MATEMATICAS ESPECIALES I PRACTICA 7 CLASE 1 Transformaciones conformes

1. Determinar donde son conformes las siguientes transformaciones: (a) w(z) = z 2 + 2z z−1 (b) w(z) = z+i 1 (c) w(z) = z + √ z (d) w(z) = z En cada caso, determinar el ´angulo que giran las tangentes a las curvas que pasan por el punto z0 = i al ser transformadas por w(z). 2. Considere la transformaci´on w(z) =

1 . Hallar las im´agenes de las regiones: z

(a) |z + 1| ≤ 1 (b) el segundo cuadrante (c) y ≥ 1 1 las im´agenes de las rectas y = x − 1 e 3. Demostrar que por medio de la transformaci´on w(z) = z ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + i¯ 1 y = 0 son el c´ırculo ¯¯w − y la recta v = 0, respectivamente. Trazar las gr´aficas de estas = 2 ¯ 2 curvas y comprobar que el mapeo es conforme en el punto z0 = 1. αz + β , αδ − βγ 6= 0 recibe el nombre de transformaci´on bilineal o γz + δ transformaci´on fraccionaria o de M¨obius.

4. La transformaci´on definida por w =

(a) Probar que la transformaci´on bilineal puede considerarse como una combinaci´ on de transformaciones de traslaci´on, rotaci´on, dilataci´on/contracci´ on e inversi´ on. (b) Probar que la transformaci´on bilineal transforma c´ırculos del plano z en c´ırculos del plano w. (c) Probar que la composici´on de dos transformaciones bilineales es otra transformaci´on bilineal. 5. Encontrar la transformaci´on bilineal que mapee los puntos −1, ∞, 1 en (a) i, 1, 1 + i (b) ∞, i, 1 (c) 0, ∞, 1 6. Probar que la funci´on w = eiα

z − z0 , Im z0 > 0, transforma el semiplano superior en el disco unitario. z − z¯0 1

Ã

7. Sea A =

a b c d

!

una matriz de 2× 2 a valores reales, tal que ad − bc > 0. Para un punto z en semiplano

superior, se define fA (z) =

az + b . cz + d

(a) Mostrar que fA (z) define un mapeo del semiplano superior en s´ı mismo. Ã

(b) Mostrar que existe una matriz B =

α β γ δ

!

de n´ umeros reales, con αδ − βγ > 0, tal que fB

define una inversa de fA . 8. Considere la transformaci´on

z+i . Hallar las im´agenes de: z−1

(a) la curva y − x + 1 = 0, (b) el c´ırculo |z + (1 + i)| ≤ 1, (c) el semiplano y ≥ 0 9. Encontrar una transformaci´on bilineal que tenga a z1 = 2 y a z2 = −2 como puntos fijos. 10. Transformar el disco |z − 4i| ≤ 2 en el semiplano v > u de manera que al centro del c´ırculo le corresponda el punto −4 y al punto 2i, el origen de coordenadas. 11. Transformar el c´ırculo |z| < 2 en el semiplano Re w > 0 de manera tal que w(0) = 1 y arg w0 (0) = π/2. 12. Encontrar una transformaci´on bilineal que mapee el semiplano inferior del plano z en el c´ırculo unitario de manera tal que z = −i se mapee en w = 0 y que z = ∞ se mapee en w = −1.

2

PRACTICA 7 CLASE 2 Funciones arm´onicas Una funci´ on u(x, y) que posee en un dominio D derivadas parciales continuas hasta el segundo orden inclusive y que verifica la ecuaci´ on de Laplace 4u :=

∂2u ∂2u + =0 ∂x2 ∂x2

se llama funci´ on arm´ onica. Dos funciones arm´ onicas u(x, y) y v(x, y), ligadas por las ecuaciones de Cauchy-Riemann en D, se llaman conjugadas. 1. Demuestre las siguientes proposiciones. (a) Una combinaci´on lineal de funciones arm´onicas es una funci´on arm´onica. (b) Si las variables de una funci´on arm´onica u(x, y) se someten a la transformaci´on x = ϕ(ξ, η) e y = ψ(ξ, η), donde ϕ y ψ son funciones arm´onicas conjugadas, la funci´on transformada ser´a arm´onica. ∂(u, v) diferente de (c) Sean u(x, y) y v(x, y) dos funciones arm´onicas conjugadas y sea el jacobiano J = ∂(x, y) cero en un dominio D. Entonces, las funciones inversas x(u, v) e y(u, v) ser´an arm´onicas conjugadas en D. 2. Demostrar que para toda funci´on u(x, y), arm´onica en un dominio simplemente conexo D, existe una familia de funciones arm´onicas conjugadas dada por v(x, y) =

Z (x,y) (x0 ,y0 )

−

∂u ∂u dx + dy + C, ∂y ∂x

donde C es una constante. 3. Considere las siguientes funciones: (a) u(x, y) = x2 − y 2 + x, 0 ≤ |z| < ∞ x (b) u(x, y) = 2 , 0 < |z| < ∞ x + y2 (c) u(x, y) = xex cos y − yex sin y, 0 ≤ |z| < ∞ (d) u(x, y) = ln((x − 1)2 + (y − 2)2 ),

0 < |z − (1 + 2i)| < ∞

Comprobar que son arm´onicas en los recintos se˜ nalados y encontrar la funci´on arm´onica conjugada correspondiente. 4. Hallar la funci´on anal´ıtica f (z) = u(x, y) + iv(x, y) a partir de la parte real o imaginaria dada. Expresar a f como una funci´on de z. (a) u(x, y) = 2 sin x sinh y + x3 − 3xy 2 + y y (b) v(x, y) = 3 + x2 − y 2 − 2 2(x + y 2 ) 3

(c) u(x, y) = 2xy + cos x sinh y 5. Existe una funci´on anal´ıtica f (z) = u(x, y) + iv(x, y) tal que u(x, y) = ey/x ? 6. Demostrar que si en cierto dominio, v es una funci´on arm´onica conjugada de u y, a su vez, u es una arm´onica conjugada de v, entonces u y v deben ser funciones constantes. 7. (a) Ser´a arm´onica la funci´on u2 si es arm´onica la funci´on u? (b) Sea u una funci´on arm´onica. Para qu´e funciones f , la funci´on f (u) ser´a tambi´en arm´onica? (c) Si f (z) es una funci´on anal´ıtica, ser´an arm´onicas las funciones |f (z)|, arg(f (z)) y ln(|f (z)|)? 8. Hallar una funci´on arm´onica v(x, y) definida en el semiplano superior y tal que verifique (

v(x, 0) =

1 si x < 0 . 2 si x > 0

Si z = reiθ , con r > 0 y 0 ≤ θ ≤ π, v(r, θ) depender´ a solamente de θ. Luego, se propone como soluci´ on v(r, θ) = Aθ + B = Im (A ln z + iB), con A y B constantes reales que se calculan teniendo en cuenta las condiciones de borde. 9. Hallar una funci´on arm´onica v(x, y) definida en la franja infinita −∞ < x < ∞, a < y < b y tal que verifique ( v(x, a) = 2 . v(x, b) = 1 Si z = x + iy, v(x, y) depender´ a solamente de y. Luego, se propone como soluci´ on v(x, y) = Ay + B = Im (Az + iB), con A y B constantes reales que se calculan teniendo en cuenta las condiciones de borde. 10. Hallar una funci´on arm´onica v(x, y) definida en la regi´on indicada en la Figura 1 y tal que verifique (

v(x, y) =

100 si y = 1, x > 1 . 0 si y = x, x > 1

Llevar la regi´ on al primer cuadrante mediante los mapeos sucesivos z → (z − z0 ) → (z − z0 )n , con z0 y n adecuados. 11. Hallar una funci´on arm´onica v(x, y) definida en el disco unitario x2 + y 2 < 1 y tal que (

v(x, y) =

10 si x2 + y 2 = 1, y < 0 . −10 si x2 + y 2 = 1, y > 0

Llevar la regi´ on a un semiplano mediante el mapeo w(z) = i

4

1−z . 1+z

12. Hallar una funci´on arm´onica v(x, y) definida en el semic´ırculo x2 + y 2 < 1, 0 < y < 1 y tal que (

v(x, y) =

0 si x2 + y 2 = 1, y > 0 . 1 si − 1 < x < 1, y = 0

Llevar la regi´ on en un cuadrante mediante la transformaci´ on del ejercicio anterior. 13. Hallar una funci´on arm´onica v(x, y) definida en el semiplano superior y tal que    T0

v(x, 0) =

si x < −1 T1 si − 1 < x < 1 .   T si x > 1 2

Si z + 1 = r1 eiθ1 y z − 1 = r2 eiθ2 , como se indica en la Figura 2, v(r1 , r2 , θ1 , θ2 ) depender´ a solamente de θ1 y θ2 . Luego, se propone como soluci´ on v(r1 , r2 , θ1 , θ2 ) = Aθ1 + Bθ2 + C = Im (A ln(z + 1) + B ln(z − 1) + iC), con A, B y C constantes reales que se calculan teniendo en cuenta las condiciones de borde. 14. Hallar una funci´on arm´onica v(x, y) definida en la regi´on indicada en la Figura 3 y tal que (

v(x, y) =

50 si x2 + (y − 1)2 = 1 . 0 si y = 0

1 . Estudiar tambi´ en z la posibilidad de transformar la regi´ on al semiplano superior mediante el mapeo w(z) = 2π coth . z Llevar la regi´ on a una franja horizontal infinita usando el mapeo w(z) =

15. Hallar una funci´on arm´onica v(x, y) definida en la regi´on indicada en la Figura 4 y tal que   

T si x = −a/2, y > 0 0 si − a/2 < x < a/2, y = 0 . v(x, y) =   2T si x = a/2, y > 0 µ

¶

πz Llevar la regi´ on a un semiplano mediante el mapeo w(z) = sin . a 16. Hallar una funci´on arm´onica v(x, y) definida en la regi´on indicada en la Figura 5 y tal que   

0 si x < 1, y = 0 60 si x2 + y 2 = 1, y > 0 . v(x, y) =   0 si x > 1, y = 0 1 Llevar la regi´ on a un semiplano mediante el mapeo w(z) = z + . z

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