Matem´ aticas B 4oESO Problemas

1

1 RADICALES Y LOGARITMOS

1

2

Radicales y logaritmos 1. Calcular 1

1

(a) 4 2

1

(b) 16 2

(c) 8 3

2. Calcular 1

(b) 243 5

(c) 8− 3

(b) 10−2

(c) (−7)−3

3

(a) 243 5

2

3. Calcular (a) 100 4. Calcular  1 1 2 (a) 6 + 4

 (b)

7 1+ 9

 12

 − 12 4 (c) 9

5. Calcular  (a)

8 27

 23

2

(b) (−27) 3

(c)

 0 5 6

6. Calcular  −1 5 (a) 6

 −2 5 (b) 6

 2 5 3 (c) 15 + 8

7. Calcular  (a)

16 25

− 12

 (b)

7 2+ 81

 12

− 23

(c) (125)

8. Calcular 

1

(a) (1296) 4

(b)

512 343

− 23 (c)

3  1 2 3+ 16

9. Simplificar (a)

√

27

(b)

√

45

(c)

75

(c)

√

162

10. Simplificar (a)

√

48

(b)

√

√

147

11. Simplificar (a)

√

567

12. Simplificar

(b)

√

112

√ (c)

12 2

1 RADICALES Y LOGARITMOS

(a)

√

3

√ 12 + 3 75

(b)

√

200 +

√

√ 18 − 2 72

13. Simplificar (a)

√

√ √ 20 + 2 45 − 3 80

√ √ √ (b) 5 6 − 24 + 294

14. Simplificar (a)

√

√ √ 63 − 2 28 + 175

15. Racionalizar los denominadores: 1 (a) √ 2

1 (b) √ 7

16. Racionalizar los denominadores: √ √ 2 8 (a) √ (b) √ 3 3 32 17. Racionalizar los denominadores: √ √ 3 11 (a) √ (b) √ 21 132

7 (c) √ 5

√ 5 (c) √ 45

(c) √

1 3−1

18. Racionalizar los denominadores: (a) √

2 5−1

(b)

3 √ 4− 7

(c)

1 √ 3− 7

19. Racionalizar los denominadores: (a) √

1 11 − 4

(b) √

1 √ 7− 3

(c) √

2 √ 11 − 5

20. Racionalizar los denominadores: (a) √

7 √ 13 − 3

(b)

7 √ 2+ 7

21. Racionalizar los denominadores: √ √ √ 7 2 5− 3 √ √ (a) √ (b) √ 8− 7 5+ 3 Calcular: √ √ √ √ 22. 4 4 − 2 9 + 3 25 − 5 49 √ √ √ √ √ 23. 3 85 72 + 8 50 − 4 18 + 4 2 √ √ √ √ 2 2 2 3 2 5 2 24. + − + 2 3 4 6 √ √ √ √ √ √ 25. 2 12 − 3 75 + 5 27 − 3 48 + 4 3 + 243 √ √ √ √ 20 45 5 80 125 26. + − + 3 2 6 3

√ 2− 3 (c) √ 11 − 4 √ √ 13 + 7 √ (c) √ 13 − 7

1 RADICALES Y LOGARITMOS

4

√ √ √ √ 3 3 3 3 27. 3 128 + 2 2 − 5 16 + 3 54 √ √ √ √ √ √ 28. 2 8a3 − 288a3 + 3 128a3 − 72a3 − 2 32a3 + 4 128a3 r r r r r 2 3 5 192 29. · · · 63 · 15 14 48 9 √ √ 3 3 30. 3 12 · 5 4 q q √ √ 3 3 31. 13 + 2 11 · 13 − 2 11 q q p p 3 3 32. 2x + 2 x2 − 2 · 2x − 2 x2 − 2  √ √ √ √ 3 3 3 3 33. 3 81 + 2 24 − 3 192 2 34. 35. 36. 37. 38.

39.

40.

r

r 1 3 1 2· 5· · 2 5 √ √ √ √ 3 4 6 a · a2 · a3 · a5 √ √ √ 9 9 3 a2 · a5 · a7 √ √ √ 4 8 2 a3 · 3 a5 · 5 a3 √ √ √ √ √ 9 3 9 6 2a3 b · 25 a7 b4 · 22 a2 b · 2ab · 2a5 b5 v s u r u t1 1 1 3 3 3 3 √

√ 3



√ 2  √ 2 3 3− 3

2−

4

41. Calcular los siguientes logaritmos: (a) log3 9

(b) log5 125

(c) log7 49

(d) log2 16

(e) log2 64

42. Calcular los siguientes logaritmos: (a) log3 81

(b) log3 729

(c) log5 1

43. Calcular los siguientes logaritmos: 1 1 (a) log2 (b) log5 32 25

(c) log5 (−5)

44. Calcular los siguientes logaritmos: 1 (a) log8 2 (b) log5 √ 5

1 (c) log7 √ 3 49

(d) log3

1 3

(e) log3

(d) log3

√

3

(e) log2

−1 (d) log6 √ 6

2

(c) 32x = 6

(e) 3x = 6

(b) 5x = 100

(d) 7−3x = 15

(f) 3−5x = 1 2

46. Despejar x en las siguientes igualdades: (a) log2 x = 3

(c) log3 x = 6

(b) log5 x = 2

(d) log7 x =

47. Siendo log 2 = 0.3010, calcular log 4.

1 2

(e) log4 x2 = 6 (f) log16 x =

√ 3

2

(e) log49 7

45. Despejar x en las siguientes igualdades: (a) 2x = 10

1 9

1 4

2 POLINOMIOS

5

48. Siendo log 2 = 0.3010, calcular log 0.8 y log

√

781.25.

49. Calcular los logaritmos decimales de los n´ umeros 8; 1.25; (0.64)3 . Dato log 2 = 0.3010. 50. Conocido log 5 = 0.6990, hallar log 2; log 2.5; log 625; log 12.5; log 0.032. 51. Sabiendo que log 2 = 0.3010 y log 3 = 0.4771, calcular log 10.8; log 56.25. 52. Siendo log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 y log e = 0.4343, calcular el logaritmo neperiano de 648. 53. Hallar, la parte entera del logaritmo de 725 en el sistema de base 6. 54. Hallar la parte entera del logaritmo de 714 en el sistema de base 5. 55. Utilizar la f´ormula del cambio de base para demostrar que: log 12 x = − log2 x 56. Demostrar que: loga b · logb a = 1 57. Calcular los siguientes logaritmos: √ √ √ (a) log8 2 (b) log81 3 9 (c) log 17 7

(d) log √1 3

58. Calcular los siguientes logaritmos: √ (a) log3 27 (b) log49 343 (c) log9

(d) log25

1 √ 3 3

(e) log 12

3

1 5

(e) log16

√ √

8

32

(f) log16

√

(f) log √1

2

59. Simplificar expresando como un solo logaritmo: (a) log3 7 + log3 2

(b) log 15 − log 5

(c) ln 5 + ln 6 − ln 10

60. Simplificar expresando como un solo logaritmo: (a) 2 ln 8 − ln 5 + 2 ln 10

2

(b) 2 loga 3 − 3 loga 2 + 4 loga 1

(c) 3 loga 4 − loga 2 − 3 loga 6

Polinomios

61. Hallar el valor num´erico de 2x5 + 3x4 − 5x3 + 7x2 − 6x − 1 para x = 1, x = −1 y x = 12 . 62. Hallar el valor num´erico de x4 − 5ax3 + a2 x2 + 10x − 9 para a = 2 y x = 5. Hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones: 63.

(3x5 − 2x4 + x3 − 6x2 + x − 1) : (x − 1)

64.

(3x3 + 5x2 − 6x − 2) : (x − 2)

65.

(2x5 + 6x4 − 3x3 + 9x2 + 12x − 18) : (x + 3)

66.

(x5 − 3x4 + 2x3 − x2 + 4x − 6) : (x − 1)

67.

(x6 − 3x4 + 2x3 − x + 4) : (x − 2)

68. 69.

(x6 + 2x5 − 3x4 + 6x − 5) : (x + 2)
(2x4 + 17x3 − 68x − 32) : x + 21

70.

(x4 − 8x2 + 15) : (x − 2)

71.

(x6 − 64) : (x + 2)

72. Hallar el valor de a para que el trinomio 4x2 − 6x + a sea divisible por x − 3.

8

√ 5

16

3 ECUACIONES Y SISTEMAS

6

73. Qu´e valor habr´a que dar a n para que el polinomio x3 − 6x2 + 2nx − 1 sea divisible por x − 6. 74. Determinar m con la condici´on de que el polinomio 2x4 + 5x3 + mx2 + 4, sea divisible por x + 4. 75. Hallar el valor que ha de tomar m para que el polinomio x5 − 4x2 − x + m sea divisible por x + 1. 76. Determinar el valor de a con la condici´on de que el polinomio 2x4 + 9x3 + 2x2 − 6x + 3a de el resto 10 al dividirlo por x + 4. 77. Determinar n para que en el polinomio 3x4 − 4x2 + x − n de un resto 25 al dividirlo por x − 3. 78. En el polinomio 5x4 − 7x3 + 2x2 + 4x + m determinar m para que al dividirlo por el binomio x − 2 de de resto 130. 79. Determinar n para que en el polinomio 3x4 − 2x3 + x − n, de al dividirlo por x − 1/2, un resto igual a 1. Factorizar: 80.

x2 − 4x + 3

81.

2x2 − 2x − 4

82.

3x2 + 9x + 6

83.

5x2 + 10x − 15

84.

x3 − 6x2 + 11x − 6

85.

x3 + 2x2 − 5x − 6

86.

3x3 + 5x2 − 4x − 4

87.

2x3 + 4x2 − 2x − 4

88.

x4 + x3 − x2 − x

89.

x4 − 5x2 + 4

90.

4x4 − 17x2 + 4

91.

x3 − 4x2 + x + 6.

92.

x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12.

Simplificar: 93.

x2 − 3x + 2 x2 + x − 6

94.

x3 − 3x2 + 4 x3 − 2x2 − 4x + 8

95.

x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1 x4 − 2x3 + x2

3

Ecuaciones y sistemas

Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado: 96.

13 − 7x 26 + x 2x + 7 1 − 9x − = − 20 25 5 10

3 ECUACIONES Y SISTEMAS

97.

3x + 17 1 − 4x 1−x 9−x − = − 8 13 4 6

98.

23 − x 2 + 6x 2 − x 2x − = − 28 14 7 5

99.

3x − 11 5x + 1 x − 7 5x − 6 − = − 20 14 10 21

2x − 3 5 4x − 1 1 +1+ = +x+ 4 6 3 12     44 7 x 1 5 1 101. − − = x− 9 6 5 7 6 3   x 2x − 1 1 2 x 102. − − − =0 6 6 3 5 3   1 x − 5 14 − 2x x−1 x−9 43 103. − = − + 4 2 8 4 6 24 100. 3(x − 1) −

Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado: 104. x2 − 9 = 0 105. 4x2 − 9 = 0 106. 5x2 − 125 = 0 107. 5x2 − 3x = 0 108. 3x2 = 2x 109. x2 − 3x + 2 = 0 110. 5x2 + 6x − 8 = 0 111. 3x2 + 24x + 21 = 0 112. 3x2 − 5x + 2 = 0 113.

x 4 32 − = 2 x−2 x+2 x −4

114.

x 2 8 + = 2 x+1 x−1 x −1

115.

x+3 x−5 + =1 x−5 x−3

116.

1 1 1 − = x 6 x+1

117.

3−x 2+x 1 − = 1 − x2 1+x 1−x

118.

29 x+1 x+2 + = x+2 x+1 10

Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas: 119. x4 − 13x2 + 36 = 0 120. x4 − 8x2 + 9 = 0 121. x4 − 26x2 + 25 = 0 122. x4 − 25x2 + 144 = 0

7

3 ECUACIONES Y SISTEMAS

8

123. 4x4 − 17x2 + 4 = 0 124. 36x4 − 13x2 + 1 = 0 125. 9x4 + 5x2 − 4 = 0 126. x4 + 4x2 + 3 = 0 127. 144x4 − 25x2 + 1 = 0 128. (x2 − 5)(x2 − 3) = 0 p p p p √ √ √ √ Soluciones: (119) x = −2, x = 2, x = −3, x = 3 (120) x = 4 + 7, x = − 4 + 7, x = 4 − 7, x = − 4 − 7 (121) x = −1, x = 1, x = −5, x = 5 (122) x = −3, x = 3, x = −4, x = 4 (123) x = −2, x = 2, x = − 12 , x = 12 (124) x = −1, √ x = 1, x = − 32 , x = 32 (125) x = − 23 , x = 32 (126) no tiene soluci´ on (127) x = − 13 , x = 13 , x = − 14 , x = 14 (128) x = − 5, √ √ √ x = 5, x = − 3, x = 3

Resolver las siguientes ecuaciones irracionales: √ 129. 3 − 2x = 2 √ 130. 1 − x = 1 p 131. x2 − 1 = x − 1 p 132. x2 − 7 = x − 5 p 133. x2 + x − 1 = 2 − x p 134. 9x2 + 2x − 3 = 3x − 2 √ √ 135. x − 9 − x − 18 = 1 √ √ 136. x − 2 − x − 14 = 1 √ √ 137. 36 + x = 2 + x √ √ 138. x − 2 − x − 5 = 1 √ √ 139. x + 2 − x − 1 = 1 √ √ 140. 2 x − 3 + 4x − 1 = 1 √ √ 141. x + x + 3 = 3 √ √ 142. x + x − 2 = 2 √ √ 143. x − 1 + x − 6 = 5 Soluciones: (129) x = − 12 (130) x = 0 (131) x = 1 (132) no tiene soluci´ on (133) x = 1 (134) no tiene soluci´ on (135) x = 34 (136) x = 177 (137) x = 64 (138) x = 6 (139) x = 2 (140) no tiene soluci´ o n (141) x = 1 (142) no tiene soluci´ o n (143) x = 10 4

Resolver las siguientes ecuaciones factorizando previamente el polinomio: 144. x3 − 3x2 − 4x = 0 145. x4 − 3x3 − 10x2 = 0 146. x3 + 3x2 − 4x − 12 = 0 147. 6x3 − 13x2 + 4 = 0 148. 5x3 + 19x2 + 11x − 3 = 0 149. 12x3 + 49x2 + 3x − 4 = 0

3 ECUACIONES Y SISTEMAS

9

150. 9x4 − 31x2 − 14x + 8 = 0 151. 20x4 − 71x3 − 170x2 + 119x + 30 = 0 Soluciones: (144) x = −1, x = 0, x = 4 (145) x = −2, x = 0, x = 5 (146) x = −3, x = −2, x = 2 (147) x = − 12 , x = 34 , x = 2 (148) x = −3, x = −1, x = 15 (149) x = −4, x = − 13 , x = 14 (150) x = − 34 , x = −1, x = 13 , x = 2 (151) x = −2, x = − 15 , x =

3 , 4

x=5

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: 152. 32x+5 = 37

153. 5x+3 = 25

154. 21+x = 42−x

155. 2x

156. 5x

2

−5x+6

2

−1

−1

=8

157. 3x · (32 )x = 93

=1

158. 2x + 2x−1 + 2x−2 = 7 160. 3x

2

· 32x−4 · 35 = 6561

159. 2 · 2x + 22x = 80 161. 72x+3 − 8 · 7x+1 + 1 = 0

162. 22x−5 − 3 · 2x−3 + 1 = 0

163. 32x−3 + 1 = 4 · 3x−2

164. 22x−6 + 1 = 5 · 2x−4

165. 52x−2 + 125 = 6 · 5x

166. 22x+4 − 5 · 2x+1 + 1 = 0

167. 2x−1 +

168. 3x +

1 3x−1

169. 5x−1 = 2 +

=4

170. 31−x + 32−x =

1 =5 2x−3 3 5x−2

4 27

Soluciones: (152) x = 1 (153) x = −1 (154) x = 1 (155) x = −2, x = 2 (156) x = 2, x = 3 (157) x = 2 (158) x = 2 (159) x = 3 (160) x = −4, x = 2 (161) x = −1, x = −2 (162) x = 2, x = 3 (163) x = 1, x = 2 (164) x = 2, x = 4 (165) x = 2, x = 3 (166) x = −1, x = −3 (167) x = 1, x = 3 (168) x = 0, x = 1 (169) x = 2 (170) x = 4

Resolver las siguientes ecuaciones logar´ıtmicas: 171. log x + log 2 = 1

172. log x − log 3 = 1

173. log(2x − 3) + log(5 − x) = log 5

174. log(5 − x) − log(4 − x) = log 2

175. log(x2 + 3x + 2) − log(x2 − 1) = log 2

176. log(x2 + 2x − 39) − log(3x − 1) = 1

177. log(7x − 9)2 + log(3x − 4)2 = 2

178. log x2 − log x +

179. 2 log x − log 4 = log 9

180. 2 log 2x − log x = 1

181. 2 log x + log(x2 + 15) = log 16

182. 2 log x + log(x2 + 2) = log 3

183. 2 log x = log 192 + log 3 − log 4

184. 4 log x − log 100 = 2

185. 5 log x = 3 log x + 2 log 6

186. 3 log x − 2 log

x 3

11 10




=1

= 2 log 3 + log 2

31 , x = 129 Soluciones: (171) x = 5 (172) x = 30 (173) x = 4, x = 52 (174) x = 3 (175) x = 4 (176) x = 29 (177) x = 23 37 5 (178) x = −1, x = 11 (179) x = 6 (180) x = 2 (181) x = 1 (182) x = 1 (183) x = 12 (184) x = 10 (185) x = 6 (186) x = 2

3 ECUACIONES Y SISTEMAS

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: ( x − y = 10 187. xy = 56 ( x+y =5 189. x2 − xy = −3 ( x − 2y = 2 191. x2 − 2xy = 20 ( x + y = 13 193. x2 + y 2 = 109 ( x2 − y 2 = 9 195. xy = 20  1  x − y = 6 197.  x2 + y 2 = 13 36 ( xy = 6 199. x2 + y 2 = 13 ( x + y 2 = 59 201. x2 + y 2 = 149 ( x+y =5 203. (6 + x)(7 + y) = 80 ( (x − 3)(y − 1) = 6 205. (x + 1)(y − 2) = 12  2  x + = 1 y 207.  1 y + = 6 x x y  + =3 3 2 209. x2 + y 2 − 2xy = 1  2 2  x y + xy = 180 211. 1 1 9   + = x y 20  1 5 1    + = x y 6 213. 1 1 1    − = x y 6  3 17 2    + = x y 12 215. 2 1 1    − =− x y 6

10

188.

190.

192.

194.

196.

198.

200.

202.

204.

206.

208.

210.

( x + y = 29 xy = 100 ( x−y =1 x2 − y 2 = 5 ( x = 2y x2 + y 2 = 20 ( x+y =7 x2 − y 2 = 7 ( 2x − 3y = 1 x2 − y 2 = 3 ( x−y =3 x2 + xy + y 2 = 39 ( x+y =7 x2 − y 2 = −7 ( x2 − xy = 21 xy − y 2 = 12 ( x2 − y 2 = 24 x2 + y 2 = 74 ( x2 + y 2 = 25 + 2xy x2 + 2xy + y 2 = 169  x 21   y + = y 2 x 9   x − = y 2 ( x2 + xy + y 2 = 57 x2 − xy + y 2 = 43

( y 2 = x2 − 5 212. 3y − x = 3  2 3 3    + = x y 2 214. 1 1 1    − = x y 12  12 2    − =3 x y 216. 4 9    + =5 x y

3 ECUACIONES Y SISTEMAS   x + y = 3 218. 1 1 3   + = x y 2 ( x−y =5 220. √ √ x+ y =5

(√ 217.

11

√ x + y = 15 x − y = 105

  xy = 6 219. 1 1 5   + = x y 6 ( x+y =5 221. √ √ x− y =1 ( x−y =1 223. √ √ x+ y =5

( x + y = 13 222. √ √ x− y =1 ( √ x+y =5 y 224. √ √ x− y =1

√ √   x+ y =3 225. 1 1 3  √ + √ = y 2 x Soluciones: (187) (−4, −14), (14, 4) (188) (25, 4), (4, 25) (189) (1, 4), ( 23 , 72 ) (190) (3, 2) (191) (10, 4) (192) (4, 2), (−4, −2) (193) (10, 3), (3, 10) (194) (4, 3) (195) (5, 4), (−5, −4) (196) (2, 1), (2, −1) (197) (− 13 , − 12 ), ( 12 , 13 ) (198) (−2, −5), (5, 2) (199) (3, 2), (2, 3), (−2, −3), (−3, −2) (200) (3, 4) (201) (10, 7), (10, −7) (202) (7, 4), (−7, −4) (203) (4, 1), (2, 3) (204) (−7, 5), , 3 ), (5, 10) (7, 5), (−7, −5), (7, −5) (205) (−9, 21 ), (5, 4) (206) (−9, −4), (4, 9), (−4, −9), (9, 4) (207) ( 13 , 3), ( 12 , 4) (208) ( 27 2 2 √ √ 21 16 9 1 9 1 (209) ( 5 , 5 ), (3, 4) (210) (7, 1), (1, 7), (−1, −7), (−7, −1) (211) (5, 4), (4, 5), (− 2 − 2 161, − 2 + 2 161), √ √ (− 92 + 12 161, − 92 − 12 161) (212) (− 94 , 41 ), (3, 2) (213) (2, 3) (214) (3, 4) (215) (3, 4) (216) (3, 2) (217) (121, 16) (218) (2, 1), (1, 2) (219) (3, 2), (2, 3) (220) (9, 4) (221) (4, 1) (222) (9, 4) (223) ( 169 , 144 ) (224) (4, 1), ( 94 , 14 ) (225) (1, 4), (4, 1) 25 25

Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado: 226.

x x−2 1 − + 3x < + x 3 12 4

227.

27 − x 9 7x − 54 > + 2 2 10

228.

4x − 9 3x + 7 1 − 5x − ≤9−x− 4 12 3

229.

3x 5x 2x x − + − ≥ 11 2 6 5 3

Soluciones: (226) (−∞,

1 ) 27

(227) (−∞, 12) (228) −∞,

62 21



(229) [15, ∞)

Resolver las siguientes inecuaciones: 230. x2 − 5x + 4 < 0

231. 1 − x2 > 0

232. x2 − 4x − 5 ≤ 0

233. 12 + x − x2 ≥ 0

234. x2 − x + 5 < 0

235. 9x2 − 3x + 1 ≥ 0

236. x3 − 6x2 + 11x − 6 < 0

237. x3 + 2x2 − 5x − 6 > 0

238. x3 − 3x + 2 ≥ 0

239. 3x3 + 5x2 − 4x − 4 ≤ 0

240.

x−1 0 x2 + 1

Soluciones: (230) (1, 4) (231) (−1, 1) (232) [−1, 5] (233) [−3, 4] (234) no hay soluci´ on (235) (−∞, ∞) (236) (−∞, 1)∪(2, 3) (237) (−3, −1)∪(2, ∞) (238) [−2, ∞] (239) (−∞−2]∪[− 23 , 1] (240) (−3, 1] (241) [0, 1]∪(5, ∞) (242) (−∞, 4) (243) (−∞, 1)∪(2, ∞)

244. Dada la ecuaci´on 4x2 + 3x + c = 0, hallar c sabiendo que una de sus ra´ıces vale 4. 245. En la ecuaci´on x2 − 23x + c = 0, una de las ra´ıces vale 8, calcular el valor de c y la otra ra´ız. 246. Calcular el valor que deber´a tomar m en la ecuaci´on 9x2 − 18x + m = 0 para que una de las ra´ıces sea doble que la otra. 247. En la ecuaci´on x2 − 72x + c = 0, calcular el valor de c para que una ra´ız sea doble de la otra. 248. En la ecuaci´on x2 − bx + 25 = 0, hallar b con la condici´on de que las dos ra´ıces sean iguales. 249. En la ecuaci´on x2 − 16x + c = 0, determinar el intervalo en que ha de variar c para que sus ra´ıces sean imaginarias. 250. En la ecuaci´on x2 − (m + 2)x + m + 5 = 0, determinar el intervalo en que ha de variar m para que sus ra´ıces sean imaginarias. 251. En la ecuaci´on 8x2 −(m−1)x+m−7 = 0, hallar los valores de m para que sus ra´ıces sean (a) iguales (b) opuestas 252. En la ecuaci´on 9x2 − 18(m − 1)x − 8m + 24 = 0, hallar el valor que ha de tener m para que una ra´ız sea doble que la otra. 253. En la ecuaci´on mx2 + (m − 1)x + m − 1 = 0, hallar el valor que ha de tener m para que una ra´ız sea doble que la otra. 254. En la ecuaci´on 9x2 + bx + 28 = 0, determinar b con la condici´on de que la diferencia de las ra´ıces de dicha ecuaci´on sea igual a la unidad. Soluciones: (244) c = −76 (245) c = 120, x = 15 (246) m = 72 (247) c = 1152 (248) b = 10 (249) c > 64 (250) c ∈ (−4, 4) (251) m = 25 y m = 9, m = 1 (252) m = −1, m = 2 (253) m = − 27 , m = 1 (254) b = 33, b = −33

4

Geometr´ıa

255. Un ´angulo de un tri´angulo mide 72o . Calcular el ´angulo obtuso que forman las bisectrices interiores de los otros dos ´angulos. 256. Un punto de un c´ırculo de 26 cm de radio se halla situado a 24 cm del centro. Por dicho punto trazamos una secante que determina en la circunferencia dos segmentos rectil´ıneos uno de los cuales mide 4 cm. ¿Cu´anto mide el otro? 257. Dos cuerdas de una circunferencia se cortan en un punto que determina en una de ellas segmentos de 4 y 16 cm. Calcular la longitud de la cuerda perpendicular al di´ametro que pasa por ese punto. 258. Desde un punto P trazamos una secante que corta a la circunferencia en dos puntos A y B midiendo P A = 18 cm y P B = 8 cm. Calcular el valor de la tangente desde P a la circunferencia. 259. Hallar las dimensiones de un rect´angulo sabiendo que su per´ımetro mide 40.8 m y que la raz´on de sus lados es 3. 260. En dos rect´angulos semejantes, el uno de dimensiones 48 y 36 cm y el otro de 25 cm de diagonal, hallar las dimensiones de este u ´ltimo.

4 GEOMETR´IA

13

√ 261. La recta que une los puntos medios de dos lados contiguos de un cuadrado mide 2 2 m. Hallar el lado del cuadrado. 262. Las bases de un trapecio is´osceles miden 40 y 20 dm respectivamente y el lado no b´asico 25 dm. Calcular su altura. 263. La base mayor de un trapecio es triplo de la base menor. La paralela media mide 9 m m´as que la base menor. Calcular sus bases. 264. El ´angulo interior de un pol´ıgono regular mide 140o , ¿cu´antos lados tiene el pol´ıgono? 265. El radio de la circunferencia inscrita en un cuadrado mide 12 cm. Hallar la longitud de la circunferencia circunscrita a dicho cuadrado. √ Soluciones: (255) 126o (256) 25 cm (257) 8 cm (258) 12 cm (259) 5.1 y 15.3 cm (260) 15 y 20 cm (261) 4 cm (262) 5 21 cm √ (263) 9 y 27 cm (264) 9 (265) 24π 2 cm

√ 266. Hallar el radio del c´ırculo circunscrito a un tri´angulo equil´atero de 2 3 m de lado. 267. Dos circunferencias de radios 18 y 8 cm respectivamente son tangentes exteriores. Hallar la longitud del segmento de tangente com´ un. 268. Calcular la longitud de un arco de 135o perteneciente a una circunferencia de 8 dm de radio. 269. Se tiene una circunferencia y un punto que dista 17 cm del centro. Sabiendo que el segmento de tangente trazada por el punto a la circunferencia mide 1.5 dm, hallar el radio de dicha circunferencia. 270. Los catetos de un tri´angulo miden 21 y 28 cm. Calcular las longitudes de los segmentos en que la bisectriz interior del ´angulo recto divide a la hipotenusa. 271. Las longitudes de los lados de un tri´angulo son 4, 6 y 7 cm. Calcular las longitudes de los segmentos que sobre este u ´ltimo determina la bisectriz del ´angulo opuesto. 272. En un tri´angulo rect´angulo los catetos miden respectivamente 21 y 28 cm. Hallar la hipotenusa y el ´area. 273. La hipotenusa y un cateto de un tri´angulo miden respectivamente 25 y 20 m. Calcular el ´area del tri´angulo. 274. La hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo mide 30 cm y la proyecci´on de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el ´area del tri´angulo. 275. Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 16 y 36 cm. Calcular el ´area del tri´angulo. Soluciones: (266) 2 cm (267) 24 cm (268) 6π dm (269) 8 cm (270) 15 y 20 cm (271) 2.8 y 4.2 cm (272) 35 cm y 294 cm2 (273) 150 m2 (274) 216 cm2 (275) 624 cm2

276. Calcular la altura relativa a la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo de per´ımetro 30 cm y de ´area 30 cm2 . 277. Calcular el ´area de un tri´angulo rect´angulo sabiendo que la raz´on de los catetos es 3 : 4 y que la altura sobre la hipotenusa mide 12 dm. 278. La hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo e is´osceles vale 16 m. Calcular su superficie. 279. En un tri´angulo is´osceles de 5 m de base se traza la altura correspondiente a uno de los lados iguales y su longitud es 4 m. Hallar el ´area del tri´angulo. 280. La f´ormula del ´area de un tri´angulo equil´atero es

l2

√ 3 4 .

Obtenerla.

281. La apotema de un tri´angulo equil´atero mide 36 cm. Calcular su altura, su lado y su ´area. √ 282. Hallar la altura de un tri´angulo equil´atero cuya superficie mide 4 3 dm2 .

4 GEOMETR´IA

14

283. Calcular el ´area de un tri´angulo equil´atero inscrito en una circunferencia de 12 cm de radio (el radio de la circunferencia circunscrita mide 23 de la altura). 284. En un tri´angulo equil´atero de 6 cm de lado se traza su paralela media y se desea saber en qu´e raz´on est´an las ´areas del trapecio y del peque˜ no tri´angulo en que queda descompuesto el tri´angulo dado. 285. Los lados de tres tri´angulos equil´ateros miden 6, 8 y 24 m respectivamente. Hallar el lado del tri´angulo equil´atero cuya superficie es la suma de los otros tres. 60 Soluciones: (276) h = 13 cm (277) S = 150 cm2 (278) S = 64 cm2 (279) S = 25 cm2 (280) (281) h = 108 cm, l = 3 √ √ √ 2 2 S = 3888 3 cm (282) h = 2 3 dm (283) S = 108 3 cm (284) 3 : 1 (285) l = 26 cm

216 √ 3

cm,

286. La base de un tri´angulo is´osceles mide 10 cm y uno de los lados iguales 13 cm. Se corta por una recta paralela a la base, a una distancia del v´ertice igual a los 2/3 de la altura. ¿Cu´ales son las ´areas de las dos porciones en que queda descompuesto el tri´angulo? 287. La relaci´on da las ´areas de dos tri´angulos de igual base es 34 . Las alturas suman 47.6 cm. Calcular dichas alturas. 288. Calcular las dimensiones de un rect´angulo de 32 m de per´ımetro y 63 m2 de superficie. 289. Calcular el ´area de un rect´angulo de 160 m de per´ımetro y cuya base es triple que la altura. 290. Una huerta tiene forma rectangular de dimensiones 80 y 40 m. Est´a cruzada en su sentido de mayor longitud por tres caminos, y en el de su menor longitud por dos, todos de 1.5 m de ancho. Hallar la superficie cultivada. 291. El ´area de un rect´angulo cuyo per´ımetro es 60 m mide 216 m2 . Calcular sus dimensiones. 292. La superficie de un rect´angulo es 2400 m2 y mide 20 m m´as de largo que de ancho. Hallar sus dimensiones. 293. El ´area de un rect´angulo cuya diagonal mide 5 m es 12 m2 . Calcular sus dimensiones. 294. Si por los v´ertices de un rect´angulo de lados 3 y 4 m se trazan paralelas a las diagonales, ¿qu´e figura resulta? Hallar el ´area de esta figura. 295. Calcular el ´area de un rect´angulo en que uno de los lados mide a/2 y el otro es la mayor de las soluciones de la ecuaci´on: 1 1 1 − − =0 a a − x a − 2x Soluciones: (286) S1 = (290) S = 2733.5

m2

80 3

cm2 , S2 =

100 3

cm2 (287) h1 = 27.2 cm, h2 = 20.4 cm (288) 7 cm y 9 cm (289) S = 1200 cm2

(291) 18 m y 12 m (292) 40 m y 60 m (293) 3 m y 4 m (294) Un rombo S = 24 cm2 (295) S =

2 a √ 2 2

296. Hallar el importe de una cerca de alambre de espino de un campo cuadrado de 18 Ha, 6 a y 25 ca sabiendo que el metro de alambre se vende a 1.80 euros. 297. Un campo tiene forma cuadrada y queremos hallar su lado sabiendo que sumando 2 m a un lado y restando 10 m al otro, resulta un rect´angulo cuya superficie mide 88 a. 298. Los lados de dos cuadrados miden 3 y 4 m respectivamente. Hallar el lado del cuadrado cuya superficie es la suma de las de los dos cuadrados dados. 299. Un cuadrado tiene de ´area 33 cm2 m´as que otro y ´este tiene un metro menos de lado. Calcular el lado de cada cuadrado. 300. El ´area de un cuadrado resulta duplicada al a˜ nadir 4 m a uno de sus lados y 6 m al otro. Hallar el lado de ese cuadrado.

4 GEOMETR´IA

15

301. Hallar la diferencia entre las ´areas de un cuadrado y de un tri´angulo equil´atero inscritos en una circunferencia de radio 30 cm. 302. La suma de las ´areas de dos cuadrados es 8621 m2 y el ´area del rect´angulo construido con sus diagonales es 8540 m2 . Calcular el lado de cada cuadrado. 303. La diferencia entre las ´areas de dos cuadrados es 39 m2 y la de sus lados 3 m. Calcular el lado y las ´areas de los cuadrados. 304. La diagonal de un rombo mide 24 cm y su ´area 180 cm2 . Calcular la otra diagonal. 305. El lado de un rombo mide 35 cm y una de sus diagonales 56 cm. Calcular el ´area de la figura formada al unir los puntos medios de los lados del rombo. Soluciones: (296) 3060 euros (297) 97.89 m (298) l = 5 m (299) 544 m y 545 m (300) l = 12 m (301) 630.87 cm2 (302) 61 y 70 cm (303) 5 y 8 m, 25 y 64 m2 (304) 15 cm (305) 588 cm2

306. La diferencia entre las dos diagonales de un rombo es de 9 cm. Si se aumentan ambas en 4 cm el ´area lo hace en 90 cm2 . ¿Qu´e longitud tienen las diagonales? 307. Si los lados no paralelos de un trapecio is´osceles se prolongan, quedar´ıa formado con la base mayor un tri´angulo equil´atero de 6 cm de lado. Sabiendo que la altura del trapecio es la mitad de la altura del tri´angulo, calcular el ´area del trapecio. 308. Dado un trapecio rect´angulo cuyos lados b´asicos miden 50 y 80 m respectivamente y el lado oblicuo 50 m. Hallar la superficie. 309. El ´area de un trapecio es 650 ca. La base mayor es doble que la altura y la base menor excede 5 m a dicha altura. Calcular la altura y las bases. 310. En una circunferencia de radio 6 m se traza una cuerda AC = 8.4 m y el di´ametro BD perpendicular a esta cuerda. Calcular el ´area del cuadril´atero ABCD. 2

√

311. El ´area del hex´agono regular en funci´on del lado es 3l 2 3 . Demostrar esta f´ormula. √ 312. El ´area de un hex´agono regular tiene por valor 6 3 m2 . Hallar el lado. 313. Los lados de tres hex´agonos miden 18, 24 y 40 m respectivamente. Hallar el lado del hex´agono cuya superficie sea suma de la de los tres. 314. Sobre los lados de un hex´agono de lado l se dibujan cuadrados y al unir los v´ertices de estos cuadrados resulta un dodec´agono. Hallar el ´area de este dodec´agono. 315. Calcular el per´ımetro de un hex´agono regular circunscrito a una circunferencia de di´ametro 2/3 m. √

Soluciones: (306) 16 y 25 cm (307) 272 3 cm2 (308) 2200 m2 (309) 20, 25 y 40 cm (310) 50.4 m2 (311) (312) 2 m √ (313) 50 m2 (314) S = 3l2 (2 + 3) (315) p = √4 m 3

316. El di´ametro de una rueda es 22 cm. Si se recorren 172.7 m, ¿cu´antas vueltas habr´a dado? 317. La perpendicular AP trazada desde un punto A de una circunferencia C a un di´ametro M N mide 12 m y divide a dicho di´ametro en dos segmentos N P y P M que est´an en la relaci´on 9 : 16. Calcular la longitud de la circunferencia. 318. El ´area de un cuadrado es 12996 m2 . Hallar el ´area del c´ırculo inscrito y la longitud de la circunferencia circunscrita. 319. La diferencia entre las ´areas del tri´angulo equil´atero circunscrito y el inscrito en una circunferencia √ es 3 3 m. Hallar el lado del inscrito.

4 GEOMETR´IA

16

320. En una circunferencia de radio igual a 2 m se inscribe un cuadrado y sobre los de ´este y hacia el exterior, se construyen tri´angulos equil´ateros. Hallar el ´area de la estrella as´ı formada. 321. En un cuadrado de lado 2 cm se inscribe un c´ırculo y en este c´ırculo un cuadrado y en ´este otro c´ırculo. Hallar el ´area de este u ´ltimo c´ırculo. 322. Los catetos de un tri´angulo rect´angulo inscrito en una circunferencia miden 6 y 8 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el ´area del c´ırculo. 323. El lado de un tri´angulo equil´atero inscrito en una circunferencia mide 48 cm. Hallar las ´areas del tri´angulo y del c´ırculo. 324. Los catetos de un tri´angulo rect´angulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el ´area del c´ırculo correspondiente. 325. Calcular el radio de una circunferencia cuyo arco de 72o mide 3 m. √ √ Soluciones: (316) 250 vueltas (317) 50π m (318) S = 3249π m2 , l = 114π 2 m (319) 2 m (320) 8(1 + 3) m2 (321) π2 cm2 √ (322) l = 10π cm, S = 25π cm2 (323) S1 = 576 3 cm2 , S2 = 768π cm2 (324) l = 37π cm, S = 342.25π cm2 (325) 15 m

326. Hallar el ´area de una corona circular cuyos radios mayor y menor son respectivamente 9 y 5 m. 327. En una circunferencia de 6 cm de radio inscribimos un tri´angulo equil´atero y en este tri´angulo inscribimos otra circunferencia. Calcular el ´area de la corona circular as´ı formada. 328. A un tri´angulo equil´atero de 2 m de lado se le inscribe un c´ırculo y se le circunscribe otro. Hallar el ´area de la corona circular as´ı formada. 329. Calcular el ´area de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal. 330. Calcular el ´area de la corona circular comprendida entre las circunferencias inscrita y circunscrita a un hex´agono de apotema 4 m. 331. Hallar el ´area del sector circular de 216o cuyo radio mide 5 m. 332. Calcular la amplitud de un sector de ´area π dm2 y de radio 3 dm. 333. Hallar el ´area del sector circular cuya cuerda mayor es el lado del cuadrado inscrito. Radio de la circunferencia 4 cm. 334. Dado un tri´angulo equil´atero de 6 m de lado, hallar el ´area de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los v´ertices. 335. Calcular el ´area de un c´ırculo al cual pertenece un sector de ´area 8 cm2 y de ´angulo 40o . √ 336. Hallar el ´area de un segmento circular sabiendo que mide 2 3 cm su radio y 60o su arco. Soluciones: (326) 66π m2 (327) 27π cm2 (328) S = 2π m2 (329) S = 8π m2 (330) S = √3 2 2 2 (333) 4π cm (334) 4π m (335) 72 cm (336) 2π − 3 3 cm2

16π 3

m2 (331) 15π m2 (332) 40o

5 TRIGONOMETR´IA

5

17

Trigonometr´ıa

337. Calcular cu´anto mide en grados, minutos y segundos un ´angulo de un radi´an. 338. Calcular con cinco cifras decimales el valor en radianes de 85o 240 1600 . 339. Escribir en radianes los ´angulos de 30o , 45o , 60o , 90o y 180o . 340. En una circunferencia de 54 cm de radio, calcular la longitud de un arco de 75o . 341. Calcular el ´area de un sector circular de 40o , sabiendo que el radio mide 60 cm. 342. Calcular el radio de un c´ırculo sabiendo que un sectode 50o tiene una superficie de 4500 cm2 . 343. Un arco de 72o mide 64 cm. Calcular el radio de la circunferencia. 344. Calcular el ´angulo de un sector circular sabiendo que su superficie es 6540 cm2 y el radio de la circunferencia mide 80 cm. Expresar el ´angulo en grados, minutos y segundos. 345. Completar la siguiente tabla: ϕ

sen ϕ

cos ϕ

tg ϕ

cotg ϕ

sec ϕ

cosec ϕ

30o 45o 60o 346. Calcular los ´angulos de un tri´angulo rect´angulo conocidos dos de sus lados: (a) b = 3 cm, c = 4 cm (b) b = 5 cm, c = 12 cm (c) b = 7 cm, a = 25 cm (d) c = 8 cm, a = 17 cm 347. Calcular las longitudes de los lados de un tri´angulo rect´angulo dados un ´angulo y un lado: (a) b = 5 cm, C = 40o (b) b = cm3, B = 10o (c) c = 8.21 cm, B = 26o 310 (d) a = 7 cm, B = 64o 170 348. Calcular los elementos de un tri´angulo is´osceles conocido: (a) La base 5 m y el ´angulo opuesto 43o 160 . (b) La base 10.5 m y la altura 9.5 m. (c) El lado 45.6 m y un ´angulo en la base 38o 420 349. Calcular el ´area de un trapecio is´osceles cuya base menor es de 14 m; cuyos lados miden 5.3 m y el ´angulo de ´estos con la base menor es de 135o 280 350. Calcular la apotema, el lado y el ´area de un hept´agono regular inscrito en una circunferencia de 3 m de radio. 351. Calcular el radio, la apotema y el ´area de un oct´ogono regular de 1.5 m de lado. 352. Calcular el ´area del sector y del segmento circular menor correspondientes a una cuerda de 3.25 m en un c´ırculo de radio 4.75 m.

5 TRIGONOMETR´IA

18

353. Una pir´amide regular cuadrada tiene 3 cm de arista b´asica y 6 cm m de arista lateral. Calcular: (a) la altura (b) la apotema (c) el volumen (d ) la superficie total 354. Un cono tiene un ´angulo en el v´ertice de 40o y una altura de 20 cm. Calcular: (a) el radio de la base (b) la generatriz (c) la superficie lateral y total (d ) el volumen 355. Demostrar que el ´area lateral de un cono es igual al ´area de la base dividida por el coseno del ´angulo que la generatriz forma con dicha base. 356. Resolver los tri´angulos dados por los siguientes elementos: (a) a = 32.45 dm, A = 64o 60 , B = 48o 580 (b) c = 34.69 dm, A = 19o 190 , B = 20o 200 (c) b = 50.01 cm, c = 66.60 cm, C = 57o 210 (d) a = 963.8 m, b = 1266 m, A = 18o 450 357. Desde dos puntos en l´ınea recta con el pie de una torre se ve el extremo de ´esta con ´angulos de inclinaci´on de 36o 300 y 23o 150 . Si la distancia entre estos dos puntos es de 35 m, hallar la altura de la torre. 358. Desde un aeroplano volando e l´ınea recta entre dos puntos A y B que distan entre s´ı 3250 m, se ven dichos puntos con ´angulos de depresi´on de 48o 200 y 37o 400 respectivamente. Calcular las distancias oblicuas y horizontal del aeroplano a cada punto y la altura de vuelo. 359. Resolver los tri´angulos dados por los siguientes elementos: (a) b = 609 m, c = 1532 m, A = 11o 590 (b) a = 15.2 cm, b = 20.72 cm, C = 63o 200 360. Calcular la resultante de dos fuerzas de 120 y 215 kg que forman entre s´ı un ´angulo de 143o 300 . 361. Un aeroplano parte de un lugar a las nueve de la ma˜ nana, a una velocidad de 250 km/h y rumbo NE. Otro parte del mismo lugar media hora despu´es con velocidad de 300 km/h y rumbo SSO. ¿A qu´e distancia se hallan a las diez?. 362. Resolver los tri´angulos dados por los siguientes elementos: (a) a = 291 cm, b = 353 cm, c = 264 cm (b) a = 1235 cm, b = 307 cm, c = 1500 cm 363. Dos fuerzas de 14.5 N y 23.1 N dan una resultante de 10.4 N. ¿Qu´e ´angulos forman entre s´ı las dos fuerzas?, ¿qu´e ´angulos forman con la resultante? 364. A cierta hora, cuando los rayos del sol forman un ´angulo de 50o con la horizontal, la longitud de la sombra de un ´arbol es de 25 m. ¿Cu´al es la altura del ´arbol? 365. Se observa una monta˜ na desde una llanura. Desde un cierto punto se ve la cima con un ´angulo de na 45o con la horizontal y alej´andose 750 m, el ´angulo es de 30o . Calcular la altura de la monta˜ sobre la llanura. 366. Para medir la altura de una nube se han hecho simult´aneamente dos observaciones desde los puntos A y B distantes 1 km entre s´ı. La inclinaci´on de la visual desde A es 47o 150 . Los ´angulos que las proyecciones de las visuales desde A y B forman con la recta AB son, respectivamente, 38o 140 y 53o 200 . Hallar la altura de la nube.

6 GEOMETR´IA ANAL´ITICA

6

19

Geometr´ıa anal´ıtica

367. Hallar la longitud del segmento de extremos (4, 3) y (7, −1). 368. Comprobar que es is´osceles el tri´angulo de v´ertices A(2, 1), B(1, 2) y C(3, 3). 369. Clasificar el tri´angulo de v´ertices A(4, −3), B(3, 0), C(0, 1). 370. Determinar b con la condici´on de que los puntos (0, b) y (1, 2) disten 1. 371. Determinar qu´e clase de tri´angulo es el que tiene por lados las rectas: x + y − 8 = 0; x − 2y − 5 = 0; 2x − y − 1 = 0. 372. Dados los puntos A(4, 1) y B(3, 0), determinar sobre el eje positivo de ordenadas un punto C tal que AC + BC = 10. 373. Hallar las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(2, 3), B(4, −1). 374. Dado un extremo A(3, −1) y el punto medio M (2, −2) de un segmento rectil´ıneo, hallar el otro extremo B. 375. Hallar las coordenadas de los puntos medios de los lados de un tri´angulo, cuyos v´ertices son A(−4, 2), B(1, 3) y C(−3, 5). 376. Dados los puntos A(3, 7) y B(6, 8), hallar las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales. 377. Hallar las coordenadas de los puntos de divisi´on en tres partes iguales del segmento determinado por los ejes coordenados sobre la recta de ecuaci´on 3x + 2y − 12 = 0. 378. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el origen y forma con el eje de abscisas un ´angulo de 30◦ . 379. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el origen y forma un ´angulo de 60◦ con el eje de abscisas. 380. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (3, 0) y forma 45◦ con el eje de abscisas. 381. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto P (0, 4) y tal que la tangente del ´angulo que forma con el eje de abscisas sea 2. 382. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (−1, −2) y forma 120◦ con el eje de abscisas. 383. Hallar la ecuaci´on de la recta que forma un ´angulo de 135◦ con el eje de abscisas y pasa por el punto (2, −1). 384. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (−3, 1) y tiene la misma pendiente que la recta 2x − 3y − 1 = 0. 385. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (3, 1) y cuya pendiente es cero. 386. Determinar sobre la recta 3x + 2y + 6 = 0 el punto de abscisa 2. 387. Calcular el ´area del c´ırculo circunscrito al tri´angulo que determina la recta 4x + 3y − 24 = 0 con los ejes de coordenadas. 388. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos (3, 2) y (−1, 0) en las formas segmentaria y expl´ıcita. 389. La abscisa y ordenada en el origen de una recta son 3 y 4 respectivamente. Hallar su ecuaci´on en forma expl´ıcita. 390. Encontrar la ecuaci´on expl´ıcita de la recta cuyas abscisa y ordenada en el origen, son respectivamente, 3 y −2. 391. Hallar las ecuaciones de los lados, del tri´angulo de v´ertices (2, 1), (3, −2), (−1, −3).

6 GEOMETR´IA ANAL´ITICA

20

392. Averiguar si los puntos (1, 1), (−1, −5) y (0, 3) est´an alineados. 393. Determinar la posici´on relativa de las rectas 2x + y − 1 = 0, 3x − 2y = 0, x + y + 3 = 0. 394. Determinar la posici´on relativa de las rectas 3x − 2y + 6 = 0, 2x − y + 4 = 0, x − 3y + 2 = 0. 395. Dadas las rectas x − 2y + 5 = 0; 3x + y − 1 = 0, hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto de intersecci´ on de ambas y por el punto (1, −1). 396. Determinar los valores de a y b a fin de que las rectas ax + by − 1 = 0 ; 2x − 3y + 4 = 0 sean paralelas y que la primera pase por el punto (1, 1). 397. Calcular los coeficientes m y n de las rectas 3x − my = 2; nx + 4y = 5, sabiendo que son paralelas y que la primera pasa por el punto (2, 2). 398. Dadas las rectas 3x − y = 12 ; 6x − y − 8 = 0, calcular la pendiente de cada una e indicar si son paralelas. 399. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por (2, 3) y cumpla una de estas condiciones: (a) Ser paralela al eje de abscisas. (b) Ser paralela al eje de ordenadas. (c) Ser paralela a la bisectriz del primer cuadrante. (d ) Pasar por el origen. 400. Hallar la ecuaci´on de una recta paralela a la 2x − y = 0 tal que su abscisa en el origen vale −1 . 401. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (2, −1) y es paralela a la recta x − 3 = 0. 402. Los puntos medios de los lados de un tri´angulo son (4, 6), (2, 1) y (5, 1). Hallar las ecuaciones de los lados. 403. Determinar a y b para que la ecuaci´on x + ay + 1 = 0 y la bx + 3y − 1 = 0, representen una misma recta. 404. Determinar a y c a fin de que las rectas 3x + 4y − 8 = 0; ax − 8y + c = 0 sean coincidentes. 405. Dadas las rectas 6x + 5y + 7 = O ; ax + 2y + 3 = 0; calcular el valor de a para que sean paralelas. 406. Determinar la ecuaci´on de la recta que pasando por el punto de intersecci´on de las: 4x + 6y − 5 = 0; x − 2y − 3 = 0, es paralela a la 4x − 5y − 12 = 0. 407. Hallar la ecuaci´on de la mediatriz del segmento de extremos (−1, 3) y (0, −2). 408. Hallar la mediatriz del segmento determinado por los puntos en que la recta x + 2y − 4 = 0 corta a los ejes de coordenadas. 409. Un tri´angulo is´osceles tiene por base el segmento que une los puntos (1, −2) ; (6, 3) y el otro v´ertice est´a situado en la recta 3x − y + 8 = 0. Hallar las coordenadas del tercer v´ertice. 410. Calcular las coordenadas del circuncentro del tri´angulo de v´ertices (2, 2), (−2, 2), (−2, −2). 411. Calcular las coordenadas del circuncentro del tri´angulo de v´ertices (0, 0), (4, 2) y (6, 4). 412. Hallar las coordenadas del punto que equidista de los (2, 0), (−2, −2) y (1, −3). 413. Calcular las coordenadas del baricentro del tri´angulo de v´ertices (1, 1), (5, 1) y (3, 7). 414. Id. (3, 3), (7, 3) y (5, 9). 415. Id. (2, 2), (8, 2) y (5, 8). 416. Las coordenadas de dos v´ertices de un tri´angulo son (4, 1), (0, 3) y las del baricentro (3, 4). Hallar las coordenadas de tercer v´ertice.

6 GEOMETR´IA ANAL´ITICA

21

417. El lado desigual de un tri´angulo is´osceles es el segmento determinado por los puntos A(−1, −1) y B(3, 3) y su v´ertice C est´a sobre la recta y − 3x − 4 = 0. Determinar su ´area. 418. Dada la recta 3x − 4y − 2 = 0, y el punto (2, 1) sobre ella, determinar en la recta los puntos que distan 5 unidades del dado. 419. Dada la recta x + 5y +√3 = 0 y un punto P sobre ella de ordenada −1, determinar los puntos de dicha recta que distan 26 del P . 420. Se tiene un punto A de coordenadas (0, 3) y otro B de coordenadas (3, 2). Situar en el eje X otro C de tal modo que si AC es el rayo incidente en OX, el CB sea el reflejado.

7 L´IMITES DE SUCESIONES

7

22

L´ımites de sucesiones

Calcular los siguientes l´ımites: 421. lim (3n2 + 2n + 5)

422. lim (1 − 5n − n2 )

423. lim (n2 − 5n + 1)

424. lim (1 + 2n − n2 )

n→∞

n→∞

425. lim

n→∞

n+1 n−2

n→∞

n→∞

426. lim

n→∞

2n2 − 5n + 3 n→∞ 1 − n2

428. lim

n2 − 3n − 6 n→∞ 1 − n4

430. lim

427. lim 429. lim

2n2 + n − 3 n→∞ 6n − 1 p  433. lim n2 − 4n + 1 − n 431. lim

n→∞

435. lim

p

n→∞

 p 2n2 − 3n + 2 − n2 − 1

 n→∞

3n + 2 5n − 1

 439. lim

n→∞

n→∞

432. lim

n→∞

434. lim

n+1 n2 − 1 n3

 436. lim

1+

1 n+1

n→∞

 443. lim

n→∞

 445. lim

n→∞

 447. lim

n→∞



1 1+ n 1 1− n n−1 n+5

n 440. 2n 442.

n2 444.

2n + 1 n−1

 p n2 + 3n − 1

n

−n 3n2 − 2n + 1 lim n→∞ n2 − 3  n+3 1 lim 1 + n→∞ n+1  3n+2 1 lim 1 + n→∞ n n  2 lim 1 + n→∞ n+3

n

 1−

446. lim

n→∞



2n

n2 + 1 n2 − 1

n2 − 2n + 5 −



438.

1 n−3

n −1

p

n→∞

n

1+ 

441. lim

n→∞

2n2 + 5n − 2 n→∞ 3n2 + n + 1

n→∞

437. lim

449. lim

2n + 3 n+2

448. lim

n→∞

n

 450. lim

n→∞

3 n+2

2n−1

1 1− 2n + 3

n

n2 + 3n + 1 n2 − 1

n2

Soluciones: (421) ∞ (422) −∞ (423) ∞ (424) −∞ (425) 1 (426) 2 (427) −2 (428)

2 3

(429) 0 (430) 0 (431) ∞ (432) 0 (433) −2 (434) − 52

(435) ∞ (436) ∞ (437) 0 (438) 0 (439) e (440) e (441) e2 (442) e3 (443) ∞ (444) e2 (445) (449) 1 (450) ∞

1 e

(446)

1 e6

(447)

1 e12

(448)

1 √ e

8 FUNCIONES

8

23

Funciones

451. Calcular el dominio de definici´on de las siguientes funciones: x+1 x+3

(a) y = (c) y =

x2

(b) y =

2x +x+1

(d ) y =

1 2x2 − 5x + 2 x5

x2 + 1 − x4 + x3 − x2

452. Calcular el dominio de definici´on de las siguientes funciones: p √ (a) y = x + 3 (b) y = 2x2 − 5x + 2 (d ) y = ln(x5 − x4 + x3 − x2 )

(c) y = ln(x2 + x + 1)

453. Calcular las compuestas y las inversas de las funciones f (x) = x2 + 1 y g(x) = x − 2 √ 454. Lo mismo para f (x) = x + 3 y g(x) = x+1 x+2 455. Lo mismo para f (x) = e3x+2 y g(x) = ln(x2 − 1) 456. Calcular los siguientes l´ımites: (a) lim (3x2 − x + 5) x→2



(c) lim

x→2

1 1 + +3 x+2 x−2

(b) lim (3x2 − x + 5) 

x→∞

(d ) lim

x→∞



1 1 + +3 x+2 x−2



457. Calcular los siguientes l´ımites: (a) lim

x→2

1 x2 − 4x + 4

x3 + 5x2 + x − 1 x→∞ 3x2 + 4x + 2

(c) lim

(b) lim

x→∞

(d ) lim

1 x2 − 4x + 4

x→∞ 5x4

+

3x3

x4 + 2x2 + x + 1

458. Calcular los siguientes l´ımites: x3 − 6x2 + x + 14 x→2 x3 + x2 + 2

x4 x→∞ 3x3 − 2x2 + 6x + 1

(b) lim

x3 − 6x2 + 6 x→1 x4 − x3 + x − 1

(d ) lim

(a) lim (c) lim

3x4 x→0 x3 + x2

459. Calcular los siguientes l´ımites: x2 − 25 x→5 x2 − 5x

(b) lim

x4 − 2x3 + x − 2 x→2 x3 + 4x2 − 11x − 2

(d ) lim

(a) lim (c) lim

x3 + 5x2 + 10x + 12 x→−3 x3 + 2x2 − 2x + 3 x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 x→−2 x4 + 4x3 + 4x2

460. Calcular los siguientes l´ımites: x3 + 5x2 + 3x − 9 x→−3 x3 + 7x2 + 15x + 9

(a) lim

x4 − 6x2 + 8x − 3 x→1 x4 − 2x3 + 2x − 1

(b) lim

8 FUNCIONES  (c) lim

x→2

24 x−2 x2 − 4 − 2 x −4 x−2



√ x− 5 (d ) lim √ 2 x→ 5 x − 5

461. Calcular los siguientes l´ımites: x2 − 25 √ (a) lim √ x→5 x− 5 p  (c) lim x2 − 2 − x

x2 − 5x + 6 x→2 x2 − 3x + 2 p  p (d ) lim x2 + 3x − x2 + 2 (b) lim

x→∞

x→∞

462. Calcular los siguientes l´ımites: p  p (a) lim x3 − x2 + 1 − x3 − x + 1



1 1 −√ (b) lim+ x−2 x→2 x−2  x 4x + 1 (d ) lim x→∞ 2x

x→∞

√ (c) lim

x→0

1−x−1 x



463. Calcular los siguientes l´ımites:  (a) lim

x→∞

4x + 1 2x2



x2 (b) lim

x→∞

x−2 x+1



2x (c) lim

x→∞

x2 + 1 x2 − 2

464. Calcular los siguientes l´ımites: (a) lim ln x

(b) lim log3 x

(c) lim log1/2 x

(d ) lim+ ln x

(e) lim+ log5 x

(f ) lim+ log1/3 x

(g) lim ln(1 + x)

(h) lim log5 x

(i ) lim log3 x

(j ) lim √ log3

x→∞

x→∞

x→∞

x→0

x→0

x→0

x→0

x→5

x→1

x→ 3

1 x

465. Calcular las as´ıntotas de las siguientes curvas: (a) y =

2x + 1 x−3

(b) y =

x−3 2x + 4

(c) y =

(d ) y =

2x + 1 x2 − 4

(e) y =

2x2 + 1 x2 − 1

(f ) y =

(g) y =

2x2 + 1 x−3

(h) y =

x2

x3 + 1 − 3x + 2

(i ) y =

1 3x − 2 x2

1 +1

x4 + 1 x2 − 3

Soluciones: (451) (a) R − {−3} (b) R − { 12 , 2} (c) R (d) R − {0, 1}
(452) (a) [−3, ∞) (b) −∞, 12 ∪ [2, ∞) (c) R (d) (1, ∞)

√ (453) (f ◦ g)(x) = x2 − 4x + 5, (g ◦ f )(x) = x2 − 1, f −1 (x) = x − 1, g −1 (x) = x + 2 q √ 4x+7 , f −1 (x) = x2 − 3, g −1 (x) = 1−2x , (g ◦ f )(x) = √x+3+1 (454) (f ◦ g)(x) = x+2 x−1 x+3+2
√ (455) (f ◦ g)(x) = e2 (x2 − 1)3 , (g ◦ f )(x) = ln e2(3x+2) − 1 , f −1 (x) = − 32 + 13 ln x, g −1 = ex + 1 (456) (a) 15 (b) ∞ (c) ∞ (d) 3 (457) (a) ∞ (b) 0 (c) ∞ (d)

1 5

x

9 ESTAD´ISTICA

25

(458) (a) ∞ (b) 0 (c) ∞ (d) 0 (459) (a) 2 (b)

7 13

(c)

9 17

(d)

5 4 √

(460) (a) 2 (b) 2 (c) − 15 (d) 105 4 √ (461) (a) 20 5 (b) −1 (c) 0 (d) 32 (462) (a) −∞ (b) ∞ (c) − 12 (d) ∞ (463) (a) 0 (b) e−6 (c) 1 (464) (a) ∞ (b) ∞ (c) −∞ (d) −∞ (e) −∞ (f ) ∞ (g) 0 (h) 1 (i) 0 (j ) − 12 (465) (a) x = 3, y = 1 (b) x = −2, y = 12 (c) x = 23 , y = 0 (d) x = −2, x = 2, y = 0 (e) x = −1, x = 1, y = 2 (f ) y = 0 √ √ (g) x = 3, y = 2x + 6 (h) x = 1, x = 2, y = x + 3 (i) x = − 3, x = 3

9

Estad´ıstica

466. Un estudiante se dedica a contar cu´antos coches pasan por minuto delante de su casa durante 30 minutos. Sus resultados fueron: 23, 22, 22, 22, 24, 22, 21, 21, 23, 23, 27, 21, 21, 22, 23, 25, 27, 26, 23, 23, 22, 27, 26, 25, 28, 26, 22, 20, 21, 20. Representar estos datos en una tabla de frecuencias y dibujar un diagrama de barras. 467. Las edades de 200 miembros de un club de tenis son: 20, 30, 36, 42, 45, 47, 49, 53, 56, 60,

22, 30, 36, 42, 45, 47, 49, 53, 57, 60,

23, 30, 36, 42, 45, 47, 50, 53, 57, 61,

24, 32, 36, 42, 45, 47, 50, 53, 57, 61,

25, 32, 36, 42, 45, 47, 50, 53, 57, 61,

25, 33, 37, 42, 45, 48, 50, 53, 57, 62,

25, 33, 37, 42, 45, 48, 50, 53, 57, 62,

26, 33, 37, 42, 45, 48, 50, 53, 57, 62,

26, 34, 38, 43, 46, 48, 51, 53, 57, 63,

26, 34, 38, 43, 46, 48, 51, 54, 57, 63,

26, 34, 38, 43, 46, 48, 51, 54, 57, 63,

28, 34, 39, 43, 46, 48, 51, 54, 58, 63,

28, 34, 39, 43, 46, 48, 51, 54, 58, 64,

29, 34, 39, 43, 46, 48, 51, 55, 58, 64,

29, 34, 40, 44, 46, 49, 51, 55, 59, 64,

29, 34, 40, 44, 46, 49, 52, 55, 59, 64,

30, 35, 40, 44, 47, 49, 52, 55, 59, 65,

30, 35, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 60, 65,

30, 35, 41, 44, 47, 49, 52, 56, 60, 68,

30, 35, 41, 44, 47, 49, 52, 56, 60, 69.

Construir una tabla de frecuencias con los datos agrupados en la forma [20, 25), [25, 30), . . . y dibujar el histograma correspondiente. 468. Los resultados de un examen realizado por un grupo de 24 estudiantes han sido los siguientes: 47 54 63 77 23 15 66 32 56 83 16 49 52 67 44 9 62 46 38 58 37 25 55 46. La calificaci´on m´axima era de 90 puntos. Construir la tabla de frecuencias con intervalos [0, 9], [10, 19] . . . incluyendo las frecuencias acumuladas de cada clase. Dibujar un histograma y un diagrama de fracuencias acumuladas. 469. Calcular la mediana y los cuartiles de la distribuci´on estad´ıstica dada por la siguiente tabla: xi

2

3

4

5

6

fi

11

17

23

24

25

470. Calcular la mediana y los cuartiles de la siguiente distribuci´on: xi

[0, 10)

[10, 20)

[20, 30)

[30, 40)

fi

12

16

17

11

9 ESTAD´ISTICA

26

471. La siguiente tabla muestra el n´ umero de faltas a una clase a lo largo de un mes: xi

0

1

2

3

4

5

fi

10

7

6

2

1

4

Calcular la media aritm´etica y la moda. 472. La siguiente tabla muestra los resultados de unos alumnos en la prueba de salto de longitud: xi

[2; 2.5)

[2.5; 3)

[3; 3.5)

[3.5; 4)

fi

6

12

15

4

Calcular la media aritm´etica y la moda. 473. La siguiente tabla muestra el n´ umero de faltas a una clase a lo largo de un mes: xi

0

1

2

3

4

5

fi

10

7

6

2

1

4

(a) Calcular el rango. (b) Hallar la varianza y la desviaci´on t´ıpica. 474. La siguiente tabla muestra los resultados de unos alumnos en la prueba de salto de longitud: xi

[2; 2.5)

[2.5; 3)

[3; 3.5)

[3.5; 4)

fi

6

12

15

4

(a) Calcular el rango. (b) Hallar la varianza y la desviaci´on t´ıpica. 475. El histograma muestra datos sobre el peso de los pollos congelados de un supermercado. Los datos aparecen agrupados en intervalos [1, 2), [2, 3), . . .. (a) Construir la tabla de frecuencias correspondiente. (b) ¿Cu´antos pollos congelados hay en el supermercado?

10 COMBINATORIA

27

476. La siguiente tabla muestra el tiempo de espera en minutos de 50 clientes de un banco: 2.5 3.2 3.1 1.2 1.4

1.3 2.0 2.7 1.4 0.3

2.2 5.3 0.2 2.1 4.2

1.4 3.1 6.4 5.4 2.2

5.2 1.2 2.0 3.1 2.4

3.0 1.8 3.1 4.3 0.6

7.1 4.1 1.1 2.5 3.2

4.2 2.2 4.2 4.2 4.2

1.0 1.2 4.3 5.2 0.8

0.5 1.8 0.5 0.5 0.5

(a) Construir la tabla de frecuencias con intervalos de la forma [0, 1), [1, 2), . . ., incluyendo las frecuencias acumuladas en cada intervalo de tiempo. (b) Dibujar el diagrama de frecuencias acumuladas y estimar el porcentaje de clientes que esperaron m´as de 5 minutos. (c) Calcular la moda, mediana y media de los datos 477. El diagrama muestra el tiempo que 200 estudiantes dedican a escuchar m´ usica.

Estimar (a) La mediana (b) El rango intercuart´ılico (c) El tiempo que un estudiante deber´ıa dedicar para estar en el 10% superior.

10

Combinatoria

478. ¿Cu´antos n´ umeros de cuatro cifras pueden formarse con los nueve primeros n´ umeros, sin que se repitan las cifras. 479. Formar las variaciones de los elementos a, b, c, d, m, k, agrupados de tres en tres. 480. Formar todas las permutaciones posibles con las letras de la palabra mano. 481. Formar las combinaciones de los elementos a, b, c, d, h, k, agrupados de cuatro en cuatro. 482. Con los siete primeros n´ umeros, ¿cu´antas sumas diferentes de tres sumandos podremos formar? 483. ¿Cu´antas pesadas diferentes podr´an hacerse con ocho pesas distintas, tom´andolas de tres en tres? 484. Con 1, 2, 3, 4, 6, ¿cu´antos n´ umeros de cinco cifras, no repetidas, pueden formarse que sean m´ ultiplos de 4? 485. Para jugar al domin´o siete fichas hacen un juego. Sabiendo que son 28 fichas, hallar cu´antos juegos diferentes podr´an obtenerse. 486. Si tienen 176 euros, en un billete de cien, otro de cincuenta, otro de veinte, otro de cinco y una moneda de un euro. ¿Cu´antos pagos diferentes podr´an hacerse con dos billetes o monedas y a cu´anto ascender´a cada uno?

10 COMBINATORIA

28

487. ¿De cu´antas maneras podr´an distribuirse ocho premios iguales entre 12 aspirantes? ¿Y si los premios fueran diferentes? 488. ¿Cu´antos productos diferentes pueden formarse con los n´ umeros 3, 5, 7 y 9? 489. ¿Cu´antas se˜ nales diferentes podemos hacer con doce banderas de diferente color, agrup´andolas de cuatro en cuatro? ¿Y agrup´andolas de todas las formas posibles, o sea de 1 en 1; de 2 en 2; ... etc? 490. ¿De cu´antas maneras pueden sentarse 9 personas en un banco? ¿Y alrededor de una mesa circular? 491. ¿Cu´antos n´ umeros de cinco cifras, sin que se repita ninguna de ellas, se pueden formar con las 0, 1, 2, 3 y 4? 492. ¿Cu´antos tri´angulos se obtienen uniendo cada tres v´ertices de un pentadec´agono? 493. Con seis pesas de 1, 2, 5, 10, 20 y 50 gramos, ¿cu´antas pesadas diferentes se pueden efectuar? 494. Calcular el n´ umero de ordenaciones que pueden hacerse, conteniendo sin repetici´on, todas las letras de la palabra NOVELA, en las que no hay dos vocales ni dos consonantes juntas. 495. ¿Cu´antos n´ umeros de seis cifras sin repetir, pueden formarse con las seis primeras cifras significativas y que sean menores que 650000? 496. ¿Cu´antos n´ umeros de cuatro cifras, no repetidas, pueden formarse con las 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿En cu´antos entrar´ a la cifra 5? 497. ¿Cu´antos n´ umeros podr´ıamos formar con las nueve cifras significativas, de manera que en cada n´ umero entren todas y no se repita ninguna? ¿Cu´antos empiezan por 123? 498. Calcular la suma de los n´ umeros representados por las permutaciones sin repetici´on, de las cifras 1, 2, 3, 4 y 5. 499. Hallar la suma de todos los n´ umeros de tres cifras sin repetici´on, tomadas de entre las 1, 2, 3, 7, 8 y 9. 500. Calcular la suma de todos los n´ umeros de cinco cifras diferentes que se pueden escribir con s´olo las cifras impares, sin repetir en cada n´ umero ninguna cifra. 501. Hallar cu´antos n´ umeros hay mayores que 1.000 y menores que 4000 que est´en formados por cuatro cifras, sin repetir, entre las 8 primeras cifras significativas. 502. ¿Cu´antas permutaciones ordinarias pueden formarse con todas las cifras, sin repetir, del n´ umero 54281? Calcular la suma de todos estos n´ umeros. 503. Un examen consta de 10 preguntas de las que hay que escoger 8. (a) ¿De cu´antas maneras pueden escogerse las preguntas? (b) ¿De cu´antas si las dos primeras son obligatorias? 504. Con las cifras 3, 4, 5, 8 y 9: (a) ¿Cu´antos n´ umeros de 3 cifras diferentes pueden formarse? (b) ¿Cu´antos son mayores de 500? 505. En un juego se reparten simult´ aneamente 5 cartas (de una baraja de 40) a un jugador: (a) ¿De cu´antas maneras pueden repartirse las cartas? (b) ¿De cu´antas si sabemos que 2 son de oros y 3 de copas? 506. Con las 27 letras del alfabeto: (a) Cu´antas palabras de 4 letras distintas se pueden formar? (b) Cu´antas empiezan y terminan con vocal? 507. Tres chicos y tres chicas van al cine.

10 COMBINATORIA

29

(a) ¿De cu´antas maneras diferentes pueden ocupar los seis asientos de una fila? (b) ¿De cu´antas si los chicos y las chicas deben sentarse alternados? 508. Con las letras dela palabra ARBOL: (a) ¿Cu´antas palabras de 5 letras distintas pueden formarse? (b) ¿En cu´antas de ellas las vocales est´en separadas? 509. Con las cifras 1, 3, 5, 7 y 9, (a) ¿Cu´antos productos de tres factores distintos se pueden realizar? (b) ¿Cu´antos n´ umeros de tres cifras distintas se pueden formar? 510. Un equipo de balonmano est´a formado por 6 jugadores de campo y un portero. Si un entrenador dispone de 12 jugadores de campo y 2 porteros, ¿cu´antas alineaciones distintas puede formar? 511. (a) Desarrollar (1 − 2x)5 (b) Calcular el coeficiente de x6 en (x − 2)10 512. En un grupo de teatro hay 4 actores y 7 actrices. El director tiene que elegir a 5 de ellos para la pr´oxima representaci´ on. (a) ¿De cu´antas maneras podr´a hacerlo? (b) ¿Y si necesita que 2 sean hombres y 3 mujeres? 513. Si se colocan en orden alfab´etico las palabras de 5 letras formadas con las letras de la palabra NEPAL, ¿cu´al es la que ocupa el lugar 86o ? 514. ¿De cu´antas maneras se pueden repartir 5 cartas de una baraja espa˜ nola de forma que haya al menos una carta de oros? 515. Con las cifras del 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cu´antos n´ umeros de 3 cifras distintas pueden formarse que sean m´ ultiplos de 3? 516. Hallar el coeficiente de x3 en la expresi´on (3 − 2x)5 . 517. Escribir los tres primeros t´erminos del desarrollo de (1 − 2x)5 (1 + x)7 en potencias crecientes de x. 518. El coeficiente de x en el desarrollo de:  7 1 x+ 2 ax es 73 . Hallar el valor de a. 519. Hallar el t´ermino constante en los siguientes desarrollos:  12  6 3 2 2 2 (a) 2x + 6 (b) 3x + 4x x 520. Sabiendo que: (1 + x)5 (1 + ax)6 = 1 + bx + 10x2 + · · · hallar los valores de a, b ∈ Z.  3

521. Hallar el coeficiente de x en el desarrollo de

3x 2− 6

6 .