CAPITULO # 3 RESPUESTA EN EL TIEMPO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL • INTRODUCCION A LA RESPUESTA EN EL TIEMPO El análisis de la respuesta en el tiempo de un sistema de control se divide en: • Respuesta transitoria. • Respuesta en estado estable. Respuesta transitoria Resp. en edo. estable Respuesta en el tiempo • Respuesta transitoria: Es la respuesta que representa un sistema de control desde su estado inicial hasta su estado final. • Respuesta en estado estable: Es la forma en que se comporta la variable controlada cuando el tiempo tiende a infinito. Resp. Transitoria Resp. en edo. Resp. transitoria Resp. en edo. Estable estable Elemento Entrada de Acción de final de Referencia control control Planta Variablecontrolada Sistema de medición Para analizar la respuesta de un sistema de control se utilizan como entradas al sistema de señales de prueba simples como las siguientes: • Función impulso. • Función escalón. • Función rampa. • Función aceleración. • Función senoidal. • Función impulso unitario (t) [r(t)] = R(s) = [(t)] =1 0t<0 "t=0 r(t) =

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0t>0 • Función escalón de magnitud k [kU (t)] r(t) [r(t)] = R(s) = [kU (t)] =k/s k t 0t<0 r(t) = kt"0 c) Función rampa con pendiente m (mt) r(t) [r(t)] = R(s) = [mt] =m/s² 0t<0 t r(t) = mt t " 0 d) Función aceleración ct² con pendiente c r(t) [r(t)] = R(s) = [ct²] =2c/s³ t 0t<0 r(t) = ct² t " 0 e)Función senoidal A sen wt r(t) [r(t)] = R(s) = [A sen wt] =Aw/s² + w² wt 0t<0 r(t) = A sen wt t " 0 Graficas de sistemas estables:

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r(t) c(t) sistema tt r(t) c(t) sistema tt t) c(t) sistema t tt Un sistema de control lineal es inestable si la variable controlada presenta una oscilación por tiempo indefinido, o sí dicha variable diverge sin limite de su estado de equilibrio. Graficas de sistema inestables: r(t) c(t) sistema t r(t) c(t) sistema tt r(t) c(t) sistema tt Para sus análisis los sistemas de control se clasifican en: ♦ Sistemas de primer orden. ♦ Sistemas de segundo orden. ♦ Sistema de orden superior. Recordemos que el orden de un sistema de control lo va a determinar el orden de la ecuación diferencial que representa al sistema ó también lo podemos determinar a partir de la función de transferencia y será igual al orden del polinomio del denominador de dicha función de transferencia. 3

• SISTEMAS DE PRIMER ORDEN. R(s) C(s) C(s) /R(s) = [1/s] /[1 + 1/s (1)] = 1 / s + 1 C(s) / R(s) = 1 / s + 1 Función de transferencia En general la función de transferencia de un sistema de primer orden se puede representar de la siguiente manera: C(s) / R(s) = k / s + 1 Donde : K = Ganancia del sistema. = Constante del tiempo. Ejemplo: Obtener la respuesta en el tiempo de un sistema de primer orden cuando es excitado con un escalón de magnitud k. R(s) C(s) r(t) = kU (t) R(s) = k / s Solución: c(t) = ? C(t) = [c(s)] c(s) = [G(s) / 1 + GH(s)] R(s) C(s)/R(s) = [1/s] / [1+1/s] (1) = 1 / s + 1 C(s) = [1 / s + 1][k/s] C(s) = k/ s(s+1/) = A/s + B/ (s+1/) k / = A(s+1/) + B(s) para s = −1/ k / = A(0) + B(−1/) B=−k Para s=0 k / = A(1/) + B(0) A=k C(s) = k/s − k / [s + 1/] Antitransformando:

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C(t) = kU (t) − ke = k(1−e) C(t) = k (1 − e) Para obtener el valor final ó valor en estado estable aplicaremos el teorema de valor final. C(") = lim c(t) t" c(t) = lim k [1−e] = k c(") = k Constante de tiempo (): Es el tiempo en el cual la variable controlada alcanza el 63.2% del valor final. La función de transferencia para un sistema de primer orden es: C(s)/R(s) = k / s + 1 A la ecuación s+1= 0 se le conoce como ecuación característica en general la ecuación característica es: ♦ + GH(s) = 0 ahora si graficamos los polos de la ecuación de un sistema de primewr orden en el plano complejo jw s + 1= 0 s = −1/ −1/ la respuesta de un sistema de control depende de l la naturaleza de las raíces de la ecuación característica. • SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN R(s) C(s) C(s)/R(s)= [Wn²/s²+2Wns] / 1+[Wn²+2Wns](1) C(s)/R(s) = Wn²/s²+2Wns+Wn² Función de transferencia general para los sistemas de Segundo orden Donde: Wn = Frecuencia natural no amortiguada. = Razón de amortiguamiento.

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La ecuación característica para un sistema de segundo orden es: S² + 2Wns + Wn² = 0 Y sus raíces son : S1,2 = −2Wn ± " 4²Wn² − 4Wn² / 2 S1,2 = −Wn ± Wn " ² − 1 Como la naturaleza de las raíces de la ecuación característica depende de la razón de amortiguamiento por lo tanto vamos a variar este parámetro desde cero hasta infinito. PRIMER CASO: Cuando la razón de amortiguamiento es igual a cero. S1,2 = −Wn ± Wn " ² − 1 Sustituyendo =0 tenemos que: S 1,2= −0Wn ± Wn "0−1 = ± Wn "−1 = ± Wn S1= jWn S2 = − jWn Las raíces son imaginarias y la respuesta del sistema oscilatoria. C(t) r(t) t SEGUNDO CASO: Cuando 0 < < 1 S1,2 = −Wn ± Wn " ² − 1 Sustituyendo 0< < 1 tenemos que: S 1,2= −Wn ± Wn "²−1 Como se puede apreciar al sustituir el radical siempre será negativo por lo tanto es un número imaginario. S1 = −Wn + j Wn " ² − 1 S2 = −Wn − jWn " ² − 1 Wd = Wn " 1 − ² = frecuencia natural amortiguada Las raíces son complejas conjugadas y la respuesta en el tiempo subamortiguada C(t) r(t) t 6

TERCER CASO: Cuando = 1 S1,2 = −Wn ± Wn " ² − 1 Sustituyendo = 1 tenemos que: S 1,2= −(1)Wn ± Wn "1²−1 S1= −Wn S2 = −Wn Las raíces son reales e iguales y la respuesta del sistema es críticamente amortiguada. C(t) r(t) t CUARTO CASO: Cuando > 1 S1,2 = −Wn ± Wn " ² − 1 Sustituyendo > 1 tenemos que: S 1 = −Wn + Wn "²−1 S 2 = −Wn − Wn "²−1 Las raíces son reales y diferentes y la respuesta del sistema es sobreamortiguada. C(t) r(t) t PROBLEMA #1 Obtener la respuesta en el tiempo de un sistema de segundo orden con raíces complejas conjugadas con parte real negativa cuando es excitado con un escalón de magnitud unitario. R(s) C(s) Solución: C(t) = ? C(t) = [c(s)] C(s)/R(s)= [Wn²/s²+2Wns] / 1+[Wn²+2Wns](1) C(s)/R(s) = Wn²/s²+2Wns+Wn² La ecuación caracteristica es: S² + 2Wns + Wn² = 0 Cuando 0 < < 1 7

S1 = −Wn + jWd ; S2 = −Wn + jWd (s + Wn + jWd) (s + Wn − jWd) = s² + 2Wns + Wn² = 0 para que las raíces sean complejas conjugadas la razón de amortiguamiento debe ser 0 < < 1 C(s) / R(s) = Wn² / s² + 2Wns + Wn² C(s) = [Wn²/ s² + 2Wns + Wn²] R(s) Sustituir R(s) R(s) =[r(t)] = [1U (t)]= 1 / s C(s) = [Wn²/ s² + 2Wns + Wn²] [1 / s] = Wn²/ s(s² + 2Wns + Wn²) C(s) = Wn²/ s(s² + 2Wns + Wn²) = A/s + Bs+C/ s²+2Wns+Wn² Wn² = A(s²+2Wns+Wn²) + (Bs+C)s Wn² (A+B)s² + (2AWns+Wn²)s + AWn² 1.− A + B=0 B =−1 2.− 2AWn + C = 0 C = −2Wn 3.− AWn² = Wn² A =Wn²/Wn² =1 C(s) = 1/s + (−s −2Wn)/s²+2Wns+Wn² C(s) = 1/s − s+2Wn/ (s+ Wn+ jWd) (s+ Wn+ jWd) C(s) = 1/s − (s + Wn) + Wn / (s + Wn)² + Wd² = 1/s − (s + Wn) /[ (s+ Wn)²+ Wd²] − [Wn / Wd] [Wd / (s + Wn)² + Wd² Atitransformando: C(t) = 1 − e cos Wd t − Wn/Wd e sen Wd t C(t) = 1 − e [cos Wd t + Wn/Wd sen Wd t] Obtener el valor en estado estable [c(")] C(") = lim C(t) = lim s C(s) t0 s0 C(") = lim C(t) = lim (1 − e [cos Wd t + Wn/Wd sen Wd t] ) t0

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C(") = 1 Graficar la ecuación c(t) = 1 − e [cos Wd t + Wn/Wd sen Wd t] PROBLEMA #2 Obtener la respuesta en el tiempo de un sistema de segundo orden con raíces complejas conjugadas con parte real positiva cuando es excitado con un escalón de magnitud unitario. Solución: C(t) = ? C(t) = [c(s)] La ecuación caracteristica es: S² − 2Wns + Wn² = 0 Cuando 0 < < 1 S1 = Wn − jWd ; S2 = Wn + jWd Wd = Wn"1− ² La función de transferencia para el sistema de segundo orden es: C(s) / R(s) = Wn² / s² − 2Wns + Wn² Despejando C(s) C(s) = [Wn²/ s² + 2Wns + Wn²] R(s) Sustituir R(s) R(s) =[r(t)] = [1U (t)]= 1 / s C(s) = [Wn²/ s² + 2Wns + Wn²] [1 / s] = Wn²/ s(s² + 2Wns + Wn²) Descomponer en fracciones parciales: C(s) = Wn²/ s(s² + 2Wns + Wn²) = A/s + Bs+C/ s²+2Wns+Wn² Obtener los coeficientes de A, B, C: Wn² = A(s²+2Wns+Wn²) + (Bs+C)s Wn² (A+B)s² + (2AWns+Wn²)s + AWn² 1.− A + B=0 B =−1 2.− 2AWn + C = 0 C = 2Wn 3.− AWn² = Wn² A =1 Sustituyendo A, B, C: 9

C(s) = 1/s + (−s +2Wn)/s²−2Wns+Wn² Completar los cuadrados del polinomio del denominador: C(s) = 1/s +[− s+2Wn]/ (s− Wn+ jWd) (s− Wn− jWd) Completar transformadas de seno y coseno: C(s) = 1/s − (s − Wn) + Wn / (s − Wn)² + Wd² = 1/s − (s − Wn) /[ (s− Wn)²+ Wd²] + [Wn / Wd] [Wd / (s − Wn)² + Wd² Atitransformando: C(t) = 1 − e cos Wd t + Wn/Wd e sen Wd t C(t) = 1 − e [cos Wd t − Wn/Wd sen Wd t] Obtener el valor en estado estable [c(")] C(") = lim C(t) = lim s C(s) t0 s0 C(") = lim C(t) = lim (1 − e [cos Wd t + Wn/Wd sen Wd t] ) t0 C(") = " Graficar la ecuación c(t) = 1 − e [cos Wd t + Wn/Wd sen Wd t] Los sistemas de control que tienen raíces con parte real positiva son inestables porque generan términos de tipo exponencial creciente e+Wnt. Gráfica en el plano complejo del comportamiento de los polos de un sistema de segundo orden al variar la razón de un amortiguamiento. =0 +jWn Wn² = (Wn)²+(Wd)² +jWd −jWd −jWn =0 Wn² = (Wn)²+(Wd)²

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Wn² = ²Wn² + Wn² − ²Wn² Wn² = Wn² B = tg¹ "1 − ²/ • ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA Respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado cuando es excitado como un escalón unitario. 1.− TIEMPO DE RETARDO (td).− Es el tiempo en el cual la variable controlada va del 0 al 50% de su valor final. 2.− TIEMPO DE ELEVACIÓN (tr).− Es el tiempo en el cual la variable controlada va del 0 al 100% de su valor final de una sola vez. tr = − / Wd 3.− TIEMPO DE PICO (tp) .− Es el tiempo en el cual la variable controlada alcanza su valor máximo. tp = / Wd 4.− TIEMPO DE ESTABILIZACIÓN (ts).− Es el tiempo en el cual la variable controlada alcanza su estado estable. Ts = 5 / Wn 5.− SOBREPASO MÁXIMO (Mp).− Es el valor pico máximo que presenta la variable controlada tomando como base su referencia. %Mp = 100e Ejemplo: Obtener la respuesta en el tiempo del siguiente sistema de control excitado por un escalón unitario. R(s) C(s) Solución: C(t) = ? C(t) = [C(s)] Para encontrar C(s) obtendremos la ecuación de transferencia. C(s)/R(s) = [25/s²+6s] / [1 + 25/s²+6s](1) = 25/s²+6s+25 Despejando C(s) C(s) = 25/s²+6s+25 (1/s) C(s) = 25/s(s²+6s+25) Descomponer en fracciones parciales C(s) = 25/s(s²+6s+25) = A/s + Bs+C/ s²+6s+25

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25 = (A+B)s² + (6A+C)s + 25A A+B= 0 B= −1 6A+C=0 C= −6 25A=25 A= 1 sustituir A, B, C C(s) = 1/s − (s+6)/ s²+6s+25 = 1/s − (s+3)+(3)/ (s+3)²+16 = 1/s − (s+3)/(s+3)²+16 − 3/(s+3)²+16 = 1/s − (s+3)/(s+3)²+16 − [3/4][4/(s+3)²+16 antitransformando C(t) = 1 − e cos 4t − ¾ e sen 4t Obtener el valor en estado estable. C(") = lim C(t) = lim s C(s) t0 s0 C(") = lim C(t) = lim (1 − e [cos 4t − 3/4 e sen 4t] C(")= 1−0 = 1 C(") = 1 Encontrar los siguientes parametros: 1) ; 2)Wn ; 3) Wd ; 4)tr ; 5)tp ; 6) ts ; 7) %Mp Encontrar la razón de amortiguamiento : Para encontrar la razón de amortiguamiento se igualaran los polinomios del denominador de las funciones de transferencia. s²+2Wns+Wn² = s²+6s+25 2.−Wn² = 25 Wn = 5 1.− 2Wn = 6 = 6/10 = .6 3.− Wd = Wn"1 − ² 12

= 4rad/seg 4.− tr = − / Wd = 3.1416 − .92/4 = .55seg 5.− tp = 3.1416/Wd = 3.1416/4 = .78seg 6.− ts = 5 /Wn = 5/.6*5 = 1.66seg 7.− %Mp = 100e %Mp = 9.47% • .− ERROR EN ESTADO ESTABLE C(t) Respuesta de un sistema de Segundo orden subamortiguado cuando es excitado con un escalón unitario. G(s) R(s) E(s) C(s) B(s) H(s) 1.− E(s) = R(s) − B(s) 2.− C(s) = E(s) * G(s) 3.− B(s) = C(s) * H(s) sustituir 3 en 1 4.− E(s) = R(s) − C(s) * H(s) sustituir 2 en 4 5.− E(s) = R(s) − E(s) * G(s) * H(s) despejar E(s) de 5 E(s) + E(s) * GH(s) = R(s) E(s) [ 1 + GH(s) ] = R(s) E(s) = R(s) / 1 + GH(S) Para encontrar el error en estado estable aplicaremos el teorema de valor final.

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C(")= ess = lim e(t) = lim s E(s) t0 s0 • Error en estado estable para un sistema de control sometido a una entrada escalón r(t) = AU (t) Solución: R(s) = [r(t)] = [AU (t)] = A/ s ess = lim s E(s) = lim s R(s) / 1 − GH(s) s0 s0 sustituyendo R(s) ess = lim s [A /s] / 1 + H(s) = lim s = A / s[1 + GH(s)] s0 lim A / 1 +GH(s) = A / 1 + lim GH(s) si Kp = lim GH(s) ess = A / 1 +Kp Kp = constante de error de posición. • Error en estado estable para un sistema de control sometido a una entrada rampa. R(s) = [r(t)] = [B(t)] = B / s² ess = lim s E(s) = lim s R(s) / 1 + GH(s) s0 s0 sustituyendo R(s) ess = lim s [B / s²] / [1 + GH(s)] s0 lim B / s[1 +GH(s)] = B / 0 + lim sGH(s) si Kv = lim sGH(s) ess = B / Kv Kv = constante de error • Error en estado estable para un sistema de control sometido a una entrada aceleración r(t) = et². R(s) = [r(t)] = [Ct²] = 2C / s³ ess = lim s E(s) = lim s R(s) / 1 + GH(s)

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s0 s0 sustituyendo R(s) ess = lim s [2C / s³] / [1 + GH(s)] s0 lim 2C / s²[1 +GH(s)] = 2C / lim s²GH(s) si Ka = lim s²GH(s) ess = 2C / Ka Ka = constante de error de aceleración. Ejemplo: Encontrar el error en estado estable del siguiente sistema de control cuando es excitado con un: • escalón r(t) = 5U (t) R(s) C(s) Solución: R(s) = [r(t)] = [5U (t)] = 5 / s ess = lim s E(s) = lim s R(s) / 1 + GH(s) s0 s0 sustituyendo R(s) ess = lim s [5 / s] / [1 + (10 / (s+3)(s+5)] s0 lim s 5 / s[1 + 10 (s+3)(s+5)] = lim 5 / 1 + 10 / (s+3)(s+5) = 5 / (25/15) = 75/25 = 3 ess = 3 b)Encontrar el error en estado estable para el mismo sistema a una entrada rampa r(t) = 5t Solución: R(s) = [r(t)] = [B(t)] = 5 / s² ess = lim s E(s) = lim s [5 / s²]/ 1 + 10 / (s+3)(s+5) s0 s0 sustituyendo R(s)

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ess = lim s [5 / s²] / [1 + 10 / (s+3)(s+5)] s0 lim 5 / s[1 +10 / (s+3)(s+5)] = 5 / 0[ 1 +10 / (s+3)(s+5)] =5/0=" ess = " c) Encontrar el error en estado estable del sistema anterior para una entrada aceleración r(t) = 6t² Solución: R(s) = [r(t)] = [6t²] = 12 / s³ ess = lim s E(s) = lim s 6s³ / 1 + 10 / (s+3)(s+5) s0 s0 sustituyendo R(s) ess = lim s [6 / s³] / [1 + 10 / (s+3)(s+5)] s0 lim 6 / s²[1 + 10 / (s+3)(s+5)] = 6 / 0[ 1 + 10 / (s+3)(s+5)] = 6 / 0 = " ess = " CLASIFICACION DE GH(s) El tipo de sistema de control lo va a determinar el número de integradores libres ó polos en el origen (s) donde j = 0, 1, 2, 3 ........ etc de manera que un sistema tipo o será aquel en el cual j = 0, un tipo 1, j = 1 etc. TIPO Kp Kv Ka ENTRADA ENTRADA ENTRADA DE SISTEMA ESCALON RAMPA ACELERACION 0 Kp 0 0 ess = A/1+ ess= " ess = " Kp 1 " Kv 0 ess= 0 ess= A / Kv ess = " 2 " " Ka ess= 0 ess= 0 ess = A / Ka CAPITULO # 4 ACCIONES BASICAS DE CONTROL Y CONTROLES AUTOMATICOS INDUSTRIALES 16

Un control automático compara el valor efectivo de salida de una planta con el valor deseado, determina la desviación y produce una señal de control que reduce la desviación a cero ó a un valor final pequeño, la forma en que el control automático produce la señal de control recibe el nombre de acción de control. R(s) E(s) M(s) C(s) Diagrama de bloques de un sistema de control automático. R(s) − B(s) = E(s) 1.− Si B(s) < R(s) E(s) = + 2.− Si B(s) > R(s) E(s) = − 3.− Si B(s) = R(s) E(s) = 0 TIPOS DE CONTROLES POR SU ACCION DE CONTROL 1.− Control de dos posiciones (on − off). 2.− Control proporcional. 3.− Control integral. 4.− Control proporcional e integral. 5.− Control proporcional y derivativo. 6.− Control proporcional, derivativo e integral. La mayoría de los controles automáticos usan como fuente de potencia la electricidad ó un fluido a presión que puede ser aceite ó aire. También pueden clasificarse los controles automáticos según su tipo de energía usada en su funcionamiento en: • Controles neumáticos. • Controles hidráulicos. • Controles eléctricos. El tipo de control a usar depende de la naturaleza de la planta y sus condiciones de funcionamiento, inclusive consideraciones de seguridad, costo, disponibilidad, confiabilidad, presición, peso, tamaño, etc..... 1.− CONTROL DE DOS POSICIONES (ON − OFF) En un sistema de control de dos posiciones el elemento final de control (accionador) tiene solamente dos posiciones fijas que en muchas ocasiones son simplemente conectado y desconectado (on − off), sea la señal de salida del control m(t) permanece en un valor máximo ó minimo según sea la señal de error actuante positiva ó negativa de modo que: m(t) = m1 para e(t) > 0 m(t) = m2 para e(t) < 0

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donde m1 y m2 son constantes; generalmente el valor minimo es cero ó −m1. Los controles de dos posiciones son generalmente dispositivos eléctricos donde habitualmente hay una válvula accionada por un solenoide electrico. e(t) Ejemplo: Sistema de control de nivel. L1 L2 salida h(t) 2.− CONTROL PROPORCIONAL. Para un control de acción proporcional la relación salida− entrada del controlador es: m(t) = Kp e(t) m(t) : señal de control Transformador de laplace: M(s) = Kp E(s) Kp = M(s) / E(s) Kp = ganancia El control proporcional es esencialmente un amplificador con ganancia ajustable, la característica de este controlador es que al alimentarse la ganancia el sistema responde más rápido pero se hace más oscilatorio. e(t) m(t) Cc c tt DIAGRAMA DE BLOQUES R(s) E(s) M(s) C(s) Kp EFC planta ESR CONTROL PROPORCIONAL ELECTRICO Rf Ri 18

ei eo Rf Ri ei eo Eo(s) / Ei(s) = −[Rf / Ri] = K Banda proporcional (B: P) C(t) r(t) BP t (Banda proporcional): B. P. = % escala total del instrumento 0 − 1000 C: Rango del controlador B. P. 10% 100 C B. P. 20% 200 C ( fuera de esta banda no ejerce acción) 3.− CONTROL INTEGRAL. En un control con acción integral el valor de la salida del controlador m(t) varia con la integral de la señal de error actuante e(t), es decir: ♦ .− d[m(t)] / dt = kie(t) ♦ .− m(t) = Ki " e(t) dt " 1/D [1/D] = 1/s donde K; es la ganancia del control integral La función de transferencia del control integral es: M(s) / E(s) = Ki / s La ecuación 2 revela que la corrección se hace con la integral y continua corrigiendo hasta que el error sea igual a cero. Está tendencia a eliminar cualquier error del sistema en estado estable, es la característica principal de la acción de control integral, pero existe tambien un inconveniente, el controlador integral tiende a sobrecorregir, produciendo por lo tanto una respuesta oscilatoria y en algunos casos causa inestabilidad. Ahora si e(t) = M (t) Entonces m(t) = " M (t) e(t) m(t)

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tt DIAGRAMA DE BLOQUES R(s) E(s) M(s) C(s) Ki/s EFC planta H(s) Ki/s= integrador CONTROL PROPORCIONAL ELECTRICO C R ei eo Eo(s) / Ei(s) = 1 / RCS si Ki = − 1 /RC Eo(s) / Ei(s) = Ki / s ti = RC Caracteristicas: • Como corección integra el error. • Ventaja: el error en estado estable lo hace cero. • Desventaja: se puede hacer inestable si no es adecuado. CONTROL DERIVATIVO En un control con acción derivativa se hace una corrección que es proporcional a la derivada del error respecto al tiempo. m = Kd de(t) / dt Donde: m: es un cambio en la variable manipulada. Kd: es la ganancia del control derivativo. El controlador derivativo es util porque responde a la rapidez de cambio de error y puede producir una corrección significativa antes de que la magnitud real del error sea grande. Por está razón se dice, a veces, que el control derivativo se anticipa al error y de está manera inicia una prematura corrección del error, sin embargo, a pesar de su utilidad no puede usarse solo porque no responde a un error en estado estable (error cte) por lo tanto, debe usarse en combinación con otras acciones de control. Características: • Tiene efecto unicamente en la parte transitoria, por eso disminuye las oscilaciones, estabilizándose más rápido se anticipa al error. • Se basa en la pendiente del error. • En estado estable (m=0) nunca actua y por eso nunca se encuentra solo.

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M(s) / E(s) = Kds C(t) R(s) E(s) R(s) ess t DIAGRAMA A BLOQUES Rf C ei eo Eo(s) / Ei(s) = −RfCS Eo(s) / Ei(s) = Kids Kd = −RfC 4.− CONTROL PROPORCIONAL E INTEGRAL La acción de control proporcional e integral queda definida por la siguiente ecuación: m(t) = Kp e(t) + Kp/ti " e(t) dt La función de transferencia es: : M(s) / E(s) = Kp [ 1 + 1/ tis] donde: Kp: sensibilidad proporcional ó ganancia. Ti: es el tiempo integral. R(s) E(s) C(s) Ki/s EFC planta Si e(t) es escalón m(t) m(t) pp tt circuito electronico de un controlador P + I

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Rf Ri ei eo Eo(s) / Ei(s) = −zf/zi= −Rf/Ri(1 + 1 /RfCfs) si Kp = Rf / Ri y ti = RfCf Eo(s) / Ei(s) = Kp (1 + 1 / tis) 5.− CONTROL PROPORCIONAL Y DERIVATIVO. Definido por la ecuación: m(t) = Kp e(t) + Kptd de(t) / dt La función de transferencia es: : M(s) / E(s) = Kp [ 1 + tds] donde: Kp: sensibilidad proporcional ó ganancia. Ti: es el tiempo derivativo. Si la señal de error actuante es una función rampa . e(t) m(t) p + D p tt CIRCUITO ELECTRONICO DE UN CONTROLADOR P + D C Rf Rf Ri ei eo Eo(s) / Ei(s) = −2Rf/Ri(1 + RfCfs / 2) si Kp = 2Rf / Ri y ti = RfC / 2

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Eo(s) / Ei(s) = Kp (1 +tds) DIAGRAMA DE BLOQUES R(s) E(s) C(s) Ki/s EFC planta 6.− CONTROL PROPORCIONAL + INTEGRAL + DERIVATIVO. Definido por la ecuación: m(t) = Kp e(t) + Kptd de(t) / dt + Kp / ti " e (t) La función de transferencia es: : M(s) / E(s) = Kp [ 1 + tds + 1 /tis] DIAGRAMA DE BLOQUES R(s) E(s) M(s) C(s) EFC planta H(s) Si e(t) es una función rampa . e(t) m(t) P+I+D p + D p tt CIRCUITO ELECTRICO DE UN CONTROLADOR PID C Rf Rf C Ri ei eo Eo(s) / Ei(s) = −2Rf/Ri(1 + 1 /2 RCs + RfCs / 2) Resumen: Caracteristicas de los sistemas de control.

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• Proporcional: La corrección la manda en una forma instantánea y por lo general trabaja con un error. • Derivativo: Se adelanta al error basándose en la derivada, reduce las oscilaciones y disminuye el tiempo de asentamiento. • Integral: En estado estable lo hace cero, tiende a sobrecorregir y puede hacer al sistema inestable. CAPITULO # 5 ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE CONTROL jw Zona estable Zona inestable C(s) / R(s) =W²/S²+2Wns+Wn² C(s) / R(s) =Wn²/S²−−2Wns+Wn² C(t) =1−e[CosWdt−Wn/WdSenWdt C(t) =1−e[CosWdt+Wn/WdSenWdt]

Zona estable Zona inestable C(t) c(t) tt CRITERIO DE ROUTH En general un sistema de control lo podemos representar por medio de la siguiente función de transferencia C(s)/R(s) = bos + b1s + b2s + .... bm−1s+bm/aos+a1s+a2s+..an−1s+an Donde; n>m El criterio de Routh se basa en los coeficientes de la ecuación característica. Procedimiento para aplicar el criterio de Routh. 1.− Se escribe la ecuación característica aos + a1s + a2s + + an−1s + an 2.− Si falta alguno de los coeficientes y además existen coeficientes positivos y negativos el sistema tendrá raíces imaginarias ó raíces con parte real positiva y por lo tanto el sistema será inestable. 3.− En caso de que todos los coeficientes sean positivos ó negativos se hace un arreglo como el siguiente: s a0 a2 a4...... an−1 s a1 a3 a5 an

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s b1 b2 b3 s c1 c2 c3 s² d1 d2 d3 s¹ e1 e2 e3 s f1 f2 f3 b1= a1a2 − a0a3 / a1 ; b2= a1a4 − a0a5 / a1 ; c1= b1a3 − a1b2 / b1 c2= c1b3 − b1c3 / b1 ; f1= e1d2 − d1e2 / e1 ; f2= e1d3 − d1e3 / e1 4.− Una vez obtenido el arreglo anterior nos fijamos en los signos que tienen los elementos de la primera columna. El número de cambios de signo que existan en los elementos de la primera columna será igual al número de raíces con parte real positiva que tiene la ec. Característica. 5.− Si existen cambios de signo en los elementos de la primera columna el sistema será inestable. EJEMPLO # 1 Determinar si el sistema es estable aplicando el criterio de Routh. C(s) / R(s) = K(s+4) / 2s + 4s + 4s³ + 2s² + 6s + 4 Solución: 2s + 4s + 4s³ + 2s² + 6s + 4 s +2 4 6 s +4 2 4 s³ +3 4 0 s² −10/3 4 0 s¹ +7.6 0 0 s +4 0 0 b1=16 − 4 / 4 = 3 ; b2= 24 − 8 / 4 = 3 ; c1= 6 − 16 / 3 = −10/3 c2= 12 − 0 / 3 = 4 ; d1= −40/3 − 12 / −10/3 = 7.6 ; d2= 4 como el sistema tiene dos cambios de signo en los elementos de la primera columna entonces tiene 2 raíces parte real positiva y esto se hace un sistema inestable. EJMPLO # 2 Determinar si el sistema es estable aplicando el criterio de Routh. 25

C(s) / R(s) = K(s+6) / s + 12s³ + 6s² + 5s + 5 Solución: s + 12s³ + 6s² + 5s + 5 s +1 6 5 s³ 12 15 0 s² 4.75 5 0 s¹ 2.36 0 0 s500 b1=72 − 15 / 12 = 4.75 ; C1= 71.25 − 60 / 4.75 = 2.36 como no existen cambios de signo en los elementos de la primera columna el sistema es estable.. EJEMPLO # 3 Determinar el rango de k para que el sistema sea eswtable. K / s³+6s²+8s+12 Solución: para determinar el rango k aplicaremos el criterio de Routh. C(s)/R(s)= [k / s³+6s²+8s+12] / [1 + k/s³+6s²+8s+12] = k / s³ + 6s² + 8s + 12 + k la ecuación caracteristica es:s³ + 6s² +8s + 12 + k = 0 s³ 1 8 s² 6 12+k s¹ 48−(12+k)/6 0 s 12+k 0 b1 = 48 − (12 + k) / 6 para que el sistema sea estable no deben existir cambios de signo en los elementos de la primera columna y para eso se requiere que: 48 − (12 + k) / 6 > 0 y 12 + k >0 k = −12 48 − 12 − k >0 26

36 − k >0 −k >−36(−1) k < 36 −12 < k < 36 5.2 LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES Para trazar el lugar geométrico de las raíces de cualquier sistema de control partiremos de la ecuación característica. 1 + GH(s) = 0 cuando a GH(s) la forman polos y ceros y estos son vectores entonces GH(s) también será un vector que se puede representar por una magnitud y un ángulo, la magnitud de GH(s) será,. / GH(S) / = / −1 / = 1 y el ángulo es: " GH(s) = ± 180 ó un multlipo de este ángulo ó sea que GH(s) se puede representar por una magnitud unitaria y con un ángulo ± 180 ó un múltiplo de este. GH(s) = 1 = condición de magnitud. " GH(s) = ± 180 (2k + 1) condición de ángulo. Donde k =0, 1, 2, .... Ahora si expresamos a GH(S) en forma general GH(s) = k(s+z1)(s+z2)(s+zm) / (s+p1)(s+p2)..(s+pn) La magnitud será: /GH(s)/ = / k//s+z1//s+z2//s+zm/ / /s+p1//s+p2/../s+pn/ y el ángulo de GH(s) será: " GH(s)= "(s+z1) + "(s+z2) +.+"(s+zm) − "(s+p1) − "(s+p2) −−(s+pn) = ± 180 (2k + 1) 5.3 CONSTRUCCION DEL LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES I.− Puntos de origen del lugar geométrico de las raíces(k=0): el lugar geométrico de las raíces principia en los polos de GH(s). II.− Puntos terminales del lugar geométrico de la sraíces (k="): El lugar geométrico de las raíces termina en los ceros de GH(s) III.− Existencia del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real: El lugar geométrico de las raíces existe 27

sobre el eje real solamente a la izquierda de una posición impar de polos y ceros de GH(s). IV.− Asintotas del LGR para valores grandes de s el LGR es asintotico a las lineas rectas cuyos angulos con el eje real son: " As = ± 180(2k+1) / p−z K= 0, 1, 2, 3 P= # de polos; z= # de ceros; p−z= # de asintotas. V.− Centroide de las asintotas (c) : Es el punto donde las asintotas se intersectan con el eje real. c= "Pi − "Zi / P − Z donde: "Pi = sumatoria del valor de los polos. "Zi = sumatoria del valor de los ceros. P = # de polos. Z =# de ceros. VI.− Punto de quiebre (q) Es el punto donde se intersectan dos polos sobre el eje real, para obtener estos puntos se despeja el valor de k de la ecuación característica, se deriva con respecto a s se iguala a cero y se resuelve la ecuación. NOTA: De los valores de s que se obtengan al resolver la ecuación anterior, serán puntos de quiebre, solo aquellos valores que al graficarlos sobre el eje real queden localizados donde están lugares geométricos de las raíces. EJEMPLO # 1 Trazar el LGR del siguiente sistema de control. R(s) C(s) Solución: a) obtener GH(s) GH(s) = [k /s(s+3)] [ 1 / s+5] = k / s(s+3)(s+5 b) # de polos P=3 c) valores de los polos. 28

S1=0 ; s2 =−3 ; s3= −5 d) # de ceros. Z = no existen ceros e)valores de los ceros. Z = no existen ceros. f) graficar polos y ceros de GH(s) en el plano complejo • trazar el LGR sobre el eje real. • nümero de asíntotas p−z = 3−0 = 3 • ángulo de las asintotas. K=1 " As = ± 180(2k+1) / p−z " As = ± 180(2(1)+1) / 3 = 180 k=0 k=−1 " As = ± 180(2(0)+1) / 3=60 " As = ± 180(2(−1)+1) / 3 0−60 k=2 K=3 " As = ± 180(2(2)+1) / 3 = 300 " As = ± 180(2(3)+1) / 3 j) Centroide de las asíntotas. c = "Pi − "Zi / P − Z = 0 − 3 − 5 − [0] / 3 − 0 = −8 /3 k) Punto de quiebre. 1 + GH(s) = 0 1 + k / s(s+3)(s+5) = 0 s(s+3)(s+5) + k = 0 s³ + 8s² + 15s + k = 0 k= −s³ − 8s² − 15s dk/ds = −[ 3s² + 16s + 15] = 0 (−1)[3s² + 16s + 15] = 0 S12= −16 ± "16² − 4(3)(15) / 2(3) = −16 ± 8.7 / 6 29

S1 = −1.2 S2 = −4.11 en este no hay LGR q = −1.2 punto de quiebre. VII.− INTERSECCIÓN DEL LGR CON EL EJE IMAGINARIO Los puntos en que el LGR intersecta al eje imaginario en el punto s se le denomina frecuencia crítica (Wc) y el valor de k que hace que las raíces ó polos crucen el eje imaginario se le llama ganancia crítica (Kc), los valores de ambos se obtienen aplicando el criterio de Routh. EJEMPLO: Obtener Kc y Wc del sistema anterior. Solución: La ec. Característica es: s³ + 8s² +15s + k s³ 1 15 s² 8 k s¹ (120−k)/8 0 sk0 para que el sistema sea estable 120 − k / 8 > 0 k > 0 120 − k > 0 −k > −120 (−1) k < 120 rango de estabilidad de k para que el sistema sea estable es: • < k < 120 la ganancia crítica se obtiene del rango de estabilidad de k y en nuestro caso la ganancia crítica Kc = 120. Para obtener la frecuencia crítica formaremos la ecuación auxiliar a partir de la hilera de s² 8s² + Kc = 0 s= + jw pero en el eje imaginario. 8s² + 120 = 0 = 0 entonces s = jw ó sea Wc = ±"15 8s² = −120 s = ± j "15

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VIII.− ANGULOS DE SALIDA Y LLEGADA. Para encontrar los ángulos de salida de un polo ó de llegada de un cero del LGR se resuelve la condición de un ángulo de GH(s)para un punto alejado un diferencial del polo ó cero, al cual se está determinando el ángulo " " de cero de GH(s) al punto − " " de polos de GH(s)al punto = ±180. IX .− CALCULO DEL VALOR DE K PARA CUALQUIER PUNTO DE LGR. Para determinar el valor de k en cualquier punto del LGR hay que encontrar las distancias de los polos al punto, multiplicarlas y después dividirlas entre el producto de las distancias de los ceros al punto. GH(s) = / k//s+z1//s+z2//s+zm/ / /s+p1//s+p2/../s+pn/ = 1 K = /s+p1//s+p2/../s+pn/ / /s+z1//s+z2//s+zm/ EJEMPLO: Obtener el valor de k en el punto s= ±j "15 del eje imaginario

K = / "15 / / "24 / / "40 / / 1 K = 120 EJEMPLO # 2 Trazar el LGR del siguiente sistema de control. R(s) C(s) Solución: 1) obtener GH(s) GH(s) = [k (s+4)] /[ s(s²+4s+8)] 2) # de polos P=3 3) valores de los polos. S1=0 ; s2 = −2 + j2 ; s3= −2 − j2 4) # de ceros. Z=1 5)valores de los ceros. S = −4 31

6) graficar polos y ceros de GH(s) en el plano complejo jw x

x • trazar el LGR sobre el eje real. • nümero de asíntotas p−z = 3 − 1 = 2 • ángulo de las asintotas. " As = ± 180(2k+1) / p−z k=0 k= 1 " As = ± 180(2(0)+1) / 2= 90 " As = ± 180(2(1)+1) / 2 = 270 10) Centroide de las asíntotas. c = "Pi − "Zi / P − Z = 0 + (−2 −j2) + (−2 +j2) − (−4) / 2 = 0 c=0 11) Graficar asíntotas del LGR en el plano complejo. 12) Obtener los ángulos de salida de los polos GH(s) "" de ceros de GH(s) al punto − "" de los polos de GH(s) al punto = 180 = 180 − = tg ¹ 2/2 − − − s = 180 = 180 − 45 = 45 45 − 135 − 90 − s = 180 = 135 = tg ¹2/2 s = −180 − 180 = 90 = 45 s = −360 EJEMPLO # 3 Trazar el LGR del siguiente sistema de control. R(s) C(s) Solución: 1) obtener GH(s) 32

GH(s) = k (s+1) / s²+4s+8 2) # de polos P=2 3) valores de los polos. S1= −2 + j2 ; s2= −2 − j2 4) # de ceros. Z=1 5)valores de los ceros. S = −1 6) graficar polos y ceros de GH(s) en el plano complejo jw x

7) trazar el LGR sobre el eje real. 8) número de asíntotas p−z = 2 − 1 = 1 9) ángulo de las asintotas. " As = ± 180(2k+1) / p−z k=0 " As = ± 180(2(0)+1) / 1= 180 10) Centroide de las asíntotas. c = "Pi − "Zi / P − Z = −2 + j2 −2 − j2 − (−1) / 1 = −3 c = −3 11) Obtener los ángulos de salida de los polos GH(s) "" de ceros de GH(s) al punto − "" de los polos de GH(s) al punto = 180 = 180 − = tg ¹ 2/1 − − s = 180

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= 180 − 64 = 64 116 − 90 − s = 180 = 116 s = −154 = 90 12) Punto de quiebre 1 + GH(s) = 1 + k(s+1) / s²+4s+8 = 0 s²+4s+8+k(s+1) / s²+4s+8 =0 (s²+4s+8) + k(s+1) = 0 s= −2±"20 / 2 k = −(s²+4s+8) / s+1 s1=1.23 s2=−3.23 dk/ds = −[(s+1)(2s+4) − (s²+4s+8)(1) / (s+1)²] = 0 −[(2s²+6s+4) − (s²+4s+8)] = 0 (−1) 2s² + 6s + 4 − s² − 4s − 8 = 0 s² + 2s −4 = 0 = −3.23 EJEMPLO # 3 Trazar el LGR del siguiente sistema de control. R(s) C(s) Solución: 1) obtener GH(s) GH(s) = k (s+2)(s+4) / s(s+6) 2) # de polos P=2 3) valores de los polos. S1= 0 ; s2= −6 4) # de ceros. Z=2 5)valores de los ceros. S1 = −2 s2 = −4

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6) graficar polos y ceros de GH(s) en el plano complejo jw

7) trazar el LGR sobre el eje real. CAPITULO 6 RESPUESTA EN LA FRECUENCIA Los tres objetivos principales del análisis de sistemas de control con retroalimentación son la determinación de las siguientes características del sistema: 1.− El grado o alcance de la estabilidad del sistema. 2.− La respuesta en estado estable. 3.− la respuesta en estado transitoria. Existen cuatro métodos gráficos para el análisis de sistemas de control, los cuales son más simples y directos que los métodos en el dominio del tiempo para modelos lineales prácticos de sistemas de control con retroalimentación ellos son: 1.− El método del lugar de las raíces. 2.− Representaciones de diagramas de Bode. 3.− Diagramas de Nyquist. 4.− Cartas de Nichols. Los tres últimos son técnicas en el dominio de la frecuencia. METODO DEL GRAFICO DE BODE El método más usado a nivel industrial para el análisis de establidad es el método del gráfico de Bode. El método del gráfico de Bode consta de dos gráficos: • Gráfico de magnitud. • Gráfico de defasamiento. Existen tres formas de determinarlas • Método práctico. • Método teórico. • Método asintótico. R(s) C(s)

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inestable NOTA: Está técnica no es aplicable a sistemas ya inestables, para este tipo de sistemas Nyquist da algunas soluciones en su método de análisis de estabilidad. Un gráfico de Bode es un gráfico de la magnitud de una función de transferencia medida en decibeles (ordenada) como una función del logaritmo de la señal de entrada senoidal log10 (w) (absiza) donde w = 2f rad/seg donde f esta ciclos/segundo asi: /GH(jw) /db = 20 log10 ( / I) donde: = magnitud de la señal de salida. I = magnitud de la señal de entrada. 1.− METODO PRACTICO. En el método practico se basa en abrir físicamente un sistema retroalimentado de la siguiente forma: R(s) 1 C(s) 2 1 se aplica una señal senoidal de magnitud constante y de frecuencia variable 1 y se observa la señal en la salida 2 (magnitud y defasamiento) osciloscopio generador de onda senoidal frecuencia variable V Vo Vi t s Con Vo y Vi tenemos / GH(jw) /db = 20log10 / Vo/Vi / Con está información obtenida, podemos determinar el gráfico de magnitud y defasamiento. /GH(jw)/ db

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Gráfico de magnitud W GH(jw) = 20 log10 ( Vo / Vi) s Gráfico de defasamiento W s = defasamiento. 2.− METODO TEORICO. Este método se utiliza cuando tenemos la función de transferencia de lazo abierto del sistema o podemos determinarla en base a modelajes o sus parámetros. La forma de determinar el gráfico de Bode por el método teórico es el siguiente: 1 K(s+1)(s+1) / s(As²+Bs+1)(s+1) 2 función de transferencia R Vo/Vi = 1 / RCs + 1 c Vo Vi Parámetros Vi sistema de Vo control Vi Vo tt modelaje Pasos para determinar el gráfico de Bode teórico. 1.− Sustituir s por jw. 2.− Transformar a polar. 3.− Determinar magnitud en la función de la frecuencia. 4.− Determinar el defasamiento en función de la frecuencia. 37

5.− Dar valores de frecuencia (w) y determinar: • Magnitud (como relación Vo/Vi). • Defasamiento. 6.− La magnitud se convierte a ganancia en decibeles como: /GH(jw/db = 20 log10 (Vo / Vi) 7.− Se grafican los valores obtenidos tanto en el gráfico de magnitud como de defasamiento. Por ejemplo: Sí GH(s) = k (s+1) / s(s+1)(As²+Bs+1) Asi: GH(jw) = k (jw+1) / jw(jw+1)(Aj²w²+Bjw+1) Transformar a polar / GH(jw)/ = k (²w²+1) / w(²w²+1)([1−Aw²]²+B²w²) s = −90 + tg w − tg w − tg Bw/1−Aw² dar valores a w y determinar /GH(jw)/db = 20 log10 /GH(jw)/ realizar un tabulado y pasarlo al gráfico de magnitud y defasamiento. Notas sobre números complejos C3 =−K3 + 0Im B = 0Re +K2Im= jK2 = K2 90 =−K3 =K3 180 D=0Re−K4Im A= K1Re+0Im = K1 =K1 0 =−jK4=K4 270 Im E= K5+jK6 = (K5² + K6²) = tg K6 / K5 K6 K5 Re j es un vector unitario que rota cualquier vector 90 con el plano complejo. Algunas observaciones sobre el la aplicación del método teórico de Bode. 38

1.− Justificación del método asintotico de Bode. 2.− Cuando tenemos factores cuadráticos con coeficientes de amortiguamiento menores o iguales a 0.5 . 3.− Cuando se utiliza algún algoritmo computacional (programable). = wt= diferencia entre ángulo geométrico y trigonométrico ó una medida de cierto defasamiento a una frecuencia dada. 3.− METODO ASINTOTICO. El aspecto de que el gráfico de Bode tengan ejes coordenados logaritmicos, que la ganancia se maneje en decibeles hace que se observe, algunas características consistentes en la construcción de estás así: • Como en el gráfico de magnitud, en la ordenada, graficamos la ganancia en db o sea: /GH(jw)/db = 20 log10 /GH(jw)/ y como GH(s) está formada por una serie de factores en su forma normalizada esto es: /GH(jw/ db = quedaría como GH(jw) = 20 log10[ k (jw+1) / jw(jw+1)(1−Ajw²+Bjw)] Que es equivalente a: /GH(jw)/db =20 log10 /K/ + 20 log10 /1+jw/ − 20 log10 /jw/ − 20 log10 /jwB+ (1−Aw²) / − 20 log10 /1 + jw/ Tenemos que /GH(jw)/db está formada por la suma de efectos individuales de cada uno de los términos lo cual nos da oportunidad a que al conocer como se comportan los términos individuales tipo, podamos mediante una suma de efectos, determinar el comportamiento del todo. • En caso de defasamiento tenemos que si: GH(s) = k (s+1) / s(s+1)(As²+Bs+1) s = tg k + tg w − tg jw − tg Bw/1−Aw² − tg Con lo cual tenemos también una suma de efectos individuales. • Además de las características presentadas anteriormente, podemos observar un comportamiento aproximado a líneas rectas de parte de los factores individuales tipo de una función de transferencia; esto le da el nombre de gráfico de Bode asintotico, cuya justificación está basada en el análisis por medio del Bode teórico de factores tipo que podamos encintrar en una función de transferencia y que es lo que trataremos de mostrar a continuación. 1.− Ganancia estática constante. GH(s) = K GH(s) = GH(jw) = K 39

/ GH(jw) /db = 20 log10 K s = tg 0/k = 0 /GH(jw)/ db Log10 w s log10 w 2.− Integrador simple. GH(s) = 1/s GH(s) = GH(jw) = 1 / jw / GH(jw) /db = 20 log10 /1/w / = 20 log10 1 − 20 log10 w w=0.1 20db w= 1 0db w=10 −20db s = tg 1/j =1/j * 1/j=j/j²= j/−1 = −j = −90 s = tg −1/0 = − 90 /GH(jw)/ db Log10 w s log10 w 3.− Derivador simple. GH(s) = s GH(s) = GH(jw) = jw / GH(jw) /db = 20 log10 /w / = 20 log10 w w=0.1 −20db

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w= 1 0db w=10 20db s = j = −90 s = tg 1/0 = − 90 /GH(jw)/ db Log10 w s log10 w 4.− Integrador doble. (el cual sería el producto de dos integradores simples) GH(s) = 1/s² GH(s) = GH(jw) = 1 / (jw)² = −1 / w² / GH(jw) /db = 20 log10 /1/w²/ = 20 log10 1 − 20 log10 w² − 40 log10 w w=0.1 40db w= 1 0db w=10 −40db s = −1 = −180 s = tg 0/−1 = − 180 /GH(jw)/ db Log10 w s log10 w 5.− Derivador doble. GH(s) = s² GH(s) = GH(jw) = (jw)²

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/ GH(jw) /db = 20 log10 /−w² / = 20 log10 w² = 40 log10 w w=0.1 −40db w= 1 0db w=10 40db s = j² = 180 s = tg 0/−1 = 180 /GH(jw)/ db Log10 w s Log10 w 6.− Atraso simple GH(s) = 1 / s+1 GH(jw) = 1 / jw + 1 / GH(jw) /db = 20 log10 /1 / "²w²+1 / = 20 log10 1 − 20 log10 ("²w²+1) =−20 log10 ("²w² + 1) suponer: w* = 1/ para a w << 1 w << 1/ w << w* / GH(jw) /db = −20 log10 ("1) = 0db para b w = 1 w = 1/ w = w* / GH(jw) /db = −20 log10 ("2) = − 3db para c w >> 1 w >> 1/ w >> w* / GH(jw) /db = −20 log10 ("²w²) =− 20 log10 w = −20 log10 − 20 log10w = −20 db/dec s = − tg w para a w << 1 w << 1/ w << w*

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s = − tg 0 = 0 para b w = 1 w = 1/ w = w* s = − tg 1 = − 45 para c w >> 1 w >> 1/ w >> w* s = − tg " = − 90 ejemplificando para w = w*/10 , w* y 10w* si w = w*/10 s = −tg 1/w* * w*/10 = −tg 1/10 = −5 si w = w* s = −tg 1/w* * w* = −tg 1 = − 45 si w = 10w* s = −tg 1/w* * 10w* = −tg 10 = − 84 lo cual nos da un esquema del comportamiento del defasamiento en la frecuencia. /GH(jw)/ db log10 w s log10 w db Log10 w Error del gráfico asintotico contra el teórico. (db) 7.− Adelanto simple. GH(s) = s+1 GH(jw) = (jw) + 1 / GH(jw) /db = 20 log10 / "²w²+1 / = 20 log10 ("²w² + 1) suponer: w* = 1/ para a w << 1 w << 1/ w << w* / GH(jw) /db = 20 log10 ("1) = 0db para b w = 1 w = 1/ w = w*

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/ GH(jw) /db = 20 log10 ("2) = 3db para c w >> 1 w >> 1/ w >> w* / GH(jw) /db = 20 log10 ("²w²) =− 20 log10 w = 20 log10 + 20 log10w = 20 db/dec s = tg w para a w << 1 w << 1/ w << w* s = tg 0 = 0 para b w = 1 w = 1/ w = w* s = tg 1 = 45 para c w >> 1 w >> 1/ w >> w* s = tg " = 90 ejemplificando para w = w*/10 , w* y 10w* si w = w*/10 s = tg 1/w* * w*/10 = tg 1/10 = 5.71 si w = w* s = tg 1/w* * w* = tg 1 = 45 si w = 10w* s = tg 1/w* * 10w* = tg 10 = 84.28 lo cual nos da un esquema del comportamiento del desfasamiento en la frecuencia. /GH(jw)/ db Log10 w s Log10 w db Log10 w Error del gráfico asintotico contra el teórico. (db) 8.− Atraso cuadrático. GH(s) = 1 / (s²/Wn²) + (2/Wn)s + 1 GH(jw) = 1 / (j²w²/Wn²) + (2/Wn)jw + 1

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= 1 / J(2w/Wn) + (1 − w²/wn²) / GH(jw) /db = − 20 log10 ["(2w/Wn)² + (1 − w²/wn²)²] para a si w << wn / GH(jw) /db = −20 log10 1 = 0 db para b si w >> wn / GH(jw) /db = −20 log10 (w/wn)² = −40 log10 w/wn =−40 log10 w + 40 log10 wn = −40 db/dec Para valores cercanos a wn el coeficiente de amortiguamiento cobra importancia, así, usando el Bode teórico para diferentes obtendremos el gráfico de Bode de magnitud a frecuencias cercanas a wn. Para w << wn tenemos s = tg 0/1 = 0 para w >> wn tenemos s = − tg 2/" = tg 0 = −180 Para valores cercanos a wn el coeficiente de amortiguamiento cobra importancia, recurriendo al Bode teórico podemos determinar para diferentes , el comportamiento cerca de wn. Log10 w NOTA: Observese la conveniencia de utilizar el método teórico sobre el asintotico para valores de " 0.05 s Log10 w Gráfico de defasamiento Notese aquí también la conveniencia de utilizar el gráfico teórico sobre el asintotico. 9.− Adelanto cuadrático. GH(s) = s²/Wn²+ (2/Wn)s + 1 GH(jw) = j²w²/Wn² + (2/Wn)jw + 1 = J(2w/Wn) + (1 − w²/wn²) / GH(jw) /db = 20 log10 ["(2w/Wn)² + (1 − w/wn²)²] para a si w << wn

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/ GH(jw) /db = 20 log10 1 = 0 db para b si w >> wn / GH(jw) /db = 20 log10 (w/wn)² = 40 log10 w/wn = 40 log10 w − 40 log10 wn = 40 db/dec Para valores cercanos a Wn el coeficiente de amortiguamiento cobra importancia, así, utilizando el Bode teórico para diferentes obtendremos el gráfico de Bode de magnitud a frecuencias cercanas a Wn. Para w << wn tenemos s = tg 0/1 = 0 para w >> wn tenemos s = tg 2/" = tg 0 = 180 Para valores cercanos a wn el coeficiente de amortiguamiento cobra importancia, recurriendo al Bode teórico podemos determinar para diferentes , el comportamiento cerca de wn. Log10 w NOTA: Observese la conveniencia de utilizar el método teórico sobre el asintotico para valores de " 0.5 s Log10 w Votese aquí también la conveniencia de utilizar el método teórico sobre el asintotico. Como podemos ver el adelanto cuadrático es la imagen espejo del atraso cuadrático. Notas sobre la construcción de la parte inicial del gráfico de Bode. Si GH(s) = k (s+1) / s(s+1)(As²+Bs+1) , n = 0 (el exponente de términos libres s es cero) La proporción inicial empezara en 20 log10 k con una pendiente de 0 db/dec. /GH(jw)/db GH(s) = k (s+1) / s(s+1)(As²+Bs+1) Log10 w Wmin = Una decada antes del primer elemento de cambio (quiebre) que se presente. Wmax = Una decada después del último elemento de cambio (quiebre) que se presente.

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Si n " 0 ; n > 0 /GH(jw)/db −n20db/dec w= "k Log10 w Si n " o y n < 0 tenemos /GH(jw)/db Log10 w W= 1 / "k n 20 db/dec GH(s) = k (s+1) / s(s+1)(As²+Bs+1) PASOS PARA LA CONSTRUCCION DEL GRAFICO DE BODE ASINTOTICO 1.− Obtener la función de transferencia de lazo abierto. 2.− Normalizarla. 3.− Determinar Wmin y Wmax. • Wmin se selecciona una decada antes del quiebre de más baja frecuencia. • Wmax se selecciona una decada después del quiebre de más alta frecuencia. 4.− Realizar la porción inicial del gráfico de magnitud. • si no hay integradores ó derivadores, la porción inicial tiene una pendiente de 0 db/dec y tendra una ordenada de 20 log10 k (k = ganancia estática). • Si hay n integradores (1/s) empezara con una pendiente de −n20 db/dec y si es prolongada cruza la linea de 0 db a una frecuencia de "k. • Si hay n derivadores (s) empezara con una pendiente de n20 db/dec y si es prolongada cruzara la línea de 0 db a una frecuencia de 1 /"k. 5.−Realizar la porción inicial del gráfico de defasamiento. • Si no hay integradores ni derivadores la porción inicial empieza con un defasamiento de 0. • Si hay n integradores empezaremos con un defasamiento de −n90. • Si hay n derivadores empezaremos con un defasamiento de n90. 6.− Realizar la faltante agregando los efectos individuales de los demás terminos de la función de transferencia. • Cada constante de tiempo asociada con un factor atraso ó adelanto causara un cambio en la pendiente 47

del gráfico, esta repentino cambio en la pendiente se denomina quiebre. El primer quiebre ocurrira a la manor frecuencia que esta asociada con la constante de tiempo más grande. • Una constante de tiempo de un atraso cambiara la pendiente de la racta del gráfico de Bode −20 db/dec a la frecuencia de quiebre. W = 1/ • Una constante de tiempo de un adelanto cambiara la pendiente de la recta del gráfico de Bode 20db/dec a la frecuencia de quiebre. W = 1 / . • Un factor atraso cuadrático cambiara la pendiente de la recta del gráfico de Bode − 40 db/dec a la frecuencia de quiebre w = Wn (esto para " 0.5) • Un factor adelanto cuadrático cambia la pendiente de la recta del gráfico de Bode 40 db/dec a la frecuencia de quiebre W = Wn (esto para " 0.5) • En el caso del defasamiento, las contribuciones comenzaran a ser dadas una decada antes del quiebre, en el quiebre llevaran la mitad de la contribución total y una decada después terminarán de dar su contribución final. EJEMPLO. Obtener el diagrama de Bode. GH(s) = 1000 / (20s +1) (0.01s + 1) Solución: Obtener las constantes de tiempo. = 0.01 seg w1= 100 r/s = 20 seg w2 = 0.05 r/s Obtener Wmin y Wmax Wmin = 0.005 r/s y Wmax = 1000 r/s Pendiente inicial 0 db/dec Gh(jw) bd = 20 log10 / 1000 / = 60 db s inicial = 0 Trazar la gráfica de magnitud y de defasamiento. /GH(jw)/ db Log10 w s log10 w

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