Matemáticas especiales. Una aplicación de la transformada de Fourier en el análisis de imágenes

Matematicas.indb 3

13/03/2013 02:23:37 p.m.

Matematicas.indb 4

13/03/2013 02:23:37 p.m.

Matemáticas especiales. Una aplicación de la transformada de Fourier en el análisis de imágenes Rubén Javier Medina Daza

Matematicas.indb 5

13/03/2013 02:23:37 p.m.

©Universidad Distrital Francisco José de Caldas ©Facultad de Ingeniería ©Rubén Javier Medina Daza Dirección Sección de Publicaciones Rubén Eliécer Carvajalino Coordinación editorial Hernán Darío Escobar Irina Florián Diagramación y montaje de cubierta Margoth Castro de Olivos Corrección de estilo María del Pilar Hernández Moreno Impresión Talleres de impresión Editorial UD ISBN: 978-958-8782-20-1 Primera edición: marzo de 2013 Sección de Publicaciones Editorial UD Carrera 19, núm. 33-39 Teléfono: 3239300, ext. 6206 Correo electrónico: [email protected]

Medina Daza, Rubén Javier Matemáticas especiales : una aplicación de la transformada de Fourier en el análisis de imágenes / Rubén Javier Medina Daza. -- Bogotá : Universidad Distrital Francisco José de Caldas, 2012. 338 p. ; cm. ISBN 978-958-8782-20-1 1. Matemáticas 2. Transformaciones (Matemáticas) 3. Transformaciones de Fourier 4. Números complejos I. Tít. 519 cd 21 ed. A1359023 CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango

Todos los derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo escrito de la Sección de Publicaciones de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Hecho en Colombia

Matematicas.indb 6

13/03/2013 02:23:38 p.m.

7

Contenido

19

Presentación

21

Introducción

23

Capítulo 1. Conjuntos numéricos 1. Conjuntos numéricos 1.1 Números naturales  1.1.2 Historia 1.1.3 Conjuntos coordinables 1.1.4 El conjunto de los números naturales 1.1.4.1 Uso de los números naturales 1.1.5 Igualdad de los números naturales 1.1.6 Adición y multiplicación de los números naturales 1.1.6.1 Propiedades de los números naturales para la suma (+) 1.1.7 Multiplicación de los números naturales 1.1.7.1 Propiedades de los números naturales para el producto (×) 1.2 Números enteros  1.2.1 Historia 1.2.2 Construcción formal de los números enteros a partir de los números naturales 1.2.3 Operaciones de los números enteros 1.2.3.1 Propiedades de los números enteros para la suma (+) 1.2.3.2 Propiedades de los números enteros para el producto (×)

25 27 27 27 28 29 29 30 30 31 31 31 32 32 33 38 38 39

Matemáticas Especiales. Una aplicación de la transformada de Fourier en el análisis de imágeness

Matematicas.indb 7

Agradecimientos

13/03/2013 02:23:38 p.m.

8

Rubén Javier Medina Daza

1.3 Números racionales  1.3.1 Historia 1.3.2 Construcción de los números racionales 1.3.3 Propiedades de los números racionales 1.3.3.1 Propiedades de los números racionales para la suma (+) 1.3.3.2 Propiedades de los números racionales para el producto (×) 1.4 Número irracional  1.4.1 Historia 1.4.2 Ubicación de los números irracionales en la recta real 1.4.3 Clasificación de los números irracionales 1.5 Números reales  1.5.1 Historia 1.5.2 Propiedades de los números reales Capítulo 2. Variable compleja 2. Números complejos  2.1 Historia 2.2 Aplicaciones 2.3 Los números complejos y su álgebra 2.4 Propiedades de los números complejos 2.4.1 Propiedades de los números complejos para la suma (+) 2.4.2 Propiedades de los números complejos para el producto (×) 2.5 Representación polar 2.6 Aplicación del teorema de De Moivre 2.7 Secciones cónicas en variable compleja 2.7.1 Matriz de rotación 2.8 Cónicas en variable compleja 2.8.1. Circunferencia 2.8.2 Parábola 2.8.3 Elipse 2.8.4 Hipérbola 2.9. Funciones continuas de una variable compleja 2.10 Condición necesaria para la analiticidad 2.10.1 Condición suficiente para la analiticidad 2.11 Función exponencial compleja 2.12 Forma exponencial de un número complejo 2.13 Mapeo de la función compleja 2.14 Función logaritmo natural compleja 2.15 Función potencia compleja 2.16 Funciones trigonométricas complejas

Matematicas.indb 8

40 41 41 42 43 43 48 48 49 51 53 54 59 63 65 65 65 66 71 72 72 81 89 91 91 92 92 94 96 98 102 108 114 115 118 122 124 127 130

13/03/2013 02:23:38 p.m.

9 132 132 133 134 136 138 139 140

Capítulo 3. Sucesiones y series 3. Sucesiones y series 3.1 Sucesiones de números reales 3.2 Subsucesión 3.3 Clasificación de las sucesiones 3.3.1 Sucesión creciente 3.3.2 Sucesión decreciente 3.3.3 Sucesión alternante 3.4 Límite de sucesiones 3.4.1 Vecindad o entorno a un punto 3.4.2 Sucesiones divergentes y convergentes 3.5 Cálculo del límite de una sucesión y teoremas de límites de sucesiones 3.5.1 Propiedades de las sucesiones convergentes 3.6 Series 3.6.1 Serie armónica 3.6.2 Serie geométrica 3.6.3 Serie telescópica o retráctil 3.6.4 Serie de términos positivos 3.6.5 Criterio para las series alternantes 3.6.6 Serie de potencias 3.6.7 Representación de funciones por series de potencias 3.6.8 Series de Taylor y de Maclaurin 3.6.9 El teorema binomial 3.6.10 Serie del binomio

143 145 145 147 149 149 149 149 150 150 152 154 156 165 169 169 171 175 188 196 202 205 212 215

Capítulo 4. Series de Fourier 4. Series de Fourier 4.1 Funciones ortogonales 4.2. Series de cosenos y series de senos 4.2.1 Funciones pares e impares

219 221 221 229 229

Matemáticas Especiales. Una aplicación de la transformada de Fourier en el análisis de imágeness

Matematicas.indb 9

2.16.1 Derivadas de las funciones trigonométricas complejas 2.16.2 Integrales de funciones trigonométricas complejas 2.16.3 Funciones trigonométricas inversas complejas 2.16.4 Derivadas de las funciones trigonométricas complejas inversas 2.17 Funciones hiperbólicas complejas 2.17.1 Derivadas de funciones hiperbólicas complejas 2.17.2 Funciones hiperbólicas complejas inversas 2.17.3 Derivadas de las funciones hiperbólicas complejas inversas

13/03/2013 02:23:38 p.m.

10 4.3 Desarrollos para funciones definidas en medio intervalo 4.4 Forma compleja de las series de Fourier 4.5 Integrales de Fourier 4.5.1 La serie compleja de Fourier a la integral de Fourier 4.5.2 Transformada de Fourier 4.6 Transformada bidimensional de Fourier

Rubén Javier Medina Daza

Capítulo 5. Aplicación de la transformada de Fourier al análisis de imágenes 5. Aplicación usando la transformada de Fourier al tratamiento digital de imágenes 5.1 Conceptos básicos 5.1.1 Imágenes de sensores remotos 5.1.2 Imagen digital 5.1.3 Resolución de un sistema sensor 5.1.4 Resolución espacial 5.1.5 Resolución espectral 5.1.6 Resolución radiométrica 5.1.7 Resolución temporal 5.2 Principales sistemas de obtención de imágenes y sus características 5.3 Introducción a la transformada de Fourier en el tratamiento digital de imágenes 5.4 La trasformada de Fourier discreta (DFT) 5.4.1 DFT unidimensional 5.4.2 DFT bidimensional 5.4.3 Propiedades de la transformada discreta de Fourier bidimensional 5.3.4 Aplicaciones de la DFT al tratamiento digital de imágenes Anexos Anexo 1. Cómo ejecutar el código en Matlab Anexo 2. Algoritmo para hallar la transformada de Fourier, módulo, la fase y su espectro Anexo 3. Primer parcial propuesto para estudiantes de Ingeniería Catastral y Geodesia, aplicado el 04/09/07 Anexo 4. Segundo parcial propuesto para estudiantes de Ingeniería Catastral y Geodesia, aplicado el 09/10/07 Anexo 5. Tercer parcial propuesto para estudiantes de Ingeniería Catastral y Geodesia, aplicado el 13/11/07

Matematicas.indb 10

236 242 250 250 253 259 263 265 265 265 266 266 266 268 269 270 270 279 287 287 291 302 309 315 317 319 320 321 322

13/03/2013 02:23:38 p.m.

11 Anexo 6. Examen final conjunto propuesto para estudiantes de Ingeniería Catastral y Geodesia, aplicado el 23/11/09 Anexo 7. Habilitación final conjunta prouesta para estudiantes de Ingeniería Catastral y Geodesia, aplicado el 08/12/09

323 324

Índice de temas

327

Software empleado

331

Páginas web consultadas

331

Bibliografía

333

Matemáticas Especiales. Una aplicación de la transformada de Fourier en el análisis de imágeness

Matematicas.indb 11

13/03/2013 02:23:38 p.m.

Matematicas.indb 12

13/03/2013 02:23:38 p.m.

13

Listado de tablas

Tabla 2. Tabla 3. Tabla 4. Tabla 5. Tabla 6. Tabla 7.

Matematicas.indb 13

Familia de los conjuntos que son coordinables con un conjunto A Características de las diferentes misiones del programa Landsat Indian Remote Sensing Satellite (IRS) Indian Remote Sensing Satellite (IRS) satélites que actualmente están en servicio Resumen de las principales características de los programas SPOT y Orfeo GeoEye comercializa igualmente las imágenes del satélite GeoEye-1 y OrbView-2 Digital Globe opera y distribuye la información de los satélites comerciales de alta resolución espacial: QuickBird, OrbView-1 y OrbView-2

29 273 275 276 278 280 280

Matemáticas Especiales. Una aplicación de la transformada de Fourier en el análisis de imágeness

Tabla 1.

13/03/2013 02:23:38 p.m.

Matematicas.indb 14

13/03/2013 02:23:38 p.m.

Listado de figuras

Figura 1.1 Representación gráfica de los números naturales sobre una línea recta Figura 1.2 Ubicación de los números irracionales sobre una línea recta real Figura 1.3 División de dos segmentos según la proporción dada por el número áureo Figura 2.1 Representación geométrica de los números reales en una línea recta Figura 2.2 Ley del paralelogramo Figura 2.3 Rotación del vector (c,d) al multiplicarlo por (0,1) Figura 2.4 Representación gráfica de la multiplicación de números complejos usando la ley del paralelogramo. Figura 2.5 Plano complejo Figura 2.6 Longitud del vector z Figura 2.7 Desigualdad del triángulo. Figura 2.8 Representación polar de un número complejo z Figura 2.9 Rotación de ejes Figura 2.10 Circunferencia en el plano complejo cuando z0 no es el origen Figura 2.11 Circunferencia en el plano complejo cuando el radio es r = 1 y centro c = (1,1) Figura 2.12 Parábola en el plano complejo Figura 2.13 Parábola en el plano complejo, tiene como foco 2i y la recta directriz Im z = –2 Figura 2.14 Elipse en el plano complejo

Matematicas.indb 15

29 49 50 67 68 69 70 71 82 83 84 92 93 93 95 95 96

13/03/2013 02:23:39 p.m.

Figura 2.15 Elipse en el plano complejo: tiene como focos i, 1 y pasa por z = 0 + i0 Figura 2.16 Hipérbola en el plano complejo Figura 2.17 Hipérbola en el plano complejo con focos ±2 que pasa por el punto 2 + 2i Figura 2.18 Función compleja Figura 2.19 Continuidad de f en a Figura 2.20 Función compleja analítica (u holomorfa) Figura 2.21 Función compleja entera Figura 2.22 Mapeo de la función exponencial Figura 2.23 Superficie de Riemann de w = eZ Figura 2.24 Representación grafica del número complejo i. Figura 2.25 Representación grafica del número complejo 1 + i. Figura 2.26 Rama principal. Figura 3.1 Representación geométrica de una sucesión y de una subsucesión

Figura 3.2 Representación gráfica de la sucesión  n + ( −1)  n



n

n + 2

de la sucesión  2n  n

Figura 3.6 Figura 3.7 Figura 3.8 Figura 3.9 Figura 3.10 Figura 3.11 Figura 3.12 Figura 3.13

148

150 151

5 1 yL= 4 2

151

Representación gráfica del teorema de comparación Intervalo [m, m + 1] División del intervalo [m, m + 1] en diez partes iguales División del intervalo [m.k,m.(k+1)] en diez partes iguales. Representación geométrica de la paradoja de Zenón Representación gráfica para calcular la longitud total del recorrido de la pelota Rectángulos inscritos y circunscritos Gráfica de la función f (x) = x2 – 10 x + 25

π   x + 2 , Figura 4.1 Gráfica de la función f ( x ) =  − x + π ,  2

Matematicas.indb 16

99 102 103 108 109 122 123 125 126 127

150

n

Figura 3.3 Representación de un conjunto de puntos ubicados a una distancia menor que ε respecto a un punto fijo L = 1 Figura 3.4 Representación gráfica de algunos términos

Figura 3.5 Gráfica de la vecindad donde ε =

97 99

154 157 157 158 166 170 176 177

−π < x < 0 0< x