MATEMÁTICAS II

Cónicas en coordenadas polares

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1) El cometa Halley describe una orbita elíptica de excentricidad e ≈ 0.97. la longitud del eje mayor de la órbita es, aproximadamente, 36.18 unidades astronómicas (una u.a., distancia media entre la Tierra y el Sol, es ≈ 93 millones de millas). Hallar una ecuación en polares para la órbita ¿Cuánto se acerca el cometa Halley al Sol? Solución: c e = 0.97 = , 2a = 36.18 u.a. ⇒ a = 18.09 u.a. a F C Tomamos una referencia polar de tipo1 y la ecuación de la cónica sería de la forma: d p ed c r= = 1 − e cosα 1 − e cosα a2 c a2 d= − c ; c = a . e = 17.5473 ⇒ d = 1.1022 ⇒ c p = d . e =1.0691189. Luego, una ecuación en polares para la órbita es:

r=

1.0691 1 − 0.97 cosα

La distancia mínima entre el cometa Halley y el Sol es el valor de “r” mínimo, que se obtiene cuando el denominador 1 − 0.97 cosα es máximo, es decir, para cosα = −1 : 1.0691 r= ≈ 0.5427 u.a. 1 + 0.97 x2 y2 − = 1 , hallar la ecuación polar de su rama derecha 16 9 suponiendo que la dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo está: a) en el foco derecho de la hipérbola. b) en el foco izquierdo de la hipérbola. En el caso a), hallar la ecuación polar de sus directrices y asíntotas. Solución: x2 y2 − = 1 ⇒ a = 4, b = 3 ⇒ c 2 = a 2 + b 2 = 16 + 9 = 25 ⇒ c = 5 . 16 9 b2 9 b2 9 c 5 = , d= = . Por tanto, e = = , p = a 4 a 4 c 5 2) Dada la ecuación de la hipérbola

a)

9 16 = . 5 5 p La ecuación, en este caso, es: r = = 1 − e cosα 9 9 4 = . 1 − 5 4 cosα 4 − 5 cosα

La directriz es la recta x = c − d = 5 −

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b)

16 a2 La directriz es la recta x = − c + d = − =− 5 c . La ecuación que se debe emplear ahora es: −94 −9 −p . r= = = 1 − e cosα 1 − 5 4 cosα 4 − 5 cosα Directrices en el caso a): a2 9 9 9 dir ≡ x`= −(c − ) = − ⇒ r cos α = − ⇒ r = − c 5 5 5 cos α 2 a 41 41 41 dir`≡ x`= −(c + ) = − ⇒ r cos α = − ⇒ r = − c 5 5 5 cos α Asíntotas en el caso a): Son rectas que pasan por O(0,0) en la referencia x y ó bien O(-c, 0) = (-5, 0) en la x`y`, y b 3 3 tienen de pendiente ± = ± , luego su ecuación es: y`−0 = ± (x `+5) . a 4 4 Pasando a polares: 3 15 / 4 − 15 / 4 rsenα = ± (r cos α + 5) ⇒ r = , r= 3 3 4 senα + cos α senα − cos α 4 4 3) Dada la parábola de ecuación y2 = 6 x , hallar su ecuación polar suponiendo que la dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo está en el foco de la parábola. Solución:

y 2 = 6x = 2px ⇒ p = 3 ; e = 1 . La ecuación adecuada es: 3 p r= = . 1 − e cosα 1− cosα

21 determina una elipse y hallar los semiejes y las 5 − 2 cosα ecuaciones polares de sus directrices. 4) Verificar que la ecuación r =

Solución:

r=

21 2 21 21 5 , e= = ⇒p = 5 5 5 − 2 cosα 1 − 2 cosα 5 Unidad Docente de Matemáticas

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Por ser e < 1, se trata efectivamente de una elipse; y, por la forma de la ecuación, un foco está en el polo, la directriz no corta al eje polar y la cónica y el foco están en el mismo semiplano respecto de la directriz. 21 y` p 21 y p = de ⇒ d = = 5 = . d 2 e 2 2 a /c 5 p p x` a = F = 21 . 2 =5, b= 1− e x 1 − e2 c 2 = a 2 − b 2 = 25 − 21 = 4 ⇒ c = 2 . d1 d2 c La directriz d1 tiene de ecuación: 21 21 21 x `= −d = − ⇒ r cos α = − ⇒ d 1 ≡ r = − . 2 2 2 cos α La otra directriz d2 tiene de ecuación: x `= c +

a2 25 29 29 29 = 2+ = ⇒ r cosα = ⇒ d2 ≡ r = c 2 2 2 2 cosα

16 determina la rama derecha de una hipérbola y 3 − 5 cosα hallar las ecuaciones polares de sus directrices y asíntotas.

5) Verificar que la ecuación r =

Solución: 16 16 16 5 3 r= = ⇒p= , e= . 3 − 5 cosα 1 − 5 3 cosα 3 3 Por ser e > 1, se trata de una rama de una hipérbola. A la vista de la ecuación, la cónica y el foco están del mismo lado respecto de la directriz y el eje polar no corta a dicha recta, luego, la situación es la siguiente:

Así pues, se trata de la rama derecha de una hipérbola. p 16 p p d= = , a= 2 =3, b= =4 . 2 e 5 e −1 e −1 c 2 = a 2 + b 2 = 25 ⇒ c = 5 . Las ecuaciones polares de las directrices se hallan de forma análoga a como se hizo en el problema anterior, obteniéndose: 16 34 . d1 ≡ r = − , d2 ≡ r = − y y` 5 cosα 5 cosα d Las ecuaciones de las asíntotas respecto al sistema de a2/c F x referencia x , y (de origen el centro de la cónica, y de b x` ejes los de la cónica) son: y = ± x . c a x `= x − 5 d1 d2 Los nuevos ejes son ahora:   y`= y

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Respecto a estos nuevos ejes, las ecuaciones cartesianas de las asíntotas son, por tanto: 4 y`= ± ( x`+5) . 3 Por consiguiente, las ecuaciones polares de estas rectas son: 4 r senα = ± (r cosα − 5) ; es decir, operando para cada uno de los signos se obtiene: 3 20 - 20 r= , r= 3 senα - 4 cosα 4 cosα + 3 senα 1 tiene un foco F en el origen (polo) y su directriz 4 correspondiente tiene de ecuación polar rcosα = 8. Sabiendo que el eje polar es OX+, se pide: a) Hallar las coordenadas del otro foco F’. b) La ecuación polar de la elipse c) Dibujar la elipse Solución: 6) Una elipse de excentricidad e =

y

De la ecuación de la directriz: a /c 8 r= ⇔ x`= 8 α cos F F` x x` se deduce que la directriz está a la derecha del c foco F (polo); por tanto, el eje polar corta a la dir directriz y la cónica y el foco están en el mismo dir` semiplano (izquierdo) respecto de la misma. p Debe usarse una ecuación del tipo 3: r = 1 + e cosα a) Las coordenadas polares del otro foco serán: F`(r = 2c, α = π ). Hallemos c: y`

2

a2 16c 2 1 c 8 = ⇒ a = 4c , luego 8 = −c = − c = 15c ⇒ c = . c c 4 a 15 8 16 Por tanto, : F`(r = 2 = , α = π ). 15 5 e=

b 2 a 2 − c 2 (4c ) − c 2 p = = =2⇒ r = = a a 4c 1 + e cosα 2

b) p =

2 1 1 + cos α 4

c)

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Ejercicios propuestos 1) Determinar las cónicas que se dan en coordenadas polares mediante las ecuaciones siguientes: 6 5 10 a) r = b) r = c) r = 1 3 1 − cos α 1 − cos α 1 − cos α 2 2 12 5 1 d) r = e) r = f) r = 2 − cos α 3 − 4 cos α 3 − 3 cos α Solución: a) Elipse b) Parábola c) Una rama de una hipérbola d) Elipse e) Una rama de una hipérbola f) Parábola.

y2 x2 2) Dada la ecuación de la hipérbola − = 1 , hallar la ecuación polar de su rama 25 144 izquierda, suponiendo que la dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo está: a) en el foco izquierdo de la hipérbola; b) en el foco derecho. Solución: 144 144 a) r = b) r = − 5 + 13 cos α 5 + 13 cos α 3) Hallar en la elipse r =

12 3 − 2 cos α

los puntos cuyos radios polares son iguales a 6.

Solución: π  π   6,  ,  6, −   4  4 4) Hallar en la hipérbola ρ = Solución: π  π   3, 2  ,  6, − 2  .  3  3

15 los puntos cuyos radios polares son iguales a 3. 3 − 4cos α

p los puntos : 1 - cosα a) cuyos radios polares sean mínimos. b) cuyos radios polares sean iguales al parámetro de la parábola. Solución: π p  π   a)  , π  , b)  , p ,  p,−  2 2  2   5) Hallar en la parábola r =

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