Ingeniería Eléctrica y Electrónica

Introducción a Matlab Taller Intersemestral Agosto 2005

Ingeniería Eléctrica y Electrónica

Objetivo: Presentar Matlab como una herramienta auxiliar para el análisis y solución de problemas. Seleccionando y adecuando las distintas funciones a las necesidades particulares de cursos del departamento.

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Desglose de Temas •Introducción •Funciones y archivos M •Operaciones con matrices •Operaciones con arreglos de datos •Operadores relacionales •Operadores lógicos •Funciones para análisis de datos •Graficación

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Introducción •MATLAB® es un lenguaje de alto rendimiento para cómputo técnico. •Integra elementos de cálculo, visualización en 2 y 3 dimensiones y programación. •MATLAB significa “MATrix LABoratory” o laboratorio de matrices. •Todos los datos en MATLAB son almacenados como matrices o vectores.

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Introducción •MATLAB es un lenguaje basado en expresiones. •Las expresiones tecleadas por el usuario son interpretadas y evaluadas por el sistema de MATLAB. •Las órdenes dadas al sistema son formuladas como enunciados, los cuales tienen la siguiente forma: variable = expresión o simplemente expresión

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Introducción •Las expresiones se componen de operadores, caracteres especiales y de nombres de funciones y variables. •La evaluación de una expresión produce una matriz, la cual es desplegada en la pantalla y asignada a una variable para su uso futuro. •Si el nombre de una variable y el signo = no son proporcionados, una variable con el nombre ans (proviene de “answer” en inglés) es automáticamente generada.

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Variables •Los nombres de variables deben ser de una sola palabra y que no contengan espacios. •MATLAB distingue entre mayúsculas y minúsculas. •Los nombres de variables pueden contener hasta 19 caracteres, deben iniciar con una letra seguida por cualquier número, letra, digito o una línea de subrayado. •Los signos de puntuación no son permitidos ya que la mayoría tiene un significado especial en MATLAB.

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Variables •MATLAB almacena la información de las variables en forma progresiva en lo que se llama espacio de trabajo de MATLAB (MATLAB workspace). • El comando who lista nuestras variables. •Información más detallada se puede obtener con el comando whos. •El comando clear puede ser usado para limpiar o borrar una variable del espacio de trabajo.

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Variables especiales ans pi eps inf

Nombre de la variable usada por default 3.14159......... Precisión relativa de punto flotante (Versión 6.5: 2.2204e16) Significa infinito como 1/0

NaN

Que significa Not-a-Number o no es un número como 0/0

iyj

i = j = sqrt(-1)

nargin

El número de argumentos de entrada para una función

nargout

El número de argumentos de salida de una función

realmin

El número real positivo más pequeño que se puede usar (Versión 6.5: 2.2251e-308)

realmax

El número real positivo más grande que se puede usar (Versión 6.5: 1.7977e+308)

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Documentación

% Se usa como inicio de un comentario, lo que esté a la derecha de este signo no se evaluará. ;

Al final de un enunciado, evita que MATLAB imprima en la pantalla el resultado de evaluar un enunciado.

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Operadores aritmeticos Operación

Símbolo

Ejemplo

Suma ( a + b )

+

5+3

Resta ( a – b )

–

23 – 12

Multiplicación (a x b )

*

2.05 x 1.48

División ( a ÷ b )

/

50/5 = 10

División izquierda

\

50\5 = 0.1

Potencias ( ab )

^

6^2

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Orden de operaciones •Las expresiones son evaluadas de derecha a izquierda •Potencia tiene el más alto orden de precedencia, seguido de la multiplicación y división, las cuales tienen la misma precedencia. •Seguidos por la suma y resta con igual precedencia. •Los paréntesis pueden ser usados para alterar este orden, en este caso, la precedencia se aplica en los paréntesis más internos y se aplica hacia afuera.

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Escalares, Vectores y Matrices •La notación decimal convencional es usada para representar escalares, con punto decimal y signo positivo (opcionales) o negativo al inicio. •Un factor de escala en potencias de diez puede ser incluido como sufijo. 3 9.6397238

-99

0.0001

1.60210E-20

6.02252e23

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Vectores y Matrices •La principal estructura de datos en MATLAB son las matrices. •Un vector puede ser representado en forma de una matriz con un solo renglón (llamado vector o matriz renglón). • O con una sola columna (llamado vector o matriz columna). •Los elementos individuales de una matriz se indexan de acuerdo a su número de renglón y columna con los cuales se forma un subíndice.

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Vectores y Matrices •La forma más sencilla para capturar los elementos de una matriz es usando listas explicitas. •Las listas explicitas contienen los elementos de una matriz separados por espacios o comas y están encerrados en corchetes y usando “punto y coma” para indicar el fin de cada renglón.

A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]

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Vectores y Matrices •Los elementos de una matriz pueden ser cualquier expresión de MATLAB, por ejemplo el enunciado X = [ -2.5

sqrt(3)

(1+3+7)/3*8 ]

•Los elementos individuales se pueden referenciar usando los subíndices encerrados en paréntesis, por ejemplo: X(1) ans = -2.5000

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Vectores y Matrices Además, se pueden introducir nuevos datos o cambiar valores de elementos ya existentes referenciandolos por su subíndice, por ejemplo: X(5) = abs(x(1)) Produce la salida X= -2.5000 1.7321 29.3333 0.0000 2.5000

Note que el tamaño de X se incrementa automáticamente para acomodar el nuevo elemento y que los elementos intermedios no definidos se inicializan con cero.

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Números complejos Los números complejos son permitidos en todas las operaciones y funciones en MATLAB. Los números complejos se capturan usando las funciones especiales i y j, por lo cual el enunciado Z = 4 + 4*i

( Z = 4+4i )

es igual a Z = 4 + 4*j

( Z = 4+4j )

No es necesario el signo de * para definir los números complejos, pero si cuidar el poner la i o j después del número imaginario.

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Números complejos

Otra forma de capturar los números complejos es en su forma polar W = r*exp(i*theta)

( w = 5*exp(i*pi/2) )

donde r es la magnitud y theta es el ángulo en radianes.

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Números complejos Existen dos formas para capturar matrices complejas, la primera sería con el enunciado A = [ 1 2; 3 4 ] + i * [ 5 6; 7 8 ] y la segunda con el enunciado A = [ 1+5i

2+6i;

3+7i

4+8i ]

Cuando se introducen elementos complejos se debe tener cuidado de no usar espacios ya que se pueden tomar como dos números separados.

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Funciones y archivos M

Funciones de Matlab 9Intrinsecas (Paquete básico) 9Archivos M (Toolboxes) 9Definidas por el usuario

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Funciones matemáticas básicas abs(x)

Valor absoluto o magnitud de un número complejo

acos(x)

Coseno inverso

acosh(x)

Coseno inverso hiperbólico

angle(x)

Ángulo de un número complejo en cuarto cuadrante

asin(x)

Seno inverso

asinh(x)

Seno inverso hiperbólico

atan(x)

Tangente inverso

atan2(x,y)

Tangente inverso en cuarto cuadrante

atanh(x)

Tangente inverso hiperbólico

ceil(x)

Redondeo hacia el infinito positivo

abs(x)

Valor absoluto o magnitud de un número complejo

conj(x)

Complejo conjugado

cos(x)

Coseno

cosh(x)

Coseno hiperbólico

exp(x)

Exponencial ex

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Funciones matemáticas básicas fix(x)

Redondeo a cero

floor(x)

Redondeo hacia el infinito negativo

gcd(x,y)

Máximo común divisor de los enteros x y y

imag(x)

Parte imaginaria de un número complejo

lcm(x)

Mínimo común múltiplo de los enteros x y y

log(x)

Logaritmo natural

log10(x)

Logaritmo común ó base 10

real(x)

Parte real de un número imaginario

rem(x,y)

Sobrante de la división de x/y

round(x)

Redondeo al entero más cercano

sign(x)

Función de signo, regresa el signo como argumento (1:positivo, -1:negativo, 0:cero)

sin(x)

Seno

sinh(x)

Seno hiperbólico

sqrt(x)

Raíz cuadrada

tan(x)

Tangente

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Funciones •El comando help se utiliza para obtener ayuda en línea sobre cualquier función de MATLAB Por ejemplo: help sin

•Es muy útil para aclarar dudas sobre los argumentos de cada función y la forma en que los resultados serán calculados y devueltos.

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Archivos M • Se pueden crear funciones más complejas a partir de las funciones básicas.

• La lista de funciones básicas se puede escribir como un archivo de texto y después leerlo desde MATLAB.

• Estos archivos de texto o listados son llamados archivos M ya que los nombres usados para estos archivos deben terminar con la extensión .m, por ejemplo ejem1.m.

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Archivos M •Enseguida se muestra el listado de una función que calcula el promedio de las calificaciones de cuatro unidades. % Listado del archivo ejem1.m uni1 = 80; uni2 = 85; uni3 = 75; uni4 = 80; suma_de_calif = uni1 + uni2 + uni3 + uni4; calif_promedio = suma_de_calif/4 •Después de guardar este archivo solo se requiere teclear ejem1 en la línea de comandos de MATLAB y el sistema leerá y evaluará cada línea del archivo M como si se hubiera tecleado directamente en MATLAB.

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Operaciones con Matrices Suma y Resta de Matrices La suma y resta de matrices se denota por + y –. Estas operaciones están definidas cuando las matrices tienen las mismas dimensiones. Por ejemplo, si entramos A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] B = [ 1 0 0; 0 1 0; 0 0 1 ] X = [ -1 0 2 ] y realizamos la operación

A + X , obtenemos

??? Error using ==> + Matrix dimensions must agree.

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Operaciones con Matrices Suma y Resta de Matrices La operación C = A + B producirá C = 2 4 7

2 6 8

3 6 10

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Operaciones con Matrices Suma y Resta de Matrices La suma y resta también están definidas cuando uno de los operandos es un escalar, por ejemplo: A + 2 ans = 3 6 9

4 7 10

5 8 11

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Operaciones con Matrices Matriz Transpuesta El apóstrofe (’) es un carácter especial que denota la transpuesta de una matriz. Entonces si, A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 0 ]; B = A’ da como resultado B =

1 4 7 2 5 8 3 6 0 Si la matriz Z es una matriz compleja, entonces Z’ será su complejo conjugado transpuesto.

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Operaciones con Matrices Multiplicación de Matrices La multiplicación de matrices se denota por *. La operación solo esta definida cuando el número de columnas del primer operando es igual al número de renglones del segundo operando. Si utilizamos las matrices de la sección anterior tendremos que B = X * A la respuesta es B =

13

14

15

ya que X es de tamaño 1 x 3 y A es de tamaño 3 x 3.

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Operaciones con Matrices Multiplicación de Matrices Pero si hacemos B = A * X el resultado será ??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree.

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Operaciones con Matrices Producto punto Para realizar el producto punto entre vectores columna se requiere calcular la transpuesta del primer operando y multiplicarlo por el segundo. X = [ -1; B = [ 13; X'*B ans = 17

0; 14;

2] 15 ]

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Operaciones con Matrices Potencias en Matrices La expresión A^n eleva A a la n-ésima potencia y está definida si A es una matriz cuadrada y n un escalar. Si n es un entero mayor que cero, la potencia se calcula por multiplicaciones repetidas. A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; A^3 ans = 468 1062 1656

576 1305 2034

684 1548 2412

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Operaciones con Matrices Matriz Inversa La inversa de una matriz A, expresada como A-1, se calcula con la función inv(A), la cual se puede utilizar para encontrar la solución de sistemas de ecuaciones. De esta forma podemos calcular z

= inv(A)*b

y obtener z = -1 0 2

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Operaciones con Matrices Determinante de Matriz El determinante de una matriz se puede calcular con la función det(A). det(A) ans = 27

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Operaciones con Arreglos de Datos Se usa el término de operaciones con arreglos de datos para referirse a las operaciones aritméticas realizadas elemento-por-elemento en lugar de las usuales matrices.

operaciones

algebraicas

lineales

con

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Operaciones con Arreglos de Datos Suma y resta

Para la suma y resta, las operaciones con arreglos de datos y las operaciones con matrices son las mismas, es decir, en ambos casos se realizan elemento-por-elemento, por lo que se usan los signos + y – sin importar si son operaciones con matrices o con arreglos de datos.

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Operaciones con Arreglos de Datos Multiplicación y división La multiplicación con arreglos de datos es hecha elemento-por-elemento y es denotada por .* Si A y B tienen las mismas dimensiones, entonces A .* B denota el arreglo cuyos elementos son simplemente los productos de los elementos individuales de A y B.

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Operaciones con Arreglos de Datos Multiplicación y división Por ejemplo si x = [ 1 2 3 ]; y = [ 4 5 6 ]; entonces z = x .* y resulta en z

=

4

10

18

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Operaciones con Arreglos de Datos Multiplicación y división

La división y división izquierda con arreglos de datos se

denotan

por

las

expresiones

./

y

.\

respectivamente, y se realiza de la misma manera que la multiplicación

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Operaciones con Arreglos de Datos Multiplicación y división Por ejemplo z = x ./ y resulta en z

= 0.25 0.40 0.50

y

z = x .\ y

resulta en z

=

4

2.5

2.0

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Operaciones con Arreglos de Datos Potencias

Elevar a la potencia elemento-por-elemento es denotado por .^ Para esta operación hay algunos ejemplos, si tecleamos z = x .^ y resultará en z

= 1

32

729

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Operaciones con Arreglos de Datos Potencias El exponente puede ser un escalar z

= x .^ 2

da como resultado z

=

1

4

9

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Operaciones con Arreglos de Datos Potencias O, la base puede ser un escalar z = 2 .^ [x

y]

con lo que se obtiene z

=

2

4

8

16

32

64

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Operadores Relacionales Existen seis operadores relacionales para comparar dos matrices de iguales dimensiones los cuales se incluyen en la siguiente tabla: <

Menor que



Mayor que

>=

Mayor o igual que

==

igual que

~=

diferente

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Operadores Relacionales Las comparaciones son hechas entre pares de elementos correspondientes, el resultado es una matriz de unos y ceros, con un uno = VERDADERO y un cero = FALSO. Por ejemplo: z = x < y lo que resulta en z = [ 1

1

1]

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Operadores Relacionales La función find es útil con los operadores relacionales, ya que encuentra los elementos diferentes de cero en una matriz, proporcionando un vector conteniendo los índices de los elementos que satisfagan la condición, de esta forma, si tecleamos z = find(x >= 2) obtendremos z

= 2

3

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Operadores Lógicos Existen tres operadores lógicos que trabajan elemento-por-elemento, los cuales se incluyen en la siguiente tabla: &

AND

|

OR

~

NOT

Los operadores & y | comparan dos escalares, o dos matrices de iguales dimensiones. Para el caso de matrices, el resultado se presentará en la misma forma que en el caso de los operadores relacionales.

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Operadores Lógicos La operación NOT, o complemento lógico, es un operador unitario, es decir, trabaja sobre un solo operando. La expresión ~A regresará ceros donde A sea diferente de cero y unos donde A sea cero. Por lo que si P = [ 0 1 1 0 1 10 ] las operaciones P | (~P) P & (~P) darán como resultados todos unos y todos ceros respectivamente.

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Operadores Lógicos Las funciones any y all son útiles en conjunto con los operadores lógicos. Si X es un vector binario: any(X) da como resultado uno, si cualquiera de lo elementos de X es diferente de zero y cero de otra forma. all(X) da como resultado uno, solo si todos los elementos de X son diferentes de cero. Si se usan con matrices, estas funciones darán un resultado por cada columna y se presenta en forma de vector renglón. Aplicando la función por duplicado, como en any(any(A)) siempre reducirá el resultado a un escalar.

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Funciones Relacionales y Lógicas La siguiente tabla muestra las funciones relacionales y lógicas incluidas en MATLAB any

condiciones lógicas

all

condiciones lógicas

find

Encuentra índices en arreglos de valores lógicos

exist

Revisa si una variable existe

isnan

Detecta NaNs

finite

Detecta infinitos

isempty

Detecta matrices vacías

isstr

Detecta variables tipo string

strcmp

Compara variables tipo string

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Funciones para Análisis de Datos Estas funciones son herramientas estadísticas básicas. Las funciones que se aplican columna por columna se presentan en la siguiente tabla: max

Valor máximo

min

Valor mínimo

mean

Media

median

Mediana

std

Desviación estándar

sort

Ordenar

sum

Suma de elementos

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Funciones para Análisis de Datos

prod

Producto de elementos

cumsum

Suma acumulada de elementos

cumprod

Suma acumulada de productos

diff

Derivativas aproximadas

hist

Histograma de valores

corrcoef

Correlación de coeficientes

cov

Matriz de covarianzas

cplxpair

Reordenar en pares complejos

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Generación de números Por incrementos se usa la siguiente sintaxis, k=valor inicial: incremento: valor final Por numero de puntos dentro de un rango: con espaciamiento lineal, linspace(valor inicial, valor final, numero de puntos) con espaciamiento logarítmico, logspace(d1,d2,N)

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Generación de números aleatorios

La función rand(r,c) genera una matriz de r renglones y c columnas, cuyas entradas son números aleatorios entre 0 y 1, con distribución uniforme

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Generación de números aleatorios

La función randn(r,c) genera una matriz de r renglones y c columnas, cuyas entradas son números aleatorios con distribución normal, media igual a cero y desviación estandar igual a uno.

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Graficación Gráficas xy Sencillas Se explicará la graficación xy sencilla con un ejemplo. Suponga que queremos graficar la información resultante de un experimento: Ensayo

Distancia

1

58.5

2

63.8

3

64.2

4

67.3

5

71.5

6

88.3

7

90.1

8

90.6

9

89.5

10

90.4

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Graficación Gráficas xy Sencillas

Almacenamos las dos columnas en vectores de datos: x= [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]; y= [58.5 63.8 64.2 67.3 71.5 88.3 90.1 90.6 89.5 90.4]; Para graficar los datos: plot(x,y)

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Gráficas xy Sencillas

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Gráficas xy Sencillas

Para agregar información a la gráfica: title(‘Experimentos de Laboratorio’) xlabel(‘Ensayo’) ylabel(‘Distancia, m’) grid on Note las diferencias en las gráficas.

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Gráficas xy Sencillas

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Gráficas Lineales y Logarítmicas Los comandos de Matlab para generar gráficas lineales y logarítmicas de los vectores x y y son los siguientes: semilogx(x,y) Genera una gráfica de los valores x y y usando una escala logarítmica para x y una escala lineal para y. semilogy(x,y) Genera una gráfica de los valores x y y usando una escala logarítmica para y y una escala lineal para x. loglog(x,y) Genera una gráfica de los valores x y y usando una escala logarítmica tanto para x como para y.

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Gráficas Múltiples

Para generar curvas múltiples en la misma gráfica se usan múltiples argumentos en un comando de graficación, plot(x,y,w,z) donde las variables x, y, w y z son vectores. El comando traza la curva correspondiente a x vs y, y luego w vs z. Matlab selecciona diferentes tipos de línea para distinguir las líneas.

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Gráficas Múltiples

Otra forma es graficar una matriz con columnas múltiples. Cada columna se graficará contra un vector x. x= 0:0.1:5; w= x; z= w.^2 - 0.9*x +7; f(1,:)= x.^2 - 3*x + 2; f(2,:)= 2*x.^2 + x -3; subplot(2,1,1) plot(x,f(1,:),w,z),title('Grafica con dos curvas:plot(x,f(1,:),w,z)') subplot(2,1,2) plot(x,f), title('Grafica de multiples funciones:plot(x,f)')

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Gráficas Múltiples

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Estilo de Líneas y Marcas El comando plot(x,y) genera una gráfica de líneas que conecta los puntos representados por los vectores. Podemos seleccionar otros tipos de línea y/o de puntos. La siguiente tabla muestra algunas opciones: Tipo de línea

Indicador

Tipo de punto

Indicador

continua

-

punto

.

guiones

--

más

+

punteada

:

estrella

*

guiones-puntos

-.

círculo

o

marca

x

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Estilo de Líneas y Marcas La selección del tipo de línea o punto se hace agregando un argumento al comando de graficación: plot(x,y,’o’)

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Escala de los Ejes Matlab fija automáticamente la escala de los ejes ajustándola a los valores de los datos. Podemos cambiar las escalas con el comando axis: axis Mantiene la escala del eje actual para gráficas subsecuentes. Una segunda ejecución del comando regresa el sistema al escalado automático. axis([xmin xmax ymin ymax]) Especifica la escala del eje usando los valores de escala que están definidos en el comando. El comado plot precede al comando axis.

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Subgráficas El comando subplot permite dividir la ventana de gráficos en subventanas. subplot(x, y, n) Divide la ventana de gráficas en un arreglo de x por y subventanas y define la subventana n para colocar la gráfica que se genere después del comando subplot. subplot(2,1,1), plot(x,y) La gráfica definida por el comando plot(x,y) se colocará en la primera subventana de las cuatro definidas por el comando subplot(2,2,1).

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Graficación en 3D Matlab ofrece 3 tipos de graficación para tres dimensiones: •Gráficas de líneas •Gráficas de contorno •Gráficas de malla

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Gráficas de líneas Las gráficas de líneas son creadas usando el comado plot3, el cual es la version tridimensional de plot

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Gráficas de contorno

Las gráficas de controno en realidad son gráficas en dos dimensiones,

con

líneas

uniendo puntos con igual valor en z.

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Gráficas de malla

En las gráficas de malla, cada punto se une a sus vecinos

formando

especie de tapete.

una

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Ejemplos: Simple3D clf x=-1:.1:1; y=-2:.1:2; [X,Y]=meshgrid(x,y); z=X.^4+(Y/2).^4; subplot(121), contour(z) subplot(122), mesh(z)

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Banana de Rosenbrock function h=banana(x1,x2) h=100*(x2-x1.^2).^2+(ones(size(x1))-x1).^2; Banana1.m clf x=0:.1:2; y=0:.1:4; [X,Y]=meshgrid(x,y); z=banana(X,Y); subplot(121), contour(x,y,z) subplot(122), mesh(x,y,z)

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Banana de Rosenbrock

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Logartimo de la Banana de Rosenbrock Banana2.m clf x=0:.1:2; y=0:.1:4; [X,Y]=meshgrid(x,y); z=banana(X,Y); logz=log(1+z); meshc(x,y,logz)

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Logartimo de la Banana de Rosenbrock