Matemá'cas
generales
 Funciones
y
Límites
 Patricia
Gómez
García
 José
Antonio
Álvarez
García
 DPTO.
DE
MATEMÁTICA
APLICADA
 Y
CIENCIAS
DE
LA
COMPUTACIÓN


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Funciones reales ♦ Conceptos ♦ Operaciones ♦ Función inversa ♦ Simetría, acotación, monotonía ♦ Funciones elementales

Funciones reales: conceptos

Una función f definida en X con valores en Y, es cualquier aplicación que asigne a cada elemento x de X un único elemento y de Y.

♦  y es la imagen de x mediante f ♦  x es la variable independiente

y la variable dependiente ♦  Si X e Y son subconjuntos de IR se tiene una función real de una variable real.

Ejemplo

Funciones económicas: ♦  Función de demanda:

σ(p)=10-2p, p es el precio de las σ(p) unidades demandadas ♦  Función de costes:

C(x)=0,04x3-0,9x2+10x+5 x son las unidades producidas

Funciones reales: conceptos

Funciones reales: conceptos

El dominio de una función es el conjunto D de R sobre el que está definida:

La imagen (rango o recorrido) es el conjunto:

Ejemplos de dominio

Ejemplos de dominio

Funciones reales: conceptos

Dada f de dominio D, la gráfica de f es el conjunto de puntos del plano definido así:

Ejemplo

♦  f(x)=x2

Ejemplo

♦  f(x)=2x+5

Ejemplo

♦  f(x)=|x|

Ejemplo

♦  f(x)=|x-3|

Ejemplo

♦  f(x)=1 / x

Ejemplo

♦  f(x)=1 / x2

Funciones reales: operaciones

Ejemplos

Ejemplos

Funciones reales: operaciones

Composición de funciones

Ejemplo

Supóngase que el monóxido de carbono en la atmósfera de una ciudad es una función del número de habitantes: La población crece con el tiempo según la expresión: ¿Nivel de monóxido de carbono dentro de 4 años?

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Funciones reales: operaciones

Función inversa

Funciones reales: operaciones

Funciones reales: simetría

f definida en D es par si f(x)=f(-x) para todo x en D

Funciones reales: simetría

f definida en D es impar si -f(x)=f(-x) para todo x en D

f (x)=x3

Funciones reales: acotación

f definida en D es acotada si

Funciones reales: monotonía

f definida en D es: ♦  monótona creciente si:



♦  monótona decreciente si:



♦  estrictamente creciente si:



♦  estrictamente decreciente si:



Funciones reales: monotonía

Monótona creciente:



Funciones reales: monotonía

Monótona decreciente:



Funciones reales: monotonía

Estrictamente creciente:

x f (x)=e

Funciones reales: monotonía

Estrictamente decreciente:

f (x)=2-x

Funciones reales: f. elementales

♦  Polinómicas:



Constante, lineal, cuadrática, cúbica, cuártica ♦  Racionales:



Funciones reales: f. elementales

♦  Exponencial de base a:



f (x)=2x

Funciones reales: f. elementales

♦  Exponencial de base a: x

f (x)=(1/2)

Funciones reales: f. elementales

♦  Exponencial de base a:

f (x)=2

x

Funciones reales: f. elementales

♦  Logarítmica de base a:



f (x)=ln(x)

Funciones reales: f. elementales

♦  Potencial:

f (x)=x1/3

Límite de una función real ♦ Definiciones ♦ Propiedades ♦ Operaciones con límites finitos ♦ Operaciones con límites infinitos. Indeterminaciones ♦ Infinitésimos e infinitos

Límite: definiciones

y=x2

Si x->2-, f(x)->4

Si x->2+, f(x)->4

Límite: definiciones

Límite: definiciones

y=1/(x-1)2

Si x->1-, f(x)>>>

Si x->1+, f(x)>>>

Límite: definiciones

f definida en D y x0 en R:

Límite: definiciones

Límite: definiciones

Límite: definiciones

y= -1/x2

Límite: definiciones

f(x)=1/x

Límite: definiciones

f(x)=1/x

Límite: definiciones

f (x)=2x

Límite: definiciones

f(x)=1/x Si x->0-, f(x)>

Límite: definiciones

Límite: definiciones

Límite: definiciones

Teorema. Dada f y x0, el límite en x0 existe si y sólo si los límites laterales existen y coinciden

Límite: propiedades

Teorema de unicidad. Si una función tiene límite en un punto, dicho límite es único. Teorema. Si una función tiene límite finito en x0, está acotada en un entorno reducido de x0.

Límite: propiedades

T. del límite de la función intermedia. Si en un entorno reducido de x0, f, g y h cumplen: g(x)