Juan Carlos Colonia

INTERVALOS DE CONFIANZA

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LOS PARÁMETROS DE DOS POBLACIONES

I.C. PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS Sean X1 , ..., X n y Y1 , ..., Yn dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n 2 extraídas de dos poblaciones normales N  1 ,  12  y N  2 ,  22  , tal que las varianzas son desconocidas, y sean s12 y s 22 las respectivas varianzas muestrales. El intervalo de confianza de 100 1    % para  12  22 esta dado por: 1

2

s12  12 s12 I  2 F  F    2 2 s 2  n 2 1, n1 1;1 2   2  n 2 1, n1 1;  s 2 2 

Observación: F 



 n 2 1,n1 1;1  2 



1 F

  n1 1,n 2 1;  2 

I.C. PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS Ejemplo: Una compañía fabrica piezas para turbinas. Tiene dos procesos distintos para hacer el esmerilado de las piezas y ambos procesos producen piezas con la misma rugosidad promedio. El ingeniero del proceso desea seleccionar el proceso con la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Toma una muestra de 12 piezas del primer proceso, obteniendo una desviación estándar de 5.1 micropulgadas, luego toma una muestra de 15 piezas del segundo proceso, obteniendo una desviación estándar de 4.7 micropulgadas. ¿Puede elegir el primer proceso con una confianza del 95% de tener menor variabilidad en la rugosidad?

I.C. PARA EL COCIENTE DE VARIANZAS Ejemplo: s12 s12 I  2 F   ; F s 2  n 2 1, n1 1;1 2   n 2 1, n1 1; 2  s 22 s1  5.1  s12  26.01

F14 ,11; 0.975  0.32 F14 ,11; 0.025  3.35

s 2  4.7  s 22  22.09

26.01 26.01  12 I 0.32 ; 3.35  0.3767  2  3.9444 22.09 22.09 2

Como el intervalo incluye a la unidad, no se puede concluir que los procesos tengan variabilidad significativamente diferente con una confianza del 95%

I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS CONOCIDAS Sean X1 , ..., X n y Y1 , ..., Yn dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n 2 extraídas de dos poblaciones normales N  1 ,  12  y N  2 ,  22 , tal que las varianzas son conocidas, y sean x1 y x 2 las respectivas medias muestrales. El intervalo de confianza de 100 1    % para 1  2 esta dado por: 1

I

2

 x1  x 2   Z1   

 2

 12 n1



 22 n2

;  x 1  x 2   Z



1   2

 12 n1



 22 n2

I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Sean X1 , X 2 , ..., X n y Y1 , Y2 , ..., Yn dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n 2 extraídas de dos poblaciones normales N  1 ,  12  y N  2 ,  22  , tal que las varianzas  12 y  22son desconocidas, y sean x1 y x 2 sus respectivas medias muestrales. El intervalo de confianza de 100 1    % para 1  2 es: 2

1

Caso: Tamaño de muestra mayor a 30 I

 x1  x 2   Z1   

 2

s12 s 22 s12 s 22  ;  x1  x 2   Z    n1 n 2 n1 n 2 1   2

I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Caso: Tamaño de muestra menor o igual a 30 y varianzas desconocidas pero iguales

 x1  x 2   t  n n 2 ;1   

1

2

 2

S2p n1



S2p n2

;  x1  x 2   t 

2 2 n  1 s  n  1 s     1 2 2 Donde: S2p  1

n1  n 2  2

S2p 

 n1  n 2  2 ;1  2 

n1



S2p n2

I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Caso: Tamaño de muestra menor o igual a 30 y varianzas desconocidas y diferentes I

 x1  x 2   t  g ;1   

 2

s12 s 22 s12 s 22  ;  x1  x 2   t     n1 n 2 n1 n 2  g ;1  2 

Donde:

2

s s  n  n  2  1 g 2 2 2  s12   s 22  1 1  n  n 1   n  n 1  1  1   2  2  2 1

2 2

I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Y n1  n 2  30 Ejemplo 1: Una compañía de taxis está tratando de decidir la compra de neumáticos entre las marcas A o B para sus vehículos. Para ello, necesita estimar la duración media de las dos marcas de neumáticos; por lo que realiza un experimento empleando 12 neumáticos de cada marca, haciéndoles correr hasta su desgaste total. Los resultados en kilómetros son: Media Desviación estándar

A 36,300 5,000

B 38,100 6,100

I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Y n1  n 2  30 Ejemplo 1: ¿Será la duración media de ambas marcas de neumáticos son iguales con 95% de confianza.? Solución: Se tiene que determinar primero si las varianzas iguales o diferentes. De acuerdo al resultado para las varianzas, se utiliza el intervalo correspondiente para estimar las medias.

I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Y n1  n 2  30 Solución: Intervalo de confianza para la varianza s1  5,000  s12  25,000,000

F11,11; 0.975  0.2879

s 2  6,100  s 22  37, 210,000

F11,11; 0.025  3.4737

5,0002 5,0002  12 I 0.2879 ; 3.4737  0.1934  2  2.3338 2 2 6,100 6,100 2

Como el intervalo cubre el valor uno, se puede suponer que las varianzas son iguales.

I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Y n1  n 2  30 Solución: Intervalo de confianza para la media I

 x1  x 2   t  n n 2 ;1   

donde: Se tiene:

1

2

 2

S2p n1



S2p n2

2 2 n  1 s  n  1 s     1 2 2 S2  1 p

n1  n 2  2

x1  36,300

s12  5,0002

S2p  31,105,000

x 2  38,100

s 22  6,1002

t  22 , 0.975  2.074

I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Y n1  n 2  30 Solución: Intervalo de confianza para la media I

 36,300  38,100   2.074

S2p



S2p

12 12

6,522.24  1  2  2,922.24

Debido a que el intervalo contiene el valor cero, se puede decir con 95 % de confianza que la duración media de ambos tipos de neumáticos son iguales.

I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Y n1  n 2  30 Ejemplo 2: Se quiere comparar la velocidad de transmisión de cierto tipo de enrutador ADSL y la que ofrece la tecnología wireless. Se toma una muestra de 14 routers ADSL y 8 transmisores inalámbricos obteniéndose los siguientes resultados (medidos en Mbps): Media Desviación estándar

ADSL 2.11 0.18

Wireless 1.65 0.48

¿Es posible elegir cualquier aparato, con una confianza del 97%?

I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Y n1  n 2  30 Solución: Intervalo de confianza para la varianza s1  0.18  s12  0.0324

F 7 ,13 ; 0.985  0.2871

s 2  048  s 22  0.2304

F 7 ,13 ; 0.015  3.4827

0.182 0.182  12 I 0.2871; 3.4827  0.0403  2  0.4897 2 2 0.48 0.48 2

Como el intervalo no cubre el valor uno, se puede suponer que las varianzas sean iguales.

I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Y n1  n 2  30 Solución: Intervalo de confianza para la media I

 x1  x 2   t  g ;1   

 2

2

s12 s 22  n1 n 2

s s  n  n  2  1 donde: g  2 2 2  s12   s 22  1 1  n  n 1   n  n 1  1  1   2  2  2 1

2 2

I.C. PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON VARIANZAS DESCONOCIDAS Y n1  n 2  30 Ejemplo 2: x1  2,11

s12  0.182

g 8

x 2  1,65

s 22  0.482

t 8 , 0.97   2.6338

0.0324 0.2304 I   2.11  1.65   2.6338  14 8

0.0045  1  2  0.9245

Como el intervalo contiene al valor cero, se puede afirmar con 97 % de confianza que la velocidad de transmisión son iguales.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES Sean X1 , X 2 , ..., X n y Y1 , Y2 , ..., Yn dos muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n 2 extraídas de dos poblaciones Bernoulli B 1, 1  y B 1,  2  , y sean p1 y p 2 las respectivas proporciones muestrales. El intervalo de confianza de 100 1    % para 1   2 es: 1

I

2

 p1  p2   Z1   

 2

p1 1  p1  p 2 1  p 2   n1 n2

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES Ejemplo: Una compañía produce dos marcas de cerveza. En un reciente estudio se encontró que 72 de 120 consumidores prefieren la marca A y 50 de 80 prefieren la marca B. Se puede afirmar que las preferencias por ambas marcas de cervezas son iguales con una confianza de 99%.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES Ejemplo: I

 p1  p2   Z1   

p1  0.6

 2

p1 1  p1  p 2 1  p 2   n1 n2

p2  0.625

Z



1   2

 Z 0.99  2.326

I  0.025  1.96 0.0049  0.1626  1   2  0.1126

Como el intervalo contiene al cero, las proporciones poblacionales son iguales con 99% de confianza.