GUÍAS DE TRABAJO

Matemáticas Material de trabajo para los estudiantes

UNIDAD 3

Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl

MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE NÚMEROS NATURALES

Matemáticas Unidad 3

GUÍA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL) MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

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Llamamos múltiplo de 38 a todos los números que resultan si se multiplica 38 por 0, por 1, por 2, por 3, o por cualquier número natural. a. La tabla 1 muestra los primeros múltiplos de 25. En tu cuaderno, completa la tabla hasta llegar a 25 · 10. b. La siguiente expresión muestra una adición de sumandos iguales.

Tabla 1 Los primeros múltiplos de 25 25 25 25 25 25 25

· · · · · ·

0 1 2 3 4 5

= = = = = =

0 25 50 75 100 125

18 + 18 + 18 + 18 + 18 + 18 = 108 ¿Podríamos afirmar que el resultado de esta adición es un múltiplo de 18? Explica tu respuesta. c. ¿Crees tú que hay un número que es el mayor de todos los múltiplos de 10? Explica tu respuesta.

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Si multiplicamos 222 · 11 obtenemos 2.442. a. De acuerdo con esto, ¿es 2.442 un múltiplo de 222? ¿Es 2.442 un múltiplo de 11? ¿Es 222 un múltiplo de 2.442? ¿Es 11 un múltiplo de 2.442? Explica tus respuestas. b. Matilde afirma que todos los números naturales son múltiplos de 1. ¿Tiene razón? c. Martín afirma que 0 es múltiplo de todos los números, pero el único múltiplo de 0 es el propio 0. ¿Tiene razón? d. Con ayuda de una calculadora encuentra un múltiplo de 32 que sea mayor que 1.000.

3

a. Si en una recta numérica partimos desde 0 y avanzamos dando saltos de 4 en 4 ¿llegaremos al número 28? b. ¿Llegaremos a 36 si partimos de 0 y avanzamos de 6 en 6? ¿Qué otras posibilidades hay de llegar hasta 36 partiendo de 0 y dando saltos de igual longitud? c. ¿Qué saltos deberíamos dar en la recta numérica partiendo de 0 si queremos llegar a múltiplos de 11? ¿Y si partimos desde el 33?

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MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE NÚMEROS NATURALES

Matemáticas Unidad 3

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En tu cuaderno construye una tabla con los números de 1 a 100 ordenados en 10 columnas. El recuadro de la derecha muestra las 2 primeras filas de esta tabla.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

a. ¿Dónde están en esta tabla los múltiplos de 10? ¿Y los múltiplos de 5? ¿Y los múltiplos de 2? b. ¿Hay múltiplos que estén ordenados en líneas diagonales? ¿Hay múltiplos que estén ordenados en líneas horizontales? c. Tarja en tu tabla todos los múltiplos de 2. ¿Quedan múltiplos de 4 sin tarjar? ¿Y múltiplos de 8? d. Además de los múltiplos de 2, tarja los múltiplos de 3. ¿Quedan múltiplos de 6 sin tarjar? ¿Y múltiplos de 12? e. Además de los múltiplos de 2 y de 3, tarja también los múltiplos de 5 y de 7. Haz una lista con los números que quedaron sin tarjar. Guarda esa lista porque más adelante verás que estos números que quedaron sin tarjar pertenecen a un grupo de números muy famoso: los llamados números primos.

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a. Isabel afirma que decir “número par” es lo mismo que decir “múltiplo de 2”. ¿Estás de acuerdo con ella? Explica tu respuesta. b. ¿Qué características tienen todos los múltiplos de 10? ¿Y los múltiplos de 100? ¿Y los múltiplos de 1.000? c. ¿Qué características tienen todos los múltiplos de 5? ¿Y los múltiplos de 50? ¿Y los múltiplos de 5.000? d. Haz una lista con los múltiplos de 11 hasta el 99. ¿Qué características tienen estos múltiplos de 11? d. Haz una lista con los múltiplos de 9 hasta el 99. ¿Qué características tienen estos múltiplos de 9?

6

Descomponer aditivamente un número consiste en expresar ese número como una adición de 2 o más sumandos. Por ejemplo, 24 = 20 + 4, o también 24 = 8 + 9 + 7. Descomponer multiplicativamente un número consiste en expresarlo como un producto de 2 o más factores. Por ejemplo, 24 = 24 · 1, también 24 = 2 · 3 · 4. a. ¿Qué otras descomposiciones multiplicativas de 24 son posibles? (No consideres eventuales cambios de orden en los factores ni repeticiones del factor 1). b. Encuentra diferentes descomposiciones multiplicativas para 30. c. Encuentra descomposiciones multiplicativas de 2 factores para 100. d. ¿Qué número se puede descomponer en el producto 2 · 3 · 3 · 5?

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MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE NÚMEROS NATURALES

Matemáticas Unidad 3

GUÍA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO INDIVIDUAL) DIVISORES DE UN NÚMERO Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

1

La división 48 : 6 es una división exacta, es decir, tiene resto 0. Por esa razón, decimos que 48 es divisible por 6 y que 6 es un divisor de 48. a. 6 no es el único divisor de 48. Desde luego, 1 es divisor de 48. Y 48 también es divisor de 48. En total, hay 10 divisores de 48. ¿Podrías hacer una lista con los 10 divisores de 48? b. Haz una lista con todos los divisores de 18. c. Marcos afirma que el 1 solo tiene 1 divisor. ¿Tiene razón? Explica tu respuesta. d. Viviana afirma que el 1 es divisor de todos los números naturales mayores que 0. ¿Tiene razón? Explica tu respuesta. e. Federico afirma que todo número natural mayor que 1 tiene por lo menos 2 divisores. ¿Tiene razón? Explica tu respuesta.

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a. Menciona algunos números naturales que tengan solo 2 divisores. b. Menciona algunos números naturales que tengan solo 3 divisores. c. Encuentra cuántos divisores tiene cada uno de los números naturales desde el 1 hasta el 20.

3

Si multiplicamos 37 · 24 obtenemos 888. a. De acuerdo con esto, ¿es 37 un divisor de 888? ¿Es 24 un divisor de 888? ¿Es 888 un divisor de 37? ¿Es 888 un divisor de 24? Explica tus respuestas. b. ¿Qué relación ves tú entre el concepto de divisor y el concepto de múltiplo?

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Observa la multiplicación que muestra el recuadro. a. ¿Podríamos afirmar que 3, 5 y 7 son divisores de 105?

3 · 5 · 7 = 105

b. ¿Podríamos afirmar que 15 es divisor de 105? ¿Y 21? ¿Y 35? Explica tus respuestas. c. Silvia afirma que si un número es divisible por 12 entonces también es divisible por todos los divisores de 12. ¿Tiene razón? Explica tu respuesta con ayuda de un ejemplo.

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MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE NÚMEROS NATURALES

Matemáticas Unidad 3

GUÍA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO INDIVIDUAL) NÚMEROS PRIMOS Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

1

Hemos visto que todo número natural mayor que 1 tiene por lo menos 2 divisores: el 1 y el mismo número. La mayor parte de los números tienen otros divisores además de estos dos. Pero existen números que solo tienen esos dos divisores como, por ejemplo, 7, 13 o 29. A estos números se les llama números primos. a. Por convención, se ha establecido que el 1 no pertence al conjunto de los números primos. De acuerdo con esto, ¿cuál es el menor de los números primos? b. ¿Cuántos números primos menores que 20 existen? ¿Cuántos números primos hay entre 20 y 40?

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A continuación se reproduce una lista con todos los números primos menores que 1.000. 2 31 73 127 179 233 283 353 419 467 547 607 661 739 811 877 947

3 37 79 131 181 239 293 359 421 479 557 613 673 743 821 881 953

5 41 83 137 191 241 307 367 431 487 563 617 677 751 823 883 967

7 43 89 139 193 251 311 373 433 491 569 619 683 757 827 887 971

11 47 97 149 197 257 313 379 439 499 571 631 691 761 829 907 977

13 53 101 151 199 263 317 383 443 503 577 641 701 769 839 911 983

17 59 103 157 211 269 331 389 449 509 587 643 709 773 853 919 991

19 61 107 163 223 271 337 397 457 521 593 647 719 787 857 929 997

23 67 109 167 227 277 347 401 461 523 599 653 727 797 859 937

29 71 113 173 229 281 349 409 463 541 601 659 733 809 863 941

Analizando esta tabla podremos conocer algunas de las propiedades que tienen los números primos. a. ¿Hay números pares entre los números primos? ¿Hay números terminados en 0? ¿Y números terminado en 5? ¿Puedes dar argumentos para fundamentar tus respuestas? b. Con excepción del 2 y el 3, no hay números primos que sean consecutivos. Pero hay numerosos pares de números primos que se diferencian solo por 2 unidades. ¿Podrías encontrar varios ejemplos en la tabla? c. Con excepción de la pareja formada por 3 y 5, el número que queda al medio en cada una de estas parejas tiene una relación muy especial con el número 6. ¿Puedes encontrar esa relación?

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MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE NÚMEROS NATURALES

Matemáticas Unidad 3

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a. Un amigo de Roberto piensa que el producto de dos números primos debería ser también un número primo. ¿Tiene razón? Justifica tu respuesta. b. Discute la posibilidad de que la suma de dos números primos sea también un número primo. Tal vez te sea útil recordar que la suma de dos número impares es siempre un número par. c. Es fácil encontrar sumas de 3 números primos cuyo resultado es también un número primo. Por ejemplo, 3 + 3 + 5 = 11. ¿Podrías encontrar otros ejemplos similares?

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El recuadro muestra una forma de descomponer muliplicativamente el número 90. Observa que todos los factores son números primos.

90 = 2 · 3 · 3 · 5

Una propiedad importante de los números primos es que cualquier número puede descomponerse en un producto de números primos. Para encontrar la descomposición en factores primos de un número, empezamos escribiendo una descomposición multiplicativa cualquiera del número. Si hay factores que no son primos, los descomponemos. Si nuevamente aparecen factores que no son primos, los descomponemos. Y seguimos así hasta que todos los factores de la descomposición sean primos. a. Utliza este procedimiento para encontrar la descomposición en factores primos de 12. b. Descompón el número 32 de modo que todos los factores sean primos. ¿Qué característica tiene la descomposición encontrada? c. Encuentra el número cuya descomposición en factores primos es 2 · 2 · 3 · 5. d. Un niño afirma que la descomposición de 48 en factores primos es: 48 = 2 · 2 · 3 · 4 ¿Estás de acuerdo con él? Justifica tu respuesta.

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a. Elije un número cualquiera mayor que 100 que no sea primo. Con ayuda de una calculadora encuentra su descomposición en factores primos. b. Con ayuda de la calculadora, encuentra al número cuya descomposición en factores primos es 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5.

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