INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MATAMOROS. INGENIERÍA MECATRÓNICA.

“RESPUESTA FORZADA DE UN SISTEMA AMORTIGUADO VISCOSO SUJETO A UNA SOLA FRECUENCIA DE EXCITACIÓN ARMÓNICA”.

Materia: Análisis de Vibraciones. Profesor. Luis Carlos Rincón Ruíz. Integrantes del Equipo: Ulisses Alberto Heredia Rivera. Carlos Flores Perales. Oliver de Jesús Martínez Delgadillo. David Mondragón Aguilar. Erick Elver Chávez Leal.

Septiembre 2012

H.Matamoros.Tam

2.1. ECUACIONES CONSTITUTIVAS DEL ELMENTO RESORTE. 2.1.1. DEFINICIÓN DE RESORTE. Un resorte es un enlace flexible mecánica entre dos partículas en un sistema mecánico. En realidadun resorte en sí es un sistema continuo. Sin embargo, la inercia del resorte es generalmente pequeñaen comparación con los otros elementos del sistema mecánico y es despreciada. Bajo este supuestola fuerza aplicada a cada extremo del resorte es la misma. La longitud de un resorte cuando no está sujeto a fuerzas externas que le llama longitud sin estirar. Puesto que el resorte está hecho de un material flexible, la fuerza F que se debe de aplicar aal resorte para cambiar su longitud en x es una función continua de x,

2.1.2. ECUACIONES CONSTITUTIVAS DEL ELEMENTO RESORTE. Las ecuaciones constitutivas relacionan tensiones con deformaciones. En este curso se adopta como ecuaciones constitutivas las más simples en las que la fuerzas actuantes (normal, flexión, corte, torsión) varían proporcionalmente con la deformación correspondiente. Los coeficientes de proporcionalidad son los módulos de elasticidad longitudinal E (módulo de Young) para las tensiones axiales asociadas al esfuerzo normal y la flexión y el módulo de elasticidad transversal G para las tensiones de corte asociadas al esfuerzo de corte y la torsión, juntamente con coeficientes que caracterizan geométricamente a la sección. Las expresiones que resultan son las siguientes:

Las ecuaciones en la última columna de la Tabla 1.1 son lineales. Ejemplos de ecuaciones constitutivas no lineales son las correspondientes al endurecimiento (el módulo E aumenta con la deformación), ablandamiento (el módulo E disminuye con la deformación) o comportamiento plástico.

2.1.3 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN. La manera más sencilla de analizar un resorte físicamente es mediante su modelo ideal global y bajo la suposición de que éste obedece la Ley de Hooke. Se establece así la ecuación del resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el mismo con el alargamiento/contracción o elongación x producida, del siguiente modo:

siendo

Donde k es

la constante

elástica del

resorte, x la

elongación

(alargamiento

producido), A la sección del cilindro imaginario que envuelve al muelle y E el

módulo de elasticidad del muelle (no confundir con el módulo de elasticidad del material).

La

energía

de

deformación

o energía

potencial elástica

asociada

al

estiramiento o acortamiento un muelle lineal viene dada por la integración de trabajo realizado en cada cambio infinitesimal

de su longitud:

Si el muelle no es lineal entonces la rigidez del muelle es dependiente de su deformación y en ese caso se tiene una formula algo más general:

2.1.4. ECUACIÓN DIFERENCIAL Y ECUACIÓN DE ONDAS. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando tiene:

donde

por la longitud total, y llamando al producto

o k intrínseca, se

Llamaremos distancia

a la tensión en una sección del muelle situada a una

de uno de sus extremos, que consideraremos fijo y que tomaremos

como origen de coordenadas, de longitud ,

a la constante de un pequeño trozo de muelle

a la misma distancia y

en virtud de la aplicación de la fuerza

al alargamiento de ese pequeño trozo . Por la ley del muelle completo:

Tomando el límite:

que por el principio de superposición resulta:

Si además suponemos que tanto la sección como el módulo de elasticidad pueden variar con la distancia al origen, la ecuación queda:

Que es la ecuación diferencial completa del muelle. Si se integra para todo x, se obtiene como resultado el valor del alargamiento unitario total. Normalmente puede considerarse F (x) constante e igual a la fuerza total aplicada. Cuando F (x)

no es constante y se incluye en el razonamiento la inercia de éste, se llega a la ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios. Supongamos, por simplicidad, que tanto la sección del resorte, como su densidad (entendiendo densidad como la masa de un tramo de muelle dividida por el volumen del cilindro imaginario envolvente) y su módulo de elasticidad son constantes a lo largo del mismo y que el resorte es cilíndrico. Llamemos

al

desplazamiento de una sección de muelle. Ahora tomemos un tramo diferencial de muelle de longitud (dx). La masa de esa porción vendrá dada por:

Aplicando la segunda ley de Newton a ese tramo:

Es decir:

Por otro lado es sencillo deducir que

Al introducir, por tanto, esta expresión en la ecuación diferencial del muelle antes deducida, se llega a:

Derivando esta expresión respecto a x se obtiene:

Juntando la expresión temporal con la expresión espacial se deduce finalmente la ecuación general de un muelle cilíndrico de sección, densidad y elasticidad constantes, que coincide exactamente con la ecuación de onda longitudinal:

De la que se deduce la velocidad de propagación de perturbaciones en un muelle ideal como:

2.1.5. MUELLE CON UNA MASA SUSPENDIDA. Para el caso de un muelle con una masa suspendida,

Cuya solución es

, es decir, la masa realiza un movimiento

armónico simple de amplitud

y frecuencia angular

. Derivando y sustituyendo:

Simplificando:

Esta ecuación relaciona la frecuencia natural con la rigidez del muelle y la masa suspendida La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza alargamiento

donde

ejercida sobre el resorte con la elongación o

producido:

se llama constante elástica del resorte y

es su elongación o variación

que experimenta su longitud.

La energía de deformación o energía potencial elástica estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

asociada al

Es importante notar que la

antes definida depende de la longitud del muelle y de

su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando producto

o

por la longitud total, y llamando al

intrínseca, se tiene:

Llamaremos

a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x

de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, constante de un pequeño trozo de muelle de longitud y fuerza

a la

a la misma distancia

al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la . Por la ley del muelle completo:

Tomando el límite:

que por el principio de superposición resulta:

Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo

, se obtiene

como ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:

2.1.6. RESORTE DE EMBOBINADO HELICODAL. El muelle helicoidal se utiliza en aplicaciones tales como máquinas industriales y sistemas de suspensión de vehículos. Considere un muelle fabricado a partir de una varilla de sección transversal circular dediámetro D. El módulo de cizallamiento de la varilla es G. La varilla está formada en una bobina de N vueltasde radio r. Se supone que el radio de la bobina es mucho mayor que el radio de la varilla yque la normal al plano de una bobina casi coincide con el eje del muelle. Considere un resorte con embobinado helicoidal sujeto a una carga axial F. Imagine el un corte arbitrario en el embobinado, dividiendo al resorte en dos secciones .El corte expone una fuerza cortante interna F y una resistencia interna al torque Fr, como se ilustra a continuación. Asumiendo el comportamiento elástico, el esfuerzo cortante debido a la resistencia al torque varía linealmente con la distancia del centro de la varilla a un máximo de:

Los principios de mecánica de materiales pueden ser usados para demostrar que el desplazamiento total en el resorte debido a la fuerza F aplicada es:

2.1.7. DEFLEXIÓN ESTÁTICA. Cuando un sistema no está estirado cuando un sistema esta en equilibro, el resorte tiene una deflexión estática.

2.2. Análisis de Sistemas con Amortiguamiento. El amortiguamiento se define como la capacidad de un sistema o cuerpo para disipar energía cinética en otro tipo de energía. Típicamente los amortiguados disipan la energía cinética enenergía térmica y/o en energía plástica (e.g. atenuador de impactos). El amortiguamiento es un parámetro fundamental en el campo de las Vibraciones, fundamental en el desarrollo de modelos matemáticos que permiten el estudio y análisis de sistemas vibratorios, como lo son: estructuras metálicas, motores, maquinaria rotativa, turbinas, automóviles, etc. Esto va encaminado a la teoría de que todo sistema vibratorio (regularmente sistemas mecánicos) tiene la capacidad de disipar energía. Para el Control de Vibraciones e Impactos en maquinaria, se utiliza el concepto de amortiguamiento como una técnica para disipar energía del sistema, manipulando así la amplitud de vibración en el sistema y otros parámetros de estudio. Existen formas de disipación de energía (conocidas también como mecanismos de amortiguamiento) en los sistemas vibratorios las cuales producen el fin de los movimientos oscilatorios de dichos sistemas. Durante el amortiguamiento la energía del sistema vibratorio es disipada como fricción, calor o sonido. Los mecanismos de amortiguamiento existen de varias formas, por ejemplo: •

Amortiguamiento de Coulomb o de fricción seca.- En este caso la fuerza

•

Amortiguadora la fuerza es constante.

•

Amortiguamiento sólido o de histéresis.- Este es causado por la fricción interna de

•

Un sólido al oponerse a entrar en vibración.

•

Amortiguamiento turbulento.- En este caso la fuerza de amortiguamiento es

•

Proporcional al cuadrado de la velocidad promedio.

•

Amortiguamiento

en fluido

viscoso.-

En

este caso la

fuerza de

amortiguamiento es proporcional a la velocidad.

2.2.1. Amortiguamiento viscoso. Existen modelos de amortiguamiento ideal que se adaptan bien a ciertos casos particulares. Uno de ellos es el que permite el tratamiento matemático más simple y se basa en la hipótesis de que la fuerza del amortiguador es proporcional a la velocidad. Se suele llamar amortiguamiento viscoso. Cuandoseexcitaunsistemalinealconungradodelibertad,surespuestadependerádeltip odeexcitaciónydelamortiguamientoqueéstepresente.Ensistemasdeungradodelibert ad,comúnmenteseutilizanamortiguadoresdetipoviscoso.Enmecánica,seconsideraq uelasfuerzasdeamortiguamientoqueactúansobreuncuerposonproporcionalesaalgun apotenciadelavelocidadinstantánea.Estoes:

Donde C es la constante de amortiguamiento o coeficiente de amortiguamiento viscoso y el signo negativo indica que la fuerza de amortiguamiento es en dirección apuesta a la velocidad. Aplicando la ley de Newton a un sistema de 1 grado de libertad, la ecuación de movimiento puede ser expresado mediante:

La cual es la ecuación lineal de segundo orden, cuya solución es del tipo:

Donde C y s son constantes indeterminadas. La ecuación característica a resolver es:

Cuyas raíces son:

Estas

dos

raíces

Son:

dan

dos

soluciones

a

la

ecuación:

y

La solución general esta dado por la combinación de las 2 soluciones:

Donde

y

son determinadas por las condiciones iniciales del sistema.

Constante de Amortiguamiento Critico y Relación de Amortiguamiento del Sistema El amortiguamiento critico

esta definido como el valor de la constante C, para el

cual el radical de las ecuaciones

Se hace 0.

o

Pero

se tiene

Para cualquier sistema amortiguado, la relación de amortiguamiento ζ esta definida como la relación entre amortiguamiento constante y la relación de amortiguamiento critico.

Utilizando las ecuaciones:

y

Se tiene:

Sustituyendo la ecuación

Sustituyendo estos valores en las soluciones de la ecuación general,

La solución depende de las raíces de

y

. Además se observa que esto

depende sobre todo del amortiguamiento, al suponer

, el sistema tiende a

tener vibración libre (no amortiguada). Debido a esto, se considera forma se tiene el siguiente caso:

. De esta

2.2.2. Sistema Sobre amortiguado. Un sistema esta sobre amortiguado si condiciones

y las raíces

y

ò son:

Entonces la ecuación general se expresa:

Donde el Angulo de Euler:

Sustituyendo las ecuaciones anteriores se tiene

Donde

=

y

ò

para estas

Donde

, (X, ) y

son constantes determinadas apartir de las

condiciones iniciales. Para las condiciones iníciales,

y

pueden ser

determinados mediante:

y Entonces la solución se expresa:

Y las constantes (X, ) y

se expresan como

y El movimiento descrito por la ecuación:

Es un movimiento armónico amortiguado, con frecuencia angular debido al factor cantidad

, pero

, la amplitud decrece exponencialmente con el tiempo. La es llamada la frecuencia de vibración amortiguada, la

frecuencia de vibración amortiguamiento

siempre es menor que la frecuencia natural sin

.

2.2.3. Sistemas Críticamente Amortiguados. Para este caso se requieren las siguientes condiciones o

o

Para este caso las raíces de las ecuaciones

Son: Debido a que las raíces son repetidas, la solución general se cambia por:

Aplicando las condiciones iniciales

y

Sustituyendo en la ecuación general de la ecuación

para este caso:

Tenemos

El movimiento representado por la ecuación anterior no es periódico, ya que tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito.

2.2.4. Sistema Sub Amortiguado. En este caso En este caso se presentará un movimiento oscilatorio harmónico alrededor de una posición de equilibrio en el cual la amplitud disminuirá con el tiempo en cada oscilación. En este caso, dado que el radical es negativo, las raíces conjugadas teniendo la forma

Donde

y

Y la solución en este caso tendrá la forma

Que también puede escribirse:

Donde:

son complejas y

2.2.5. Amortiguamiento de fricción seca o de Coulomb. Este tipo de amortiguamiento se debe a la fuerza que ocasiona la fricción entre dos superficies solidas. La fuerza que actúa en el sistema se tiene que oponer a movimiento; por lo tanto, el signo de la fuerza debe ser de sentido contrario (dirección) a la velocidad, tal y como se ilustra. Si el coeficiente cinético de fricción es μ y la fuerza que ejerce compresión sobre las superficies es N, entonces:

Donde sgn es la función del signo, la cual toma el valor de +1 cuando los valores del argumento son positivos (ẋ en este caso), -1 cuando los valores del argumento son negativos y de 0 cuando el argumento es cero. Si la fuerza normal se debe al peso del sistema entonces N=mg y tenemos que

La energía disipada en este caso se obtiene con:

La fricción seca puede dar como resultado perdida de eficiencia en los motores de combustión interna, desgaste en las paredes de contacto y perdida de exactitud de posición en los servomecanismos.

2.2.6. Amortiguamiento estructural o solido o histérico. Explica las perdidas en los materiales debido a la fricción interna. La fuerza de amortiguamiento es una función del desplazamiento y la velocidad, que se expresa de la siguiente forma.

Donde

es una constante determinada por los medios empíricos, la energía

disipada es:

2.3.1. Sistemas de un grado de libertad con excitación armónica sin amortiguamiento. Para recapitular la definición de un grado de libertad es el número mínimo de velocidades generalizadas independientes necesarias para definir el estado cinemático de un mecanismo o sistema mecánico. En este caso en un sistema sin amortiguamiento, considérese un sistema, durante el movimiento, que no está bajo la acción de fuerzas externas excitadoras. Debido a esto, este sistema es gobernado solo por la influencia de las condiciones iniciales; esto es dando desplazamiento y velocidad para un tiempo (t igual a 0) cuando se inicia el estudio del fenómeno. Un sistema que cumple con estas condiciones, se le denomina sistema de un grado de libertad con excitación armónica sin amortiguamiento. Esto también ocurre cuando el trabajo está siendo hecho sobre el sistema mientras las vibraciones ocurren. Los ejemplos de vibración forzada incluyen el movimiento de tierra durante un terremoto, el movimiento causado por la maquinaria desequilibrada que corresponde, o el movimiento de tierra impartido a un vehículo como su rueda atraviesa el contorno del camino. Para estos casos, el límite de la solución homogénea como el infinito de accesos de t no es el cero. La respuesta homogénea es importante si la frecuencia de

excitación coincide o está cerca de la frecuencia natural. De otra manera es asumido que alguna forma de humectación realmente ocurre y la respuesta libre realmente deteriora la salida sólo la respuesta forzada como la respuesta a largo plazo. Cuando el sistema es seco y la frecuencia de la excitación coincide con la frecuencia natural una condición de resonancia existe. Cuando el sistema es seco y la frecuencia de excitación es cercana, pero no igual a, la frecuencia natural los fenómenos la paliza llamada ocurre. En la figura se ilustra un modelo de sistemas equivalente para las vibraciones forzadas de un sistema SDOF cuando un desplazamiento lineal es escogido como la coordenada generalizada.

La ecuacion general para estos casos es: 01 Aunque, las derivaciones que sigan el empleo un desplazamiento lineal como una coordenada generalizada ellos son también válidas si un desplazamiento angular es usado como una coordenada generalizada. La forma de la ecuación diferencial, la Ecuación (1) es usada como una ecuación modelo. La División de la Ecuación (1) por meqconduce a la ecuación 02: 02 Esta ecuación es la forma estándar de la ecuación diferencial que gobierna las vibraciones lineales forzadas de un sistema SDOF con la humectación viscosa.

Entonces, la solución general es: 03 dondexh (t) es la solución homogénea, la solución obtenida si F eq (t) ' 0, y xp (t) la solución particular, una solución que es específica a F eq (t). La solución homogénea es en términos de dos constantes de integración. Sin embargo las condiciones iniciales no son impuestas hasta que la solución general de Ecuación (03) sea desarrollada. Y para un sistema bajo es:

Muchos caminos existen para solucionar la solución particular. Estos incluyen el método de coeficientes indeterminados, variación de parámetros, métodos anuladores, Laplace transforman métodos, y métodos numéricos. Una frecuencia sola la excitación periódica es definida como donde

F0 es la amplitud de la excitación, es su frecuencia tal que y 2(3.14) sobre T es su fase. Note que es independiente de la n, la frecuencia natural que es una función de la rigidez y las propiedades de masas del sistema. Ellos son independientes, pero las frecuencias pueden coincidir. Los ejemplos de excitaciones periódicas (a) una senoidal pura; (b) una onda periódica triangular; (y c) una onda periódica cuadrada

Para estos casos, el límite de la solución homogénea como el infinito de accesos de t no es el cero. La respuesta homogénea es importante si la frecuencia de excitación coincide o está cerca de la frecuencia natural. De otra manera es asumido que alguna forma de humectación realmente ocurre y la respuesta libre realmente deteriora la salida sólo la respuesta forzada como la respuesta a largo plazo. Cuando el sistema es seco y la frecuencia de la excitación coincide con la frecuencia natural una condición de resonancia existe. Cuando el sistema es seco y la frecuencia de excitación es cercana, pero no igual a, la frecuencia natural los fenómenos la paliza llamada ocurre. Cuando el sistema es seco con la frecuencia de excitación bastante lejos lejos de la frecuencia natural o el sistema tiene la humectación viscosa la solución particular de Ecuación (2) sujeto a la excitación de Ecuación (6) es determinada en términos de términos de parámetros de sistema. La solución es caracterizada en el término de una amplitud fija y una fase fija. Las relaciones para estos términos son no dimensionadas causando por un factor de amplificación sin dimensiones como una función de la proporción que se debilita y la proporción de frecuencia sin dimensiones. La fase es escrita como una función de la proporción de frecuencia y la proporción que se debilita. El concepto de respuesta frecuencial implica el estudiar el comportamiento de estas funciones con la proporción de frecuencia para los valores diferentes de la proporción que se debilita. La respuesta frecuencial es estudiada de las ecuaciones que definen las funciones y sus gráficos. Un caso especial de una frecuencia cuadró la excitación, cuando la amplitud de excitación es proporcional al cuadrado de su frecuencia, es considerada. Una nueva función sin dimensiones que representa la respuesta frecuencial de tales sistemas es presentada. La teoría general es aplicada a una variedad de problemas físicos incluyendo las vibraciones de máquinas que corresponden con un componente de giro desequilibrado y vibraciones inducidas por el vertimiento de vórtice de un cilindro circular.

Dos cantidades importantes en el estudiar la respuesta de un sistema debido al movimiento armónico de su base son la aceleración absoluta del sistema y el desplazamiento del sistema en relación con su base. Muestran el éste para ser un uso de la teoría de frecuencia excitaciones cuadriculadas mientras el antiguo es un uso de teoría de aislamiento de vibración. El aislamiento de vibración es la inserción de un miembro elástico entre un objeto, decir una máquina, y su fundación para proteger fundación de fuerzas grandes generadas durante la operación de la máquina o proteger la máquina de aceleraciones grandes generadas por el movimiento de la fundación. Un sistema de suspensión proporciona el aislamiento de vibración a un vehículo como esto protege el vehículo de las aceleraciones generadas por las ruedas. La teoría de aislamiento de vibración es desarrollada para un sistema SDOF sujeto a la entrada armónica. Una serie Fourier es una representación de una función periódica por una serie infinita de términos de coseno y seno. La serie converge a la función periódica pointwise en cada punto donde la función es continua. La representación de serie Fourier y el método de superposición lineal son usados para solucionar para la respuesta fija de un sistema debido a una excitación general periódica. Instrumentos de medida de vibración sísmicos usan las vibraciones de una masa sísmica para medir las vibraciones de un cuerpo. Como la masa sísmica es conectada al instrumento que rígidamente es conectado al cuerpo cuyas vibraciones están siendo medidas las vibraciones de la masa sísmica en relación con el cuerpo en realidad son medidas. Un sismómetro mide este movimiento relativo y requiere una proporción de frecuencia grande para la exactitud. Un acelerómetro convierte la salida de modo que esto mida la aceleración y requiera una pequeña proporción de frecuencia para la exactitud. La respuesta de un sistema con el Columbio que se debilita debido al forzar de armónico es complicada por la posibilidad de incluyen palo que el movimiento cesa durante un período cuando la fuerza de primavera y la fuerza de entrada son insuficientes para vencer la fuerza de fricción. Esto hace la respuesta del sistema sumamente no lineal.

La amplitud del movimiento tiende a aumentar infinitamente, un sistema que actúa bajo una excitación externa con una frecuencia forzada que, coincide con la frecuencia natural, se dice que esta en resonancia. La amplitud aumenta gradualmente hacia el infinito, sin embargo los materiales comúnmente usados en una práctica están sujetos a límites de resistencia y los fallos estructurales ocurrirán mucho antes de que las amplitudes puedan alcanzar valores extremadamente altos.

2.3.1.2. RESPUESTA FORZADA. La respuesta crece sin la resonancia de producción atada. Respuesta de un sistema seco SDOF cuando ω es menor que ωn. La respuesta de un sistema para el cual la frecuencia de excitación iguala la frecuencia natural es ilustrada en la figura 1. Ya que la amplitud de la respuesta es proporcional a la t cultiva sin la producción atada una condición la resonancia llamada. La resonancia conduce a un aumento de amplitud a un valor donde las suposiciones usadas en el modelado del sistema físico son caducadas. Por ejemplo en un sistema con una primavera de rollo helicoidal el límite proporcional del material de la primavera es excedido como los aumentos de amplitud. Después de este tiempo el movimiento es gobernado por una ecuación no lineal diferencial.

Figura 1 Cuando las vibraciones de un sistema conservador son iniciadas, el movimiento es sostenido en la frecuencia natural del sistema sin la entrada de energía adicional. Así, cuando la frecuencia de excitación es la misma como la frecuencia natural, el trabajo hecho por la fuerza externa no es necesario para sostener el movimiento.

La energía total aumenta debido a la entrada de trabajo y conduce a un aumento continuo de la amplitud. Cuando la frecuencia de excitación es diferente de la frecuencia natural, el trabajo hecho por la fuerza externa es necesario para sostener el movimiento en la frecuencia de excitación.

2.3.2.1. RESPUESTA FORZADA DE UN SISTEMA AMORTIGUADO VISCOSO SUJETO A UNA SOLA FRECUENCIA DE EXCITACIÓN ARMÓNICA. La forma estándar de la ecuación diferencial que gobierna el movimiento de un sistema amortiguado de un grado de libertad con una sola frecuencia de excitación armónica es: (2.3.2.1)

Una solución particular asumida es (2.3.2.2)

Sustituyendo la solución particular en la forma estándar obtenemos las siguientes ecuaciones para U y V: (2.3.2.3)

(2.3.2.4)

Resolviendo y sustituyendo en la solución particular obtenemos:

(2.3.2.5)

Aplicando la identidad trigonométrica para la diferencia de ángulos del seno y manipulación algebraica obtenemos: (2.3.2.6)

(2.3.2.8 y 9)

Donde X es la amplitud de la respuesta forzada y ф el ángulo de fase entre la respuesta y la excitación. La amplitud

y ángulo de fase proveen importante información acerca de la

respuesta forzada. La formulación de las ecuaciones de la amplitud y del ángulo de fase en forma no dimensional permite una mejor interpretación cualitativa de la respuesta. En las ecuaciones se puede notar que: (2.3.2.9 y 10)

Los parámetros usan las tres básicas dimensiones: masa, longitud y tiempo. El teorema de Buckingham Pi establece que la formulación de la relación de la amplitud es una función de 6- 3= 3 parámetros no dimensionales. Uno de los parámetros

depende de

la amplitud

mientras

que los

otros

dos

son

independientes. Si multiplicamos a la amplitud por (meqωn2 )/ F0 obtenemos:

(2.3.2.11)

Donde es la frecuencia de radio. El radio es

(2.3.2.12)

(2.3.2.13)

adimensional y frecuentemente es llamado amplificación de radio o factor de magnificación. El factor demagnificación tiene la interpretación de el radio de la amplitud de la respuesta a la deflexión estática de un resorte de la rigidez K debido a una fuerza constante F 0, (2.3.2.14)

Una interpretación alternativa seria la máxima fuerza desarrollada en el resorte de un sistema masa resorte y un sistema viscoso amortiguado, Fmax = kX = m ωn2 X a la máxima excitación. Representa que tanto la fuerza es magnificada por el sistema. El factor de magnificación es realmente una fuerza de radio,dinámicamente similar a: (2.3.2.15)

Entonces la forma no dimensional de la amplitud viene dada por: (2.3.2.16)

El factor de magnificación es una función de la frecuencia de radio para diferentes valores del amortiguamiento de radio lo cual se muestra en la siguiente gráfica: Las siguientes observaciones de las ecuaciones anteriores: 1.

M=1 cuando r=0.En este caso la fuerza de

excitación es constante y la máxima fuerza desarrollada en el resorte de un sistema masa-

resorte-amortiguador es igual al valor de la fuerza de excitación. 2. Para un valor de r dado, M decrece cuando ζ incrementa.

2.3.2.2. EXCITACIONES DE FRECUENCIA CUADRADA. Muchos sistemas de un grado de libertad están sujetos a una sola frecuencia de excitación armónica cuya amplitudes proporcional al cuadrado de su frecuencia. (2.3.2.17)

donde A es una constante de proporcionalidad con dimensiones de FT 2 o L. Cuando Feq(t) representa un momento A tiene dimensiones de FLT

2

o L2 M. La

respuesta de estado estacionario debido a este tipo de excitación se desarrolla aplicando ecuaciones desarrolladas en la sección 2.3.2.1. con : (2.3.2.18)

Sustituyendo (2.3.2.18) en (2.3.2.11) obtenemos:

(2.3.2.19)

(2.3.2.20)

Donde (2.3.2.21)

Δ es al igual que M una función adimensional de la frecuencia de radio y el amortiguador de radio. Δ se relaciona con M mediante:

(2.3.2.22)

2.3.2.3. RESPUESTA DADA UNA EXCITACIÓN ARMÓNICA DE UN SOPORTE. Considere el sistema masa-resorte-amortiguador siguiente.

(2.3.2.23)

El elemento amortiguador y el resorte están en paralelo con uno de los extremos del elemento de masa y el otro extremo conectado a un soporte movible. Vamos a denotar y(t) como el desplazamiento conocido del soporte móvil y x(t) el desplazamiento absoluto

de la masa. Aplicando la segunda ley de Newton al

diagrama de cuerpo libre obtenemos: (2.3.2.24)

Definiendo (2.3.2.25)

Como el desplazamiento relativo de la masa respecto del soporte. Si denotamos a z como la variable dependiente entonces: (2.3.2.26)

Dividiendo las ecuaciones del sistema por m, obtenemos:

y

(2.3.2.27 y 28)

La ecuación obtenida anteriormente muestra que un sistema masa-resorteamortiguador es un ejemplo mas en el cual la magnitud de una excitación armónica es proporcional al cuadrado de su

frecuencia. Entonces usando el

teorema de la sección 2.3.2.2: (2.3.2.29)

Donde (2.3.2.30)

Cuando sustituimos (2.3.2.29) y (2.3.2.30) en (2.3.2.25), el desplazamiento absoluto viene a ser:

(2.3.2.31)

Usando la identidad trigonométrica de la diferencia de ángulos del seno es posible expresar la ecuación anterior como: (2.3.2.32)

Donde

Donde

y

(2.3.2.33)

T(ζ,r) es también una función no dimensional de la frecuencia de

radio y el amortiguamiento de radio definido por

(2.3.2.34)

2.3.2.3. Excitaciones Multifrecuenciales. Una excitación multifrecuencia tiene la forma

Sin pérdida de generalidad, se asume que Ft> 0 para cada i. La respuesta de estado estacionariodebido a una excitación de multifrecuencia se obtiene usando la respuesta de una sola frecuenciaexcitación y el principio de superposición lineal. La respuesta total es la suma de lasrespuestas debidas a cada uno de los términos de frecuencia individuales.

2.3.2.4. Representación de Series de Fourier. La serie de Fourier de una función f definida en el intervalo (-p ,p) está dada por

2.3.2.5. Respuesta de Sistemas debido a una Excitación General Periódica. Si F(t) es una excitación periódica para un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del sistema es:

VISCOSIDAD. La viscosidad es la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales. Un fluido que no tiene viscosidad se llama fluido ideal. En realidad todos los fluidos conocidos presentan algo de viscosidad, siendo el modelo de viscosidad nula una aproximación bastante buena para ciertas aplicaciones. La viscosidad sólo se manifiesta en líquidos en movimiento. Se habla de viscosidad para hacer referencia a la fuerza contraria que un fluido ejerce ante una deformación de característica tangencial. Se trata de una propiedad caracterizada por la resistencia a fluir que se genera a partir del rozamiento entre las moléculas. BIBLIOGRAFIA. http://es.scribd.com/doc/31344306/tipos-de-amortiguamiento http://books.google.com.mx/books?id=72MXlBvrHsAC&pg=PA48&lpg=PA48&dq=amortiguamiento +de+friccion+seca&source=bl&ots=mvMGTyB9I_&sig=Hkzuuz3qfOWtcLW_j9nFCeGNhQo&hl=es# v=onepage&q=amortiguamiento%20de%20friccion%20seca&f=false http://www.mty.itesm.mx/dia/deptos/im/m95864/P3.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Amortiguamiento