d)

 

12) es:  d) 24° 

e)

√

 

e) 54° 

2

  es: 

cos2

b) 1 

2 

c)

d) 2 tg

 

e) 1/ cos

   es: 

51. La función trigonométrica equivalente a  

a) cotg   b) sec   c) tg   d) cosec   e) sen   52. Sea la función  g ) cos sec sen cosec tg cotg   para todo valor      distinto de   /2    con    ∈   . Entonces el valor de g ⁄6)    a) 0  b) 1  √

c)

√ √

d) e)

√ √ √

 

 

 

 

    es igual a: 

53. La expresión   a) 2 cos   b) 2 sec   c) 1/ sec   d) 2/ 1 sen ) cos   e) 1  54. Si  cos 1/3   y  la  cotg a)

√

 

b)

0, entonces el valor de la cosec  es:  √

 

√

c)

 

√

d)

  55. Se sabe que     es un ángulo del tercer cuadrante y que  cotg

 

e)

√

 

4/3, entonces el valor de  

  es:  a) 2/5 

b)

7/5  3

56. Dada la expresión  4 sen a) 240°   

b) 225° 

c) 5/7  sen2

cos2

sen

d)

1/5 

, el valor de  /2, tal que  5 ⁄2

c) 480° 

e) 1  3   es: 

d) 195° 

e) 370° 

d) tg

e) tg  

).

57. La expresión   a)

1 

Cursillo Pi         

).

b)

   es: 

)

tg  

c) cotg    

33 

 

Ing. Raúl Martínez 

 

Geometría y Trigonometría  

  58. Reduciendo a una expresión más simple   ) cos 180° ) cos 180° ) cos 360° ) cos sen 90° 180°). Resulta:  a) Infinito  b) 0  c) 2 cos   d) 3 cos   e) cos   59. El duplo del producto del seno de un ángulo y del coseno del mismo ángulo corresponde al:  a) Duplo del seno del ángulo  b) Seno de la mitad del ángulo  c) Seno del triplo del ángulo  d) Triplo del seno del ángulo  e) Seno del duplo del ángulo   60. Si  sen 12/13,     del primer cuadrante,  cos 2 1/169  es igual a:  a) 142/169  b) 118/169  c) 169/118  d) 120/169  e) 169/120  61. El valor de       tal que   ⁄2 3 /2  que satisface la relación   ) sec ) 5 sen 200   equivale a:   2 sen ⁄2 a) 45° ; 135°  b) 135° ; 225°  c) 225° ; 315°  d) 50 ; 225°  e) /4  62. La expresión   sec  1 tg ). 1 tg ) equivale a:  a) 2 cos   b) cos   c) 0  d) 1  e) 2        CAPÍTULO 6  PROBLEMAS SOBRE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS  63. ¿Cuántas baldosas de forma octogonal (octógono regular) de  37  de apotema se necesitan  para embaldosar un pasaje peatonal de  551,3  de largo por 8   de ancho?  a) 9723  b) 8923  c) 5723  d) 6823  e) 9523    64. Hallar el área de un rectángulo cuya base y altura son respectivamente el lado y la apotema de  un pentágono regular inscripto en una cia de radio  .  a) 0,591   b) 0,819   c) 0,951   d) 0,851   e) 0,591     65. Un avión vuela rumbo al este con una velocidad de 300 / , se encuentra con un viento del  norte con una velocidad de 60 / . Hallar la velocidad resultante y el rumbo verdadero del  avión.  a) 500,94 ; 78°41 24   b) 305,94 ; 11°10   c) 305,94 ; 78°41 24   d) 500,94 ; 11°10   e) 305,94 ; 78°41 24     66. Para alcanzar la cima de un muro de 8  de altura se utiliza una escalera de 10 . Si la escalera  se extiende 50  más allá del muro. Determina su inclinación respecto a la horizontal:  a) 32°30 13   b) 37°21 40   c) 77°21 47   d) 67°21 47   e) 57°21 47     67. Si un jet sube un ángulo de 15° con una velocidad constante de 900  millas por hora. ¿Cuánto  tiempo tardará en llegar a una altura de 8 millas?  a) 3 3,64   b) 1 3,64   c) 4 2,64   d) 2 3,64   e) 5 3,64   Cursillo Pi         

 

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Geometría y Trigonometría  

68. El copiloto del aeroplano de la figura; que cuela a una altura de 8000   sobre el nivel del  océano descubre una isla. Calcula la anchura de la isla.  a)  6821,70   b)  5821,70   27° 39° c)  7821,70   8000 d)  8821,7    e)  4821,7   69. Un observador de aves mira el nido de un águila en el claro de un risco. ¿Qué distancia hay entre  el nido del águila y la cima del risco?  a)  9,35   b)  7,35   c)  6,35   47° 34° d)  8,35   e)  5,35   23,5 70. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situado a 8  del suelo y  observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte suprior, con un ángulo de    elevación de 30°  y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45°. Entonces la altura del  edificio de enfrente es:      a) 12,6   b) 13,6   c) 11,6   d) 10,6   e) 9,6     PROBLEMAS SOBRE TRIANGULOS OBLICUÁNGULOS  71. Un incendio   es detectado por dos puestos de observación de las estaciones de bomberos   y    que están separados 20millas. Si la estación    reporta el incendio en un ángulo   igual a  53°  y la estación   reporta el incendio en un ángulo   igual a 28°30 , ¿A qué distancia está el  incendio de la estación  ? , ¿De la estación  ?  a) 11,65 millas  ;  15,45  millas  b) 6,65 millas  ;  16,45  millas  c) 9,65 millas  ;  16,45  millas  d) 11,65 millas  ;  17,45  millas  e) 7,65 millas  ;  12,65  millas  72. Encuentra la altura del globo con la información dada  a)  345,76   b)  352,72   c)  367,98   d)  345,87   44° 37°10 e)  325,94   100 73. A mediodía dos aviones parten de San Francisco a buscar un avión que cayó al océano. El avión      viaja al oeste a 400 /   y el avión     al noroeste a  500 / . A las 2  el avión   observa  al avión perdido y se comunica con el avión   para ayuda para el rescate. ¿A qué distancia está el  avión    del avión    en ese momento?  a) 145,18   b) 167,83   c) 162,89   d) 168,17   e) 174,56   Cursillo Pi         

 

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Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

74. Calcula el ángulo que forman dos paredes, sabiendo que dos puntos situados cada uno de ellos  en la intersección en cada una de las paredes con el piso, determina una distancia de 3,20   y  distan respectivamente  1,90   y  1,70   de la arista, intersección de las dos paredes.  a) 136°54 46   b) 135°35 24   c) 120°28 10   d) 139°34 54   e) 125°22 36   75. Una casa mide 25   de adelante hacia atrás. El techo mide 30  desde la parte delantera  de la casa hasta la punto del techo y 18  desde la punta del techo hasta la parte trasera de la  casa. Encuentra los ángulos de elevación de las partes delantera y trasera del techo.  a) 45°53 23 ; 35°57 27   b) 56°23 45 ; 24°17 12   c) 36°48 22 ; 86°52 44   d) 38°50 26 ; 89°56 45   e) 52°13 32 ; 27°17 42     76. Una carretera en línea recta e 180  de longitud tiene por extremo a las ciudades     y   , otra  carretera también en línea de 260  de longitud continúa el recorrido de la ciudad     a la      ciudad  . Si las dos carreteras forman entre sí un ángulo de 132,5°, la distancia entre las  ciudades     y     es:  a) 414   b) 410   c) 359,6   d) 404   e) 202          

Cursillo Pi         

 

 

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Geometría y Trigonometría  

PRUEBA FORMATIVA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA  AÑO 2011  ,

1. Se sabe que los ángulos   las semirrectas opuestas  

  y   

, 

  y 

  son consecutivos formados del mismo lado de 

. Además se sabe que 

2

  y  2

, 

  mide:  entonces el ángulo  a) 30°  b) 45°  c) 60°  d) 120°  e) 160°  2. En un triángulo de lados  ,  y  , donde     se tiene las longitudes de los segmentos  determinados sobre el mayor de los lados por la bisectriz del ángulo opuesto son:  a)

   y  

b)

  y   

   

c) Ambas son iguales   /2      y  

d)

 

e)    y       3. En la escuela la maestra ha organizado un concurso. Los niños deberán dar las dimensiones de  triángulos. Si con las medidas, era posible construir un triángulo, el niño se ganaba puntos      adicionales para su calificación. Las respuestas fueron:   Juan: 4 , 5 y 8    ;   Luis: 5 , 9  y  13 ;   Pedro: 4 , 6  y  10  ;  Carlos:  3 , 5  y  8  Entonces la maestra dio puntos adicionales a:  a) Juan y Luis  b) Juan y Pedro  c) Luis y Pedro  d) Pedro y Carlos  e) Juan, Luis y Carlos  4. Si  

cosec sen

cos   y    sec

tg cotg   entonces el valor de   .   es:  cosec2

c) 1  d) 0  a) sen . cos   b) tg   5. Marcar la alternativa falsa:  I) Un ángulo de   radianes corresponde a un ángulo 200   II) Un ángulo de 270° corresponde al triple de la mitad de     III) Un ángulo de 800° corresponde a cuatro veces    IV) La mitad de   corresponde a un cuarto de giro sobre la circunferencia.  V) Si   50   y   45°  entonces sen 50 cos 45°  De las afirmaciones anteriores son falsas:  a) Sólo IV  b) Sólo III  c) Sólo II  d) Sólo I  6. Si     es un ángulo positivo menor o igual a     y además:  a) tg b) cosec c) tg d) cotg e) sen Cursillo Pi         

0  y  cos 0  y  sec 0  y  sen 0  y  cosec 0   y  cos

0, entonces 0

/2 

0, entonces 0

/2 

0, entonces  /2

 

0, entonces  /2 0, entonces  0  

  /2 

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Ing. Raúl Martínez 

e) cotg

 

e) Ninguna  

Geometría y Trigonometría  

7. El número total de diagonales de un polígono cualquiera es 170, entonces:  I) El polígono tiene 167 vértices  II) El polígono tiene 17 lados  III) Cada ángulo interior mide 162°  IV) La suma de los ángulos interiores es igual a 3240°  Podemos decir que son falsas:  a) Todas   b) Sólo III  c) Sólo II  d) Sólo I  e) Ninguna   8. Se construye un polígono que tenga el mismo número de lados que la suma de los lados  polígonos en los que pueden trazarse desde cada vértice  10  y  12 diagonales respectivamente,  entonces, el nuevo polígono tendrá en total:  a) 25 diagonales  b) 22 diagonales  c) 275 diagonales  d) 350 diagonales  e) 209 diagonales  9. Un polígono tiene   3 lados y otro polígono tiene el doble número de lados que él. Entonces  podemos asegurar que:  I) El segundo polígono tiene el doble del número total de diagonales que el anterior      II) El número de diagonales del primer polígono es   3  III) El número de diagonales que pueden trazarse desde cada vértice en el segundo polígono es  2 3  De las afirmaciones anteriores son en el orden en que fueron enunciadas:  a) V ; V ; V  b) V ; F ; V  c) F ; V ; V  d) V ; F ; F  e) F ; F ; V  10. Se tiene un cuadrado de 5  de lado ¿Cuál es el número mínimo de cortes que deben hacerse  para obtener rectángulos iguales de 5  de área?  a) No cortar  b) 3  c) 4  d) 5  e) 1  11. Si     es un ángulo del tercer cuadrante y la reciproca de la función cosecante es igual a   1/2,  entonces la diferencia entre la cuarta parte del coseno de    y el cuadrado de su reciproca es:  a)

√

 

b)

√

 

√

c)

 

d)

√

 

e)

√

 

12. Determinar la longitud de la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo  que ésta divide a la hipotenusa en segmentos cuyas longitudes son 9 y 16 respectivamente.  a) 12  b) 24  c) 25/2  d) 8  e) 3  13. A partir de las siguientes afirmaciones:  I) Si  , ,  está entre     y    , y     está  entre   y  , entonces     II) Si  , ,   es punto medio entre    y   , y   es punto medio entre   y   ,  entonces   .  III) Si un ángulo de un par lineal es recto, entonces el otro ángulo también lo es.  IV) Si   , y  ,    está entre     y    , y    está entre     y   , entonces    De las afirmaciones anteriores:  a) Todas son falsas  b) Todas son verdaderas  c) Sólo una es falsa  d) Sólo una es verdadera  e) Sólo dos son verdaderas  Cursillo Pi         

 

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Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

14. La expresión   1 sen ) 1 tg ) es equivalente a:  a) cos   b) sec   c) 0  d) cos   e) 1  15. El valor de   en la expresión sen 2 24°) cos 3 12°) es:  a) 12°  b) 10°48   c) 10,48°  d) 24°  e) 54°  16. Si     y     son enteros cualesquiera y   , la opción correcta es:  a) sen /   b) cos /   c) cosec /   d) cotg /   e) sec /   17. Al aumentar en 3 el lado de un rectángulo y disminuida en 3 el ancho del mismo, el área queda:  a) Aumentada en 3  b) Disminuida en 3  c) Invariable  d) Aumentada en 3 ℓ 3)  e) Disminuida en 3 ℓ)    3 18. Dos ángulos consecutivos miden la tercera parte del suplemento de la suma de ambos. Si uno de  ellos es la mitad del otro, entonces el complemento del menor mide:      a) 15°  b) 30°  c) 45°  d) 75°  e) 60°  19. Si    y     representan el número de diagonales que pueden trazarse desde cada vértice de dos  polígonos de     y     lados respectivamente, entonces   es igual a:  a) 3  b)   c) 6  d) 3  e) 6  20. El valor que debemos sumar a   2 sen 100 cos 45°)  para obtener como resultado la  unidad es:  a)

√

 

b) 2 √2  c) 1 √2  d) 1 √2  e) 1 √2      

Cursillo Pi         

 

 

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Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

1.

2.

3.

4.

5.

PRUEBA FORMATIVA DE GEOMETRÍA  AÑO 2001  A partir de las siguientes afirmaciones:  I) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados y el ángulo comprendido proporcionales  II) Dos triángulos son iguales si tienen sus tres ángulos iguales  III) Dos triángulos son iguales si tienen dos ángulos iguales y el lado comprendido proporcional  IV) Dos triángulos iguales son semejantes de razón 1  V) Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual y el lado opuesto a él  proporcional  Podemos decir que son falsas:  a) Todas   b) Sólo cuatro   c) Sólo tres  d) Sólo dos  e) Ninguna   De las opciones siguientes  I) Si un triángulo tiene sus tres medianas iguales, entonces es equilátero.  II) Si un triángulo tiene la altura y la mediana correspondiente a un mismo vértice iguales,  entonces es isósceles.    III) Existe algún triángulo tal que dos de sus alturas sean perpendiculares.  Podemos decir que en ese mismo orden son:  a) V ; V ; V  c) V ; V ; F  d) V ; F ; V  e) F ; V ; F    b) V ; F ; F    A partir  de las siguientes afirmaciones:  I) Las partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes.  II) La medida de un ángulo exterior de un triángulo es mayor que la medida de cualquiera de los  ángulos interiores no contiguos a él.  III) Dos ángulos que son complemento del mismo ángulo (o de ángulos congruentes) son  congruentes.  IV) En un triángulo isósceles, el segmento que va desde vértice del ángulo desigual al punto  medio del lado opuesto forma un par de triángulos congruentes.  V) Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con  dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son  congruentes.  Podemos decir que son falsas:  a) Todas  b) Sólo cuatro  c) Sólo tres  d) Sólo dos  e) Ninguna   La razón reciproca entre la media proporcionales de 2 y 5, y la cuarta proporcional de 3 , 6  y 5 es:  b) 10  c) 1/√10  d) 10√10  e) 10 √10  a) √10    De las afirmaciones siguientes:  I) Dos ángulos consecutivos son adyacentes  II) Dos ángulos opuestos por el vértice son suplementarios  III) Dos ángulos suplementarios son adyacentes  IV) Si el complemento de un ángulo es  , entonces su suplemento es 2   V) Si el complemento de un ángulo es  , entonces el suplemento de su triplo es 3   Podemos decir que son falsas:  a) Sólo cuatro  b) Sólo tres  c) Sólo dos  d) Sólo una  e) Ninguna  

Cursillo Pi         

 

40 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

6. Se sabe que los ángulos  las semirrectas opuestas  

,

,

  y  

. Además se sabe que 

  y  

  son consecutivos formados del mismo lado de  2

  y  2

  mide:  entonces el ángulo  a) 30°  b) 45°  c) 60°  d) 120°     EJERCICIOS DE REPASO DE TRIGONOMETRIA  1. La medida de un ángulo es 125°. En radianes, la medida del mismo ángulo es:  36 18 25   d) a)   b)   c)  

,  e) 160° 

e)

5

 

2. El ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 2 horas y 15 minutos es:  a) 30°  b) 60°  c) 5°  d) 22°30   e) 67°30   3. El ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 5 horas y 30 minutos es:  a) 30°  b) 5°  c) 15°  d) 10°  e) 12°  4. El ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 3 horas y 5 minutos es:  a) 60°  c) 10°  d) 92°30   e) 62°30     b) 32°30   5. ¿Cuántos radianes recorre el minutero cuando marca 50 minutos de cualquier hora?  a) 3 /5  b) 5 /3  c) 5 /6  d) 6 /5  e) 3 /2      6. Un arco de circunferencia mide 250°  y su longitud es de 150 . El número entero más próximo  a la medida del radio es:  a) 2  b) 10  c) 34  d) 17  e) 69  7. Si  0 2 , la proposición falsa es:  a) Si  tg 0  y  sec 0, entonces  0 /2  b) Si cotg 0  y  sec 0, entonces  3 /2  c) Si sec 0  y  cosec 0, entonces  3 /2  d) Si cos 0  y  cotg 0, entonces 3 /2 2   e) Si sec 0  y  tg 0, entonces  3 /2  8. Los cuadrantes donde los ángulos  , ,   son tales que:  cosec 0 , sec 0 ;  sec 0 ,  cotg 0 ; sen 0 , tg 0  son respectivamente de los cuadrantes:  a) 3° ; 2° ; 2°  b) 1° ; 2° ; 3°  c) 3° ; 1° ; 2°  d) 2° ; 1° ; 3°  e) 3° ; 2° ; 1°  9. El valor de  sen 100

cos /4

sen

  es: 

d) 1  b) 2 √2  c) √2  e) 1 √2 ⁄2  a) 1 √2  10. Sea la función  g ) cos sec sen cosec tg cotg   para todo valor de    ⁄6) es:  distinto de  /2 con  ∈ . Entonces el valor de  a) 0  b) 1  √

c)

√ √

d) e)

√ √ √

   

 

11. El valor de la expresión  tg a) 1  Cursillo Pi         

b) 2 

sen2 2   es:  cos2

c)  

2 

41 

d) 2 tg

 

Ing. Raúl Martínez 

e) 1/ cos

 

Geometría y Trigonometría  

12. La función trigonométrica equivalente a   a) cotg  

b) sec  

13. La expresión 

  es: 

c) tg  

d) cosec  

e) sen  

  es igual a: 

a) 2 cos   b) 2 sec   c) 1/ sec   d)

)

 

e) 1  4 cosec2 2    y   cosec

14. Si  

cosec .tg    para   sec

  siendo     un entero cualquiera. El valor de 

  es:  a)  1  b) cotg   c) cosec     d) sec   e) tg     15. En la circunferencia trigonométrica un ángulo es tal que su seno vale 4/5 y se encuentra en el    segundo cuadrante, entonces la tangente de dicho ángulo vale:  a) 4/3  b) 3/4  c) 5/4  d) 3/5  e) 3/5  16. Si  cos 1/3  y la cotg 0, entonces el valor de la cosec  es:  a)

√

 

b)

√

 

c)

√

 

17. Si   es un arco del segundo cuadrante y cosec tg cotg

d)

√

 

e)

√

 

4/3, entonces el valor de la expresión  

cos   es:  sec

a) 4/3  b) 4/3  c) 3/4  d) 18. Si se sabe que     es un ángulo del tercer cuadrante y que cotg

3/4  e) 1  4/3, entonces el valor de 

  es:  a) 2/5 

b)

7/5 

c) 5/7 

19. Si la cotangente del ángulo   es negativa y  sec

d)

1/5 

7/3 entonces el doble de 

e) 1/5   es: 

)

a) √3/4  b) 1/8  c) √14/4  d)

√2 

e) 8√7  20. Si     es un arco del segundo cuadrante y la reciproca del coseno es igual a  5/3, entonces la  diferencia entre el quíntuplo del cuadrado del seno y el triplo de la tangente del ángulo es igual a:  a) 5/36  b) 36/5  c) 4/5  d) 32/15  e) 4/5  Cursillo Pi         

 

42 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

Geometría y trigonometría – Cursillo de ingreso  1.  En el triángulo  , se verifica que   2 ;    ;  entonces el triángulo es:  A)  Isósceles  B) Rectángulo isósceles  C) Equilátero   D) Rectángulo  E) Obtusángulo    2.  ¿Entre qué número está comprendida la medida la medida de un ángulo tal que un  complemento mide menos de 50° 40’ y un suplemento mide más de 98° 15’?  A‐) 0,5      y      B‐) 0,26     y   0,83   C‐) 0,34    y  0,67   D‐) 0,22    y  0,45   E‐)    y       3.  Teniendo en cuenta el dibujo, donde   10   y   5  el valor de    es:  A‐) 10√3      90° B‐) 9√3  C‐) 11√3  D‐) 12√3  E‐) 8√3  4.  Dadas las siguientes proporciones:  I. Toda secante forma con dos paralelas ángulos conjugados internos iguales.  II. En un triángulo, cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos y menor que su suma.  III. La intersección de las perpendiculares trazadas desde los vértices de un triángulo, a los  puntos medios de los lados opuestos se llama ortocentro.  IV. En un triángulo isósceles el incentro  y el circuncentro están sobre una misma recta.  V. Si dos ángulos son suplementarios, entonces son adyacentes.  Podemos afirmar que:  A‐)  Todas son verdaderas.  B‐) Solamente una es verdadera.  C‐) Ninguna es verdadera.  D‐) Solamente dos son verdaderas.  E‐) Todas menos una son verdaderas.  5.  Dada la serie de razones iguales:  

  donde  

22, entonces los valores de  

; ;   son respectivamente:  A‐) 10 ; 6 ; 18  B‐) 6,47 ; 3,88 ; 19,41  C‐) 10 ; 8 ; 20  D‐) 10 ; 6 ; 18  E‐) 12 ; 8 ; 18 

Cursillo Pi         

 

43 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

6.  Dadas las siguientes  proposiciones  de congruencia   ; ; , además,  ; ; .  Entonces   la proposición correcta sobre triángulos  congruentes es:  ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ A‐)   C‐)   E‐)   ∆ ∆ ∆ ∆ B‐)   D‐)     GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA – CURSILLO DE INGRESO  PRUEBA N° 2  1. Sabiendo que  sen 5/13  y   /4 , con 0 /2. El valor de sen  es:  √

 

√

b)

a) 90° b) 180° c) 180°

 

√

c)

 

d)

√

 

e)

√

  13 2. Sabiendo que    es un ángulo generado en sentido anti horario, cuyo extremo libre está en  ; )  y siendo   y     enteros positivos la opción falsa es:  a)

135°   

2

d) 45°

90° 270°  360°    90° 

 

e) 90° 180°  3. Teniendo en cuenta la figura, la altura del edificio es:  a)  20,66  b)  21,21  75° c)  18,93  d)  19,34  12 e)  20  4. Sabiendo que 

  y además  cos

cos 60°

12

). Entonces el valor de  2

) siendo 

155°  es:  a) 265°13 39   b) 85°  c) 100°  d) 280°  e) 265°  5. Dadas las siguientes proposiciones:  I. En el primer y tercer cuadrante el seno y el coseno tienen el mismo signo  II. Si    es la mitad de su complemento, entonces  2 90° .  3

2

Sea  sen   entonces   7 1  5 Las funciones trigonométricas de un ángulo son iguales, a las cofunciones del ángulo  complementario por defecto.  ) V. Sea  sen 3/4, girando en sentido anti horario, el ángulo    corresponde al cuarto  cuadrante.  Podemos afirmar que:  a) Todas son verdaderas  b) Ninguna es verdadera  c) Solamente dos son verdaderas  d) Solamente una es verdadera  e) Todas menos dos son verdaderas.      III. IV.

Cursillo Pi         

 

44 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

EVALUACION FORMATIVA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA  1. De las opciones siguientes:  I. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual uno de sus  ángulos.  II. En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso, es igual a la  suma de los otros lados más el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.  III. Todo diámetro perpendicular a una cuerda divide a ésta en segmentos de razón uno.  IV. El radio del polígono regular circunscripto a una circunferencia es igual al radio de la  circunferencia.  V. El incentro de un triángulo es el centro de la circunferencia inscripta en el triángulo.  Podemos decir que en ese mismo orden son:  a) F ; V ; F ; F ; V  b) F ; F ; V ; F ; V  c) V ; F ; V ; V ; F  d) V ; V ; F ; V ; F  e) F ; F ; F ; F ; V  ).

2. La expresión  

).

, es idéntica a: 

)

e) tg   a) 1  b) tg   c) cotg   d) tg     3. Se tienen dos círculos con centro en el mismo punto, pero cuyos perímetros difieren en  1 .  ¿Cuál es la diferencia entre sus radios?    c)     d) 2   e) 4   a)   b)   4. De las siguientes afirmaciones, que se refieren a los elementos de una pirámide, la incorrecta es:  a) La apotema no tiene la misma medida que la altura.  b) La apotema es siempre menor que la arista.  c) La arista lateral es siempre mayor que la apotema.  d) La apotema es siempre mayor que la altura.  e) La altura tiene la misma medida que la arista lateral.  5. En la figura   , en metros, es:  a)  13  b)  14  c)  15  d)  16  e)  17   

90°. Además   

15

6. El número de raíces que tiene la ecuación  √3 sen a) 0  b) 1  c) 2 

;

16

;

17

. La longitud de 

3 cos , en el intervalo  0° 360° es:  d) 3  e) 4 

 

7. ¿Qué proporción guardan las áreas de las dos regiones sombreadas en el rectángulo  es un punto cualquiera de la diagonal?  a) La de arriba es más grande.  b) La de abajo es más grande.  c) Son iguales.  d) Sólo son iguales si   es el punto medio.  e) No hay suficientes datos.    Cursillo Pi         

 

45 

Ing. Raúl Martínez 

, si   

Geometría y Trigonometría  

8. Dadas las siguientes proposiciones:  I. El segmente que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio isósceles  es igual a la semisuma de las bases.  II. Como el coseno toma sólo valores entre  1  y 1  entonces su recíproca también toma  valores entre  1  y  1.  III. Todo polígono regular es un polígono convexo.  IV. Si la distancia de los centros es 4 y los diámetros de las circunferencias son 81 y 25,  entonces las circunferencias son tangentes interiormente.  V. Dos triángulos son congruentes, si comparten un ángulo agudo igual.  Podemos afirmar que:  a) Todas son falsas.  b) Solamente una es falsa.  c) Ninguna es falsa.  d) Todas menos dos son falsas.  e) Solamente dos son falsas.    9. Si   es un ángulo del segundo cuadrante y la reciproca de la función secante es igual a  1/2,  entonces la diferencia entre la quinta parte del seno de   y el cuadrado de su reciproca es:  √

 

a) 4√3

 

 

b)

√

c)  

b) 25√3

12. En el triángulo   se tiene:  /  es igual a: 

 

√

c) 100√3

 

30° ;

 

d)

√

  120° ;

a)  1⁄√2  b)  1/√3  c)   2/3 

d) 15√3

 

e)

√

  40 10. Una figura geométrica es un paralelogramo equiángulo sí y sólo si; es un:  a) Rectángulo.  b) Polígono regular.  c) Rombo.  d) Cuadrado.  e) Trapecio.  11. El perímetro de una de las caras de un tetraedro es de 15 . El área total del tetraedro es:  a)

 

 es la bisectriz del  

120°

e) 22√3

. Entonces 

30° d)  √3/2  e)  √2/3  13. Siendo  cosec 41/9 y el arco    del segundo cuadrante, el valor de cotg   es:  a) 40/9  b) 40/9  c) 41/40  d) 41/40  e) 4/9  14. Las diagonales de un rombo miden  2   y  2√3 . Entonces, los ángulos que cada diagonal  forma con los lados miden:  a) 38 88 88    y  61 11 11   b) 33 20    y  66 40   c) 16 66 66    y  50   d) 33 33 33    y  66 66 66   e) 16 66 66    y  83 33 33  

Cursillo Pi         

 

46 

Ing. Raúl Martínez 

 

Geometría y Trigonometría  

1.

2.

3.

4.

5.

EXAMEN PARCIAL DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA  De las siguientes opciones:  I. Dos ángulos adyacentes, son suplementarios y congruentes  II. La intersección de dos rectas carece de dimensión.  III. Siempre son congruentes dos ángulos alternos internos.  Son falsas:  a) Ninguna  b) I y II  c) Sólo I  d)  I   y III  e) Todas  Marca la alternativa correcta:  a) El rombo es un paralelogramo equiángulo.  b) Un cuadrilátero es un paralelogramo.  c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo.  d) El cuadrado es un rombo equiángulo.  e) El rectángulo es un cuadrado.  De las siguientes afirmaciones:  I. La apotema del polígono es menor que su radio    II. Un ortoedro es un polígono regular de 8 lados  III. Son congruentes las bases de un trapecio rectángulo.  Son verdaderas:      a) Sólo I  b) I  y  II  c) Sólo III  d) Todas  e) Ninguna   Marca la alternativa falsa:  a) El vértice de un ángulo central es un punto de la circunferencia.  b) Los lados de un polígono circunscripto a una circunferencia son tangentes a ella.  c) El radio del polígono inscripto en una circunferencia coincide con el radio de ella.  d) Los triángulos semejantes tienen ángulos congruentes y lados proporcionales.  e) En todo triángulo se cumple que: Un lado es menor que la suma de los otros dos.  En un triángulo isósceles, el ángulo extremo correspondiente al ángulo interno no congruente, es  el suplemento de la mitad de  15° 50 ). Entonces el duplo de la tercera parte del ángulo  congruente equivale a:  a) 100   b) 30°  c) 75   d) 5° 

e) 25°  6. Siendo el duplo de la cantidad de lados de un polígono, disminuido en 11, igual a la cantidad de  diagonales que se puede trazar desde uno de los vértices es un:  a) Octógono  b) Encágono  c) Dodecágono  d) Hexágono  e) Heptágono   7. Dado el siguiente grafico el valor de    en metros es:  a) 8  b) 4  c)  9/2  60 d) 2  0,3 e) 9  0,04     Cursillo Pi         

 

47 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

8. Dadas las opciones siguientes:  I. Los ángulos externos de un decágono irregular suman cuatro rectos  II. En todo cuadrilátero la suma de sus ángulos internos y la suma de sus ángulos externos  coinciden  III. Todo triángulo oblicuángulo carece de ángulo recto  Son falsas:  a) Todas  b) Ninguna  c) Solo I  d) I  y  III  e) I  y  II  9. Marcar la alternativa verdadera:  a) Los ángulos alternos internos son congruentes  b) Todo cuadrilátero es trapecio  c) El radio de un polígono es menor que su apotema  d) La cosecante es función inversa del seno  e) Un triángulo rectángulo tiene un ángulo que mide   /2     10. Cuando todos los vértices de un polígono son puntos de una circunferencia, se puede afirmar que  I. La circunferencia está circunscripta al polígono  II. El polígono está inscripta en el polígono   III. La circunferencia está inscripta en el polígono    IV. El polígono está circunscripto a la circunferencia.  Es/son correcta/s:    b) Solo II    a) Solo I  c) I  y  II  d) III y  IV  e) I  y  III  11. La cofunción de la función reciproca de la cosecante es:  a) Seno  b) Cosecante  c) Secante  d) Cotangente  e) Coseno   12. En el tercer cuadrante son positivas solamente:  a) Tangente  b) Cotangente  c) Seno y coseno  d) Tangente y cotangente  e) Cosecante   13. El producto  de las diagonales de un rombo corresponde a su:  a) Área  b) Semiárea  c) Perímetro  d) Semi perímetro  e) Área duplicada  14. El cociente entre la abscisa y el radio vector es:  a) Cofunción del seno  b) Función recíproca de cosecante  c) Secante  d) Tangente  e) Cosecante   15. Si el extremo libre de un ángulo está en  3, 4) y su vértice en  0 , 0), entonces  4/5 es:  a) Seno  b) Función inversa de seno  c) Cofunción de secante  d) Secante  e) Cotangente   Cursillo Pi         

 

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Geometría y Trigonometría  

16. La suma de los cuadrados del seno y el coseno del mismo ángulo equivale a:  a) 1  b) Seno del ángulo  c) Coseno del ángulo  d) 1  e) La suma del seno y del coseno  17. Siendo sen / ,    es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, se puede  afirmar que:   I.   es la hipotenusa  II.   es cateto opuesto a    III.    es cateto opuesto a    IV.   es hipotenusa  a) I  y II  b) Sólo I  c) Sólo III  d) Sólo IV  e) III  y  IV  18. Cada lado de un triángulo es proporcional a los:  a) Cosenos de sus ángulos opuestos    b) Senos de sus ángulos adyacentes  c) Cosenos de sus ángulos adyacentes  d) Senos de sus ángulos opuestos      e) Recíprocos de sus lados  19. Una de las dimensiones de un rectángulo mide 12 metros más que la otra. El producto entre su  perímetro con el reciproco de la menor de sus dimensiones es:  a) 2  b) 8  c) 6  d) 4  e) 4 6 )/   20. Dos ángulos complementarios están en relación 2 a 7, la mitad del mayor es:  a) 20°  b) 70°  c) 10°  d) 35°  e) 40°  21. En el gráfico  ⫽ , es secante o transversal   2 , el valor de   es:  a)  60°  b)  130°  c)  65°  d)  120°  e)  70°    22. Cada lado de un triángulo equilátero, inscripto en una circunferencia de 24  metros de longitud,  mide (en metros):  a) 36√3  b) 12√3  c) 6√3  d) 18√3    23. La afirmación falsa corresponde a:  a) La secante es función reciproca de coseno  b) El semiproducto de una función trigonométrica y su función reciproca es 1/2  c) El seno de la suma de dos ángulos es la suma del seno de cada ángulo  d) La función secante puede tomar valor   7/2  e) La cotangente de un recto equivale al seno de cuatro rectos        Cursillo Pi         

 

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e) 3√3 

Geometría y Trigonometría  

TRIGONOMETRÍA  AUTOEVALUACION  1. La sombra que de un poste de 6,75  de alto, cuando el ángulo de elevación del sol mide  38°47 , está por:  a) 5,4   b) 8,4   c) 10,8   d) 16,8   2. En un momento dado un avión se encuentra a 5.000  en la horizontal de un observador y el  ángulo de elevación mide 25°30 . La altura a la que vuela en ese momento el avión es:  a) 2152,5   b) 2384,8   c) 4512,9   d) 10482,7   3. La expresión  2 cos sen a) 2 tg  

1 

b) cos

4. Si  sen

  es idéntica a:  c) 2 cotg  

1, entonces sen

a) 1/4 

cos

b) 1/2 

5. La expresión   a) 1  b) sen cos c) 1  d) sen cos   6. La expresión  tg a) tg  

d) 1 

  es igual a: 

c) 1 

d) 2 

  es idéntica a:   

   

 

sen cos   es idéntica a:  b) cotg   c) sec  

7. La expresión 

d) cosec  

  es idéntica a: 

a) 1/2  b) 2  c)

cos  

d) 2 cos   8. Si tg , entonces sen 2   es igual a:  a) 2   b) 1   c)

 

d)

 

9. La solución positiva no mayor de  90° de la ecuación  3 5 tg 5 3/ cotg  es:  a) 30°  b) 45°  c) 60°  d) 90°  10. Los valores  , con  0 2 , que satisfacen la ecuación cos sen 1 0, son:  a) 0  y  2   b)

  y  

 

c) 0, ,   y  2   2

d)

,

,

, ,

,

,

   y  2  

  Cursillo Pi         

 

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Geometría y Trigonometría  

2 , que satisfacen la ecuación cos 2

11. Los valores de  , con 0 a)

,

b)

5   y    

c) 0,

,

  y  

cos

1

0, son: 

 

2 4 ,   y  2   3 3

d)

,

,

  y    

∆

 se cumplen las siguientes igualdades, excepto:  12. En todo  a)   cos cos   b)   cos cos   ∆

sen 2

c)  Área 

 

d)   cos cos   13. En la figura, el valor de   en términos de los ángulos    y  , y de los lados   y  , está dado por la  expresión:  a)  

cos

b)  

cos

c)   d)  

cos

cos cos

  cos sen cos   sen

   

 

  cos sen

 

    14.  sen

cosec

tg

sen   es igual a: 

a) 0  b) 1  c) cos   d) sen   15. Cuando el ángulo    crece de   a  3 /2, la gráfica de la secante:  a) Decrece de 0 a   ∞  b) Crece de  1  a   ∞  c) Decrece de  1  a   ∞  d) Decrece de  ∞ a   1      PRUEBA N°1 ‐ GEOMETRÍA  1. Marca la proposición verdadera:  a) La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide la mitad de lo que mide  la hipotenusa  b) Dos ángulos que están a un mismo lado de una recta son suplementarios  c) En un triángulo la proyección de un lado sobre otro, es una de las alturas del triángulo  d) Todo triángulo isósceles es equiángulo  e) Si se traza la bisectriz de un ángulo obtuso se obtienen dos ángulos adyacentes iguales  Cursillo Pi         

 

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Geometría y Trigonometría  

2. Teniendo en cuenta la figura, el reciproco de la tercera proporcional de    y 6 es:  a)  3/4  b)  2  100° c)  1/2  /2 7 d)  1/3   16 e)  3  3. El pueblo Esperanza se encuentra a la misma distancia de cada lugar señalado en el dibujo,  entonces dicho pueblo es un punto ubicado, en el/la:  a) Incentro  b) Baricentro  c) Ortocentro  d) Circunferencia  e) Altura l mediana  4. La siguiente terna: 8 ; 9 ; , esta compuesta con cantidades enteras, de manera que las tres  medidas correspondan a las longitudes de los lados de un triángulo. Entonces la cantidad de  valores que puede llegar a asumir  , es:    a) 1  b) 12  c) 9  d) 15  e) 16  5. Teniendo en cuenta la figura, la medida en centímetros de la proyección de la mediana   sobre      el lado   es:  a)  143/10  b)  12,35  50 c)  14,25  28 d)  15  e)  29/2  30   EVALUACIÓN FORMATIVA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA  1. Marcar la alternativa verdadera.  a) Dos ángulos complementarios son consecutivos  b) Los ángulos consecutivos son adyacentes  c) Son congruentes los ángulos alternos internos  d) Dos ángulos agudos son suplementarios  e) Dos rectas perpendiculares entre sí, son secantes.  2. De las siguientes opciones, la falsa es:  a) Un semicírculo es un sector circular  b) El segmento de la recta tiene magnitud  c) Dos circunferencias tangentes exteriormente son exteriores  d) Todo trapecio es convexo  e) Un triángulo rectángulo carece de diagonales  3. Dadas las siguientes afirmaciones  I. El lado es congruente con el radio en un hexágono  II. Cada ángulo agudo en un triángulo rectángulo mide 45°  III. Dos ángulos agudos son adyacentes   Son verdaderas:  a) Solo II  b) Ninguna  c) Todas  d) Solo II  e) I  y  II  Cursillo Pi         

 

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Geometría y Trigonometría  

4. Si se tienen las siguientes proposiciones  I. Dos rectas perpendiculares forman ángulos rectos  II. El romboide es paralelogramo  III. Dos triángulos semejantes carecen de lados homólogos  Son falsas:  a) Ninguna  b) Todas  c) I  y  II  d) I  y  III  e) Sólo III  5. El doble producto entre la altura de un trapecio y la suma de sus bases corresponde a su:  a) Área  b) Semiárea  c) Área duplicada  d) Área cuadruplicada  e) Área multiplicada por ocho  6. Cuando se triplica la altura de un triángulo isósceles y su base se reduce a sus dos tercias partes,  entonces su área queda:  a) Multiplicada por dos tercios  b) Triplicada     c) Duplicada  d) Invariable      e) Reducida a la mitad  7. Dado un cuadrado se traza una circunferencia con centro en uno de sus vértices y radio igual al  lado. El cuádruplo del área exterior a la circunferencia e interior al cuadrado es:  )  )  )  )  a) 4   b) 4 c) 4 d) 4 e) 4 8. Una de las dimensiones de un rectángulo es el triple de la otra, el rectángulo es equivalente a un  cuadrado de  300   del lado. Las dimensiones del rectángulo (en metros) es:  d) 3 ; 9  e) 2 ; 6  c) √3 ; 3√3  a) √2 ; 3√2  b) √5 ; 3√5  9. Observando el siguiente gráfico   80 ; 200 ; 0,5 ;  ; entonces    (en  ) mide:  a) 8  b) 3  c) 9  d) 10  e) 5  10. El ángulo inscripto de una  circunferencia cuyos lados contienen los extremos del mismo  diámetro mide:  b)   c) 270°  d) 2   e) 45°  a) 100   11. Desde un mismo punto exterior a una circunferencia se trazan: una secante de 1,2   y una  tangente de 60 . El segmento de la secante interior a la circunferencia (en metros) mide:  a) 3  b) 9  c) 6  d) 12  e) 2  12. El duplo de la cantidad de lados de un polígono de   lados equivale a la cantidad de diagonales  desde un vértice aumentando en ocho. Dicho polígono es un:  a) Pentágono  b) Undecágono  c) Hexágono  d) Decágono  e) Encágono   Cursillo Pi         

 

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Geometría y Trigonometría  

13. Si  2 , entonces se afirma que:  I. sen 0 ; cos 0  II. sen 0 ; cosec 0  III. tg 0 ; cos 0  Son validas:  a) I  y  III  b) Sólo II  c) Ninguna  d) Sólo I  e) II  y  III  14. El extremo libre del vector que generó un ángulo en sentido antihorario alrededor de  0 , 0) es  3 , 4) ; entonces  5/4 corresponde a:  a) Tangente  b) Secante  c) Cosecante  d) Cotangente  e) Secante y cosecante  15. El producto entre la función reciproca de cos   y la cofunción de sen   donde  /3 ,  /4, es:  b) √2/2  c) √2/4  d) 3√2  e) 2√2  a) √2  2 ; 4 cos 90°

16. Sabiendo que 

)

2 cotg 30°

tg 60°

2 sen

180°). El 

 

cociente entre  cosec   y cotg    es:  c) 2  d) 2  e) 1/2  a) √3  b) √3    17. El cociente entre el seno del suplemento de    y el seno del complemento de    es:  I. Cofunción de cotg   II. Función inversa de cotg   III. Cotangente del complemento de    Son falsas:  a) Todas  b) Sólo II  c) I  y  III  d) I  y  II  e) II  y  III  18. Sabiendo que cos ; 0° 90° ; el valor del coseno del duplo de   es:  a) 1  b) 2 1  c) 1  d) 2   e) 2 1  19. Resolviendo la ecuación tg cotg 2 sec   se obtiene:  a) 30°  b) 60°  c) 90°  d) 45°  e) 180°  20. Considerando tg 0 ; sen 0; entonces:  a) 0° 90°  b) 90° 180°  c) 0° 180°  d) 180° 270°  e) 270° 360°  21. Cuando la abscisa del extremo libre de un ángulo es negativa y la ordenada es positiva se verifica  que:  I. El extremo libre de un ángulo esta en el 2  cuadrante  II. La secante del ángulo es menor que la unidad  III. El seno decrece en ese cuadrante  Son falsas  a) I  y  III  b) Sólo II  c) I  y  II  d) II  y  III  e) Sólo III  22. La función reciproca de la cofunción de la función reciproca del seno del complemento de la  diferencia entre     y     es:  )  )  )  )  )  a) sen b) cosec c) sec d) cos e) cotg   Cursillo Pi         

 

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Geometría y Trigonometría  

EVALUACION FORMATIVA  1. De las opciones siguientes la verdadera es:  a) Toda recta secante a una circunferencia es una cuerda de la misma.  b) Si una circunferencia está circunscripta a un octágono regular y a la vez está inscripta en un  hexágono regular, entonces el radio del hexágono es igual al apotema del octógono.  c) Si una diagonal de un cuadrilátero forma con los lados dos triángulos congruentes el  cuadrilátero es siempre un paralelogramo.  d) Si la distancia de los centros es 7 y los diámetros de las circunferencias son 6 y 8, entonces las  circunferencias son tangentes exteriormente.  e) La altura en un triángulo isósceles es también mediana.  2. En la siguiente figura   , es un ángulo:  a) Agudo menor o igual a 15°  80° b) Cuyo suplemento es 100°  c) Cuyo complemento es 65°  d) Que es el doble de 15°    e) Cuyo complemento es el suplemento de 125°  3. En la siguiente figura    y     son cuadrados. Si la medida de    es igual a     y          y 4 es:  mide 12 , entonces la media proporcional entre la medida de    a) b) c) d)

 6√2   8   5   4√2 

e)   √3  4. Marca la afirmación falsa:  a) En todo polígono convexo la apotema es el segmento perpendicular desde el centro del polígono  hasta el punto medio de cada lado.  b)  Si la altura de un triángulo disminuye a la mitad y la base se duplica, entonces el área no varia.  c) En un triángulo cualquiera el circuncentro equidista de los tres vértices.  d) Los ángulos alternos internos entre paralelas pueden ser suplementarios.  e) En un triángulo la altura a la hipotenusa es cuarta proporcional entre la hipotenusa y los catetos.  5. En el siguiente gráfico se verifica:  a) b) c) d)

       

360°       

e)   60°  6. En la figura,   representa un pentágono regular ( de 1 equilátero. ¿Cuántos grados mide el ángulo  ?  a)  50   b)  60   c)  66   d)  73   e)  80     Cursillo Pi         

 

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 de lado) y 

 es un triángulo 

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Geometría y Trigonometría  

7. En el gráfico la línea trigonométrica   corresponde:  a) Cotangente del primer cuadrante  b) Coseno del tercer cuadrante  c) Tangente del tercer cuadrante  d) Cotangente del tercer cuadrante  e) Coseno del primer cuadrante  ) 3 2 sen ) ;  con 200 8. Sabiendo que cos 90° 270°. La suma entre el  duplo de cos   y  cotg  es:  c) 0  b) 2√3  d) √3  e) √3  a) 2√3  9. Sabiendo que cos cos  donde    e     son valores entre  0  y   /2, podemos afirmar que:  a)   b) sen sen   c) sen 0  d) cos . sen 0  e) sen sen   10. El menor valor de  

, con   real, es: 

a) 1/4  b) 1/5  c) 1/6  d) 1/7  e) 1    11. La función inversa del coseno es:    I. Secante  II. Seno  III. Cosecante   Son verdaderas:  a) Ninguna  b) Sólo I  c) Sólo II  d) Sólo III  e) I   y   II  12. Las soluciones de la ecuación cos . tg tg   donde     es un ángulo positivo menor que 360°,  corresponde a un ángulo   cuyo radio vector se ubica.  a) En los cuadrantes pares  b) Sobre el eje   positivo  c) Sobre el eje   negativo  d) Sobre el eje    e) Ninguna   13. Dada la ecuación sen 3 2 , donde   es variable, admite solución sí, y solo sí, cuando el  número real    satisface la condición:  a) 1 1  b) 1 2  c) 1 1  d) 1 2  e) 0  14. Si   60°, la expresión  cos cos ) sen sen )   es igual a:  a) 2  b) 3  c) 4  d) 5  e) 1  15. Dado el triángulo rectángulo  , donde  3  y   4, el valor de cotg tg   es:  a)  3/4  b)  2/3  c)  4/3  d)  3/2  e)  1/2  Cursillo Pi         

 

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Geometría y Trigonometría  

TRIGONOMETRÍA  FECHA: octubre 2008          FILA 1  1. Un polígono tiene 90 diagonales. La mitad de cada ángulo interior mide:  a) 156°  b) 39°  c) 78°  d) 45°  e) 18°30   2. En un hexaedro su diagonal mide  . La expresión   corresponde:  a) Al área lateral  b) Al área de las dos bases  c) Al área total.  d) A la mitad del área total  e) Al área de una cara  3. La base de una pirámide es un triángulo equilátero de lado  , las aristas miden 2 . La  altura de la pirámide expresada en función de   y en   es:  a)

5

33   6

33   3

b)

33   6

c)

d)

33   12

e)

2

33   3

4. Un prisma recto tiene como base un hexágono regular cuyo lado mide 3  la altura del prisma  mide igual que la diagonal de la base. El volumen del prisma expresado en   es:    b) 54√3  c) 81√3  a) 27√3  5. En un cilindro de revolución, su diámetro de base mide   

2

 

d) 13,5√3  , su altura mide 

 corresponde: 

a) Al cociente entre el volumen y el diámetro de la base.  b) A la suma de las áreas de las dos bases.  c) Al área lateral.  d) Al área total.  e) Al triple del área lateral.  6. Si el arco   es del primer cuadrante y    es del cuarto cuadrante. Siendo   sen ) es:  cos 13/85. El valor de la expresión tg a) 2,09  b) 2,09  c) 2,51  d) 2,51  e) 1,47    FECHA: 2013  )

)

sec

1. En la identidad  

 . Calcular 

2  

a) 5     

Cursillo Pi         

e) 162√3  . La expresión 

 

 

57 

Ing. Raúl Martínez 

33/65  y 

Geometría y Trigonometría  

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

EVALUACIÓN FORMATIVA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA  FECHA: 31/05/2013          FILA 1  El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al  doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento  del mismo ángulo. El suplemento del doble de la medida del ángulo es:  a) 120°  b) 45°  c) 135°  d) 600°  e) 75°  ) ) ) ) . El  En la recta se ubican los puntos consecutivos  ,  y  , si  valor de   es:  a)   b) 2   c) /2  d) /4  e) 4   En la siguiente figura  . El ángulo conjugado interno de   mide:  a) 60°  b) 125°  2 50° c) 160°  3 5° d) 90°  e) 55°    La razón de semejanza del triángulo   con el triángulo   es de 3:4. Si los lados del  primero son 18,21  y 30, entonces los lados del segundo son:  a) 24 ; 45 ; 60      b) 14 ; 15 ; 24  c) 28 ; 40 ; 24  d) 8 ; 25 ; 10  e) 13,5 ; 15,75 ; 45  En un triángulo  ; 10 ; 4  y   8; se traza una bisectriz interior  . El triple de  la diferencia de las medidas de los segmentos   y   es:  a) 17,5  b) 10,29  c) 2,86  d) 5,71  e) 14,2  La media proporcional entre las dos terceras partes de 40 y la razón reciproca de la tercera  proporcional de 8 y 6 es aproximadamente:  a) 2,58  b) 6,93  c) 101,82  d) 13,86  e) 2,43    El pentágono de la figura es regular, si  72°, entonces   mide:  a) 108°  b) 72°  c) 60°  d) 54°  e) 36°    Dada la siguiente figura, los puntos   y   del cuadrado   pertenecen a los lados   y    del cuadrado  a) 15°  b) 20°  c) 22,5°  d) 25°  e) 30° 

Cursillo Pi         

. Si 

70° entonces 

 mide: 

70°

 

58 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

9. En el rectángulo  ,   y   10°. El ángulo   mide:  a) 130°  b) 110°  c) 100°  d) 70°  e) 55°    10. Se forman cuatro triángulos congruentes al trazar las diagonales de un:  I. Rombo  II. Rectángulo  III. Romboide   Es/son verdadera/s:  a) Solo I  b) Solo II  c) Solo III  d) Solo I y II  e) I, II y III  11. En la figura    y  . El valor de   si  100°, es:  a) 30°    b) 50°  c) 45°      d) 40°  e) 55°    12. En la figura:  . Entonces:  a)   45°  b)   60°  c)  2 3   d)  2   e)     13. De los puntos notables de un triángulo, hay dos que podrían no ubicarse en el interior del  triángulo según el tipo de triángulo. Estos son:  a) Baricentro y ortocentro  b) Circuncentro y baricentro  c) Incentro y baricentro  d) Incentro y ortocentro  e) Ortocentro y circuncentro  14. Dado un triángulo de lados de 4 ,5  y 6 , la altura correspondiente al lado menor es:  a) 3,31   b) 3,96   c) 4,76   d) 4,86   e) 4,96   15. De las siguientes afirmaciones:  I.

Cada ángulo interno de un polígono convexo de   lados mide: 

°

)

 

II.

El número de diagonales que se pueden trazar desde dos vértices consecutivos en un  polígono convexo de   lados es: 2 3)  III. No existe polígono cuyo número de lados coincida con su número de diagonales  IV. El polígono base de un polígono estrellado es un hexágono regular, entonces el ángulo en  cada punta de la estrella mide 30°  Es/son falsa/s:  a) Ninguna  b) Solo una  c) Solo dos  d) Solo tres  e) Todas  Cursillo Pi         

 

59 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

16. Dadas las afirmaciones siguientes:  I. Si el lado terminal de un ángulo en posición normal pasa por el punto  ; ), entonces el  ángulo se encuentra en el primer cuadrante.  II. La función cosecante en el cuarto cuadrante tiene signo contrario al del seno en el primer  cuadrante.  III. Las funciones tangentes y cotangente son cofunciones y reciprocas a la vez.  IV. La función coseno es positiva en los cuadrantes en que su cofunción es creciente.  Podemos asegurar que en el orden en que aparecen son:  a) FFFF  b) VVFV  c) FFVV  d) FVVV  e) VVVV  arcsen

17. Sean 

3  y  2

1), entonces el valor de 

arccotg

a) 195°  b) 15°  c) 255°  d) 75°  e) Todas las anteriores    18. Sabiendo que 0 , entonces para que la expresión  sen debe de cumplir que:    a) b) 0

3 2

) puede ser: 

2

3  tenga sentido, se 

 

2   

c)

2 

d) 2

3   2

e) 1,5 2  19. Uno de los ángulos internos de un triángulo mide 120° y los otros dos     e  , tales que  √

, la diferencia en radianes entre las medidas    e   es aproximadamente: 

a) 0,09  b) 0,17  c) 0,35  d) 0,44    20. El triángulo de la figura tiene perímetro  , el valor de   es:  sen

sen

2 sen   sen sen sen c)   sen sen

sen

 

cos

 

a)  

sen sen

e) 0,52 

 

b)  

) 

d)   tg e)  

sen

cos cos

  21. Las avenidas San Martin y España ambas rectilíneas se cruzan según un ángulo de 30°. El puesto  de estación de servicio Estrella del Sur, se encuentra sobre la Av. San Martin siendo la distancia  más corta entre la estación de servicio y la Av. España de 2000 metros. La distancia a que se  encuentra la estación de servicio Estrella del Sur del cruce, en  , es igual a:  a) 4  b) 12  c) 2  d) 2√3  e) √3  Cursillo Pi         

 

60 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

)

)

sec

22. Se sabe que  igual a:  a) 1 

b) 0 

c) 1 

d) 2 

23. La suma de las soluciones de la ecuación 2 cos 360° 360° es:  a) 390°  b) 780°  c) 330°  24. Sabiendo que sen 5 cos 3,  con  0 a) √2   

b) √2/4 

sen

4 tg 4 tg3     tg4 5 tg2 1

b)

4 tg 4 tg3     tg4 6 tg2 1

c)

4 tg 4 tg3   tg4 4 tg2 1

d)

4 tg 4 tg3   tg4 3 tg2 1

e) 3 

3

0 en el intervalo 

d) 300°  /2, el valor de sen d) 2 

11 .cotg cos 9

a) sen   b) cos   c) sen 26. La expresión tg 4  es idénticamente igual a:  a)

3√3 cos

c) √2/2 

7 25. Al simplificar la expresión: sen 2

2  es 

  es una identidad, entonces 

 

11 2

e) 0°  cos  es igual a:  e) 0 

 se obtiene como resultado:  d)

cosec

 

e)

sec

 

 

4 tg 4 tg3 e) 4   8 tg2 1 tg

) . sen )  es idénticamente igual a:  27. La expresión: sen cos   a) cos b) cos 2. cos   c) cos cos   d) cos 2. cos   e) cos cos   28. Al transformar en producto la expresión:  sen 5 sen   se obtiene:  a) sen 5 . sen   b) sen 6 . sen 4   c) sen 3 . sen 4   d) sen . sen 4   e) sen . sen 6   29. En la figura se tiene la circunferencia trigonométrica y algunas trigonométricas. Si  entonces   es igual a:  a)  sen cos   b)  tg cotg   c)  cosec sen   d)  cosec sec   e) 1  Cursillo Pi         

 

61 

Ing. Raúl Martínez 

 

Geometría y Trigonometría  

30. Si cotg cosec a) sec

0, entonces: 

1

tg

b) sec

1

c) cos

√1

d) cos

√1

 

tg

 

sen sen

   

e) sen √1 cos     Prof. Ing. Gary F. Lozano  1. Hallar el semiperimetro del triángulo, cuyos vértices son:  1, 2); 4 , 2); 3, 5).  a) 21,30  b) 23,10  c) 20,31  d) 10,65  e) 15,60  2. El triángulo de vértices:  6 , 7); 8, 1); 2, 7) es:  a) Rectángulo  b) Equilátero  c) Escaleno  d) Isósceles  e) No se forma    3. Hallar las coordenadas del circuncentro del triángulo cuyos vértices son:  2, 8); 6, 1); 0, 4)    a) 4, 4)  b) 4 , 5)  c)   4 , 9/2)  d) 4 , 9/2)  e) 4 , 3)  4. Hallar la distancia entre el ortocentro y el circuncentro del triángulo cuyos vértices son:  0 , 9); 4 , 1); 3 , 2)  a) √26  b) √29  e) √28  d) √30  c) √27  5. La figura formada por los puntos:  1, 5); 2 , 1); 1 , 5); 2, 1) tiene:  a) Dos lados perpendiculares  b) Un par de lados paralelos  c) Dos pares de lados paralelos  d) Ningún par de lados paralelos  e) Dos lados paralelos y dos lados perpendiculares  6. Las coordenadas del punto que equidista de los puntos  2, 3); 4 , 1) y  5 , 2) es:  a) 3, 1)  b) 3 , 1)  c) 3 , 1)  d) 3 , 1)  e) 1 , 3)  7. Dados los siguientes puntos:  I) 2, 3); 6, 1); 10, 1)  II) 1 , 2); 3 , 10); 4 , 4)  La afirmación correcta es:  a) En   I)   se forma un triángulo y en   II)   no.  b) En   I)   no se forma un triángulo y en  II)  sí.  c) Los puntos en   I)   y   II)  son colineales.  d) En   I)   y en   II)   se forman triángulos.  e) Dos son correctas.  8. Hallar el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto  3, 6).  a) 3, 2)  b) 3, 14)  c) 3, 2)  d) 3, 2)  y  3, 14)  e) 3, 2)  y  3, 14)  Cursillo Pi         

 

62 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

9. Si  a) b) c)

2, 5);

6, 3)  y 

3/4. Hallar las coordenadas de 

, ), tal que 

b) c) d) e)

. 

26 11 ,   7 7 26 11 ,   7 7 26 11 ,   7 7

d) 4 , 2)  e) 2 , 4)  10. Las coordenadas del baricentro de un triángulo con vértices:  3, 6); a)

⁄

5 2 ,   3 3 5 3 ,   3 2 5 2 ,   3 3 5 3 ,   3 2 1 2 ,   3 3

5, 2); 7 , 6) son: 

 

11. La ecuación de la recta que pasa por el punto  2, 5) y forma un ángulo de 45° con  3 6 0  es:      a) 2 1 0  b) 2 1 0  c) 2 1 0  d) 2 1 0  e) 1 0  12. Uno de los ángulos interiores del triángulo con vértices:  3, 1); 4, 4); 2, 3) es:  a) 113°  b) 90°29,4   c) 113°29,9   d) 64° 5   e) 87°5 12"  13. Sabiendo que el punto  9, 2) divide al segmento que determinan los puntos  6, 8) y  , )  en la relación  3/7. Hallar las coordenadas de  .  a) 16, 12)  b) 16, 12)  c) 16, 12)  d) 1 , 2)  e) 16 , 12)  14. Hallar el área de un triángulo, sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados  son:  2, 1); 5, 2) y  2, 3)  a) 55,6  b) 64,0  c) 16,0  d) 9,3  e) 37,1  15. La pendiente de una recta que pasa por los puntos  , 2)  y  , 5) corresponde a una recta:  a) Perpendicular al eje    b) Perpendicular al eje    c) Paralela al eje    d) No se puede afirmar nada  e) Don son correctas  16. La ecuación de la mediatriz al segmento cuyos extremos son  5, 1) y  7, 5)  a) 2 3 0  b) 2 3 0  c) 2 3 0  d) 2 3 0  e) 2 3 0 

Cursillo Pi         

 

63 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

17. La pendiente de una recta que pasa por el punto 

3, 2) es  . Hallar dos puntos sobre esta recta 

que disten 5 unidades de    a) 7, 5); 1, 1)  b) 1 , 1); 7, 5)  c) 7, 5); 1, 1)  d) 7, 5); 1, 1)  e) 7, 5); 1, 1)  18. El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos  4, 5) y  3 , ) con la que pasa por  2 , 4) y  9 , 1). Es de 135°, el valor de   es:  a) 9  b) 7  c) 3/11  d) 11/3  e) 8  19. La recta   forma un ángulo de  /3 con  , si la pendiente de   es tg /4. Hallar la pendiente  de  .  b) c) √3  d) √3 1  e) 1 √3  a) √3 2   √3 2   20. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto  2, 5) y forma un ángulo de 45° con la recta  3 6 0  a) 2 1   0  b) 2 1 0  c) 2 1 0      d) 2 1 0  e) 2 1 0  ); , ); , ).  21. Hallar el área del triángulo, cuyos vértices son:  , a) 1  b)   c)   d) 9  e)     Prof. Ing. Gary F. Lozano  Fecha: 19 de noviembre de 2008  1. Si a mitad del complemento de un ángulo   la sumamos el doble de la medida del ángulo, resulta  el suplemento del ángulo. La medida del ángulo es:  a) 36°  b) 54°  c) 45°  d) 22°,5  e) 67°,5  2. Observando la gráfica:  ,  y   son paralelas y distantes    y 2  metros,   forma 30° con    y   forma 60° con  . La distancia   expresada en   y en función de   es:  1 a)  4 √5  b)  

√39 

c)  

√15 

d)  

√13 

2 2 3

e)  2 √5  3. En un trapecio isósceles, la base mayor mide  las bases. La expresión  a) b) c) d) e)

 y la altura mide la semisuma de 

√2 corresponde: 

Al perímetro  Al área  A la mitad del perímetro  A la medida de la diagonal  Al cociente entre su área y su perímetro 

Cursillo Pi         

, la menor 

 

64 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

4. Dado un triángulo   cualquiera, al unir los puntos medios de sus lados, queda formado otro  triángulo  . De las afirmaciones siguientes, la incorrecta es:  a) La relación entre las áreas de los triángulos   y   es 1 a 4.  b) La relación entre los perímetros de los triángulos   y   es 1 a 2.  c) Los circuncentros de ambos triángulos no coinciden.  d) Los incentros de ambos triángulo no coinciden.  e) Los baricentros de ambos triángulos no coinciden.  5. Dentro de un cuadrado de lado  , se desea construir un rectángulo de dimensiones   y 2  de  manera que al menos dos vértices del rectángulo coincidan con los del cuadrado y cuya diagonal  sea la mayor posible. La longitud de dicha diagonal en función del lado del cuadrado es:  e)   b) √3  c) √2  a) √5  d) √5/2  6. Dentro de la circunferencia de radio   se trazan dos circunferencias de radios iguales a  /2 y  otros dos más pequeñas de radio  . El área sombreada expresada en función a   es:  a)

 

2

b)

 

2

c)

 

2

d)

 

e)

 

2

   

 

 

 

 

  2

 

7. En el rombo de la figura, la diagonal menor mide igual al lado   del rombo. El área sombreada  expresada en función al lado   del rombo es:  3√3  

a)   b)  

2

3√3   3√3  

c)   d)  

2

3√3  

e)  

2

3√3  

8. Marcar la expresión incorrecta:  a) Si se inscribe un triángulo rectángulo en una circunferencia, la hipotenusa siempre coincide  con el diámetro.  b) Si se inscribe un rectángulo en una circunferencia, una de las diagonales siempre coincide con  el diámetro.  c) Si dos cuerdas se cortan en un punto interior del círculo los segmentos son recíprocamente  iguales.  d) La suma de los diámetros de las circunferencias circunscrita e inscrita a un triángulo  rectángulo isósceles es igual a la suma de los catetos.  e) Si en una circunferencia se inscribe un hexágono regular y un triángulo equilátero, el lado del  triángulo es el doble que el lado del hexágono.  Cursillo Pi         

 

65 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

10

9. Observando la figura:  . El área del triángulo 

 expresada en 

,

 y   son puntos medios de 

 y 

 es: 

a)  25√3  b)

  √3 

c)

  √3 

d)

  √3 

e)  75√3  10. En el triángulo   la base mide  . La altura mide  6 . Por el vértice   se trazan dos rectas  que cortan al lado   en los puntos   y  , estos segmentos dividen al triángulo en tres triángulos  de áreas iguales. El ángulo   es mayor que el  . La distancia de   a la base   del triángulo  expresada en   es:  a) 2  b) 3    c) 4  d)

  √3 

 

 

e)  6    11. Un polígono tiene 90 diagonales. La mitad de cada ángulo interior mide:  a) 156°  b) 39°  c) 78°  d) 45°  e) 18°30’    12. En un hexaedro su diagonal mide  . La expresión   corresponde:  a) Al área lateral.  b) Al área de las dos bases.  c) Al área total.  d) A la mitad del área total.  e) Al área de una cara.  13. La base de una pirámide es un triángulo equilátero de lado  , las aristas miden 2 . La  altura de la pirámide expresada en función de   y en   es:  a)

5

33   6

b)

33   3

c)

33   6

d)

33   12

e)

2

33   3

14. Un prisma recto tiene como base un hexágono regular cuyo lado mide 3 , la altura del prisma  mide igual que la diagonal de la base. El volumen del prisma expresado en   es:  b) 54√3  c) 81√3  a) 27√3  15. En un cilindro de revolución, su diámetro de base mide  2

a) b) c) d) e)

 corresponde: 

Al cociente entre el volumen y el diámetro de las base.  A la suma de las áreas de las dos bases.  Al área lateral.  Al área total.  Al triple del área lateral. 

Cursillo Pi         

d) 13,5√3  , su altura mide 

 

66 

Ing. Raúl Martínez 

e) 162√3  . La expresión 

Geometría y Trigonometría  

16. Si el arco   es del primer cuadrante y   es del cuarto cuadrante. Siendo sen ) es:  cos 13/85. El valor de la expresión tg a) 2,09  b) 2,09  c) 2,51  d) 2,51  17. El valor de la expresión: 

33/65  y   e) 1,47 

 es: 

)

a) 1  b) 2  c) cos   d) sec   e) 1/2  18. Se trazan dos circunferencias de radios iguales de   dentro del paralelogramo  , cada  circunferencia es tangente a tres lados del paralelogramo y a la otra circunferencia trazada. El  área del paralelogramo expresada en función de   es:  a) b) c) d) e)  

 4  4  8  6  2

√3      √3   

60°

  )

19. Al simplificar   

  se obtiene: 

)

 

a) tg tg   b) cotg   c) cotg   d) tg

tg  

e) tg   20. El producto de cinco funciones trigonométricas de un ángulo agudo es 1. La medida de dicho  ángulo es:  d) 60°  e) 90°  a) /6  b) /3  c) 50   21. En el círculo trigonométrico de la figura, el valor de   en función de   es:  a)  sec tg   b)  sec tg   1 cos   sen

c)  

1 cos   cos sen e)     1 cos

d)  

  22. De las afirmaciones siguientes la falsa es:  Se pueden calcular todos los elementos de un triángulo si se conocen:  a) Un lado y dos ángulos.  b) Dos lados y el ángulo comprendido.  c) Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.  d) Dos ángulos.  e) Dos lados y dos ángulos cualesquiera.    Cursillo Pi         

 

67 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

/2, el valor de  

23. Si 0 sen a) b) c) d) e)

2 2 sen   2 cosec   2 sen   0  2 cosec  

2

24. Dado cos a)

2

2

2 

2

)

cos

tg

2

2

2

sec

)

cotg 2

2

) es: 

cosec

0 y    del segundo cuadrante, el valor de tg  es: 

2  , con 

b)

3 2

2 

2

c)

2

2 

d)

2 2

2 

e)

2 2

2

2 

25. Se sabe que 1 √2 tg √2 sec    y  que 1 √2 tg √2 sec   y además   e   son ángulos  agudos de un triángulo rectángulo isósceles. El valor de sec sec  es:  a) √2/2 

b) √2

26. Si  a) b)

0,

d) √2⁄3 

. El valor de 

e) √2

2 

 es: 

  2

c) d) e)

;

 

c) 3√2⁄2 

2 

 

 

 

    2

  3 tg

27. Dada la ecuación tg ecuación es:  a) 23° 

4 uno de los valores de   en el primer cuadrante que satisface la 

b) 22° 

c) 22°30’ 

45°, el valor de 

28. Si 

d) 45° 

e) 75° 

 es: 

a) 1  b) 1/2  c) 1  e) √2/2  d) √2/2  29. Desde el pie de un poste, el ángulo de elevación al punto más alto de un campanario es 45°.  Desde la parte más alta del poste, que tiene 9  de altura, se divisa el mismo punto bajo un  ángulo de elevación de 30°. La altura del campanario es:  a)

9 3 9   2

b)

27 3   2

c)

9 3 27   2

30. Si   es la longitud de la hipotenusa de un triángulo  triángulo   se puede expresar como:  )  a) 1⁄4) sen b) 1/4) sen 2   c) 1/4) tg   d) 1/2) cotg   e) 1/2) tg      

Cursillo Pi         

d) , 

3 9   2

68 

9 27 3   2

90°); entonces el área del 

 

 

e)

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

Guía de ejercicios N° 1 de Geometría y Trigonometría  Profesor: M.Sc. Osvaldo Vega  ,

1. Se tiene los ángulos consecutivos  3 a) 10° 

. Hallar la  b) 15° 

4.

5.

6.

7.

8.

60° y 

c) 20°  ,

,

d) 25°  ,

 y 

; tal que 

e) 30°  180°, 

90° y  3 . Hallar la   sabiendo además que las semirrectas   y   son las bisectrices de los ángulos   y   respectivamente.  a) 54°  b) 44°  c) 37°  d) 48°  e) 52°  Si el complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual a  la diferencia entre el complemento del ángulo y el suplemento del suplemento del mismo. Hallar  el suplemento de complemento del ángulo.  a) 100°  b) 115°  c) 120°  d) 135°  e) 120°    Las sumas de los complementos y suplementos de las medidas de dos ángulos es igual a 230°. Si  se sabe que la diferencia de las medidas de ambos ángulos es 15°. Calcular el complemento, de la    medida del mayor ángulo.    a) 20°  b) 15°  c) 10°  d) 5°  e) 8°  El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al  doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento  del mismo ángulo. Calcule el suplemento del doble de la medida del ángulo.  a) 120°  b) 45°  c) 135°  d) 60°  e) 75°  Según el grafico  ;   y   . El valor de   es:  a) 25°  b) 40°  6 c) 10°  d) 30°  e) 20°  2 Si  . Calcule el valor de    a) 150°  2 b) 130°  c) 120°  d) 160°  e) 135°    Si  . Calcule la relación de   y    a) 1  b) 1,5  c) 2  d) 2,5  e) 3     

Cursillo Pi         

3

; tal que: 

 

2. Se tienen los ángulos consecutivos 

3.

 y 

 

69 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

∆ 9. En el gráfico:   es equilátero y   . Calcule el valor de  .  a) 100°  b) 115°  c) 105°  d) 120°  e) 110°    10. Si  130°. Calcule 2 .  a) 10°  b) 20°  2 c) 30°  d) 40°  e) 50°  11. Calcule el valor de  , si   y  .  a) 10°    b) 15°  c) 12°      d) 18°  e) 24°  3   12. En la figura adjunta se tiene el triángulo isósceles   en el que se inscribe el triángulo  equilátero  . La relación correcta entre  ;  y   es:  a)  

  0 

b)   c)  

2

 

d)  

2

 

e)  

  2 13. En la figura  36. Calcule el mayor valor entero de  .  a) 20  b) 21  10 c) 22  d) 25  e) 26  8     14. Calcule   sabiendo que es un entero y además se cumple que  a) 82°  b) 83°  c) 84°  d) 85°  e) 86°  4° Cursillo Pi         

 

70 

. 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

15. En un triángulo   se traza la mediatriz de   que intercepta al lado   en  . Calcule el  máximo valor entero de   si  8 y  12.  a) 17  b) 19  c) 20  d) 22  e) 24  16. En un triángulo   donde  25; se traza   perpendicular a la bisectriz interna del ángulo  , luego se une al punto medio   de   con  . Calcule   si  4.  a) 18  b) 15  c) 16  d) 17  e) 21  17. En la figura, calcular  , si   es un número entero.  a) 75°  b) 80°  c) 85°  2 1 6 d) 90°  e) 95°    3 1 ). Si  18. En la figura el triángulo   es isósceles  30°,  y  ,  calcule  .    a) 76°  b) 85°      c) 55°  d) 65°  e) 75°    19. Del gráfico, calcular el valor de  .  a) 30°  2 b) 40°  3 c) 37°  d) 60°  2 e) 53°    20. En un triángulo   se tiene que  5, 6 y  8. Se traza la mediana   y la bisectriz  del ángulo  , las cuales se intersectan en el punto  , por el cual se traza una recta paralela al  lado   que intersectan al lado   en el punto  . Hallar  .  a) 8  b) 3  c) 3/8  d) 8/3  e) 3/5  21. En la figura,   es paralela a  , 18, 27 y  36. Hallar el valor de   para que el  perímetro del triángulo   sea igual al perímetro del trapecio  .  a) 14,25  b) 16,2  c) 12,5  d) 18,2  e) 19,25        Cursillo Pi         

   

71 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

Guía de ejercicios N° 2 de Geometría y Trigonometría  Profesor: M.Sc. Osvaldo Vega  1. Hallar el número de lados de un polígono regular tal que si tuviera 6 lados menos; la medida de  un ángulo externo aumentaría en 80°.  a) 5  b) 6  c) 7  d) 8  e) 9  2. Un polígono tiene dos lados más que otro, pero su ángulo central mide 30° menos que la medida  de otro. ¿Cuántos lados tiene el polígono?  a) 5  b) 7  c) 6  d) 8  e) 3  3. La suma de las medidas de cinco ángulos internos consecutivos de un heptágono convexo es igual  a 700°. Calcular la medida del menor ángulo formado por las bisectrices de los otros dos ángulos  internos de dicho polígono.  a) 60°  b) 50°  c) 70°  d) 80°  e) 90°  4. Al triplicar el número de lados de un polígono regular, la medida del ángulo central es  2)°,  siendo   el número de lados del polígono. Hallar la medida del ángulo interno de dicho poligono.  a) 150°  b) 120°  c) 130°  d) 140°  e) 150°  5. En un polígono se cumple que el cuádruple del número de diagonales es igual al cuadrado de la    cantidad de vértices. Calcular el número de diagonales que se puede trazar de dos vértices  consecutivos.  a) 9  c) 6  d) 4  e) 5    b) 8    6. Desde 5 vértices consecutivos de un polígono se trazan 59 diagonales. Hallar el número de  diagonales de dicho polígono.  a) 16  b) 100  c) 104  d) 150  e) 144  7. En la figura,  ,   y  ℓ son paralelas entre si, así mismo   y   lo son. Si  3,  5,  6  y   3 , hallar    a) 1,4  b) 1,5  c) 1,6  d) 1,8  e) 1,9  ℓ   8. En un rectángulo, el lado  40 y  20 ¿A qué distancia de   debe estar   para que la  diagonal   sea bisectriz del ángulo  ?  a) 5  b) 10  c) 15  d) 20  e) 25    9. En la figura, calcular    a) 3  b) 4  c) 5  6 d) 6  e) 8  2

Cursillo Pi         

 

72 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

10. En la siguiente figura   es punto de tangencia. Si  4, entonces el área de la circunferencia  es:  a)  6   b)  8   c)  10   d)  12   e)  5     11. En el paralelogramo   por   se traza una recta que corta a la diagonal   en  , al lado    en  , y a la prolongación del lado   en  . Si  1 y  8. Hallar    a) 1  b) 2  c) 3  d) 4  e) 5  12. Hallar  , si  ; , 3  y   9.  a) 8  b) 6  c) 4  d) 5    e) 3       

) ) 120  13. En un triángulo   se traza la bisectriz interior  . Hallar  , si  2 ;  y  20.  a) 6  b) 5  c) 8  d) 7  e) 9  14. En la figura,   es un romboide. Si  3, 4 y  9. Halle  .  a) 6  b) 8  c) 10  d) 12  e) 14    ), las alturas   y   se intersectan en  , tal que:  15. En un triángulo isósceles  1 y  8. Calcula  .  a) 3  b) 4  c) 6  d) 8  e) 9  16. En un triángulo  , se traza la bisectriz   y luego por  , una paralela a  , de modo que  intersecta a   en  . Hallar   si  5  y  6.  a) 13/7  b) 25/11  c) 21/4  d) 49/5  e) 3/8     

Cursillo Pi         

 

 

73 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

Guía de ejercicios N° 3 de Geometría y Trigonometría  Profesor: M.Sc. Osvaldo Vega  1. El triángulo   es isósceles y además  . La medida del ángulo en el  vértice   es:  a) 15°  b) 20°  c) 25°  d) 28°  e) 30°    2. En la figura,   y  , las medidas de   y   son respectivamente:  a) 50°  y  80°  b) 54°  y  80°  46° c) 50°  y  84°  d) 54°  y  84°  e) 50°  y  76°    30° 20°   3. En un triángulo obtusángulo  , el ángulo interior en   mide 110°. Si   es el ortocentro, el      ángulo   mide:  a) 60°  b) 80°  c) 70°  d) 75°  e) 65°  4. En un triángulo equilátero  , de 8  de lado, se traza   paralelo al lado  , de modo que  el triángulo se descompone en un trapecio y un nuevo triángulo. El valor de   para el cual el  perímetro del trapecio sea igual al del triángulo   es:  a) 2   b) 3   c) 4   d) 5   e) 6   5. En la figura, el triángulo   es isósceles,   es base y  , altura relativa al lado  . Si  3  y  1, entonces   vale:  a)  1  b)  2  c)  √5  d)  √6  e)  3  6. El rombo   está inscripto en el triángulo  del rombo mide, en metros:  a) 5  b) 3  c) 2  d) 4  e) 8  7. El triángulo   de la figura es equilátero.  a) 76/11  b) 77/11  c) 78/11  d) 79/11  e) 80/11  Cursillo Pi         

 

74 

. Si 

12

5 y  

,

8

 y 

6. El valor de 

Ing. Raúl Martínez 

6

 es: 

, el lado 

Geometría y Trigonometría  

8. En un trapecio, cuyos lados paralelos miden 4 y 6, las diagonales se intersectan de modo que los  menores segmentos determinados en cada una de ellas miden 2 y 3. La medida de la menor  diagonal es:  a) 3  b) 4  c) 9/2  d) 3  e) 15/2  9. Sean los triángulos rectángulos   y  , siendo   y   los vértices de los ángulos rectos.  Entonces, la proposición falsa es:  ∆ ∆ a) Si  , entonces  ~ .  ∆ ∆  y  , entonces  ~ .  b) Si  ∆ ∆  y  , entonces  .  c) Si  ∆ ∆ , entonces  ~ .  d) Si  ∆ ∆  y  , entonces  .  e) Si  10. De los cuatro puntos notables de cualquier triángulo, hay dos que podrían no ubicarse en el    interior del triángulo conforme el tipo del triángulo. Estos puntos son:  a) El baricentro y el ortocentro.    b) El baricentro y el incentro.    c) El circuncentro y el incentro.  d) El circuncentro y el ortocentro.  e) El incentro y el ortocentro.  11. En un triángulo una base mide 60 , la altura y la mediana en relación a esa base miden,  respectivamente, 12  y 13 . Los otros dos lados del triángulo miden, en centímetros:  a) √761  y  √1320  b) √769  y  √1369  c) √513 y  √819  d) 5 y 7  e) 14 y 19  12. En el rectángulo   de lados  4  y   diagonal  . El segmento   mide:  a) 3/2  b) 12/5  c) 5/2  d) 9/5  e) 2    13. En la figura,   es un rectángulo.  4, a) b) c) d) e)

1 y 

 es perpendicular a la 

. Entonces 

√5/4  5/2  9/4  11/4  5/√2 

Cursillo Pi         

3, el segmento 

 

75 

Ing. Raúl Martínez 

 vale: 

Geometría y Trigonometría  

14. La suma de los cuadrados de los tres lados de un triángulo rectángulo es igual a 32. La hipotenusa  del triángulo mide:  a) 6  b) 8  c) 3  d) 4  e) 5  15. En la figura,   es un rectángulo. La medida del segmento   es:  4 a)  0,8  b)  1,4  c)  2,6  3 d)  3,2  e)  3,8        Guía de ejercicios N° 4 de Geometría y Trigonometría  Profesor: M.Sc. Osvaldo Vega  1. Los arcos cuyo coseno es √2 pueden estar en los cuadrantes:    b) 1° y 2°  a) 1° y 4°  c) 1° y 3°  d) 2° y 3°  2. Todos los valores de  , de modo que la expresión sen a)

1

3. Si  a)

1 

 

b)

3 /2  y cos 1; 0)  b)

1

0 

c)

 

1

2 2  d)

3

e) N.d.a 

1  exista son:  1

0,5  e)

2 1; entonces,   varia en el intervalo:  1; 0)  c) 0; 1/2)  d) 0; 1) 

1

1/3 

e) 1/2; 1) 

4. El menor valor que asume la expresión 6 sen   para   variando de 0° a 360° es:  a) 7  b) 6  c) 5  d) 1  e) 1  5. Los cuadrantes donde están los ángulos  ,   y    tales que: sen 0  y  cos 0; cos 0 y  tg 0; sen 0 y  tg 0; son respectivamente:  a) 3°, 2°, 1°  b) 2°, 3°, 1°  c) 3°, 1°, 2°  d) 1°, 2°, 3°  e) 3°, 2°, 2°  6. Si   e   satisfacen 0 /2. Se cumple que:  a) sen sen   b) cos cos   c) tg tg   d) sec sec   e) cosec cosec   7. La función que mejor se adapta al gráfico es:  a)  

sen  

b)  

cos  

c)   d)   e)      

sen 2   cos 2   sen  

8. Si sen a) 3/4  Cursillo Pi         

2

1

2

0

2

3

4

1

24/25  y  sec  es negativa, entonces el valor de  b) 3/5 

c) 5/4   

76 

1 cos   es:  1 cos

d) 4/3  Ing. Raúl Martínez 

e) 1/2 

Geometría y Trigonometría  

9. Si sen a)

1

, entonces, 

1   2 1

b)

2

10. Las raíces de la ecuación 2 de   es:  a) 0  b) 2  11. La expresión  a) b) c) d) e)

  es igual a:  1   1

c)

 

1

1

d)

2

1   1

e)

1   2 1

0 son sen   y cos , siendo   un número real. El valor  c) 4 

d) 5 

e) N.d.a 

 es idénticamente igual a: 

cotg   sec   sen cos   tg sec   cosec  

12. La expresión 

  es equivalente a: 

a) cos sen    b) cos sen   c) cos       d) sen   e) N.d.a  13. Las raíces de la ecuación  2 tg ) 1 0 son:  a)tg cosec   b) tg cos   c) tg sec   d) N.d.a  14. El valor de  , para el cual  cos sen ) sen cos 1 0 es una identidad, es:  a) 1  b) 2  c) 0  d) 1  e) 2  15. En la figura el radio   de la circunferencia vale 6. El segmento   vale 3 y  . La medida en  radianes, de   es:  a)   /3  b)   /6  c)   /4  d)   /9  e)  3 /8    16. Considere la figura abajo. La longitud del segmento   es:  a)  √2 1/2  b)  √2 1/√2  c)   √2 1  d)  1 √2/2  e)  √2 1    17. Sabiendo que 

45°

/3  y   /2, entonces, sen sen  es igual a:  d) 1/2  b) 1  c) √3/2  a) √2/2  e) √2  18. El seno de uno de los ángulos agudos de un rombo es igual a 1/2, por lo tanto la tangente del  mayor ángulo interno es:  a) 1  b) √3/2  c) √3/3  d) √3/3  e) √3/2 

Cursillo Pi         

 

77 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

19. Dado el ángulo  1782°, entonces:  a) sen sen 18° ; cos cos 18° ; tg tg 18°  b) sen sen 18° ; cos cos 18° ; tg tg 18°  c) sen sen 18° ; cos cos 18° ; tg tg 18°  d) sen sen 18° ; cos cos 18° ; tg tg 18°  e) sen sen 18° ; cos cos 18° ; tg tg 18°  )

°

20.

)

° )

°

°

a) cotg  

b)

)

°

)

°

)

°

)

°

)

tg  

1 

c)

 es igual a:  d) 1 

e) N.d.a 

21. Se sabe que tg 75° 2 √3  y tg 60° √3. El valor de tg 15° es:  a) 1/3  c) √3  d) 2 √3  e) 2 √3  b) √3  22. La expresión  sen cos cos 2 cos 4 cos 8 cos 16 cos 32  es equivalente a:  a) sen 36   b) sen 64   c) cos 64   cos 64   2 sen 64   e) 2

 

d)

 

 

23. Sabiendo que cos 2 2/3, entonces el valor de tg  es:  a) 11/5  b) 1  c) 3/5  d) 6/5  24. Si   es un ángulo del primer cuadrante y sen , la expresión 2 cos a) 2 1 2 )  b) 2 1 2 2 )  c) 2 1 2 ) 4 √1   )  d) 4 1 e) N.d.a  25. Si tg , entonces, cos 2 sen 2  es equivalente a:  1   1 1 2 b) 1

e) 1/5  sen 2  es igual a: 

a)

c) 1 d) 1 e)

  2

1 2 1

26. Si tg a) 15°  27. Sea 0 a)  tg

2

b)  tg

2

c)  tg

2

d)  tg e)  tg Cursillo Pi         

 

2

     y tg 2

3 , 0, el ángulo   mide:  b) 60°  c) 45°  d) 30°  /2. De la figura de abajo se puede concluir directamente: 

tg   2 sen   1 cos 1 cos   sen sen   1 cos 1 sen   1 sen

e) 22°30’ 

0 , 1)

1 , 0)

 

78 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

28. Si cotg a) b) c) d) e)

√3, entonces: 

2

sen sen sen sen N.d.a 

√3/2  √2/3  1/2  1 

29. Simplificándose la expresión  a) sen  

, se obtiene: 

b) cos  

30. La expresión tg a) 2 sen  

c) tg  

cotg  para 0

2

b) 2 cos   ,

c) 2 tg   0  y  

b)

√

4

4

 

e) √3 sen

3

 

2 sen 2

a) 2 cos 2 sen

sen 60°, se obtiene: 

sen 3   es igual a:  2

 

, la ecuación √1

No admite solución   Admite como solución  Admite como solución  Admite como solución  Admite como solución 

Cursillo Pi         

 es igual a: 

4 sen 2 cos   2 sen 2 cos 2   3 sen 2 cos 2   2 sen 2 cos 2  

35. En el intervalo  a) b) c) d) e)

2

  2

b) c) d) e)

4

 

d) √2 sen 34. sen

e) 2 cosec  

 

sen

c) 2 sen

d) 2 sec  

0, podemos afirmar que tg

a) /   b) 1 n⁄m    c) √m/n  d) n⁄m e) N.d.a      32. Transformándose en producto la expresión cos 70° a) 2 cos 5° cos 65°  b) 2 sen 40° sen 20°  c) 2 sen 20° cos 40°  d) 2 cos 5° cos 65°  e) 2 sen 40° cos 20°  33. La expresión sen cos  es idéntica a:  a) √2 sen

e) cosec  

/2, es igual a: 

2

31. Sabiendo que sen

d) cotg  

sen

cos

√2: 

2 /3    3 /4  5 /6   

79 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

Guía de ejercicios N° 5 de Geometría y Trigonometría  Profesor: M.Sc. Osvaldo Vega  1. Calcular el radio de la circunferencia circunscripta a un triángulo isósceles de base  ángulo opuesto a la base es  a)

4 3   3

b)

8 y el 

120° 

8 3   2

c)

16 3   3

d)

8 3   3

e)

4 3   2

2. En un triángulo rectángulo   recto en   se sabe que el ángulo formado por las medianas   es  30°. El ángulo   mide:  a) 2 arcsen

4

arccos

c)

arccosec

d) arcsec

 

3 3

b)

 

√ √

4 3 3

 y 

 

 

  3. Una recta determina, sobre una circunferencia de radio 10, una cuerda de 16. La medida del  ángulo central correspondiente a la cuerda es: 

a) 2 arcsen

4     5

arcsen

 

b)

 

c) 2 arccos 4/5)  d)

arccos 4/5) 

4. El mayor ángulo de un triángulo rectángulo de hipotenusa  circunferencia inscripta es  2   a) arcsen

5   13

b) arccos

12   13

c) arcsen

12   13

13

, sabiendo que el radio de la 

d) arccos

5   13

  5. Para medir la altura de una torre vertical   se toma en el plano horizontal que pasa por su base  , el segmento  12  y cuyo punto medio es  . Se miden los ángulos  ,   y     verificándose que 

45° y 

60°. La altura, en metros, de la torre es: 

e) 6√3  d) 3√6  a) 3√7  b) 3√2  c) 6√2    6. Para obtener la altura   de una chimenea, un ingeniero, con un aparato especial, estableció la  horizontal   y midió los ángulos  chimenea es:  tg tg tg b)   tg tg c)    cotg tg d)   tg

a)  

  y  

  una vez medido 

1  1  1  1 

  Cursillo Pi         

 

80 

Ing. Raúl Martínez 

. La altura de 

Geometría y Trigonometría  

7. Teniendo en cuenta la figura abajo, calcular  :  a)  90   b)  120   c)  40   d)  80   2 e)  130   60 60   8. Los lados de un triángulo son dados por  1,  2 1 y  1. El mayor de  los ángulos del triángulo es:  a) 130°  b) 120°  c) 110°  d) 100°  e) 90°  9. Un observador colocado a 25  de un edificio, ve la parte más alta del edificio sobre cierto  ángulo. Si se aleja del edificio en línea recta 50 , el ángulo de elevación es la mitad del anterior.  La altura del edificio es:  a) 25   b) 25√3   d) 50√3   c) 50√2   10. El ángulo sobre el cual un observador ve una torre se duplica cuando él se aproxima 110  y se  triplica cuando se aproxima 50  más. La altura de la torre es:    a) 80   b) 82   c) 84   d) 86   e) 88   11. El radio de la circunferencia circunscripta a un triángulo   de 20 , el cual tiene dos lados    formando un ángulo agudo y con medidas 8    y 10  respectivamente:  a) 5,4   b) 4,5   c) 4,05   d) 5,04   12. Si   es la menor raíz positiva de la ecuación  tg 1) 4 sen 3) 0, entonces el valor de  sen cos  es:  a) 5/16  b) 0  c) 1/4  e) 1/2  d) √3/2  2 0:  13. En el intervalo  0, 6 , la ecuación cos 2 2 sen a) Posee una infinidad de raíces.  b) Posee exactamente dos raíces.  c) No posee raíces.  d) Posee una única raíz.  e) Posee exactamente tres raíces.  14. Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo no isósceles son raíces de la ecuación (en  )  3 tg cotg 4 . Entonces el valor de   es:  a)  1  d)  1/3  e)  1/2  b)  √3/3  c)  √3  15. En la figura,   vale:  a) 60  30° b) 65  c) 70  50 d) 75  60° e) N.d.a  16. Una persona de 1,70  de altura la parte más alta de un árbol sobre un ángulo  . Si la persona  está parada a   metros del árbol, la altura aproximada, en metros, del árbol es 1,70 más:  a) tg   b) cos   c) sen   d) sec   e) cotg   Cursillo Pi         

 

81 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

,

17. En la figura,  a)  

cotg

b)  

tg

c)  

cotg

d)  

tg

e)  

cotg

cotg

a) tg

cotg

tg

 

 

   de la figura, 

1  √2  √3  √3/2 

2,

45°  y  

60°. Entonces el lado   mide: 

 

   un triángulo rectángulo recto en   y sea   su área. Entonces la afirmación verdadera es:   

  sen  

c)

tg  

e) cos

. Entonces: 

 

tg

b)

d)

,

 

tg

18. En el triángulo  a)  √3 b)  2 c)  1 d)  1     19. Sea 

,

2 sen 2

4

 

 

  20. En la figura,   es una circunferencia de radio  ,  y   son rectas tangentes a la circunferencia y  2 , entonces el ángulo   de las rectas   y   verifica:  4 a)  sen   5 3   b)  sen 5 c)  sen √3/2  d)  cos √3/2  e)  cos 1/2      21. Un navío, navegando en línea recta, pasa sucesivamente por los puntos  ,  y  , cuando el navío  está en   el comandante observa un farol  , y calcula el ángulo 

75°. ¿Cuántas millas separa el farol del punto  ?  c) 8/3  e) √3/2  d) √2/2 

4 millas hasta  , verifica el ángulo  a) 4  b) 2√2  Cursillo Pi         

30°. Después de navegar 

 

82 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

;

22. En la figura  es:  a)

 

;

  y  

. El valor de 

, en función de    y    

sen 2  

b)  2 sen 2   c)

 

sen  

d)   sen   2 e)  2 sen   23. Se desea construir una ferrovía uniendo el punto   al punto   que está a 40√2  al sudeste de  . Un lago entre   y   impide la construcción en línea recta. Para evitar el lago, la ferrovía será  construida en dos trechos rectos con vértices en el punto  , que está a 36  al este y 27  al  sur de  .La longitud del trecho   es:    b) √183   c) √184   a) √182 d) √185   24. En un triángulo escaleno  , los lados a los ángulos  ,  y   miden respectivamente  ,  y  .    Entonces la expresión  sen

sen

 

a)

sen

sen

sen

 es igual a: 

 

sen  

sen sen   b) sen c) 0  d) 1  e) N.d.a  25. En la figura tenemos que  2 . Entonces   vale:  a) 80°  b) 70°  120° c) 60°  d) 40°  e) 20°  26. En la figura, las medidas de los arcos  , ,  y   son expresadas en grados, por  ,  20 y  30, respectivamente. Entonces   mide:  a) 115°  b) 110°  c) 105°  d) 100°  e) 95°    27. En la siguiente figura, la medida de   es:  a) 96°  62° b) 63°30’  c) 48°  d) 34°  e) 3°  Cursillo Pi         

 

83 

Ing. Raúl Martínez 

10, 

Geometría y Trigonometría  

28. En la figura, el segmento   es un diámetro de la circunferencia. Entonces   vale:  a) 50°  b) 40°  c) 70°  d) 60°  e) 80°  2   29. Si en la figura las medidas de los arcos  , ,  y   son 20°, 124°, 36° y 90°  respectivamente, la medida de   es:  a) 34°  b) 35°30’  c) 38°30’  d) 40°  e) 70°      30. Dos circunferencias son tangentes interiormente. La distancia entre los centros es 8  y el radio  de la circunferencia mayor mide el triple del radio de la menor. El radio de la mayor mide:  a) 10     c) 14   d) 15   e) 18     b) 12       Guía de ejercicios N° 6 de Geometría y Trigonometría  Profesor: M.Sc. Osvaldo Vega  1. Si un triángulo rectángulo 

, recto en   se cumple sen cotg sen

1 . Entonces tg   16

vale:  b) √13  a) √11  2. En el siguiente gráfico: 

e) √19 

d) √17 

c) √15  . Calcular tg : 

tg 53°   2 tg 53°   b)   3 tg 53°   c)   4 tg 53° d)     5

a)  

53°

  3. En el triángulo rectángulo  , recto en  , se cumple que: cotg cotg 16 sen sen cos cos   a) 1  b) 2  c) 4  d) 1/2  4. En un triángulo rectángulo 

90°), si tg

5   y  12

4. Calcular  e) 1/4 

21, el perímetro del triángulo 

es:  a) 90  b) 120  c) 150  d) 75  e) 136  5. En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el doble de la media geométrica de los catetos.  Calcule la suma de los tangentes de los ángulos agudos del triángulo.  a) 2  b) 3  c) 4  d) 5  e) 6  Cursillo Pi         

 

84 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

. Calcular 

6. En la figura adjunta se cumple que: 

cotg

cos  

a) 3/4  b) 5/4  13 c) 7/4  d) 9/4  e) 11/4  12   7. En la figura mostrada, el área del triángulo   en función de   es:  a)  4 sen   b)  8 sen 2   c)  2 cos   d)  5 sen   e)  3 cos 2     4 4 8. Se tiene un trapecio cuyas diagonales son perpendiculares y sus bases miden 4 y 12. Halle la    altura de dicho trapecio y el producto de sus diagonales es 80.  a) 4  b) 5  c) 6  d) 7  e) 8      )  9. En la figura halle   en términos de   y  a)   sen cos   b)   sen cosec   c)   sen cos   d)   sen cos   e)   sen cos     10. Si  sen 25° 0,3. Calcular el valor de  sen 205° cos 115°  a) 0,3  b) 0,9  c) 0,3  d) 0,09  e) 0,09 

a) 15° 

b) 30° 

12. Simplifica la expresión:  a) 1  13. En un triángulo 

)

°

11. Calcular la medida del ángulo  , si cumple  tg 230° tg 50° cotg 40°

, reducir 

c)

1 

tg 3 4 tg

3

 

 

1 

85 

d) 60° 

e) 75° 

d) tg  

e) cotg  

  ) 

sen cosec

a) 2  b) 1  c) 0  14. De las siguientes proposiciones:  I. Si  , entonces cos cos   II. Si  /2, entonces tg tg 1  III. Si  3 /2, entonces sen sec 1  Es o son verdaderas:  a) Solo I  b) Solo II  c) Solo III  d) I y III  e) Todas   Cursillo Pi       

)

°

c) 37° 

b) 2 

°

d) 1 

Ing. Raúl Martínez 

e) 2 

Geometría y Trigonometría  

sen

15. En  un triángulo   se cumple: sen triángulo seguro es:  a) Rectángulo  b) Isósceles  c) Equilátero  d) Obtusángulo  e) Acutángulo  16. Si cosec

cotg

√3. Calcular 

tg

)

sen

cos

). Entonces el 

cotg /2. 

2

a) √3  b) √3/2  c) √3/3  d) 2√3/3  e) 3√3/2  17. Siendo un arco en posición normal positivo y menor de una vuelta que pertenece al III C el cual  0,3. Calcular 

cumple: cos a)   b) 1 

√20 sen 2

√7 tg 2 

d)  √2 

c)  0 

e)  √5 

f)  √13 

8, calcular  cotg  

18. Si en el gráfico   

a) 8  b) 1/8    c) 3/8  d) 8/3  e) 3/4  19. Si en el gráfico  a) 8  b) 1/8  c) 3/8  d) 8/3  e) 3/4       

Cursillo Pi         

 3

2

1, calcular tg /2 

2

2

 

 

86 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

Prof. Ing. Gary F. Lozano  1. Las diagonales de un rombo miden   y 2 . Al unir los puntos medios de sus lados resulta un  polígono. La diferencia que existe el área del rombo y el área del polígono expresada en función a   es:  a) /4  b) 1 /2)  c)   d) 2   e) /2  2. Dentro de un cuadrado de lado   se desea construir un triángulo equilátero de manera que un  vértice del triángulo coincida con un vértice del cuadrado y los otros dos vértices se encuentren  sobre los lados del cuadrado no adyacentes al vértice común. La longitud del lado del triángulo  en función al del cuadrado es:  a)

1

2

√5  

b)

1

2

√3  

c)

3/2 

d) 2 2 √3    e) 2 2 √3   3. En un semicírculo de radio igual a   se inscribe un cuadrado (un lado del cuadrado descansa    sobre el diámetro). El área del cuadrado en función a   es:    a) d) 4 /5    b) 4 /25  e) 12 √3/5  c) 2 √5/5  , se puede afirmar que el radio expresado en  4. Si el área de una superficie esférica es  igual a:  a) 2   b) 2 /3  c)   d) 4   e) /2  5. El volumen de un octaedro de arista igual a   expresado en función a   es: 

 es 

a) b) √3/2  c) d) √2/4  e) √2/2  √3/4  √2/3  6. En un cilindro de radio de base   y altura 2 , se coloca un cono de radio de base   y altura  . Si  el volumen del cono es 1/3 de la del cilindro, la altura   del cono mide:  a) 2 /3  b) 3   c) 2   d) 6   e)   7. Dentro de una esfera de radio igual a  , se colocan 4 esferas de radios iguales de manera que  cada esfera pequeña sea tangente a otras dos esferas pequeñas y a la esfera de radio  . Si  además los centros de las cinco esferas se encuentran en un mismo plano, la relación entre los  volúmenes de la esfera de radio   con una de las pequeñas es:  a)  4  b)   √2

1  

c)   √2

1  

d)  

√2

1  

e)  2 √2 1   8. La base de un prisma recto es un hexágono regular inscripto en una circunferencia de radio  . La  4

altura del prisma es 2 . La expresión  a) Tercio del área total.  b) Volumen dividido el radio  c) Doble del área lateral  d) Área lateral  e) Área total  Cursillo Pi         

 

√3  corresponde al: 

87 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

9. De todas las afirmaciones siguientes, la correcta es:  a) La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo es igual a tantas veces un ángulo  recto como lados menos dos tiene el polígono.  b) Sólo en el triángulo equilátero se cumple que el circuncentro y  el incentro coinciden  c) Dos triángulos son iguales si tienen un lado y dos ángulos iguales  d) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales  e) En todo triángulo se cumple que si un ángulo es el doble que otro, el tercer ángulo es recto  10. Si el complemento del suplemento del triple de un ángulo es igual al suplemento del  complemento de la mitad del mismo ángulo, el ángulo mide:  a) 51°25’  b) 36°  c) 54°  d) 72°  e) 126°  11. Alrededor de un punto   y a un mismo lado de una recta se trazan dos semirrectas formando  tres ángulos consecutivos  , 2  y 3 . Si las bisectrices del segundo y tercer ángulo son  ortogonales la medida de   es:  a) 30°  b) 36°  c) 45°  d) 15°  e) 22°30’  12. Desde un vértice de un polígono regular se pueden trazar 5 diagonales, la medida de un ángulo    interno es:  a) 54°  b) 120°  c) 135°  d) 30°  e) 45°  13. Observando la figura  ,  y    son puntos medios de   y   respectivamente. Si    el área del cuadrado   es 128 . La medida aproximada de   expresada en   es:  a) 11,31  b) 64  c) 16  d) 22,63  e) 18,47    14. De las siguientes expresiones marca la correcta  a) En todo triángulo se cumple que la suma de las alturas es menor que la suma de las medianas.  b) El incentro siempre es un punto que equidista de los vértices del triángulo.  c) En todo triángulo siempre existe un punto interior del triángulo que equidista de los vértices  del triángulo.  d) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios son siempre perpendiculares.  e) En un triángulo isósceles, cada ángulo de la base es la mitad del suplemento del ángulo del  vértice opuesto a la base.  15. Por un punto   exterior a una circunferencia de radio   se trazan dos secantes que cortan a la  misma en los puntos  ,  y  , . La medida de  2  y   dista del centro  /2. El área del  triángulo   expresada en función de   es:  a)  9 /4  b)  √3 /2  c)  3√3 /4  d)  3√5 /4  e)  3 /4        Cursillo Pi         

 

88 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

Prof. Ing. Gary F. Lozano    11. Un regador de agua de jardín, funciona con un mecanismo que le produce un movimiento de giro  de ida y vuelta de 60°. El chorro de agua alcanza 16 . El área de la superficie de pasto regada es  de:  a) 128   b) 134,04   c) 268,08   d) 110,85   e) 221,70   12. Se sabe que en la figura de abajo   y además  . La alternativa correcta es:  a) Los triángulos   y   son congruentes  b) Los triángulos   y   son congruentes  c) 2   d) Los triángulos   y   son semejantes  e) Los triángulos    y   son congruentes  13. En la figura de abajo,   es tangente, siendo   el punto de tangencia. El área de la corona  circular expresada en   es:      a)  9   b)  12   3 c)  15   d)  3   e)  6   14. En la figura de abajo   es un cuadrado y  , ,  y   son puntos medios de los lados del  cuadrado.   mide 6 . El área de la región sombreada es de:  ) a)  9 6   ) b)  18 6   ) c)  6 18   ) d)  12 4   e)  18 3)     15. Dos circunferencias de centros    y    tienen como radios:   y 2 , los centros   y   están  separados 5 . La tangente común   corta a   en el punto  . La medida   en función de   es:  a)  5 /3  b)  2   c)  3 /5  d)  10 /3  e)  2 /3  16. Un avión vuela horizontalmente a 3  de altura. Un observador situado en el suelo ve al avión  en un instante   con un ángulo de elevación de 60° y en un instante   ve al avión con un ángulo  de elevación de 30°. La distancia recorrida por el avión, en  , desde el intante   hasta el  instante   es aproximadamente:  a) 3,46  b) 6  c) 1,73  d) 1,50  e) 2,60  Cursillo Pi         

 

89 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

17. En un triángulo 

, el ángulo interno   mide el doble de lo que mide el ángulo interno  , 

1. Entonces la medida del ángulo   es:  b) 90°  c) 120°  d) 30°  e) 45°  sen cos 3 1 18. Sea el sistema   , donde   es un ángulo del primer cuadrante, el valor de    cos sen √2 y 

además  a) 60° 

3

es:  a) √2/2  b) c)

3 2 3 6

1

 

1

 

d) √2  e) √2/3  19. Un triángulo tiene lados de medidas  ,

  y   . El coseno del menor de los ángulos es: 

a) 1/4  b) 1/4  c) 7/8  d) 7/8  e) 11/16    20. Si sen 5/7  y    es un ángulo del segundo cuadrante, entonces de las siguientes afirmaciones  2 6   7  5 6 tg   12 7   cosec 5

cos

I) II) III)

Son verdaderas:  a) Sólo I 

 

b) Sólo II 

c) Sólo III 

21. El ángulo   del primer cuadrante que satisface cos a) 45° 

b) 60° 

d) I y III  3 1 2

c) 75° 

22. Al transformar en producto la diferencia sen 25 . sen 25  3 25 25 2 cos . cos   6 2 25 2 sen . cos 25  3 25 25 2 sen . cos   6 2 25 25 2 sen . cos   2 6

50 3

sen ) es:  d) 20° 

sen

e) Todas  

e) 30° 

50  se obtiene:  6

a) 2 sen b) c) d) e)

) cos cos 23. La expresión sen sen a) La inversa del coseno de    b) La inversa de las secante de    c) La reciproca de la secante de    d) La reciproca del seno de    e) La reciproca del coseno de    24. Dado que sen a) 0  Cursillo Pi         

1  y cos 2

) es equivalente a: 

3  , el valor de  4

b) 1 

c)  

1/4  90 

).

)

).

)

 es: 

d) 1/4  Ing. Raúl Martínez 

e)

1 

Geometría y Trigonometría  

25. Si  cos

sen

, entonces: 

I)

tg

 

II)

tg

 

III)

sec

 

IV)

sec

2

 

Es o son verdaderas  a) Sólo I  b) Sólo II  c) Sólo III  d) Sólo IV  e) I y IV  26. Dos lados de un triángulo oblicuángulo miden 32,45  y 27,21  y el ángulo comprendido  mide 66°56 . La medida del menor ángulo del triángulo es:  a) 48°58’  b) 66°56’  c) 17°58’  d) 113°4’  e) 64°6’  27. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8  del suelo y  observa el edificio de enfrente. La parte superior, se observa con un ángulo de elevación de 30  grados sexagesimales y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados sexagesimales.  La altura del edificio, en  , es:    16 3   3 3 b) 8 3

a)

1  

 

 

c) 16  d)

√3

1  

e)

√3

3  

28. Dado que tg a) 2/5 

1  y tg 2

3, el valor de cotg

b) 1 

29. La expresión más simple de  a) cos   b) cotg   c) sec   d) sen   e) tg   30. Si se sabe que sen y   es:  a) 1  b)

 

c)

 

d)

 

e)

 

  y cos

1 

c)

) es:  d)

2/5 

e) 2/7 

 es: 

, con 0

/2. Entonces tg

/4) en función de   

    Cursillo Pi         

   

91 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

Prof. Ing. Gary F. Lozano  1. En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos mide 21°11’52”. Calcular el valor del ángulo que  forman la bisectriz y la mediana que parten del vértice del ángulo recto.  a) 23°48’8”  b) 51°50’17”  c) 52°  d) 44°  e) 53°  2. Los triángulos son equiláteros,   mide:  a)  

√7

√2  

b)  

√19

3  

c)  

√7

√3  

d)  

√7

√3  

e)   √3 √2   3. Cuales son las proposiciones no falsas:  I) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios, son perpendiculares entre si.  II) Si dos ángulos son suplementarios y tienen un lado común, los otros lados estarán en línea  recta.  III) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos, son paralelos.    IV) Las bisectrices de los ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares, son  perpendiculares.      V) Los suplementos de los ángulos conjugados entre paralelas son suplementaros.  a) I y II  b) Solo I  c) II, III y IV  d) Solo V  e) IV y V   

4. Si el suplemento del ángulo   es 4 , donde   es el complemento de dicho ángulo, entonces:  a)   e    son ángulos suplementarios.  b)  es agudo e   es obtuso.  c)  esa   como 1: 2  d)  es a   como 2: 1  e)  e    son ángulos congruentes   

5. Los ángulos   y   de un cuadrilátero   valen 78° y 114°. Calcular el valor del ángulo formado  por las bisectrices de los ángulos   y    a) 69°  b) 78°  c) 114°  d) 90°  e) 96°   

6. ¿Cuál es la medida de un ángulo interior de un polígono regular de 24 lados?  a) 145°  b) 160°  c) 135°  d) 155° 

e) 165° 

 

7. Hallar el valor del ángulo obtuso que forman las diagonales de un rectángulo, siendo una de ellas  el doble de la altura.  a) 115°  b) 130°  c) 120°  d) 128°  e) 118°    8. Calcular los valores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que la altura  respecto a la hipotenusa, divide a esta en dos segmentos que están en la relación 1/3  a) 53° y 55°  b) 15° y 75°  c) 30°  y  60°  d) 30°30’  y  59°30’  e) 29°30’ y 60°30’  Cursillo Pi         

 

92 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

9. En el triángulo equilátero   es: 

,

2,

3 y 

1. El perímetro del triángulo 

a)  5 √7  b)  5 √10  c)  5 √19  d)  5 √13 6√3  e)  5 √13 6√3  10. Un polígono regular de 12 lados inscripto en una circunferencia de radio 1, tiene como medida de  su lado a:  a) 2 √3  d) 1 √3 /2  e) √3 1 /2  c) √3 1  b) √2 √3  11. Un rombo tiene diagonales que miden 12 y 16 . La longitud en centímetros de la  circunferencia inscripta a el rombo es:  a) 24/5)   b) 48/5)   c) 42/5)   d) 40/5)   e) 56/5)   12. Dada dos circunferencias tangentes exteriores y de radios   y   respectivamente. La longitud del  segmento tangente exterior común a las dos circunferencias es:   

a) 4√   d) √2   e) √   )  c) 2√   b) 2 13. Los lados de un triángulo miden 3, 4  y 6 . El coseno del mayor de los ángulos interiores del      triángulo es:  a) 11/24  b) 11/24  c) 3/8  d) 3/8  e) 3/10  14. De las afirmaciones  I) Dos ángulos adyacentes, son suplementarios y congruentes.  II) La intersección de dos rectas carecen de dimensión.  III) Siempre son congruentes dos ángulos alternos internos.  Son falsas  a) Ninguna  b) I y II  c) Sólo I  d) I y III  e) Todas  15. De las opciones, marca la alternativa correcta:  a) El rombo es un paralelogramo equiángulo.  b) Un cuadrilátero es un paralelogramo.  c) Un trapecio rectángulo es un paralelogramo.  d) El cuadrado es un rombo equiángulo.  e) El cuadrado es un rectángulo y viceversa.  16. La función reciproca del cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto de un ángulo agudo de  un triángulo rectángulo recibe el nombre de:  a) Seno  b) Coseno  c) Cosecante   d) Secante   e) Tangente   17. En todo triángulo rectángulo de hipotenusa  , catetos   y  , y   (altura relativa a la hipotenusa),  se verifica:  a) b)

 

c)

 

d) e) Cursillo Pi         

 

     

93 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

18. Hallar el área de un cuadrado de perímetro igual al del rectángulo circunscripto a un hexágono de  lado    a) 1 √3   b) 7/4 √3   c) d) 2 √3   e) 3 √3   √3/2  19. En el paralelogramo   es punto medio de   hallar  , si  16.  a) 4  b) 6  c) 8  d) 7  e) 5  20. Si   y   son bisectrices interna y externa de  , hallar   en metros, si  8   y  6 .  a) 42  b) 48  c) 44  d) 24  e) 36    21. El triángulo   es equilátero   es un diámetro paralelo a  . La razón entre las áreas del  triángulo   y del trapecio  , si el radio de la circunferencia es 6  es:    a) 5/4    b) 9/5  c) 9/7  d) 9/4  e) 8/5  22.    es diámetro del círculo, la razón entre las áreas de los triángulos   y   es:  a) 5/4  b) 4/3  c) 3/4  d) 1  e)  √3/2    23. Se tienen 2 ángulos consecutivos   y  . Se traza la bisectriz   del ángulo  , hallar el  ángulo   y   es igual a 140° y la diferencia de los ángulos   y   es 120°.  a) 85°  b) 95°  c) 75°  d) 65°  e) 55°  24. Si el complemento de   es al suplemento de  , como el suplemento de   es al complemento de  . Halla la suma de las cifras de la medida del ángulo mayor.  a) 1  b) 2  c) 3  d) 4  e) 5    Cursillo Pi         

 

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Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

Prof. Ing. Gary F. Lozano  1. El valor de   en la expresión 

°

√

° °

°

 

°

a) 4  b) 1  c) 1/3  d) 19/9  2. Cual de las expresiones no es verdadera:  I) cotg 90° 0  II) arccotg 3/4) 0,927   III) arcsen 1,2) no existe  IV) sec 90° ∞  V) cosec 180° ∞  a) Sólo III  b) I y III  c) I, II y III  d) Ninguna  3. Que valores deberá tomar   para que exista la función seno en:   2 1 sen 2 1  a) 2  b) 1 o  1  c) 0 o 2  d) No se sabe  4. Si cos /4) 1/2  y  0° 360° entonces   vale:  a) 240°    b) /3 y 20 /3  c) 60° y 240°      d) 60° y 300°  e) 4 /3 y 20 /3 

e)

10/4 

e) IV y V 

e) Faltan datos 

5. Cuales de las siguientes expresiones son verdaderas:  I. En radianes cos 2 0,416  II. sen α/2) cos α/2) 1  III. tg α β) tg α β)  IV. sec α β) sec a β)  V. Si P 1/2, y) es un punto que pertenece a la circunferencia trigonométrica, entonces el  valor de y es  √3/2  VI. El seno y el coseno son funciones periódicas de periodo 2   a) I, III y V  b) I, II y IV  c) I, II, III y V  d) I, II y IV  6. Si sec . cosec

2. Hallar el valor de  , si 

sen3 sen

a) 3/2  b) 3/2  c) 1/2  d) 1/2  e) 1 2 sen cos     7. Una trayectoria recta que sube una colina se eleva 26 ángulo hace con la horizontal?  a) 12°05 6"  b) 14°34 27"  c) 15°5  

e) Todas 

cos3   cos

. Por cada 100

 horizonrales. ¿Qué 

d) 13°7  

e) 18°06  

8. Encuéntrese el ángulo de elevación del sol si una persona de 1,75  de altura proyecta una  sombra de 7  de largo.  a) 13,78°  b) 12,5°  c) 14°  d) 12,6°  e) 66,2°  Cursillo Pi         

 

95 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

9. Un tirante de alambre atado desde un poste hace ángulo de 69° con el nivel del suelo y esta  fijado al suelo a 4,27  de distancia del poste. Encuentre la longitud del alambre, en metros:  a) 13,0  b) 10,5  c) 11,9  d) 8,5  e) 7,0  10. Un avión esta volando alejándose de un observador en tierra a una razón constante y mantiene  una altura de 4572 . En cierto instante el observador mide el ángulo de elevación como  44°, 15  después como 31°. ¿Qué tan rápido esta volando el avión en  / ?  a) 960  b) 609  c) 550  d) 600  e) 690  11. Desde la ventana de un edificio de oficinas, se ve una torre de televisión que esta a 600  de  distancia (horizontal). El ángulo de elevación del extremo superior de la torre es de 19,6° y el  ángulo de depresión de la base de la torre es de 21,3° ¿Qué altura tiene la torre?  a) 408   b) 448   c) 804   d) 434   e) 315   12. En un centro comercial la distancia vertical del primer piso al segundo es de 4,27 . La escalera  mecánica que tiene un alcance horizontal de 14,63 , hace 12,5 segundos en llevar a una  persona entre los dos pisos. ¿Qué velocidad lleva la escalera en SI?  a) 1,22  c) 1,5  d) 0,5  e) 2,2    b) 2,0  13. Encuéntrese el radio   en centímetros en cada uno de los siguientes círculos es ( : longitud de    arco)    a) 10 y 3  6 160,4° b) 12 y 5  c) 0,3 y 14  d) 14 y 3  e) N.d.a  14. Una cuerda con punto inicial  0, 1) y con una longitud de 4 /3 se enrolla alrededor del círculo  unitario en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las coordenadas del extremo?  a) 0, 1)  b) 0,1)  d) 1/2, 0)  c) √3, 1   e) √3/2, 1/2   ) tiene coordenadas en una circunferencia trigonométrica dada por  , 1/2)  Encuéntrese los dos valores posibles de    Encuéntrese los ángulos para cada punto 

15. Si  I) II)

√3/2; 210°  y 300°  √3/2; 7 /6  y 11 /6 

a) b)

c) √3  ;  210° y 270°  d) 1/2 ; 30° y 210°  e) √3/2 ; 60° y 240°    Hallar el menor valor del ángulo   que satisface a:  16. sen 2 60°) sen 30°)  a) 45°  b) 60°  c) 30°  17. sec

2

Cursillo Pi         

e) 50° 

c) 36° 

d) 40° 

e) 60° 

c) 30° 

d) 15° 

e) 50° 

cosec 2  

a) 45°  18. cos 45° a) 45° 

d) 15° 

b) 30°  )

sen 2 b) 60° 

30°) 

 

96 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

19. La ecuación 

 es equivalente a: 

a) sen sen   b) cos cos   c) sen sen   d) cos cos / sen sen   e) tg tg   20. Un triángulo tiene lados de medidas  ⁄2 , 2 ⁄3  y  ⁄3. El coseno del menor de los ángulos es:  a) 1/4  b) 1/4  c) 7/8  d) 7/8  e) 11/16  21. De las proposiciones siguientes la correcta es:  a) La inversa de  cos /2) es arcsen   b) La recíproca de 

1    es  cosec   cosec

c) La inversa de  arcsec    es   arccos   d) La inversa de  sen   es  cosec   )  es  cosec   e) La reciproca de  sen /2  

cos

22. El valor de   para que se cumpla la identidad   a) 1/2 

 

23. En la ecuación tg a) 45° 

b) 1  3 tg

c) 3/2   

d) 5/2 

sen  es:  e) 0 

4 el valor de   en el tercer cuadrante que satisface la ecuación es: 

b) 135° 

c) 251°33’54” 

d) 245° 

e) 252° 

  EXAMEN FINAL DE TRIGONOMETRIA  Prof. Ing. Gary F. Lozano  1. En la figura, expresar   y   en términos de   ,   y    a)   cos sen     sen cos   b)   cos sen     sen cos   c)   cos sen     sen cos   d)   cos sen     sen cos   e)   cos sen     sen cos   2. Si tg cotg 2; . Hallar cotg .  a) 1 √2  b) 1 √2  c) √2 1 /2  d)

1

√2 /2 

e) √2 1  3. En un plano coordenado de origen 0 se tienen los puntos  ) 1/2. Determinar  .  1 y que cotg a) 19/6  b) 19/4  c) 21/6  Cursillo Pi         

 

97 

2,

) y  

10, 1). Sabiendo que 

d) 21/4  Ing. Raúl Martínez 

e) 5 

Geometría y Trigonometría  

4. Hallar todos los valores que puede tomar el ángulo   del I cuadrante cuyo ángulo doble esta en  el II cuadrante, su ángulo triple en el  III cuadrante y su cuádruple en el IV cuadrante, pero  inferior a 2   a) /4 /2  b) 5 /12 /2  c) /3 /2  d) 3 /8 /2  e) Faltan datos  5. Se tienen dos cias tangentes exteriormente de radio   y  . Calcular el cuadrado de la cotangente  del ángulo formado por la recta tangente a ambas cias y la recta que une los centros.  )   a) 4 / )   b) 4 / )   c) 2 / )   d) 2 / e) / √2 √2   6. Sea un triángulo con ángulos  ,  y   y lados opuestos  ,  y  , respectivamente. Simplificar    sen ) cotg cotg )  a)   b)   c)   d)   e)       7. Simplificar:   ) sen 2 sen sen 1)   ) cos 2 cos cos 1) )  a) cotg b) cotg 2 1)   c) tg 1)   d) tg 2 1)   )  e) tg 8. Dado sen 1  √3⁄3, calcular sec a) 5/3  b) 5/2  c) 11/2  d) 1/2  e) 1/4  9. Si 0 /2 evaluar  3 ) tg ) cosec )  sen cos sec cotg 2 2 2 2 a) 2 sen   b) 2 sen   c) 2 cosec   d) 2 cosec   e) 0  10. Simplificar  1 tg ) cotg   tg 1 ) cotg a) tg tg   b) tg tg   c) cotg   d) tg   e) cotg   Cursillo Pi         

 

98 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

11. En un círculo trigonométrico se tiene que  /2 I) sen sen   |cos | |cos |  II) III) cos cos   Es o son verdaderas  a) Solo I  b) Solo II  c) Solo III  12. Si 

cos2

sen2

  y  

4 sen cos

2 cos2

2 sen2

sen cos

b) cos c) cosec d) sec e) tg

d) I y II 

e) I, II y III 

 entonces la diferencia entre   y   es igual a: 

a) 2/7) cotg 2   b) 7⁄2) cotg   c) 7/2) cotg   d) 7/2) cotg 2   e) 7/2) tg 2   13. Si  /2  entonces siempre:  a) sen cos 0  b) tg cotg 0    c) sec cosec 0  d) cos tg 0  e) sec 0      14. En un triángulo rectángulo los lados miden  , ángulos se tiene que:  a) sen

 de las proposiciones 

5 y 

10. Entonces, se   es el menor de los 

5   10

 

10 10

 

5

 

 

10

15. Si  /2 , la opción falsa es:  a) sen /2) 0  b) cos 2 0  ) c) tg 0  d) 2 tg 0  e) 4 cos 0  16. Desde el punto medio de la distancia entre los pies de dos torres, los ángulos de elevación de sus  extremos superiores son 30° y 60° respectivamente. Entonces:   a) La altura de la primera torre es el triple de la otra  b) La altura de la primera torre es la mitad de la otra   c) La altura de la segunda torre es el triple de la primera  d) Las alturas son iguales  e) Las alturas de la primera y la segunda torre suman 5 unidades  17. Cuando el ángulo   crece de   a 3 /2, la grafica de la secante:  a) Decrece de 0 a  ∞  b) Crece de  1 a  ∞  c) Decrece de  1 a  ∞  d) Decrece de  ∞ a  1  e) Crece de  ∞ a  ∞  Cursillo Pi         

 

99 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

18. Los valores que   puede asumir para que exista el seno de arco  , que satisfaga la igualdad  sen 4  a) 2  b) 1 3  c) 3 5  d) 3  e) 0 2  19. El ángulo formado por las manecillas del reloj a las 3 horas y 5 minutos es:  a) 60°  b) 63°30’  c) 64°30’  d) 61°30’  e) 62°30’  20. Cuando el ángulo de elevación del sol es de 28,4°, en París, la torre Eiffel forma una sombra de  555,34 metros de largo. ¿Qué altura tiene la torre aproximadamente?  a) 300   b) 3000   c) 924   d) 924   e) 435   21. Un decágono regular (10 lados iguales) esta inscripto en un círculo de radio  . ¿Qué porcentaje  del área del círculo es el área del decágono?  a) 73,55  b) 83,55  c) 63,55  d) 88,55  e) 93,55  22. Sea el triángulo de lados   ,  y  , y de área 1/2. El producto de las cosecantes de su ángulo será.    a)   ) b)       ) c)   d)   e) No se puede determinar  )/ 23. Dado sen ) calcular cotg   a) 2

)/

b)

)

)/2

 

c)

)

)/2

 

d) 2

)/

)  

) 

)/ e) 2 )  24. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? Un triángulo se puede resolver si se conocen:  a) 1 lado y 2 ángulos  b) 2 lados y el ángulo comprendido  c) 2 lados y el ángulo opuesto a ellos  d) 2 ángulos  e) 2 lados y 2 ángulo     

Cursillo Pi         

 

 

100 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

1.

2.

3.

4.

5.

Evaluación formativa de geometría y trigonometría.  Fecha: 17/01/2013            Fila 1  De las siguientes proposiciones:  I) Dos ángulos complementarios son agudos.  II) Dos ángulos opuestos por el vértice pueden ser suplementarios.  III) Dos ángulos agudos de lados respectivamente perpendiculares son complementarios.  IV) Dos ángulos adyacentes no pueden ser complementarios.  V) Un ángulo agudo siempre tiene complemento y suplemento.  Es/son falsa/s:  a) Solo I  b) II y III  c) I y III  d) I, IV y V  e) II, III y IV  En una recta se tiene los puntos consecutivos  , , ,  y  ; de modo que  20 y    /4, entonces la medida del segmento   es:  a) 3  b) 4      c) 5  d) 6  e) 7  La diferencia entre la suma de los suplementos y la suma de los complementos de dos ángulos,  que se diferencian en 20°, es igual al doble de la suma de dichos ángulos. La medida del mayor  es:  a) 40°  b) 55°  c) 60°  d) 75°  e) 80°  En la figura  , entonces el valor de   es:  a) 10°  b) 20°  c) 15°  d) 18°  e) 12°    En un polígono convexo de   lados, si el número de lados aumenta en uno, entonces el número  de diagonales:  a) Aumenta en  1  b) Disminuye en  1  c) Disminuye en 1  d) Aumenta en 1  e) No aumenta ni disminuye 

Cursillo Pi         

 

101 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

6. En un polígono regular de   lados, la medida de un ángulo interior es cinco veces la medida del  ángulo central, entonces el número de triángulos que se pueden formar al trazar todas las  diagonales desde un solo vértice es:  a) 10  b) 11  c) 12  d) 13  e) 14  7. En un triángulo   se traza la bisectriz interior   y el segmento  , donde   es un punto del  lado 

. Si 

 y 

 se intersectan en el punto   de modo que 

2

 y 

, 

entonces la medida de   es:  a) 45°  b) 30°  c) 36°    d) 50°  e) 42°    8. De las siguientes proposiciones, la falsa es:    a) Todo triángulo equilátero es también isósceles.  b) Si en un triángulo se cumple que los tres ángulos externos son obtusos entonces el triángulo  debe ser acutángulo.  c) Si un triángulo tiene un ángulo externo agudo entonces debe ser obtusángulo.  d) Todo triángulo escaleno es también acutángulo.  e) En todo triángulo, cada lado es mayor que la diferencia de los otros dos lados.  9. De las siguientes proposiciones, la falsa es:  a) Las proyecciones de los lados congruentes de un trapecio sobre su base mayor son iguales a la  semidiferencia de las bases  b) Un paralelogramo que tiene dos lados consecutivos congruentes es un rombo.  c) Un paralelogramo que tiene un ángulo recto es un rectángulo.  d) Un cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales es un paralelogramo.  e) Un trapecio escaleno tiene los cuatro lados desiguales.  10. Considerando los siguientes enunciados:  I) Si  . .  entonces   es cuarta proporcional de  ,  y  .  II) Si  ,  y   son proporcionales a 2, 3 y 5, puede darse el caso en que  2, 3 y  5  III) La recíproca de la razón entre la tercera proporcional de 4 y 3, y el reciproco de la cuarta  proporcional 5 y 7 ; es 105/4  IV) La media proporcional de   y   es la misma que la de   y  .  V)

Si 

4/3, entonces 

4 y 

3 

En el siguiente orden son:  a) VVFVF  b) FVFVF  c) FFVVV  d) FFFVF  Cursillo Pi         

 

102 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

e) FFFVV  11. Siendo   el baricentro de un triángulo  . Si  mínimo valor entero que   puede tomar es:  a) 8   b) 16   c) 18   d) 17   e) 10  

8

 (  sobre 

5

) y 

. El 

12. En la figura  . Si  5;  8;  6 y  . La medida de   es:  a) 10  b) 9  c) 9,6  d) 10,2  e) 6  13. De los siguientes enunciados:    I) Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados.  II) Cualquier altura de un triángulo isósceles es también mediana, bisectriz y porción de    mediatriz.   III) Tres o más rectas paralelas equidistantes determinan sobre cualquier recta, oblicua a  ellas, segmentos congruentes.  IV) El producto de longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al producto de  la hipotenusa por su altura respectiva.  V) Toda recta que corta a dos lados de un triángulo dividiendo a estos en segmentos  proporcionales, es par al tercer lado  Es/son verdadera/s:  a) Solo dos  b) Solo cuatro  c) Todas  d) Ninguna  e) Solo tres  14. En un cuadrado  , la diagonal mide 18√2; respectivamente. Si y   15. En el trapecio 

 y   son puntos medios de  82° y 

 de la figura se cumple que 

 y 

 

42°. El menor ángulo 

formado por las bisectrices de los ángulos interiores   y   mide:  a) 124°  b) 118°  c) 62°  d) 56°  e) 120°  16. Si sen

2 cos

0, entonces el valor de 

°

)

°

)

)

° °

° )

a) 5  b) 5  Cursillo Pi         

 

103 

Ing. Raúl Martínez 

) ° )

 es: 

Geometría y Trigonometría  

c) 5⁄4  d) 5/4  e) 4  17. Marca la proposición falsa  a) La función tangente siempre es creciente en los diferentes cuadrantes.  b) La variación de la reciproca del seno es el conjunto de los números reales excepto los  pertenecientes al intervalo  1, 1)  c) La función secante esta definida para todos los números reales excepto en aquellos puntos  donde el coseno se hace cero.  d) Si  2 , entonces la variación de la cofunción de la cosecante es el conjunto de los  números reales mayores a  1 y menores a 0.  e) El periodo de la función coseno es 2 .  18. Sabiendo que  . 90° 800°, siendo   un ángulo en posición normal. Marca la afirmación  correcta.  a) Si  2  donde   es un número entero, entonces   pertenece al tercer cuadrante.    b) Si  2 1 donde   es un número entero, entonces   pertenece al cuarto cuadrante.  c) Si  4 1 donde   es un número entero, entonces   pertenece al segundo cuadrante.  d) Si  4 1 donde   es un número entero, entonces   pertenece al primer cuadrante.      e) Si  3  donde   es un número entero, entonces   pertenece al tercer cuadrante.  19. Si   y   son ángulos agudos complementarios, al simplificar 

sen 2 cos 2

tg 2 tg 4

3 3

, se 

obtiene:  a) √3  b) √2  c) √2  d) 1  e) 1  20. Marca la expresión incorrecta.  ) cos ) a) cos 2 sen . sen   b) cosec cotg ) cosec cotg ) 1  c) Si  sen , cos , entonces  )

d)

)

sen )

e) cos 21. Si tg

1

, el valor de 

a)

 

b)

 

c)

 

d)

 

e)

)

 

cos )  

sec   sen 2    es: 

 

22. Las soluciones de la ecuación sec 2 cuadrantes:  Cursillo Pi       

sen

2,  son ángulos cuyos lados terminales se ubican en los 

 

104 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

a) Primero y segundo  b) Primero y tercero  c) Segundo y tercero  d) Segundo y cuarto  e) Primero, segundo, tercero y cuarto  ) cotg ). El menor valor positivo que puede  23. Si  /2 es una solución de la ecuación tg asumir  , es:  a) 1/2  b) 3/2  c) 5/2  d) 2  e) 7/2  24. Dos lados consecutivos de un paralelogramo miden 4  y 5   respectivamente y forman un  ángulo de 30°. El mayor de las diagonales del paralelogramo mide:  a)

41

20√3 

b)

41

20√3 

c)

41

21√3 

d) 41 e) √41 

20√2 

 

 

 

25. En un triángulo   se sabe que  6 ,  3  y  3 . El lado   mide:  a) 3   b) √3   c) 2√3   d) 3√3   e) 6√3   26. En un triángulo escaleno  , los lados opuestos a los ángulos  ,  y   miden respectivamente  )

,  y  . Entonces la expresión  a)

 

b)

 

c)

 

)

°

)

 es equivalente a: 

d) 1  e) 0  27. En un triángulo  a) b) c) d) e)

,

30° y 

45°. El área del triángulo es: 

12 2√3  2 √12  2 4√3  2 3√3  12 3√3 

Cursillo Pi         

4

 se sabe que 

 

105 

Ing. Raúl Martínez 

Geometría y Trigonometría  

28. La anchura de una calle, que separa los edificios   y  , es de 20 . Desde la azotea del edificio    se observa la azotea del edificio   elevando la vista 45°. Si la altura del edificio   excede a la  altura del edificio   en una cantidad igual a la mitad de la altura de  , la altura del edificio   es:  a) 20   b) 40   c) 60   d) 80   e) 100   29. Se sabe que tres ciudades  ,  y  , unidas por caminos rectos, forman un triángulo donde  120°, 2  y  99 . María estaba en la ciudad   y viajó a la ciudad  , pasando  primero por  . Si María hubiese tomado el camino que une a las ciudades   y  , habría recorrido  por kilómetros menos. El valor de   es:  a) 21  b) 78  c) 111    d) 9  e) 18      30. El radio de la circunferencia (de centro  ) de la figura es igual a 2 . El área del polígono   es igual, es  , a:  a) b) c) d) e)  

6 6  6 3 6

2√3  4√3  3√3  3√3 

   

Cursillo Pi         

 

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Ing. Raúl Martínez