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curso 2010-2011 ELU inestabilidad o pandeo

hormigón armado y pretensado II curso 2010-2011

E.L.U. de inestabilidad o pandeo (actualizado a la EHE-08) “ El pandeo es un estado límite último, por lo cual la comprobación de la estructura deberá realizarse a ppartir de las acciones de cálculo (mayoradas) y de los diagramas tensión-deformación de cálculo (minorados)”. F. Morán.

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ÍNDICE 1 INTRODUCCIÓN 1. 1.1. PLANTEAMIENTO BÁSICO 1.2. DESCRIPCIÓN DE LA INESTABILIDAD 2. PLANTEAMIENTO OG GENERAL DEL ANÁLISIS Á SS 2.1. PLANTEAMIENTO EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES (EULER) 2.2. PLANTEAMIENTO O EN PIEZAS S DE HORMIGÓN O GÓ 3. PARÁMETROS QUE INFLUYEN EN EL COMPORTAMIENTO DE SOPORTES ESBELTOS 4. COMPROBACIÓN DE SOPORTES AISLADOS 4 1 DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN PARA SOPORTES ESBELTOS 4.1. 4.2. MÉTODO DE LA COLUMNA MODELO 4.3. MÉTODO DE LA EHE-08 5. EFECTOS DEL PRETENSADO 5.1. INTRODUCCIÓN 5 2 EFECTOS SEGÚN EL TIPO DE PRETENSADO 5.2. 5.3. COMPROBACIÓN DEL PANDEO 6. PANDEO DE SOPORTES SOMETIDOS A FLEXOCOMPRESIÓN ESVIADA 7. PROBLEMAS 2

HAP2 curso 2010-2011 ELU inestabilidad o pandeo 1. Introducción 1.1. Planteamiento básico  Existencia de deformaciones transversales en soportes comprimidos por:  Irregularidad de la directriz  Incertidumbre punto de aplicación La teoría de primer orden a través de directriz original no es aplicable   hay h que ttener en cuenta t ell momento t dde segundo d orden d M2

M  M 1  M 2  M int M  M 1  M 2  M int i t

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HAP2 curso 2010-2011 ELU inestabilidad o pandeo Donde: M = Momento de solicitación de la sección x Mint = Respuesta última de la sección x M1 = Momento de primer orden en sección x M2 = Momento de segundo orden en sección x, producido por N al desplazarse el punto de aplicación M 1  M int  Respuesta de la sección mermada: i  M2  M2 aumenta la deformación de la sección  aumentan las flechas  puede conducir a la inestabilidad ((M > Mint))

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HAP2 curso 2010-2011 ELU inestabilidad o pandeo  Curva N-M en segundo orden: e = excentricidad inicial v = flflecha h máxima á i dde la l ddeformada f d ((aumenta t con esbeltez b lt ddell soporte) t )

 Curva 0: Estados límites últimos de la sección x sometida a axil excéntrico N  Curva 1: columna corta (v = 0, M  N)  Curva 2: columna poco esbelta  Curva 3: Columna esbelta  crecimiento rápido de v  inestabilidad

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HAP2 curso 2010-2011 ELU inestabilidad o pandeo 1.2. Descripción de la inestabilidad 1.2.1. Pieza recta biarticulada a compresión simple  Supuesta S t una ley l de d flflechas h e(x), ( ) estudiamos t di lla sección ió central t l

 Momento exterior:

M  x   N  e x 

 Momento interno (sometido a N):

d 2e M int  x    E  I  2 dx

x

 M(x) M( ) : proporcional i l a e(x) ( )  Mint(x): NO proporcional a e(x)  ley curva dependiente de N (E·I variable, la 6 rigidez disminuye con el aumento de la deformación por no linealidad del hormigón)

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Posibilidades:  Mint(x) > M(x) (e < emax): pieza regresa a configuración recta  Mint(x) < M(x) (e > emax): inestabilidad (pandeo)  Mint(x) = M(x) (e = emax): equilibrio inestable  Efecto del aumento de N:  Aumento de la pendiente de M(x)  Descenso de emax  Caso límite N2;

M  x   M int  x   e  0 Carga de pandeo: bajo N2 o una carga mayor, mayor cualquier excentricidad produce pandeo

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1.2.2. Pieza recta biarticulada a compresión excéntrica  Supuesta una ley de flechas e(x),

 Momento exterior:

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M  x   N  e0  e x 

 Momento interno (sometido a N):

d 2e M int  x    E  I  2 dx x

 M(x) : recta con origen en N·e0

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 Recta M1 (axil N1): estabilidad en el punto A (e = e1)  equilibrio de segundo orden  Recta M2 (axil N2): carga de pandeo (máxima carga a que puede estar sometida la sección)  INESTABILIDAD (punto B)  Caso de cargas de larga duración: la curva Mint se convierte en Mint'' ( (aumento t dde lla ddeformabilidad f bilid d por flfluencia) i )  aumentan t flechas fl h  inestabilidad (punto D)

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2. Planteamiento general del análisis 2.1. Planteamiento en pequeñas deformaciones (Euler) 2.1.1. Pieza biarticulada recta  Equilibrio bajo hipótesis de pequeñas deformaciones: y  0   y   c 

N  y  E  I  y   0

más condiciones de contorno.  Solución analítica: suponiendo E·I constante,

y  y max sen

n x l

 Existen infinitos valores de N para los que el equilibrio es posible, posible con cualquier ymax (fenómeno de indefinición de la deformada)  Carga crítica (de Euler):

N cr  min( N1 , N 2 ,) 

 2 EI l2 10

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2.1.2. Pieza biarticulada recta con compresión excéntrica  Ecuación de equilibrio:

N   y  e0   E  I  y   0 más á condiciones di i dde contorno. t  Solución: solución única N de equilibrio de segundo orden.  Se cumple N < Ncrit e tiende a infinito cuando N tiende a Ncrit 2 2 Planteamiento en piezas de hormigón 2.2. 2.2.1. Planteamiento del problema  Ec varía con el nivel de tensiones  E no es constante

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 fct  0  fisuración  pérdida de rigidez  I no es constante

 El acero y el hormigón plastifican para valores altos de tensión  El hormigón sufre retracción y fluencia  aumento de las deformaciones

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 Comportamiento no lineal  No linealidad geométrica: influencia de la deformación adicional causada por acciones sobre elemento (teoría de 2º orden) g en función de las acciones  No linealidad mecánica: variación de la rigidez Condiciones para solución: 1. Equilibrio estructural en la configuración deformada 2. Equilibrio seccional en la configuración deformada 3. Compatibilidad estructural: y" = 1/r (curvatura) más condiciones de contorno 4. Compatibilidad seccional: deformación plana, adherencia perfecta entre h i ó y acero hormigón 5. Leyes de comportamiento de los materiales  MÉTODOS NUMÉRICOS BASADOS EN PROCESOS ITERATIVOS

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HAP2 curso 2010-2011 ELU inestabilidad o pandeo 2.2.2. Solución por proceso iterativo  Datos: N, e0  Incógnita: y(x) (deformada en equilibrio)  Se discretiza la pieza en tramos, y se determina en cada tramo i:  Flecha yi  Momento exterior: M = N·(e0+yi)  Sección S ió titipo: relaciones l i M N 1/ - M-N-1/r;  Ecuación de equilibrio en cada sección:

M i  N  e0  yi   E  I i  yi e

E E·II variable, variable función del nivel de esfuerzos

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

HAP2 curso 2010-2011 ELU inestabilidad o pandeo Pasos del procedimiento iterativo: 1. Solución inicial arbitraria, no nula (circular, parabólica, sol. 1er orden...)

yi  yi  x  0

2. Cálculo del momento exterior en cada tramo

Mi





 N  e0  yi  x 

ext

0

3. Conocidos Miext, N se obtiene la curvatura de la superficie mecánica





f Mi , N,c  0  c ext

4. Obtención de la deformada y( y(x)) ppor doble integración g de curvaturas más condiciones de contorno

yi  x    c dx 2 1

5. Cálculo del momento interior (de respuesta) en cada tramo

Mi

int





 N  e0  yi  x  1

6. Comparación de Mint y Mext

0 1 yi  x  : yi  x  y vuelta al ppaso 2.

Mi

int

 Mi

ext

0 

Mi

int

 Mi

ext

 0  SOLUCIÓN

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 Estudio de la respuesta estructural del soporte:  Se repite todo el proceso para valores de N (o de e0) crecientes, hasta llegar al agotamiento de materiales o la inestabilidad (ausencia de convergencia en la solución del equilibrio). 3 P 3. Parámetros á t que iinfluyen fl en ell comportamiento t i t de d soportes t esbeltos b lt 1. Esfuerzo axil N y signo de las excentricidades extremas  Influencia de N: en momento de 22º orden y en diagrama M-N-c MNc  Influencia de e0: en momento de 2º orden a través de la deformada  Caso más desfavorable: M1 M1= cte (e1 (e1=e2) e2) Coinciden M1max y M2max en la sección central g M1max en extremos Excentricidades de diferente signo:

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2. Coacción al desplazamiento transversal de los nudos extremos  M2 mayor en estructuras traslacionales (se suma el efecto de desplazamiento de nudos) 3. Cuantía de armadura y propiedades mecánicas de los materiales  Influencia directa a través de diagrama M-N-c MNc 4. Coacción al giro de los nudos extremos  Mayor coacción  menor flexibilidad pieza 5. Duración de la carga  Aumento de deformación con el tiempo p  pposible inestabilidad diferida  Estudio simplificado a través de excentricidad adicional 6. Existencia de pretensado  Retraso de la fisuración  rigidez  Aumento de tensiones compresivas 7 E 7. Esbeltez b lt geométrica ét i dde lla pieza i l0 I ; i  Definición de esbeltez mecánica m m  i A i = radio de giro de la sección l0 = longitud de pandeo de la pieza (distancia entre puntos de M nulo)

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HAP2 curso 2010-2011 ELU inestabilidad o pandeo 4. Comprobación de soportes aislados 4.1. Diagramas de interacción para soportes esbeltos  Diagramas Nu - Mu para cada sección tipo que representan situaciones de colapso por inestabilidad o agotamiento

 Variables V i bl adicionales di i l consideradas: id d  Esbeltez geométrica: g = l0/h  Relación entre excentricidades extremas: e01/e02  Coeficiente de fluencia:  =·

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HAP2 curso 2010-2011 ELU inestabilidad o pandeo 4.2. Método de la columna modelo 4.2.1. Planteamiento  COLUMNA MODELO: MODELO soporte t esbelto b lt empotrado t d en lla bbase, lib libre en ell extremo t superior, que presenta curvatura simple (sin puntos de inflexión)

 Hipótesis:  Pequeñas deformaciones

Deformada senoidal  x  y  y max sen   le  Longitud real de la curva modelo: l  le / 2 (donde le = longitud de pandeo)

 Condiciones de contorno:  

y 0   y le   0 y le / 2   y max  a

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Pendiente y curvatura  x    y   y max



cos   le   x  2 y    y max 2 sen  le  le  le

 Curvatura máxima: en la sección de la base, x  le  y   a  2  2

2

le

2



l a   e  cmax 10

RELACIÓN ENTRE CURVATURA MÁXIMA ((EN LA BASE)) CON FLECHA MÁXIMA (EN CABEZA DE PILAR)

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4.2.2. Obtención de la capacidad última de la sección  Objetivo: conocer M1max, M1max conocidos: 1. 2. 3. 4.

Comportamiento de los materiales Propiedades p de la sección transversal Cuantía y disposición de armadura Valor de N

 Se obtiene diagrama M-cmax (diagrama momento - curvatura de la base)

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 Columna modelo: N  le M2  N a   cmax  K  cmax  10 2 N  le max  M 1  M TOT , A  M 2, A  M TOT , A   cmax, A 10  Elaboración El b ió dde ttablas bl dde interacción: i t ió relación l ió entre t  Esbeltez geométrica   Cuantía C tí mecánica á i de d armadura d   Axil reducido ext  Momento reducido de primer orden ext 2

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4.2.3. Comprobación  Datos: , ,   Comprobación en tabla:

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d  

 

 d : momento exterior de solicitación  : momento de primer orden máximo resistido

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4.2.4. Dimensionamiento 1. Aproximación de la curvatura máxima

cmax 

f yd

2 K 2 y 0,9d

 y  E s  d: canto útil de la sección transversal

K2 

Nu  N d N u  0,4 f cdd Ac

Nu=carga última de la sección (sólo axil)  0,85 f cd Ac  f yd As Nd=axil de cálculo (se puede tomar K2 = 1) 2. Momento de segundo orden en la columna modelo 2 le M 2  N d  a  N d  cmax  10 3 Cálculo del Mint para cmax en la curva M - c 3.

M 1  M 2  M int

4. Cálculo de la sección de acero As

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HAP2 curso 2010-2011 ELU inestabilidad o pandeo 4.2.5. Inestabilidad y agotamiento  El método de columna modelo permite distinguir entre inestabilidad y agotamiento

 Determinación del axil crítico  Recta de M2 tangente a la curva M - cmax en el origen: M1max = 0

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HAP2 curso 2010-2011 ELU inestabilidad o pandeo  Simplificación elástica: por resistencia de materiales, 1 M M y    tg    EI Fin clase 7-11-07

r

EI

1/ r

 Valor de la pendiente de la recta de M2: 2

l M 2  N e cmax 10

 Axil crítico:

2

M l  tg   2  N e 1/ r 10

2

l EI  N crit e 10



N crit 

10 EI 2 le

44.2.6. 26 F Factor t de d corrección ió  Corrección del error cometido al aproximar la deformada por curva senoidal  Expresión del momento corregido:

M  M 1c  M 2 c  Cálculo del momento corregido de segundo orden: Curvatura total en la base del pilar: 1

Flecha total en cabeza del pilar:

r



1 1  r1c r2 c

a  a1c  a2 c donde aic = excentricidad de 2º orden debida al momento de orden i

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 Momento de segundo orden:

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M 2 c  N a1c  a2 c   Cálculo de a1c M a1c  E EI

donde ME = momento estático de la ley de momentos de primer orden con respecto al extremo del voladizo  Cálculo de a2c

1 le M 2 c le M  M 1 a2 c  2    r2 c  2 EI  2 EI le

2

2

2

 Momento de primer orden M 2c N a1c  a2 c  M1  2 M E  1   2 M2 M le 2 M le 1 N 2  r   M 1   2 M E     M 1c  M  M 2 c  M 1 1  1  1  2 M  le M 1      M  Final clase 7-11-07  M 1 1   c 1  1  M   

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HAP2 curso 2010-2011 ELU inestabilidad o pandeo Deducción de c 1 1 2s 4 s M s 1 s a1c  E     2  M 1  s    M 1  s     1  M 1    EI EI  2 3 2 3 3 4 2

M l     1  e 1  1  2  EI 12  2  2

 c  1 

 2M E M 1le

2





1 1  2   6 1,2 2,4

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4.3. MÉTODO DE LA EHE-08 (Art. 43º)  Definiciones

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PILARES/PILAS SECCIÓN Y ARMADURA CONSTANTE EHE-08

N *  k1

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n  EI n  1,6 h 2

Nd≤N* estructura intraslacional Nd>N* estructura traslacional n