Ma. Guadalupe Flores Barrera Andrés Rivera Díaz

Contenido EMAT-HIDALGO

i

Introducción

iii

Organización de la Antología EMAT-Hidalgo

1

Programación Tercer Grado, EMAT-Hidalgo Septiembre

4

Programas equivalentes (86)

5

“Deshacer” operaciones (94)

6

Criterios congruencia de triángulos LLL, LAL y ALA (Actividad didáctica)

8

Figuras directa o inversamente congruentes (124-125) Octubre

10

Radios (132-133), Cuerdas (134-135) y Tangentes (136-137)

16

Ángulos en la circunferencia (Actividad didáctica)

18

¿Grados Fahrenheit o centígrados? (118-119)

20

¿No podría ir más rápido? (120) Noviembre

21

Problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado (Actividad didáctica)

22

Resolviendo ecuaciones de segundo grado (Actividad didáctica)

24

Idea de triángulos semejantes (146-147)

26

Polígonos regulares y Generaliza para cualquier polígono regular (43-46) Diciembre

30

Simulación con el modelo de urna (2) (133)

31

Simulación con el modelo de urna (3) (134-135) Enero

33

Analizando gráficas de rectas (123)

34

Construyendo varias gráficas de funciones en Cabri (Actividad didáctica)

35

Comprobación de la fórmula general de segundo grado (Actividad didáctica)

36

Funciones cuadráticas (129-130)

Febrero 38

Teorema de Tales (150-151)

40

Recíproco del teorema de Tales (152-153)

42

Unidad 10 RAZÓN Y PROPORCIÓN (85-91)

49

La homotecia como aplicación del teorema de Tales (154-157) Marzo y Abril

53

¿Una ecuación para desalojar la escuela? (125)

54

Números poligonales (Actividad didáctica)

55

Teorema de Pitágoras (158-159)

57

Unidad 20 TRIÁNGULOS (174-182)

66

Explosión demográfica (98) e Inflación contra salario (99-100)

69

Interés compuesto (101-102) y Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto (103-104) Mayo

73

Construyendo algunos cuerpos geométricos (Actividad didáctica)

74

Uso de Fórmulas de Superficie y Volumen de Sólidos (Actividad didáctica)

76

Problema de Optimización de Área o Volumen. (Parte uno) (Actividad didáctica)

77

Problema de Optimización de Área o Volumen. (Parte dos) (Actividad didáctica) Junio

78

Lanzamiento de dados (Parte I) (Actividad didáctica)

80

Lanzamiento de dados (Parte II) (Actividad didáctica)

82

¿Cómo se dibuja un diagrama de caja? (Actividad didáctica)

84

Bibliografía

                                                                                                 

 

Introducción Las Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) suponen un revolucionario avance en nuestra sociedad. Presenciamos a una era de cambio y de modificaciones constantes que influyen significativamente en nuestras vidas. Mantenernos expectantes o tomar las riendas de emergentes procesos de cambio que nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección a realizar de forma particular por cada uno de nosotros. En el ámbito educativo las TIC pueden suponer una importantísima ayuda como medio de acceder al currículum, así como también favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas, como un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza individualizada y, una herramienta fundamental de trabajo para el profesor. En definitiva pudiéramos preguntarnos, ¿Qué aspectos caracterizan a las TIC que las hacen tan especial en la educación matemática? Una reflexión alrededor de esta pregunta nos podría conducir a definir un grupo de aspectos que lo podrían caracterizar: 1. Aprendizaje continuo, por parte del alumno y del profesor, pues éste tendrá que estar actualizado para planificar con éxito las tareas docentes que realizarán los estudiantes. 2. Las TIC no solo pueden ser objeto de estudio sino que éstas deben pasar a ser herramienta indispensable para el alumno, tienen que ser integradas al entorno educativo. 3. Garantiza el desarrollo de una enseñanza significativa y facilita de antemano una educación integral. 4. Dinamiza el papel del profesor y del alumno, este último, de sujeto pasivo dentro del proceso pasa a ser protagonista del mismo junto al profesor, el cual tendrá como función rectora la orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que sean utilizadas en el proceso. 5. Humaniza el trabajo de los profesores, pues ellos desarrollarán sus actividades con el apoyo de las tecnologías, economizando tiempo y energía. Además de estas ventajas que nos proporcionan las Tecnologías Educativas en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que también permiten lograr una mejor interdisciplinaridad, o sea podemos relacionar el contenido matemático con el de otras asignaturas que contribuyan a una formación más eficiente y de carácter integral de nuestros estudiantes hidalguenses. Por lo anterior, la Dirección General de Educación Básica del Estado de Hidalgo, ha implementado el proyecto: Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología, propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) a través de la Coordinación Estatal de los profesores: Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz, quienes imparten un curso-taller programado, un día al mes, durante el ciclo escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, de cada modalidad de Educación Secundaria, para que a la vez ellos lo multipliquen con sus profesores que imparten matemáticas de sus zonas correspondientes, en un día al mes también.

I

Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre las cuatro herramientas tecnológicas: Hoja electrónica de Cálculo, Calculadora TI-92, Geometría Dinámica y Programación computacional, las cuales son propuestas originales de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se ha diseñado y compilado una Antología EMAT-Hidalgo, para cada grado escolar de educación secundaria. Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa comprometida, aplicaremos esta Antología de Tercer Grado, EMAT-Hidalgo, por el bienestar de nuestros alumnos hidalguenses.

Mtro. Pablo Moreno Calva Director General de Educación Básica SEP, Estado de Hidalgo

 

II

Organización de la Antología

PRESENTACIÓN La Antología Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y diseño de actividades didácticas que contemplan el uso de cuatro piezas de tecnología estrechamente relacionadas, cada una con las áreas específicas de la geometría, el álgebra, la aritmética, la resolución de problemas y la modelación matemática. La Antología cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de matemáticas, para las modalidades de Educación Secundaria (General, Técnica y Telesecundaria). En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de estas cuatro piezas de tecnología cuentan con un sustento teórico y/o empírico, respectivamente, que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo epistemológico. La propuesta Hidalgo, es trabajar una sesión a la semana en el aula de medios o espacio asignado con equipos de cómputo, complementando las sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde el inicio de curso escolar, los directivos deben elaborar los horarios, asignando en forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo. En la Antología, se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas de geometría euclidiana; la calculadora TI-92 para la introducción a la sintaxis algebraica y a la resolución de problemas; el software de LOGO, lenguaje de programación con representación geométrica, al igual que la hoja electrónica de cálculo, para la enseñanza del álgebra, la resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la información. En el espacio para desarrollar el proyecto EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las hojas de actividades didácticas programadas semanalmente en la Antología. Con las actividades se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores niveles de conceptualización matemática, para ello la programación de las actividades es de la siguiente manera:

MES DE OCTUBRE Semana 1ra

BLOQUE UNO 3.

Representen sucesiones numéricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa.

III

Herramienta

Actividad

Hoja de cálculo

Generando secuencias de Números (38-39)

Pág. 11

En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a: ¾ Explorar.

¾ Formular y validar hipótesis.

¾ Expresar y debatir ideas.

¾ Aprender comenzando con el análisis de sus propios errores. Las sesiones EMAT-Hidalgo, se organizan a partir de actividades didácticas en las cuales los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la computadora, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas actividades ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados. Finalmente, una reflexión: La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de superación sustentadas en hechos y no en sueños. Los autores: Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz Coordinadores Estatales de EMAT-Hidalgo

 

IV

PROGRAMACIÓN TERCER GRADO  

 

Sem.  1ra 

MES DE SEPTIEMBRE 

BLOQUE UNO

1.

Transformen expresiones algebraicas en  otras equivalentes al efectuar cálculos. 

2da  3ra 

2.

Apliquen los criterios de congruencia de  triángulos en la justificación de  propiedades de figuras geométricas. 

BLOQUE UNO 3.

4.

4ta   

4

“Deshacer” operaciones  (94)  Criterios congruencia de  triángulos LLL, LAL y ALA  (Actividad didáctica)  Figuras directa o  inversamente  congruentes (124‐125) 

5

Geometría  Dinámica 

Resuelvan  problemas  que  implican  relacionar ángulos inscritos y centrales de  una circunferencia. 

Resuelvan problemas que implican  determinar una razón de cambio,  expresarla algebraicamente y  representarla gráficamente. 

2da 

2.

8

Actividad 

Pág.

Geometría  Dinámica 

Radios (132‐133)  Cuerdas (134‐135)  Tangentes (136‐137) 

10

Geometría  Dinámica 

Ángulos en la  circunferencia  (Actividad didáctica)  ¿Grados Fahrenheit o  centígrados? (118‐119)  ¿No podría ir más  rápido? (120) 

16

Calculadora  Calculadora

18 20

MES DE NOVIEMBRE 

BLOQUE DOS 1.

6

Herramienta

 

Sem. 

4ta 

Programas equivalentes  (86) 

MES DE OCTUBRE 

2da 

3ra 

Calculadora 

 

Sem. 

1ra 

Pág. . 

Geometría  Dinámica 

 

3ra 

Actividad 

Calculadora 

4ta 

1ra 

Herramienta

Resuelvan  problemas  que  implican  el  uso  de  ecuaciones  de  segundo  grado,  asumiendo  que  éstas  pueden  resolverse  mediante  procedimientos  personales  o  canónicos. 

Resuelvan problemas que implican utilizar  las propiedades de la semejanza en  triángulos y en general en cualquier  figura. 

 

1

Herramienta

Actividad 

Pág.

Hoja de Cálculo

Problemas que implican  el uso de ecuaciones de  segundo grado  (Actividad didáctica) 

21

Calculadora

Resolviendo ecuaciones  de segundo grado  (Actividad didáctica)  Idea de triángulos  semejantes (146‐147)  Polígonos regulares y  Generaliza para  cualquier polígono  regular  (43‐46) 

22

Geometría  Dinámica  LOGO

24 26

   

 

Sem.  1ra 

MES DE DICIEMBRE 

BLOQUE DOS 3.

Herramienta

Resuelvan problemas de probabilidad que  impliquen utilizar la simulación. 

2da 

Hoja de Cálculo

 

 

Sem.  1ra 

BLOQUE TRES 1.

Herramienta

Interpreten y representen, gráfica y  algebraicamente, relaciones lineales y no  lineales. 

Utilicen adecuadamente la fórmula  general para resolver ecuaciones de  segundo grado. 

Calculadora 

4ta 

Hoja de Cálculo

 

 

Sem.  1ra 

3.

4ta 

30

Simulación con el  modelo de urna (3)  (134‐135) 

31

Actividad 

Pág.

Analizando gráficas de  rectas  (123)  Construyendo varias  gráficas de funciones en  Cabri  (Actividad didáctica) 

33

Comprobación de la  fórmula general de  segundo grado  (Actividad didáctica) 

35

Funciones cuadráticas (129‐130) 

36

34

BLOQUE TRES

Herramienta

Actividad 

Pág.

Resuelvan problemas geométricos que  implican el uso del teorema de Tales. 

Geometría  Dinámica 

Teorema de Tales (150‐ 151)  Recíproco del teorema  de Tales (152‐153) 

38

Unidad 10 RAZÓN Y  PROPORCIÓN  (85‐91)  La homotecia como  aplicación del teorema  de Tales (154‐157) 

42

Geometría  Dinámica  4.

Simulación con el  modelo de urna (2)  (133) 

MES DE FEBRERO 

2da  3ra 

Hoja de Cálculo 

Geometría  Dinámica 

2.

Pág.

MES DE ENERO 

2da 

3ra 

Hoja de Cálculo 

Actividad 

Conozcan las condiciones que generan  dos o más figuras homotéticas, así como  las propiedades que se conservan y las  que cambian. 

           

2

LOGO 

Geometría  Dinámica 

40

49

      Sem.  1ra 

  1.

MESES DE MARZO Y ABRIL 

BLOQUE CUATRO Representen algebraicamente el término  general, lineal o cuadrático, de una  sucesión numérica o con figuras. 

2da  3ra 

Hoja de Cálculo 2.

4ta  5ta 

3.

Resuelvan problemas que implican el uso  del teorema de Pitágoras y razones  trigonométricas. 

Geometría  Dinámica  LOGO

Resuelvan problemas que implican el uso  de procedimientos recursivos, tales como  el crecimiento poblacional o el interés  sobre saldos insolutos. 

Hoja de Cálculo

6ta 

Hoja de Cálculo

  Sem.  1ra 

Herramienta Calculadora

  1.

2da 

BLOQUE CINCO  Resuelvan problemas que impliquen  calcular el volumen de cilindros y conos o  cualquier término de las fórmulas que se  utilicen. Anticipen cómo cambia el  volumen al aumentar o disminuir alguna  de las dimensiones. 

Herramienta Geometría  Dinámica  Hoja de Cálculo

Geometría  Dinámica 

4ta 

Geometría  Dinámica 

Sem.  1ra 

  2.

Pág. 53

54 55 57 66

69

MES DE MAYO 

3ra 

 

Actividad  ¿Una ecuación para  desalojar la escuela?  (125)  Números poligonales  (Actividad didáctica)  Teorema de Pitágoras  (158‐159)  Unidad 20 TRIÁNGULOS  (174‐182)  Explosión demográfica  (98)  Inflación contra salario  (99‐100)  Interés compuesto  (101‐102)  Tiempos de duplicación  en el crecimiento  compuesto (103‐104) 

Actividad  Pág. Construyendo algunos  73 cuerpos geométricos  (Actividad didáctica)  Uso de Fórmulas de  74 Superficie y Volumen de  Sólidos  (Actividad didáctica)  Problema de  76 Optimización de Área o  Volumen. (Parte uno)  (Actividad didáctica)  Problema de  77 Optimización de Área o  Volumen. (Parte dos)  (Actividad didáctica)  MES DE JUNIO 

BLOQUE CINCO  Describan la información que contiene  una gráfica del tipo caja‐brazos. 

Herramienta Hoja de Cálculo 

2da 

Hoja de Cálculo 

3ra 

Hoja de Cálculo 

 

3

Actividad  Lanzamiento de  dados  (Parte I)  (Actividad didáctica)  Lanzamiento de dados  (Parte II)  (Actividad didáctica)  ¿Cómo se dibuja un  diagrama de caja?  (Actividad didáctica) 

Pág. 78

80

82

 

  Programas equivalentes. . . . . . . . . . . . 

 

      Llamaremos programas equivalentes a los programas que producen los mismos resultados.    1.

Escribe sobre la línea dos programas que sean equivalentes al programa A × 1  ` _______________________________________________________________________ 

2.

Un alumno dice que el programa A × 1 es equivalente al programa A. ¿Estás de acuerdo  con él? ` _______ Escribe en tu calculadora el programa A y compara los resultados con el programa  A × 1. Escribe tus conclusiones a continuación ` __________________________________  _________________________________________________________________________  _________________________________________________________________________ 

3.

Construye tres programas equivalentes al programa 3 × B. Pruébalos en tu calculadora y,  si producen los mismos resultados, escríbelos a continuación.  1) 

2) 

3) 

 

 

 

    4. De la siguiente lista de programas, subraya los que sean equivalentes al programa B. No  debes tener errores. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas.            B + B  A ÷ 2 + A ÷ 2  1 × D × 1  4 × B – 4 × B  5 × C – 4 × C    5. Comprueba la equivalencia de las siguientes expresiones algebraicas. Usa la calculadora  para comprobar tus respuestas.                       

 

                            

, si 

                                               

       

4

 

, si 

 

  “Deshacer” operaciones. . . . . . . . . . .      Gerardo  y  Silvia  resolvieron  la  ecuación  5  (a  +  2)  +  4  =  59  “deshaciendo”  operaciones.  Su  estrategia  consistió  en  usar  operaciones  inversas  a  las  que  se  muestran  en  la  ecuación.  La  manera  en  que  razonaron se describe a continuación.  Primero notaron que si 5 (a + 2) + 4 = 59, entonces el valor de 5 (a + 2) lo podían obtener “deshaciendo  sumar 4” a través de restar 4. Esto los condujo a la ecuación 5 (a + 2) = 55.  La ecuación 5 (a + 2) = 55 para hacerla más sencilla “deshicieron” multiplicar por 5, dividiendo entre 5.  Con esto obtuvieron la ecuación a + 2 = 11, porque a + 2 es la quinta parte de 5 (a + 2) y la quinta parte  de 55 es 11.  Por  último  resolvieron  la  ecuación  a  +  2  =  11,  decidieron  “deshacer”  sumar  2,  restando  2.  Así  encontraron que a = 9, esto es la solución de la ecuación 5 (a + 2) + 4 = 59.  ¿Entendiste  la  estrategia  que  usaron  Gerardo  y  Silvia?  Si  tu  respuesta  es  afirmativa,  resuelve  las  siguientes ecuaciones como ellos lo hicieron. Usa tu calculadora para realizar esta actividad. Verifica las  respuestas, recuerda que sólo debes escribir respuestas correctas.    a)  7(a − 8) + 25 = 39  

b)  18 + 8(b + 4) = 94  

 

 

 

 

c) 

2 52 + 5(b − 1) =   5 5

d) 

 

 

e)  15 +

y + 12 = 22   3

f) 

  g) 

x −8 −2 =5  2

x − 0.5 93 +5 =   8 16

 

4(x − 5) − 6 = −2   3

h) 

 

   

     

5

5(x − 3) + 12 = 17   7

Criterios de Congruencia de triángulos Vamos a hacer uso de Cabri Géomètre para este contenido matemático, para ello tendrás que usar las herramientas de: edición numérica, semirrecta, transferencia de medida, circunferencia, rotación, triángulo, distancia y longitud, marca de ángulo, ángulo. Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son; sin embargo puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son HOMOLOGAS. Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan CRITERIOS DE CONGRUENCIA los cuales son: 1. Criterio LLL: si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triángulos son congruentes. Construye un triángulo, cuyas medidas de sus tres lados sean 8.7, 9 y 5.5, respectivamente

6

2. Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Construye un triángulo, cuyas medidas de dos lados adyacentes sean 7.3 y 4.7, respectivamente y el ángulo que forman sea de 120 grados

3. Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Construye un triángulo, cuyas medidas de dos ángulos midan 100° y 47°, respectivamente y el lado entre ellos mida 8.2

7

 

F 

   iigguurraass  ddiirreeccttaa  oo  iinnvveerrssaam meennttee  ..  ..  ..  ..  ..  ..   Triángulos y cuadriláteros     ccoonnggrruueenntteess   

  Propósito: Distinguir cuando dos figuras son directamente congruentes o 

 

inversamente congruentes. 

             

 ¿Cómo  son  entre   sí los triángulos formados por  las  diagonales  que  atraviesan  el rombo de arriba? 

___________________________________________________

 

_______________________________________________ 

___________________________________________________ ___________________________________________________

  Algunos son directamente congruentes, mientras otros son inversamente congruentes.     Si  el  punto  de  intersección  de  las  diagonales  es  el  vértice  común  de  los  cuatro  triángulos,  ¿Qué  valor  tiene  el  ángulo,  en  este  vértice  común,  en  cada  uno  de  los  cuatro  triángulos? _____________________________ 

 Por  lo  tanto,  para  clasificar  los  triángulos  como  directamente  o  inversamente  congruentes,  bastará  una  rotación  o  una  reflexión,  respectivamente.   

8

  

 

..  ..  ..    ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..    ..  ..  ..  ..  TTeerrcceerr  ggrraaddoo  

 ¿Cuáles son los  triángulos directamente  congruentes? 

_________________________________________________ _________________________________________________ ________________________________________________ 

 

 Demuestra lo 

___________________________________________________

anterior utilizando el comando 

___________________________________________________

ROTACIÓN y describe lo que 

___________________________________________________

pasa. 

___________________________________________________ 

 

 ¿Cuáles son los 

_________________________________________________

triángulos inversamente 

_________________________________________________

congruentes? 

________________________________________________ 

 

 Demuestra lo anterior 

________________________________________________

utilizando el comando SIMETRÍA 

________________________________________________

AXIAL y describe lo que pasa. 

________________________________________________

 

_____________________________________________

     

9

R 

  rraaddiiooss..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..   El circulo    

                                     

Propósito: Descubrir propiedades de la circunferencia. 

B

A O

 Elige dos puntos, A y B, sobre la circunferencia de centro O.                                                                     

10

  

 

..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  TTeerrcceerr  ggrraaddoo    El triángulo AOB, 

___________________________________________________

¿tiene alguna característica 

___________________________________________________

particular? 

___________________________________________________

 

 Ahora, si desplazas el  punto B sobre la circunferencia. 

___________________________________________________ ___________________________________________________

¿qué ocurre con el triángulo  ___________________________________________________

AOB?   

 Si desde O trazas la  perpendicular a la cuerda AB, ésta  intersecta a la cuerda en un 

_________________________________________________

punto dado al que se llamará L. Al 

_________________________________________________

mover B o A sobre la 

_________________________________________________

circunferencia, ¿qué relación se  tiene entre las longitudes de AL y  LB?   

_________________________________________________

_________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ 

         

11

C 

  uueerrddaass..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..    ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..   El circulo      

                                           

Propósito: Descubrir propiedades de las cuerdas en la circunferencia. 

A M B

O

 Sobre una circunferencia de centro O  elige dos puntos A y B; traza la cuerda que los  une y encuentra su punto medio M. Une por medio de un segmento (trazo punteado) M y O.   

 ¿Cuánto mide el ángulo AMO? _____________________________  Ahora desplaza el punto A sobre la circunferencia. ¿Cambia el ángulo AMO? ¿A qué atribuyes lo  anterior? _______________________________________________________________________  _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________                   

 

12

  

 

..  ..  ..  ..  ..  ....  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  TTeerrcceerr  ggrraaddoo    Traza  el  punto  diametralmente  opuesto  a  B  y  llámalo  B’.  BB’  es  un  diámetro  de  la  circunferencia.  Si  trazas  el  segmento  B’A,  ¿Qué  posición  guarda  respectivamente  del  segmento  OM? ___________________________________________________________________________  _______________________________________________________________________________   

 Desplaza el punto A sobre la circunferencia. ¿sigue manteniéndose la propiedad entre  B’A  y  OM? ___________________________________________________________________  _______________________________________________________________________________                               

13

 

T  aannggeenntteess..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..    ..  ..  

  

 El circulo

Nombre ________________________________________________ Edad ______________  Escuela ________________________________________________ Fecha _____________     

Propósito: Descubrir qué propiedades caracterizan a la recta tangente de la  circunferencia. 

     

M

N

 

P

65,7 °

      O

       

 P  es  un  punto 

______________________________________________________

exterior  a  la  circunferencia 

______________________________________________________

desde  el  cual  se  traza  un  rayo 

______________________________________________________

que  la  intersecta  en  dos 

______________________________________________________

puntos: M y N. 

______________________________________________________ 

¿Qué  particularidad  tiene  el  triángulo OMN?  _____________________________________________________  ¿Cómo son los 

_____________________________________________________ 

ángulos OMN y ONM?         

14

   ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  TTeerrcceerr  ggrraaddoo  

 

  

 ¿Cómo se llama la  semirrecta PM (o PN) con 

________________________________________________ ________________________________________________ 

respecto a la circunferencia? 

 Al mover la semirrecta PM, ¿qué le ocurre al ángulo OMN? _______________________  _______________________________________________________________________________  ¿Qué valor toma el ángulo OMN si M coincide con N? ___________________________________  En este caso, ¿cómo se le llama a la semirrecta PM? _____________________________________  ¿Y el triángulo OMP? ______________________________________________________________ 

 Escribe los pasos a 

                           

____________________________________________________

seguir para trazar la tangente 

____________________________________________________

desde un punto P exterior a 

____________________________________________________

una circunferencia dada. 

____________________________________________________ ____________________________________________________ 

15

Ángulos en la circunferencia Con el uso de cabri, corrobora las definiciones y las construcciones

Ángulo central Es aquel ángulo formado por dos radios de una circunferencia. Su medida es proporcional a su arco que sostiene y la razón de proporcionalidad es el radio.

Ángulo inscrito Llamaremos ángulo inscrito en una circunferencia a aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son rectas secantes..Su medida es la mitad del arco que abarca

Ángulo semiinscrito Es aquel ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia, un lado tangente y el otro secante. Su medida es la mitad del arco que abarca. 

     

 

16

Ángulos en la circunferencia (Continuación) Con el uso de cabri, corrobora las definiciones y las construcciones

Ángulo exinscrito Se le llama así al ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia, un lado es secante y el otro exterior a la circunferencia. Su medida es la semisuma de los arcos comprendidos entre los lados del ángulo y entre los lados del opuesto por el vértice.

Ángulo interior Es aquel que tiene el vértice en el interior de la circunferencia. Su medida es igual a la semisuma de los arcos interceptados por él por su opuesto por el vértice.

Ángulo exterior Su vértice esta fuera de la circunferencia y sus lados son secantes. Su medida es la semidiferencia entre las amplitudes de los arcos que abarca.

    Ac

17

tiv id ad 

¿Grados Fahrenheit o centígrados?. . . . . . . . . . . . 

 

8 2

En México se usa la escala en grados centígrados para medir la temperatura y en otros países se  usa la escala Fahrenheit. La siguiente tabla muestra algunas equivalencias entre esas escalas.   

Fahrenheit 

‐13 

‐4 

5 

32 

Centígrados 

‐25 

‐20 

‐15 

0 

100  37.77 

1. Usa los datos de esa tabla para hacer una gráfica de puntos. En el eje x representa los valores en  grados Fahrenheit y en el eje y los valores en grados centígrados.  2. ¿Puedes construir una gráfica que pase exactamente por esos puntos o se aproxime          a  ellos?  _________ ¿Qué tipo de gráfica construirías? ______________________________________  ¿Qué ecuación usaste para construir tu gráfica? ____________________________________________  3.  Usa  la  ecuación  que  construiste  para  completar  la  siguiente  tabla  y  compara  los  valores  que  obtuviste con la tabla de valores dados.   

x (Fahrenheit}  y (centígrados) 

‐13   

‐4   

5   

32   

100   

Si encontraste diferencias importantes entre los valores de tu tabla y los de la tabla que se te dio,  ajusta la ecuación hasta que obtengas una mejor aproximación.  ¿Obtuviste una nueva ecuación?    ______________ ¿Cuál es? ________________________________  ____________________________________________________________________________    4. Usa la gráfica que construiste para contestar lo que se pide en cada caso.  a) ¿A cuántos grados centígrados equivalen 60 grados Fahrenheit? ____________________________  b) ¿A cuántos grados centígrados equivalen ‐12 grados Fahrenheit? _______________________________  c) ¿A cuántos Fahrenheit equivalen 24 grados centígrados? _________________________________  d)  El  agua  hierve  a  100°C,  ¿a  qué  temperatura  hierve  el  agua  si  la  medimos  en  grados  Fahrenheit?  ________________________________________________________________________     

18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Grados Fahrenheit o centígrados?    5. Compara tus respuestas con  las de tus compañeros. ¿Encuentras diferencias  notables?   ____________  ¿A qué crees que se deban?______________________________________________________________  ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________      ó.  ¿Podrías  usar  los  datos  de  la  tabla  que  se  te  dio  al  inicio  de  esta  actividad  para  encontrar  una  fórmula que te permita obtener la equivalencia de grados Fahrenheit a grados centígrados? ______   

___________________ ¿Cómo lo harías? ________________________________________________  Si pudiste hacerlo, completa la siguiente fórmula: °F = __________________________________ 

                                   

 

19

Ac tiv id ad 

8 3

¿No podrías ir más rápido?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

 

 

 

Un automóvil viaja a velocidad constante. En el   eje y se muestra la distancia en metros que recorre.   En el eje x se registró el tiempo del recorrido  en intervalos de 2 segundos.   

 

  Escala en el eje x: 1                 Escala en el eje y: 2    Contesta lo que se pide en cada caso usando la información que da esa gráfica.  1.  ¿Durante cuánto tiempo se registró el movimiento del automóvil? _______________________________  2. ¿Cuántos metros había recorrido el automóvil después de 2 segundos? ____________________________  3. ¿Qué distancia recorrió el automóvil al término de 6 segundos? _________________________________        ¿Y de 7 segundos? ___________________________________________________________________  4. ¿Cuánto tiempo empleó el automóvil en recorrer 100 metros? _______________________________      ¿Cuánto en recorrer 110 metros? ________________________________________________________  5.  Construye  una  gráfica  que  pase  por  esos  puntos.    ¿Qué  ecuación  utilizaste  para  construirla?  __________________________________________________________________________________      ¿Qué hiciste para encontrar la ecuación? _______________________________________________  6. Usa la ecuación que encontraste para contestar las siguientes preguntas.       a) Si el automóvil se mantiene a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá durante            2 minutos? _______________________ ¿En una hora? ______________________ ¿En una hora            y 20 minutos? ________________________       b) ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer dos kilómetros? ___________________________________       c) ¿A qué velocidad se está moviendo el automóvil? ____________________________________           ¿Qué hiciste para responder esta pregunta? ____________________________________________  7.  Un  alumno  dice  que  la  ecuación  y  =  20x  le  permite  representar  el  movimiento  del  automóvil?  ¿Estás de acuerdo con lo que dice? _______________________________________________________  ____________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________   

20

Problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado Para poder resolver los siguientes problemas, haremos uso de la hoja de cálculo, en donde se modelará cada problema y mediante estimación y cálculo mental se irán acotando la o las soluciones.

a) Encontrar dos números cuya diferencia es 8 y su producto sea 48. b) La suma de un número con su recíproco es 26/5. Encontrar el número. c) Una sala rectangular cuya longitud excede a su ancho en 3 m. requiere 54 m2 de alfombra de pared a pared. ¿Cuáles son las dimensiones del cuarto? d) Un estudiante universitario se encontraba a 4 Km. del edificio donde tenía la siguiente clase una hora más tarde. Primero caminó un kilómetro y luego tomó un transporte cuya velocidad media fué 12 Km/hr. mayor que su velocidad a pie. Encontrar la velocidad con la que caminó si llegó a la hora de su clase. e) Una bandera tiene una cruz blanca, de anchura uniforme, sobre fondo rojo. Encuentre el ancho de la cruz, que ocupe exactamente la mitad del área total de la bandera, si ésta mide 4m x 3m. f) Encuéntrese un número negativo tal que la suma de su cuadrado con el quíntuplo del mismo sea igual a 6. g) El área de un triángulo es 42 m2 . Encuentre la base y la altura si la última excede a la primera en 5m. h) El costo de la fiesta anual de un club se divide entre los miembros que asisten. En 2 años consecutivos, el costo total fue $500.00 y $570.00, respectivamente, pero el costo por miembro fue $ 0.50 menor el segundo año. Calcúlese el número de miembros que asistieron a cada fiesta, si la asistencia en el segundo año fue de 10 miembros más que en el primero. i) Varias personas planearon un viaje, contribuyendo cada uno con $600.00, pero luego calcularon que con un grupo más grande, podrían reducir sus gastos en $30.00 diarios por persona y alargar el viaje un día más con la misma contribución de $600.00. Calcule el costo diario por persona que habían planeado para el grupo original.

21

Resolviendo ecuaciones de segundo grado Una ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir de la forma: ax + bx + c = 0 , donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática. 2

Con el uso de la calculadora TI-92, aprovechando su manipulación simbólica, comprueba cada uno de los ejercicios ya resueltos intentando hacer los pasos correspondientes para lograr el despeje de la variable. Además de resolver los ejercicios tipo. Raíz Cuadrada Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde a la forma especial en que falta el término con la variable de primer grado; o sea cuando está en la siguiente forma:

ax 2 + c = 0 El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se ilustra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 1 Ejercicio tipo: Resuelve por medio de la raíz cuadrada

2x 2 − 3 = 0 1)

x2 − 8 = 0

2x2 = 3

2)

3x 2 + 27 = 0

3 2

3)

2x 2 − 8 = x 2 − 4

SOLUCIÓN:

2x2 − 3 = 0

x2 =

x=± x=

3 2

± 6 2

Factorización 2 Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática ax + bx + c = 0 son tales que la expresión

ax 2 + bx + c = 0 puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El método de resolución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales: Si a y b son números reales, entonces: a⋅b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero) Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0.      

22

Ejemplo 1 Ejercicio tipo:

Resuelve por factorización

2 x 2 = 3x SOLUCIÓN:

(2 x

2 x 2 = 3x 2

)

− 3x = 0

1)

x 2 + 2 x − 15 = 0

2)

x 2 + 20 x + 35 = 35 x − 21

3)

8 x 2 − 7 x = 5 x 2 + 10 x

x(2 x − 3) = 0 x=0

o

2 x-3 = 0

x=0

o

x=

3 2

Completando el trinomio cuadrado perfecto El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la cuadrática 2 general ax + bx + c = 0 para que quede así: ( x + A ) = B . Donde A y B son constantes. 2

Ejemplo 1 Resuelve x + 6 x − 2 = 0 por el método de compleción del cuadrado 2

Ejercicio tipo:

1)

x 2 + 2 x − 15 = 0

x 2 + 6x − 2 = 0

Sumamos 2 a ambos miembros de la ecuación para eliminar -2 del miembro izquierdo.

2)

x 2 + 20 x + 35 = 35 x − 21

x 2 + 6x = 2

3)

2x 2 − 4x − 3 = 0

SOLUCIÓN:

Para completar el cuadrado del miembro izquierdo, sumamos el cuadrado del coeficiente de x, en ambos miembros de la ecuación.

x 2 + 6x + 9 = 9 + 2

Factorizamos el

miembro izquierdo.

( x + 3 )2

= 11

Resolvemos por medio de la raíz cuadrada.

x + 3 = ± 11 x = −3 ± 11          

 

23

I 

  ddeeaa  ddee  ttrriiáánngguullooss  sseem meejjaanntteess..  ..    ..  ..  Semejanza y teorema de Pitágoras    

      Propósito: Descubrir, a partir de los triángulos equiláteros, los triángulos 

 

semejantes. 

   

   Con la opción POLÍGONO REGULAR construye un triángulo equilátero PQR. 

 Ahora,  mide  cada 

_________________________________________________ 

uno  de  los  ángulos  en  los 

_________________________________________________

vértices P, Q, R. ¿Cuánto mide 

_________________________________________________ 

cada uno? 

 Si arrastras el vértice  P, ¿qué le ocurre al triángulo?  

_________________________________________________ _________________________________________________ 

         

   

24

   ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..    ..  ..  ..  ..  TTeerrcceerr  ggrraaddoo      

 

  

 ¿La medida de los  ángulos cambia o se mantiene? 

___________________________________________________________  ___________________________________________________________ 

 

 Anota las conclusiones 

______________________________________________________ 

a las que te lleva lo que has  realizado. 

_________________________________________________________ _____________________________________________________ 

   

 Finalmente explica  qué se mantiene y qué cambia  en todos los triángulos  equiláteros anteriores. 

____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 

                 

 

25

  Polígonos regulares    •Escribe el procedimiento para que la tortuga dibuje un cuadrado.                      •

¿Y un triángulo equilátero? 

•

Escribe procedimientos para dibujar tantos polígonos regulares como puedas  y llena la tabla de  la siguiente página. 

                       

             

 

   

26

 

 

 

Polígono 

Número de lados

Triángulo 

Ángulo de rotación 120° 

Cuadrado 

4

 

Pentágono 

 

 

Hexágono 

6 

 

Octágono 

 

45° 

……….. 

N 

 

  •

Encuentra la relación entre el número de repeticiones y el ángulo. 

  REPITE            [ AV 20 GD              ]                                                                                          ¿CONEXIONES?    •Escribe tus observaciones.    _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________                 

 

27

 

  Generaliza: Un procedimiento para cualquier   polígono regular     •¿Cómo escribirías un procedimiento para dibujar cualquier polígono regular?                                       

 

     

 

28

  De polígonos a círculos.    Usando tu experiencia en dibujar polígonos regulares:  •¿Puedes escribir un procedimiento para dibujar un círculo?              •¿Puedes hacer círculos de diferentes tamaños?                          Elabora un procedimiento para simular el movimiento de un reloj     

29

S 

  IIm muullaacciióónn  ccoonn  eell  m mooddeelloo  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..Probabilidad   ddee  uurrnnaa  ((22))                                                                

    Simula  una  serie  de  volados  con  el  archivo  ModeUrna.xls.  Escribe  en  las  celdas  reservadas  para  los  colores las palabras águila y sol.  ¿Qué debes escribir en las cantidades? _______________________________________________  ¿Hubiera sido lo mismo escribir en las cantidades 5 y 5 o 10 y 10?_________________________  ¿Por qué? ______________________________________________________________________  En 20 volados ¿cuántas águilas esperas ver? ___________________________________________    Contesta la siguiente pregunta, explicando cómo llegaste a la respuesta.  ¿Qué es más probable que salga en los primeros dos tiros: dos águilas o un águila y un sol (en cualquier  orden)? ______________________________________________________________________________  _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________             

30

S 

  IIm muullaacciióónn  ccoonn  eell  m mooddeelloo  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..Probabilidad   ddee  uurrnnaa  ((33))                                                                

    Ahora imagina la siguiente situación.  Cinco amigos toman cinco palillos, uno de ellos partido a la mitad, y acuerdan que el que saque  el palillo corto usará primero la bicicleta que compraron entre todos.  En  este  caso  quien  toma  el  palillo  corto  no  lo  regresa  sino  que  se  queda  con  él.  A  esto  en  matemáticas se le llama sin reemplazo. En estos casos, las proporciones cambian conforme se toman los  objetos.  ¿Cuál es la probabilidad de que el primero que toma el palillo saque el más corto? ____________  _______________________________________________________________________________  Si el primero que toma un palillo saca uno largo, ¿cuántos largos y cuántos cortos quedan?_____  _______________________________________________________________________________  ¿Cuál es entonces la probabilidad de que el segundo tome el palillo corto?__________________  _______________________________________________________________________________ Si el primero que toma un palillo saca el corto, ¿cuántos largos y cuántos cortos quedan? ______  _______________________________________________________________________________  ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo muchacho en turno tome el palillo corto? _________  _______________________________________________________________________________    Abre  el  archivo  ModeUrna.xls  para  simular  esta  situación.  Cambia  los  colores  por  las  palabras  largo  y  corto,  con  sus  cantidades  respectivas  (4  y  1).  Cambia  también  la  celda  G3  de  Con  a  Sin,  para  indicar que tienes una situación sin reemplazo.  ¿En qué extracción apareció el palillo corto? __________________________________________  ¿En qué extracción es más probable que aparezca el palillo corto? _________________________  _______________________________________________________________________________  ¿En qué extracción es menos probable que aparezca el palillo corto?_______________________  _______________________________________________________________________________    El  experimento  que  aparece  en  la  siguiente  página  te  ayudará  a  saber  si  contestaste  correctamente las preguntas anteriores.         

 

31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .Simulación con el modelo de urna (3)  Oprime la tecla F9 y fíjate en que número de extracción salió el palillo corto. Marca en la tabla siguiente  con una diagonal (/) el número que corresponda. Sigue apretando la tecla y marcando en dónde apareció  el palillo corto. Después de haber llenado una de las filas, cuenta las diagonales y escribe el total en la  columna correspondiente.                      ¿Qué extracción tiene el mayor total? ______________________________________________________  ¿Hay mucha variación con los otros totales o son más o menos similares?__________________________  _____________________________________________________________________________________    Compara tus resultados con otros equipos de trabajo. Discute con todo el grupo cada uno de los  resultados obtenidos y sumen en el pizarrón los totales de todos los equipos.  ¿A qué conclusión puedes llegar? ___________________________________________________  _______________________________________________________________________________  _______________________________________________________________________________    Considera las siguientes situaciones.  Un maestro califica sus exámenes sacando fichas de una bolsa. En ella tiene siete palomitas (√) y  tres taches (X). Cada  vez que  saca una  ficha de la bolsa  evalúa  una pregunta y después la deja  afuera  hasta que termina de calificar el examen. Modela varias veces esta situación con el programa (supón que  el examen tiene cinco preguntas).  ¿Qué combinación de palomitas y taches es la más probable? ___________________________________  _____________________________________________________________________________________    Un  paquete  de  52  barajas  tiene  cuatro  ases.  Una  persona  te  dice  que  puede  sacarlos  todos  en  las  primeras 20 cartas que ponga sobre la mesa. ¿Qué tan probable es esto? Simula esta situación y estudia  la frecuencia de que aparezcan los cuatro ases en las primeras 10 extracciones.     

32

A 

  nnaalliizzaannddoo  ggrrááffiiccaass  ddee  rreeccttaass  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..Algebra                                                                   

  ¿Sabes que la ecuación de una recta es de la forma: y = mx + b (donde m, b representan los números  cualesquiera)? _________________________________________________________________________  ¿Qué significa esto? ______________________________________________________________    Para saberlo, encuentra el significado de los valores de m y b. Abre el archivo GraLin.xls; cambia  a  tu  gusto  los  valores  de  m  y  b  y  observa  qué  sucede.  Cambia  varias  veces  el  valor  de  b  y  observa  el  comportamiento de la gráfica.  ¿Qué nos indica el valor de b en la gráfica de la recta? ___________________________________  _______________________________________________________________________________    Toma el valor b = 0; cambia varias veces el valor de m y observa el comportamiento de la gráfica.  ¿Qué nos indica el valor de m en la gráfica de la recta? __________________________________    Con la información anterior, encuentra los valores apropiados de b y m para que la recta:  a) Pase por el origen y el punto (2, 2).  b) Corte el eje y en el valor 8 y corte el eje x en el valor –4.  c) Corte el eje y en el valor 4 y baje 2 celdas en y por cada celda en x.  d) Sea horizontal y que corte el eje y en el valor 4.    Por último, introduce en el programa los coeficientes de una línea recta y pide a un compañero  que  deduzca  la  ecuación  de  la  recta  estudiando  la  gráfica.  Cuando  la  haya  encontrado,  pídele  que  determine los coeficientes de una línea recta para que tú los deduzcas.         

33

Construyendo varias gráficas de funciones en Cabri En está actividad vamos a hacer uso del ambiente cabri, para realizar las gráficas de funciones: Lineal, cuadrática, cúbica y reciproca. Las herramientas que se emplearán, en la secuencia para graficar, son: 1. 2. 3. 4.

Mostrar ejes Punto sobre objeto (sobre el eje X), Ecuación y coordenadas (del punto anterior), Calcular (para evaluar la función con respecto a la abscisa del punto anterior y arrastrar el resultado a la hoja de trabajo) 5. Transferencia de medida (del resultado anterior sobre el eje Y) Si no se nota, mover el punto sobre el eje X hasta visualizarlo 6. Punto medio (entre los puntos localizados en ambos ejes) 7. Simetría (del punto origen con respecto al punto medio y, al punto resultante llamarlo P) 8. Lugar geométrico (del punto P con respecto al punto sobre el eje X) 9. Puntero (desplazar al punto de la abscisa sobre el eje X) Los pasos anteriores se tienen que repetir para cada una de las siguientes funciones:

1) y = 3 x − 2

2) f (x ) = x − x − 6 2

3) 4) f (x ) =

     

34

1 x

y = x 3 − x 2 − 2x

Comprobación de la fórmula general de segundo grado Esta aplicación muestra cómo calcular la solución de una ecuación de segundo grado:

ax 2 + bx + c = 0 Para hallar la solución de una ecuación de segundo grado, se va a completar el cuadrado del binomio que represente dicha ecuación, haciendo uso de la manipulación simbólica de la TI-92. 1.Borra lo de la pantalla principal con F1 y opción 8 y después pulsa la tecla CLEAR. 2.En la pantalla principal, introduzca la ecuación general de segundo grado: 3.Reste c de ambos lados de la ecuación. 4.Divida ambos lados de la ecuación entre el coeficiente principal a. 5.Utilice la función desarr() para desarrollar el resultado de la última respuesta. 6.Complete el cuadrado añadiendo (b/2a)2 a ambos lados de la ecuación. 7.Factorice el resultado anterior, utilizando la función factor(). 8.Multiplique ambos lados de la ecuación por 4a2. 9.Obtenga la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación, aplicando las condiciones a>0 y b>0 y x>0. 10.Halle el valor de x restando b a ambos lados y dividiendo entre 2a.

35

F 

  uunncciioonneess    ccuuaaddrrááttiiccaass  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..Algebra       

  Las llamadas funciones cuadráticas tienen la siguiente ecuación general:  2

y = a x  + b x + c  donde a, b, c pueden ser cualquier número.  Abre el archivo Cuadrati.xls. En el programa de hoja de cálculo puedes introducir los coeficientes  de  la  ecuación  que  quieres  estudiar  y  la  hoja  te  dará  información  sobre  ella.  Los  coeficientes  que  incluidos en el archivo que abriste son: a = 2, b = 3 y c = –2, los cuales representan la ecuación:  2

y = 2 x  + 3 x –2  La primera información que da el programa de hoja de cálculo es el valor del discriminante de la  ecuación. El signo del discriminante nos dice cuántas veces la gráfica de la función corta el eje x. Estos  cortes están dados por los valores x1 y x2.  Cambia  varias  veces  el  valor  del  coeficiente  c  como  te  indica  la  tabla  de  abajo.  En  cada  caso  observa el signo del discriminante y su mensaje. Verifica en la gráfica el número de cortes que tiene con  el eje x. También observa que los valores de x1 y x2 dados en el programa corresponden a estos cortes.  Llena la tabla siguiente:                       

36

Notarás que las gráficas tienen la forma de una parábola.  ¿Cómo se modificó la forma y la posición de la gráfica por el cambio del valor c?  Forma: _________________________________________________________________________  Posición: _______________________________________________________________________    Cambia varias veces el valor del coeficiente a y observa su efecto (usa primero los valores 2, 3, 4,  5, 6; y después –2, –3, –4, –5 y –6).  ¿A qué conclusiones puedes llegar? ________________________________________________________  _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________    Analiza ahora las siguientes funciones cuadráticas (si es necesario, cambia el valor inicial de la tabla en la  celda  A16  a  otro  más  apropiado).  Puedes  calcular  la  posición  del  valor  mínimo  (o  máximo)  con  el  promedio de x1 y x2, es decir: (x1+x2)/2, ya que está a la mitad entre estos puntos.                Comprueba que en cada caso la posición de mínimo o máximo está dada por: –b/2a. Pídele a tu profesor  que te explique cómo se calculan los cortes de la parábola, dónde aparece el discriminante y por qué su  signo te informa sobre sus cortes.             

37

 

T  eeoorreemmaa  ddee  TTaalleess..    ..  ..  ....  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..    ..  ..  

  

Semejanza y teorema de Pitágoras

       

Propósito: Presentar el resultado fundamental de la semejanza, es decir, el teorema  de Tales. 

   

A

     

P

 

Q

     

B C

 

 El  resultado  fundamental  de  la  semejanza  se  conoce  como  teorema  de  Tales  y  puede  enunciarse así: dado cualquier triángulo ABC, si se traza una recta paralela a uno de los lados del  triángulo,  por  ejemplo,  la  recta  PQ  paralela  al  lado  BC,  esta  recta  intersecta  los  otros  lados  del  triángulo  AB  y  AC  en  los  puntos  P  y  Q,  respectivamente;  los  lados  quedan  así  divididos  en  segmentos proporcionales, esto es, P divide al lado AB en los segmentos AP y PB, mientras que el  punto  Q  divide  al  lado  AC  en  los  segmentos  AQ  y  QC.  Entonces,  si  dividimos  la  longitud  de  AP  entre  la  longitud  de  PB,  este  cociente  es  el  mismo  que  el  obtenido  al  dividir  la  longitud  de  AQ  entre la longitud de QC.  Como la recta PQ es paralela a BC, verifica (midiendo) que: 

AP AQ   = PB QC Es decir, los segmentos AP, PB y AQ, QC son proporcionales. 

 Traza otras rectas 

_______________________________________________________

paralelas al lado BC y escribe 

_______________________________________________________

en el espacio qué segmentos 

_______________________________________________________

son proporcionales. 

_______________________________________________________ 

   

38

     ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ....  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  TTeerrcceerr  ggrraaddoo       Traza rectas 

_____________________________________________________________

paralelas a otro de los 

_____________________________________________________________

lados del triángulo ABC y 

_____________________________________________________________

explica en el espacio 

_________________________________________________________ 

siguiente qué segmentos  son  proporcionales. 

A

 

     

B

  

c  Ahora, si eliges el punto medio de un lado, por ejemplo el lado AC, y por  éste trazas la paralela al lado AB, ¿en qué punto intersectará el lado BC?  _____________________________________________________________________________________ 

 Describe qué ocurre si 

________________________________________________________

arrastras con el puntero el 

________________________________________________________

vértice C. 

________________________________________________________

 

________________________________________________________ ________________________________________________________

 

_______________________________________________________ 

     

39

R 

  eeccíípprrooccoo  ddeell  tteeoorreem maa  ddee  TTaalleess..    ..  ..  Semejanza y teorema de Pitágoras    

 

Propósito: Presentar el recíproco del teorema de Tales.

       

A

             

B

M

L

C

 El teorema  recíproco del teorema de Tales también es cierto y puede enunciarse así: si  sobre dos lados de cualquier triángulo elegimos puntos, por ejemplo, L sobre BC y M sobre AC, de  manera que cumplan el enunciado 

BL AM =   LC MC entonces  al  trazar  la  recta  que  pasa  por  los  puntos  L  y  M,  ésta  es  paralela  a  AB.  Mide  los  segmentos BL, LC y AM, MC, para obtener los cocientes correspondientes.   ¿Son iguales? ____________________________________________________________________  Si tu respuesta fue afirmativa, verifica que la recta que pasa por L y M sea paralela  al lado AB.  A       N  

       

B C

 En el dibujo anterior, los lados AB y AC están divididos en siete partes iguales; N es uno  de los puntos de división del lado AB, esto es:  AN = NB

 

       

40

     ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  TTeerrcceerr  ggrraaddoo      Localiza sobre AC el  punto  de división para  que el  cociente  de  los segmentos correspondientes  sea el  mismo que acabamos de obtener. Traza la recta por N y por el punto que elegiste; ¿es paralela al lado  BC? ___________________________________________________________________________     Un caso de particular interés es cuando se eligen los puntos medios de dos lados de cualquier  triángulo; veámoslo:   

A

 

M

 

N

 

c

   

B  En el triángulo ABC del dibujo, M y N son puntos medios de los lados AC y AB respectivamente.  ¿Cuál es el cociente de AM entre MC? ______________________________________________________  ¿Cuál es el cociente entre AN entre NB? ________________________________________________  ¿Qué posición guarda la recta que pasa por los puntos M y N con respecto al lado BC?  _____________  Ahora, localiza el punto medio del lado BC y denótalo por L, ¿Qué tipo de cuadrilátero es LCMN? ______  _______________________________________________________________________________  Por lo tanto:                                 NM = LC = Finalmente, si consideras el  triángulo cuyos vértices son los  puntos medios de los lados de un  triángulo dado, ¿cómo son el  triángulo dado y el formado con  los puntos medios? Escribe a  continuación las características  que comparten ambos triángulos;  no olvides las relaciones entre  perímetro y área.      

1 BC   2

___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ 

 

41

  Casas y pueblos otra vez   

Construye procedimientos para dibujar: letras, personas, familias y árboles.      PARA MICASA  AV 50  GD 60  AV 70  GD 60  AV 70  GD 60  AV 50  GD 90  AV 121  GD 90  FIN    Agrega al procedimiento una puerta y una ventana    • En el procedimiento MICASA, ¿qué instrucciones corresponden a los lados?  _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________      • Dada MICASA, construye un pueblo con casas iguales de diferentes tamaños.    • ¿Qué instrucciones cambian en MICASA al hacer una casa más grande?  _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________  • ¿Qué instrucciones no cambian?  _____________________________________________________________________________________   

42

  Figuras a escala    • Escribe un procedimiento para dibujar una letra. Por ejemplo: 

• Luego edita tu procedimiento para multiplicar cada parte por una escala. 

•Intenta 

• ¿Qué sucede con la letra?_________________________________ • ¿Qué tan grande la puedes hacer?__________________________ • ¿Qué tan pequeña?______________________________________ Elabora la primera letra de tu nombre y explora con diferentes escalas

43

  Letras     •Escribe un solo procedimiento para dibujar las letras E de abajo y otras de cualquier tamaño                                      •¿cuáles son los comandos que varían y cuáles los que permanecen iguales? 

______________________________________________________________ ______________________________________________________________   

44

 

 

 

      •Haz lo mismo para la letra Z 

                    •¿qué entrada de la variable  :ESCALA necesita para crear cada una de las letras? 

             

45

  Personas     •Con el procedimiento PERSONA crea personas con cabezas más grandes con piernas más o menos   largas  o como se le ocurra.   

                                 

46 

  Familias    •Usando PERSONA y los otros procedimientos que creaste en la actividad anterior, crea familias y  hasta una población.     

                                   

47

  Árboles   

•Diseña un solo procedimiento que dibuje estos árboles y otros de diferentes tamaños.   

                                •Utiliza ARBOL para crear un bosque con árboles de diferentes tamaños.   

48

 

L 

  aa  hhoom mootteecciiaa  ccoom moo  aapplliiccaacciióónn..    ..  ..  Semejanza y teorema de Pitágoras   ddeell  tteeoorreem maa  ddee  TTaalleess 

       

Propósito: Utilizar la homotecia como aplicación del teorema de Tales y sus  recíprocos.

   

   

A'

       

A

   

B

C'

 

C

 

B'

 Arriba  se  ilustra  la  transformación  llamada  homotecia,  mediante  la  cual  se  obtuvo  el  triángulo A’B’C’ a partir del triángulo ABC; en este caso, además del objeto por transformar, se  debe establecer un punto O, llamado centro de homotecia, desde el cual se trazaron rectas (en  nuestro  caso  con  dirección  a  los  vértices  del  triángulo  ABC)  sobre  el  plano  del  triángulo;  finalmente es necesario indicar un número llamado razón de homotecia (en nuestro caso el 3).     

 Activa el comando  HOMOTECIA y señala el objeto que se va transformar;  luego indica el centro de homotecia y al final señala la razón de homotecia (este  número se escribe utilizando el comando EDICIÓN NUMÉRICA).   

         

49

..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  TTeerrcceerr  ggrraaddoo       Mide los segmentos OA y OA’; ¿qué relación tienen entre  sí?_____________________________  _____________________________________________________________________________________  Ahora mide los segmentos OB y OB’; ¿qué puedes decir de su cociente? __________________________  Finalmente, mide los segmentos OC y OC’; ¿cuál es la razón entre ellos? __________________________  _____________________________________________________________________________________ 

 Arrastra uno de los vértices 

___________________________________________________

del  triángulo  ABC.  ¿Qué  ocurre? 

___________________________________________________

Descríbelo. 

___________________________________________________

 

 ¿Qué posición guardan los lados AB y A’B’?  __________________________________________  ¿Qué posición guardan los lados BC y B’C’? __________________________________________________  ¿Y los lados CA y C’A’?  __________________________________________________________________   

 Si mides los lados los lados de los triángulos ABC y A’B’C’ y divides entre sí las medidas de los  lados correspondientes del triángulo A’B’C’ al triángulo ABC obtienes: 

A' B' B' C ' C ' A' = ____; = ____; = _____   AB BC CA  ¿Cómo son los ángulos ABC y A’B’C’?  _______________________________________________  ¿Y los ángulos BCA y B’C’A’?  _____________________________________________________________  ¿Y los ángulos que faltan en cada triángulo?  ________________________________________________  También aparecen otros ángulos; ¿podrías decir cuáles son?  ___________________________________  _____________________________________________________________________________________         

50

 

 Si comparas las áreas del triángulo A’B’C’ con las del triángulo ABC, ¿cuál es el cociente o razón  entre ellas?  ________________________________________________________________  ¿Qué relación tiene el cociente obtenido con la razón de homotecia?_____________________________  ________________________________________________________________________________   

 El dibujo  ilustra la homotecia del cuadrilátero  ABCD,  con centro de homotecia  O y razón  de  homotecia –2.   

B

A

C' D C

D'

-2

A'

B'

     

 Explica lo que observas:   _________________________________________________                                                               __________________________________________________ __________________________________________________ ________________________________________________     

51

   ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  TTeerrcceerr  ggrraaddoo    Arrastra uno de 

___________________________________________________

los vértices del 

___________________________________________________

cuadrilátero ABCD y 

___________________________________________________

describe lo que sucede. 

___________________________________________________ 

 

 Calcula las áreas de ambos cuadrilátero y encuentra el cociente. 

área A' B' C ' D' 4 =   área ABCD 1     ___________________________________________________

 ¿Qué relación tiene este  cociente con la razón de homotecia 

___________________________________________________

 

___________________________________________________ ___________________________________________________ 

             

         

 

52

ctivida d 

8 6 

¿Una ecuación para desalojar la escuela?

 

Lo siguiente ecuación permite calcular el tiempo que tardan los estudiantes en desalojar su escuela  durante un simulacro.  y = ‐5x + 400  1. Usa esa ecuación para construir una gráfica en la calculadora, ajusta el RANGO de manera que  se  puedan  ver  las  intersecciones  de  la  gráfica  con  los  ejes  vertical  y  horizontal  del  plano  cartesiano y reprodúcela "a mano" a continuación. 

                2. Responde las siguientes preguntas y justifica claramente tus respuestas.  a) ¿Cuántos estudiantes había dentro de la escuela antes del simulacro?  ____________________________  Justificación. _________________________________________________________________________________  __________________________________________________________________________________________ 

b) ¿Cuántos estudiantes estaban aún dentro de la escuela cuando habían transcurrido 30 segundos del  simulacro? __________________________________________________________________________  Justificación. _____________________________________________________________________  C)  ¿Cuántos  estudiantes  estaban  dentro  de  la  escuela  cuando  habían  transcurrido  55 segundos del simulacro?  _______________________________________________________  Justificación. __________________________________________________________________________  d) ¿Cuántos segundos habían transcurrido cuando quedaban 325 estudiantes?_______________  Justificación. _____________________________________________________________________  e)  ¿En cuánto tiempo quedó totalmente desalojada la escuela?  _____________________________  Justificación. ___________________________________________________________________ 

53

Números poligonales Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en un pergamino o piedrecillas en la arena y los clasificaban según las formas poligonales de estas distribuciones de puntos, es decir, asociaban los números a figuras geométricas obtenidas por la disposición regular de puntos, cuya suma determina el número representado. Así obtenían los diversos tipos de números poligonales o figurados: Los números triangulares (3, 6, 10, 15, ...) son enteros del tipo N = 1 + 2 + 3 + ... + n Los números cuadrados (4, 9, 16, 25, ...) son enteros del tipo N = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) Los números pentagonales (5, 12, 22, ...) son enteros del tipo N = 1 + 4 + 7 + ... +(3n-2) Los números hexagonales (6, 15, 28, ...) son enteros del tipo N = 1 + 5 + 9 + ... + (4n-3) Los números heptagonales (7, 18, 34, ...) son enteros del tipo N = 1 + 6 + 11 + ... + (5n-4)

Con la ayuda de hoja de cálculo, construye columnas que modelen los números poligonales y trata de deducir la fórmula para cualquier orden.    

54

T 

  eeoorreem maa  ddee  PPiittáággoorraass..    ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  Semejanza y teorema de Pitágoras    

   

Propósito: Usar el programa de cómputo para verificar el teorema de Pitágoras. 

   

 El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo; el lado opuesto al  ángulo recto se llama hipotenusa y los otros se llaman catetos. La siguiente figura muestra un triángulo  rectángulo  (aun  cuando  pueda  girarse,  sigue  siendo  un  triángulo  rectángulo)  y  tres  cuadrados,  construidos cada uno sobre uno de los lados del triángulo.        B

  a C

 

c

  b

 

A

        Según se indica en la figura, los catetos son BC = a  y  CA = b.  La hipotenusa en este caso es el segmento AB = c. 

 Reproduce el dibujo. 

 Anota  los  pasos  que  seguiste  para  realizar  el  ejercicio  anterior. 

  

__________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________

   55

      ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..    TTeerrcceerr  ggrraaddoo  

 

 Obtén las medidas de cada uno de los lados del triángulo.     ¿Cuánto mide el área de cada cuadrado?     Indica cuál de las siguientes relaciones se cumple.   

a2 + b2 = c 2   b2 + c 2 = a2   c 2 + a2 = b2  

_______________________________________________________________  _______________________________________________________________

   Arrastra  uno  de  los  vértices  del  triángulo  rectángulo  ABC.  ¿Se  sigue  cumpliendo  la  relación  anterior?    ____________________________________________________________________________  _____________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________    Teorema de Pitágoras Generalizado  1) Dibuja un Triángulo rectángulo  2) Construye en cada lado del Triángulo un polígono regular, que tengan el mismo número de lados  3) Calcula el área de cada polígono regular  4) Suma las áreas más pequeñas y compara con el área mayor  5) Arrastra  uno  de  los  vértices  del  triángulo  rectángulo  ABC.  ¿Se  sigue  cumpliendo  la  relación  anterior? ______________________________________________________________________  ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________     

 

 

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Triángulos rectángulos 1: Hipotenusas  •Completa  el  procedimiento  para  calcular la hipotenusa de un triángulo  rectángulo  (a  partir  de  la  medida  de  sus catetos).  • Usa el teorema de Pitágoras:      2 2 2                                                         HIPOTENUSA = (CATETO1)  + (CATETO2)     Por  lo que:  2 2                                                           HIPOTENUSA =       (CATETO1)  + (CATETO2)                                             •  ¿Cuál  sería  la  hipotenusa  de  un  triángulo  rectángulo  cuyos  catetos  miden  75  y  50?  (Teclea  ES  HIPOTENUSA 75  50) _________________________________________________________________  Comprueba tu resultado con calculadora.    • Usa el procedimiento HIPOTENUSA para dibujar una o ambas diagonales de un cuadrado.         

   

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  Triángulos rectángulos 2: Catetos  •  Usando  el teorema  de  Pitágoras,  encuentra  la  fórmula  para  un  cateto,  en relación  a  la  hipotenusa y el otro cateto.             

CATETO2 = ______________________________________________ 

• Usa la fórmula para escribir un procedimiento que calcule el segundo cateto a partir de la hipotenusa,  el cateto faltante y los dos ángulos agudos y, también que dibuje al triángulo                                 

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  Triángulos rectángulos 3: Ángulos 

  • Para calcular los ángulos de un triángulo rectángulo se puede usar la siguiente fórmula  trigonométrica. 

              • Por lo que, la medida del ángulo á, está dada por: 

•  Escribe  un  procedimiento  que  calcule  los  dos  ángulos  desconocidos  y  la  hipotenusa  a  partir de dos catetos de un triángulo rectángulo y, también que lo dibuje.                    • Usa tu procedimiento para encontrar el ángulo en la figura, entre la hipotenusa y el cateto  que mide 160 (el otro cateto mide 100).              • Completa lo que tienes que teclear:     ES ANGULO ____ ____    El ángulo mide: _________  Comprueba tu resultado con calculadora.       

 

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  Triángulos rectángulos 4: Combina todo  •  Usa  las  herramientas  que  construiste  en  las  actividades  anteriores  (procedimientos  HIPOTENUSA, CATETO, ANGULO) para dibujar los siguientes triángulos rectángulos (intenta  terminar con la tortuga en su posición y rumbo iniciales).                  •  Completa lo siguiente:                      •  Completa la siguiente tabla:                 

 

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  Triángulos rectángulos: Generaliza    •  Usa  las  herramientas  que  construiste  en  las  actividades  anteriores  (procedimientos  HIPOTENUSA y ANGULO) para escribir un procedimiento que dibuje un triángulo rectángulo  cualquiera, a partir del valor de sus dos catetos.           

  •Completa lo siguiente.     

                           

   

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  Triángulos isósceles  • Usa el procedimiento CATETO de las actividades anteriores para determinar el valor de la  altura del triángulo isósceles mostrado:            •  Usa  el  procedimiento  TRIRECT  de  la  actividad  anterior  para  construir  un  triángulo  isósceles.                               

 

   

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  Triángulos en general ¿Ley de Senos o Cosenos?  •  Para  construir  un  triángulo  cualquiera  a  partir  de  dos  lados  y  el  ángulo  entre  ellos,  se  puede utilizar la siguiente fórmula (la ley de los cosenos):              •  Escribe  los  procedimientos  que  calculen,  respectivamente,  el  tercer  lado  y  el  segundo  ángulo de un triángulo a partir de sus dos primeros lados y el ángulo entre ellos.                                   

 

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    • Usa los procedimientos LADO3 y ANGULO2 para dibujar un triángulo cualquiera a partir de  sus dos primeros lados y el ángulo entre ellos.   

                                           

 

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  Más sobre triángulos rectángulos   

  • Para construir un triángulo rectángulo a partir de un cateto y su ángulo con la hipotenusa,  se puede utilizar la siguiente fórmula:    cateto1 = cateto2 * (tangente del ángulo entre la hipotenusa y el cateto)    • Construye un procedimiento para trazar un triángulo rectángulo utilizando    :CATETO1 y :ANGULO.   

                           

 

       

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E 

  xxpplloossiióónn    ddeem mooggrrááffiiccaa..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..Algebra y Nuevas ideas       

  En 1990 vivían en nuestro país aproximadamente 80 millones de habitantes. Si consideramos que  el territorio mexicano tiene una extensión de casi dos millones de kilómetros cuadrados, ¿cuántas  personas crees que había en promedio por cada kilómetro cuadrado? Al número de habitantes por  kilometro cuadrado se le llama densidad de población.  En  esta  actividad  conocerás  y  aplicarás  un  método  para  calcular  el  crecimiento  de  la  población mexicana y cómo éste se refleja en su densidad de población.  Para empezar, construye una hoja de cálculo de acuerdo con las siguientes instrucciones:  1.    En  la  columna  A  escribe  1990  y  encuentra  una  fórmula  para  generar  una  serie  que  aumente  de diez en diez el año.  2.  En  la  columna  B  escribe  la  cantidad  de  habitantes  que  había  en  México  en  1990.  Para  calcular las poblaciones subsecuentes, establece un porcentaje de crecimiento, digamos 25%  (esto  se  puede  precisar  consultando  los  resultados  del  censo  más  reciente).  Enseguida,  escribe en la celda B3 la fórmula = B2 + 0.25 * B2 (la población anterior más 25%) y cópiala  hacia abajo.  3.  En  las  celda  C2  escribe  la  fórmula  =B2  /  2000000  (población/superficie)  que  calcula  la  densidad poblacional respectiva y cópiala hacia abajo.      1 

A  AÑO 

B  POBLACIÓN 

2  3  4 

1990  2000  2010 

80000000  100000000  125000000 

C  DENSIDAD  HAB.  POR KM2  40  50  63 

D         

  ¿Qué densidad habrá en el año 2100? _____________________________________________  ¿En qué año la densidad llegará a 10000 habitantes por kilómetro cuadrado?______________  _________________________________________________________________________    Discute estos resultados y sus implicaciones con tus compañeros.       

66

I 

  nnffllaacciióónn  ccoonnttrraa  ssaallaarriioo    ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..Algebra y Nuevas ideas  

    En esta actividad verás cómo la inflación reduce el salario efectivo de una persona.  Primero  es  necesario  establecer  un  par  de  referencias.  Considera  que  en  1990  el  salario  de  un  trabajador era de $5000.00 mensuales y que en ese año un coche costaba $50000.00.  ¿Cuántos  salarios  del  trabajador  eran  necesarios  para  pagar  el  coche?  Imagina  ahora  que  la  inflación anual es pequeña, por ejemplo de 5%, y que el salario se mantiene fijo.  Con los datos anteriores elabora una hoja de cálculo. Los pasos siguientes te pueden servir:  1. En la columna A escribe 1990 y encuentra una fórmula para generar una serie que aumente de   uno en uno el año.  2. En la celda B2 escribe el salario sin cambio.    3. En la celda C2 escribe el costo inicial del coche. En la celda C3 escribe la fórmula = C2 + 0.05 * C2  para  calcular  cuánto  aumenta  el  costo  del  coche  anualmente  debido  a  la  inflación.  Copia  la  fórmula hacia abajo.  4.  En  la  columna  D  escribe  una  fórmula  apropiada  para  calcular  la  cantidad  de  salarios  que  se  requieren para comprar el coche.              ¿En qué año se necesitarán 20 salarios para pagar el coche? _______________________________  ¿En qué medida se ha reducido efectivamente el salario del trabajador? _____________________  ________________________________________________________________________________    Considera  ahora  la  situación  en  la  que  el  salario  crece  en  la  misma  proporción  que  la  inflación.  Modifica la columna B para que el salario aumente 5% cada año.         

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    ¿Qué observas en la columna D? __________________________________________________________    ____________________________________________________________________________________    ____________________________________________________________________________________      

La  situación  anterior  sería  ideal.  Por  lo  general  los  salarios  crecen  a  una  razón  menor  que  la 

inflación real. Supón, por ejemplo, que la inflación real es de 30% anual. Aplica este porcentaje al costo  del coche en la columna C. Piensa también que debido a esta inflación, los salarios se incrementan 20%  anualmente.  Aplica  este  aumento  al  salario  en  la  columna  B.  Tu  hoja  debe  mostrar  los  siguientes  resultados:              De acuerdo con tus resultados, ¿cuánto se habrá reducido el salario efectivamente en 10 años? ________  _____________________________________________________________________________________  ¿Cuánto se habrá reducido el salario efectivamente en 20 años? _________________________________  _____________________________________________________________________________________    Comenta los resultados de la actividad con tus compañeros y tu maestro.                 

 

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I 

  nntteerrééss  ccoom mppuueessttoo  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..Algebra y Nuevas ideas    

   

                                                       

  ¿Sabes  cuál  es  la  diferencia  entre  interés  simple  e  interés  compuesto?  A  continuación  vas  a  conocerla.    Si se tiene un capital inicial de $10000.00 y al depositarlo en una cuenta de inversión nos  dicen que la tasa de interés anual es de 15%, ¿cuál será la ganancia que se obtenga?    Para saberlo, primero debes determinar cuánto es 15% de $10000.00.  Así, en el primer año tendremos un capital de:     

  En el segundo año: 

10000 + 1500 = 11500 pesos 

  11500 + 1500 = 13000 pesos  ¿Y en el tercero? _______________________________________________________________        La manera en que calculaste la ganancia del capital inicial se llama interés simple, porque  éste se mantiene constante.    El interés simple no es muy justo si consideramos que, conforme pasan los años, cada vez  se tiene más dinero y por lo tanto los intereses deberían calcularse sobre las nuevas sumas y no  en función del primer depósito. A este principio se le llama interés compuesto. En el primer año  el capital es el mismo:           

10000 + 1500 = 11500  En el segundo año tendremos un interés de:  0.15 * 11500 = 1725 (ya que en el banco hay ahora11500 pesos)  Así, el capital será de: 

  11500 + 1725 = 13225    ¿Cuál  será  el  interés  en  el  tercer  año  si  procedemos  de  la  misma  manera;  es  decir  si  aplicamos la fórmula 0.15 * 13225? ________________________________________________    ¿Cuál será entonces el capital? ________________________________________________   

   

 

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  Y así sucesivamente.  La fórmula para calcular el interés compuesto puede escribirse así:  Capital siguiente = Capital anterior + Tasa interés * Capital anterior  Construye una hoja de cálculo que haga las operaciones automáticamente. Copia el modelo de  la  siguiente tabla:              ¿Qué capital habrá en 10 años? ___________________________________________________________  ¿Qué capital habría en 10 años si se calculara como interés simple?_______________________________  _____________________________________________________________________________________  ¿Qué capital habrá en 20 años?____________________________________________________________  ¿Qué capital habría en 20 años si se calculara como interés simple? ______________________________  _____________________________________________________________________________________  ¿Qué capital tendrá una persona después de 20 años si deposita en el banco $1000.00 con un interés  anual de 12%? _________________________________________________________________________  ¿Qué población tendrá un país después de 20 años si actualmente tiene 500000 habitantes y su tasa de  crecimiento es de 3% anual? ______________________________________________________________  ¿Cuánto costará un cuadro famoso después de 20 años si actualmente tiene un valor de 10000 dólares y  la tasa de crecimiento de su valor es de 80% anual? ___________________________________________  _____________________________________________________________________________________             

 

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T 

  iieem mppooss  ddee  dduupplliiccaacciióónn  eenn  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..Algebra y Nuevas ideas   EEll  ccrreecciim miieennttoo  ccoom mppuueessttoo                                                                  

                 

    Primero vamos a construir en una hoja de cálculo una tabla de crecimiento compuesto   como la que se muestra abajo.    En la columna A van los años. En la columna B se incrementa la cantidad inicial de 100 al 1%  anual.  En  la  columna  C  se  incrementa  la  cantidad  inicial  de  100  al  2%  anual.  Continúa  estas  columnas hasta el 10% (columna K) 

                     

  Comprueba que los valores que se obtienen con las fórmulas son los mismos que los de la  tabla de arriba.    Extiende  cada  columna  hasta  que  veas  el  valor  200.  El  tiempo  correspondiente  en  la  columna A se llama tiempo de duplicación, ya que empezaste con 100 y se llegó hasta 200. Con  los valores encontrados, llena la tabla siguiente: 

                   

 

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  Discute con tus compañeros para qué pueden servir estos tiempos en los bancos, al prever poblaciones y  estimar el valor de casas, antigüedades y obras de arte.  Extiende tu hoja de cálculo hasta una tasa de crecimiento de 20% y reprodúcela en una hoja de papel.  ¿Qué le pasa a los tiempos de duplicación conforme la tasa de crecimiento; aumenta más y más? ______  _____________________________________________________________________________________  ¿Cuál sería el tiempo de duplicación para una tasa de crecimiento de 100% anual?___________________  _____________________________________________________________________________________  ¿Cuál sería el tiempo de duplicación para una tasa de crecimiento de 200% anual? __________________  _____________________________________________________________________________________                             

 

         

 

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Construyendo algunos cuerpos geométricos Definición Un Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen. Haciendo uso del ambiente de cabri, construye los siguientes cuerpos geométricos, aprovechando la propiedad de animación. Cuerpos Planos Son sólidos geométricos que tienen superficies planas, tales como: Paralelepípedo, prisma y pirámide …

Cuerpos Redondos Son sólidos geométricos que tienen superficies curvas, tales como: El cilindro, el cono y la esfera.  

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Uso de Fórmulas de Superficie y Volumen de Sólidos Un sólido geométrico es una región cerrada del espacio limitada por ciertas superficies que pueden ser planas o curvas. Recurriremos a algunos casos bien conocidos para introducir el concepto así como estudiar los conceptos de superficie y volumen de un sólido, mediante el uso de Excel.

Paralelepípedo rectangular o caja rectangular. Es aquel sólido que tiene base rectangular y sus aristas laterales son perpendiculares a la base. Si tiene todas las aristas iguales se llama cubo. Su superficie y volumen están dadas de la siguiente manera:

A= 2ab + 2ac + 2bc ;V = abc Cilindro. Es el sólido conformado por caras paralelas circulares y el conjunto de todos los segmentos de línea recta perpendiculares a sus caras y comprendidos entre ellas. El área de su superficie y su volumen, están dadas de la siguiente manera:

A=2πr2 + 2πrh ;   V= πr2h Prisma recto Un prisma es un poliedro con dos caras que son regiones poligonales congruentes en planos paralelos y las caras laterales son rectángulos. La altura h es la distancia entre las caras paralelas. El volumen de un prisma es el producto de el área de la base por la altura y el área de la superficie es la suma de las áreas de las caras que lo limitan

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Uso de Fórmulas de Superficie y Volumen de Sólidos Cono circular recto.

Es el sólido cuya base es un círculo y su superficie lateral está formada por los segmentos de línea recta que unen un punto 0, sobre la línea perpendicular al círculo y por el centro de este, con los puntos del círculo. Cualquiera de estos segmentos de línea recta se denomina una generatriz y su longitud se denota con g. La distancia entre ese punto 0 y el centro del círculo se llama altura. Aquí denotamos con h a la altura y con r al radio de la base circular. El área de su superficie y volumen están dadas de la siguiente manera:

A = πr2 + 2πrg : donde g =

h2 + r2

V = ⅓ πr2h Esfera. Está determinada por todos los puntos del espacio que se encuentran a una distancia menor o igual a r de un punto fijo llamado centro (superficie esférica junto con su interior). Su superficie y volumen están dadas de la siguiente manera:

A = 4πr2         V = ⁴⁄₃ πr2 Completa la siguiente tabla haciendo uso de la hoja de cálculo Superficie y volumen.xls: Sólido geométrico Paralelepípedo rectangular Cilindro

a= 3 cm

Prisma recto

No Lados= 5

Cono circular recto Esfera

Superficie b=

c= 8 cm

r= 4 m

h=

Long de Lado= 7 h= cm r= h= 5.3 m r=

   

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Volumen 96 cm3

251.33 m2 518.61 cm2 64.16 m3 314.16 cm2

Problemas de Optimización (Parte uno) La aplicación Cabri nos permitirá por un lado realizar “experimentos” geométricos, de manera que lleguemos a establecer las relaciones adecuadas y obtener tus propias conclusiones, y por otro lado facilita la conexión interna entre distintas representaciones matemáticas. Uno de los objetivos de la Matemática es encontrar métodos que permitan resolver problemas donde está presente algún criterio de optimización, lo que se debe entender en el sentido de que se busca el máximo o el mínimo de cierta cantidad en presencia de algunas restricciones. A continuación te enumeramos problemas y con la ayuda de Cabri resuélvelos: 1. Con un alambre de 10 cm. queremos construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo?

2. Indica cuál es el triángulo de área máxima de entre todos los isósceles de 9 cm de perímetro.

3. Hallar las dimensiones de un depósito sin tapa, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 250 ml (o 250 cm3) de capacidad que tenga un revestimiento de costo mínimo.

 

 

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Problemas de Optimización (Parte dos) Uno de los objetivos de la Matemática es encontrar métodos que permitan resolver problemas donde está presente algún criterio de optimización, lo que se debe entender en el sentido de que se busca el máximo o el mínimo de cierta cantidad en presencia de algunas restricciones. Lo anterior descrito lo haremos con Cabri

4. Una ventana tiene

la forma de un rectángulo que está coronado por una semicircunferencia. Si el perímetro de la misma es de 6 m, determinar la longitud de la base que hace que ésta tenga la mayor área.

5. Se desea construir una lata de conservas en forma de cilindro circular recto de área total 150 cm2 y volumen máximo. Determinar su altura y su radio.

6. Con una cartulina de 10X8 cm. se desea construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja.

 

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Lanzamiento de dados (Parte I) La teoría de la probabilidad está muy relacionada con los juegos de azar como el lanzamiento de dados. Antes de participar en cualquiera de estos juegos es conveniente saber cuál es la probabilidad de que salga un resultado u otro. Si lanzamos un solo dado, existe la misma probabilidad de que salga cualquiera de los seis números, es decir, es tan probable que salga 1 como que salga 2 o 3 o 4 o 5 o 6. Esta probabilidad es 1/6. Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UNO_DOS Y TRES DADOS.xls, y en la hoja 1 “Un dado”, se hace la simulación de 2000 lanzamientos de un solo dado. Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces.  FREC. 

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15 16  17  18  19 20

Menor 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mayor 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Compara tus resultados con otro compañero, ¿Hay mucha diferencia? _______ ¿Los resultados son equiprobables? _________ ¿Si tuvieras que apostar, a qué número lo harías? __________

 

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Ahora con dos dados  Al lanzar dos dados, decimos que el número que cae es la suma de los números que aparecen en  las caras de ambos dados. Por ejemplo, si en uno de los dados hay un 2 y en el otro un 4, decimos que  cayó  un  seis.  Cuando  lanzas  dos  dados  no  todos  los  números  tienen  la  misma  probabilidad  de  caer.  Veamos cuáles son los números que pueden caer y cómo podrían obtenerse. Fíjate en la siguiente tabla. En la columna de la izquierda hemos colocado las sumas que puedes obtener al lanzar dos dados. En la columna de la derecha está el número de maneras de obtener esas sumas. Manera de obtenerla

suma

Manera de obtenerla

total

suma

2

1 + 1

1

8

5

3

1+2 2+1

2

9

4

4

3

10

3

5

4

11

2

6

5

12

1

7

6

total

Total

36

 

Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UNO_DOS Y TRES DADOS.xls, en la hoja 2 “Dos dados”, se donde se hace la simulación de 2000 lanzamientos de dos dados.  

Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces.  Frecuencia 

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20 

Menor 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mayor 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

400 350 300 250 200 150 100

 

DOCE

DIEZ

ONCE

NUEVE

SIETE

OCHO

SEIS

CINCO

TRES

CUATRO

0

DOS

50

DOS TRES CUATRO CINCO SEIS SIETE OCHO NUEVE DIEZ ONCE DOCE

79

Compara tus resultados con  otro compañero, ¿Hay  mucha diferencia?  _________________  ¿Los resultados son  equiprobables?  _________________  ¿Si tuvieras que apostar, a  qué suma lo harías?  __________________ 

Lanzamiento de dados (Parte II)  

AHORA CON TRES DADOS  ¿Qué crees que pase si lanzas 3 dados? ¿Habrá algún número que tenga más probabilidades que otro? Fíjate en la siguiente tabla. En la columna de la izquierda hemos colocado las sumas que puedes obtener al lanzar dos dados. En la columna de la derecha está el número de maneras de obtener esas sumas. suma

manera de obtenerla

total

suma

3

1 + 1 + 1

1

11

4

1 + 1 + 2  1 + 2 + 1 2 + 1 + 1

3

12

5

1 + 1 + 3  1 + 2 + 2  2 + 1 + 2  2 + 2 + 1  3 + 1 + 1  1 + 3 + 1

6

13

total

Total

216

14

6

15

7

16

8

17

9

18

10

     

manera de obtenerla

80

  Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UNO_DOS Y TRES DADOS.xls, en la hoja 3 “Tres dados”, se donde se hace la simulación de 2000 lanzamientos de tres dados. Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces.   

FREC. 

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15  16  17  18  19 20

Menor 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mayor 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Compara tus resultados con otro compañero, ¿Hay mucha diferencia? _______ ¿Los resultados son equiprobables? _________ ¿Si tuvieras que apostar, a qué suma lo harías? __________ ¿Dónde están los números que tienen más probabilidad de caer? __________ ¿Y los que tienen menos? _________  ¿Se parece a la que se obtiene cuando lo haces con sólo dos dados? _______ ¿Será una coincidencia? ________ 300 TRES

250

CUATRO CINCO SEIS

200

SIETE OCHO

150

NUEVE DIEZ

100

ONCE DOCE TRECE

50

CATORCE QUINCE

   

81

DIECIOCHO

DIECISIETE

DIECISEIS

QUINCE

CATORCE

TRECE

DOCE

ONCE

DIEZ

NUEVE

OCHO

SIETE

SEIS

CINCO

CUATRO

TRES

0

DIECISEIS DIECISIETE DIECIOCHO

¿Cómo se dibuja un diagrama de caja? Recuerda las medidas de tendencia central, para tomarlas en cuenta en el momento de realizar el dibujo de un diagrama de caja.

MEDIDA DE ASIMETRÍA 1) Diremos que una distribución es simétrica cuando su mediana, su moda y su media

aritmética coinciden. 2) Diremos que una distribución es asimétrica a la derecha si las frecuencias (absolutas o relativas) descienden más lentamente por la derecha que por la izquierda. 3) Si las frecuencias descienden más lentamente por la izquierda que por la derecha diremos que la distribución es asimétrica a la izquierda.

Un diagrama de caja se construye como sigue: 1) Ordenar los datos de la muestra y obtener el valor mínimo, el máximo, y los tres 2) 3) 4) 5) 6)

cuartiles Q1, Q2 y Q3. Dibujar un rectángulo cuyos extremos son Q1 y Q3 e indicar la posición de la mediana, Q2, mediante una línea. Calcular con cualquiera de los procedimientos descritos anteriormente unos límites admisibles superior e inferior, Li y Ls, que identifiquen a los valores atípicos. Considerar como valores atípicos los situados fuera del intervalo (Li, Ls). Dibujar una línea que va desde cada extremo del rectángulo central hasta el valor más alejado no atípico, es decir, que está dentro del intervalo (Li, Ls). Identificar todos los datos que están fuera del intervalo (Li, Ls), marcándolos como atípicos.

 

82

Ejercicio 1) El precio de un interruptor magnetotérmico en 10 comercios de electricidad de una ciudad son : 25, 25, 26, 24, 30, 25, 29, 28, 26, y 27 Euros. Hallar la media, moda, mediana, diagrama de barras (en Excel) y el diagrama de caja (Corrobóralo con el dibujo)

| [El diagrama de cajas: caja desde Q1 a Q3 (50% de los datos), brazos el recorrido]

Ejercicio 2) Dada la siguiente distribución en el número de hijos (Xi) de cien familias, calcular la media, moda, mediana, diagrama de barras (en Excel) y el diagrama de caja (Dibújalo en el espacio asignado). xi

ni

Ni

0

14

14

1

10

24

2

15

39

3

26

65

4

20

85

5

15

100

Diagrama de caja

n=100 Ejercicio 3) El número de días necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones de iguales características han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 días. Calcular la media, moda, mediana, diagrama de barras (en Excel) y el diagrama de caja (Dibújalo al reverso de la hoja o en tu cuaderno).    

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      BIBLIOGRAFIA    EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Matemáticas con  la hoja de cálculo. México: SEP.  EMAT.  (2000).  Enseñanza  de  las  matemáticas  con  Tecnología.  Geometría  dinámica. México SEP.  EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. De los números  al algebra en secundaria con el uso de la calculadora. México: SEP.  EMAT. (2005). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Programación  computacional para matemáticas de secundarias. México: SEP.  SEP. (2006). Programas de estudios 2006. Matemáticas. Educación básica.  Secundaria. México: SEP.  SEP. (2006). Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación  secundaria, 2a ed., México.  SEP. (2006). Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas Educación  secundaria, 2a ed., México.   SEP. (2006). Libro para el maestro. Matemáticas. Secundaria, México.                

 

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DIRECTORIO  Dra. Rocío Ruiz de la Barrera Secretaria de la S.E.P.H. Lic. José Fermín Garrido Baños Subsecretario de Educación Básica y Normal. Mtro. Pablo Moreno Calva Director General de Educación Básica Profr. Francisco Torres Ferra Subdirector de Secundarias Generales Profra. Elvia Licona Mejía Subdirectora de Telesecundarias Profr. José Valdemar García Sánchez Subdirector de Secundarias Técnicas Profra. Ma. Guadalupe Flores Barrera y Profr. Andrés Rivera Díaz Coordinadores Estatales del Proyecto Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología, propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) Asesores externos Dra. Teresa Rojano Ceballos Coordinación General de Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología Dra. Ana Isabel Sacristán Rock Investigadora Titular del Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN