UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS Escuela de Física Programa: Ciclo de Ciencias Básicas de Ingeniería SEMESTRE: IV Nombre de la asignatura: FÍSICA III CÓDIGO: 22956, 23648 Requisitos: Física II, Cálculo II Es obligatoria para todas la Ingenierías

TAD: 6

Intensidad horaria semanal TI: 6 C: 4

1. Oscilaciones (16horas) 1.1 Movimiento periódico. 1.2 Movimiento armónico simple. 1.3 Sistema masa-resorte. 1.4 Movimientos pendulares. 1.5 Superposición de movimientos armónicos simples. 1.6 Energía en el movimiento simple. 1.7 Oscilaciones amortiguadas. 1.8 Oscilaciones forzadas. 1.9 Resonancia. 2. Ondas Mecánicas (16 horas) 2.1 Ondas armónicas. 2.2 Clasificación de las ondas. 2.3 Ondas en cuerdas, ondas estacionarias. 2.4 Ondas en gases, sonido, tubos sonoros 2.5 Ondas en sólidos. 2.6 Ecuación de onda y función de onda. 2.7 Principio de superposición, interferencia espacial y temporal. 2.8 Propiedades generales de las ondas. 2.9 Velocidad de grupo. 2.9 Energía transportada por las ondas y potencia. 2.10 Intensidad de las ondas. 3. Ondas Electromagnéticas (24 horas) 3.1 Ecuación de Maxwell. 3.2 Ondas electromagnéticas, generación del espectro electromagnético. 3.3 La luz, su naturaleza y velocidad. 3.4 Energía y cantidad de movimiento en las ondas electromagnéticas, vector de Poynting. 3.5 Principio de Huygens. 3.6 Propiedades: reflexión, refracción, interferencia, difracción, experimento de Young y polarización. 3.7 La fibra óptica. 4. Introducción a la Física Moderna. (24 horas) 4.1 El problema de la radiación, radiación del cuerpo negro. 4.2 Hipótesis de Planck y ley de radiación de Planck. 4.3 Efecto fotoeléctrico. 4.4 Efecto Compton. 4.5 Espectros atómicos y modelos atómicos. 4.6 Los Rayos X. 4.7 El efecto láser. 4.8 Dualidad en la materia, ondas de Broglie. 4.9 Difracción de electrones. 4.10 Principio de Heisenberg y relaciones de incertidumbre Bibliografia basica: • • • •

Serway y Beichner, Física para ciencias e ingeniería. Vol. 2. Mc Graw-Hill, 2001. Eisberg R, Física: Fundamentos y aplicaciones. Vol. 2. Mc Graw-Hill, 1983 Alonso M y Finn J, Física. Prentice- Hall: Pearson Education: Addison Wesley, c2000. Sears-Zemansky-Young-Freedman, Física Universitaria. Vol. 2. Pearson Education, 1999.

1.

Oscilaciones

Comenzamos con el estudio de un tipo especial del movimiento llamado periódico, el movimiento repetitivo de un objeto en el que este sigue volviendo a una posición dada después de un intervalo de tiempo fijo. Un movimiento repetitivo de tal objeto se llama oscilación. Vamos a centrar nuestra atención en un caso especial de movimiento periódico llamado movimiento armónico simple (MAS). Todos los movimientos periódicos se pueden modelar como combinaciones de movimientos armónicos simples. El movimiento armónico simple también es la base de nuestra comprensión de las ondas mecánicas. Las ondas sonoras, las ondas sísmicas, las ondas en cuerdas estiradas, y las ondas de agua son producidas por alguna fuente de oscilación. Como una onda de sonido viaja por el aire, los elementos del aire oscilan hacia adelante y hacia atrás; como una ola de agua viaja a través de un estanque, elementos del agua oscilan arriba y hacia abajo y hacia atrás y hacia adelante. El movimiento de los elementos del medio tiene un gran parecido con el movimiento periódico de un péndulo oscilante o un objeto unido a un resorte. Para explicar muchos otros fenómenos en la naturaleza, debemos entender los conceptos de oscilaciones y ondas. Por ejemplo, a pesar de los rascacielos y puentes parecen ser rígida, ellos en realidad sufren algunas oscilaciones, los cuales los arquitectos e ingenieros que diseñan y construyen deben tener en cuenta. Para entender cómo funcionan la radio y la televisión tenemos que entender el origen y la naturaleza de las ondas electromagnéticas y la forma en que se propagan a través del espacio. Por último, gran parte de lo que los científicos han logrado entender acerca de la estructura atómica, propiedades de metales semiconductores y semiconductores llevado a nosotros de esta manera a una revolución tecnológica del siglo XX se debe a la teoría de mecánica cuántica basada en las propiedades ondulatorias del electrón y en la hipótesis de dualidad de la materia que permite una transformación de una partícula a una onda y vice versa. Por lo tanto, primero debemos estudiar oscilaciones y ondas, si queremos comprender los conceptos y las teorías de la física atómica 1.1

Movimiento periódico.

Movimiento periódico es el movimiento de un objeto que devuelve regularmente a una posición dada después de un intervalo de tiempo fijo. Con un poco de imaginación, podemos identificar varios tipos de movimiento periódico en la vida cotidiana. Su coche vuelve al camino de entrada cada tarde. Se vuelve a la mesa de la cena cada noche para comer. Un candelabro golpeado balancea hacia atrás y adelante, volviendo a la misma posición a un ritmo regular. La tierra vuelve a la misma posición en su órbita alrededor del Sol cada año, lo que resulta en la variación entre las estaciones. Además de estos ejemplos cotidianos, otros numerosos sistemas exhiben movimiento periódico. Las moléculas en un sólido oscilan alrededor de sus posiciones de equilibrio; ondas electromagnéticas, como las ondas de luz, radar y las ondas de radio, se caracterizan por la oscilación vectores de campo eléctrico y magnético; y en los circuitos de corriente alterna eléctricos, voltaje, corriente y carga eléctrica varía periódicamente con el tiempo. Un tipo especial de movimiento periódico se produce en los sistemas mecánicos cuando la fuerza que actúa sobre un objeto es proporcional a la posición del objeto con respecto a alguna posición de equilibrio. Si esta fuerza se dirige siempre hacia la posición de equilibrio, el movimiento se denomina movimiento armónico simple, que es el foco principal de este capítulo. Descripción matemática. Cualquier Sistema Dinámico se describe a través de parámetros P1, P2 , P3 , que se varían con el tiempo t, es decir dependen del tiempo P1  P1  t  , P2  P2  t  , P3  P3  t  , . Si sistema dinámico es mecánico, los parámetros son: coordenada, velocidad, energías cinética y potencial, momentos lineal y angular, etc. Si sistema dinámico es termodinámico, los parámetros son: temperatura, presión, volumen, etc. Si sistema dinámico es electromagnético, los parámetros son: campos eléctrico y magnético, potenciales correspondientes, los flujos de campos y de energía, etc. Los procesos epidemiológicos (propagación de las enfermedades), económicos, y otros se pueden considerarse también como sistemas dinámicos. Un proceso en que está involucrado un sistema dinámico se llama periódico si los valores de los parámetros correspondientes que describen este proceso vuelven a repetir con el mismo intervalo del tiempo T, llamado el periodo, es decir P1  t   P1  t  T  , P2 t   P2 t  T  , P3 t   P3 t  T  , (1.1.1 1.2

Movimiento armónico simple (MAS)

Un movimiento periódico se llama movimiento armónico simple (MAS) si la evolución de los parámetros que describen este movimiento está dada con la fórmula: P  t   A cos   t    . (1.2.1)

Aquí el primer factor, A se llama la amplitud,  -se llama la frecuencia angular, el argumento   t   se llama la fase, y  se llama la fase inicial. Si la fase inicial   0 entonces P  t   A cos   t  . Si la fase inicial     2 entonces P  t   A sin   t  . Esto muestra que el MAS se puede representar usando ambas funciones trigonométricas, solamente cambiando la fase inicial:





P  t   A sin   t   ;      2 .

(1.2.2)

Es fácil comprobar que funciones (1.2.1) y (1.2.2) son periódicas. Realmente,





P  t  T   A cos    t  T      A cos   t      T  A cos   t     P  t   si   T  2

De esta última condición se proviene la relación entre la frecuencia y el periodo y la frecuencia angular



2  2  f ; T

f 

1 T

(1.2.3)

Entonces hay tres maneras escribir la fórmula (1.2.1), en términos frecuencia, frecuencia angular y el periodo

 2  P  t   A cos  2 f  t     A cos   t     A cos  t    T  Parámetros de MAS:

(1.2.4)

 t   = Fase  = Fase inicial

A = Amplitud o valor máximo del parámetro P P = El parámetro que se varía en un proceso oscilatorio  = Frecuencia angular (se expresa en rad/s)  =

T f

2  2 f T

= Periodo (se expresa en s) = Frecuencia (se expresa en ciclos/s)

Frecuencia f se mide en  f   Hz  s 1 mientras que frecuencia angular  se mide en    rad  s 1 Se puede derivar la ecuación diferencial que satisfacen parámetros de un sistema en el proceso de MAS. Calculando la segunda derivada respecto del tiempo de la expresión (1.2.1) es fácil de encontrar que para MAS se cumple la relación:

d 2 P t  dt

2

  2 P  t 

(1.2.5)

Entonces hay dos maneras definir si un proceso es MAS: uno puede decir que la evolución de sus parámetros está dada a través de funciones armónicas (1.2.4) o los parámetros correspondientes satisfacen la ecuación diferencial armónica (1.2.5). Existe otra tercera posibilidad para definir si un movimiento periódico es un MAS, llamada la representación vectorial. Esta última representación se utiliza mucho para analizar los circuitos eléctricos con las corrientes alternas, teoría electromagnética y óptica. El desplazamiento de una partícula que se mueve con MAS dada por la ecuación (1.2.1) puede considerarse como la proyección de un vector r  t  de longitud r (t )  A , que rota en el plano XOY alrededor de del origen en sentido contrario de las agujas del reloj con velocidad angular  y formando con el eje X en el momento inicial (t=0) el ángulo  y en el instante t un ángulo   t   , como se ilustra en la Fig. 1.2.1. Fig. 1.2.1 La fig. (1.2.2) muestra algunos de los sistemas físicos que describen un M.A.S.

Sistema Masa Resorte

Péndulo simple

Péndulo de torsión

Péndulo físico

Circuito eléctrico L C

Fig. 1.2.2 : Diferentes clases de Osciladores Armónicos Simples Para cada de estos sistemas oscilatorios e parámetro P que se varía con el tiempo tiene diferentes significados: para el sistema de masa-resorte es el alongamiento del resorte x  t  que se mide en metros, en las siguientes tres sistemas pendulares el parámetro P es el

ángulo   t  que se mide en rad, y en el tercer sistema, el circuito el parámetro P corresponde a la carga eléctrica q  t  que se mide en C (culombio). 1.3 Sistema masa-resorte Como un modelo para un movimiento armónico simple, consideremos un bloque de masa m unida al extremo de un resorte, con el bloque libre para moverse sobre una superficie sin fricción, horizontal (Fig. 1.3.1). Cuando el resorte ni se estire ni se comprime, el bloque está en reposo en la posición llamada la posición de equilibrio del sistema, que identificamos como x = 0 (Fig. 1.3. 1b). Sabemos por experiencia que un sistema de este tipo oscila hacia adelante y hacia atrás si se le saca de su posición de equilibrio. Podemos entender el movimiento oscilante del bloque en la figura 1.3.1 cualitativamente por primera recordando que cuando el bloque se desplaza a una posición x, el resorte ejerce sobre el bloque una fuerza que es proporcional a la posición y dado por la ley de Hooke (1.3.1) F  k x A partir de la segunda ley de Newton F  m a  m

d 2x tenemos la siguiente ecuación dt 2

diferencial

d 2x m 2 k x0 dt

(1.3.2)

Fig.1.3.1 Sistema masa-resorte

O en otra forma equivalente 2

d x

k m dt En general, su solución puede escribirse en una de las siguientes formas: x = A cos t    Siendo x = Elongación A = Máxima elongación o amplitud  = Frecuencia angular natural t   = Fase del movimiento  = Fase inicial El periodo está dado por: 2

  x  0;   2

2

(1.3.3)

(1.3.4)

m (1.3.5)  k Es decir, el período y la frecuencia dependen sólo de la masa de la partícula y la constante de fuerza del resorte, y no en los parámetros de movimiento, tales como A o  .. Como era de esperar, la frecuencia es mayor para un resorte más rígido (mayor valor de k) y disminuye con el aumento de la masa de la partícula. Podemos obtener la velocidad y aceleración de una partícula de someterse armónico simple movimiento de las ecuación (1.3.4). Derivando en función del tiempo la expresión (1.3.4) se obtiene la velocidad y la aceleración: dx   V   A sin  t     A cos   t     (1.3.6) dt 2  dV (1.3.7) a   A cos  t     A cos  t      dt D las fórmulas (1.3.6) y (1.3.7) se ve que la velocidad tiene una fase adelantada en  2 y la aceleración en  en la comparación con la fase de la posición. En la forma vectorial las oscilaciones armónicas de la posición de un resorte x  t  de la velocidad V  t  y de la T

 2

aceleración a  t  se presentan en la figura (1.3.2). El vector de la velocidad en su potación esta adelante del vector de la posición en el ángulo 90°, mientras que el vector de la aceleración forma otra 90° con el vector de la velocidad. De las ecuaciones (1.3.6) y (1.3.7) se observa que, debido a que las funciones seno y coseno oscilan entre -1y 1, los valores extremos de la velocidad de la aceleración son A y A , respectivamente: 2

Vmax

k  A  A ; m

amax

k   A  A m 2

(1.3.8)

Fig.1.3.2 Representación vectorial de las oscilaciones de la posición, velocidad y aceleración del sistema masa-resorte

Figura 1.3.3a muestra la posición en función del tiempo para un valor fijo de la constante de fase inicial. Las dependencias correspondientes de la velocidad-y la aceleración-tiempo se ilustran en las figuras 1.3.3b y 1.3.3c, respectivamente. Ellos muestran que la fase de la velocidad difiere de la fase de la posición  2 rad, o 90 °. Es decir, cuando x es un máximo o un mínimo, la velocidad V es cero. Asimismo, cuando x es cero, la velocidad es un máximo. Además, tenga en cuenta que el fase de la aceleración difiere de la fase de la posición por  radianes o 180 °. Por ejemplo, cuando x es un máximo, aceleración a tiene una magnitud máxima en la dirección opuesta a la dirección x. Fig. 1.3.3

1.4 Movimientos pendulares a)

Péndulo Simple (Péndulo Matemático)

Péndulo simple es una cuerda de longitud  y de masa despreciable, que tiene una masa m atada a un extremo y que puede oscilar libremente respecto del otro extremo, como lo ilustra la fig. (1.4.1). A partir de la ecuación dinámica de rotación (Segunda Ley de Newton), se obtiene la ecuación diferencial del MAS correspondiente La componente z del torque actuante sobre la masa m de la fuerza de gravedad es: Tz  m g l sen  (1.4.1) siendo l la distancia del masa hasta el eje de oscilación. Según la ecuación dinámica de rotación TZ  I   I

d  2

dt

(1.4.2)

2

2

donde I  ml es el momento de inercia del sistema, alrededor del eje de oscilación. Igualando las ecuaciones (1.4.1) y (1.4.2) d  2

d  2

d  2

g sen  l dt dt dt Teniendo en cuenta que para las oscilaciones pequeñas (ángulos  pequeños sin    ) y usando notación y usando notación: I

2

 m g l sen   ml

2

2

 m g l sen  

2



g g   l l se obtiene la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple

  2

d  2

(1.4.3)

g l dt Por tanto, la frecuencia el período son dados por las relaciones: 2

    0;   2

g ; l

 b)

f 

 2



1 2

(1.4.4)

g 1 l ; T   2 l f g

(1.4.5)

Péndulo físico

En el caso de u péndulo físico presentado en la Figura 1.4.2 la fuerza de garevedad está aplicado en el punto del centro de masa y siendo l C la distancia entre punto de colocación C, la componente z del torque actuante sobre el cuerpo es: (1.4.4) Tz  m g lC sen  Según la ecuación dinámica de rotación TZ  I   I

d  2

(1.4.5)

2

dt donde I es el momento de inercia del sistema, alrededor del eje de oscilación O Igualando las ecuaciones (1.4.4) y (1.4.5) d  2

2

 m g lC sen  

d  2

m g lC

sen  I dt dt Teniendo en cuenta que para las oscilaciones pequeñas (ángulos  pequeños sin    ) y usando notación y usando notación: I

Figura 1.4.1: Péndulo Simple

2



O y

  2

m g lC

m g lC

 

I I se obtiene la ecuación diferencial de un oscilador armónico simple d  2

2

    0;   2

m g lC

I dt Por tanto, la frecuencia el período son dados por las relaciones:



m g lC I

;

f 

 1  2 2

m g lC I

; T

1 I  2 f m g lC

(1.4.6)

(1.4.7)

(1.4.8)