HOJA DE TRABAJO UNIDAD 3

1. Defina que es probabilidad Es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación, el resultado es al azar. Se refiere al estudio de la aleatoriedad y a la incertidumbre. 2. Basado en la definición clásica de probabilidad y su modelo matemático, busque 3 ejemplos de cálculo de probabilidades a. La probabilidad de que caiga hacia arriba la figura cara, al lanzar una moneda. b. La probabilidad de que caiga hacia arriba el número 4, al lanzar un dado. c. La probabilidad de extraer una carta de diamantes de una baraja de cartas. 3. Que es un espacio muestral? Investigue 3 ejemplos Es el conjunto de resultados posibles que pueda presentarse de un experimento. a. Se lanza una moneda y se observa la figura que cae hacia arriba, el espacio muestral consiste en las dos figuras posibles, estos son: cara o escudo b. Se lanza un dado y se observa el número que cae hacia arriba, el espacio muestral consiste en los seis números posibles, estos son: 1, 2, 3, 4, 5, 6. c. El espacio muestral de un abaraja de cartas es de 52, que es el número de cartas que compone una baraja. 4. Defina que es Evento Simple, Evento compuesto, Evento Complementario, Evento Nulo, Evento Verdadero. Investigue 3 ejemplos de cada uno. Evento Simple Es el resultado posible de un experimento , cuya característica es la de no descomponerse entre otros casos. a. La probabilidad de que caiga hacia arriba la figura cara, al lanzar una moneda. b. La probabilidad de que caiga hacia arriba el número 4, al lanzar un dado. c. La probabilidad de extraer el rey de diamantes de una baraja de cartas. Evento Compuesto Existe cuando se puede descomponer en varios eventos simples. a. La probabilidad de que caiga hacia arriba cara y escudo, al lanzar dos moneda. b. La probabilidad de que caiga hacia arriba un número par, al lanzar un dado. c. La probabilidad de extraer una carta de diamantes de una baraja de cartas. Evento Complementario De un evento A será el conjunto de elementos que no están contenidos en A a. De la probabilidad de que caiga hacia arriba la figura cara al lanzar una moneda, el evento complementario es escudo. b. De la probabilidad de que caiga hacia arriba un número par al lanzar un dado, el evento complementario es un número impar. http://w w w .joem c.tk

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c. De la probabilidad de extraer una carta de diamantes de una baraja de cartas, el evento complementario son todas las cartas que no sean de diamantes. Evento nulo Es un evento que no puede ocurrir, suceso que no puede darse, su probabilidad es cero, está representada por el conjunto vacio. P (JOE)=0. a. La probabilidad de que caiga hacia arriba el número 4, al lanzar una moneda. b. La probabilidad de que caiga hacia arriba la figura escudo, al lanzar un dado. c. La probabilidad de ganar el premio mayor de la lotería sin comprar ningún número. Evento cierto o seguro---verdadero Si la probabilidad es igual a uno, se denomina evento cierto o seguro. Es aquel que comprende todos los resultados posibles, se representa P (JOE)=1. a. La probabilidad de ganar el premio mayor de la lotería comprando todos los números. b. La probabilidad de extraer una carta de una baraja. c. La probabilidad de que caiga hacia arriba una número menor de 7 al lanzar un dado. 5. Cuáles son los límites o valores extremos de una probabilidad. Los límites de la probabilidad son 0 y 1, ó 0% y 100%. 6. A qué es igual la sumatoria de todas las probabilidades en un espacio muestral La sumatoria de todas las probabilidades en un espacio muestral es igual a 1 ó 100%, ó un evento cierto o seguro 7. Defina las 4 reglas de probabilidad para dos o más eventos e investigue 3 ejemplos de cada una. 1. Eventos mutuamente excluyentes Dos o más eventos se dice que son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de una cualquiera de ellos no imposibilita la ocurrencia de los otros, o sea que no pueden suceder simultáneamente. P(AUB)=P(A) + P(B) a. Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior. Si A evento de salir un número par y B evento de salir un número impar, entonces son mutuamente excluyentes. b. Se lanza una moneda y se observa la figura que cae hacia arriba, esta puede ser cara o escudo, no pueden caer las dos figuras hacia arriba en el mismo evento. c. Se observa el nacimiento de gemelos, primero nace una persona y después el otro, no suceden al mismo tiempo. 2. Eventos parcialmente excluyentes --- No mutuamente excluyentes. Dos o más eventos se considera que se traslapan parcialmente si parte de un evento y parte de otro ocurren juntamente. Es decir parte del evento A es parte del evento B. P(AUB)=P(A) + P(B) - P(A∩B) http://w w w .joem c.tk

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a. Una bolsa contiene 2 facturas al crédito por montos de Q. 2,000.00 y Q. 4,000.00 y 3 al contado por Q. 3,000.00, Q. 3,400.00 y Q. 4,500.00 respectivamente, Si se extrae una factura hallar la probabilidad que ésta sea al crédito o mayor de Q. 3,500.00 b. Se tiene 4 empresas de transportes A, B, C y D los cuales cubren cada uno de ellos las rutas 1, 2 y 3, Hallar la probabilidad de que se seleccione un bus de la empresa C o de la c. Se tienes 2 Cartas de Corazones con los números 2 y 6, tres cartas de Diamantes con los números 4, 7 y 9, Hallar la probabilidad de extraer un carta de Corazones o mayor de 3. 3. Eventos independientes Dos eventos son considerados independientes si los eventos en ningún modo afecta uno al otro. La ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la ocurrencia del otro evento. P(AyB)=P(A) x P(B) a. Una bolsa contiene varios artículos, de los cuales 3 son defectuosos y 2 son buenos. Se extrae un artículo y después se reemplaza. Otro artículo es extraído después del reemplazo. Encontrar la probabilidad de que ambas extracciones sean artículos p(defect) = 3/5 x 3/5 = 0.36 ó 36% b. Una bolsa contiene dos facturas al crédito y tres al contado, Si se extrae una factura y se reemplaza, se extrae un segundo documento. Hallar la probabilidad de que ambas sean facturas al crédito. p(contado) = 2/5 x 2/5 = 0.16 ó 16% c. Se tienen los siguientes documentos del cliente A=5, B=7, C=4, hallar la probabilidad de sacar 2 documentos que sean del cliente C (con reemplazo) p(c)=4/16 x 4/16 = 0.0625 ó 6.25% 4. Eventos dependientes o condicionales Si A y B, están relacionados de tal modo que la ocurrencia de B depende de la ocurrencia de A entonces A y B son llamados eventos dependientes o condicionales. P(AyB)=P(A) x P(B/A) a. Una bolsa contiene varios artículos, de los cuales 3 son defectuosos y 2 son buenos. Se extrae un artículo y no se reemplaza, otro artículo es extraído. Encontrar la probabilidad de que ambas extracciones sean artículos defectuosos. p(defect) = 3/5 x 2/4 = 0.3 ó 30% b. Una bolsa contiene 2 facturas al crédito y 3 al contado, Si se extrae una factura y no se reemplaza, se extrae un segundo documento. Hallar la probabilidad de que ambas sean facturas al crédito. p(contado) = 2/5 x 1/4 = 0.1 ó 10%

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c. Se tienen los siguientes documentos del cliente A=5, B=7, C=4, hallar la probabilidad de sacar 2 documentos que sean del cliente C (Con Reemplazo). p(c)=4/16 x 3/15 = 0.05 ó 5% 8. Qué es una distribución de probabilidad y cuáles son los tipos de distribuciones que existen y dé su definición. La distribución de probabilidades la podemos definir como una distribución teórica de frecuencia, es decir, es una distribución que describe como se espera que varíen los resultados. 1. Distribución Binomial Es una distribución discreta de probabilidad basada en el desarrollo del binomio; se consideran pruebas repetidas e independientes de un experimento con dos resultados. El desarrollo de un binomio conocido como (a + b)^n es el mismo en el desarrollo de una distribución binomial. La distribución binomial también es conocida como distribución de Bernouilli en honor a su creador. 2. Distribución de Poisson La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Así tiempo fijo si estos eventos ocurren con una frecuencia media conocida y son independientes del tiempo discurrido desde el último evento. 3. Distribución Normal Es una distribución de probabilidad continua, porque las variables pueden tomar cualquier valor dentro de un rango dado. Es un modelo teórico de probabilidad que se puede aplicar a diferentes fenómenos cuantitativos, así como en el muestreo probabilístico. 9. Qué representa p, q y n en el binomio (p+q) elevado a la n. p = éxito q = fracaso n = número de pruebas 10. Enumere las características del binomio en la distribución binomial. a. Su desarrollo tiene n + 1 términos; b. p, aparece desde el primer término del binomio con exponente igual a n, disminuyendo de unidad en unidad en cada teérmino, hasta llegar a exponente 1; c. q, aparece haste en el segundo término del desarrollo del binomio elevado a exponente 1, aumentando su exponente de unidad en unidad, en cada término siguiente, hasta llegar a exponente n; d. En cada término la suma de los exponentes de p y q es igual a n; y e. El coeficiente de un término cualquiera, del segundo en adelante se obtinen por la fórmula: Coef. Término cualquiera, = segundo en adelante

(Coef. Término anterior) (Expon. De p, en término anterior) No. De orden del término anterior

11. Investigue las reglas para el desarrollo del binomio (incluyendo el tiangulo de pascal) y desarrolle el mismo para los exponentes: 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

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Primera regla: En un ensayo que tiene k posibles resultados igualmente verosímiles, en los cuales uno y solo uno puede aparecer en cada intento. Segunda regla: De la aditividad, si un evento es satisfecho por uno de un grupo de posibilidades mutuamente excluyentes, la probabilidad del evento es la suma de las probabilidades de los resultados del grupo. Tercera regla: De la multiplicación, en una serie de ensayos independientes, sobre las mismas unidades, la probabilidad del evento es igual al producto de las probabilidades de los eventos individuales. Triángulo de Pascal: Es un conjunto infinito de números enteros ordenados en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales. Su interés radica en su aplicación en álgebra y permite calcular de forma sencilla números combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton. Desarrollo 1 1 (p+q)^2 = (p+q)^3 (p+q)^4 (p+q)^5 (p+q)^6 (p+q)^7

1 1 1

1 2

3

3 6

1

1 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1

4

1 4

5

12. Conociendo p = 0.40 (artículos defectuosos), q = 0.60 y n = 6 artículos, calcule los estadígrafos de la distribución binomial siguientes: a.. Promedio x̄ = n * p x̄ = 6 * 0.40 x̄ = 2.40 b. Varianza S^2 = n * p * q S^2 = 6 * 0.40 * 0.60 S^2 = 1.44 c. Desviación Estandar S = √n * p * q S = √1.44 S = 1.20

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d. Coeficiente de Variación CV = S * 100 x̄ CV = 1.20 * 100 2.40 CV = 50% e. Coeficiente de Sesgo A=q-p S A = 0.60 - 0.40 1.20 A = 0.166667 f. Coeficiente de Curtosis C=3+ [1-6(p*q)] S^2 C = 3 + [ 1 - 6 ( 0.40 * 0.60 ) ] 1.44 C = 2.6944 13. Con los mismos datos del problema 12. hallar las siguientes probabilidades. a. Que más de un artículo pero menos de cinco sean defectuosos. 15p^2q^4 + 20p^3q^3 + 15p^4q^2 = 0.3110 + 0.2765 + 0.1290 = 0.7165 ó 71.65% b. Que más de tres sean defectuosos 15p^4q^2 + 6p^5q + p^6 = 0.1382 + 0.0369 + 0.0041 = 0.1792 ó 17.92% c. Que por lo menos tres sean defectuosos 6pq^5 + 15p^2q^4 + 20p^3q^3 = 0.1866 + 0.3110 + 0.2765 = 0.7741 ó 77.41% d. Que menos de seis sean defectuosos p^6 = 0.004096 q^6 = 0.046656 1- 0.004096 - 0.046656 = 0.9492 ó 94.92%

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