MATRICES Matrices de números reales. Definimos matriz real de elementos pertenecientes a R y de dimensión n filas por m columnas, aquel conjunto de números reales escritos de la forma siguiente:

 a 11 a12  a 22 a A   21    a  n1 a n 2 matriz nxm

 a1m    a2m       a nm 

En forma simplificada A = ( aij )nxm y se le denomina

Ejemplos:

A2 x 2

1 0    3 1

A3x 3

 1 5 0      3 2 4   1 0  1  

A3x1

 0      1  3 / 2  

A1x3  1  2

0

Matriz rectangular.- Es aquella en la que no coinciden el numero de filas con el de columnas. Se escribe Anxm donde n  m. Matriz fila es la que tiene por dimensiones 1xm Matriz columna es la que tiene por dimensiones nx1 Matriz cuadrada.- es aquella en el que el numero de filas y de columnas coinciden. Se escribe Anxn y diremos que son de orden n. En una matriz cuadrada llamaremos diagonal principal a los elementos que van desde el vértice superior izquierdo al vértice inferior derecho y serán todos los aij / i=j En una matriz cuadrada llamaremos diagonal secundaria a los elementos que van desde el vértice superior derecho al vértice inferior izquierdo y serán todos los aij / i+j = n+1 donde n es el numero de filas o columnas. Matriz nula.- Es aquella matriz que tiene todos sus elementos iguales a 0. Puede ser cuadrada o no. Se representa por Onxm y es tal que aij = 0  i,j

-1-

Matriz diagonal.- Es toda matriz cuadrada en la que todos sus elementos son nulos excepto los de la diagonal principal que pueden ser ceros o no.

 a 0 0    0 b 0 0 0 c  

 3 0 0    0  2 0  0 0 6  

0 0 0   0 3 0 0 0 4  

Matriz escalar.- es toda matriz cuadrada y diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales.

k 0 0   A  0 k 0  k  0 0 0 k    Matriz unidad.- Es toda matriz cuadrada, diagonal y escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. aij = 0 si i  j Se representa por I y sus aij son tales que aij = 1 si i = j

1 0 0   I   0 1 0 0 0 1   Matriz triangular.- Es toda matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos situados por debajo o por encima de la diagonal principal. 3 4 5  2 0 0      0 6 1  es triangular inferior.  3  1 0  es triangular superior.  0 0 4  4 0 3    

Operaciones con matrices. Suma de matrices Dadas dos matrices A y B de igual orden nxm, llamaremos matriz suma a otra matriz de igual dimensión nxm y cuyos elementos se obtengan sumando los elementos homólogos de A y de B. cij = aij + bij

3   2  4 3  2 1 3  6 5 2   2 3  1  4 2           2 4 2    1 2  4    2  1 4  2 2  4    1 6  2  5 6  3  2  4 3   5  2 6  4  3  3  7 2 0         

Producto de una matriz por un número. Dada una matriz A de dimensiones nxm y un numero real  , el producto será otra matriz .A , de igual orden nxm y cuyos elementos se obtengan multiplicando todos los elementos de A por el numero 

 1 2 3   5 10 15      5   2 0 1   10 0 5   1  1 2   5  5 10      Producto de matrices. Dos matrices A y B son multiplicables solo si el número de columnas de la matriz multiplicando es igual al número de filas de la matriz multiplicadora. Anxm.Bmxp La matriz resultante tendrá igual número de filas que la matriz multiplicando y el mismo numero de columnas que la matriz multiplicadora. Cnxp Para calcular el elemento cij se multiplicara cada término de la fila i de A por cada término correspondiente de la columna j de la matriz B y luego se sumaran todos los productos obtenidos. Ejemplos:  1 2   a   a  2b          ;  3 4   b   3a  4b  a b c    a  2d  3g b  2e  3h c  2 f  3i   1 2 3      d e f      4 5 6   g h i   4a  5d  6 g 4b  5e  6h 4c  5 f  6i     4 7   1 2 3   4  1  7  4 4  2  7  5 4  3  7  6   32 43 54              3 8   4 5 6   3  1  8  4 3  2  8  5 3  3  8  6   35 46 57  1  3 4 1     3  1  4  2  1  3   14      2         2 7 6   3   2  1  7  2  6  3   34     1 0 2   2 3 7   4 1 0   2  1  3  4  7  2 2  0  3  1  7  7 2  2  3  0  7  1  28 52 11 2 7 1  

-3-

Ejemplo:

 3 1 2 2 1     Sean y A    4 2  1 B   3 5  Hallar A2 y A.B  3 1 2  2  4     7 9   3 1 2   3 1 2   11       A 2  A  A    4 2  1    4 2  1    23  1  12   3 2 1   3 2 1   11 7 9        3 1 2   2  1   13  6        A  B    4 2  1   3 5     4 18   3 1 2   2  4   13  6        En general no es conmutativa A.B  B.A bien por que no exista alguno de los dos productos, bien porque sus resultados den matrices de diferentes ordenes o bien porque aun siendo del mismo orden sus resultados sean distintos.

1 3     2 3  1 0 2  B    C   0  2  Sean las matrices A    1 0  2 1 0 2 0   

 1 0  D    2 3

1 3    2 3     0  2  no es multiplicable mientras que A.C  C.A ya que  1 0  2 0    1 3   5 3    2 3       2 0  si lo es.  0  2     2 0   1 0  4 6     1  1 0 2     0 B.C  C.B ya que   2 1 0  2  1 3   7  3 2    1 0 2       4 2 0   0  2     2 0   2 1 0  2 0 4    

3    5 3  mientras que  2    2 8    0  es de diferente orden.

 2 3   1 0  4 9        A.D  D.A ya que   1 0  2 3   1 0

mientras que

  1 0   2 3    2  3         Los dos productos son realizables, sus resultados 2 3 1 0 7 6       tienen igual dimensión, pero son diferentes.

En los casos especiales en que A.B = B.A se dice que las matrices son permutables.

Matriz transpuesta. Dada una matriz A de dimensiones nxm, llamaremos matriz transpuesta de A y la designaremos por At o por A', a otra matriz de dimensiones mxn y que se obtiene cambiando filas por columnas y columnas por filas, sin alterar su orden.

3  1   1  2 0    At    2 4  Si A    3 4  1  0  1   Matriz inversa. Dada una matriz cuadrada A, llamaremos matriz inversa de A, a otra matriz X, si existe, tal que A.X = X.A = I donde A,X e I tendrán el mismo orden. A dicha matriz se le designa por A-1 A la matriz A se le llamara inversible y a la matriz A-1 matriz inversa. También podemos asegurar que el producto es conmutativo y que las matrices A , X e I deben ser cuadradas y del mismo orden . Si la matriz A no es cuadrada, no será invertible y por tanto no poseerá matriz inversa.

Ecuaciones matriciales. Una ecuación matricial es una ecuación en la que la incógnita es una matriz y no un numero. X·B + X·C = X· (B+C) A·X + C·X = (A+C) · X * A·X – B = X  A·X – X = B  (A – I) ·X = B  (A – I)-1· (A – I) ·X = = (A – I)-1·B

 X = (A – I)-1 · B

* A·X = A + B  A-1·A·X = A-1 · (A + B)  X = A-1 ·(A + B)

*

A·X = B  A-1·(A.X) = A-1·B  (A-1·A)·X = A-1·B  I·X = A-1·B  X = A-1·B -5-

DETERMINANTES. Determinante de 2º orden.

 a11 a12   al número Llamamos determinante de la matriz cuadrada de 2º orden A    a 21 a 22  real a11.a22 - a12.a21 que se obtiene multiplicando los elementos de la diagonal principal y restándole el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Se representa por A Determinante de 3º orden.

 a11 a12 a13    Llamamos determinante de la matriz cuadrada de 3º orden A   a 21 a 22 a 23  al a   31 a32 a33  numero real (a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) - (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33) Una manera practica de recordar estos sumandos es la regla de Sarrus Ejemplo

2

3

A 4

7

5

3  2  7  1  4   8  5  3  3   2  5  7   2  3   8  2  3  4  1 =

 2 8 1 = ( 14 - 160 - 18 ) - ( -70 - 48 + 12 ) = -164 - ( -106 ) = - 58 Ejemplo

2

3 4

B   1 5 6  2  5  9  4   1  8  3  6   7   4  5   7   2  6  8  3   1  9  7 8 9 = 90 - 32 - 126 + 140 - 96 + 27 = 3

Menor complementario. Dada una matriz cuadrada A de orden n, llamaremos menor complementario del elemento aij, al determinante de orden n-1, que se obtiene suprimiendo la fila i y la columna j en el A. Se simboliza por ij. 2

Dada A 

1

3

4

1 5

2

1

2 3 4 1

2

7

1

0

1 5

 13   2 3

3

0

1

1 0  9  14  3  30  38

7 3

3

 24   2 3  4  42  4  9  56  1 1 2

3

 32   1 2

7

0

4 1  12  3  8  9  26

0 3

1

Adjunto de un elemento. Llamamos adjunto del elemento aij de una matriz cuadrada A, al valor del menor complementa-rio correspondiente, afectado del signo + o - según que la suma de los subíndices i + j sea par o impar Se representa por Aij = (-1)i+j.ij En la matriz A4x4 anterior, calculemos A31 y A43

1 3

A31   1

31

5 2

4 1  6  21  56  45  4

7 0 3

A43   1

43

2

1 4

  1 5 1   12  2  40  6  20 2 3 0

-7-

Calculo de la Matriz inversa. La condición necesaria y suficiente para que exista matriz inversa es que dicha matriz sea regular o lo que es lo mismo que su determinante sea distinto de cero. Para calcular la inversa de una matriz A, calcularemos la matriz transpuesta de la matriz adjunta de A y lo dividiremos por el valor del determinante de dicha matriz A. A

1

A  

d t

A

La matriz Ad se calcula, hallando todos los adjuntos de todos los elementos de la matriz A Si A  0 no existiría matriz inversa pues todos sus términos tendrían que venir divididos por 0 y me quedaría una matriz de elementos infinitos, con lo que no existiría. También se puede calcular primero la matriz transpuesta de A y luego la matriz adjunta de la At, para luego dividir por el valor del determinante. Ejemplos: 2 1  Hallar la A-1 de la matriz A    3 4 A  83  5  0

A11 = 4 A12 = - 3 A21 = - 1

A 1 

 4  3  A d    1 2 

A22 = 2

A 

d t

 4  1     3 2 

1  4  1  4 / 5  1 / 5     5   3 2    3 / 5 2 / 5 

 2 0 0    3 1 5   2 0 1  

Hallar la inversa de la matriz

A 2

A21 

A11  0 0 0 1

A31 

1 5 0 1

0

0 0 1 5

0

1

A22 

A12  2

0

2 1

A32 

2 0 3 5

3

5

2 1

2

 13

A23 

2

A13  0

2 0

 10 A33 

2 0 3 1

0

2

3

1

2 0

2

1  13 2 Ad  0

2

0

0  10 2

A 

d t

 1 0 0       13 2  10   2 0 2   

0 0   1/ 2   A 1    13 / 2 1  5   1 0 1  

La matriz inversa facilita la resolución de ecuaciones matriciales de la forma: A·X = B ==> A-1·(A·X) = A-1·B ==> (A-1·A)·X = A-1·B I·X = A-1·B ==> X = A-1·B 3 1  6 1 13   ; B    Ejemplo: Resolver la ecuación A·X = B siendo A   5 2 10 1 23 

Como hemos visto X = A-1.B Calculemos A-1

A  65 1 0

 2  5  A d    1 3 

 2  1  A 1    5 3 

 2  1  6 1 13   2 1 3         X     5 3  10 1 23   0  2 4 

-9-

RANGO DE UNA MATRIZ. Calculo practico del rango de una matriz. Método de Gauss. Dada una matriz, lo primero es eliminar las líneas que sean proporcionales a otras paralelas o que sean combinación lineal de varias líneas paralelas, que se puedan observar en primera instancia. A continuación hay que conseguir ceros en todos los elementos de la primera columna excepto el a11, dejando fija la 1ª fila. Para ello se buscaran las combinaciones lineales necesarias entre todas las filas a partir de la segunda y la primera fila. Fijamos la 2ª fila y hacemos ceros en todos los elementos de la 2ª columna excepto el b22. Para ello se buscaran las combinaciones lineales necesarias entre todas las filas a partir de la tercera y la segunda fila. Así seguiremos con las restantes columnas hasta conseguir que todos los elementos por debajo de la diagonal principal sean ceros. Propiedades del rango de una matriz. a) Si en la matriz A, se intercambian entre si dos líneas paralelas, se obtiene otra matriz B, de igual rango que la de A. b) Si una línea de la matriz A, esta formada por ceros, el rango de A es igual al rango de la matriz B que se obtiene suprimiendo dicha línea de ceros. c) Si en la matriz A, se suprime una línea que sea combinación lineal de otras varias paralelas, se obtiene una nueva matriz B, de igual rango que la matriz A. Llamamos rango por filas de una matriz A, al numero máximo de filas linealmente independientes. Llamamos rango por columnas de una matriz A, al numero máximo de columnas linealmente independientes. 1 −2 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝐴 = 1 −2

2 −4 2 −4

3 1 10 1

−2 3 −3 0

4 −1 11 2

𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑐2 = 2 · 𝑐1

podemos eliminar dicha columna c2 por ser combinación lineal de c1. 1 3 −2 4 −2 1 3 −1 𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 𝑟𝑎𝑔 Hacemos ceros por debajo de la diagonal 1 10 −3 11 −2 1 0 2 principal en la 1ª columna con las siguientes combinaciones lineales. f2 + 2f1 ; f3 - f1 ; f4 + 2f1 manteniendo fija la 1ª fila.

𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 𝑟𝑎𝑔

1 0 0 0

3 7 7 7

−2 4 −1 7 −1 7 −4 10

𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 𝑟𝑎𝑔

1 3 −2 0 7 −1 0 7 −4

4 7 10

Suprimimos la 3ª fila por ser igual que la 2ª fila.

Hacemos ceros por debajo de la diagonal principal

en la 2ª columna con la siguiente combinación lineal. f3 - f2 manteniendo fijas la 1ª y la 2ª fila. 1 3 −2 𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 𝑟𝑎𝑔 0 7 −1 0 0 −3

4 7 3

Una vez conseguidos que por debajo de la diagonal

principal sean todos los elementos nulos, contaremos el numero de filas linealmente independientes que nos quedan, en nuestro caso 3 filas. Puede que en algún caso sea necesario cambiar entre si dos filas para que el elemento de la diagonal principal no sea nulo. Ejemplo:

𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 𝑟𝑎𝑔

1 2 7 1

0 5 10 −2

3 −1 7 5

−2 2 −2 4

1 0 3 1

Hacemos ceros por debajo de la diagonal

principal en la 2ª columna con la siguiente combinación lineal. f3 - f2 manteniendo fijas la 1ª y la 2ª fila. diagonal principal en la 1ª columna con las siguientes combinaciones lineales. f2 - 2f1 ; f3 - 7f1 ; f4 - f1 manteniendo fija la 1ª fila.

𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 𝑟𝑎𝑔

1 0 0 0

0 5 10 −2

3 −7 −14 8

−2 6 12 2

1 −2 −4 2

Hacemos ceros por debajo de la

diagonal principal en la 2ª columna con las siguientes combinaciónes lineales. f3 - 2f2 y 5f4 + 2f2 manteniendo fijas la 1ª y la 2ª fila.

𝑟𝑎𝑔 𝐴 = 𝑟𝑎𝑔

1 0 0 0

0 5 0 0

3 −7 0 26

−2 6 0 22

1 −2 0 6

1 0 3 = 𝑟𝑎𝑔 0 5 −7 0 0 26

−2 6 22

1 −2 6

Ya hemos conseguido todos los ceros por debajo de la diagonal principal y han quedado 3 filas l.i, por lo que rg A = 3 . - 11 -

2.1 DIAGRAMA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Dado un sistema de ecuaciones lineales (m ecuaciones y n incógnitas), podemos transformarlo en otro llamado triangular. Sistema triangular es aquel en el que todos los coeficientes por debajo de a11, a22, .... ann, son siempre ceros. También se le denomina sistema en forma escalonada. Se puede comprobar que si el sistema a resolver tiene forma triangular, la resolución es casi inmediata. 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜, 𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑦−𝑧 =1 −12𝑧 = −12 −12

De la ultima ecuación

𝑧=

De la segunda ecuación

y-1=1;

−12

==>

z=1

y = 1 + 1 ==> y = 2

De la 1ª ecuación x + 2·2 + 1 = 8 ; x = 8 - 4 - 1 ==> x = 3 Es pues conveniente ir transformando un sistema de ecuaciones en otro equivalente y con forma triangular Sea el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, el cual podremos escribirlo en un diagrama de doble entrada de filas y columnas, teniendo en cuenta solo los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes. x1 x2

xn

1ª ecuación 2ª ecuación

a11 a12 ...... a1n b1 a21 a22 ...... a2n b2 .................... ..... m ecuación am1 am2 ...... amn bm a) Siempre podremos intercambiar entre sí dos o más filas por corresponder a los coeficientes de mis ecuaciones. b) Podremos intercambiar entre si las columnas, por poseer las ecuaciones la propiedad conmutativa de la suma. No intercambiar la columna de los términos independientes. c) Podremos multiplicar o dividir, por un mismo número distinto de cero, todos los elementos de una fila, ya que es como si simplificáramos o multiplicáramos por un numero toda la ecuación.

Por ejemplo: x y z 2 4 2 3 −2 0 3 5 4

16 5 23

~

x y z z y x z y x 2 4 2 16 2 4 2 16 1 2 1 3 5 4 23 ~ 4 5 3 23 ~ 4 5 3 3 −2 0 5 0 −2 3 5 0 −2 3

8 23 5

2.2 RESOLUCION DE UN SISTEMA POR EL METODO DE GAUSS. Es una variante del método de reducción. Consiste en: a) Eliminar la 1ª incógnita, entre la 1ª ecuación y cada una de las m-1 ecuaciones restantes, sustituyendo cada una de las m-1 ecuaciones por cada resultado de la eliminación. b) Suprimir la 2ª incógnita, entre la 2ª ecuación y cada una de las m-2 ecuaciones restantes, sustituyendo cada una de las m-2 ecuaciones, por la ecuación que resulte de la eliminación correspondiente. c) Se prosigue hasta conseguir que aparezca una ecuación en la que exista solo una incógnita con coeficiente distinto de cero. d) Se llama pivote, a los coeficientes de las incógnitas, o variables libres, que se van a eliminar, bien en la 1ª ecuación, bien en la 2ª, etc. e) Si existe alguna ecuación con coeficiente 1, en alguna de las incógnitas, se tomara dicha ecuación y dicha incógnita, como primera, tanto en la fila como en la columna, y para ello aplicaremos las tres propiedades antes enunciadas. 𝑧 + 2𝑦 + 𝑥 = 8 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 4𝑧 + 5𝑦 + 3𝑥 = 23 −2𝑦 + 3𝑥 = 5 𝑟𝑎𝑔

1 2 1 4 5 3 0 −2 3

𝑟𝑎𝑔

1 1 2 0 −1 −3 0 3 −2

⋮ ⋮ ⋮

8 1 𝑓2 − 4𝑓1 = 𝑟𝑎𝑔 0 23 ==== 5 0 ⋮ ⋮ ⋮

8 𝑓 + 3𝑓2 = 𝑟𝑎𝑔 −9 3 ==== 5

2 1 −3 −1 −2 3

⋮ 8 𝑐 ↔𝑐 2 3 = ⋮ −9 ==== ⋮ 5

1 1 2 0 −1 −3 0 0 −11

⋮ 8 ⋮ −9 ⋮ −22

𝑧 + 𝑥 + 2𝑦 = 8 22 => −𝑥 − 3𝑦 = −9 => 𝑦 = 11 => 𝒚 = 𝟐 −11𝑦 = −22 - x – 3·2 = - 9 ; - x = - 9 + 6 ; - x = - 3 ===> x = 3 z + 3 + 2·2 = 8 ; z = 8 - 3 - 4

===> z = 1 - 13 -

2.3 METODO DE GAUSS APLICADO A ALGUNOS TIPOS DE SISTEMAS. Vamos a aplicar el método de Gauss a sistemas de ecuaciones no homogéneos (con termino independiente distinto de 0), en los cuales aparezcan las tres clases de sistemas: compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. a) Si se obtiene alguna ecuación de la forma 0 = c, siendo c ≠ 0 el sistema es incompatible ==> no admite soluciones reales. b) Si se obtiene la ecuación 0 = 0 , el sistema será compatible indeterminado ==> existirán infinitas soluciones, las cuales vendrán dadas a partir de uno o varios parámetros. c) Si al final de la forma triangular, sigue quedando el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, el sistema sera compatible determinado ==> existirá solución única. 2𝑥 + 7𝑦 − 3𝑧 = 5 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 4 𝑥 ∓ 𝑦 + 𝑧 = 12 𝑟𝑎𝑔

2 7 1 3 1 1

𝑟𝑎𝑔

1 3 −1 0 1 −1 0 −2 2

=>

−3 −1 1

⋮ ⋮ ⋮

5 𝑓 ↔ 𝑓1 = 𝑟𝑎𝑔 4 2 ==== 12 ⋮ ⋮ ⋮

1 3 −1 2 7 −3 1 1 1

4 𝑓 + 2𝑓2 = 𝑟𝑎𝑔 −3 3 ==== 8

⋮ ⋮ ⋮

1 3 −1 0 1 −1 0 0 0

4 𝑓2 − 2𝑓1 5 ==== = 12 𝑓3 − 𝑓1 ⋮ 4 ⋮ −3 ⋮ 2

𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 4 −𝑦 − 𝑧 = −3 => 𝐀𝐥 𝐬𝐞𝐫 𝐥𝐚 𝐮𝐥𝐭𝐢𝐦𝐚 𝐩𝐫𝐞𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢𝐨𝐧 𝐟𝐚𝐥𝐬𝐚 , 𝐲𝐚 𝐪𝐮𝐞 0𝑧 = −2 𝟎 ≠ 𝟐 , 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐜𝐨𝐦𝐩𝐚𝐭𝐢𝐛𝐥𝐞.

4𝑥 − 2𝑦 + 7𝑧 = 11 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 2𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 7 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6 𝑟𝑎𝑔

4 −2 7 2 5 −1 2 1 2

𝑟𝑎𝑔

2 5 0 −12 0 −4

−1 9 3

⋮ ⋮ ⋮

11 𝑓 ↔ 𝑓1 = 𝑟𝑎𝑔 7 2 ==== 6

2 4 2

⋮ 7 3𝑓3 − 𝑓2 = 𝑟𝑎𝑔 ⋮ −3 ==== ⋮ −1

5 −1 −2 7 1 2 2 5 0 −12 0 0

⋮ 7 𝑓2 − 2𝑓1 ⋮ 11 ==== = ⋮ 6 𝑓3 − 𝑓1 −1 9 0

⋮ 7 ⋮ −3 ⋮ 0

2𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 7 => −12𝑦 + 9𝑧 = −3 => 𝐀𝐥 𝐬𝐞𝐫 𝐥𝐚 𝐮𝐥𝐭𝐢𝐦𝐚 𝐩𝐫𝐞𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢𝐨𝐧 0 = 0, nos quedaran 2 0𝑧 = 0 ecuaciones con 3 incognitas ==> sistema compatible indeterminado ==> existen infinitas soluciones para los diferentes valores del parametro t.

2𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 7 −1 + 4y => −4y + 3z = −1 => 𝑧 = 3 −12𝑦 + 9𝑧 = −3 2𝑥 + 5𝑦 −

−1 + 4y 3

= 7 => 6𝑥 + 15𝑦 + 1 − 4𝑦 = 21 => 6x + 11y = 20 ; 𝑥 =

20−11𝑦 6

20 − 11𝑡 6 𝑦=𝑡 ∀𝑡 ∈ 𝑅 −1 + 4t z= 3

𝑥=

En el caso de que el sistema sea homogeneo (terminos independientes todos ceros), el sistema admite siempre la solucion llamada trivial x1 = x2 = ...... = xn = 0 El sistema homogeneo puede ser que: a) Admita solo la solucion trivial ( 0, 0, ... 0) siempre que el numero de ecuaciones coincida con el de incognitas. b) Admita ademas infinitas soluciones (compatible) siempre que el numero de ecuaciones sea menor que el numero de incognitas.

𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐯𝐞𝐫 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚

𝑟𝑎𝑔

𝟑𝐱 − 𝟒𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟎 𝟐𝐱 − 𝟑𝐲 + 𝐳 = 𝟎 𝟐𝐱 − 𝐲 + 𝟑𝐳 = 𝟎

3 −4 2 2 −3 1 𝑐 ↔ 𝑐 𝑓 ↔ 𝑓1 1 = 𝑟𝑎𝑔 3 −4 2 3 2 −3 1 2 ==== ==== 2 −1 3 2 −1 3

1 = 𝑟𝑎𝑔 2 3 = 𝑟𝑎𝑔

1 0 0

−3 2 𝑓2 − 2𝑓1 −4 3 ==== = 𝑟𝑎𝑔 −1 2 𝑓3 − 3𝑓1

1 −3 2 𝑓3 0 2 −1 4 0 8 −4 ===

−3 2 1 −3 2 𝑧 − 3𝑦 + 2𝑥 = 0 𝑓 − 𝑓2 𝑟𝑎𝑔 0 2 −1 => => 2 −1 3 2𝑦 − 𝑥 = 0 ==== 2 −1 0 0 0

𝑥 = 2𝑡 𝑥 = 2𝑦 => 𝑦 = 𝑡 ∀𝑡 ∈ 𝑅 z = 3y − 2x ; z = 3y − 4y => 𝑧 = − 𝑦 𝑧 = −𝑡

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Existen por ultimo una serie de problemas de sistemas de ecuaciones en los que aparecen algunos coeficientes indeterminados y en los cuales hay que discutir el sistema según los distintos valores del parámetro dado. En todos ellos el método de Gauss, consigue un sistema de ecuaciones triangular equivalente al inicial y donde se podrán discutir las diferentes soluciones segun los valores del parámetro. 𝐀𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐞𝐥 𝐦𝐞𝐭𝐨𝐝𝐨 𝐝𝐞 𝐆𝐚𝐮𝐬𝐬, 𝐝𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐢𝐫 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧 𝐥𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐥 𝟑𝐱 + 𝟐𝐲 − 𝐳 = 𝟏 𝐱 − 𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟑 𝐩𝐚𝐫𝐚𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨 𝐤 𝐞𝐧: 𝐤𝐱 + 𝟓𝐲 − 𝟒𝐳 = −𝟏 𝑟𝑎𝑔

3 1 𝑘

= 𝑟𝑎𝑔

2 −1 −1 2 5 −4

⋮ 1 𝑐 ↔𝑐 −1 2 3 1 3 ⋮ 3 ==== = 𝑟𝑎𝑔 2 −1 1 ⋮⋮ −1 −4 5 𝑘

−1 2 3 0 3 7 0 −3 𝑘 − 12

⋮ 1 𝑓2 + 2𝑓1 ⋮ 3 ==== ⋮ −1 𝑓3 − 4𝑓1

⋮ 1 −1 2 3 𝑓3 + 𝑓2 = 𝑟𝑎𝑔 0 3 ⋮ 5 7 ==== ⋮ −5 0 0 𝑘−5

⋮ 1 ⋮ 5 ⋮ 0

Si k - 5 ≠ 0 ==> k ≠ 5 el sistema es compatible y determinado. (k - 5)· x = 0 ==> x = 0 3y + 7· 0 = 5 ==> 3y = 5 ==> 𝒚 = 𝟓/𝟑 - z + 2· (5/3) + 3· 0 = 1 ==> - z = 1 - 10/3 ==> - z = - 7/3 ==> z = 7/3 Si k - 5 = 0 ==> k = 5 , por ser todos los elementos de la última fila ceros, el sistema será compatible indeterminado. − z + 2y + 3x = 1 3y + 7x = 5 y = 𝑧=

5 − 7t 3

10 − 14t + 9t − 3 3

Haciendo x = t nos queda que 3y = 5 - 7t ==>

y despejando z queda que 2. => z =

5 − 7t 3

+ 3t − 1 = z ;

7 − 5t 3

𝐱 = 𝐭 El conjunto de soluciones seran:

𝐲 = 𝐳 =

𝟓 – 𝟕𝐭 𝟑 𝟕 – 𝟓𝐭 𝟑

∀t ∈ R

𝐃𝐢𝐬𝐜𝐮𝐭𝐢𝐫 𝐲 𝐫𝐞𝐬𝐨𝐥𝐯𝐞𝐫, 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧 𝐥𝐨𝐬 𝐝𝐢𝐬𝐭𝐢𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐯𝐚𝐥𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐤, 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐤𝐲 + 𝐳 = 𝟎 𝐡𝐨𝐦𝐨𝐠𝐞𝐧𝐞𝐨 𝐱 + 𝐲 + 𝐳 = 𝟎 𝐱 + 𝐲 + 𝐤𝐳 = 𝟎

𝑟𝑎𝑔

1 𝑘 1 1 1 1

1 1 𝑘

𝑓1 ↔ 𝑓2 = 𝑟𝑎𝑔 ====

1 1 1 𝑘 1 1

1 𝑓2 − 𝑓1 1 1 1 ==== = 𝑟𝑎𝑔 0 𝑘 − 1 𝑘 𝑓3 − 𝑓1 0 0

1 0 𝑘−1

Al ser un sistema homogéneo, y discutiendo el sistema triangular aparecerán dos casos: a) Si k - 1 = 0 ==> k = 1 , las ecuaciones 2ª y 3ª se transforman en 0 = 0, con lo que se pueden suprimir, quedando por tanto un sistema equivalente con una sola ecuación. x+y+z=0 Dicho sistema será compatible pero indeterminado ya que el numero de ecuaciones es menor que el de incógnitas. Esto quiere decir que existirán infinitas soluciones, las cuales dependerán de 2 parámetros. Si despejamos x = - y - z

y llamamos y = , z = 𝛍 podemos deducir que

x = −λ − μ y=λ las soluciones seran; ∀ 𝛌, 𝛍 ∈ 𝐑 z=μ b) Si k - 1 ≠ 0 ==> k ≠ 1 , el sistema seguirá siendo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, por lo que el sistema será compatible y determinado. Esto implica que posee solución única y al ser un sistema homogéneo dicha solución será la trivial, es decir x=0 ; y=0 ; z=0

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