CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR – CUN DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS Y CIENCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION GUIA Nº: 7

PRODUCTOS NOTABLES Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. CUADRADO DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES 2

(a+b)

= a

2

+ 2ab + b

2

Y

2

(a-b)

= a

2

- 2ab + b

2

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término. EJEMPLOS: 1. (5x + 7) ²= 2

a) El cuadrado del 1er término es (5x)(5x) = 25x b) El doble producto de ambos términos es 2(5x)(7)=(10x)(7) = 70x c) El cuadrado del 2do término es (7)(7) = 49 Entonces ( 5x + 7 )

2

= 25x2 + 70x + 49

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término. EJEMPLO: 1) (3x – 8y²)² 2

a) El cuadrado del 1er término es (3x)(3x) = 9x 2 2 2 b) El doble producto de ambos términos es 2(3x)(8y ) = (6x)(8y ) = 48xy 2 2 4 c) El cuadrado del 2do término es (8y )(8y ) = 64y 2 2

Entonces ( 3x - 8y )

= 9x2 - 48xy2 + 64y4

Resuelve aplicando el cuadrado: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

a  32 2a  52 2a  4b2 5a  6b2 8a  32

7a c  2 2

7. 14abc  2d 

2

8.

9.

3  5  a  b 5  3

15a b 2

2

2

 16ab 3

2

10.

0,9a 1,3b2



2

CUBO DE UNA SUMA Y DE UNA DIFERENCIA 3

(a+b)

= a

3

2

2

+ 3a b + 3ab + b

3

Y

3

(a-b)

= a

3

2

2

- 3a b + 3ab - b

3

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término. EJEMPLO: (2x

+ 4y)³= (2x)³+ 3 (2x)² (4y) + 3 (2x)(4y)² - (4y)³ = 8x³ +48x²y+96xy²+64y³

El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término. EJEMPLO:

(6x – 2y)³= (6x)³- 3 (6x)² (2y) + 3 (6x)(2y)² - (2y)³ = 216x³ - 216x²y+72xy² - 8y³

Desarrollar: 1. 2. 3.

a  23 x  13 m  33

4.

1  a 

5.

4n  33

6. 7. 8. 9. 10.

2 3

a  2b 2  y 

3

2

2 3

5x  4 y 3 5xy  23 2 x  43

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (a+b)(a-b)= a

2

-b

2

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. EJEMPLO: 2 ( 4x + 9y ) ( 4x - 9y ) = 16x2 - 81y 3 3 2 ( 10x + 12y ) ( 10x - 12y ) = 100x - 144y6

Utilice el modelo anterior para hallar el resultado de los siguientes ejercicios: 1.

(x+y) (x-y)

2.

(m-n)(m+n)

3.

(2 a -1) (1+2 a )

4.

(n-1) (n+1)

5.

(1-3ax) (3ax+1)

6.

(1-8xy) (8xy+1)

7.

(2m+9) (2m - 9)

8.

a

3

9.

a

x 1

10.

3x



 b2 a3  b2

a





 2b x 1 2b x 1  a x 1



 5 y m 5 y m  3x a





PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN (x + a )(x + b ) = x

2

+ (a+b) x + ab

El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes. EJEMPLO: 2 1) (x + 2)(x + 7 ) = x + (2 + 7) x + (2)(7)

a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x

2

b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (2 + 7)x = 9x c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14 Entonces: (x + 2)(x + 7 ) = x

2

+ 9 x + 14

2 2) (y + 9)(y - 4 ) = y + (9 - 4) y + (9)(-4) 2 + 5 y - 36 Entonces: (y + 9)(y - 4 ) = y

Escribir, por simple inspección, el resultado de: 1.

(a+1) (a+2 )

2.

(x+2) (x+4 )

3.

(n-19 ) (n+10)

4.

(x-5) (x+4)

5.

(x²-1)( x²-7)

6.

(ab+5) (ab-6 )

7.

á

8.

a b

9.

a

x 1

10.

a

x

6

2



 7 a6  9 2





 1 a 2b 2  7





 6 a x 1  8





 3 ax  8



COCIENTES NOTABLES Son aquellos cocientes que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritos por simple inspección. Los cocientes notables son cocientes exactos. COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES

a2  b2  a b ab

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de las

cantidades es igual a la diferencia de las cantidades. EJEMPLOS: 2

a) La raíz cuadrada de x es x

b) La raíz cuadrada de 16 es 4

x  16  x4 x4 2

Ejemplo1:

Ejemplo 2:

100 x 4  169 y 2  10 x 2  13 y 2 10 x  13 y

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

a2  b2  ab a b La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades. EJEMPLOS: Ejemplo 1: 2

x 2  64 x 8

Entonces:

Ejemplo 2

a) La raíz cuadrada de x es x

x 2  64  x 8 x 8 121x 4  225 y 2  11x 2  15 y 2 11x  15 y

b) La raíz cuadrada de 64 es 8

Hallar, por simple inspección, el resultado de:

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

x2 1 1. x 1 2 1 x 1 x y2  x2 yx x2  4 x2 25  36 x 2 5  6x 81a 6  100b 8 9a 3  10b 4 a 4b 6  4 x 8 y10 a 2b 3  2 x 4 y 5

x  y 2  z 2 x  y   z 2 1  a  b  1  a  b  x 2n  y 2n xn  yn

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR – CUN DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS Y CIENCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION DESCOMPOSICION FACTORIAL Factorizar significa descomponer en dos o mas componentes. Por ejemplo : Factorizar los siguientes números 15= 3x 5 ; 27=3 x 9 ; 99 = 9 x 11 ; 6 = 3 x 2 FACTORES: Se llaman factores o divisores de una gran expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como el producto la primera expresión. Así. Multiplicando a por a+b tenemos: a(a+b)= a²+ab. a y a + b, que multiplicadas entre si dan como producto a²+ab son factores o divisores de a²+ab. DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORAR una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores. Caso I - Factor común: Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Factor común monomio: ab + ac + ad = a(b + c + d) Factorar o descomponer en dos factores: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

a 2  ab 8m 2  12mn 35m2 n3  70m3 24a 2 xy 2  36 x 2 y 4

14 x 2 y 2  28x 3  56 x 4 55m2 n3 x  110m2 n3 x 2  220m2 y 3 100a 2b3c 150ab 2 c 2  50ab3c 3  200abc 2 3a 2b  6ab  5a 3b 2  8a 2bx  4ab 2 m 16 x 3 y 2  8x 2 y  24 x 4 y 2  40 x 2 y 3 a 20  a16  a12  a8  a 4  a 2

b) Factor Común polinomio: 1.

Descomponer x (a+b) + m (a+b) Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio (a+b) Escribo (a+b) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis escribo los coeficientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a+b), o sea:

xa  b  x a  b

2.

ma  b  m a  b

y

Descomponer 2x (a-1) –y(a-1) Factor común (a-1). Dividiendo los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a-1), tenemos:

2 x(a  1)  2x (a  1)

y

 y (a  1)  y (a  1)

Tendremos 2x(a-1)-y(a-1)=(a-1) (2x-y)

Factorar o descomponer en dos factores: 1. 2. 3. 4. 5.

a (x+1)+b(x+1) 2x (n+2)+n+2 x (a+1)-a-1 3x(x-2)-2y(x-2) –m-n+x(m+n)

6. 7. 8.

(x²+2) (m-n)+ 2(m-n) (a+b-1) (a²+1)-a²-1

a 3 a  b  1  b 2 a  b  1

CASO III - TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. (a + b )² = a² + 2ab + b²

y (a - b )² = a² - 2ab + b²

Ejemplo 1: (5x – 3y)²= 25x² - 30xy + 9y² Ejemplo 2: (3x + 2y)²= 9x² + 12xy + 4y² Ejemplo 3: (x + y)²= x² + 2xy + y² Resolver: Factorar o descomponer en dos factores: 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

a 2  2ab  b 2 x 2  2x  1 36  12m 2  m 4 4 x 2  12 xy  9 y 2

1 25 x 4 x 2   25 36 3 2 n  2mn  9m 2 9 121  198x 6  81x12 a 8  18a 4  81 y4 16 x 6  2 x 3 y 2  16 6 3 2 49m  70am n  25a 2 n 4

CASO IV - DIFERENCIA DE CUADRADOS Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo. (ay)² - (bx)²= (ay - bx) (ay + bx) La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados EJERCICIOS Factorar o descomponer en dos factores: 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8.

9. 10.

x2  y2 a 2 1 a10  49b12 361x14  1 a2 x6  36 25 1 4 x 2n  9 4n a  225b 4 1 a 2nb 4n  9 6 10 x 4a  49 121 256a12  121

2

CASO VI - TRINOMIO DE LA FORMA X + BX + C Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio. Ejemplo: a² + 2ª – 15 = (a + 5 ) (a - 3) Ejemplo: x² + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2 ) Ejemplo: y²+ 0y – 4 = (y + 2) (y - 2 )

EJERCICIOS Factorar o descomponer en dos factores:

9.

x 2  7 x  10 12  8n  n 2 m 2  8m  1008 m 2  2m  168 x 2  5x  36 x 2  3x  2 28  a 2  11a c 2  13c  14 y 2  y  30

10.

m 2  30m  675

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

2

CASO VII TRINOMIO DE LA FORMA AX + BX + C En este caso se tienen 3 términos: El primer término es un cuadrado perfecto, o sea que tiene raíz cuadrada exacta, el segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, osea sin una parte literal, así:

4x² + 15x + 9 2

Para factorizar una expresion de esta forma; primero se coje el término al lado de x , (en este caso el 4) y se multiplica por toda la expresión, dejando el segundo término igual pero en parentesis y dejando todo esto en una fracción. Usando como denominador el término que estamos multiplicando, multiplicandolo con el 1

Luego separamos en dos fracciones el término

Y después procedemos a eliminar las fracciones

EJERCICIOS: Factorar: 1.

6 x 4  5x 2  6

2.

27ab  9b 2  20a 2

3.

6m 2 13am  15a 2

4.

30  13ab  3b 2

5.

11xy  6 y 2  4 x 2

6.

6  25x8  5x 4

7.

30 x10  91x 5  30

8.

20 x 2y 2  9 xy  20

9.

5  7 x 4  6 x8

10.

16a  4  15a 2

.

CASO VIII. CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

es decir que debe cumplir con las siguientes caracterìsticas:

   

Debe tener cuatro términos. Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último .

EJERCICIOS: 1.

27  27 x  9 x 2  x 3

2.

8  12a 2 6a 4  a 6

3.

64 x 9  125 y12  240 x 6 y 4  300 x 3 y 8

4.

125a 3  150a 2b  60ab 2  8b3

5.

1  12a 2b  6ab  8a 3b3

6.

m3  3m2 n  3mn2  n3

7.

3a12  1  3a 6  a18

8.

125x12  600 x8 y 5  960 x 4 y10  512 y15

9.

x 9  9 x 6 y 4  27 x 3 y 8  27 y12

10.

216  756a 2  882a 4  343a 6