GRUPOS CONCEPTOS BÁSICOS: OBSERVACIÓN: En este tema todos los conjuntos son no vacios, a menos que se especifique lo contrario. GRUPOIDES: DEFINICIÓN: Sea un conjunto y una operación binaria en ,( ). Entonces se dice que el par es un GRUPOIDE DEFINICIÓN: Sea un grupoide, entonces se dice que es ELEMENTO NEUTRO de (elemento identidad) si se verifica que:

. PROPOSICIÓN: Si existe elemento neutro , es único: Demostración: Sean y elementos neutros de . Entonces:

DEFINICIÓN: Sea un grupoide con elemento neutro. Entonces se dice que tiene ELEMENTO INVERSO(elemento opuesto) si:

OBSERVACIÓN: En un grupoide con elemento neutro los elementos inversos, si existen, pueden no ser únicos. EJEMPLO:

1

Grupoide

inverso de inverso de

inverso de inverso de

SEMIGRUPOS: DEFINICIÓN: Se dice que es un SEMIGRUPO si es un grupoide con la propiedad asociativa. Matematicamente:

PROPOSICIÓN: Sea un semigrupo con elemento neutro. Entonces el elemento inverso, si existe, de cualquier elemento de es único. Demostración: Sea un semigrupo y su elemento neutro. Entonces:

son inversos de . Por tanto:

EJEMPLO: Sea ,y (composición de funciones). Entonces:

es un semigrupo con elemento neutro

2

¿Qué elementos tienen inverso?

(Por el teorema de la biyección) Por tanto tienen inverso las funciones biyectivas, y su inversa es la función inversa. HOMOMORFISMOS: DEFINICIÓN: Sean y dos grupoides. Entonces una aplicación entre y es un HOMOMORFISMO si se verifica que:

EJEMPLO:

¿Es homomorfismo?

Luego no es homomorfismo DEFINICIÓN: Se dice que: • Un homomorfismo inyectivo es un monomorfismo • Un homomorfismo suprayectivo es un epimorfismo • Un homomorfismo biyectivo es un isomorfismo • Un homomorfismo de en es un endomorfismo • Un endomorfismo biyectivo es un automorfismo GRUPOS: DEFINICIÓN: Sea un semigrupo con elemento neutro, tal que todos los elementos tienen elemento inverso. Entonces dicho semigrupo se llama GRUPO. Es decir, un GRUPO es un par , donde es una operación binaria en que verifica : • •

3

• DEFINICIÓN: Sea un grupo , donde es una operación binaria en que verifica las condiciones anteriormente expuestas, y además es conmutativo, es decir:

Entonces se dice que dicho grupo es un GRUPO CONMUTATIVO o ABELIANO. PROPOSICIÓN: Sea un GRUPO . Entonces se verifica que: • Demostración:

• El elemento neutro es único(Por ser Grupoide) • el inverso de es único. • Demostración:

• Demostración:

• es abeliano Demostración:

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EJEMPLOS: Grupo Abeliano

Grupo Abeliano

Semigrupo con elemento neutro

Grupo Abeliano

Semigrupo sin elemento neutro

Grupo Abeliano

Semigrupo con elemento neutro

Grupo Abeliano

Semigrupo con elemento neutro

Grupo Abeliano

EJEMPLOS FUNDAMENTALES DE GRUPOS: GRUPO DE LAS APLICACIONES BIYECTIVAS DE UN CONJUNTO: Sea y y la composición de aplicaciones. Entonces es el grupo de las aplicaciones biyectivas de . Veamos que se cumplen las tres propiedades: •¿ ? Sea , y . pertenece claramente a , por ser biyectiva. Entonces:

Luego se verifica. • Sean y . Entonces:

Luego se verifica • 5

(por el teorema de la biyección) Luego se verifica. GRUPO DE LAS PERMUTACIONES DE N ELEMENTOS: Sea y el conjunto de las permutaciones de . Entonces es grupo por ser un caso particular del anterior, ya que las permutaciones son aplicaciones biyectivas. GRUPO SIMÉTRICO DE N ELEMENTOS: Otra manera de representar y llamar al grupo de las permutaciones de n elementos es como el grupo simétrico de n elementos, representado por , formado por elementos de la forma:

Donde es un elemento de ( ), de tal manera que lo que hace cada elemento de es asignar a cada elemento de otro elemento de , que es el que está en la parte inferior de su columna. Es, pues, una reordenación. Se puede comprobar que es un grupo. EJEMPLO:

,

6

Evidentemente existe elemento neutro, todos los elementos tienen elemento inverso, y además, el grupo no es abeliano. También podemos verlo como el grupo de las isometrías del triángulo equilátero(giros sobre el centro y las alturas), o grupo diédrico de orden 6:

GRUPO ADITIVO: Sea . Consideramos el conjunto y en el la operación definida por:

Entonces el par es un grupo abeliano, llamado grupo aditivo. Demostración: • Sea y

7

Luego se verifica • Sean

Luego se verifica • Sean

Luego se verifica Veamos si es conmutativo: Sean

Luego se verifica. Por tanto es un grupo abeliano. GRUPO MULTIPLICATIVO: Sea y primo. Consideramos el conjunto y en él la operación definida por:

Entonces el par es un grupo abeliano, llamado grupo multiplicativo. 8

Demostración: • Sea y

Luego se verifica • Sean

Luego se verifica • Sea Entonces, por ser primo, se verifica que:

Por tanto:

Luego se verifica Veamos si es conmutativo: Sean

Luego se verifica. 9

Por tanto es un grupo abeliano. GRUPO DE MATRICES: Sean y la adición y el producto habitual entre matrices. Entonces:

es GA (Matrices reales de orden mxn) y

es GA (Matrices reales cuadradas con determinante no nulo). Se llama Grupo lineal de orden n.

es GA (Matrices reales cuadradas con determinante la unidad). Se llama Grupo especial lineal de orden n.

es GA (Matrices reales cuadradas ortogonales). Se llama Grupo ortogonal de orden n.

es GA (Matrices reales cuadradas ortogonales con determinante la unidad). Se llama Grupo ortogonal especial de orden n.

OBSERVACIÓN:

10

SUBGRUPOS: DEFINICIÓN: Sea un grupo y . Entonces se dice que es un SUBGRUPO de , y se escribe si es un grupo. Por tanto, para ver si un subconjunto es subgrupo es necesario comprobar si : ¿ Es operación en ? ¿ Es asociativa en ? ¿ Es conmutativa en ? ¿ Existe elemento neutro en ? ¿ Existe elemento inverso en ? TEOREMA: Sea un grupo, , . Entonces:

es grupo Demostración:

Si ¿ ?

por ser grupoide

11

por ser grupoide

Si ¿ ? ¿ grupo?

Luego queda demostrado OBSERVACIÓN: Si es aditivo entonces EJEMPLO:

TEOREMA(de Lagrange): Sea un grupo finito y . Entonces el orden de divide al orden de . Este teorema se aplica al cálculo del número de subgrupos. EJEMPLO: Veamos los subgrupos de :

Subgrupo de orden 1:

12

Posibles subgrupos de orden 2: Posibles subgrupos de orden 3: Subgrupo de orden 6: Estudiemos los posibles subgrupos de orden 3:

No es subgrupo para No es subgrupo para No es subgrupo para No es subgrupo para

No es subgrupo para No es subgrupo para No es subgrupo para

Si es subgrupo para No es subgrupo para

No es subgrupo para Luego el único subgrupo de orden 3 es TEOREMA: Sea un grupo y subgrupos de . Entonces . Demostración: Sea ¿

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Luego la intersección de subgrupos es un subgrupos. OBSERVACIÓN: La union de subgrupos, en general no es un subgrupo. SISTEMA GENERADOR: IDEA INTUITIVA: Si es un subconjunto de , y no es subgrupo, ¿Qué hay que añadirle para que lo sea?. DEFINICIÓN: Sea un grupo y . Entonces se define el SUBGRUPO GENERADO POR S, denotado por como:

Podemos decir que es el subgrupo más pequeño que contiene a OBSERVACIÓN: Por el teorema anterior ,y DEFINICIÓN: Si es un grupo y entonces se dice que es un SISTEMA GENERADOR de . TEOREMA: Sea un grupo y . Entonces:

Entendiendo que:

EJEMPLO:

14

DEFINICIÓN: Sea un grupo y . Entonces se define el conjunto:

TEOREMA: Sea un grupo abeliano y . Entonces:

Demostración:

Donde la condición imprescindible es que sea abeliano. DEFINICIÓN: Sea un GA y . Entonces se dice que es suma directa si EJEMPLO:

15

Por el concepto de mcm

Luego:

GRUPO COCIENTE: DEFINICIÓN: Sea un grupo y . Entonces se establece una relación binaria tal que:

OBSERVACIÓN: • es una relación de equivalencia. Demostración:

Si, por .

Si

Si • A la relación anterior se le llama Adjunción por la izquierda y se suele escribir 9 •

16

• De forma similar se define . Se demuestra que es de equivalencia y se llama Adjunción por la derecha. Además, las clases de equivalencia son: • En general • Sea . En tal caso EJEMPLO:

EJEMPLO:

pues poseen elementos distintos DEFINICIÓN: Sea un grupo y . Entonces se dice que es NORMAL, INVARIANTE o DISTINGUIDO, y se representa por si:

PROPOSICIÓN: Si es abeliano, entonces todo subgrupo es normal. TEOREMA(Caracterización de subgrupos normales): Sea un grupo y . Entonces:

Demostración : 17

Véase apéndice. DEFINICIÓN: Sea un grupo y . Se representa por al conjunto cociente ó . Si definimos:

Entonces se tiene que es un grupo llamado GRUPO COCIENTE. Demostración: Veamos que es operación interna. Evidentemente es aplicación, pero ¿Depende del representante? Sean:

( )( )

( )( )

Luego no depende del representante. Por tanto es operación interna. Veamos ahora que posee elemento neutro

18

Por tanto posee elemento neutro. Estudiamos ahora si es asociativa:

Luego es asociativo. Verificamos ahora que posee elemento inverso:

???

Luego tiene elemento inverso. Por tanto queda demostrado que es grupo EJEMPLO:

Por ser abeliano se verifica que

Luego

HOMOMORFISMO DE GRUPOS: DEFINICIÓN: Sean y 19

grupos. Entonces se dice que la aplicación es un homomorfismo de grupos si se verifica que:

OBSERVACIÓN: • Se introducen los conceptos de auto, epi, homomorfismo, etc.. • Se dice que dos grupos son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, y se escribe PROPOSICIÓN: • Demostración: Sea

Luego • Demostración: Sea

Como el inverso es único , resulta que Luego efectivamente DEFINICIÓN: Sea un homomorfismo de grupos. Entonces se define:

20

El núcleo de como el conjunto La imagen de como el conjunto TEOREMA: Sea un homomorfismo de grupos. Entonces se verifica que: • Demostración:

Evidentemente , ya que

Luego es subgrupo. Veamos si es normal.

Luego es subgrupo normal. Queda demostrado • es monomorfismo si y solo si Demostración:

Como es monomorfismo resulta que es inyectivo.

21

Sea

por ser inyectivo Luego

¿ Es monomorfismo ? ¿ Es inyectivo? ¿ ? Sean

• Demostración: Evidentemente , ya que

Luego queda demostrado 22

• es epimorfismo si y solo si Demostración:

Como es epimorfismo resulta que es suprayectiva Por tanto

Como la condición de pertenecer a se verifica resulta que

Por tanto , luego es suprayectiva y por tanto epimorfismo TEOREMA(Isomorfía): Sean y dos grupos, y sea un homomorfismo de grupos. Entonces se verifica que:

Sabemos que . Veamos, pues, el grupo cociente:

¿Cuáles son las clases?

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Demostración: Veamos que :

es aplicación, homomorfismo y es suprayectiva. Para ver que es aplicación veamos que no depende del representante: Sea

Luego no depende del representante Veamos ahora que es homomorfismo:

Luego es homomorfismo Veamos ahora que es inyectivo:

Pero Luego es inyectivo Veamos ahora que es suprayectivo

Por definición de imagen:

Luego es suprayectivo. Por tanto existe un homomorfismo biyectivo entre ambos grupos, y son isomorfos.

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PROPOSICIÓN: Al igual que hicimos con aplicaciones, es posible descomponer canonicamente un homomorfismo:

EJEMPLO: Demostrar que . Para ello vamos a convertir a en el nucleo de un isomorfismo. Definimos:

Veamos que es homomorfismo:

Luego es homomorfismo Evidentemente , ya que Veamos quien es la imagen:

Luego , y por tanto son isomorfos, según el Teorema de Isomorfía OBSERVACION:

25

• Si es suprayectivo(epimorfismo), entonces • Si es inyectivo(monomorfismo), entonces • Si es biyectivo(isomorfismo), entonces

EJEMPLO:

Veamos que es un homomorfismo:

Luego es homomorfismo Veamos si es inyectivo:

Luego no es inyectiva Evidentemente es suprayectiva, pues Por tanto se verifica que:

EJEMPLO:

Veamos que es un homomorfismo:

26

Luego es homomorfismo Veamos si es inyectivo:

Luego no es inyectiva Evidentemente es suprayectiva, pues Por tanto se verifica que:

GRUPOS CICLICOS: DEFINICIÓN: Sea un grupo. Entonces se dice que es cíclico si:

Es decir, si: Grupo multiplicativo Grupo aditivo EJEMPLO:

Veamos ahora un caso de un grupo no ciclico:

Buscamos

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Si resulta que como

Luego no es ciclico. PROPOSICIÓN: Todo grupo cíclico es abeliano. Demostración: Sea un grupo cíclico multiplicativo. Por tanto , es decir:

Sean

Entonces:

PROPOSICIÓN: Todo subgrupo de un grupo cíclico es normal OBSERVACIÓN: Para ser cíclico ha de ser abeliano. TEOREMA: Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Demostración: Sea un grupo cíclico y ¿ es cíclico?

Sea , y sea el ínfimo de , que siempre existe por el axioma del supremo.

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Veamos que

Basta utilizar que es el menor subgrupo que contiene a . Si , y como resulta que

Sea

Aquí distinguimos tres casos: •

como:

y:

ocurre que Luego , y por tanto • • En este caso basta comprobar si , ya que por ser 29

un subgrupo ser verifica que:

con lo que volveriamos al caso 1 Sabemos que: , lo que nos lleva al caso 1 DEFINICIÓN: Sea un grupo y . Entonces se define el orden de como el orden del subgrupo que genera, y se escribe PROPOSICIÓN: Sea un grupo finito. Entonces si , el orden de es el menor entero positivo tal que . Además, en ese caso se verifica que:

ya que:

Con lo que volveríamos a empezar. PROPIEDADES: • Sea un grupo finito de orden . Entonces • Sea un grupo y con . Entonces si y se verifica que • Sea un grupo finito, con y primo. Entonces 30

es cíclico • (Teorema pequeño de Fermat) En se verifica que Demostración: Sea Por otro lado:

TEOREMA(De clasificación): Sea un grupo cíclico. Entonces: • Si tiene orden infinito entonces • Si tiene orden finito entonces Demostración: • Sabemos que Definimos un isomorfismo tal que:

Veamos que es homomorfismo:

Luego es homomorfismo. Veamos ahora si es suprayectivo:

Como es cíclico

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Luego es suprayectivo Veamos ahora si es inyectivo: ¿ es inyectivo?

Supongamos que existe . Eso implica que es un grupo finito de elementos, lo que es imposible Supongamos que existe , lo que es imposible, como ya hemos visto, por ser infinito. Por tanto ,y es inyectivo. Luego efectivamente es un isomorfismo y • Si , entonces

Definimos entonces un isomorfismo:

que, como se puede comprobar, es efectivamente un isomorfismo. Por tanto COROLARIO: Dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos. TEOREMA: Sea un grupo y , . Entonces, si , , se tiene que:

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Demostración: Sea un grupo, , , , , , , , . Entonces:

Por tanto

Y como , , resulta que , luego , que es lo que queriamos demostrar. OBSERVACIÓN: Si es un grupo cíclico finito, el teorema anterior nos da una formula para calcular en orden de cualquier elemento de EJEMPLO:

COROLARIO(Caracterización de los generadores de un grupo cíclico): Sea un grupo cíclico, . Entonces:

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• Si entonces los generadores de son , donde y • Si entonces los generadores de son y TEOREMA(Caracterización de los subgrupos de un grupo cíclico): Sea un grupo cíclico, ,y . Entonces los subgrupos de son:

, donde y Además, solo existe un subgrupo por cada orden. PROPOSICIÓN: Sea un homomorfismo de grupos y cíclico, . Entonces para conocer basta con conocer . Demostración: Si , . Por tanto

TEOREMA: Sean , dos grupos cíclicos, , . Entonces todos los posibles isomorfismos entre

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y son todos los posibles homomorfismos entre y tales que llevan un generador de en otro de . De ahora en adelante, y siempre que no haya lugar a confusión, representaremos los grupos por el conjunto en el que están construidos Para ver que todo elemento tiene inverso necesitamos el Teorema de Bezout: Si y entonces Veamos un ejemplo: El inverso de en Se trata de hallar tal que . Pero Luego Vease página 4 Si el grupo fuera aditivo, entonces Si el grupo fuera aditivo, entonces el conjunto sería

Si es aditivo entonces sería Véase página 4 Son el mismo por ser

Lo que hacemos al crear es fracturar en subconjuntos(Clases de equivalencia) y tratarlos como elementos, de tal manera que al contener cada subconjunto a los elementos que tienen la misma imagen, podemos considerar cada subconjunto como un elemento del conjunto

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(De hecho, lo son), existiendo entonces un isomorfismo entre ambos conjunto ( e )

Demostración análoga para grupos aditivos De ahora en adelante, y para simplificar la nomenclatura representaremos como Por definición de ´Por el Teorema de Lagrange Tengase en cuenta que el grupo es aditivo

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