MATEMÁTICAS I SUCESIONES Y SERIES 1.

Sucesiones

En casi cualquier situación de la vida real es muy frecuente encontrar magnitudes que varían cada cierto tiempo. Por ejemplo, el saldo de una cuenta bancaria varía de día en día, y bien podría tomar los valores

1021, 988, 988, 988, 1012, 1012, 575, 570, 600, 600, . . . Aquí la cuenta comenzaría con

1021 euros el primer 988 euros;

durante los siguientes tres días tendría cifra as

1012

día. Tras un gasto de

33 euros,

luego un ingreso elevaría esta

euros, etc.

O también, supongamos que en un fondo de inversión se ponen abonan un interés del

2%

5000

euros. Nos

cada año. Así el dinero en ese fondo de inversión serían

5000, 5100, 5202, 5306.04, 5412.17, . . . euros, donde cada cantidad representa un incremento del

2%

de la anterior.

Esto motiva la siguiente denición.

Denición 1.

Una

sucesión

es una secuencia de números reales a 1 , a2 , a3 , . . . , a n , . . .

Los números an se llaman

términos

de la sucesión.

En el primer ejemplo que hemos puesto arriba,

a4 = 988, a5 = 1012,

a1 = 1021, a2 = 988, a3 = 988,

y así sucesivamente. Observa que no hay una fórmula que

permita calcular los términos de la sucesión en función de

n,

porque el valor de

an

depende de los gastos del día. En el segundo ejemplo, por el contrario, sí hay una n−1 fórmula para an , que es an = 5000 · (1.02) . Cuando así sucede, la expresión para

an

en función de

n

se llama

término general

de la sucesión.

Los siguientes ejemplos son muy importantes.

Ejemplo 1.

Una

progresión aritmética

es una sucesión cuyos términos se obtienen

cada uno sumando una cantidad ja, llamada

diferencia,

al precedente. El primer

término puede ser cualquier número. Por ejemplo,

1, 2, 3, 4, . . . es una progresión aritmética cuyo primer término es

d = 1.

a1 = 1

y cuya diferencia es

a1 = 5

y cuya diferencia es

Asimismo,

5, 3, 1, −1, −3, . . . es una progresión aritmética cuyo primer término es

d = −2. El término general de una progresión aritmética es

Ejemplo 2.

Una

progresión geométrica

an = a1 + (n − 1)d.

es una sucesión cuyos términos se obtienen

cada uno multiplicando el anterior por una cantidad ja, llamada término puede ser cualquier número. Por ejemplo,

2, 6, 18, 54, . . . 1

razón.

El primer

2 es una progresión geométrica cuyo primer término es

a1 = 2

y cuya razón es

r = 3.

Del mismo modo,

2 4 8 1, − , , − 3 9 27 a1 = 1 y cuya razón es r = − 23 . n−1 geométrica es an = a1 r .

es una progresión geométrica cuyo primer término es El término general de una progresión

Ejercicio 1.

Se deposita un capital

habrá en el mes

Solución.

K

a un interés anual del

α %.

¾Cuánto capital

n?

Por jar ideas, digamos que

al capital en el mes

nésimo,

α

de modo que

(el interés) es del

a1 = K .

5 %.

Llamemos

an

Ahora, el capital

an

del mes

nésimo genera unos intereses de an · 0.05, que sumado al propio capital an da an + an · 0.05 = an · (1 + 0.05) = an · 1.05. Es decir, que el capital del mes (n + 1) ésimo es an+1 = an · 1.05. Esto es exactamente una progresión geométrica, porque cada término an+1 se obtiene a partir del anterior multiplicándolo por 1.05, o más en general por 1+α. Así que de la fórmula para el término general de una progresión geométrica que vimos en el Ejemplo 2 deducimos que capital mes

Ejercicio 2.

n = an = K · (1 + α)n−1 .

Una cantidad de dinero inicial

no hay gastos. Cada mes se añaden el mes

d

K

se deposita en una cuenta en la que

euros a la cuenta. ¾Cuánto dinero habrá en

n?

Normalmente interesa calcular el comportamiento de una sucesión se hace muy grande; es decir, cuando

n → ∞.

Eso se expresa como

an cuando n l´ım an y las

técnicas para determinarlo son las mismas que hemos visto en clase para el cálculo de límites de funciones. Así, por ejemplo, los límites de las sucesiones

√ √ n2 − 3n an = 3 , bn = n − n + 2, cn = n + 2n + 1 son, respectivamente, 2.

0, 0

y

(

1 1− n

)n

e−1 .

Sumas parciales de progresiones aritméticas y geométricas

Comenzamos con un ejemplo para motivar.

Ejercicio 3.

Un trabajador ahorra todos los años una centésima parte de sus

ingresos para un viaje. Comienza a trabajar con un sueldo mensual de y cada año tiene un incremento salarial del

2 %.

Al cabo de

20

1200

euros,

años, ¾a cuánto

ascienden sus ahorros?

Solución.

El sueldo anual del trabajador a lo largo del tiempo va siendo

14400, 14688, 14981.76, 15281.4, . . . y por tanto lo que ahorra cada año, que es la centésima parte de estas cantidades, es

144, 146.88, 149.82, 152.81, . . . Observa que la cantidad de dinero que ahorra cada año es un

2%

mayor que la que

ahorró el año anterior, precisamente correspondiendo a su subida salarial. Ahora tendríamos que completar los primeros veinte términos de esta sucesión y luego sumarlos; eso nos daría los ahorros totales del trabajador al cabo de

20

años. Esto

involucra muchas cuentas y es bastante tedioso, así que vamos a buscar otro camino.

3 Llamemos

K

al sueldo inicial anual del trabajador (14400 euros) para escribir

menos. Entonces el sueldo anual del trabajador a lo largo de veinte años es

K, K · 1.02, K · 1.022 , . . . , K · 1.0219 por el mismo argumento del Ejercicio 1, más arriba. Tenemos que sumar todos estos términos, y no parece que expresarlos así nos ayude. Sin embargo, sí lo hace, con ayuda del siguiente truco. Llamemos

S

a la suma que tenemos que calcular:

S = K + K · 1.02 + K · 1.022 + . . . + K · 1.0219 . Si multiplicamos esta suma por

1.02

a los dos lados de la igualdad nos queda

S · 1.02 = K · 1.02 + K · 1.022 + K · 1.023 + . . . + K · 1.0220 . Como ves, esta suma se parece mucho a un sumando

K

S,

con la diferencia de que en S aparece K · 1.0220 que en S no

que aquí no está y aquí aparece un sumando

está. En denitiva,

S · 1.02 = S − K + K · 1.0220 y de aquí podemos despejar

S · 0.02 = −K + K · 1.0220 de modo que

−K + K · 1.0220 1.0220 − 1 =K = K24.3 = 349882.13 0.02 0.02 ahorra es la centésima parte de este dinero, 3498.82 euros

S= euros. Lo que

(½½menudo

viaje!!) Lo que hemos en el ejercicio anterior ha sido calcular la suma de unos cuantos términos (en este caso los

20

primeros) de una progresión geométrica. Este tipo de

sumas recibe un nombre especial.

Denición 2.

Dada una sucesión an , su nésima suma parcial es la suma Sn de los n primeros términos de la sucesión. Es decir, S1 = a1 , S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , etc. La noción de suma parcial no se reere a una progresión geométrica necesariamente, pero en ese caso (y también en el de las progresiones geométricas) hay fórmulas explícitas para las sumas parciales, como viene a continuación.

Proposición 3.

Si an es una progresión geométrica de término inicial a1 y razón r, su nésima suma parcial es Sn = a 1

Ejercicio 4.

rn − 1 . r−1

Rehaz el Ejercicio 3 utilizando la fórmula de la proposición anterior

y observa que llegas al mismo resultado.

Proposición 4. Si an es una progresión aritmética de término inicial a1 y diferencia d, su nésima suma parcial es Sn = a1 +

n(n − 1) d. 2

4 3.

Series

Cuando se quiere calcular la suma parcial de una sucesión (por ejemplo los

100

Sn

de una cantidad grande de términos

primeros, digamos), muchas veces es más

práctico calcular directamente la suma de

todos

los términos de la sucesión. Al

menos en el caso de sucesiones de términos positivos esto suele dar una buena aproximación a la suma parcial en cuestión. Se trata entonces de una suma con innitos sumandos, que se llama Matemáticamente

∑

an

serie

y se denota

∑

an . n

se obtiene al hacer tender

a innito en las sumas

parciales de la sucesión que se esté considerando, y lo que resulta sorprendente es que frecuentemente esto es más fácil de calcular que no el valor exacto de

Sn .

Nosotros sólo necesitaremos conocer la suma de las progresiones geométricas.

Proposición 5.

Sea an una progresión geométrica con término inicial a1 y razón r. La suma de todos sus términos vale { 1 ∑ a1 1−r si |r| < 1 an = no converge si |r| ≥ 1 El no converge del caso

|r| ≥ 1 tiene una interpretación un poco distinta según

que todos los términos de la serie sean positivos o los haya positivos y negativos (como en el Ejercicio 5, debajo). En el primer caso signica que las sumas parciales de la serie van creciendo cada vez más, hacia

+∞.

En el segundo, que las sumas

parciales de la serie también se hacen cada vez más grandes, pero su signo va oscilando (alternando entre

Ejercicio 5.

+

y

−),

y por eso no tiende a innito.

Calcular la suma de los

100

primeros términos de la progresión geo-

métrica

1, −0.5, 0.25, −0.125, . . .

Solución.

La sucesión que nos dan es efectivamente una progresión geométrica.

a1 = 1 y luego cada uno se obtiene del anterior multiplicándolo r = 0.5. Si vamos a la fórmula para la suma parcial de los 100 primeros términos

Su primer término es por

de la progresión vemos que esta vale

1 y tenemos que elevar

0.5

a

100.

0.5100 − 1 , 0.5 − 1

Hacer esto sin calculadora resulta complicado, así

que utilizamos la aproximación que consiste en sumar La fórmula es ahora

1 Es decir, la suma de los es aproximadamente

2.

todos

los términos de la serie.

1 = 2. 1 − 0.5

100 primeros términos de la progresión geométrica de arriba El valor real es 1, 9999999999999999999999999999984, así

que como se ve la aproximación es muy buena.

Ejercicio 6.

Calcular la suma de los

100

primeros términos de la progresión geo-

métrica

1, 1.1, 1.21, 1.331, . . .

Solución. Vemos que cada término se obtiene del anterior multiplicándolo por 1.1, así que la razón de la progresión es r = 1.1. Como este número es mayor que 1, sabemos que la suma de todos los términos de la progresión vale +∞ (por la Proposición 5 y el párrafo explicativo que viene a continuación). No nos piden la

5 suma de todos, sino sólo la de los

100

primeros, pero sabemos que

+∞

será una

buena aproximación a esa suma. Es decir, podemos asegurar que la suma parcial que se pide es un número positivo muy grande (el valor real es

137796.12).