I EJERCICIOS RESUELTOS II EXÁMENES DE ECONOMETRÍA III EXÁMENES DE ECONOMETRÍA EMPRESARIAL IV EXÁMENES DE PRINCIPIOS DE ECONOMETRÍA

Nota: Los ejercicios con asterisco no corresponden al programa actual de Principios de Econometría

1

I EJERCICIOS RESUELTOS

1

Un investigador ha estimado el siguiente modelo con una muestra de 5 observaciones: Yt = β1 + β2Xt + ut Una vez realizada la estimación extravía toda la información de que disponía excepto la que aparece en la siguiente tabla: Xt uˆt Núm. obs. 1 1 2 2 3 -3 3 4 0 4 5 ¿? 5 6 ¿? Con la información anterior el investigador debe calcular una estimación de la varianza de las perturbaciones aleatorias ¿Cómo debe proceder?

2

Un investigador considera que la relación entre consumo (C t ) y renta ( Rt )debe ser estrictamente proporcional. Por ello, plantea el siguiente modelo: C t = β2Rt + ut a) Deduzca la fórmula para estimar β2 b) Deduzca la fórmula para estimar σ 2 T

c) En este modelo, ¿a qué es igual

∑ uˆt ? t =1

3 En lenguaje estadístico se suelen hacer en muchas ocasiones afirmaciones como la siguiente: “Sea una muestra aleatoria simple de tamaño T extraída de una variable X con distribución normal N (α, σ) ”. a) Exprese el modelo anterior con lenguaje econométrico, introduciendo un término de perturbación. b) Deduzca la formula para estimar α c) Deduzca la formula para estimar σ 2 T

d) En este modelo, ¿a qué sería igual

∑ uˆt ? t =1

4

Sea el siguiente modelo que relaciona el gasto en educación ( Ei ) con la renta

disponible ( Ri ): Ei = β1 + β 2 Ri + ui De la información obtenida de una muestra de10 familias se han obtenido los siguientes resultados:

2

10

∑R

E = 7 R = 50

i =1

2 i

10

∑E

= 30.650

i =1

2 i

= 622

10

∑RE i =1

i

i

= 4.345

Se pide: a) Obtenga una estimación de β1 y β 2 . b) Estime la elasticidad gasto en educación-renta para el promedio de las familias de la muestra. c) Descomponga la varianza total del gasto en educación de la muestra en varianza explicada y varianza residual. d) Calcule el coeficiente de determinación. e) Estime la varianza de las perturbaciones f) Contraste si la renta disponible tiene o no una influencia significativa sobre el gasto en educación. g) Para E=7 y R=50, contraste si la elasticidad gasto en educación-renta disponible es o no superior a 1.

5

Sea el siguiente modelo Yt = β1 + β 2 X t + ut t = 1, 2,… , T Al estimar este modelo con una muestra de tamaño 11 se han obtenido los siguientes resultados: T

∑X t =1

t

=0

T

∑Y t =1

t

=0

T

∑X t =1

2 t

=B

T

∑Y t =1

t

2

=E

Se pide: 1) Obtener la estimación de β 2 y β1 2) Obtener la suma de cuadrados de los residuos 3) Obtener el estadístico para contrastar H 0 : β 2 = 0

T

∑XY t =1

t t

=F

H1 : β 2 ≠ 0

4) Contrastar las hipótesis del punto 3 bajo el supuesto de que EB = 2 F 2 5) Calcular el coeficiente de determinación bajo el supuesto de que EB = 2 F 2 6) Contrastar las hipótesis del punto 3 bajo el supuesto de que EB = F 2

Soluciones

1 El primer problema que tenemos que resolver es hallar los valores de los residuos para las observaciones número 4 y 5. Para ello, tenemos en cuenta que las dos ecuaciones normales de los coeficientes imponen restricciones sobre los residuos, ya que T

∑ uˆt

=0

t =1 T

∑ uˆt Xt t =1

3

=0

Por lo tanto, en nuestro caso concreto se verificará que uˆ1 + uˆ2 + uˆ3 + uˆ4 + uˆ5 = 0 uˆ1X1 + uˆ2X 2 + uˆ3X 3 + uˆ4X 4 + uˆ5X 5 = 0 Sustituyendo los valores de la tabla se obtiene que 2 − 3 + 0 + uˆ4 + uˆ5 = 0 2 × 1 − 3 × 3 + 0 × 4 + 5uˆ4 + 6uˆ5 = 0 es decir, uˆ4 + uˆ5 = 1 5uˆ4 + 6uˆ5 = 7 Resolviendo, el sistema anterior, se obtiene que uˆ4 = −1 uˆ5 = 2 El estimador insesgado de la varianza de las perturbaciones viene dado por T

σˆ2 =

∑ uˆt2 t =1

T −2 Aplicando la fórmula nuestro caso se obtiene que 5

∑ uˆt2

22 + (−3)2 + 02 + (−1)2 + 22 =6 5−2 3 Obsérvese que en el denominador de la fórmula figura T-2 (en lugar de T), debido precisamente a que se pierden 2 grados de libertad por las restricciones que imponen las ecuaciones normales. 2 Para que exista una estricta proporcionalidad entre el consumo y la renta se debe verificar la siguiente relación teórica: Ct = constante Rt El modelo propuesto –si prescindimos de la perturbación, que no altera el valor medio de la variable endógena - se verifica esta propiedad ya que Ct = β2 Rt En cambio, en un modelo con término independiente no se verificaría esa propiedad, ya que en ese caso β + β2Rt β Ct = 1 = 1 + β2 ≠ constante Rt Rt Rt a) Para estimar β2 hay que minimizar la siguiente expresión: σˆ2 =

t =1

=

T

S =

T

∑ [ uˆt ] =∑ Ct − βˆ2Rt  2

t =1

2

t =1

Por lo tanto, T

dS = −2∑ C t − βˆ2Rt  Rt = 0 d βˆ t =1 2

4

es decir, T

βˆ2 =

∑Ct Rt t =1 T

∑ R2 t =1

t

b) El estimador de la varianza de las perturbaciones T

T

2 ∑ [ uˆt ]

∑ Ct − βˆ2Rt 

= t =1 T −1 T −1 En la expresión anterior, en el denominador aparece T-1, debido a que se ha perdido un solo grado de libertad, ya que solamente hay una ecuación normal que imponga restricciones sobre los residuos. c) Como no hay término independiente, la recta ajustada pasa por el origen. En este caso, a diferencia del caso en que ajustamos una recta sin restricciones (es decir, con término independiente), solamente tenemos una ecuación normal para el ajuste, que viene dada por σˆ2 =

t =1

2

T

∑ Ct − βˆ2Rt  Rt = t =1

T

∑ [ uˆt ]Rt

=0

t =1

En cambio, al no haber término independiente, no tenemos una ecuación normal relativa a ese término, y por tanto, no podemos establecer que se cumpla T

que

∑ uˆt =0. Recordemos que esta propiedad se deducía de la primera ecuación t =1

normal de la recta asociada al término independiente. En este caso, al prescindir del término independiente, se prescinde también de la primera ecuación normal. T

En consecuencia, no podemos predecir cuál es el valor de

∑ uˆt . t =1

3 a)En el lenguaje econométrico el modelo se puede expresar de la siguiente forma: Xt = α + ut donde ut ~ NID(0, σ 2 ) El hecho de que la muestra se ha extraído en un muestreo aleatorio simple implica que las Xt y, por tanto, las perturbaciones aleatorias son independientes entre sí. Es decir, E (ut ut ′ ) = 0 , para t ≠ t ′ . Por otra parte, la varianza de las X extraídas tendrán la misma varianza ya que provienen de una constante. De acuerdo con lo anterior, se deduce que E (Xt ) = E (α + ut ) = α

E (Xt − α)2 = E (ut )2 = σ 2 5

población

Por tanto,

Xt ~ N (α, σ 2 ) Una diferencia de carácter meramente formal. En lenguaje estadístico se suele utilizar la desviación típica como medida de dispersión, mientras que en econometría es más usual utilizar la varianza. b) Para estimar α aplicamos el criterio mínimo-cuadrático: T

∑

S =

t =1

T

=∑ [ Xt − αˆ ]

uˆt2

2

t =1

Por lo tanto, T

dS = −2∑ [ Xt − αˆ ] = 0 d αˆ t =1 es decir, T

αˆ =

∑ Xt t =1

=X T Como puede verse, la ecuación normal nos indica que T

T

∑ [ Xt − αˆ ] =

∑ uˆ = 0

t =1

t =1

lo que implica una restricción sobre los residuos. c) El estimador de σ 2 vendrá dado por T

T

∑ uˆt2

∑ [ Xt − αˆ ]

2

t =1 = t =1 T −1 T −1 En este caso, dado que solo hay una restricción sobre los residuos, el número de grados de libertad es T-1.

σˆ2 =

T

d) Como ya hemos visto en el apartado b),

∑ uˆt =0 t =1

4 a) T

βˆ2 =

T

∑ ( R − R )( E − E ) ∑ ( R E − ER − RE + RE ) i

t =1

i

=

T

∑ ( Ri − R )2 t =1

T

=

T

i

t =1

T

i

i

∑ (R t =1

T

2 i

i

− 2 RRi + R 2 ) 2

T

∑ R E − E ∑ R − R ∑ E + TRE ∑ R E − ERT − RET + TRE t =1

i

i

t =1

i

t =1

T

T

t =1

t =1

i

=

∑ Ri2 − 2 R ∑ Ri + TR 2

t =1

i

T

∑R t =1

6

i

2 i

− 2 RRT + TR 2

T

=

∑ R E − TRE i

t =1 T

i

∑R

2 i

t =1

=

− TR 2

4.345 − 10 × 50 × 7 845 = = 0,1496 2 30.650 − 10 × 50 5.650

βˆ1 = E − βˆ2 R = 7 − 0,1496 × 50 = −0, 4779 Por lo tanto, la recta de regresión ajustada es la siguiente: Eˆi = βˆ1 + βˆ2 Ri = −0, 4778 + 0,1496 × Ri b) La elasticidad gasto en educación-renta estimada para el promedio de las familias de la muestra será la siguiente: dEˆ R ˆ R 50 εˆE / R = × = β 2 × = 0,1496 × = 1, 0683 7 dR E E c) La descomposición de la varianza total del gasto en educación será igual a T

T

T

2

 Eˆ − Eˆ  uˆi2 ∑ ∑ i     i =1 = i =1 + i =1 T T T Para la muestra disponible se obtienen los siguientes resultados: Varianza total:

∑  Ei − E 

10

∑  Ei − E 

10

∑E

2

i =1

10 Varianza explicada:

2

=

2 i

i =1

− 10 × E 2

10

10

 Eˆ − Eˆ  ∑  i  i =1

10

2

=

10

∑ ( βˆ

1

i =1

 βˆ2 ( Ri − R )  ∑   i =1

+ βˆ2 Ri ) − ( βˆ1 + βˆ2 R ) 

T

10

2

= βˆ22

10 10

∑ ( R − R )( E − E ) ∑ ( R − R )

= βˆ

2

i

t =1

i

T

i

i =1

∑ (R − R)

622 − 10 × 7 2 = 13, 2 10 2

10

10

=

=

10

2

∑ (R − R)

2

i

i =1

10 T

∑ ( R − R )( E − E )

2

= βˆ

2

t =1

i

i

10

i

t =1

= 0,1496 ×

845 = 12, 6376 10

Varianza residual: La varianza residual se obtiene como diferencia entre la varianza total y la varianza explicada por la regresión: 10

∑ uˆ

2 i

10

2

i

i =1

−

i

2

= 13, 2 − 12, 6376 = 0,5624 10 10 10 d) El coeficiente de determinación se define como la proporción de la varianza total explicada por la regresión, es decir, i =1

=

10

∑  E − E  ∑  Eˆ − Eˆ  i =1

7

10

R2 =

∑  Eˆ − Eˆ 

2

∑  E − E 

2

i =1 10 i =1

i

=

12, 6376 = 0,9574 13, 2

i

e) La estimación de la varianza de las perturbaciones vendrá dada por T

∑ uˆ

2 i

5, 624 = 0, 703 T −2 8 f) Para contrastar si la renta disponible tiene o no una influencia significativa sobre el gasto en educación, seguiremos las siguientes etapas: 1) Las hipótesis nula y alternativa son las siguientes: H0 : β2 = 0

σˆ 2 =

i =1

=

H1 : β 2 ≠ 0 2) El estadístico para el contraste es el siguiente: βˆ2 − β 20 βˆ2 − 0 0,1496 0,1496 t= = = = = 13, 41 ˆ σ 0,8385 σˆ βˆ2 0, 01115 T 5.650 ∑ ( Ri − R )2 t =1

El estadístico t, bajo la hipótesis nula se distribuye como t de Student con T-2 grados de libertad, es decir, t ~ tT − 2 3) Regla de decisión Si seleccionamos un nivel de significación del 5%, entonces en las tablas de la t de Student con T-2 grados de libertad, se encuentra el siguiente valor en las tablas: tTα−/ 22 = t80,05/ 2 = 2,306 Como t > tTα−/ 22 , es decir, como 13, 41 > 2,306 , se rechaza la hipótesis nula.

-2,306

0

g)

8

2,306

13, 41

1) Para contrastar si la elasticidad gasto en educación-renta disponible es o no superior a 1, para E=7 y R=50 (es decir, para el promedio de las familias de la muestra), sabemos que R 50 ε E / R = β2 × = β2 × E 7 50 Debemos contrastar si ε E / R = β 2 × = 1 , frente a la alternativa ε E / R > 1 . 7 Por lo tanto, las hipótesis nula y alternativa son las siguientes: 7 H 0 : β 2 = 1× = 0,14 50 H1 : β 2 > 0,14 2) El estadístico para el contraste es el siguiente: βˆ − β 20 0,1496 − 0,14 = = 0,8610 t= 2 σˆ βˆ 0, 01115 2

3) Regla de decisión Si seleccionamos un nivel de significación del 5%, entonces en las tablas de la t de Student con T-2 grados de libertad, se encuentra el siguiente valor en las tablas para un contraste de una cola: tTα− 2 = t80,05 = 1,860 Como t < tTα− 2 , es decir, como 0,861 < 1,860 , no puede aceptar la hipótesis alternativa, con un nivel de significación del 5%, de que la elasticidad gastos en educación-renta disponible es superior a 1 en el punto (E=7;R=50).

0

5

0,861

1,860

1) La fórmula general del estimador de la pendiente es la siguiente T

βˆ2 =

∑ (Y − Y )( X t

t =1

T

∑(X t =1

9

t

t

− X)

− X )2

T

∑X

En este caso concreto, dado que

t =1

T

∑Y

=0 y

t

t =1

t

= 0 , el estimador

vendrá dado por T

∑Yt Xt

βˆ2 =

t =1 T

=

∑X2

F B

t

t =1

Por otra parte,

βˆ1 = Y − βˆ2 X = 0 − βˆ2 × 0 = 0 2) La fórmula general de la descomposición de la varianza del regresando es la siguiente:

T

∑ (Yt − Y )

T

∑ (Yˆt − Y )2

2

t =1

T

t =1

=

T

T

+

∑ uˆt2 t =1

T

En este caso concreto, la descomposición de la varianza es la siguiente: T

∑Yt

T

2

t =1

T

=

T

∑Yˆt2 t =1

+

T

∑ uˆt2 t =1

T

La varianza explicada es igual a T

∑Yˆt2 t =1

T

T

=

∑ (βˆ2Xt )2 t =1

T

T

=

βˆ22 ∑ Xt2 t =1

T

=

F2 B F2 = BT B2 T

Por lo tanto, la varianza residual es igual a T

∑ uˆt2 t =1

T

T

=

∑Yt2 t =1

T

T

−

∑Yˆt2 t =1

T

=

E F2 EB − F 2 − = T BT BT

El estimador insesgado de la varianza de las perturbaciones será igual a

10

T

σˆ2 =

∑ uˆt2 t =1

T −2

=

EB − F 2 B(T − 2)

3) La varianza del estimador βˆ2 es la siguiente:

σˆ β2ˆ = 2

σˆ 2 T

∑X t =1

2 t

EB − F 2 EB − F 2 B(T − 2) = = 2 B B (T − 2)

Por tanto, el estadístico para contrastar las hipótesis H 0 : β 2 = 0 siguiente,

βˆ − β 20 t= 2 = σˆ βˆ 2

F −0 B = EB − F 2 B 2 (T − 2)

H1 : β 2 ≠ 0 es el

F EB − F 2 (T − 2)

4) Teniendo en cuenta que EB = 2 F 2 y que T=11, el estadístico de contraste es igual a t=

F EB − F (T − 2)

2

= 11 − 2

F 2F 2 − F 2

= 9 =3

El estadístico t calculado, bajo la hipótesis nula se distribuye como t de Student con 9 grados de libertad, es decir, t ~ t9 Para los niveles de significación del 10%, 5% y 1%, en las tablas de la t de Student con 9 grados de libertad, se encuentran los siguientes valores en las tablas: t90,10 / 2 = 1,833 t90,05/ 2 = 2, 262 t90,01/ 2 = 3, 250 Como t > tTα−/ 22 , para α=0,10 y para α=0,05 se rechaza la hipótesis nula para ese nivel de significación. En cambio, dado que t ≤ tTα−/ 22 para α=0,01, no se puede rechazar la hipótesis nula para este nivel de significación.

11

5) El coeficiente de determinación en este caso concreto será igual a T

R2 =

∑Yˆt2 t =1 T

∑Yt2

F2 F2 F2 = B = = = 0, 5 E BE 2F 2

t =1

6) Bajo el supuesto hipotético de que EB = F 2 , entonces

σˆ β2ˆ = 2

EB − F 2 0 = 2 =0 2 B (T − 2) B (T − 2)

Dado que la varianza del estimador es nula no cabe realizar contrastes de hipótesis. El supuesto de que EB = F 2 significa que T T  T 2 2 2 ∑Yt ∑ Xt =  ∑ XtYt  t =1 t =1  t =1  La igualdad anterior se cumple si Yt = Xt ∀t

12