MECANICA DE LOS FLUIDOS 6 ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA Ing. Alejandro Mayori

6 ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA 6.1 Introducción - Teoría matemática y resultados experimentales han desarrollado soluciones practicas - Permite realizar experimentos en modelos a escala

- Análisis dimensional y la semejanza hidráulica simplifica las experiencias y el análisis de los resultados obtenidos

6.2 Análisis Dimensional - Toda ec. que exprese una relación física entre magnitudes debe igualar las magnitudes por los valores numéricos y por las dimensiones - Todas las relaciones físicas pueden reducirse a una relación entre Fuerza, Longitud y Tiempo o entre Masa, Longitud y Tiempo

6.2 Análisis Dimensional Aplicaciones : - Conversión de unidades - Desarrollo de ecuaciones - Reducción nro.. experimento

variables

requeridas

- Establecimiento de los principios para el diseño de modelos

6.3 Modelos Hidráulicos - Modelos pueden distorsionados

ser

verdaderos

o

- Modelos verdaderos esta a escala (semejanza geométrica) y satisfacen las restricciones de diseño (semejanza cinemática y dinámica) - Resultados obtienen modelos son buenos

6.4 Semejanza Geométrica - Hay semejanza geométrica entre el modelo y el prototipo cuando las relaciones entre todas las dimensiones correspondientes u homologas son iguales - Lrel = Lmodelo / Lprototipo - Lrel

2

Lr = Lm / Lp

= Amodelo / Aprototipo = Lmodelo 2 / Lprototipo

2

6.5 Semejanza Cinemática - Hay semejanza cinemática entre el modelo y el prototipo cuando

- 1 Las trayectorias de las partículas móviles homologas son geométricamente semejantes - 2 Las relaciones entre velocidades partículas homologas son iguales

de

- Velocidad Vm/Vp = (Lm/Tm )/ (Lp/Tp ) = Lr/Tr - Aceleracion am/ap = (Lm/Tm 2)/(Lp/Tp 2) = Lr/Tr 2 - Caudal Qm/Qp = (Lm 3/Tm)/(Lp 3/Tp)= Lr 3/Tr

las

6.6 Semejanza Dinámica - Hay semejanza dinámica entre el modelo y el prototipo cuando las relaciones entre fuerzas homólogas son iguales - Las condiciones para la semejanza completa se obtiene del 2 principio de Newton Σ F = m a

- Entre modelo y prototipo siguiente relación de fuerzas

se

desarrolla

Fuerzas M a modelo m m = ΣFuerzasprototipo Mpap Σ

la

6.7 Relación entre Fuerzas de Inercia (Ecuación Newtoniana) Fuerzam Mmam ρmLm 3 Lr Lr 2 2 - Fr = = = =ρrLr ( ) 3 2 Fuerzap Mpap ρpLp Tr Tr - Fr = ρr Lr 2 Vr 2 = ρr Ar Vr 2

6.8 Relación entre Fuerzas de Inercia a las de Presión (Nro. Euler) - Euler = M a = pA

ρL3(L/T2) pL2

=

ρV2 p

6.9 Relación entre Fuerzas de Inercia a las Viscosas (Nro. Reynolds) 2 V2 M a ρ L ρVL M a - Reynolds= = 𝑑𝑉 = 𝑉 2 = m t A m (𝑑𝑦)A m ( 𝐿 )L

6.10 Relación entre Fuerzas de Inercia a las Gravitatorias (Nro. Freud) ρL2V2

2 V - Froud2= M a = = 3 gL M 𝑔 ρg L

6.11 Relación entre Fuerzas de Inercia a las Elásticas (Nro. Cauchy) ρL2V2

ρV2

M a - Cauchy = = = 2 E EA EL

- A su raíz se le conoce nro. de March

6.12 Relación entre Fuerzas de Inercia a las de Tensión Superficial (Nro. Weber) 2 V2 2 L ρ L V - Weber = M a = = s sL sL

ρ

6.13 Relación de Tiempos - Las relaciones de tiempos gobernadas por la viscosidad, la gravedad, la tensión superficial o la elasticidad son : - Tr = Lr 2 /vr - Tr = Lr 3 rr /sr

Tr =

Lr /gr

Tr = Lr / Er /rr

6.13 Metodología •EXPERIMENTACIÓN MECÁNICADE FLUIDOS •ADIMENSIONALES MECÁNICA DE FLUIDOS •SEMEJANZA DE MODELOS Ensayos con modelos Leyes de semejanza Semejanza de Froude Semejanza de Reynolds Semejanza de Mach

Las ecuaciones fundamentales de un flujo no son generalmente suficientes para una solución completa del problema. En Mecánica de fluidos que pueden intervenir hasta 9 magnitudes físicas. Parece imposible la experimentación. Afortunadamente, en un problema concreto, no influirán más de 6; pero todavía es excesivo.

Mediante el análisis dimensional podemos formar agrupaciones adimensionales y trabajar con ellas en lugar de con las magnitudes físicas reales. Con ello se reduce el número de variables a (n - m):

n = número de magnitudes físicas que intervienen m = número de magnitudes básicas que intervienen

Cuantas menos agrupaciones resulten, menos experiencias hay que hacer: una agrupación requeriría una experiencia; dos agrupaciones varias experiencias (10 por ejemplo) para construir una curva, y tres nos llevaría a varias (10 curvas y/o 100 experiencias, por ejemplo). Una ventaja adicional que nos proporciona la teoría dimensional es la de predecir los resultados de un proyecto, en base a los obtenidos ensayando con un modelo a escala.

Para establecer los posibles adimensionales, supongamos que intervienen a la vez todas las posibles fuerzas sobre el flujo: de presión, de gravedad, de fricción, de elasticidad y de tensión superficial. Expresemos la resultante (Σ F), o fuerza de inercia (Fi),que provoca la aceleración del flujo, en función de la velocidad u:

- ΣF = F = ma =

ρL3 L

T2

= ρL2 u2

Fp = l2 p

Fuerza de presión (p):

Fg = l3ρ g

Fuerza de gravedad (g): Fuerza viscosa (μ):

Fr = l2 t = l u μ

Fuerza elástica (K):

FK = l2 K

Fuerza tensión superficial (s)

Fs = l s

Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia:

l2 p + l3𝜌 g + l u μ + l2 K + l s = 𝜌 l2 u2 expresión que relaciona 8 magnitudes físicas: f (l, p, ρ, g, u, μ, K, s) = 0

Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre con frecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8. Dividamos la primera ecuación por la fuerza de inercia:

- Φ

𝑝 ( 2 𝜌u

lg , , 2 u

𝜇 𝜌𝑙u

,

𝐾 𝜌u2

,

s

) 2 𝜌lu

=0

en la que intervienen 5 variables (adimensionales), en lugar de las 8 (dimensionales).

- Φ

𝑝 (𝜌u2

lg , , 2 u

𝜇 𝜌𝑙u

,

𝐾 𝜌u2

Coeficiente de person Cp Número de Froude Fr =

Número de Reynolds Re Número de Mach Ma = Número de Weber We = - Φ

𝑝/𝜌 (u2/2

,

𝑢 , 𝜌𝑙u , 𝑙𝑔 𝜇

s , )=0 2 𝜌l u 𝑝 = 2 𝜌u 𝑢

𝑙𝑔 𝜌𝑙u = 𝜇 𝑢

𝐾/𝜌 𝑢

=

𝑢 𝑎

s/𝜌𝑙

𝑢 𝐾/𝜌

,

𝑢

s/𝜌𝑙

)=0

- Φ

𝑢 , 𝜌𝑙u , 𝑙𝑔 𝜇

𝑝/𝜌 (u2/2

𝑢

,

𝑝/𝜌 (u2/2

) = f (Fr, Re, Ma, We)

𝐾/𝜌

,

𝑢

s/𝜌𝑙

)=0

Si hubiera dos longitudes características en el problema, l y l', el cociente l/l', ó l'/l, sería otra variable adimensional: 𝑝/𝜌 (u2/2

) = f (Fr, Re, Ma, We, l/l’)

En cada caso se eliminarán aquellos adimensionales cuya intervención sea nula o poco importante

6.14 Ensayos con Modelos Los modelos se hacen de materiales diversos madera, escayola, metales, hormigón, plástico etc. No es necesario ensayar con el mismo fluido que utilice el prototipo. El agua y el aire son los fluidos que generalmente se utilizan.

Los ensayos de canalizaciones, puertos, presas, aliviaderos, etc., se hacen en los

laboratorios de hidráulica.

Los ensayos de modelos de aviones, y en general de cuerpos sumergidos, se hacen en túneles de viento y en túneles de agua.

Los ensayos de barcos se hacen en los llamados canales hidrodinámicos

Leyes de semejanza Existe semejanza cinematica en dos corrientes fluidas cuando las lineas de flujo de una lo sean respecto a las homologas de a otra. Para ello es necesario a) Semejanza geométrica

- λ = Lp / Lm ; λ2 = Lp2 / Lm2 ; λ3 = Lp3 / Lm3 b) Semejanza dinámica. Las fuerzas en puntos homólogos Deben ser semejantes

Rep = Rem; Frp = Frm; Map = Mam; Wep = Wem

a) Cuando el flujo presenta una superficie libre la fuerza predominante es la de gravedad: semejanza de Froude, Frp = Frm b) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico la fuerza predominante es la de viscosidad: semejanza de Reynolds, Rep = Rem c) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo supersónico la fuerza predominante es la compresibilidad: semejanza de Mach, Map = Mam d) En láminas de líquido muy delgadas prima la tensión superficial: semejanza de Weber, Wep = Wem

Semejanza de Froude Frp = Frm

Relación de velocidades

𝑢𝑝 𝑙p𝑔p

=

𝑢𝑚

𝑢𝑝 = 𝑢𝑚

𝑙m𝑔m

y si gp=gm, como es lo habitual:

𝑢𝑝 = 𝑢𝑚

λ

Por ejemplo, si λ = 25, up /um=5.

𝑔𝑝 λ 𝑔m

Relación de caudales (Q = S u)

𝑄𝑝 𝑄𝑚

=

𝑆𝑝 𝑢 𝑝 𝑆𝑚 𝑢 𝑚

Relación de fuerzas (F = γ l 3)

𝐹𝑝 γ𝑝 3 = λ 𝐹𝑚 γ𝑚 y si γ p = γ m, como es lo habitual:

𝐹𝑝 = λ3 𝐹𝑚

Por ejemplo, si λ = 25, Fp /Fm = 15625.

𝑄𝑝 = λ5/2 𝑄𝑚

Relación de potencias (P = F u) y si γ p = γ m, 𝑃𝑝 𝑃𝑚

=

𝐹 𝑝 𝑢𝑝 𝐹 𝑚 𝑢𝑚

= λ3 λ1/2

Por ejemplo, si λ = 25, Pp /Pm = 78125.

Semejanza de Reynolds 𝑅𝑒𝑝 = 𝑅𝑒𝑚 Relación de velocidades. 𝑙𝑝 𝑢𝑝 ν𝑝

=

𝑙𝑚 𝑢𝑚 ν𝑚

𝑢𝑝 𝑢𝑚

=

ν𝑝 𝑙𝑚 ν𝑚𝑙𝑝

𝑢𝑝 𝑢𝑚

=

ν𝑝 1 ν𝑚 λ

Por ejemplo, si λ = 25, up / um = 1/25 Con la semejanza de Froude, había que ensayar con una velocidad 5 veces menor, y con la Reynolds con una velocidad 25 veces mayor. Por lo que no es posible que se cumplan ambos a la vez, salvo que la escala sea la unidad

Relación de caudales ṁ = ρ Q = ρ S u ṁ𝑝 ρ𝑝 𝑠𝑝𝑢𝑝 ρ𝑝 2 ν𝑝 1 ρ𝑝 ν𝑝 = = λ = λ ṁ𝑚 ρ𝑚 𝑠𝑚𝑢𝑚 ρ𝑚 ν𝑚 λ ρ𝑚 ν𝑚

ṁ𝑝 μ𝑝 = λ ṁ𝑚 μ𝑚

Relación de fuerzas (F = l u 𝝁)

F𝑝 l𝑝 𝑢𝑝𝜇𝑝 𝜈𝑝 1 ρ𝑝 = =λ 𝜈𝑚 λ ρ𝑚 F𝑚 l𝑚 𝑢𝑚𝜇𝑚 F𝑝 𝜈 𝑝 2 ρ𝑝 = (𝜈 ) ρ F𝑚 𝑚 𝑚

Si se tratara del mismo fluido y en el mismo estado, Fp = Fm: el mayor esfuerzo cortante en el modelo contrarresta su menor superficie de rozamiento

Relación de Match Ma p = Ma m Relación de Velocidades 𝑢𝑝 𝐾𝑝/𝜌𝑝 𝑢𝑝 𝑢𝑚

= =

𝑢𝑚 𝐾𝑚/𝜌𝑚 𝑎𝑚 𝑎𝑚

Relación de Caudales (ṁ = ρ Q = ρ S u )

ṁ𝑝 ρ𝑝 𝑠𝑝𝑢𝑝 ρ𝑝 2 𝑎𝑝 = = λ ṁ𝑚 ρ𝑚 𝑠𝑚𝑢𝑚 ρ𝑚 𝑎𝑚 Relación de Fuerzas (F = K S ) F𝑝 𝐾𝑝 𝑆𝑝 𝐾𝑝 2 = = λ F𝑚 𝐾𝑚 𝑆𝑚 𝐾𝑚 y como

𝑎=

𝐾/𝜌

F𝑝 𝜌𝑝 𝑎𝑝 2 2 = ( ) λ F𝑚 𝜌𝑚 𝑎𝑚

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