MATRICES Matrices de números reales. Dados dos subconjuntos A = {1,2,3,...i...n} y B = {1,2,3,...j...m} pertenecientes al conjunto de los números naturales, llamaremos matriz de dimensión nxm a toda aplicación A X B ---------> R / (i,j) ---> aij que asocia a cada par (i,j) el numero real aij Definimos matriz real de elementos pertenecientes a R y de dimensión n filas por m columnas, aquel conjunto de números reales escritos de la forma siguiente:

 a 11 a12  a 22 a A   21    a  n1 a n 2 matriz nxm

 a1m    a2m       a nm 

En forma simplificada A = ( aij )nxm y se le denomina

Ejemplos:

A2 x 2

1 0    3 1

A3x 3

 1 5 0      3 2 4   1 0  1  

A3x1

 0      1  3 / 2  

A1x3  1  2

0

Ejemplo: Escribir una matriz A3x4 tal que aij = 2i + 3j a11 = 2.1 + 3.1 = 5 a14 = 2.1 + 3.4 = 14 a23 = 2.2 + 3.3 = 13 a32 = 2.3 + 3.2 = 12

es decir

a12 = 2.1 + 3.2 = 8 a21 = 2.2 + 3.1 = 7 a24 = 2.2 + 3.4 = 16 a33 = 2.3 + 3.3 = 15

a13 = 2.1 + 3.3 = 11 a22 = 2.2 + 3.2 = 10 a31 = 2.3 + 3.1 = 9 a34 = 2.3 + 3.4 = 18

 5 8 11 14    A   7 10 13 16   9 12 15 18   

Matriz rectangular.- Es aquella en la que no coinciden el numero de filas con el de columnas. Se escribe Anxm donde n  m. Matriz fila es la que tiene por dimensiones 1xm Matriz columna es la que tiene por dimensiones nx1

Matriz cuadrada.- es aquella en el que el numero de filas y de columnas coinciden. Se escribe Anxn y diremos que son de orden n. En una matriz cuadrada llamaremos diagonal principal a los elementos que van desde el vértice superior izquierdo al vértice inferior derecho y serán todos los aij / i=j En una matriz cuadrada llamaremos diagonal secundaria a los elementos que van desde el vértice superior derecho al vértice inferior izquierdo y serán todos los aij / i+j = n+1 donde n es el numero de filas o columnas. Matriz nula.- Es aquella matriz que tiene todos sus elementos iguales a 0. Puede ser cuadrada o no. Se representa por Onxm y es tal que aij = 0  i,j Matriz diagonal.- Es toda matriz cuadrada en la que todos sus elementos son nulos excepto los de la diagonal principal que pueden ser ceros o no.

 a 0 0    0 b 0 0 0 c  

 3 0 0   0  2 0 0 0 6  

0 0 0   0 3 0 0 0 4  

Matriz escalar.- es toda matriz cuadrada y diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales.

k 0 0   A  0 k 0  k  0 0 0 k    Matriz unidad.- Es toda matriz cuadrada, diagonal y escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. aij = 0 si i  j Se representa por I y sus aij son tales que aij = 1 si i = j

1 0 0   I   0 1 0 0 0 1   Matriz simétrica.- Es toda matriz cuadrada en la que coincide sus elementos conjugados, es decir, aij = aji  i y  j. Esto quiere decir que todos los elementos son simétricos respecto de la diagonal principal.

a b  b d c e 

c  e f 

 2 1 3   y  1 0 4  son matrices simétricas  3 4 5  

El producto de dos matrices simétricas no tiene porque ser simétrica.

Matriz antisimetrica.- Es toda matriz cuadrada en la que aij = - aji  i  j y que solo se verificara cuando todos los elementos de la diagonal principal sean ceros.

a b  0  2 1  0     0 3  son matrices antisimetricas.  a 0 c y  2   b  c 0  1  3 0     El producto de dos matrices antisimetricas no tiene porque ser antisimetrica. Matriz triangular.- Es toda matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos situados por debajo o por encima de la diagonal principal. 3 4 5  2 0 0      0 6 1  es triangular inferior.  3  1 0  es triangular superior. 0 0 4  4 0 3    

Operaciones con matrices. Suma de matrices Dadas dos matrices A y B de igual orden nxm, llamaremos matriz suma a otra matriz de igual dimensión nxm y cuyos elementos se obtengan sumando los elementos homólogos de A y de B. cij = aij + bij

3   2  4 3  2 1 3  6 5 2   2 3  1  4 2           2 4 2    1 2  4    2  1 4  2 2  4    1 6  2  5 6  3  2  4 3   5  2 6  4  3  3  7 2 0          Propiedades: La suma de matrices es ley de composición interna. Asociativa:  A,B,C  Mnxm ==> A + (B + C) = (A + B) + C Conmutativa:  A,B  Mnxm ==> A + B = B + A  elemento neutro: Será la matriz nula Onxm / A + O = O + A = A  elemento simétrico: Será la matriz opuesta -A , tal que  A,  -A /

A + (-A) = O

Con estas propiedades el conjunto de las matrices respecto de la operación suma posee estructura de grupo abeliano o conmutativo con elemento neutro.

Ejemplo:

Dadas las matrices A = (aij) y B = (bij) de dimensiones 3x4 y siendo

aij = i - j y bij = (-1)i+j + 2j-1 , calcular A + B

 0 1  2  3  2 1 5 7  2 0 3 4       A  B   1 0 1  2   0 3 3 9   1 3 2 7 2 1 0  1   2 1 5 7   4 2 5 6  

Producto de una matriz por un número. Dada una matriz A de dimensiones nxm y un numero real  , el producto será otra matriz .A , de igual orden nxm y cuyos elementos se obtengan multiplicando todos los elementos de A por el numero 

 1 2 3   5 10 15      5   2 0 1   10 0 5   1  1 2   5  5 10      Propiedades: Distributiva del producto respecto de la suma de matrices .(A + B) = .A + .B Distributiva del producto respecto de la suma de escalares ( + ).A = .A + .A Asociativa mixta: .(.A) = (.).A  elemento neutro en los escalares: 1.A = A Al cumplir estas cuatro propiedades y las anteriores de la suma, el conjunto de las matrices tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales. Ejemplo: Sean dos matrices A y B de dimensiones 3x4 tales que aij = i + 2j y bij = 2i - j calcular la matriz 3A - 2B y -2A + 3B

3 5 7 9   1 0  1  2   9 15 21 27   2 0  2  4          3 A  2 B  3   4 6 8 10   2   3 2 1 0   12 18 24 30    6 4 2 0   5 7 9 11  5 4 3 2  15 21 27 33  10 8 6 4     =

 7 15 23 31    =  6 14 22 30   5 13 21 29   

  6  10  14  18   3 0  3  6    3  10  17  24         2 A  3B    8  12  16  20    9 6 3 0    1  6  13  20    10  14  18  22  15 12 9 6   5  2  9  16    

Producto de matrices. Dos matrices A y B son multiplicables solo si el número de columnas de la matriz multiplicando es igual al número de filas de la matriz multiplicadora. Anxm.Bmxp La matriz resultante tendrá igual número de filas que la matriz multiplicando y el mismo numero de columnas que la matriz multiplicadora. Cnxp Para calcular el elemento cij se multiplicara cada término de la fila i de A por cada término correspondiente de la columna j de la matriz B y luego se sumaran todos los productos obtenidos. Ejemplos:

 1 2   a   a  2b          ;  3 4   b   3a  4b  a b c    a  2d  3g b  2e  3h c  2 f  3i   1 2 3      d e f      4 5 6   g h i   4a  5d  6 g 4b  5e  6h 4c  5 f  6i     4 7   1 2 3   4  1  7  4 4  2  7  5 4  3  7  6   32 43 54              3 8   4 5 6   3  1  8  4 3  2  8  5 3  3  8  6   35 46 57  1  3 4 1     3  1  4  2  1  3   14      2         2 7 6   3   2  1  7  2  6  3   34     1 0 2   2 3 7   4 1 0   2  1  3  4  7  2 2  0  3  1  7  7 2  2  3  0  7  1  28 52 11 2 7 1  

Ejemplo:

 3 1 2 2    Sean y A    4 2  1 B   3  3 1 2 2     3 1 2  3 1    2 A  A  A    4 2  1    4 2  3 2 1  3 2   

1  5  Hallar A2 y A.B  4  2   11 7 9      1    23  1  12  1   11 7 9 

 3 1 2   2  1   13  6        A  B    4 2  1   3 5     4 18   3 1 2   2  4   13  6        Propiedades: Asociativa: Anxm.(Bmxp.Cpxq) = (Anxm.Bmxp).Cpxq Distributiva del producto respecto de la suma: Anxm.(Bmxp + Cmxp) = Anxm.Bmxp + Anxm.Cmxp (Anxm + Bnxm).Cmxp = Anxm.Cmxp + Bnxm.Cmxp En general no es conmutativa A.B  B.A bien por que no exista alguno de los dos productos, bien porque sus resultados den matrices de diferentes ordenes o bien porque aun siendo del mismo orden sus resultados sean distintos.

1 3     2 3  1 0 2  B    C   0  2  Sean las matrices A    1 0  2 1 0 2 0   

 1 0  D    2 3

1 3    2 3     0  2  no es multiplicable mientras que A.C  C.A ya que  1 0  2 0    1 3   5 3    2 3       2 0  si lo es.  0  2     2 0   1 0  4 6    

1  1 0 2     0 B.C  C.B ya que   2 1 0  2  1 3   7  3 2    1 0 2       4 2 0   0  2     2 0   2 1 0  2 0 4    

3    5 3  mientras que  2    2 8    0  es de diferente orden.

 2 3   1 0  4 9        A.D  D.A ya que   1 0  2 3   1 0

mientras que

  1 0   2 3    2  3         Los dos productos son realizables, sus resultados 6   2 3  1 0  7 tienen igual dimensión, pero son diferentes. En los casos especiales en que A.B = B.A se dice que las matrices son permutables.

En este caso se verifica que (A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2 Si no son permutables (A + B)2 = (A + B).(A + B) = A2 + A.B + B.A + B2 Dentro de las matrices cuadradas  elemento neutro que será la matriz I tal que: In.An = An.In = An

Matriz transpuesta. Dada una matriz A de dimensiones nxm, llamaremos matriz transpuesta de A y la designaremos por At o por A', a otra matriz de dimensiones mxn y que se obtiene cambiando filas por columnas y columnas por filas, sin alterar su orden.

3  1   1  2 0  t   A    2 4  Si A    3 4  1  0  1   Propiedades: a) La transpuesta de la suma de dos matrices es igual a la suma de las transpuestas de cada matriz. (A + B)t = At + Bt b) La transpuesta del producto de dos matrices es igual al producto de las transpuestas en orden inverso. (A.B)t = Bt.At c) La transpuesta de la transpuesta de una matriz es la propia matriz. (At)t = A d) La transpuesta del producto de un escalar por una matriz es igual al producto del escalar por la transpuesta de la matriz. (k.A)t = k.At e) Si A es simétrica ==> At = A f) Si A es antisimetrica ==> A = -At

Matriz inversa. Dada una matriz cuadrada A, llamaremos matriz inversa de A, a otra matriz X, si existe, tal que A.X = X.A = I donde A,X e I tendrán el mismo orden. A dicha matriz se le designa por A-1 A la matriz A se le llamara inversible y a la matriz A-1 matriz inversa. Además la definición es simétrica de forma que (A-1) –1 = A También podemos asegurar que el producto es conmutativo y que las matrices A , X e I deben ser cuadradas y del mismo orden . Si la matriz A no es cuadrada, no será invertible y por tanto no poseerá matriz inversa.

Ecuaciones matriciales. Una ecuación matricial es una ecuación en la que la incógnita es una matriz y no un numero. X·B + X·C = X· (B+C) A·X + C·X = (A+C) · X X2 + X·B = X· (X + B) X2 + X = X·X + X = X· (X+I) X2 – 5X = X·X – 5X·I = X· (X – 5I) = (X – 5I) ·X * A·X – B = X  A·X – X = B  (A – I) ·X = B  (A – I)-1· (A – I) ·X = (A – I) ·B -1

 X = (A – I)-1 · B * A·X = A + B  A-1·A·X = A-1 · (A + B)  X = A-1 ·(A + B)

*

A·X = B  A-1·(A.X) = A-1·B  (A-1·A)·X = A-1·B  I·X = A-1·B  X = A-1·B

DETERMINANTES. Determinante de 2º orden.

 a11 a12   al número Llamamos determinante de la matriz cuadrada de 2º orden A    a 21 a 22  real a11.a22 - a12.a21 que se obtiene multiplicando los elementos de la diagonal principal y restándole el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Se representa por A Determinante de 3º orden.

 a11 a12 a13    Llamamos determinante de la matriz cuadrada de 3º orden A   a 21 a 22 a 23  al a   31 a32 a33  numero real (a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) - - (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33) Una manera practica de recordar estos sumandos es la regla de Sarrus Ejemplo 2 3

5 A 4 7 3  2  7  1  4   8  5  3  3   2  5  7   2  3   8  2  3  4  1 =  2 8 1 = ( 14 - 160 - 18 ) - ( -70 - 48 + 12 ) = -164 - ( -106 ) = - 58 Ejemplo 2 3 4

B   1 5 6  2  5  9  4   1  8  3  6   7   4  5   7   2  6  8  3   1  9  7 8 9 = 90 - 32 - 126 + 140 - 96 + 27 = 3

Propiedades de los determinantes. 1.- Un determinante que tiene todos los elementos de una línea (fila o columna) iguales a 0, vale siempre cero. 3 1 4

0 0 0 0 2 8 6

2.- Un determinante que tiene dos líneas paralelas iguales es siempre nulo. 2 1 2

1 0 1 0 6 8 6

por tener la 1ª y la 3ª columna iguales

3.- Un determinante en el que los elementos de una línea son múltiplos de los elementos de una línea paralela a ella, es siempre nulo. 4 1 3

8 5

2 7

6  0 4

porque f2 = f1.(-2)

4.- Un determinante en el que los elementos de una línea son combinación lineal de los de otras líneas paralelas a ella, es siempre nulo. 1 3 7

2 0 2 0 1 1 1

porque c3 = c1 + 2.c2

5.- El valor de un determinante no varia si se cambian las filas por las columnas sin alterar el orden relativo de los elementos de cada una. Es lo mismo que decir que At = A  1 2 0 1 2 2

2 0 3  2 2 1 1 0

0 3

1 1

6.- Un determinante no varia al sumar a los elementos de una línea, los correspondientes de otra paralela a ella multiplicados por un numero , los de otra multiplicada por , etc. a b c a  3b  2c b c

d g

e h

f  d  3e  2 f i g  3h  2i

e h

f i

7.- Si se cambian entre si dos filas ( o dos columnas ), el nuevo determinante tiene el mismo valor absoluto pero cambia de signo. 2 1 3 1 2 3

0 2 4  2 0 4 1 3 0 3 1 0

He cambiado c1 c2

8.- Si se multiplican ( o dividen ) todos los elementos de una línea por un mismo numero  , el valor del determinante queda multiplicado ( o dividido ) por el numero  . 1 2 0 1 2 0 Si  2 0 1  9   2 0 5  5  9  45 2 1 1 2 1 5 por 5.

ya que la c3 la he multiplicado

9.- Si en un determinante todos los elementos de una línea son múltiplos de un mismo numero , se puede sacar este numero como factor. 2 4 3 1 1 3 1 1 3

4  4 1  2   4  2 1 1  8  2 1 1 6 4 0 3 1 0 3 1 0

10.- Si se multiplican todos los elementos de un determinante A de orden n por un mismo numero , el valor del nuevo determinante será n.A  a b c 5a 5b 5c Si d g

e h

f  A  5d 5e 5 f  53  A i 5 g 5h 5i

11.- Si los elementos de una línea constan de h sumandos, el determinante se podrá descomponer en suma de h determinantes, que tienen iguales a el, las restantes líneas y en lugar de aquella, la formada por los primeros sumandos, por los segundos, etc. x yz a d x a d y a d z a d

t uv qrs y la c3

b c

e  t b f q c

e u b f r c

e v b f s c

e f

se mantienen idénticas la c2

12.- El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. a 0 0 0 b e 0 0  aeh j c f h 0 d g i j 13.- El determinante del producto de dos matrices cuadradas A y B, de igual orden, es igual al producto de los determinantes de A y de B. A B  A  B

Menor complementario. Dada una matriz cuadrada A de orden n, llamaremos menor complementario del elemento aij, al determinante de orden n-1, que se obtiene suprimiendo la fila i y la columna j en el A. Se simboliza por ij.

2 1 Dada A  2 1

 24

 32

1 3 4 5 2 1 3 4 0 7 0 3

1 5 1  13   2 3 0  9  14  3  30  38 1 7 3

2 1 3   2 3  4  42  4  9  56  1 1 7 0

2 3 4   1 2 1  12  3  8  9  26 1 0 3

Adjunto de un elemento. Llamamos adjunto del elemento aij de una matriz cuadrada A, al valor del menor complementa-rio correspondiente, afectado del signo + o - según que la suma de los subíndices i + j sea par o impar Se representa por Aij = (-1)i+j.ij En la matriz A4x4 anterior, calculemos A31 y A43

A31   1

31

A43   1

43

1 3 4  5 2 1  6  21  56  45  4 7 0 3

2 1 4   1 5 1   12  2  40  6  20 2 3 0

Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. Todo determinante de orden n, se puede calcular como la suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera por sus adjuntos correspondientes. 1 2 0 3 1 3 3 2 3 3 2 1 3 2 1 3 3  1  4  3  8  2  3  3  8   3  3 4  3  3 4 3 8 2 4 2 1 4 2 1 2 4 1 2 4 2 = ( - 6 + 48 - 48 + 18 + 32 - 24 ) - 2.( -12 + 36 + 24 - 9 + 64 - 18 ) + + 3.( 32 + 18 + 3 + 12 + 12 -12 ) = 20 – 2·85 + 3·65 = 45 Por este procedimiento el calculo de un determinante de orden n se reduce a calcular n determinantes de orden n - 1, estos se reducen a otros de orden n - 2 y así sucesivamente hasta llegar a determinantes de orden 3 que se calculan por Sarrus.

Regla de Chio. Esta regla sirve para el cálculo de determinantes de orden superior a tres. Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante este toda ella formada por ceros, excepto uno de sus elementos que valga la unidad. De esta forma al desarrollar por los elementos de dicha línea, se anularan todos los sumandos a excepción del elemento en donde este el 1 y así reduciremos el orden del determinante en una unidad. a) Se observa si hay algún 1 en el determinante. Se elige la fila o columna que contenga a dicho 1 y al mayor numero de ceros posibles. Si no existe ningún 1 en el determinante se elige la línea que contenga mayor numero de 0. Dividimos los elementos de esa línea por uno de ellos, de forma que consíganos un 1 en dicha línea. "Atención", después de esta operación, el valor del nuevo determinante habrá que multi-plicarlo por el numero que dividimos anteriormente. También se puede conseguir que algún elemento valga 1, restando una línea de otra paralela, siempre que existan dos elementos que ocupen el mismo lugar y que difieran en una unidad. b) Una vez conseguido el 1 en una línea, habrá que hacer 0 los demás elementos de la fila o columna en donde se halle. Para ello realizaremos combinaciones lineales con líneas paralelas según nos interese.

Ejemplo:

5 4 1 0

3 3 1 2

2 1 2 2

3 1  1  1 3

0  2 8  2  2 8  2 2 8 2 0 1  7  3  2  1   1  7  3  3   1   1  1 7 3  1 1 2 1 2 2 3 2 2 3 0 2 2 3

 4  42  48  4  28  24  12  30 (1) elegimos la columna 1ª por poseer un 1 y un 0. Dejamos fija la 4ª fila donde se encuentra el 0, y tratamos de hacer ceros en las filas 1ª y 2ª con combinaciones lineales con la 3ª fila. f1 - 5.f3  f1 f2 - 4.f3  f2 (2) Desarrollamos por los elementos de la 1ª columna : a31.A31 (3) Dividimos las filas 1ª y 2ª por -1, con lo que el nuevo determinante viene multiplicado por (-1).(-1) (4) Desarrollamos por Sarrow.

Calcular 2 1 3 1 1  2 3 1  1  4 1 2 2 1 3 1 2

0 1 0 0 5 3 1 5 2 3 1  2  1   1  2 5 3  2 1 5 3  5 8 1 5 3 8 1

 3   1   25  16  45  25  120  6  85

(1) Al no haber ningún cero, elegimos la fila 1ª por poseer dos 1. Dejamos fija la columna 2ª y hacemos combinaciones lineales con dicha columna para conseguir ceros en las columnas 1ª, 3ª y 4ª. c1 - 2.c2  c1 c3 + 3.c2  c3 c4 c2  c4 (2) Desarrollamos por los elementos de la 1ª fila : a12.A12 cuidando que el adjunto ahora es negativo. (3) Desarrollamos por Sarrow.

Calcular

2 4 0 3 0 2 2 3  1  3 3 2 0 2 4 3 2

2 1 0 1 3 3 2 6

0 3 2 3  2  2 0 3 2

0 1 2 1 9 3 14  6

0 0 2 2 6 2 6  3  1   1  9 2 9  2 9 14 3 20 3 20

1 1  3 0 1 0 11 15  4    1  2  9 2 9  5   2   11 2 15  6    2   1   1   7   17 29 14 3 20 17 3 29  2  319  225  128 (1) Al no haber ningún 1, buscamos dos líneas paralelas en las que alguno de sus elementos correspondientes difieran en una unidad. Elegimos las columnas 2ª y 4ª. Restamos c2 - c4 --> c2 . Dejamos iguales las columnas 1ª y 3ª. (2) Fijamos la columna 3ª en la que hay un 0 y fijamos la columna 2ª con la que haremos las combinaciones lineales para hacer ceros en las columnas 2ª y 4ª. (3) Desarrollamos por los elementos de la 1ª fila a12.A12 teniendo en cuenta que el adjunto es negativo. (4) Dividimos la 1ª fila por 2 con lo que el nuevo determinante queda multiplicado por 2. (5) Aquí podíamos haber resuelto por Sarrus, pero continuaremos dejando fija la 2ª columna para hacer ceros en la 1ª y 3ª columna con combinaciones lineales con la 2ª fijada. c1 + c2  c1 c3 + 3.c2  c3 (6) Desarrollamos por los elementos de la 1ª fila a12.A12 teniendo de nuevo en cuenta que el adjunto calculado es negativo. (7) Desarrollamos por Sarrus el determinante de orden dos que nos queda.

Determinante de Vandermonde. Es el formado por las potencias sucesivas de n números distintos: a, b, c,.... g, h, ordenadas de la siguiente forma:

1 a a2   a n 1

1 b b2   b n 1

1 c c2   c n 1

     

 1  h  h2      h n 1

Este determinante es igual al producto de todas las diferencias obtenidas restando cada numero a,b,c,.., de todos los que le siguen. Ejemplo:

1 1 1 1 2 4 7 9  4  2  7  2  9  2  7  4  9  4  9  7   2  5  7  3  5  2  2100 4 16 49 81 8 64 343 729

Matriz inversa. Dada una matriz cuadrada A, llamaremos matriz inversa de A, a otra matriz X, si existe, tal que A.X = X.A = I donde A,X e I tendrán el mismo orden. A dicha matriz se le designa por A-1 La condición necesaria y suficiente para que exista matriz inversa es que dicha matriz sea regular o lo que es lo mismo que su determinante sea distinto de cero. Para calcular la inversa de una matriz A, calcularemos la matriz transpuesta de la matriz adjunta de A y lo dividiremos por el valor del determinante de dicha matriz A.

A

1

A  

d t

A

La matriz Ad se calcula, hallando todos los adjuntos de todos los elementos de la matriz A Si A  0 no existiría matriz inversa pues todos sus términos tendrían que venir divididos por 0 y me quedaría una matriz de elementos infinitos, con lo que no existiría. También se puede calcular primero la matriz transpuesta de A y luego la matriz adjunta de la At, para luego dividir por el valor del determinante.

Ejemplos:

2 1  Hallar la A-1 de la matriz A    3 4

A  83  5  0

A11 = 4 A12 = - 3 A21 = - 1

A 1 

A22 = 2

A 

d t

 4  1     3 2 

1  4  1  4 / 5  1 / 5     5   3 2    3 / 5 2 / 5 

Hallar la inversa de la matriz

A 2

A11 

A21 

0 0 0 0 1

A22 

2 0 2 2 1

A33 

2 0 2 3 1

1  13 2 A 0 2 0 0  10 2 d

 4  3  A d   1 2 

1 5 1 0 1

 2 0 0    3 1 5   2 0 1  

A12 

3 5  13 2 1

A23 

2 0 0 2 0

A 

 1 0 0       13 2  10   2 0 2   

d t

A31 

A13 

0 0 0 1 5

3 1 2 2 0

A32 

2 0  10 3 5

0 0   1/ 2   A    13 / 2 1  5   1 0 1   1

Propiedades: a) Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden y regulares, se verifica que la inversa del producto de dos matrices es igual al producto de sus inversas en orden inverso. (A·B)-1 = B-1.·A-1 b) Si A es una matriz regular se verifica que la inversa de la transpuesta es siempre igual a la transpuesta de la inversa. (At)-1 = (A-1)t c) La inversa de la inversa de una matriz regular es la propia matriz A. (A-1)-1 = A La matriz inversa facilita la resolución de ecuaciones matriciales de la forma: A·X = B ==> A-1·(A·X) = A-1·B ==> (A-1·A)·X = A-1·B I·X = A-1·B ==> X = A-1·B

3 1  6 1 13   ; B    Ejemplo: Resolver la ecuación A·X = B siendo A   5 2 10 1 23  Como hemos visto X = A-1.B Calculemos A-1

A  65 1 0

 2  5  A d   1 3 

 2  1  A 1    5 3 

 2  1  6 1 13   2 1 3         X     5 3  10 1 23   0  2 4  Si la matriz A es de orden superior a tres, el calculo de los adjuntos seria muy laborioso y por ello en cursos superiores emplearemos el método de Gauss y otros métodos para calcular matrices inversas.

RANGO DE UNA MATRIZ. Menor y rango de una matriz. Dada una matriz de dimensiones cualesquiera (no tiene porque ser cuadrada) de orden mxn, se llama menor de orden h al determinante de cualquiera de las submatrices cuadradas de orden hxh que se obtienen suprimiendo de todas las formas posibles m-h filas y n-h columnas de la matriz original. Llamamos menor principal de orden h, al determinante formado por las h primeras filas y las h primeras columnas y que su valor sea distinto de cero. Ejemplo:

 2 1 0  1    2 1 2 1  Sea A   0 3 1 Si eliminamos f2, f3, f4, f5, c2, c3, c4 nos queda un 0    1 0 1  1 1 2 0 0   menor de orden 1 formado por la matriz ( 2 ) y cuyo determinante es  0. Además será un menor principal por estar formado por la 1ª fila y la 1ª columna.  2 1  cuyo determinante no es Si eliminamos f3, f4, f5, c3, c4 nos queda la submatriz   2 1 un menor de orden 2 pues su determinante vale cero.  2 1  que si es un menor de Si eliminamos f2, f4, f5, c3, c4 nos queda la submatriz   0 3 orden 2 pues su determinante vale 6. Además será un menor principal de orden 2 por estar formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas.

Si ordenamos la matriz A cambiando la f3 por la fila f2 nos queda  2 1 0  1   0 0 3 1 A 2 1 2 1     1 0 1  1 1 2 0 0  

2 1 0    Si ahora suprimimos f4, f5, c4 nos queda la submatriz  0 3 1  cuyo  2 1  2   determinante vale -12 distinto de cero. Dicha submatriz será un menor de orden 3 y además será un menor principal por estar formado por las tres primeras filas y las tres primeras columnas.

2  0 Si ampliamos dicho menor principal con la f4 y la c4 nos queda  2  1  cuyo determinante se ha de calcular por la regla de Chio. Elegimos la fila 4 para hacer ceros. c3 - c1 ,

2 0 2 1

1  2  1  3 1 0 1 2 1   0 1  1

c4 + c1 y nos queda

1 2 1  1 2 1  3 1 0     1  3 1 0   3  12  1  18  8  0 1 4 3  1  4 3   0 0 0

La submatriz de orden 4 formada es por tanto un menor principal de orden 4 por estar formada por las cuatro primeras filas y las cuatro primeras columnas y valer su determinante distinto de cero. No existe un menor de orden 5 por no poderse formar una submatriz cuadrada de orden 5. Llamamos rango de una matriz A, al numero h, que nos da el orden mayor de los menores principales no nulos y tal que todos los menores de orden superior a h son cero o no existen. En nuestro ejemplo de la matriz A, el mayor principal obtenido es de orden 4 por lo que el rg A = 4 Propiedades del rango de una matriz. a) Si en la matriz A, se intercambian entre si dos líneas paralelas, se obtiene otra matriz B, de igual rango que la de A. b) Si una línea de la matriz A, esta formada por ceros, el rango de A es igual al rango de la matriz B que se obtiene suprimiendo dicha línea de ceros. c) Si en la matriz A, se suprime una línea que sea combinación lineal de otras varias paralelas, se obtiene una nueva matriz B, de igual rango que la matriz A. Llamamos rango por filas de una matriz A, al numero máximo de filas linealmente independientes. Llamamos rango por columnas de una matriz A, al numero máximo de columnas linealmente independientes.

Calculo practico del rango de una matriz. Ejemplo:

2 3 2 4   1   3  1  2  4 1 A 1 2 10  3 11     2  4 1 0 2  

al ser la c2 = 2.c1 podemos eliminar dicha columna c2

3 2 4   1   3  1  2 1 por ser combinación lineal de c1. Tomamos un rgA  rg  1 10  3 11     2 1 0 2   menor principal de orden 2 formado por las dos primeras filas y dos primeras columnas. 1 3  1 6  7  0 2 1 Ampliamos a un menor tres por tres

1 3 2 2 1 3  3  18  40  2  18  30  0 . es 1 10  3

menor principal de orden tres.

Ampliamos a un menor de orden 4

1 3 2 4 c1  2c 2 2 1 3 1  1 10  3 11 c 4  2c 2 2 1 0 2

7 3 2 2 0 1 3 3 = 21 10  3  9 0 1 0 0

1 · A42 =

7 2 2 1 2 2 1 2 2  0 3  3  7  0 3  3  7  3  3  0 1  1  63   3  2  2  1  0 21  3  9 3 3 9 1 1  3 No existe menor principal de orden 4, con lo que el rg A = 3.

Ejemplo:

3  2 1 1 0    2 5 1 2 0 rgA = rg  Tomamos un menor principal de orden 2 formado por 7 10 7  2 3    1  2 5 4 1   las dos primeras filas y dos primeras columnas. menor tres por tres

1 0 50 2 5

Ampliamos a un

1 0 3 2 5  1  35  60  70  10  35  0 7 10 7

Ampliamos a un menor de orden 4

=1·A11 5 7

es menor principal de orden tres.

1 0 3 2 c3  3c1 2 5 1 2  7 10 7  2 c 4  2c1 1 2 5 4

1 0 0 0 2 5 7 6 7 10  14 12 1 2 2 6

6 5 7 6  10  14 12  2  2  5  7 6  0 No existe menor principal de orden 4, 2 2 6 1 1 3 con lo que rg A = 3

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Llamamos sistema de ecuaciones lineales con coeficientes reales al conjunto de igualdades siguientes: a11x1 + a12x2 + ...... + a1nxn = b1 Este sistema tendrá m ecuaciones con n incógnitas. a21x1 + a22x2 + ...... + a2nxn = b2 Los aij son números reales llamados coeficientes de . . . . las incógnitas. am1x1 + am2x2 + ...... + amnxn = bm Los bij son los llamados términos independientes. Los xj representan números reales desconocidos llamados incógnitas del sistema. Llamamos matriz de coeficientes a la matriz cuyos elementos son los coeficientes de las incógnitas. Llamamos matriz ampliada a la obtenida al añadir a la matriz de coeficientes, una nueva columna formada por los términos independientes.  a11 a12   a1n   a11 a12  a1n  b1       a 21 a 22   a 2 n   a 21 a 22  a 2 n b2  C        A                         a  a   m1 a m 2 . . a mn   m1 a m 2 . a mn bm 

Llamamos solución de nuestro sistema al conjunto de vectores S(s1,s2...sn) que al sustituirlos respectivamente por x1,x2,...xn , convierte a las m igualdades en m identidades numéricas. Resolver por tanto nuestro sistema es averiguar si el conjunto S posee elementos y en caso afirmativo, calcularlos. Los sistemas pueden no tener solución y se llaman INCOMPATIBLES. Pueden tener infinitas soluciones y se llaman COMPATIBLES INDETERMINADOS. Pueden tener un numero finito de soluciones y se llaman COMPATIBLES DETERMINADOS. Dos sistemas serán equivalentes cuando posean las mismas soluciones. Si en un sistema S, se suprime una ecuación que sea combinación lineal de las restantes, el nuevo sistema S´ será equivalente al S. Para resolver un sistema S, basta con resolver un sistema equivalente S´en el que ninguna ecuación sea combinación lineal de las restantes.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES.

Sistema de Cramer. Regla de Cramer. Llamamos sistema de Cramer al formado por n ecuaciones y n incógnitas y tal que la matriz de coeficientes C sea una matriz cuadrada y regular, es decir que C  0 . Dicho sistema será equivalente en forma matricial a ·C.X = B dondeCXXx  x1   b1       a11 a12   a1n    b   x2  C        X   B 2   a       n1 a n 2   a mn  b  x   n  n La regla de Cramer dice que todo sistema de Cramer tiene solución única dada por C 1  C  X  C 1  B  I  X  C 1  B  X  C 1  B

Resolviendo la nueva ecuación matricial nos queda que:

xi 

a11   a n1

. b1      bn

 a1n      a nn

C

en donde hemos sustituido la columna i de la matriz C

por la columna matriz B.

Ejemplo: 2x  3y  z  6 Resolver el sistema x  5 y  25  4 3x  2 y  3z  6

El sistema es de Cramer por tener igual numero de ecuaciones que de incógnitas y porque 2 3 1

C  1  5 2  30  18  2  15  8  9  32  0 3 2 3

Su solución será: x 

y

z

2 6 1 1 4 2 3 6 3 C

2 3 6 1 5 4 3 2 6 C





6 3 1 4 5 2 6 2 3 C



90  36  8  30  24  36 32  1 32 32

24  36  6  12  24  18 96  3 32 32

60  36  12  90  18  16 160  5 32 32

Teorema de Rouche-Frobenius. La regla de Cramer nos permite resolver sistemas de ecuaciones en el caso particular de que haya igual número de ecuaciones que de incógnitas. Con el teorema de Rouche podemos ampliar al caso de que n  m. Si el rg C  rg A el sistema no tendrá ninguna solución real. Si el rg C = rg A = h el sistema tendrá solución. Si h = nº de incógnitas, la solución será única. Si h < nº de incógnitas, existirán infinitas soluciones. En definitiva, la discusión de un sistema de n ecuaciones con m incógnitas es la siguiente: Si rg C  rg A no existe solución ===> sistema incompatible. Si rg C = rg A = nº de incógnitas deter minado.

tiene una única solución  sistema compatible

Si rg C = rg A < nº de incógnitas indeter minado.

tiene infinitas soluciones  sistema compatible

Para resolver el sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones podemos usar el método de Cramer.

2x + 3y - z + t = 5 Resolver el sistema x + 2y + z - 2t = 8 x + y - 2z + 3t = -3 Por Cramer: Partimos de un menor principal de orden 2

2 3  4  3  1  0 Ampliamos a un 1 2

2 3 1 1 2 1  8  3  1  2  2  6  0 1 1 2

menor de orden 3.

2 3 1 1 2  2  12  6  1  2  4  9  0 1 1 3 Como los dos únicos menores que puedo formar de orden 3 son nulos, el rg C tiene que ser 2 Al ampliar el menor principal de orden 2 con los términos independientes me queda:

2 3 5 1 2 8  12  24  5  10  16  9  0 1 1 3 Como el único menor de orden 3 que puedo formar es nulo, el rg A tiene que ser 2. Si rg C = rg A < nº de incógnitas ==> Sistema compatible indeterminado. Para resolverlo, despejamos las dos primeras incógnitas x e y , en función de la tercera incógnita z, en las dos primeras ecuaciones.

2x + 3y = 5 + z - t Es un sistema de Cramer de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. x + 2y = 8 - z + 2t

5 z t 8  z  2t x 2 3 1 2

3 2



10  2 z  2t  24  3z  6t  14  5 z  8t 43

2 5 z t 1 8  z  2t 16  2 z  4t  5  z  t y   11  3z  5t 2 3 43 1 2

Llamando z =  y t = 

x  14  5  8 y  11  3  5 z t

Al discutir por Cramer, si el numero de ecuaciones es igual o menor que el numero de incógnitas, se empieza a buscar los menores principales por la matriz C, para luego ampliarla a la A.

Ejemplo: 2 x  y  2 z  2 x yz 0 Discutir y resolver el sistema x  2y  z  8 2x  2 y  6

Por Cramer: Al haber mas ecuaciones que incógnitas, empezaremos calculando el rango de la matriz ampliada A.

2 1  2  2 4  5 0 14 f1  2 f 3 4  5 14 1 1 1 0  2 3 0 8 c :2  11   2 3  8 3  1 2 1 8 1 2 1 8  2 2 6 f2  f3 2 2 0 6 2 2 0 6

4 5 7  2   2 3  4  2  36  28  40  42  32  30  2  0  0 2 2 3 Al ser el único determinante de orden 4 igual a cero no existe un menor principal de orden cuatro. Veamos si existe algún menor de orden 3

2 1  2 1 1 1  2 1 4  2  4 1  2  0 1 2 1

Si existe , por tanto el rg A = 3.

Como el determinante escogido es también un menor de orden 3 de la matriz C, podemos asegurar que el rg C = 3 Si rg C = rg A = 3 = nº incógnitas  sistema compatible determinado. Existe una única solución.

Para resolverlo eliminamos la ultima ecuación, pues el rango lo hemos obtenido con las tres primeras ecuaciones. 2 x  y  2 z  2 x yz 0 x  2y  z  8

x

y

z

 2 1  2 0 1 1 8 2 1 C 2 2 2 1 0 1 1 8 1 C 2 1  2 1 1 0 1 2 8 C



 2  8  16  4 2  1 2 2



 2  16  16  2  4   2 2 2



16  4  2  8 6  3 2 2

Sistemas homogéneos. Llamamos sistema homogéneo de n ecuaciones con m incógnitas, al sistema en el que todos los términos independientes de las ecuaciones que forman el sistema son nulos, es decir b1 = b2 = .... = bn = 0 Todo sistema homogéneo será siempre compatible pues el rg C será siempre igual al rg A, ya que la matriz A se forma añadiéndole a la matriz C una columna de ceros. La solución (0,0...0) será siempre solución de todo sistema lineal homogéneo y se le llamara solución impropia del sistema o solución trivial. Todo sistema homogéneo que tenga solución distinta de la trivial, admitirá infinitas soluciones, incluida la solución trivial. Si aplicamos el teorema de Rouche, diremos que la condición necesaria y suficiente para que el sistema homogéneo sea compatible es que : rg C = rg A < nº incógnitas ===> sistema con infinitas soluciones. rg C = rg A = nº incógnitas ===> la solución será única (0,0,...0).

En el caso particular de que el nº de ecuaciones coincida con el nº de incógnitas, diremos que la condición necesaria y suficiente para que el sistema sea compatible (infinitas soluciones), es que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo. En caso de no serlo, la solución será la trivial (0,0,...0). Es decir: Si C  0 ===> solución (0,0,...0) Si C = 0 ===> infinitas soluciones. Los sistemas homogéneos también se pueden discutir y resolver por Cramer y por Gauss. Ejemplo: x  5 y  4z  0 Discutir y resolver el sistema x  2 y  z  0 3x  y  2 z  0

Por Cramer:

1 5 4 Calculemos C  1  2 1  4  4  15  24  1  10  0 3 1 2

Como el menor

1 5  2  5  7  0 1 2

el rg C = 2

Eliminamos la ultima ecuación y despejamos x e y en función de z. x  5 y  4z x  2 y  z

x

y

4z 5 z 2 7 1 4z 1 z 7



Resolvemos por Cramer



 8z  5z 3  x  z 7 7

 z  4z 5  y  z 7 7

3 5  Las infinitas soluciones serán   ,  ,      7 7 

Unidad 1: Matrices.

2000

Calcula A

 0 0 2   , siendo A   0 2 0   2 0 2  

1 2

2 3  ; a) Calcula A y A , b) Halla una ley Dada la matriz A   0 1 general para calcular An .

1 2  1   Dada la matriz A   2 0  1 , calcula, si existen las siguientes  6 1 0    matrices: a) Una matriz X tal que X  A  1 0  1 . b) Una matriz Y 1 0 1  tal que A  Y   (PAU).  0 1 0

a b 

1 2

 encontrar todas las matrices P    Dada la matriz A   0 1 c d  tales que A  P  P  A (PAU Junio 2005-06).

0 a 0   Dada la matriz A   0 0 a  . Hallar An para todo numero entero 0 0 0  

positivo n.

(PAU).  2 1

 3  1

 2

1

 , B    y C    Dadas las matrices: A    0 3 2 1   3  1 comprueba las siguientes igualdades: a) A  B  C    A  B  C ; b) A  B  C   A  B  A  C ; c)  A  B  C  A  C  B  C ; d)  A  B 2 ; e) A2  B 2  2 AB

 0 1 0 1 0 1     Dadas las matrices A   0 0 1  y B   0 1 0  1 0 0 0 0 1    

Encontrar la

regla de calculo de las potencias sucesivas de A y de B, es decir An y Bn. 1 2

1 0

 , I    a) Hallar dos constantes  Dadas las matrices A   0 1 0 1 y  tales que A2    A    I . b) Calcular A5 utilizando la expresión obtenida en el apartado anterior. c) Hallar todas las matrices X que satisfacen  A  X    A  X   A2  X 2 . (PAU Septiembre 2004-05).

0 k t  1 k t      Dadas las matrices A   0 0 k  , B   0 1 k  a) Hallar A10. 0 0 0 0 0 1    

b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular k = 0, hallar B10. (PAU Septiembre 2004-05).  5 2 0  a b 0     Dadas las matrices A   2 5 0  y B   c c 0  . Se pide: a) Encon0 0 1  0 0 1    

trar las condiciones que deben cumplir a, b yc para que se verifique A  B  B  A . b) Para a = b = c = 1, calcular B10 . (PAU Junio 2006-07). 1

1 

1 0

 , I    , se pide: a) Hallar dos Dadas las matrices: A   1  2  0 1 constantes a y b, tales que A2  aA  bI . b) Sin calcular explícitamente A3 y A4, y utilizando solo la expresión anterior, obtener la matriz A5. (PAU Junio General 2009-10)

Dadas las matrices

1 0    2 0 1  y B   0 1  y las ecuaciones A    1 2 0 1 1  

matriciales X – A = B ; Y – A·B = O y Z – B·A = O a) Señala las planteadas correctamente. b) En su caso, calcula la matriz X , Y ó Z. Razona la respuesta. (PAU). Encontrar un número real   0 , y todas las matrices B de dimension   0

 3 0

  B    2x2 (distintas de la matriz nula), tales que B    3 1 9 3 (PAU Junio 2002-03).

  1

6

Expresar la matriz X    como combinación lineal de A    y  2 2  1 B     1

a a

0 0

 distintas de la matriz   Hallar todas las matrices A   0 b 0 0 tales que A2  A . b) Para una cualquiera de las matrices A obtenidas en el apartado anterior, calcular M  A  A2      A10 . (PAU Septiembre 2005-06).

1 1  1  1     Obtener, para todo numero natural n, el valor de:  1 1   1 1  n

n

(PAU Modelo 2009-10).  cos 

 sen 

 cos 

 sen 

 y B    Probar que las matrices A    sen cos    sen cos   conmutan es decir A·B = B·A . Hallar este producto. Aplicarlo para hallar A2, A3 y An , n  N.

4 8   2 A  3B   7 11   Resolver el siguiente sistema matricial 10 1   5 A  2 B    8 18 

(PAU).

Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales: 7 3 X  2Y   16  6 X  3Y    2

3  4  12   27 

(PAU).

Resuelve los sistemas matriciales: 1

0

 a) 2 X  Y    1 1 1 3   X  Y   5  4

 2

4

 b) X  Y     4 2  2 8  3Y  X    12 2 

Sea A una matriz cuadrada que verifica que A2 + 2A = I, donde I denota la matriz identidad. a) Demostrar que A es no singular (det(A)  I) y expresar A-1 en función de A e I. b) Calcular dos números p y q 0 1

 cumple la relación de partida, tales que A3  pI  qA . c) Si A   1 k  calcular el valor de k. (PAU Modelo 2001-02).

Sea A una matriz de dimensión 5x4, B una matriz de dimensión mxn y C otra de dimensión 3x7. Si se sabe que se puede obtener la matriz producto A·B·C, ¿cuál es la dimensión de la matriz B?. ¿Y la de la matriz A·B·C?. (PAU).

1 1 1   Sea A  1 1 1 1 1 1  

e I la matriz identidad de orden tres.

a) ¿Existe algún valor real, m, que verifique: (A – I ) · (A + mI) = I ? . Razona la respuesta. b) Calcula una matriz B tal que (A – I) · B = I4 . (PAU).

Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad A = I, siendo I la matriz identidad de orden n. Se pide: a) Expresar A-1 en terminos de A. b) Expresar An en terminos de A e I, para cualquier numero natural n. c) Calcular a para que A2 = I, siendo A la matriz: 2

1 1  A   0 a

(PAU Septiembre 2001-02).

Sea A una matriz mxn. a) ¿Existe una matriz B tal que B·A sea una matriz fila?. b) ¿Se puede encontrar una matriz B tal que A·B sea una matriz fila?. Si existe, ¿que dimensión tiene?. c) Busca una matriz B 1 1   tal que B  A  0 0 siendo A   0 1   0 0  

(PAU).

 1 1

10  Calcular A Sea la matriz A   a partir de la An  0 1 (PAU MODELO 2008-09)

1 a

n  : a) Para cada numero natural n, hallar A . Sea la matriz A   0 1 22 b) Calcular A – 12A2 + 2A. (PAU).

1 0 1    Sea la matriz A   2 1 1  , con b un parámetro real. a) ¿Para qué 1 0 b2     x   0     valores del parámetro b el sistema de ecuaciones lineales A   y    0   z   0    

tiene solo la solución x = y = z = 0?. Justifica la respuesta.  x  1     b) Para b = - 1 resuelve, si es posible, el sistema A   y   1  z  1    

(PAU).

 2 2  2   Sea la matriz A   2 2  2  Se pide: a) Comprobar que A3 - 2A2 = 0.  2 2  2  

b) Hallar An.

(PAU MODELO 2004-05).

1 0

 y sea n un numero natural . Encontrar el Sea la matriz A   3 1 valor de An para cada n y hallar A350 – A250 . (PAU).

1 0

 17

29 

 A    . Calcular, escribienSea I y A las matrices I   0 1   10  17  do las operaciones necesarias: a) Las matrices A2 y A5. b) Los números reales  y  para los que se verifica I  A3  I  A . (PAU).

Sean A una matriz cuadrada de orden n tal que A2 = A, I la matriz unidad de orden n y B = 2A – I. Calcula B2.  a1  Sean A y B matrices diagonales de orden tres: A   0 0   b1  B0 0 

0 b2 0

0  0 b3 

0 a2 0

0  0 a3 

Probar que A·B también es diagonal.

0 1 1 1 0 0     Sean A, I y B las matrices A   1 1 0  , I   0 1 0  y 1 0 0 0 0 1      6  3  4   B  3 2 1  Contestar razonadamente, ¿existe algún valor de   4 1 5  

real, tal que la igualdad  A  I 2  B sea cierta?. En caso afirmativo, hallar dicho valor de  . (PAU).

1  7  0 0 0  2         Sean las matrices A   2  , B   2  , C   0 1 0  y E   5  .   2 0 0 1  3  3          x   Calcular M   y  para que verifique la ecuación (A·Bt + C)·M = E z  

2  1 2 0 1 1      Se consideran las matrices A    1  1 1  y B   5 1  3  1  2 2  0 0 2     

calcula (A + B)2 , A2 + 2AB + B2 y A2 + B2 , ¿Por qué no coinciden sus resultados?. ¿Cuál seria la formula correcta para el cuadrado de una suma de matrices?. 2  1 2   Se consideran las matrices A    1  1 1  e I 3x3. 1  2 2   

Se pide: a) Hallar (A – I)2. b) Calcular A4 haciendo uso del apartado anterior. (PAU MODELO 2005-06)

Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si se verifica que A · At = I, donde At es la matriz traspuesta de A e I la matriz identidad. Si A y B son dos matrices ortogonales de igual orden, analiza si A · B es también una matriz ortogonal. (PAU). Si una matriz cuadrada A verifica A2 + 7A = I, siendo I la matriz unidad, calcula A-1 en funcion de A

Unidad 2: Determinantes Averiguar según el valor de a el número de raíces reales que tiene la x2 a ecuación a a

a x2 a a

a a x2 a

a a 0 a x2

(PAU).

Calcula el siguiente determinante, haciendo previamente ceros en la 5 1 4 2 6 7 segunda columna: 2 3 5 0 9 12

1 9 6 7

Calcula el valor de los siguientes determinantes. 1 3 A 0 1

2 0 2 2

1 0 1 3

2 1 0 1

1 3 0 2 B  1 0 0 1

0 3 4 2

2 2 2 1

Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, la a2 ab b 2 identidad: 2a a  b 2b  a  b 3 1 1 1

PAU Junio 2002-03).

Comprueba, utilizando las propiedades de los determinantes, que los siguientes determinantes, llamados de Vandermonde, verifican: 1 B  a a2

1 b b2

1 c  b  a   c  a   c  b  c2

1 a C  2 a a3

1 b b2 b3

1 c c2 c3

1 d  b  a   c  a   d  a   c  b   d  b   d  c  d2 d3

x2 1 1 1 x2 1 Comprueba que 1 1 x2 1 1 1

1 x Comprueba que la ecuación 2 x x3

1 1 3  x  1 1 1

1 1 1 2 3 4 0 4 9 16 8  27 64

tiene solo tres

soluciones sin necesidad de calcular el determinante. ¿Cuáles son?. 1 a bc Comprueba sin desarrollar que A  1 b c  a  0 1 c ab

1 1 1  1 9 1 Dada la siguiente matriz de orden n A    1  1 9      1 1 1 

    

    

 1  1  1    1

1  1 1 ,   9 

se pide a) Calcular el determinante de la matriz A2 . b) Calcular el valor del determinante de la matriz A3 . c) Calcular el valor del determinante de la matriz A5 . (PAU Junio 2007-08).  3

1

1 0

 , I    a) Comprobar que Dadas las matrices A     8 3 0 1 2 A 2   A  y que A  I  A  I . b) Sea M una matriz cuadrada de

orden 2. ¿Se puede asegurar que se cumple que M 2   M  ?. Razonar la respuesta. c) Encontrar todas las matrices cuadradas M, de orden dos, tales que: M  I  M  I . (PAU Septiembre 2005-06). 2

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n vale k. Hallar el determinante de las matrices 5A ; - A ; At y A·At .

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n es k. ¿Qué condición debe verificar k para que la matriz tenga inversa?. Cuánto vale en ese caso A 1 .

El determinante de una matriz cuadrada A de orden tres vale 16. Hallar el determinante de las matrices: a) 5A ; b) – A ; c) - 6A ; d) At ; e) At·A ; f) A·At .

El determinante

2 a 4 a2 8 a3

5 13 vale cero para a = 3. Comprobar que es 35

así sin desarrollarlo.

Encontrar las transformaciones de filas o columnas necesarias para a 1 deducir: 1 1

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 3  a  3  a  1 1 a

Halla los valores reales de a, b, c y d para que se cumplan las 3 a 1 c 1 c  2 0 1 4  197 igualdades a) 4 1 1  2 ; b) c 2 a 2 2  3 1  2 b 1 d d 2 d 1 c) b 1 b  5 ; d) 2  1 0  18 3 5 2 d 0 d

 cos   Hallar el determinante de la matriz A   sen  0 

 sen cos  0

0  0 1 

a 2 Hallar en función de a, el valor del determinante: A  3 4

a a 2 3

a a a 2

a a a a

(PAU Septiembre 1998-99)

Justifica, sin realizar calculo alguno, que: x x2 x3

y y2 y3

z 1 2 z  x yz x z3 x2

1 y y2

1 z z2

Obtén el desarrollo de los siguientes determinantes por los adjuntos 1 1 2 de la primera fila: A  3 0 1 2 1 0

1 3  2 B  0 1 2 1 4 2

Obtén, sin calcular el valor del determinante, dos soluciones para 1 1 1 x2 1 1

1 1 0 x

Obtener en función de a, b y c el determinante de la matriz 1 1  1  1 1 1  a A 1 1 b 1   1 1 1 c 

1  1 1  1

Resolver la ecuación :

(PAU).

a 1 7 2 0 a 1 5 7 0 0 0 a3 1 0 0 0 2a





2  x2 1 Resolver la ecuación: x 1 x  12

x 1 x 1 x 1

x  12 x 1  0 x2 1

(PAU Modelo 2008-09).

Resolver las ecuaciones: x 1 1 0  x x 1 1 a) 0 1 1 x 1 1 1 0 x

b)

x 1 1  x x 1  0 1 1 x

Resolver las ecuaciones siguientes: 1 1 1 2 1 1 a) x 1 3 x 1 7

1 2 1 5 a 1 a 2  0 b) 0  a  1  0 c) 0 2 2  0 4 2 3 k2 a 1 a 3

1  x  x 1 1 2 d) x 2 0 1

a b 

 vale 12. Sabemos que el determinante de la matriz A   c d  Hallar él determinante de las matrices: a) 3A , b) -2A ; c) 7A ; d) At ; e) A·At ; f) At·A .

3 1 4 Sabiendo que 2  3  4  5 , determina sin desarrollarlos el valor de 2 0 1 3 2 4 3 2 2 los siguientes determinantes. a) 2  6  4 , b) 1  3 0 , 6 0 3 4 4 1 8 1 4 6 4 1 c)  5  3  4 y d) 4  4  3 3 0 1 4 1 0

a b Sabiendo que d e g h

c f  10 , calcula el valor de i

a b Sabiendo que d e g h

c f  6 , determina sin desarrollar el valor de los i

2a 2b siguientes determinantes. a) d / 3 e / 3 g h

3a 2g 5d

2c 2b f / 3 , b) 2e i 2h

3b 3c 2h 2i 5e 5 f

c  3a f  3d i  3g

a/5 d /5 g /5

a b c be c f c) a  d ad  g beh c f i

1 Sabiendo que 6



2 0

3 3  3 , y utilizando las propiedades de los

 

2  determinantes, calcular: a) el determinante de la matriz  6   10 20 30 3  2 3  4 3  6

b)

2 3

0 3

1 , c) 3

2  6

2



4 0



4

6  3 ,  

2  3

(PAU Junio Especifica 2009-10).

Sea A una matriz cuadrada de orden 3. a) Si sabemos que el determinante de la matriz 2Aes igual a 8, ¿Cuánto vale el A . b) Calcula para que valores de x se cumple que 2 A  8 , siendo la 1 1  x   matriz A   x  1 2 2   x 2  x 1  

(PAU).

 2a a a a     a 2a a a  Sea la matriz A   , calcular el valor de su a a 2a a     a a a 2a   

determinante en función de a.

(PAU).

 2  3

 . Para cada numero real  definimos la Sea la matriz A    1  2 matriz B = A - I, donde I denota la matriz identidad 2x2. a) Hallar los valores de  que hacen que el determinante de B sea nulo.  x

 0

b) Resolver el sistema B       para los diferentes valores de  .  y   0 (PAU Modelo 2001-02). Sean dos matrices cuadradas de orden n, A y B. Probar, haciendo uso de las propiedades estudiadas, que A  B  B  A , a pesar de que en general A  B  B  A  3

5

 4  2

 y B    Hallar los determinanSean las matrices : A     7 1 5 6  tes de las siguientes matrices. a) A ; b) B ; c) 3A ; d) 2B ; e) A + B ; f) 3A + 2B ; g) A·B ; h) B·A ; i) At .

Se considera la función: = f(-1), determina a y b.

Si

a d g

b e g

a b  2a 3b 1 x 0 0 f ( x)  0 1 x 0 0 0 1 x

Sí f(0) = -3 y f(1) (PAU).

i g h c f  3 , calcula sin desarrollar el valor de f  c d  a e  b 3c 3a 3b i

a b  2a 3b 1 x 0 0 Se considera la funcion f ( x)  , sabiendo que 0 1 x 0 0 0 1 x

f(0) = -3 y que f(1) = f(-1), determinar a y b

(PAU).

Si A  C1 , C2 , C3  es una matriz cuadrada de orden 3 con columnas C1 , C2 , C3 , y se sabe que det  A  4 , se pide a) Calcular det A3  y det 3 A . b) Calcular det B  y det B 1 , siendo B  2C3 , C1  C2 ,5C1  la matriz cuyas columnas son 2C3 , C1  C2 ,5C1 . (PAU Modelo 2008-09). a b  Si la matriz A   d e g h 

c  f  tiene determinante n, averigua el valor del i 

 6d  determinante de las siguientes matrices B   3g  9a  d  f  C  ac  g i 

e b h

4e 2 f   2h i  , 6b 3c 

f  e  cb i  h 

Simplificar sin desarrollar:

2a 3a  b 2c 3c  b

 0 0

 , a) ¿Cuál es el valor del deterSi A es una matriz tal que A 2    0 0 minante de A?. b) Calcular un numero k tal que: 2

 3  4   1 0   0 0   k         0 1   0 0  1  1 

(PAU Septiembre 2003-04).

Sin desarrollar los determinantes comprueba que: 1 a2 bc a a 2 ac b b 2 = 1 b 2 1 c2 ab c c 2

a3 b3 c3

Unidad 2 . Rangos de matrices Calcula el rango de A según los distintos valores del parámetro real a 0 a 2  2   A  1 0 1 3   5 a  4  4  3  

(PAU Junio 2001-02).

Calcular el rango de la matriz A según los diferentes valores del parametro real a:

0 a 2  2   A  1 0 1 3   5 a  4  4  3  

1 1  Considera la matriz A   m m 2 m m 

(PAU Junio 2001-02).

1   m 2  . Halla los valores de m para los m 2 

que el rango de A es menor que 3.

(PAU).

Determina los valores de x para los que el rango de la matriz x 3 0    A   0 1  x  valga 2. 1 1 1   

Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a: a a  a 1 1   A 1 a  1 0 2a   a 1 1 0  

Razonar si A es inversible para algún valor

de a.

Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a. ¿Para que valores de a es la A inversible?. a  1 0  3   A  5 1 1 3   2 0  6 a  8  

 m m  1 m  m  1   m Estudiar el rango de la matriz: A   m 1  según los m 1 m  1  

valores del parametro m.

(PAU Junio 2006-07).

Estudiar el rango de las siguientes matrices según el valor del correspondiente parámetro. 1 1 1 1   a  a 1 2 1 1       2 1 1 2 ; B   0  a 1 ; C  0 2 2  A   1 3 4 a 1  a 2 3 k 2         1  7 3   m  2 3   2  4    D   E  ; 2  5m m    1 5

1  1 1 a   Halla el rango de la matriz: A   0 1 a  1 0  según el valor del 1 1 a  1 

parámetro a.

(PAU).

a 1 1  Halla el rango de la matriz : A   2 b b 2 2 1 1 

los parámetros a y b .

Halla el rango de las siguientes matrices: 3 1 2 0 1  A    6 2 4 0 2

1 2 3 0   B   2 1 4 0  3 2 2 1  

a  1 a 

según los valores de (PAU).

Halla el rango de las siguientes matrices:  1 3 5 0 3 0 6    1 3       a) A   6 7 9 0  ; b) B   2 0 4  ; c) C   7 9   6 5  7 4 4 0  5 0 10         1  2 9 0  d) D   2  4 1 3  

Halla el rango o característica de las siguientes matrices: 4   1 2 3 0 2      1 2 3  ; B   3 2 1  ; C   0  1  2  A     2 1 4 0 0 1 1 1 3    

Hallar el rango de la matriz

 cos   A   sen  0 

 sen cos  0

0  0 1 

Hallar el rango de las siguientes matrices: 1  1  1  1 2 1 3 1     1 1  1  1 1 1  2 4  ; B A 1 1 1  1 3 2 1 3      1  1 1  1  5  2 1  2    

1 0 1    Sea la matriz A   4 1  m  . Determine los valores de m para los 0 m 3   

que Rango(A) < 3. ¿Puede ser rango(A) = 1 para algun valor de m?. (PAU). 1  1 Sea r el rango de la matriz A   2  0 

0 4 1 3

1 2 0 1

1  3 a) Hallar r, b) Señalar 0  2 

r filas y r columnas linealmente independientes.

Unidad 2. Matriz inversa. Ecuaciones matriciales Calcula la matriz X, tal que X · B + A = C siendo: 0 3 0   4  2 1   1 3 5   , B   2 0 1  , C    A    5 1  3   2 4  6  0  3 2  

(PAU).

Calcular una matriz cuadrada X sabiendo que verifica 0  2  0 0  1  0     X·A +B·A = A , siendo A   0  1 0  , B   0  2 0   2 0 1 0 0  0     2

2

(PAU Septiembre 2006-07). 1 1 1  0 0 1     Considera las matrices A   2 1 2  y B   0 1 1 , Calcula la 0 0 1  1 1 1    

matriz X que verifica que X·A + B = I. 1 x

(PAU). 0 1

 y B    . Halla x para que se Considera las matrices A   2 1 1 2 8

8

 cumpla A 2  B 2    6 12 

(PAU).

Contesta a las siguientes cuestiones: a) calcula los valores x, y, z que 1  2 1  0      y   verifican la siguiente ecuación matricial: x   2    1  1      1  z  3  2 1    10    

b) Expresa el sistema anterior en forma matricial A·X = B . c) Calcula la matriz inversa de A.

(PAU).

Dada la ecuación matricial A · X + B = C, se pide obtener la matriz X siendo:

1 1 0 1 1  0 1       A   1 2 0  , B   0 1  , C   1 3 0 0 1  1 1 1 2      

(PAU).

1 2

t -1 2  calcula la expresión: (A · A ) · A Dada la matriz A   3 4

1 1 2   Dada la matriz A   2 x 1  calcula para que valor de x, posee 1 4 x   inversa y para cuales no es inversible. Calcular A-1. (PAU).

1 a 1   Dada la matriz A   0 1 0  estudiar para que valores de a tiene 0 1 a  

inversa y calcularla siempre que sea posible. ( PAU Junio Especifica 2009-10). 1 1  1  x   Dada la matriz A   1 1  x 1  , obtén los valores de x para los  1 1 1  x  

que posee inversa. Calcular A-1.

 2 a 1 1    1  se pide: a) Determinar el rango Dada la matriz A   2a 0 2 0 a  1 

de A según los valores del parámetro a. b) Decir cuando la matriz A es invertible. Calcular la inversa par a = 1. (PAU Septiembre 2007-08). a 1 1   Dada la matriz: A   1 a 1  , se pide: a) Estudiar el rango de la 1 1 a  

matriz A según los valores del parámetro a. b) Obtener la matriz inversa de A para a = - 1 (PAU Junio 2008-09).

 2 1  a   Dada la matriz M   2a 1  1  a) Determinar el rango de M según 2 a 1   

los valores del parámetro a. b) Determinar para que valores de a existe la matriz in versa de M. Calcular dicha matriz inversa para a = 2. (PAU Junio 2005-06).  2  Dada la matriz M   2  2 

1      1  a) Determinar el rango de M según  1 1 

los valores del parametro  . b) Determinar para que valores de  existe la matriz in versa de M. Calcular dicha matriz inversa para   0 . (PAU Modelo 2006-07).  m 1 2m    Dada la matriz: M   m 1 2  , se pide: a) Determinar los valores 0 1 1   

del parámetro m para los cuales la matriz M es invertible. b) Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M 25 es invertible. c) Para m = -1 calcular, si es posible, la matriz inversa M 1 de M. (PAU Septiembre 2008-09).  2 1 4   Dada la matriz inversible A   3 2 5  hallar: 0 1 1  

a) At·A , b) A·At ,

c) A·A-1 , d) A-1·A , e) At·A-1 , f) A-1·At . 1 2 0 1 1 2      Dadas las matrices: A   0 1 2  , B   1 1  1 a) Determinar la 0 2 3 0 1 3      matriz inversa de B. b) Determinar una matriz X tal que A  B  X

(PAU Septiembre 2003-04).

0 0  1 1 0    Dadas las matrices: A    3 1  1 y B   0  1  5 1 2  0 0    1 a) Hallar A . b) Hallar la matriz X, tal que: A  X  At

significa matriz traspuesta de A).  4  2

0  0  . Se pide : 0  t

 B (donde A

(PAU Junio 2003-04).  4

 2

 , B    , obtener una matriz Dadas las matrices: A    3 1  1 1  cuadrada X de orden 2 que verifique la ecuación matricial (PAU Septiembre 2008-09). A X  B  A  B .

Determina la matriz X, sabiendo que se verifica: X · A2 + B · A = A2  0 0  1  0 0  2     y que: A   0  1 0  y B   0 2 0   2 0 0  1 0 0     

(PAU).

Estudia para que valores de m la matriz siguiente tiene inversa m 0 1     0 1 1  . En caso de ser posible, halla su inversa para m = -1 (PAU). m 0 m  

Estudiar para que valores del parámetro a tiene inversa cada una de las siguientes matrices y hallar la inversa en esos casos: 0 2 a  2   a) A   0 a  2 0   0 0 a  

a 0   a   a  1 a  1 b) B   2   2a  1 0 a  3  

 1 1 1   Halla la matriz inversa de la matriz: A    1 2 1   0 1 0  

En la matriz del anterior, señala los cambios que ocurren en A-1 si en la matriz A se intercambian dos de sus filas o dos de sus co-lumnas. ¿Y si se multiplica una de sus filas por un numero p  0?. ¿Y si se multiplica por p  0 una columna?.

Halla, si existe, una matriz cuadrada A de orden 2, que cumpla las siguientes condiciones: a) Coincide con su traspuesta. 1 1  1  1   3  3    A        1  1 0 1 3 3      

b) Verifica la ecuación matricial 

(PAU).  7

4 

 y comprueba sí Hallar la inversa de la matriz A     9  3 (A-1)2 = (A2)-1 .

 0 1 0 1 0 0     Hallar la matriz inversa de I – A siendo: A   0 0 1  ; I   0 1 0   0 0 0 0 0 1    

Hallar las inversas de las matrices:

a)

 1 0 1   A   3 1 0  0 5 1  

; b)

 1 1 1    B   1  1 11 1 1 1   

 3

1

 Hallar una matriz X tal que A-1·X·A = B, siendo A     2  1  1  1  B   2 1 

(PAU Junio 2004-05)

1

2

 ; Resolver la ecuación matricial A·X = B siendo: A    0  1

 1 2 3  B    0  1 1

Resolver la ecuación matricial A2·X – B = A2 siendo: 0 1 0 0 1 0     A   0 2 0 y B   0  3 0  0 0 1 0 0  1   

(PAU).

Resolver la ecuación matricial B·(2A + I) = A·X·A + B siendo 2  1  1 1 1 0  , B    e I    A   0 1  1  1 0 1      

(PAU).

4

1

 , Resuelve la ecuación matricial A·X + C = B, siendo A    1 0 2 0  1  1 0 1 2 1  y C    B     2 1 1 0  1 0  3 0

(PAU).

1 1 0   1     Sea la ecuación A·X = B con : A   3 0 2  y B   2  5 1 1 3    

Hallar A-1 y X. 1 1 1 0     Sea k un numero natural y sean las matrices A   0 1 0 , B   1  y 0 0 1   1     k C  1 1 2 a) Calcular A . b) Hallar la matriz X que verifica la ecuación Ak  X  B  C . (PAU Junio 2000-01).

Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la identidad A + B = A·B. Comprobar que entonces se tiene la formula: I  B1  B 1  A (donde I denota la matriz identidad). b) Dada la 1

matriz A   2 A  B  A B .

1   1

hallar la matriz B para la cual se verifica (PAU Septiembre 2002-03).

1  7  0 0 0  2         Sean las matrices A   2  , B   2  , C   0 1 0  y E   5  .   2 0 0 1  3  3          x   Calcular M   y  para que verifique la ecuación (A·Bt +C)·M = E. z  

(PAU).

 1 0  1  1 0 2     Sean las matrices A    1 0 2  , B    1 1 0  a) Calcular A-1. b) 0 1 0  1 0 3    

Resolver la ecuación matricial A·X = B·A. (PAU Prueba 2001-02). 2

0

 7  3

 , B    . a) Hallar una matriz X Sean las matrices: A    0  1  8  3 tal que X  A  X 1  B . b) Calcular A10 . c) Hallar todas las matrices M que satisfacen  A  M    A  M   A2  M 2 . (PAU Modelo 2007-08).

 1 1

8  9

 , B    . Hallar una matriz X tal Sean las matrices: A    0 1 6  7 que X  A  X 1  B .

 1 3   1 2    y B    0  , donde  es Se consideran las matrices A   1  1  1  0 2  

cualquier numero real. a) Encuentra los valores de  para los que A·B es invertible. b) Determina los valores de  para los que B·A es invertible. c) Dados a y b, números reales cualesquiera, ¿puede ser el  x   a sistema A   y     compatible determinado?.  z  b  

(PAU Junio 1998-99).

Unidad 3. Sistemas de ecuaciones Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 años. (PAU Junio 2001-02).

De tres números x, y ,z, sabemos lo siguiente: que el primero mas el segundo suman 0; que el primero mas el tercer suman 1; que la suma de los tres es 0 y, para terminar, que el primero multiplicado por un numero k mas el doble de la suma del segundo y del tercero da 1. a) ¿Que puede decirse del valor de k?. b) ¿Cuánto valen esos tres números?. (PAU).

El capitán Ala Triste tiene a su cargo tres compañías: una de suizos, otra de zuavos y una tercera de sajones. Al asaltar una fortaleza el capitán promete una recompensa de 901 escudos que se repartirán de la siguiente forma: El soldado que primero suba junto con todos los de su compañía recibirán un escudo y el resto de la recompensa se repartirá a partes iguales entre las otras dos compañías. Si el primero que sube es suizo, las otras dos compañías recibirán ½ escudo cada una; si el primero que sube es zuavo, las otras dos reciben 1/3 de escudo cada una y si el primero que sube es sajón, las otras dos obtienen ¼ de escudo. ¿Cuántos hombres hay en cada compañía?.

El tío Evaristo tiene 10 litros de mezcla de agua y vino. Al probarla, observa que esta muy aguada, por lo que decide añadirle una cierta cantidad de vino y entonces la cantidad de agua es del 30 % del total. Como sigue estando aguada, le añade de nuevo la misma cantidad de vino que antes y entonces la cantidad de agua es del 20 % del total. ¿Cuantos litros de vino se añaden en cada ocasión y cuantas hay de agua?.

En una autonomía existen tres hospitales dedicados a urgencias. Se sabe que en el primer hospital se han atendido en doble de casos que en el segundo y que en el tercero se han atendido solo la mitad que en el segundo, Si el total de urgencias ha sido de 3003, ¿cuántas prestaciones ha realizado cada hospital? Plantear el sistema y resolverlo.

En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 Kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño que de tamaño mediano. Sabiendo que el precio del kg de bombones es de 40 euros y que el importe total de los bombones envasados es de 1250 euros: a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar cuantas cajas se han envasado. b) Resuelve el sistema. En una feria, un granjero vendió cada ganso, pollo y codorniz por 10, 5 y 1 € respectivamente. En total vendió 50 animales y recibió 100 €. ¿cuántos animales vendió de cada clase, si vendió la quinta parte de pollos que de codornices?.

La liga de futbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año, los partidos ganados valían 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo 70 puntos. Hasta el año pasado, los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con este sistema el actual campeón habría obtenido 50 puntos. ¿Cuántos partidos gano, empato y perdió el equipo campeón?. (PAU).

La suma de las edades en el momento actual, de un padre y sus dos hijos es de 73 años. Dentro de 10 años, la edad del padre será el doble de la edad del hijo menor. Hace 12 años, la edad del hijo mayor era el doble de la edad de su hermano. Hallar la edad actual de cada uno.

Las edades, en años, de un niño, su padre y su abuelo verifican las siguientes condiciones: - La edad del padre es  veces la de su hijo. - El doble de la edad del abuelo mas la edad del niño y mas la del padre es de 182 años. - El doble de la edad del niño mas la del abuelo es 100. a) Establece las edades de los tres suponiendo que  = 2. b) Para  = 3, ¿que ocurre con el problema planteado?. c) Siguiendo con  = 3, ¿que ocurre si en la segunda condición la suma es de 200 en vez de 182?. (PAU).

Luis, Juan y Oscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: Si te doy la tercera parte del dinero que tengo, los tres tendremos la misma cantidad. Calcular lo que tiene cada uno, sabiendo que entre los tres reúnen 60 €. (PAU).

Resuelve el sistema que se obtenga del siguiente enunciado: ¿Cuantos litros de leche con 35% de grasa han de mezclarse con leche del 40% de grasa, para obtener 20 litros de leche con el 25% de grasa?.

Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos A,B y C. El A tiene 10 cal por cada 100 gr de alimento, el B tiene 30 cal por cada 100 gr y el C 40 cal por cada 100 gr. A) Si la dieta consta de 4000 gr de alimentos por día, dicha dieta esta restringida a 840 cal exactas y la cantidad de alimento A ingerido debe de ser doble en peso que la cantidad de alimento de C. Hallar las cantidades que debe de ingerir de cada uno de los alimentos. Si a un numero de dos cifras se le suma 18, se obtiene un numero con las cifras intercambiadas. Sabiendo que la suma de las cifras del numero es 16, encuentra dicho numero.

Si la altura de Carlos aumentase el triple de la diferencia entre las alturas de Toni y de Juan, Carlos seria igual de alto que Juan. Las alturas de los tres suman 515 cm. Ocho veces la altura de Toni es lo mismo que nueve veces la altura de Carlos. Hallar las tres alturas.

Si la suma de las dos cifras de un numero es 11 y al invertir el orden de las cifras, el nuevo numero aumenta en 27 unidades. Calcular el numero.

Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto, se obtiene un vino del 10% de alcohol. Si, por el contrario se mezclan 20 litros de vino blanco con 60 litros de tinto, se obtiene un vino de 11 % de alcohol. ¿Qué graduación tendra una mezcla de 40 litros de vino blanco y 40 litros de tinto?. (Llamar x a la graduación del vino blanco, y a la graduación del vino tinto, z a la graduación de la mezcla)

Tres amigos juegan tres partidas a los chinos. Acuerdan que, si uno pierde le dará a cada uno de los otros dos, igual cantidad de dinero que la que tengan en ese momento. Cada uno pierde una partida y todos acaban con 40 €. ¿Con cuanto dinero empezó a jugar cada jugador?.

Tres personas A, B y C van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 euros. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 euros que paga B, C paga 3 euros. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuanto paga cada uno de ellos. b) Resuelve el sistema planteado por el método de Gauss. Tres personas A, B y C deciden repartirse 8600 pts, de la siguiente forma: A recibe el triple de lo que reciban B y C juntos y además por cada 2 pts que reciba B, el C recibe 3 pts. Se pide: a) Plantear el sistema de ecuaciones que permita determinar cuanto recibe cada uno. b) Resolver el sistema. Un cajero automático contiene 95 billetes de 100, 200 y 500 € y un total de 20000 €. Si el número de billetes de 100 es el doble que el número de billetes de 200, averiguar cuantos billetes hay de cada tipo. (PAU Septiembre 1998-99).

Un almacenista dispone de tres tipos de cafés: el A, a 9,80 € / kg; el B, a 8,75 € / kg, y el C, a 9,50 € / kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de café para suministrar un pedido de 1050 kg a un precio de 9,40 € / kg. ¿Cuántos kg de cada tipo de café debe mezclar sabiendo que debe poner del tercer tipo el doble de lo que ponga del primero y del segundo juntos?. (PAU Junio 1997-98).

Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 1, 1,20 y 1,50 euros por kg respectivamente. El importe total de la compra fue de 11,60 euros. Si el peso total de la misma es de 9 kg y, además, compró 1 kg más de naranjas que de manzanas: a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar la cantidad adquirida de cada producto, b) resuelve el sistema.

Un automóvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en llano marcha a 80 km/h. Para ir de la ciudad A ala B tarda 2 horas y 30 minutos y para volver de B a A, 2 horas y 38 minutos. ¿Cuál es la longitud del camino llano entre A y B si se sabe que A y B distan entren sí 192 km?.

Un coleccionista decide regalar un montón de sellos. A cada persona con la que se encuentra le da la mitad de los sellos que llevaba mas uno, y se encuentra exactamente a 6 personas. Si al final regala todos los sellos, ¿Cuántos sellos tenis el coleccionista?. (PAU). Un estudiante hizo un examen que constaba de tres preguntas y obtuvo un 8 de calificación. En la segunda pregunta saco 2 puntos más que en la primera y en la tercera obtuvo 1 punto más que en la segúnda. Plantea el sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método de Gauss.

Un mayorista del sector turístico vende a la agencia de viajes A, 10 billetes a destinos nacionales, 10 billetes a destinos extranjeros europeos comunitarios y 10 billetes a destinos internacionales no comunitarios, cobrando por todo ello 12000 €. A una segunda agencia B le vende 10 billetes a destinos nacionales, y 20 a internacionales no comunitarios, y cobra 13000 €. A una tercera agencia C le vende 10 billetes a destinos nacionales y 10 a destinos extranjeros europeos comunitarios, cobrando 7000 €. Se pide: a) Hallar el precio de cada billete. b) Por razones de mercado, el mayorista se ve obligado a bajar un 20 por ciento el precio de todos los billetes nacionales. Hallar en que porcentaje debe incrementar el precio de todos los billetes extranjeros comunitarios, manteniendo constante el precio de todos los billetes internacionales no comunitarios, para mantener constantes sus ingresos totales por las ventas a las tres agencias. (PAU) Un número capicúa tiene cinco cifras. a) La suma de sus cifras es 9. b) La cifra de las centenas es igual a la suma de las cifras de las unidades y de las decenas. c) Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número que resulta disminuye en 9. Encuentra dicho número. (PAU).

Un panadero fabrica por día, un cierto numero de panes de 500 g, con un coste en materias primas de 40 céntimos la unidad. Los costes fijos diarios de producción (impuestos, energía...) son de 200  y se vende cada pan a 90 céntimos. Determinar la producción diaria para que: a) que el panadero cubra gastos; b) que obtenga unas ganancias de 100  vendiendo todos los panes fabricados; c) que obtenga unas ganancias de 100  sin vender todos los panes fabricados; d) que obtenga unas ganancias mayores de 40  sin vender todos los panes fabricados. Un pastelero desea vender cajas que contengan al menos 12 unidades, con dulces de dos clases y a un precio menor de 5 . Si el precio de coste de cada una de las clases de dulces es de 50 y 25 céntimos la unidad: a) encuentra de forma gráfi-ca el conjunto de soluciones. b) Si la caja no puede estar vacía ni contener una so-la clase de dulce, halla todas las posibles combinaciones de las cajas que satisfacen las condiciones impuestas por el pastelero.

Un vinatero posee tres tipos de vino con precios por litro de 3, 4 y 7 euros, respectivamente. ¿Cómo debería mezclarlos para obtener un litro de vino cuyo precio fuese 5 euros el litro, teniendo en cuenta que debe emplear doble cantidad del vino de 4 euros por litro que del vino que solo cuesta 3 euros el litro?.

Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264000 €. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares y que el valor del dinero en libras sea la décima parte del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y que un dólar es igual a 1,1 euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras que la empresa ha de tener disponible.

Una persona va al supermercado y compra una docena de huevos, una bolsa de patatas y una botella de aceite. El día siguiente compra una botella de huevos y dos botellas de aceite. Vuelve a la tienda y compra una bolsa de patatas y otra docena de huevos. El primer día pago 6 €, al día siguiente se gasto 6,5 € y en la tercera ocasión pago 3,5 €. Calcula, si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite. Una refinería compra petróleo a dos países A y B. Comprando 500 barriles al país A y 15500 barriles al país B, resulta un precio medio de 19´875 dólares el barril. Comprando 1000 barriles al país A y 1000 al país B, el precio medio es de 18 dólares el barril. ¿Cuanto cuesta el barril de crudo de cada país?.

UNIDAD 3: Estudio general de sistemas de ecuaciones lineales. Averigua si es posible escribir un sistema lineal homogéneo (sus términos independientes son nulos) de dos ecuaciones con dos incógnitas que sea: a) compatible y determinado; b) compatible e indeterminado; c) incompatible. Razona la respuesta en cada caso y pon un ejemplo cuando la respuesta sea afirmativa.

Averigüe si el siguiente sistema

x  3 y  2z  0 2 x  4 y  3z  0 puede ser compatible x  y  mz  0

indeterminado para algún valor de m. ¿Es incompatible para algún valor de m? x  2 y  2z  t  4 x y  z t  5 Clasifica y resuelve el siguiente sistema: x y zt  6 6 x  3 y  3z  2t  32

Considera el sistema:

x  y  z 1 a) Añade una ecuación lineal 3x  4 y  2 z  3

al sistema anterior de modo que el sistema resultante sea incompatible. b) Si añadimos al sistema dado la ecuación mx + y – z = -1, determina para que valores del parámetro m el sistema resultante es compatible indeterminado y resuélvelo. (PAU).

Considerar el sistema de ecuaciones

y  z 1   1x  y  z   x    1 y  z  0

a) Discutirlo según los valores del parametro  . b) Resolverlo para   0 . c) Resolverlo para   3 . (PAU Septiembre 1999-2000)

Considerar el siguiente sistema de ecuaciones, en el que a es un parametro real:

 ax  4 y  az  a Se pide a) Discutir el sistema. b) 4 x  ay  az  a  x  y  z 1

Resolver el sistema para a = 1.

Dadas las ecuaciones

(PAU Modelo 2004-05).

3x  2 y  z  5 2 x  3 y  2 z  4

a) Añade una ecuación para

que el sistema sea incompatible. b) Añade una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Justifica en cada caso el procedimiento seguido para añadir la ecuación. (PAU).

Dado el sistema

3x  2 y  z  5 2x  3y  z  4

a) Añade una ecuación lineal de

manera que el sistema resultante sea incompatible. b) Añade una ecuación lineal de manera que el sistema resultante sea compatible indeterminado. Resuelve el sistema. (PAU).

Dado el sistema

2x  y  2z  1 x yz 3

a) ¿Cómo ha de ser la ecuación que

debe de añadirse para que sea incompatible?. b) ¿Cómo es la ecuación que debe de añadirse para que resulte compatible indeterminado?. Resuelve el sistema. (PAU).

Dado el sistema

x  2y  1 , a) escribir una tercera ecuación de la x  y  2z  1

forma ax  by  c (distinta de las dos anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas resultante siga siendo compatible. b) Dado el sistema

2x  2 y  z  1 , escribir una tercera ecuación de x  y  2z  1

la forma x  y  z  1 (distinta de los dos anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas resultante sea compatible indeterminado. (PAU Junio 03-04).

ay  bx  c Dado el sistema: cx  az  b si a,b y c son no nulos, el sistema tiene bz  cy  a

solución única. Halla dicha solución.

(PAU).

1  a x  2 y  4 z  0 Dado el sistema: x  1  a  y  z  0 a) Estudiar la compatibilidad  x  ay  z  0

según los valores del parámetro a. b) Resolver el sistema anterior cuando sea compatible indeterminado. (PAU Junio 2003-04). 2x  y   Dado el sistema x  2 y  4 se pide: a) Discutir el sistema según los 3x  y  2

valores del parámetro  . b) Resolver el sistema cuando sea posible. (PAU Junio 2008-09). xz 2 Dado el sistema: x  y  z  4  x  y  z  5

se pide: a) Discutirlo para los

distintos valores del parámetro  . b) Resolverlo cuando el sistema sea compatible indeterminado. c) Resolverlo para   2 . (PAU Modelo 2009-10). x  2 y  z  0 Dado el sistema x  y  2 z  0 se pide: a) Obtener los valores del x  y  2 z  0 parámetro  para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de: x = y = z = 0. b) Resolver el sistema para   5

(PAU Septiembre 2008-09). 4 x  4y  2 z  2 Dado el sistema de ecuaciones x  y  z   4x  4y  z  9

el sistema según los valores del parámetro  . b) Resolverlo para   1

Se pide a) Discutir

(PAU Junio 2008-09).

m  1x  y  z  3 Dado el sistema de ecuaciones: mx  m  1 y  3z  2m  1 a) Discutirlo x  2 y  m  2z  4 según los distintos valores de m. b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. (PAU Junio 2004-05)

Dado el sistema de ecuaciones:

x  2 y  3z  3 Se pide: a) Calcular a 2x  3y  z  5

y b de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma ax+ y + bz = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema original. b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a 4. (PAU Septiembre 2006-07). x  y  2z  2 Dado el sistema de ecuaciones 2 x  y  3z  2 Se pide: a) Discutirlo 5 x  y  az  6

según los valores del parámetro a. b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. (PAU Junio 2000-01).

Dado el sistema de ecuaciones:

x  ay  z  a ax  2 z  2 se pide: a) Discutirlo x  z  2

según los valores del parámetro a. b) Resolverlo en el caso a = 0. (PAU Junio General 2009-10). x  k  1 y  2 z  1 Dado el sistema de ecuaciones lineales kx  y  z  k a) Discuk  1x  2 y  z  k  1

tirlo según los distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. (PAU. Septiembre 2006-07).

x  y  mz  m  2 Dado el sistema de ecuaciones lineales 2 x  m  1 y  m  1z  m m  2x  3 y  2m  1z  3m  4

a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro m . b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. (PAU Modelo 2007-08). 2x  3y  z  k Dado el sistema de ecuaciones x  2 y  3z  2 a) Discutirlo según los kx  ky  4 z  1

distintos valores de k. b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. (PAU Modelo 2005-06). x  ky  k 2 z  1

Dado el sistema de ecuaciones: x  ky  kz  k 2

a) Discutirlo según

 x  ky  k z  k 2

2

los distintos valores de k. b) Resolverlo para k = -1 (PAU Modelo 2006-07). x y 3 Dado el sistema de ecuaciones: 2 x  3 y  2k 3x  5 y  k

a) Discutirlo según los

distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo en los casos en que sea posible. (PAU Modelo 2008-09).

Dado el sistema de ecuaciones lineales

x  ay  2 Se pide a) ax  y  a  1

Discutir el sistema según los valores del parámetro a. b) Determinar para que valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que y = 2 (PAU. Junio 2007-08).

Dado el sistema homogéneo

x  ky  z  0 kx  y  z  0 Averiguar para que k  1x  y  0

valores de k tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. Resolverlo en tales casos. (PAU. Junio 2005-06). x  ky  z  0 Dado el sistema homogéneo de ecuaciones 2 x  y  2 z  0 se pide: x  4 y  kz  0

a) Determinar para que valores del parámetro k el sistema tiene soluciones distintas de x = y = z = 0. b) Resolverlo para el caso k = 3. (PAU Junio General 2009-10). Determina, según los valores del parámetro , cuando tiene solución x  y  z   2

el sistema: x  1    y    1z   2 x  y  z  2 2

Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado.

(PAU).

Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro

2x  y  2z  2 a. Resuélvelo cuando sea posible. 2 x  y  z  1

(PAU).

2x  a 2 y  z  a

Discute el siguiente sistema para los distintos valores del parámetro x  y  az  a 2 a. x  ay  z  a ax  y  z  1

Resuélvelo en los casos de compatibilidad.

(PAU).

x  2y  z  2 Discute el sistema de ecuaciones lineales x  1  b  y  bz  2b según los x  by  1  b z  1

valores de b.

(PAU).

ax  2 y  6 z  0 Discute el sistema de ecuaciones 2 x  ay  4 z  2 según los valores 2 x  ay  6 z  a  2

del parametro a. b) Resuelve el sistema de ecuaciones anterior para a = 2. (PAU Junio 1998-99).

Discute, en función de a, el sistema

ax  ay  a x  ay  1

(PAU).

Discute, según los valores del parámetro , el sistema de ecuaciones

x  y  z    2 lineales: x  y  z  2  2 x  y  z  

Resuélvelo en el caso de que sea compati-

ble indeterminado.

(PAU).

Discute y resuelve por Cramer los siguientes sistemas:

3 p  3q  11r  0 3x  5 y  33  2 z x  2y  z  6 4 p  7r  0 2a  3b  6 a) b) 3x  19  y c)  3x  y  2 z  3 d) 5 p  3q  3r  0  a  5b  3 10  3z  x  2 y 2 x  3 y  z  3  6 p  6q  r  0

Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro k y resolverlo en el caso de que sea compatible indeterminado: kx ` z  k x  ky  z  1 3x  y  kz  2

Discutir el siguiente sistema. Hallar, si existe, su solución cuando





x  a 2  1 y  az  1

a = 0.

a

2



 1 y  a  1z  0

xa z 0 2

Discutir la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones

x yz a x  y  z 1 en función del parámetro a 3x  3 y  az  a

(PAU).

Discutir la existencia de soluciones del siguiente sistema según los valores del parámetro  . Resolverlo, si es posible, para  = 0. x  2y  z  3 x    3 y  3z  1

Discutir razonadamente, en función del parámetro k, el siguiente

x  ky  z  k  2 sistema: kx  y  z  k x  y  kz  2k  1

(PAU Modelo 2009-10).

Discutir según los valores del parámetro  , y resolver en los casos en

6 x  4 y  2z  2 que sea posible el sistema x  y  z  2 5 x  3 y  3z  2

(PAU Modelo 2003-04).

Discutir según los valores del parametro  , a) el sistema

6 x  4 y  2z  2 x  y  z  2 5 x  3 y  3z  2

y b) resolver el sistema anterior en los casos en que

sea compatible.

(PAU Modelo 2004-05).

Discutir según los valores del parámetro real  el sistema: x  3 y  z   x  y  z  1 y resolver el sistema anterior en el caso   2 x  y  z 1

(PAU Septiembre 2003-04).

Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores del parámetro :

x  y  z  1 x  y  z  

x  y  z   2

Discutir y resolver el siguiente sistema según los valores del parámetro a:

ax  y  z  1 x  2y  z  2 x  3y  z  0

Encuentra el valor del parámetro a, a  , para los cuales el

2x  3y  2z  4 sistema: ax  y  z  2 6 x  5 y  3z  5a

es compatible, y, en caso afirmativo,

resuélvelo.

(PAU).

Encuentra la relación entre las soluciones obtenidas y la matriz 2 3    1 1

inversa de la matriz de los coeficientes 

(PAU).

Estudie, según los valores del parametro a, el sistema de ecuaciones

ax  ay  a lineales siguiente: x  y  az  a x  2 y  3z  a

(PAU).

Hallar  para que el siguiente sistema tenga solución distinta de la trivial. Resolverlo en esos casos.

x yz 0 3 x  4 y  z  0

9 x  16 y  2 z  0

  x  z Hallar para que valores de  es incompatible el sistema: 1  2 x  y  z 3  x  3z

Obtén los valores x, y, z que verifiquen la siguiente ecuación matricial:

 1   1 1 1      y   x   2    2 1      0    1  0 1  z   0       

Resolver el sistema de ecuaciones

x  y  3z  0 . Hallar la solución 2x  3y  z  5

del sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a cada una de las tres incógnitas sea igual a 4. (PAU. Septiembre 2006-07).

x  2 y  z  3v  4 x  2 y  z  3v  4 Resolver el siguiente sistema: 2 x  4 y  2 z  6v  8 2x  2z  0

(PAU Septiembre 2007-08).

Resuelve el sistema de ecuaciones

x  2 y  3z  1 . Hallar dos 2x  y  z  2

constantes  y  de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación: 5x  y  z   , el sistema resultante sea compatible indeterminado. (PAU Junio 2004-05).

Resuelve los siguientes sistemas: x  y  z  16 2 x  3 y  3z  12 x  y  2 z  4 x  3 y  2 z  11 a) x  z  11 b) x  4 y  5 z  11 c) 2 x  y  3z  4 d) 2 x  y  3z  17 y  z  13 3x  2 y  z  7 2x  y  6z  3 3x  5 y  z  4 2x  3y  z  0 x yz 0 e) x  2 y  z  6 f) x  y  2 z  0 4 x  7 y  z  12 x  3y  4z  0

x  2y  z  0 g) 3x  4 y  z  0 2 x  y  8z  0

Resuelve los siguientes sistemas:

x  y 1  0 a) 2 x  y  6  0 x  3y  2

2x  4 y  z  3 x y 5 5 x  2 y  3z  7t  1 b) c) x  2 y  z  3 d) yx2 5 x  2 y  3z  4 3x  y  5 z  1

9 x  5 y  10 2x  3y  z  2  0 e) x  2 y  2 z  3  0 f) y  3z  5 3x  4 z  7 4 x  y  3z  4  0

x  3 y  z  1 x  5 y  3z  3 g) x  y  z 1 3x  7 y  5 z  5

Resuelve los siguientes sistemas homogéneos:

x yz 0 a) 2 x  y  0 x  3y  2z  0

x yz 0 h) 2 x  3 y  2 z  0 x yz 0

b)

x  2 y  3z  0 4x  5 y  6z  0 7x  8 y  9z  0

Resuelve los sistemas de ecuaciones: 2x  3y  1 x y 0

y

2x  3 y  0 x  y 1

Resuelve, utilizando un método algebraico, el siguiente sistema de

x yz 3 ecuaciones: 2 x  y  z  4 x  4 y  2z  5

Sea el sistema de ecuaciones:

x  2y  z  0 Hallar los valores de  y  2z  t  0 2 x  2y  t  0

para los que el rango de la matriz de coeficientes del sistema es 2. Resolverlo si  = 0

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales

ax  y  4 z  1  x  ay  2 z  1 yz a

a) Discutir el sistema según los valores de a. b) Resolver el sistema para a = 2. c) Resolver el sistema para a = 1 (PAU Septiembre 2000-01).

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del

x y 2 parametro real a: ax  y  2 z  0 Se pide: a) Discutir el sistema según x  y  az  1

los diferentes valores del parametro a. b) Resolver el sistema para a = - 1. c) Resolver el sistema para a =2. (PAU Junio 2001-02).

Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del

x  3 y  az  4 parámetro real a: x  ay  z  2 Se pide: a) Discutir el sistema según x  4 y  5z  6

los diferentes valores del parámetro a. b) Resolver el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. (PAU Modelo 2003-04).

Se considera el sistema de ecuaciones en las incógnitas x, y, z, t .

x  2y  z  0 y  2 z  t  0 a) Encuentra los valores de  para que el rango de la 2 x  2y  t  0

matriz de los coeficientes del sistema sea 2. b) Resuelve el sistema anterior para  = 0. (PAU Junio 1997-98). ax  y  z  a  1  a  2

Se considera el sistema de ecuaciones x  ay  z  a  12  a  2 x  y  az a  13 a  2

a) Comprobar que es compatible para todo valor de a. b) Describir en terminos geometricos el conjunto de soluciones para a =1 y para a = -2. c) Resolverlo para a = -2 (PAU Junio 1999-2000). 1 1 1      x   1 1    1 Se considera el sistema de ecuaciones:  a) Discu y  1  1   1      1 1   z   1      tirlo según los valores del parámetro real  . b) Resolverlo para   3 . c) Resolverlo para   1 . (PAU. Junio 2000-01). 2 x  my  3z  3 Se considera el sistema de ecuaciones: x  y  2 z  0 se pide: 5 x  m  1 y  z  9

a) Discutir el sistema según los valores de m. b) Resolver el sistema para el caso m = 0. (PAU Junio Especifica 2009-10).

m  2x  m  1y  z  3 Se considera el sistema de ecuaciones: mx  y  z  2

Se pide:

x  my  z  1

a) Resolverlo para m = 1. b) Discutirlo para los distintos valores de m. (PAU Junio 2002-03).

3x  4 y  3z  9 Se considera el sistema de ecuaciones: mx  2 y  z  5 x yz 2

Se pide:

a) Determinar los valores de m para que el sistema dado tenga solución única. b) Resolverlo para m = 1. (PAU Septiembre 2002-03).

Unidad 1: Matrices.

¿Cómo deben ser las matrices rectangulares M y N para que puedan efectuarse las multiplicaciones M.N y N.M?. Razonarlo. Si el orden de la matriz M es (m,n) y el de la matriz N es (p,q). Para poder multiplicar M·N , el numero de columnas de M debe ser igual al número de filas de N, es decir n = p. De igual forma, para poder multiplicar N·M, el numero de columnas de N debe ser igual al de filas de M, es decir q = m Por tanto, para poder multiplicar la M·N y la N·M a la vez, deberá verificarse que el orden de M sea (m,n) y el orden de N sea (n,m) respectivamente.

Comprobar con las matrices indicadas que: a) (B+C) ·A= B·A + C·A ; b) (5·A) ·B = 5 · (A · B)  1 2  5 3   4 0  ; B    ; C    A    0 2  2 1  1 6 1 3   1 2    5 5         a) B  C   A   1 8    2 1    15 10 

 5 3   1 2    1 13         B  A    0 2   2 1   4 2    1 13    4  8    5 5         B  A  C  A     4 2    11 8    15 10    4 0  1 2   4  8        C  A    1 6    2 1    11 8   1 2   5 10      b) 5  A  5     2 1    10 5 

5  A  B  

5 10   5 3   25 35           10 5   0 2    50  20 

7   25 35   5     5   A  B   5     10  4    50  20 

0

1

2  verifica la relación A + I = O Comprobar que la matriz A    1 0

1 0

 0 0

 y O    . Obtener una matriz B, distinta de ± A, donde: I   0 1  0 0 que también verifique la relación B2 + I = O.

a) Para comprobar A2 + I = O  calculamos A2

 0 1  0 1  1 0         Si le sumamos la matriz I nos queda que: A 2  A  A     1 0    1 0   0  1  1 0  1 0  0 0        A 2  I    0  1  0 1   0 0   x y  B2 + I = O  B2 = O - I = - I b) Si B   z t   x y   x y   1 0          operando el producto e igualando matrices queda:  z t   z t   0  1 y=0 x2 + yz = -1 xy + yt = 0 zx + tz = 0 zy + t2 = -1





x2 = -1 imposible



t2 = -1 imposible

y (x + t) = 0 x+t=0 z=0

 z (x + t) = 0 x+t=0 x2 + yz = -1 Solo nos queda que x + t = 0  x = - t junto con t2 + yz = -1 x=-t De estas dos últimas solo cojo una pues son iguales si x = - t y nos queda x2 + yz = -1 que nos dan infinitas matrices B Como pide una matriz B Si x = 1 ; t = - 1 Si y = 1  z = -2

1  1  B     2  1

y 12 + yz = - 1  yz = -2

Dada la matriz A, ¿existe una matriz B, tal que el producto A.B, o bien el B.A, sea una matriz de una sola fila?.  3 1 4  1   Poner un ejemplo con A   2 0 1 3  1 2 1 5    Siendo B de dimensiones (p,q) y A de dimensiones (3,4) Si multiplicamos A·B será necesario que el nº de filas de B sea igual al nº de columnas de A, es decir que p = 4 Esto nos indica que no existe ninguna matriz B de una sola fila. Si multiplicamos B·A será necesario que el nº de columnas de B sea igual al nº de filas de A, es decir que q = 3 y para que el resultado de B·A tenga una sola fila, será necesario que la matriz B posea una sola fila, es decir p = 1 En este caso la matriz B tendrá de dimensiones (1,3) Si tomamos B = (1 3  B  A  1 0 0   2 1 

0 0) y multiplicamos B.A nos queda: 1 4  1  0 1 3   3 1 4  1 2  1 3 

 0 1 2   Dada la matriz A   0 0 3  calcula las matrices A2, A3, A4 y A5. 0 0 0  

Obtén razonadamente la matriz An para n > 5 .  0 1 2  0 1 2  0 0 3       A2   0 0 3    0 0 3    0 0 0   0 0 0  0 0 0  0 0 0        0 0 3  0 1 2  0 0 0       A   0 0 0   0 0 3   0 0 0  O  0 0 0  0 0 0  0 0 0       3

A4 = A3 · A = O · A = O A5 = A4 · A = O · A = O Como consecuencia An = O · A = O

a a

2   0 a) Hallar a y b para que A = A Dada la matriz A   0 b

a b 

1 2

 y P    Hallar P para que b) Dada la matriz A   0 1 c d  A·P= P·A

a a a a a2       a) A   0 b 0 b  0 2

a 2  ab   b 2  a2 = a

a2 A2  A  0

 a2 – a = 0; a(a – 1) = 0

a 2  ab   a a     a2 + ab = a b 2   0 b  b2 = b

02 + 0·b = 0

b=0

No vale A es 0

b2 – b = 0 ; b· (b - 1) = 0

Si a = 0 b2 = b

b=1  b = 0  12 + 1·0 = 1 Sí

Si a = 1

b2 = b ; b2 – b = 0 ; b· (b - 1) = 0  b = 1  12 + 1·1  1 No

 0 0  Solo valen A1   0 1

1 1  A2   0 0

1 2  a b   a b  1 2  a  2c b  2d   a 2a  b                b)  d   c 2c  d  0 1  c d   c d  0 1  c

a  2c  a  2c  0 b  2d  2a  b cc d  2c  d  2c  0

2c = 0  c = 0 a

b + 2d = 2a + b ; 2d = 2a ; a = d  b

a b  a, b   P   0 a

0 1

 encontrar una matriz cuadrada X de Dada la matriz A   1 0 orden 2 tal que: A + X = A·X + X·A.

a b   Sea X   c d 

0 A  X   1 a X  A   c

0 1  a b   a 1 b        A  X   d   1 0   c d  1  c

1  a b   c d     0   c d   a b  b  0 1  b a    d   1 0   d c 

Si A+ X = A·X + X·A

a  cb 1 b  a  d 1 c  a  d d bc

=>

c  d A  X  X  A   a  d

 a 1 b  c  b   d   a  d 1  c

d  a  b  c 

d  a   b  c 

ad 1  b  2a  1  b  2a   1 b  1 c  b = c 1  c  2a 1 c  a  d

1 + b = 2a  b = 2a – 1

2a  1  a  a   La matriz X   a   2a  1

 2 0 1    Dada P   1 0  2  a) Hallar M = P2 – 2P + 3I  0 1 1  

b) Hallar todas las matrices simétricas de segundo orden, que verifiquen que A2 = I, siendo I la matriz unidad. 1  3  2 0 1   2 0 1   4       a) P   1 0  2    1 0  2     2  2 3   0 1  1   0 1  1   1  1  1       2

 4 0 2    2P   2 0  4   0 2  2  

1  3    4 0 2   3 0 0   11 1  5   4         M    2  2 3    2 0  4   0 3 0    4 1 7   1  1  1  0 2  2  0 0 3  1  3 4          a c  b) A    c b

A2 = I

 a 2  c 2 ac  cb   1 0     ca  bc c 2  b 2    0 1     

Si c = 0

a2  1 b 1 2



a  1 b  1

Si a = - b  b2 + c2 = 1 ;

 a c   a c  1 0         ;  c b  c b 0 1

a2  c2  1 ac  bc  0  c  a  b  0 c2  b2  1 1 0   , 0 1

1 0    ,  0 1

c   1  b2

 1 0   ,  0 1

 b A   1  b2 

c0 a  b  0  a  b 1 0     0  1

 1  b2 b

  b  [1,1]  

Dada una matriz P , a) ¿existe una matriz Q tal que el producto P·Q, o bien el producto Q·P sea una matriz de una sola fila?. b) Calcular la matriz   1 3  2 1  

M = P2 – 3P- 2 I, siendo I la matriz identidad de orden 2 y P =  a) Pnxm · Qpxq = A1x q Siempre que m = p y n = 1 P1x m · Qmxq = A1x q

  1 3   1 3   1 3 1 0      3     2     b) M = P2 – 3P – 2I = P·P – 3P – 2I =   2 1  2 1  2 1 0 1  7 0   3 9  2 0  8  9           =   0 7   6 3  0 2    6 2 

Dadas las matrices

 1 2 3 7  x       A   3 2 1  , B   9  y X   y  escriba las 1 1 1  4 z      

tres ecuaciones del sistema A·X = B y resuélvelo encontrando todas sus soluciones.  1 2 3  x   7         3 2 1   y    9  1 1 1  z   4       x + 2y + 3z = 7 y + 2z = 3  - y – 2z = - 3 e3+e2

x  2 y  3z  7 e2  3e1 3x  2 y  z  9  e3  e1 x yz 4

x + 2y + 3z = 7 y + 2z = 3 0z = 0

x  2 y  3z  7  4 y  8 z  12  y  2 z  3

sistema compatible indeterminado

y = 3 – 2z x + 2·(3 – 2z) + 3z = 7  x + 6 – 4z + 3z = 7  x = 1 + z

Las infinitas soluciones

x= 1+λ y = 3 - 2λ z= λ

 e3  e 2

2  1 2 1 0 0     Dadas las matrices A    1  1 1  I   0 1 0  Se pide: 1  2 2  0 0 1    

A) calcular la matriz (A – I )2. B) haciendo uso del apartado anterior, determinar A4 2  1  1 2    a) A  I    1  1 1    0  1  2 2  0    2  1  1 1    2 A  I     1  2 1     1  1  2 1   1   

0 0  1 2   1 0   1  2 0 1    1  2 2  1  0 0    2 1   0 0  2 1   0 0

 1  1 1  0  0 0 

b) A4 = A2·A2 Calcularemos A2 partiendo de (A – I )2 (A – I )2 = (A – I ) · (A – I) = A2 - A · I – I · A + I2 = A2 – 2A + I Como (A – I )2 = 0

 A2 – 2A+ I = 0



A2 = 2A– I

A4 = ( 2A– I ) · ( 2A– I ) = 4A2 – 2.A·I – 2·I·A + I2 ; A4 = 4A2 – 4A + I = 4A · (A – I) + I

2  1  1 2  1  1 0 0  2  1  1 0 0  2 1           A  4   1 1 1    1  2 1    0 1 0  4   1  2 1    0 1 0   1  2 2   1  2 1  0 0 1  1  2 1  0 0 1           4

8  4 1 0 0  5 8  4  4          4  8 4    0 1 0    4  7 4    4  8 4  0 0 1   4  8 5       

Determinar los valores x, y, z para que se verifique la igualdad: 1 x

1 x y x

y x

1  x

y 1  x   y

1  y 2   x  yz 

=

x   5 0   x   0 5 

5 0 0 5

Multiplicamos las dos primeras matrices y queda que

x  yz   5 0    Igualando los cuatro términos de ambas matrices x 2 y 2   0 5 

1 y2  5  y2  4 llegamos a un sistema de ecuaciones. x  y  z  0

y=  2

x2  z2  5 x + 2z = 0  x = - 2z Para y = 2 x2 + z2 = 5

 4z2 + z2 = 5 ; 5z2 = 5 ; z2 = 1 z = 1  x =  2

x=-2 x=2

y=2 z= 1 y=2

z=-1

x - 2z = 0  x = 2z Para y = - 2 x2 + z2 = 5

 4z2 + z2 = 5; 5z2 = 5; z2 = 1 z=  1  x=  2

x=2 x=-2

y=-2 z=1 y=-2 z=-1

estas son las 4 posibles soluciones que verifican la igualdad matricial.

Encontrar los valores x, y , u y v que verifican:  2  3  x     1 0   u

y    4 0   v   1 3 

 2 x  3u 2 y  3v    4 0       x y 1 3    

2 x  3u  4 2 – 3u = -4  3u = 6  u = 2 x 1 2 y  3v  0 y3

6 – 3v = 0  3v = 6  v = 2

1 2    2 1  y B   3 4  a) Las Hallar: Dadas las matrices A    3 1 5 6  

dimensiones de X para que X·A = B. b) Una solución de la ecuación. ¿Es única la solución? a) Para poder multiplicar Xnxm· A2x2 = B2x3 / m = 2

a  b) X   c e 

b  d f 

a  c e 

y n=3

b 1 2  2a  3b a  b   1 2    2 1          3 4    2c  3d c  d    3 4  d    3 1    2e  3 f e  f   5 6  f   5 6    

2a  3b  1 ab  2

2a  3b  1  2a  2b  4

b = -3

2c  3d  3 cd 4

2c  3d  3  2c  d  8

d = -5 ; c = 4 – d

2e  3 f  5 e f 6

2e  3 f  5  2e  2 f  12

 5  3   X   9  5 13  7   

y es única

f = -7

;a=2–b ; a=2+3 ;a=5

;e=6–f

; c=4+5 ; c=9

; e = 6 + 7 ; e = 13

1 3 1   Hallar los productos A ∙ B y B ∙ A para las matrices A   2 0 4  y 1 2 3    2 1 0   B   1 1 2 3 2 1   1 3 1  2 1 0  8 0 7       A  B   2 0 4    1  1 2   16 10 4   1 2 3   3 2 1  13 5 7         2 1 0 1 3 1  4 6 6        B  A   1  1 2    2 0 4    1 7  3  3 2 1   1 2 3   8 11 14         a 1 0   Hallar todas las matrices X de la forma  0 b 1  tales que 0 0 c    1 0 1   2 X   0 b 1 0 0 c   2  a 1 0  a 1 0  a       0 b 1   0 b 1   0 0 0 c 0 0 c  0     



Si Si Si Si

1  a 2  a  1 0  ab b 2  b; 1 bc

ab 1   1 0 1    2 b b  c    0 b 1 0 c   0 0 c 

b·(b-1) = 0  b = 0, 1

a = 1 y b = 0  0 = 1 + 0 No vale a = 1 y b = 1  0 = 1 + 1 No vale a = -1 y b = 0  0 = -1 + 0 No vale a = -1 y b = 1  0 = - 1 + 1 Si vale y la c = 1 – b = 1 – 1  c = 0

 1 1 0   A   0 1 1  0 0 0  

Hallar

+Y siendo X e Y matrices que verifican:

 2 0  5 X  3Y    4 15    1  1  3 X  2Y    2 9 

Primero resolvemos el sistema en x e y

0  2 0  6   15 X  9Y    5 X  3Y    1 5   1  5   4 15    12 45    y     y   0  5   1  1  5   2 0 2   15 X  10Y    3 X  2Y    2 9 10  45      1  1  1  5  3 9  1 3 1  3 9   2    ; 3X     X     ; X    3X   3   6 9  2 9  2 0    6 9   2 3  1 3   1 3    1  5    5 12    1  5    6 7            X 2  Y   0    8 3   2 0    6 3    2 3   2 3  2

Obtén las matrices A y B que verifican el sistema:  1 2 2  2 A  B     2 1 0   4  3  2  A  3B    1 0  1  

2A  B  X 2A  B  X 1   7B  X  2Y  B   X  2Y  7 A  3B  Y  2 A  6 B  2Y 2A  B  X 6 A  3B  3 X  A  3B  Y A  3B  Y

 7 A  3X  Y  A  3 X  y 

B

1  1 2 2    8  6  4  1 10 8 6        7   2 1 0    2 0  2  7  0 1 2 

A

1  3 6 6   4  3  2 1  1 3 4         7   6 3 0    1 0  1  7   7 3  1

1 7

Resolver el sistema matricial:

  1 3  2 X  3Y    2 5 0  9  9 X  3Y   3 6 

  1 3  2 X  3Y   2 5    0  3  3 X  Y   1 2 

 1  6 1  1  6  X    11X   11  5 11   5 11 

 0  3  0  3 1  1  6   Y     3     3 X  Y   11  5 11  1 2  1 2 

3  0  3   11    Y    1 2   15  11

 18   3   11    11 4 3     11

 15   11   1  

Sea A la matriz de una sola fila 2 1 5 y sea B la matriz de una  3   sola columna  2  . ¿Se pueden multiplicar A · B y B · A ?  4   A1x3 y B3x1 luego es multiplicable

 3   A  B  2 1 5   2   2  3  1  2  5  4  28  4   B3x1 y A1x3 luego son multiplicables

 3  6 3 15      B  A   2   2 1 5   4 2 10   4  8 4 20     

A.B  B.A

 1 1 n  Hallar A , siendo n un número natural  0 1

Sea A la matriz  arbitrario.

 1 1  1 1  1 2         A 2  A  A   0 1 0 1 0 1        1 2   1 1  1 3         A3  A 2  A    0 1   0 1  0 1   1 3   1 1  1 4         A 4  A3  A    0 1   0 1  0 1  Se observa fácilmente que el a11 =1 siempre, el a21 = 0 y el a22 = 1 .El único que cambia es el a12 pero sigue una ley de recurrencia ya que su valor coincide con el exponente de la A.

1 n  1 5  Si damos n =5  A5    A n   0 1  0 1  1 4   1 1  1 5         Comprobamos que A5  A 4  A    0 1   0 1  0 1  Como lo verifica para n= 5, lo verificara para cualquier n

Sea A una matriz cuadrada. Si A2 + 2A+ I = 0, donde I es la matriz unidad, comprobar que A es invertible. Una matriz es invertible siempre y cuando A  0 El problema surge de que tenemos que partir de la ecuación matricial A2 + 2A + I = 0 A2 + 2AI + I = 0 ;

A· (A +2I ) + I =0

A · (-1) · (A + 2I ) = (-1) · (-I ) A-1 · A · (- A - 2I ) = A-1 · I ;   I A-1 A-1 = - A - 2I

A· ( A + 2I ) = - I

;

A · (- A – 2I ) = I multiplicando a la izda por A-1 I · (- A – 2I ) = A-1

La inversa de A se obtiene restándole a la matriz - A, la matriz 2I

1 1

 Hallar la ley de formación para las Sea la matriz A    0 2 potencias sucesivas de A, calcular An y demostrarlo por inducción.

1 A  A  A   0 1 A3  A 2  A   0 2

 1 2 n  1  A n   n  0 2  

1 1 1 1   2   0 2   0 3 1 1 1   4   0 2   0

3   1 2 2  1   4   0 2 2  7   1 2 3  1   8   0 2 3 

Comprobación para n = 4

 1 2 4  1  A 4   4  0 2  

 1 7   1 1   1 15         A 4  A3  A    0 8   0 2   0 16 

a b b   Sea la matriz A   b a b  b b a  

Hallar a y b para que A2 = I.

2 2  a b b   a b b   a  2b      A 2  A  A   b a b    b a b    2ab  b 2  b b a   b b a   2ab  b 2     

a 2  2b 2  1 2ab  b 2  0 Si b = 0



2ab  b 2 a 2  2b 2 2ab  b 2

 2ab  b 2  0  b  2a  b  0 a2 + 2.02 = 1

a2 = 1

;

Si b = -2a  a2 + 2 (4a2) = 1

b  0  a 1 b  0  a  1 Soluciones: a  1  b   2 3 3 1 2 a b 3 3  1 / 3  2 / 3  2 / 3   A    2 / 3 1 / 3  2 / 3   2 / 3  2 / 3 1/ 3   

;

;

2ab  b 2   1 0 0     2ab  b 2    0 1 0  a 2  2b 2   0 0 1 

b0 2a  b  0  b  2a

a = ±1

a2 + 8a2 = 1

;

9a2 = 1

;

a2 = 1/9 ;

1 0 0 1 0 0      A   0 1 0 ; A   0 1 0  0 0 1  0 0  1       1/ 3 2 / 3 2 / 3    A   2 / 3  1/ 3 2 / 3   2 / 3 2 / 3  1 / 3  

a = ± 1/3

Sea la matriz fila X  1 2 3 : a) Hallar Xt. b) Hallar A = Xt.X c)Comprobar que la matriz A no tiene inversa. 1   a) X   2   3   t

1  1 2 3     b) A  X t  X   2   1 2 3   2 4 6   3  3 6 9     c) A no tiene inversa porque |A| = 0 , ya que tiene las 3 filas proporcionales.

10 2 

 . Encuentra una matriz cuadrada triangular B tal Sea A    2 4 que B · Bt = A. ¿Es única la matriz B?.

a b  una matriz triangular de dimensión 2x2 Sea B   0 c a o  a b   a 0  10 2   Como B · Bt = A          Su traspuestas será : B t    0 c   b c   2 4 b c

a 2  b 2  10 bc  2  c=±2 c2  4 Si c = 2 ; b = 2 / c = 2 / 2  b = 1 ;

a2 + 12 = 10  a2 = 9 a = ± 3

Si c = - 2 ; b = 2 / -2  b = -1 ;

a2 + (-1)2 = 10  a2 = 9 a = ± 3

3 1  Hay 4 soluciones diferentes  0 2

 3 1 3 1      0 2  0  2

  3 1    0  2

Sea una matriz cuadrada A de orden n tal que A2 = A, sea I la matriz unidad de orden n y sea B = 2A – I, calcular B2 . A2  A B  2A  I

B2 = B · B = (2·A – I) · (2.A – I) = 4 ·A2 – 2·A·I – 2·I·A + I2 B2 = 4·A – 2·A – 2·A + I = I

Sean A, B y C matrices cuadradas de orden n. Si se verifica que 1 A· B = A· C. ¿Se puede concluir que será B = C? Si no es así, mostrarlo con un ejemplo sencillo. No se puede asegurar que B = C en cuanto que la matriz A no posea matriz inversa, y esto sucederá cuando el determinante de A sea cero.

1 0 1 0  1 0  B    y C    en donde el A  0 Sea A    0 0 0 1 1 1   1 0  1 0   1 0         Si multiplicamos A  B    0 0  1 1   0 0  1 0 1 0 1 0        Si multiplicamos A  C    0 0  0 1  0 0 1 0  Como podemos observar el A  B  A  C    0 0

mientras que B  C

 1  2  4 0  y B   0    1 3

Sean A y B las matrices A   2

Hallar (A + B) 2 y A2 + 2AB + B2. ¿Se obtiene el mismo resultado?

 1  2  4 0 5  2        A  B   2 0  1 3 1 3      

;

5  2   5  2   23  16         1 3 1 3 8 7      

 A  B 2  

 1  2  1  2   3  2        A 2    2 0   2 0   2  4  1  2  4  0  6  6  12  12       2       2 A  B  2    2 0   1 3   8 0  16 0   4 0   4 0   16 0         B 2     1 3   1 3   7 9   3  2  12  12   16 0   25  24            A 2  2 A  B  B 2   5   2  4  16 0    7 9   11 Como se puede observar: (A + B) 2  A2 + 2AB + B2

Se comprueba que: (A + B) 2 = A2 + A·B + B·A + B2

 1 2

6 

3 0

4 

 ; B    Sean las matrices A    0 1  4  9 2  3 Hallar a) 3 · A - 2 · B ; b) A - 2 · (A + B) ; c) A – 9 · B ; d) 9 · A – B

a)

 1 2 6   3 0 4    3 6 18   6 0 8    9 6 10    2             3    0 1  4  9 2  3   0 3  17  18 4  6    18  1  6   1 2 6   2 2 10    1 2 6   4 4 20    2           b) A  2   A  B     0 1  4  9 3  7   0 1  4  18 6  14    5  2  14       18  5 15   30    1 2 6   27 0 36    28 2        c) A  9  B    0 1  4   81 18  27    81  17 23    9 18 54   3 0 4    12 18 50      =   d) 9  A  B    0 9  36   9 2  3    9 7  33 

Sean las matrices

 1 2 0  5 4 3     A   1 3 9 ; B  1 0 8  1 1 4   4 1 2    

Hallar: a) A∙ B , b) B ∙A , c) A² d) B² , e) (A∙B) ² , f) A² ∙ B² . ¿Se obtiene el mismo resultado en e) y en f) ?   1 2 0   5 4 3    7  4 13        a) A  B   1 3 9     1 0 8     7 13 63    4 1 2    1 1 4    23  14 4         5 4 3    1 2 0    13 25 42        b) B  A    1 0 8    1 3 9     31 6 16    1 1 4    4 1 2    14 5 17        4 18   1 2 0  1 2 0   3       c) A   1 3 9    1 3 91    34 20 45    4 1 2    4 1 2    3  3 13        2

d) e)

f)

No se obtiene el mismo resultado, debido a la no conmutatividad de matrices

Se considera la matriz

donde a, b y c son tres

números reales arbitrarios. Encuentra An para todo numero natural n.

An = O para todo numero natural n

Se consideran las matrices Calcular B3 , Calcular A4 haciendo A = B + I

b) A4 = (B + I)4 = B4 + 4.B3.I + 6.B2.I2 + 4.B.I3 + I4 = =

Se sabe que la matriz A =

Verifica la

igualdad A² = A + I, siendo I la matriz identidad.

Calcular A-1 y A4 .

Partiendo de A² = A + I  A·A = A + I  multiplicamos a la derecha por A-1 los dos miembros A.A.A-1 = (A + I) · A-1 ; A · I = A · A-1 + I· A-1 I I A = I + A-1

 A-1 = A - I

3  0  4  7 A-1 =  9 2   2 5 

2 1 1 0   1  6  0 1  1 7  0 0   3  3   0 0

0 0 1 0

0  1 3   0  7 3   0 9 2     1  2 5

2 1  1  6 0 7   3  4 

A4 = A2 · A2 = (A + I)· (A + I) = (A + I)· A + (A + I) · I= A ·A + I · A + A · I + I · I = A2 + A + A + I = A + I + 2A + I = 3A + 2I =

3  0  4  7 3·  9 2   2 5 

2 1 1 0   1  6  0 1 2 1 7  0 0   3  3   0 0

0 0 1 0

0  2 9   0   21 14  0    27  6   1   6 15

6 3   3  18  5 21   9  7 

¿Tiene la propiedad conmutativa la multiplicación de matrices cuadradas?. ¿Y la de matrices rectangulares?. Mostrar ejemplos sencillos. El producto de dos matrices no cumple siempre la propiedad conmutativa. Si las matrices M y N no son cuadradas, para que se puedan multiplicar M·N y N·M deberán ser de dimensiones (m,n) y (n,m) y entonces M·N será de dimensiones (m,m) N·M será de dimensiones (n,n) Por tanto la pregunta solo tiene sentido cuando m = n, es decir para matrices cuadradas del mismo orden. Ahora bien, si tomamos dos matrices cualesquiera de orden 2, podemos ver que no conmutan.

UNIDAD 2 : Determinantes. Matriz Inversa. Calcula el siguiente determinante, haciendo previamente ceros en la segunda columna:

f2 + 6f1 = f3 – 3f1 f4 + 9f1

= (-1) A12 =

= c1 – c2 =

= (-1)·(-1) ·

=

f2 + 10f1 = f3 + 3f1

= 18483 - 21573 = - 3090

Aplico la regla de Chio y en el determinante 2x2 aplico Sarrus

Calcula, en función de a,b y c el valor de:

14 · (b – a) · (c – a) · (c – b) (1)

(2)

(1) Si una línea de un determinante se divide por un numero k, el nuevo determinante viene multiplicado por dicho numero k (2) Es un determinante de Van der Monde.

Calcula los valores de x para que sea 2 el rango de la matriz

Para que el rg A = 2



 - 1 + 3x - 3 + x = 0  4x = 4  x = 1

Para x = 1, el menor de orden 3 es nulo  No existe menor principal de orden 3  rg A = 2

Calcular, en función de n, el valor del determinante

Como puede observarse el determinante vale 0 para cualquier valor de n.

Calcular el determinante

(1)

(2)

(1) Si cambiamos una línea de un determinante por una combinación lineal de ella con otra paralela, el nuevo determinante no varia. (2) El determinante de una matriz triangular vale el producto de los elementos de su diagonal principal.

Procedimiento a): Trabajaremos con las filas realizando combinaciones lineales.

f2 – f1  f2 ; f3 – f1  f3 ; f4 – f1  f4 =

c2 + c1  c2 =

=

c2 + c1  c2 =

= (-1) (-1)

=

=

= 3a + 1 + a = 4a + 1.

Procedimiento b):

= c1 + c2 + c3 + c4  c1 =

=

c1 : (4a + 1) =

(4a + 1)

f2 – f1  f1 ; f3 – f1  f1 ;

f4 – f1  f1 = (4a + 1)

= (4a + 1) · 1 = 4a + 1.

=

Calcular los determinantes:

= 0 (1)

(2)

=0 (1)

(2)

(1) Un determinante no varia si se cambia una línea por una combinación lineal de ella con otra paralela. (2) Si en un determinante hay dos líneas paralelas proporcionales, su determinante vale 0

Calcular para que valores de k la siguiente matriz es invertible. En esos casos escribir sus matrices inversas. A tendrá matriz inversa cuando el determinante de la matriz no sea cero. = 9k – 12 – 3 + 18 = 9k + 3 Si

A = 0  9k + 3 = 0  9k = - 3  k = - 1 / 3

Para todos los valores de k distintos de – 1 / 3 existirá A-1

= (1)

(2)

(1) Un determinante no varía si se cambia una línea por una combinación lineal de ella con otra paralela. (2) En un determinante con dos líneas paralelas iguales , vale 0

(1)

(2)

(1) Si en un determinante existe una línea descompuesta en dos sumandos, se podrá descomponer en suma de dos determinantes, en donde las líneas no descompuestas se mantendrán iguales y la línea con dos sumando se descompondrá cada sumando en un determinante. (2) Si en un determinante existen dos líneas paralelas iguales, el determinante vale cero. De otra forma:

(3)

(2)

(3) Si en un determinante intercambiamos una línea por una combinación lineal de ella misma con otra paralela, el nuevo determinante no varía.

a) Halla para que valores del parámetro b existe A-1 . b) Calcula A-1 para b = 2.

a)

Para que exista A-1 el Buscamos los valores de b para que valga 0

- b2 + 4b - 3 = 0  b2 - 4b + 3 = 0

b ≠ 1, 3 Para b = 2

el



existe A-1 = -4+8–3=1

Contesta a las siguientes cuestiones: a) Enuncia dos propiedades de los determinantes. b) Calcula el siguiente determinante:

=

=

(1)

(2)

= (1) = (x + 3) · (x – 1)3 (1) Si cambiamos una línea por una combinación lineal de ella con otras paralelas, el nuevo determinante no varía. (2) Si dividimos una línea por un numero o función, el nuevo determinante vendrá multiplicado por dicho numero.

a) Hallar A-1 . b) Comprobar que se verifica A2 – 3·A – 4·I = O . c) Hallar A-1 a partir de la igualdad anterior

a)

=2–6=-4

=

;

b)

=

.

c) A·A – 3·I·A - 4·I = O  (A – 3·I) ·A - 4·I = O  (A – 3·I) · A = 4·I (A – 3·I) · A · A-1 = 4·I · A-1  A – 3·I = 4 · A-1 

, averiguar para que valores del parámetro ß la matriz no tiene inversa. Calcular su inversa cuando ß = 2. Para que la matriz A pueda invertirse, debe ser A  0. = - ß2 + 4ß - 3 Si hago que ß tenemos que ß = 1 y ß = 3

= 0 resolviendo la ecuación de segundo grado en

Cuando ß = 1 o cuando ß = 3 la matriz A no posee inversa. Calculemos la inversa de A, para ß = 2. -4+8-3=1

Para comprobarlo A.A-1 = I

Halla el valor no nulo de c para el cual la matriz A2 es diagonal . con este valor de c hallar A-1 .

 2c + c2 = 0  c · (2 + c) = 0

1+8+8-4–4-4=4

Dada la matriz invertible A = a) At · A b) A · At A-1 · At

hallar :

c) A · A-1

d) A-1 · A

e) At · A-1 f)

Calculo At = Calculo A-1: |A| =

= 4+ 0 – 12 – 0 – 3 + 10 = –1

Ad =

A-1=

(Ad) t =

(Ad) t=

=

a) At · A =

·

=

b) A · At =

·

=

c) A · A-1 =

·

d) A-1 · A =

e) At · A-1 =

f) A-1 · At =

=

·

·

=I

=

=

·

=

=I

Demostrar que es nulo, sin desarrollar, el siguiente determinante

=

=

=

= 0

El determinante de una matriz cuadrada A de orden tres vale 16. Hallar el determinante de las matrices: a) 5A ; b) –A ; c) -6A ; d) At ; e)At · A ; f) A · At 3x3

= 16 = 125 · 16 = 2000

b)

= - 16

c)

= - 216 · 16 = 3456

d) e)

= 16 · 16 = 256

f)

= 16 · 16 = 256

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n vale k. Hallar el determinante de las matrices 5A ; -A ; At y A · At . | A |nxn = K. | 5A |nxn = 5 n · | A | = 5n · K | - A | = (-1)n · | A | = (-1)n · K | At | = | A | = K |A · At| = | A | · | At | = K · K = K2

El determinante de una matriz cuadrada A de orden n es k. ¿Qué condición debe verificar k para que la matriz tenga inversa? ¿Cuánto vale en ese caso ? para que A posea inversa

es decir



=

Encontrar las transformaciones de filas o columnas necesarias para deducir:

=

= 1 • (-1)5

·

= - (1 - a)· (1 - a) · A11 = - (1 - a) · (1 - a) · (- a2 – 2a +3) = (1 - a)2 · (a2 + 2a - 3) = (1 -a)2 · (a - 1) · (a + 3) = = (- (a - 1) )2 · (a - 1) · (a + 3) = (a - 1)3 • (a + 3)

Escribir la matriz inversa de

. Comprobar el resultado

multiplicándolo por la matriz dada. Calculemos el

= 2 - 3 = - 1  0 con lo que se puede calcular la inversa de A.

Calculemos los adjuntos de la matriz A.

A11 = 1 ; A12 = - 1 ; A21 = - 3 ; A22 = 2

= Comprobación:

·

Escribir la matriz inversa de la

y comprobar que

existe, cualquiera que sea el valor de a. Para que exista la matriz inversa, el determinante de la matriz deberá ser no nulo. =2-a+a-3=-1 Al ser el determinante  0 e independiente del valor de a, la matriz inversa existirá siempre para todo valor real de a.

Comprovemos que A.A-1 = A-1.A = I

Halla el rango de la matriz :

existe menor principal de orden 1 = 7 + 6 = 13 ≠ 0 existe menor principal de orden 2

= - 105 ≠ 0 existe menor principal de orden 3

=

= - 35 · (3 – 4) = 35 ≠ 0 existe menor principal de orden 4  rg A = 4

verifique que su traspuesta es igual a su inversa. En esos casos hallar A4 . At = A-1  At · A = A-1 · A  At · A = I



1 + a2 = 1  a2 = 0  a = 0 Como a·b = 0 y como a·c = 0  valido para todo b y todo c perteneciente a los nº reales. ½ + b2 = 1  b2 = ½  De las cuatro posibilidades solo son validas ½ + c2 = 1

 c2 = ½ 

los valores de b y c que tengan signos opuestos, para que al sustituir en ½ + b·c = 0, la verifique, es decir Si a = 0 ;

Si a = 0 ;

=I

A3 = A2 · A = I · A = A Las potencias impares dan A y las potencias pares dan I A4 = A3· A = A · A = I

Hallar el rango de la siguiente matriz M , según los valores de α, β y γ:

Para calcular el rango utilizaremos la propiedad de que una combinación de filas paralelas no varía el rango de la nueva matriz.

=

= rag (1)

(2) (1) si divido una fila por una número real el rango no varía (2) dos filas paralelas proporcionales hacen que el rango disminuya en una fila. Luego rg M < 3 α=β=γ=1

 rg M = 1  rg M = 2

α=β≠γ

 rg M = 2

α≠β=γ

 rg M = 2

Hallar la inversa de la matriz

;

Hallar la matriz A-1 en función de A sabiendo que existe y que se verifica A2 + 7A = I. A2 + 7·A = I  A · A + 7·I· A = I  (A + 7·I) · A = I (A + 7·I) · A · A-1 = I · A-1  A + 7·I = A-1

Hallar la matriz inversa de I - A siendo: eI=

=B

Hallar la matriz inversa de

y comprobar el resultado,

multiplicándola por la matriz dada. Si llamamos A a la matriz dada, un método para calcular la matriz inversa A-1 es: = 2 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 2  0 luego puedo invertir.

Calculemos los elementos de la matriz adjunta

Por último la

Para comprobar el resultado A.A-1 = I

Hallar los determinantes de las siguientes matrices b) B =

=

= (-1)·(-1)·

=

=

= 1 · A11 =

= 1· A23 = (-1)·

=0

=

= - (90 + 14) = - 104

Obtén el valor de los siguientes determinantes, utilizando el método del pivote:

= 1 · ( - 30 – 2 + 0 + 2 + 0 + 10) 20

= 1 · ( 9 + 8 – 0 – 0 + 8 – 12) = 13

Obtener, simplificando, el desarrollo del determinante

Aaplicam0s las propiedades de los determinantes para no desarrollar por Sarrus.

=

= (1)

(1)

·

· (2)

= 2· a2 · b4 · c2 (3)

1: Si dividimos una línea por un mismo número real distinto de cero, el nuevo determinante queda multiplicado por dicho número. 2: Si sustituimos una línea por ua combinación lineal de ella con otra paralela, el determinante no varia. 3: El determinante de una matriz triangular (ceros por debajo de su diagonal principal) vale el producto de los elementos de la diagonal principal.

Probar que

= sen (b - c) + sen (c - a) + sen (a - b)

Si desarrollamos por los elementos de la primera columna

=

= (sen b.cos c - cos b.sen c) + (sen c.cos a - sen a.cos c) + + (sen a.cos b - sen b.cos a) = sen (b - c) + sen (c - a) + sen (a - b)

Probar que:

(1)

(2)

(1) Si cambiamos una línea de un determinante por una combinación lineal de ella con otra paralela, el nuevo determinante no varia. (2) El determinante de una matriz triangular se calcula multiplicando los elementos de la diagonal principal.

Prueba que

= 1·

= = (a – 1)2 · (a + 2)

= - (a – 1) · (- a2 – a + 2) = (a – 1) · (a2 + a – 2 ) =

=

Resolver la ecuación

=0

Apliquemos las propiedades de los determinantes para rebajar el orden y poder calcular su valor. Luego lo igualaremos a 0 para resolver la ecuación. –

=

=

(1) (2)

= -1 ·

=

= - (x - 1)

=

= - (x - 1)

=

= - (x - 1) · 1 = - (x - 1)

= =

= - (x - 1) (-x2 + 2x - 1) (x3 - 3x2 + 3x - 1) = = - (x – 1) · [- (x – 1)2] · (x – 1)3 = = + (x – 1)6 Para resolver la ecuación (x – 1)6 = 0  x = 1 No olvidar explicar las propiedades (1) y (2).

Resolver la ecuación:

=0

= a · (a - 1) · (a + 3) · 2a = 2 a2 ·(a - 1)·(a +3)

2a2 = 0; 2 a2· (a - 1) · (a + 3) = 0

a=0

a-1=0;

a=1

a + 3 = 0;

a = -3

En un determinante de una matriz triangular, su resultado es el producto de los elementos de la diagonal principal.

Resolver las ecuaciones: a)

a)

= -

x -1 -1 0 -x x -1 1 1 -1 x 1 1 -1 0 x

c2 + c1 ======= c4 – xc1

x -x 1 1

-1 + x -1 0 -1 0 x 0 0

- x2 1 + x2 =1 · A41 = 1-x 0

-1+x -1 -x2 -1 1+x2 0 -1 1+ x2 = - (-1+x) A11 = (1-x) = (1- x)[ - (1-x) – x (1+x2)]= 0 x 1- x x 1 -x

= (1 - x) · (-1 + x – x – x3) = (1 - x) · (-1- x3) 1-x=0; x=1 (1-x) · (-1- x3) = 0 - 1 - x3 = 0 ; x3 = -1 ; x = 3√-1 = -1

b)

x -1 -1 c2 +c1 -x x -1 ====== 1 -1 x c3 –xc1

x x+1 -x 0 1 0

-1 - x2 -1 + x 2 -1 + x =1 · A13 = 1 0 0

-1 - x2 = -1 + x2

-1 + x= 0 ; x = 1 2

2

=(-1 + x) · (-1 + x ) ; (- 1 + x) · (-1 + x ) =0 -1+ x2 = 0 ; x2 = 1 ; x =  1

Resolver las ecuaciones: a)

b)

a)

=0

= 1 · A21 = (1)

(2)

= 1 · (-1) ·

= (-1) · A12 (1)

(2)

= (-1) · (-7 – 12x + 42) = - 35 + 12x

= (-1) · (-1) · (-1) ·

e igualandolo a cero queda  12x = 35  x = 35 / 12

b)

= (1)

= 1 · A11 =

= - x2 - x

(2)

Si igualamos a cero  - x2 – x = 0  -x · (x + 1) = 0

(1) Si cambiamos una línea de un determinante por una combinación lineal de ella con otra paralela, el nuevo determinante no varia. (2) Desarrollamos por los elementos de una línea.

Resolver las ecuaciones:

a)

=

–

–

= (2 – x) · (3 – x) · [3 + x – 2 – x] = (2 – x) ·

(3 – x) Como debe valer cero (2 – x) · (3 – x) = 0 

Sale tambien por Van der Monde. [3 – (-1)] · [z – (-1)] · (z – 3) = 4 · (z + 1) · (z – 3) (1) Como debe de valer cero  4 · (z + 1) · (z – 3) = 0  (1) Aplicando el determinante de Van der Monde.

Resolver las ecuaciones siguientes:

– = 28 · (x – 4) = 0 ; x = 4

; 2a3 = 0 ; a3 =0;a=0

= 2 · 2 (k2 – 7) = 4 (k2 – 7); k2 – 7 = 0; k2 = 7; k =

= 1 + 2x + x (x – 2) = 1 + 2x + x2 – 2x = 1 + x2; 1 + x2= 2; x2-1 = 0; x2 = 1 ; x =

?. ¿Por que?.

Para llegar al segundo determinante a partir del valor del primero, habrá que realizar dos transformaciones.

averigua el valor del determinante de las siguientes matrices:

=

es 25, calcular razonadamente el valor de

= 8·25 = 200

Se pide: a) Calcular el rango de A. b) Hallar la matriz A12

rg A = 3 pues una vez hechos los ceros por debajo de la diagonal principal, me quedan 3 líneas linealmente independientes

Siguiendo y como a partir de ahora habrá que multiplicar por la matriz nula, nos quedara que

(1)

(2)

(3)

(1) Si en un determinante hay una línea descompuesta en dos sumandos, se descompondrá en dos determinantes en las que las filas no descompuestas, aparecerán tal cual en cada determinante y los primeros sumandos de la descompuesta irán al primer determinante y los segundos sumandos irán al segundo determinante. (2) Si en un determinante existen dos líneas paralelas proporcionales, su valor es cero. (3) Si dividimos una línea por un mismo número, el determinante vendrá multiplicado por dicho número.

Estudiar su rango según los diferentes valores de x.

Los valores que discutimos son x = 0, x = 1, x = 2 y los distintos de 0,1 y 2



UNIDAD 3: Estudio general de sistemas de ecuaciones lineales. El camino entre dos ciudades A y B, tiene un tramo de subida a la salida de A y uno de bajada a la llegada de B. La distancia entre las dos ciudades es de 60 Km. Un ciclista tarda de ir de A a B 3 horas, y de ir de B a A tarda 4 horas y media. Sabiendo que la velocidad de bajada es cuatro veces la velocidad de subida, determinar ambas velocidades y el punto donde se encuentra la cima de la montaña que separa A de B. Sea x la distancia desde A a la cima Sea y la distancia de la cima hasta B Sea ta el tiempo de subida Sea tb el tiempo de bajada Vayamos de A hasta B pasando por la cima C ta + tb = 3 ==> x / va + y / vb = 3 Vayamos de B hasta A pasando por la cima C ta + tb = 4,5 ==> y / va + x / vb = 4,5 Además el camino recorrido x + y = 60



y la vb = 4 · va



==> x = 60 – y ==>

va = 10 Km/h

vb = 4 · va ==> vb = 40 Km/h

20 + y = 6 · 10 ==> y = 60 - 20 ==> y = 40 Km x = 60 - y ==> x = 60 - 40 ==>

x = 20 Km



El empleo en el sector servicios en el 1987 representaba aproximadamente el 53% del empleo total, en el sector industrial el 35% y en el sector agrícola el 12%. Si el empleo total del año fue de 11593900. Calcular los empleos del sector. Llamamos x a los empleos del sector servicio Llamamos y a los empleos del sector industrial Llamamos z a los empleos del sector agrícola Llamamos t a los empleos totales x = 0,53t y = 0,35t z = 0,12t

x = 6144767 empleos sector servicio y = 4057865 empleos industriales z = 1391268 empleos agrícolas

En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas, en rollos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra, carbón y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla, por unidad de producto fabricado: A. en laminas A. en rollos A. especiales Chatarra 8 6 6 Carbón 6 6 4 Aleaciones 2 1 3 Si se disponen de 34 unidades de chatarra, 28 de carbón y 9 aleaciones, ¿Cuántas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos materiales?

=>

Por Gauss

=

3y – (1) = 5 ; 3y = 6 ;

y = 2 unidades de acero en rollos

4x + 3 · (2) + 3 ·(1) = 17 ; 4x = 8 ; x = 2 unidades de acero en laminas

En una granja se venden pollo, pavos y perdices a razón de 2, 1,50 y 4 euros/kg, respectivamente. En una semana, los ingresos totales de la granja ascendieron a 5700 €. Si se sabe que la cantidad de pollo vendida es superior en 100kg a la de pavo, y que se vendió de perdiz la mitad que de pavo: a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad vendida de cada tipo de carne. b) Expresa matricialmente el problema. c) ¿Cuántos kilos se vendieron de cada tipo? x pollos

a 2€/kg

y pavos

a 15€/kg

z perdices

a 4€/kg

y = 2z ;

y = 1000kg de pavos.

x= 100 + y ;

x = 1100kg de pollos

Fulano de Tal quiere hacer una gran fiesta e invitar a sus amigos a unas tortillas, así que va de tienda y compra una docena de huevos, una bolsa de patatas y una botella de aceite. Dado el éxito obtenido, decide repetir la fiesta y vuelve a comprar una docena de huevos y dos botellas de aceite. Cuando llega a casa, se acuerda que no tiene patatas. Vuelve a la tienda para comprar una bolsa de pata-tas y decide comprar también otra docena de huevos. En la primera ocasión gasto 6 euros; en la segunda ocasión gasto 6,5 euros y en la ultima 3,5 euros. Calcular si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite. x precio de los huevos ; y precio de las patatas ; z precio del aceite

z = 2,5 €

=>

x = 6,5 – 2·2,5 = 1,5 €

=> y = 3,5 -1,5 = 2 €

Hace tres años la edad del padre era el triple de la de su hijo. Dentro de nueve años la edad del hijo será la mitad de la del padre. Hallar las edades actuales de ambos. Edad actual del padre: x Hace tres años + 9) / 2

Edad actual del hijo: y

==> x - 3 = 3· (y - 3)

Dentro de nueve años ==> y + 9 = (x

Resolvamos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

y = 15 años

x = - 6 + 3 · 15 ==> x = - 6 + 45

=>

==> x = 42 años

Los alumnos de los tres cursos de un centro suman 260. La relación entre los de cuarto de ESO y primero es de 19/18, y la relación de primero y segundo es de 6/5. ¿Cuántos alumnos hay en cada curso?. ¿Cuántos grupos de cada curso hay, en el supuesto de que cada grupo tenga 35 alumnos como máximo?. x serán los alumnos de 4º ESO 2º

y serán los alumnos de 1º

z serán los alumnos de

y lo sustituimos en la 1ª ecuación =>

==> 52y = 4680 ==> y = 90 alumnos x = 19 · (90 / 18) ==> x = 95 alumno;

z = 5 · (90 / 6)

==> z = 75 alumnos

Para calcular los grupos por curso, dividiremos los alumnos de cada curso por 35 alumnos como máximo. De 4º serán: 95 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases. De 1º serán: 90 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases. De 2º serán: 72 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.

Mikel sale con un montón de cromos y vuelve a casa sin ninguno. Su madre le pregunta que ha hecho con los cromos, a lo que Mikel responde: A cada amigo que encontré le di la mitad de los cromos que tenía en ese momento más uno. Su madre le pregunta que con cuantos amigos se ha encontrado, a lo que Mikel contesta que con cinco. ¿Cuántos cromos tenia Mikel al salir de casa? Razona la respuesta. x cromos al salir de casa Al primer amigo le da x/2 + 1 = (x + 2) / 2 y le queda x – (x + 2) / 2 = (x – 2) / 2 Al segundo amigo le da [(x - 2) / 2] / 2 + 1 = (x – 2) / 4 + 1 = (x + 2) / 4 y le queda (x – 2) / 2 - (x + 2) / 4 = (2x – 4 – x – 2) / 4 = (x – 6) / 4 Al tercer amigo le da [(x – 6) / 4] / 2 + 1 = (x – 6) / 8 + 1 = (x + 2) / 8 y le queda (x – 6) / 4 - (x + 2) / 8 = (2x – 12 – x – 2 ) / 8 = (x – 14) / 8 Al cuarto amigo le da [(x – 14) / 8] / 2 + 1 = (x – 14) / 16 + 1 = (x + 2) / 16 y le queda (x – 14) / 8 – (x + 2) / 16 = (2x – 28 – x – 2) / 16 = (x – 30) / 16 Por último al quinto amigo le da [(x – 30) / 16] / 2 + 1 = (x – 30) / 32 + 1 = = (x + 2) / 32 y le queda (x – 30) / 16 – (x + 2) / 32 = (2x – 60 – x – 2) / 32 = = (x – 62) / 32 Como al final no le quedan cromos  x – 62 = 0  x = 62 cromos

Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos: A, B, C. El alimento del tipo A tiene 10cal. por cada 100gr., el de tipo B tiene 30cal. por cada 100gr., y el C tiene 40cal. por cada 100gr. Si la dieta consta de 400gr. de alimento por cada día, si ducha dieta está restringida a 840cal., y si la cantidad de alimento del tipo A ingerido debe ser el doble en peso que la cantidad de alimento C. Hallar las cantidades que debe ingerir de cada uno de los alimen-tos. A= X B=Y

C=Z

=>

=>

=>

– –

– –

=> X = 2400gr. de alimento de tipo A

– –

–

Z= 1200gr. de alimento de tipo

C 2400 + Y + 1200 = 4000 ;

Y = 400gr. de alimento de tipo B

Se tienen tres tipos de café: el de clase A, que cuesta 980 pts/kg; el de clase B, que cuesta 875 pts/kg, y el de clase C, que cuesta 950 pts/kg. Se desea hacer una mezcla para vender 1050 kg a 940 pts/kg. ¿Cuántos kg de cada clase se deben de poner si del tercer tipo debe entrar el doble de los otros dos juntos?. x kg de café A a 980 pts/kg y kg de café B a 875 pts/kg z kg de café C a 950 pts/kg

1050 kg de mezcla a 940 pts/kg

–

Resolviendo por Gauss

=> –

 z = 700 kg de café C - 21y – 6·700 = - 8400 ; -21 y = - 4200  y = 210 kg de café B x + 210 + 700 = 1050  x = 140 kg de café A

Según RENFE, el nº de viajeros que utilizaron el tren en Enero ascendió a 275700, en Febrero descendió en 25200 viajeros. Las dos categorías que existen son de 1ª y 2ª. Si la relación para el mes de Enero ha sido de un 30% de 1ª más en Enero que en Febrero y la 2ª clase en Enero representa el 60% del total. ¿Cuántos pasajeros de 1ª y de 2ª han utilizado el servicio?. Llamamos x a los pasajeros de 1ª ; Llamamos y a los pasajeros de 2ª Llamamos x1 a los de 1ª en Enero y x2 a los de 1ª en Febrero Llamamos y1 a los de 2ª en Enero y y2 a los de 2ª en Febrero x1 + y1 = 275700 x2 + y2 = 275700 - 25200 = 250500 x1 = x2 + 0,3x2 y1 = 0,6 · (x1 + y1)

==> x1 = 275700 - y1

x2 + y2 = 250500 275700 - y1 = 1,3x2 y1 = 0,6 ·(275700 - y1) + 0,6y1 ==> y1 = 165420 viajeros 275700 - 165420 = 1,3 · x2 ==> x2 = 110280 / 1,3 ==> x2 = 84831 y2 = 250500 - x2 = 250500 - 84831 = 165669 viajeros x1 = 275700 - 165420 = 110280 viajeros Los pasajeros de 1ª seran x = x1 + x2 = 110280 + 84831 ; x = 195111 viajeros. Los pasajeros de 2ª seran y = y1 + y2 = 165420 + 165669 ; y = 331089 viajeros.

Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B y C, se obtienen 50 años. Además, el doble de las antigüedades de B y de C es igual al triple de la antigüedad de A, y la diferencia de antigüedad entre B y C es igual al 30 % de la antigüedad de A. Determina los años de antigüedad de cada empleado. x años el A, y años el B, z años el C

=>

=> z = 240 / 20  z = 12 y + 12 = 30  y = 18 x + 18 + 12 = 50  x = 20 20 años de antigüedad el empleado A, 18 años de antigüedad el empleado B y 12 años de antigüedad el empleado C.

Tres amigos, Marcos, Luisa y Miguel, son aficionados a la música. Entre los tres poseen un total de CD comprendido entre 16 y 22 unidades. Marcos presta 4 CD a Miguel, Luisa presta 1 CD a Marcos y Miguel presta 2 CD a Luisa, con lo cual los tres amigos tienen al final el mismo número de CD. ¿Cuántos CD pueden tener en total?. Marcos tiene x CD, Luisa tiene y CD y Miguel tiene z CD 16 ≤ x + y + z ≤ 22 Marcos se queda con x – 4 + 1 = x – 3 CD Luisa se queda con y – 1 + 2 = y + 1 CD Miguel se queda con z + 4 – 2 = z + 2 CD Como los tres deben de acabar con el mismo número de CD x–3=y+1 x–3=z+2

x–y=4 x–z=6

y=x-4 z=x–5

Para que x, y ,z sean positivos λ ≥ 6

λ=6 x = 6; λ=7 x = 7; λ=8 x = 8; λ = 9 x = 9; λ = 10 x = 10; λ = 12 x = 11;

y = 2; y = 3; y = 4; y = 5; y = 6; y = 7;

z=1 z=2 z=3 z=4 z=5 z=6

x+y+z=9 x + y + z = 12 x + y + z = 15 x + y + z = 18 x + y + z = 21 x + y + z = 24

no vale no vale no vale si vale si vale no vale

Marcos 9 CD, Luisa 5 CD y Miguel 4 CD Las soluciones son dos Marcos 10 CD, Luisa 6 CD y Miguel 5 CD

Un número capicúa tiene cinco cifras. La suma de las cifras es 9. La cifra de las centenas es la suma de las cifras de las unidades y las decenas. Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número que resulta disminuye en 9. Hallar el número. El numero es xyzyx 

Al cambiar el numero xyzxy disminuye en 9 unidades

–

3z = 9 ; z = 3

-2y+z = -1 ; -2y+3 = -1 ; -2y = -4 ; y = 2

2x+2y+z = 9 ; 2x+4+3 = 9 ; 2x = 2 ; x = 1 El número es 12321

Una compañía de transportes tiene tres camiones diferentes, P, Q y R, en los que caben exactamente un cierto número de contenedores de tres tipos A, B y Si se han de transportar 45 contenedores de tipo A, 44 de tipo B y 58 de tipo C, ¿cuántos viajes ha de hacer cada camión si todos los viajes lo hacen totalmente llenos?. (PAU). x nº de viajes el P ; y nº de viajes el Q ; z nº de viajes el R



z=3

3 viajes realizo el camión R

19y + 3·3 = 85  19y = 76  y = 4 5x + 2·4 + 4·3 = 45  5x = 25  x = 5

4 viajes realizo el camión Q 5 viajes realizo el camión P

Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de cada uno de estos muebles se necesitaron unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la tabla. Si la compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio, y utilizo todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás

x sillas

y mecedoras

z sofás

==> y + 600 = 700  y = 100 ;

x + 100 + 200 = 400  x = 100

Hay 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.

Un autobús universitario transporta en hora punta 80 viajeros de tres tipos: viajeros que pagan el billete entero, que vale 75 céntimos, viajeros con bono de des-cuento del 20% y estudiantes con bono de descuento del 40%. Si la recaudación del autobús en ese viaje fue de 39,75 euros, calcula el número de viajeros de cada clase sabiendo que el número de estudiantes era el triple que el del resto de viajeros. x es el nº de viajeros sin descuento. y es el nº de viajeros con el 20% de descuento. z es el nº de viajeros con el 40% de descuento.

–

=> x = 20 – y => 20 – y + 0,8y + 36 = 53 ==> - 0,2y = - 3 => y = 15 x = 20 – y = 20 – 15 = 5  x = 5 5 viajeros sin descuento, 15 viajeros con el 20% de descuento y 60 estudiantes.

Una empresa produce un bien, cuya función de oferta es Qo = - 50 + 30p y su función de demanda viene dada por Qd = 100 - 20p. ¿Cuales son el precio y la cantidad en el punto de equilibrio Qo = Qd?. Si Qo = Qd ;

- 50 + 30p = 100 - 20p es decir una ecuación con una sola incógnita.

30p + 20p = 100 + 50 ==> 50p = 150 ==> p = 3 Qo = - 50 + 30.3 = - 50 + 90 ==> Qo = 40 pts sera el precio En el equilibrio Qd = 100 - 20.3 = 100 - 60 ==> Qd = 40 bienes demandados

Una multinacional de seguros tiene delegaciones en Madrid, Barcelona y Valencia. El número total de ejecutivos de las tres delegaciones asciende a 31. Para que el número de ejecutivos de la delegación de Barcelona fuese igual al de Madrid, tendrían que trasladarse tres de ellos de Madrid a Barcelona. Además, el número de los ejecutivos de Madrid excede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciudades. ¿Cuántos ejecutivos están destinados en cada ciudad? x ejecutivos en Madrid

y ejecutivos en Barcelona z ejecutivos en Valencia

–

x = 16 ejecutivos en Madrid. 16 – y = 6; y = 10 ejecutivos en Barcelona. –

–

; z = 5 ejecutivos en Valencia.

Una tienda vende una clase de calcetines a 12€ el par. Al llegar las rebajas, realiza durante el primer mes un 30% de descuento sobre el precio inicial y en el segundo mes hace un 40% también sobre el precio inicial. Sabiendo que vende un total de 600 pares de calcetines por 5976€ y que durante las rebajas ha vendido la mitad de dicho total, ¿a cuántos pares de calcetines se les ha aplicado el descuento del 40%? .

X calcetines a 12€ . Y calcetines al 30% de 12€ ; Z calcetines al 40% de 12€ ;

30/100 · 12 = 3´6 ; 40/100 · 12 = 4´8 ;

12 - 3´6 = 8´4 € . 12 – 4´8 = 7´2 € .

==> Por Gauss

==> Z = 120 pares al 40% Y = 300 – 120 = 180 pares al 30% X = 600 – 180 – 120 ==> X = 300 pares sin rebaja.

 Discutir el sistema según los valores del parámetro. Resolver el sistema en el caso de tener infinitas soluciones.

= 5 λ2 + 8 + 18 – 15 - 12 - 4 λ2 = λ2 – 1

=

 – 

–

–

–

Si rg C = 2 y rg A = 3  Sistema incompatible, no existen soluciones.

– 

1 Si λ = - 1

2 = 5 – 4 = 1 existe menor de orden 2 en C  rg C = 2

│C´│ = 2

5 –

–

Si rg C = 2 = rg A < nº de ecuaciones  Sistema compatible indeterminado, soluciones. Si λ ≠ 1 ecuaciones. ==>

≠0

menor de orden 3 en C 

∞

rg C = rg A = 3 = nº

Sistema compatible determinado. La solución es única para cada λ distinto del ±1 .

b) Calculemos las infinitas soluciones para λ = -1 eliminando una de las ecuaciones – –

–

–

–



Dado el sistema:

 demuestra que es

 compatible determinado para cualquier valor de  . Hallar su solución para  = 1.

principal de orden 3  rg C = 3

Como

α , sea lo que sea la ampliada, no existe menor de orden 4 en A  rg A = 3

Si rg C = rg A = 3 = nº de incógnitas única para cada valor de α real –

Resolviendo por Cramer:

Sistema compatible determinado, solución

–

en función del parámetro a. Resuélvelo cuando sea posible.

=2+4=6 

rango C = 2

–

Si rg C = 2 = rg A < nº de ecuaciones  Sistema compatible indeterminado, soluciones.

=2+4=6



rango C = 2

∞

Si rango C = 2 

 a 1, -1

rango A = 3

0

sistema incompatible

soluciones

 menor principal de orden 3 en C => rag C =3

 rango C = 3 = rango A = nº incógnitas  Sistema compatible determinado  solución única

4 + a + 2a – 4 – 2 – a2 = - a2 + 3a - 2

=2-1=1 

existe menor de orden 2 en C => rag C = 2

Si rg C = 2 = rg A < nº de ecuaciones  Sistema compatible indeterminado, soluciones.

=2-1=1

Si rango C = 2 y rango A = 3



∞

existe menor de orden 2 en C rango C = 2

sistema incompatible

soluciones

 a 1, 2

0

 menor principal de orden 3 en C => rag C =3

 rango C = 3 = rango A = nº incógnitas  Sistema compatible determinado  solución única

en función del parámetro . Resuélvelo, si es posible, para  = 10.

 No existe menor de orden 3 en C  rg C < 3

Si

= 0  - 5α + 50 = 0  α = 10

menor de orden 3 en A

y rg A = 2

Para α = 10  rg C = rg A = 2 < nº de incógnitas Sistema compatible indeterminado, existen ∞ soluciones Para α ≠ 10  rg C = 2 y rg A = 3 Sistema incompatible, no existe solución Para resolverlo para el valor α = 10

eliminando una de las tres ecuaciones

  





  



  si rg C < rg A sistema incompatible   

soluciones









    Si rg A = rg C = 2 < nº incógnitas ; Sistema compatible indeterminado ; ∞ soluc.

  ≠ 1, -2

≠0

 menor principal 3 en C rgC = rgA = 3 = nº incógnitas

sistema compatible determinado -> solucion unica.

para los diferentes valores de a y resolverlo para a = 0

Calculamos los valores de a que anulen el

= +3

existe en A el mismo menor principal de orden 2  rg A = 2 Si rg C = rg A < nº de incógnitas  Sistema compatible indeterminado  existen ∞ soluciones

Si rg C

rg A  Sistema incompatible  No existen soluciones

existe en A el mismo menor principal de orden 2  rg A = 2 Si rg C = rg A < nº de incógnitas  Sistema compatible indeterminado  existen ∞ soluciones a ≠ 0, 1, -4  │C │ ≠ 0  rg C = 3 El rg A = 3 pues no puede ser mayor al no existir menores de orden 4 Si rg C = rg A = nº de incógnitas  Sistema compatible determinado  solución única para cada valor de a distinto de 0, 1 y -4.

según los valores de λ, y resolverlo cuando sea posible.

Al tener más ecuaciones que incógnitas empezamos discutiendo la matriz ampliada Hallemos los valores de λ que hacen que

=0

= 0 ; - λ3 + 3λ2 - 3λ +1 = 0 ; λ3 - 3λ2 + 3λ - 1 = 0

1

-3 1

3 -2

-1 1

1

-2

1

0

1

λ=1

=0

rag A

Si rg C = rg A = nº incognitas única. λ

0

λ=1

El sistema me queda

Sistema compatible determinado

solución

=> rag A = 3

Si rg C solo puede ser 2 o 1 pues no hay una tercera columna en C  rg C  rg A , el sistema es por tanto incompatible   solucion real Resolvamos para λ = 1 el sistema

Calculemos los valores de m que anulan el determinante de la matriz de coeficiente.

Si

rg C < 3 ; como 

= 0

rag C = 2 En las dos primeras columnas de C ampliamos con los términos independientes y calculamos los valores de m que anulan

Si m = 0

rg A < 3 pues no existe menor principal de orden 3. S

rag A = 2 para m = 0

Como rag C = 2 y rag A = 2 => rag C = rag A < nº incógnitas Sistema compatible indeterminado =>   soluciones. Si m  0,

rg A = 3 pues si existe el menor principal de orden 3 ya que

m  0 rag C = 2; rag A = 3

=>

sistema incompatible, no tiene solución

0

según los valores de a

Hallemos los valores de a que anulen el

=0

==>

2a2 + 4a - 6 = 0 ==> a2 + 2a - 3 = 0 ;



=> Sistema compatible indeterminado;  ∞ soluciones.

2 => Ampliamos el menor de orden 2 con los términos independientes

Si

rgC ≠ rgA ==> sistema incompatible ==>

a ≠ 1, -3 rag C = 3 pues

solución.

≠ 0 y el ragA = 3 pues

menores de orden 4

Si rag C = rag A = nº de incógnitas ==> Sistema compatible determinado ==> ==> solución única para cada valor de a

λ=1 =>

=0

m.p. orden 3 en C y como todos los menores de orden 2 son nulos

m.p. orden 2 en C

0

m.p. orden 1 en C => rg. C = 1

En la matriz A ampliamos el C´´ =>

Como rag. C = rag. A = 1 < nº incógnitas=> soluciones. λ=-2

Si rag.C   ≠ 1, -2

=0

rag.A

Sist. Comp. Indeterminado

m.p. orden 3 en C y como

=>

rag C = 3 pues

sistema Incompatible => ≠ 0 y el ragA = 3 pues

solución menores de orden 4

Si rag C = rag A = nº de incógnitas ==> Sistema compatible determinado ==> ==> solución única para cada valor de a

Resolver para λ = 0

Como y = - x ==>

Calculemos los valores de m que hacen

=0

– 9 m – 27 = 0 Si m = - 3

==> 9 m = – 27;

m=–3

No existe menor principal de orden 3 ==> rg C < 3

A partir de él ampliamos con los términos independientes.

rg A = 3 ; Si rg C ≠ rg A ==> sistema incompatible  no existe solución real | C | ≠ 0 existe menor principal de orden 3 ==> rg C = 3 Si rg A = 3 ya que no existen menores de orden 4. Si rg C = rg A = 3 = nº de incógnitas ==> sistema compatible determinado ==> existe solución única.

=0 

No existe menor de orden 3 en C  rg C < 3

Si - 5m + 50 = 0  m = 10 A=2

=0

menor de orden 3 en A y rg A < 3  rg

Si m = 10  rg C = rg A = 2 < nº de incógnitas, sistema compatible indeterminado con ∞ soluciones m ≠ 10  rg C = 2 y rg A = 3 ya que solución

≠ 0 , sistema incompatible, no existe

Si lo resolvemos para el valor de m = 10, eliminamos una de las tres ecuaciones.

=> x = 1 + 1/5 λ y = -1 + 3/5 λ z= λ

λ

R



El sistema es homogéneo por lo que basta con trabajar con la matriz de coeficientes

= · (2 -  - 12) – 16 + 10  + 3 - 9 - 2 + 8 = λ3 - λ2 - 12λ - 16 + 10 λ + 3 λ – 9 - 2 λ +8= = λ3 - λ2 - λ + 1 = 0  λ3 - λ2 - λ + 1 = 0

Por Ruffini

=

Para

λ= 1 =>

Si rg C < nº de incognitas  sistema compatible indeterminado con ∞ soluciones.

=>

Para

λ= -1 =>

Si rg C < nº de incognitas  sistema compatible indeterminado con ∞ soluciones.

=>

 ≠ 1,-1 

≠ 0  rg C = 3  rg C = ra A = 3 = nº de incognitas |A | ≠ 0  rg A = 3

Sistema compatible con solución trivial x= 0 ; y = 0; z = 0

Encuentra los valores del parámetro α que hacen que el sistema:

Si rg C < rg A =>

Sistema incompatible

solución

α=4

Si rg A = rg C = 2 < número de incógnitas => Sistema Compatible Indeterminado => 

=>

 α ≠ 3, 4

C ≠0

 menor principal orden 3 en C

rg C = 3

Si rg C = rg A = 3 = nº incógnitas  Sistema compatible determinado   solución única

distinta de la trivial. Resolverlo en esos casos.

Para que un sistema homogéneo tenga solución ≠ de (0,0,0) => el rg C = 2 ó 1 pero siempre menor que el nº incógnitas –

Si rg C = 2 es que  menor principal de orden 3 en C, es decir

=3ó4 



=0

 rg C = 2 < nº incógnitas y el sistema tiene ∞ soluciones

y resolverlo para a=2

Hallaremos los valores de a que hacen que

=0 ; - a2 – 2a - 1 = 0

a2 + 2a + 1 = 0 =>

a=-1

|C| = 0

=>

rg C < 3

No existe menor de orden 3 en C

Ampliamos con los términos independientes =- 2–1+1≠0

Como rg C ≠ rg A a ≠ -1 orden 4

rg A = 3 existe menor de orden 3 en A

sistema incompatible no existe solución => rg C= 3 , Como rg A = 3 por no existir menores principales de

Si rg C = rg A =nº de incógnitas. Según Rouche el sistema será compatible determinado. Existe solución única

Para resolverlo para a= 2 el sistema queda:

sistema con 3 ecuaciones

y 3 incógnitas y |C| ≠ 0. Es un sistema de Cramer

–

–

Calculemos los valores de a para que –

a= 2

–

=0  a2 – a – 2 = 0

= 0  rg C < 3 pues no existe menor principal de orden 3 4–2 0

rg C = 2 existe menor

principal de orden 2.

A partir de él ampliamos con los términos independientes. 4 – 2 - 2 = 0 no existe menor principal de orden 3  rg A

=2 si rg C = rg A = 2 < nº incógnitas  sist. Compatible indeterminado   existen ∞ soluciones. Para este valor hay que resolver el sistema: Eliminamos una de las tres ecuaciones por ser combinación lineal de las otras, (elimino la 1ª )

Si llamamos x = λ

obtenemos las ∞ soluciones.

= 0  rg C < 3 pues no existe menor principal de orden 3

para a = -1

1–2 0

rg C = 2 existe menor

principal de orden 2.

A partir de él ampliamos con los términos independientes. – 2-2

0 existe menor principal de orden 3  rg A

=3 si rg C

rg A = 2  sistema incompatible

a  2 , -1 rg C = rg A = 3  sistema compatible determinado, existe solución única para esos valores de a.

y se pide: a) Discutir el sistema según los valores de p. b) Resolverlo para p = 2

= -5–2–p+5 =-2- p - 2 - p = 0  p = - 2 No existe menor de orden 3 en C  rg C < 3 = -5 ≠0

Si p = - 2 =>

existe menor de orden 2 en C  rg C = 2

–

y rg

A=3 rg C = 2 y rg A = 3 Sistema incompatible, no existe solución Si p ≠ -2 rg C = rg A = 3 = nº de incógnitas Sistema compatible determinado, solución única para cada valor de p distinto del -2

Para resolverlo para el valor p = 2

–

–

–

–

–

–

–

Como se puede observar la solución es la terna (1,0,1)

a) Discutir el sistema según los valores de m; b) Resolverlo para m = 5 El sistema es homogéneo con lo que bastará con discutir el rango de coeficientes según los valores de m ya que el rango de la ampliada será el mismo. –

+

36m – 5 = Si

= 0 ===> rgC < 3 ya que el menor de orden 3 no es

principal para valer 0 -7 m² +36m – 5 =0 ===> m = m = 1/ 7

 rg C = 2 < nº incógnitas ===> Sistema es compatible con ∞ soluciones según Ronche m=5

 rg C = 2 < nº incógnitas ===> Sistema es compatible con ∞ soluciones según Ronche m ≠ 1/7, 5 ===> incógnitas

≠ 0 existen menor principal orden 3 ===> rg C = 3 = nº

===> Sistema con solución trivial x = 0 , y = 0 , z = 0 Según Ronche

b) Resuelve para m=5

Al ser

= 0 puedo eliminar uno de las 3 ecuaciones por ser Combinación lineal y el

sistema queda

Resuelva el sistema en x , y por Cramer

a) Encuentra los valores de λ para que el rango de la matriz de los coeficientes del sistema sea 2. b) Resuelve el sistema anterior para λ=0 Como hay solo 3 ecuaciones para 4 incógnitas homogéneo , habría que buscar un rag C = rag A Para no hacer todos los determinantes 3x3 en función de , hacemos Gauss

2λ-3=0 ;

λ = 3/2

rg C = 2

y el rg A = 2 pues es homogéneo

y existen ∞ soluciones al ser menor que el numero de incógnitas. Para λ  3/2

rg C = 3 y el rg A = 3 pues es homogéneo

También existen ∞ soluciones al ser menor que el numero de incógnitas. Resolvámoslo para λ = 0 

t = 2x  z = - x y llamando x =

 nos queda



y=0

Si el rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es igual a dos, ¿puede ser compatible el sistema?. ¿Puede ser compatible y determinado?. ¿Puede ser incompatible?. Llamamos C a la matriz de coeficientes y A a la matriz ampliada con la columna de los términos independientes. Si el rango C = 2, el sistema será compatible en cuanto el rango A = 2. Ahora bien, como en este caso el rango es menor que el número de incógnitas, el sistema tendrá infinitas soluciones, por lo que el sistema nunca podrá ser compatible y determinado. Se puede observar que una de las tres ecuaciones es combinación lineal de las otras dos, por lo que puede ser suprimida. Nos queda pues, un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, una de las cuales se pasa al segundo miembro, y para cada valor que se le de a esa incógnita, obtendremos una de las infinitas soluciones. Si el rango A = 3, entonces el sistema será incompatible, ya que entonces rg C  rg A.

Un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas, ¿puede ser incompatible?. En caso afirmativo mostrarlo con un ejemplo. Un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas si que puede ser incompatible, es decir, puede no tener solución. Esto ocurrirá cuando el rango de la matriz de coeficientes sea distinto del rango de la matriz ampliada. Por ejemplo:

la matriz ampliada

Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿puede ser compatible y determinado?. En caso afirmativo, poner un ejemplo. Para que el sistema sea compatible y determinado, deberá verificarse que el rango de la matriz de coeficientes deberá ser igual al rango de la matriz ampliada e igual a 2, que es el número de incógnitas. Para construir un sistema así, basta con partir de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y añadir una combinación lineal de ambas ecuaciones.

rg C = rg A = 2 = nº de incógnitas ==> solución única y = 2 ; x + y = 8 ===> x = 8 - 2 ==> x = 6