Medidas de dispersión

E n u n s u p e r m e r c a d o , s e l e dio l a o r d e n a u n o d e los e m p l e a d o s d e t o m a r l a t e m p e r a t u r a d e los r e f r i g e r a d o r e s c o n v e g e t a l e s c a d a 2 0 m i n u t o s y , e n s u c a s o , c o n t r o l a r l a o h u m e c t a r l o s p a r a q u e n o p i e r d a n sus p r o p i e d a d e s . É l i n t e r p r e t ó q u e p o d í a h a c e r l a s i n s p e c c i o n e s c a d a 2 0 m i n u t o s e n p r o m e d i o . E n l o s ú l t i m o s dos días s e e c h a r o n a perder varios vegetales y recibió una a m o n e s t a c i ó n verbal. Para defenderse, m o s t r ó a s u j e f e e l r e p o r t e d e l o s t i e m p o s q u e t r a n s c u r r i e r o n e n t r e r e v i s i o n e s e n u n día, s e g ú n s e m u e s t r a e n l a t a b l a 1.37.

Tabla 1.37 T i e m p o s e n t r e revisiones

10

DATO

Tiempo transcurrido (min)

14

21

24

20

21

23

16

17

19

16

22

E f e c t i v a m e n t e , l a m e d i a a r i t m é t i c a e s d e 2 0 m i n u t o s , p e r o l a dispersión d e l o s datos implica que algunos lapsos de t i e m p o entre u n a y otra inspección son mayores a 20 m i n u t o s . En el r e p o r t e del e m p l e a d o , 4 de l o s p e r i o d o s s o n m a y o r e s q u e o iguales a 22 m i n u t o s . L a s m e d i d a s d e d i s p e r s i ó n d e los d a t o s j u n t o c o n l a m e d i d a d e u n p r o m e d i o m e j o r a n l a d e s c r i p c i ó n : U n p r o m e d i o solo n o p r o p o r c i o n a m u c h a i n f o r m a c i ó n ; p o r s í m i s m o , s ó l o i n d i c a l a p o s i c i ó n del c e n t r o , m i e n t r a s q u e u n a m e d i d a d e d i s p e r s i ó n p e r m i t e c o n o c e r c u á n t o s e e s p a r c e n los d a t o s a l r e d e d o r del c e n t r o . T o m e m o s c o m o referencia el siguiente caso, para comprender la diferencia entre

medidas

de

tendencia

central

y

medidas

de

dispersión.

El director de u n a escuela investiga cuál es el c o n s u m o diario de papel para imp r e s o r a en su e s c u e l a d u r a n t e p e r i o d o s de e x á m e n e s (E) y en p e r i o d o s n o r m a l e s de t r a b a j o (EE). O b t i e n e u n a m u e s t r a del c o n s u m o e n m i l e s d e h o j a s d u r a n t e seis d í a s e n e l p e r i o d o n o r m a l d e t r a b a j o : 1 . 5 , 1 . 4 , 1 . 3 , 1 . 5 , 1 . 6 y 1.3. U n a m u e s t r a d e c i n c o d í a s en p e r i o d o de e x á m e n e s a r r o j ó los s i g u i e n t e s d a t o s : 1.8, 2 . 4 , 1 . 6 , 2.8 y 1.4. C a l c u l ó la m e d i a a r i t m é t i c a y el r a n g o p a r a c a d a c o n j u n t o de d a t o s y o b t u v o lo s i g u i e n t e :

x — 1.433 m i l l a r e s / d í a ; r a n g o — 0.3 m i l l a r e s / d í a , EE

x = 2 m i l l a r e s / d í a ; r a n g o = 1.4 m i l l a r e s / d í a . E

El r a n g o es u n a medida de dispersión q u e se define c o m o la diferencia e n t r e el d a t o m a y o r y el m e n o r , y e x p l i c a e n t r e q u é v a l o r e s e s t á n d i s p e r s o s los d a t o s . Así, en

12

13

28

19

20

15

16

20

18

e s t e c a s o s e infiere q u e e n p e r i o d o s d e e x á m e n e s , a d e m á s d e q u e s e g a s t a m á s p a p e l d i a r i a m e n t e , las c a n t i d a d e s d e l o s c o n s u m o s s e p a r e c e n m e n o s . A l g u n a s d e l a s m e d i d a s d e d i s p e r s i ó n m á s u s a d a s p a r a d e s c r i b i r d a t o s s o n las q u e s e m u e s t r a n e n e l e s q u e m a d e l a f i g u r a 1.35.

NO

USAN

TODA

LA

USAN

TODA

LA

INFORMACIÓN

INFORMACIÓN

DISPONIBLE

DISPONIBLE

RANGO

PERCENTILES

DESVIACIÓN

VARIANZA

MEDIA

/

CUARTI LES

DESVIACIÓN ESTÁN DAR

RANGO ENTRE PERCENTILES

Figura 1.35

RANGO

INTERCUARTÍLICO

Medidas de dispersión

L a s m á s eficientes son aquellas en las que se utiliza toda la información disponible, pero las otras son a m p l i a m e n t e usadas para efectuar descripciones de distribucion e s d e f r e c u e n c i a s . T o d a s ellas s o n estadísticos s i s e c a l c u l a n c o n d a t o s d e u n a m u e s t r a , y s o n parámetros si en su c á l c u l o se u t i l i z a t o d a la i n f o r m a c i ó n de u n a población.

1.4.1 I Rango El rango de un conjunto de datos es la m e d i d a de dispersión m á s simple.

R a n g o de un c o n j u n t o de d a t o s n u m é r i c o s : Es la diferencia entre los valores mayor y

menor.

Deforma

simbólica: R — valor d a t o m a y o r — v a l o r d a t o m e n o r .

E l r a n g o t i e n e v a r i a s p r o p i e d a d e s q u e d e t e r m i n a n s u uso: • E s a f e c t a d o p o r u n valor e x t r e m o ; p o r e j e m p l o , u n o m u y g r a n d e e n e l c o n t e x t o de los d e m á s . • No m i d e ni d e s c r i b e la dispersión de los d a t o s e n t r e los valores m á x i m o y m í n i m o . • S u v a l o r e s m u y útil c u a n d o s e c o m p a r a n v a r i a s m u e s t r a s p e q u e ñ a s . a

Ejemplo 1.59

El r a n g o de l o s valores 2, 3, 4 y 1 0 0 es 9 8 ; 1 0 0 es un valor e x t r e m o y a f e c t a el v a l o r del rango, e l c u a l e n e s t e c a s o n o p r o p o r c i o n a i n f o r m a c i ó n a c e r c a d e l a d i s p e r s i ó n de los d a t o s e n t r e el 2 y el 1 0 0 .

I

Actividades de aprendizaje

Analiza

los

mientos

que

siguientes sigas y

ejercicios y las

contesta

respuestas

de

tu grupo.

Q

L O N G I T U D E S DÉ T O R N I L L O S

lo

que

que

obtengas

se

te pide.

con

las

Compara de

algunos

los procedicompañeros

En un p r o c e s o se m i d e n las l o n g i t u d e s de 5 t o r n i l l o s en c e n t í m e t r o s y se o b tienen los siguientes resultados: 10.09, 9.98, 9 . 9 9 , 1 0 . 0 4 y 10.10. H

¿ C u á l es el r a n g o ?

\b\

¿ C u á l es la m e d i a a r i t m é t i c a ?

H

¿ C u á l es la m e d i a n a ?

\á\

.

Compara la media aritmética c o n la mediana: x X

¿ Q u é significa el r e s u l t a d o ?

0.5

Un p e q u e ñ o negocio que se dedica al planchado de ropa recibe pedidos gen e r a l m e n t e p e q u e ñ o s . L o s pedidos de las dos ú l t i m a s s e m a n a s , en c a n t i d a d de prendas que se t i e n e n que planchar, se m u e s t r a n a continuación. Pedidos de la s e m a n a 21

Pedidos de la s e m a n a 20

PEDIDO

H

PEDIDO

i

PRENDAS

¡

PRENDAS

1

!

25

1

!

34

2

!

46

2

!

56

3

!

24

3

!

17

4

¡

20

4

!

12

5

|

15

5

!

26

6

!

28

6

i

35

7

!

35

7

¡

8

¡

40

8

¡

14

9

!

9

!

28

10

!

36

10

!

23

11

!

28

11

¡

40

12

!

37

12

¡

120

13

!

29

13

!

12

14

¡

18

14

!

12

15

!

38

15

!

16

16

!

28

16

¡

18

17

!

54

17

!•

38

18

!

16

18

¡

40

19

|

29

20

!

23

21

!

43'

22

!

34

3

4

.

4

0

C a l c u l a el r a n g o de c a d a s e m a n a y c o m p á r a l o s :

¿Cuántas veces es m a y o r o m e n o r el rango de la s e m a n a 1 al rango de la s e m a n a 2? ¿Qué significa eso?

\b\ 0

¿Cuál e s l a m e d i a a r i t m é t i c a d e p r e n d a s p o r p e d i d o d e c a d a s e m a n a ? ¿Cuál e s l a m e d i a n a del n ú m e r o d e p r e n d a s p o r c a d a p e d i d o d e c a d a s e mana?

\á\

¿ E n qué s e m a n a e x i s t e u n v a l o r a n o r m a l ? ¿ C u á l e s e s e v a l o r ? ¿ C ó m o afecta al rango, a la m e d i a a r i t m é t i c a y a l a m e d i a n a ? Explica.

1.4.2

I Percentiles

P a r a v e r c u á l e s l a utilidad d e l o s p e r c e n t i l e s , t o m e m o s c o m o r e f e r e n c i a e l s i g u i e n t e caso. °

Ejemplo 1.60

G e n e r a l m e n t e s e a p l i c a n e x á m e n e s d e i n g r e s o a las i n s t i t u c i o n e s d e e d u c a c i ó n superior. L o s r e s u l t a d o s de e s o s e x á m e n e s s u e l e n o r d e n a r s e del m a y o r al m e n o r , o vic e v e r s a , y c a d a p a r t i c i p a n t e a d q u i e r e a s í u n a p o s i c i ó n d e o r d e n d e n t r o del c o n j u n to. Cuarenta datos de ese tipo, provenientes de calificaciones en u n a escala que va d e 7 0 0 a 1 3 0 0 p u n t o s , s e m u e s t r a n e n l a t a b l a 1.38, o r d e n a d o s del m e n o r a l mayor.

Tabla 1.38 Resultados de un e x a m e n de ingreso a una universidad

DATO

|

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

CALIFICACIÓN

¡

774

786

853

890

894

903

908

925

926

930

DATO

!

12

13

14

15

16

iBÉ

18

19

20

CALIFICACIÓN

¡

933

937

939

952

956

969

991

993

993

DATO

|

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

CALIFICACIÓN

¡

999

1002

1007

1007

1010

1010

1013

1021

1023

1034

DATO

¡

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

CALIFICACIÓN

¡

1040

1043

1045

1056

1058

1059

1061

1105

1184

1215

1 1

De estos datos, se quiere d e t e r m i n a r u n a calificación que p a r t a al grupo de datos en dos subgrupos: uno c o n 75 p o r ciento m e n o r e s a esa calificación, y otro c o n 25 p o r c i e n t o m a y o r e s . E n e s t e p r o b l e m a s e r e q u i e r e c a l c u l a r e l percentil 7 5 ° .

El p e r c e n t i l p de un g r u p o de d a t o s o r d e n a d o s : Es el valor x ( p ) para el cual p por

ciento

de

las

mediciones

son

menores

que

él

El cálculo de un percentil de u n a m u e s t r a ordenada se realiza de la siguiente manera. 1) Se calcula el dato p e r c e n t i l p c o n la fórmula p{n)

D(p).

+p

100 d o n d e p e s e l p o r c e n t a j e d e d a t o s q u e d e b e n s e r m e n o r e s q u e e l v a l o r del p e r c e n til r e q u e r i d o : 1 0 % , 2 5 % , 3 8 % , 7 5 % , ...;yn e s e l n ú m e r o d e d a t o s . E l c á l c u l o del d a t o p e r c e n t i l 7 5 p o r c i e n t o , e n n u e s t r o e j e m p l o , s e h a c e a s í

75(40) + 7 5

=

3

0

7

5

-

100 Así, e l valor del d a t o p e r c e n t i l e s m a y o r q u e 1 0 3 4 p u n t o s , p e r o m e n o r q u e 1 0 4 0 puntos. 2) Se interpola p a r a o b t e n e r el valor del d a t o p e r c e n t i l p: x(p), y se c a l c u l a s e g ú n la regla x{p)

J

=D _ r p

1

[D + i p

— D _ ] [parte p

1

d o n d e D _ es e l d a t o a n t e r i o r a l d a t o D(p), y D p

1

d e c i m a l del dato D(p)]

?

p

+

1

e s el dato posterior al dato

D(p). Cálculo para nuestro ejemplo: T o m a en c u e n t a que 30.75 está entre los datos 30 ( 1 0 3 4 ) y 3 1 ( 1 0 4 0 ) ; así, t e n e m o s que 4 7 5 ) = 1 0 3 4 + [ 1 0 4 0 - 1034](0.75) = 1038.5 puntos. L u e g o , 7 5 p o r c i e n t o d e l a s c a l i f i c a c i o n e s s o n m e n o r e s a e s e valor.

CU ARTI LES

Los cuartiles son percentiles que parten un grupo de mediciones ordenadas a s c e n d e n t e o d e s c e n d e n t e m e n t e en cuartos, es decir, en s u b g r u p o s de d a t o s c a d a u n o c o n 2 5 % d e ellos, d e a c u e r d o c o n las s i g u i e n t e s d e f i n i c i o n e s y n o t a c i ó n ( v é a s e l a f i gura 1.36). • C u a r t i l 1 Q ( l ) = p e r c e n t i l 2 5 % = x(25). • C u a r t i l 2: Q ( 2 ) = p e r c e n t i l 5 0 % = x(50) =x

Q5

• C u a r t i l 3: Q ( 3 ) = p e r c e n t i l 7 5 % = x{75).

= la. m e d i a n a .

1 1 1

DATO MENOR

Cuartil 2:0(2) Percentil x(50)

Cuartil 1: QO) Percentil x(25)

DATO MAYOR

Cuartil 3:0(3) Percentil x(75)

MEDIANA

50% de los datos es menor a 0(2)

25% de los datos es menor a Q(1)

75% de los datos es menor a Q(3)

En virtud de lo anterior, el c á l c u l o de los c u a r t i l e s se r e a l i z a c o m o el de los r e s -

Figura 1 3 6 Significado de los valores

pectivos p e r c e n t i l e s .

de los cuartiles

Actividades de aprendizaje Reúnete Si

Q

con

tienen

tres

alguna

de duda,

tus

compañeros

coméntenla

de

con

grupo para su

relizar

la

siguiente

actividad.

maestro(a).

TERMOSTATO

E l c o n t r o l del t e r m o s t a t o d e u n c a l e n t a d o r d e gas e n c i e n d e c u a n d o l a t e m peratura baja. En un experimento c o n un nuevo termostato, se practicaron 60 ensayos obteniéndose los siguientes resultados, los cuales han sido orden a d o s del m e n o r a l mayor.

°C a los q u e reacciona el t e r m o s t a t o

12.0

16.8

17.9

18.6

19.9

20.4

21.5

22.2

23.0

24.0

12.5

16.9

18.0

18.7

19.9

20.5

21.6

22.4

23.6

25.3

12.9

17.0

18.1

18.7

19.9

20.6

21.6

22.7

23.8

25.5

15.3

17.1

18.1

18.9

20.0

20.9

21.9

22.7

23.9

25.7

15.8

17.5

18.3

19.1

20.2

21.2

21.9

22.8

24.0

26.1

16.3

17.8

18.5

19.4

20.3

21.2

22.0

22.8

24.0

28.4

[ a ] ¿ C u á l e s e l v a l o r del r a n g o ? [b] Calculen el valor de los cuartiles Q ( l ) , Q ( 2 ) y Q ( 3 ) . 0

¿Qué porcentaje de datos es mayor que Q(2)? ¿Por qué? ¿Qué significado tiene ese valor?

Gráfico

de

cajas

y

bigotes

C o n l o s c u a r t i l e s e s p o s i b l e c o n s t r u i r u n gráfico m u y s e n c i l l o l l a m a d o gráfico d e c a j a s y b i g o t e s . E s t u d i a la s i g u i e n t e s i t u a c i ó n y su s o l u c i ó n , en la q u e se o b t i e n e un gráfico de este estilo. a

Ejemplo 7 . 6 7

Los siguientes datos corresponden al número de empleados por empresa de la construcción, encontrado mediante un muestreo aleatorio de 70 empresas en la República M e x i c a n a . El registro lo realizó un consejo empresarial de la construcción a f i n a l e s del a ñ o 2 0 0 5 c o n l a f i n a l i d a d d e p o s e e r u n r e g i s t r o r á p i d o p a r a t o m a r algunas decisiones. En el padrón de empresas de ese tipo en el país aparecen registradas 8 500.

Tabla 1.39

1

13

35

55

68

91

132

153

213

333

3

20

39

57

71

94

133

166

221

334

6

20

39

60

77

95

138

175

229

340

6

22

42

61

78

101

142

178

248

351

8

22

50

66

86

113

147

180

258

454

10

32

53

66

87

127

150

184

261

693

12

35

55

66

88

132

153

204

326

718

E l o b j e t i v o d e l a e n c u e s t a fue d e t e r m i n a r a p r o x i m a d a m e n t e e l n ú m e r o d e e m pleados en todas las empresas y describir su c o m p o r t a m i e n t o . 1) La variable que se estudia es el n ú m e r o de empleados por empresa de la construcción. 2 ) S e prefiere e s t u d i a r u n a m u e s t r a y n o l a p o b l a c i ó n e n t e r a p o r q u e s e t i e n e p r i s a en adquirir información.

3) El v a l o r de la m e d i a n a es 88 + 91

= 89.5.

Así, s i l a m u e s t r a e s r e p r e s e n t a t i v a d e l a p o b l a c i ó n , a p r o x i m a d a m e n t e 5 0 % d e las empresas tiene 90 trabajadores o m e n o s . 4) L o s v a l o r e s de los p e r c e n t i l e s p e r c e n t i l e s 25 y 75 e s t á n , s e g ú n la f ó r m u l a d a d a al pricipio de esta sección, en los datos siguientes:

=

2 5 ( 7 0 ) + 25

? 3

100 75(70)

+

75

=

5 3

.

_ _ 2 5

100 Interpolando mediante la segunda fórmula dada en esta sección, se obtiene • Cuartil 1 o Q ( l ) : x ( 2 5 ) = 39 + [ 4 2 - 3 9 ] [ 0 . 7 5 ] = 4 1 . 2 5 t r a b a j a d o r e s . • Cuartil 3 o Q ( 3 ) : JE(75) = 1 7 8 + [ 1 8 0 - 1 7 8 ] [ 0 . 2 5 ] = 1 7 8 . 5 t r a b a j a d o r e s . E l h i s t o g r a m a d e f r e c u e n c i a s d e los d a t o s s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 1.37. N ó t e s e que existe un e n o r m e sesgo a la derecha, lo cual t a m b i é n puede notarse construy e n d o un gráfico de cajas y bigotes, c o m o se m u e s t r a en la

figura

1.38.

EMPRESAS

Marco

DE

LA

CONSTRUCCIÓN

Barra del rango

x

Dato mayor: 718

Dato menor: 1

Cuartil 1,Q(1):42 Línea de la mediana, 0(2): 89.5

J _

-100

0

/

100

200

300

400

500

600

700

800

Figura 1.38 Gráfico de cajas y bigotes Cuartil 3,0(3): 178

L o s p a s o s p a r a l a c o n s t r u c c i ó n d e e s t e g r á f i c o s o n los s i g u i e n t e s .

1) Se c o n s t r u y e un m a r c o d e n t r o del c u a l se c o n s t r u i r á el gráfico de c a j a s y b i g o t e s . 2) Se i d e n t i f i c a n l o s v a l o r e s de l o s d a t o s m a y o r y m e n o r , 1 y 7 1 8 , y c o n e s o s v a l o r e s s e c o n s t r u y e n los e x t r e m o s d e l o s " b i g o t e s " , c o m o s e v e e n l a f i g u r a 1.38, c o n u n a s p e q u e ñ a s l í n e a s v e r t i c a l e s , a m a n e r a d e l í m i t e s del gráfico. 3) Desde esas pequeñas líneas se traza u n a línea auxiliar horizontal que las una: la b a r r a del r a n g o . 4 ) S o b r e l a b a r r a del r a n g o s e d i b u j a n p u n t o s q u e s e ñ a l e n los c u r t i l e s Q ( l ) , Q ( 2 ) y Q ( 3 ) . D e s d e ellos s e c o n s t r u y e n l a s c a j a s c o n l a a l t u r a q u e s e d e s e e . 5 ) S e t r a z a c o n l í n e a gruesa, sin a t r a v e s a r las c a j a s , l a l í n e a del r a n g o .

La l e c t u r a e i n t e r p r e t a c i ó n del g r á f i c o es la s i g u i e n t e .

1 ) D e s d e e l d a t o m e n o r h a s t a Q ( l ) s e c o n c e n t r a 2 5 % d e los d a t o s . 2) Desde Q ( l ) hasta Q(2) se c o n c e n t r a otro 2 5 % de datos. 3) E n t r e Q(l) y Q(3) se c o n c e n t r a 5 0 % de l o s d a t o s .

Así, 4) Hay m u c h a c o n c e n t r a c i ó n de d a t o s a la i z q u i e r d a , e s t o es, p a r a v a l o r e s p e q u e ñ o s del n ú m e r o d e t r a b a j a d o r e s . 5) El bigote de la derecha es m u c h o m á s largo que el de la izquierda, de lo c u a l se deduce que la distribución tiene un sesgo a la derecha. Compárese el gráfico de c a j a s de la figura 1.38 c o n el h i s t o g r a m a de f r e c u e n c i a s de la figura 1.37.

Actividades de aprendizaje Reúnete

con

tres alguna,

de

tus

compañeros

duda pregunten

a

de su

grupo,

y

resuelvan

la

siguiente

actividad.

Si

tienen

maestro(a).

Q

L a c a n t i d a d d e lluvia e n c e n t í m e t r o s p o r d í a r e g i s t r a d a e n e l a ñ o 2 0 0 4 e n u n a r e g i ó n d e s é r t i c a del n o r t e del p a í s e n l o s dí as q u e llovió s e m u e s t r a e n l a tabla siguiente.

CANTIDAD DE LLUVIA EN CENTÍMETROS (2004)

0.03

0.22

¡ 0.38

0.47

0.58

0.72

0.86

1.21

| 1.65

2.46

0.05

0.31

¡ 0.40

0.47

0.59

0.73

0.87

1.27

|

1.75

2.50

0.09

0.32

|

0.41

0.49

0.60

0.74

0.91

1.29

¡

1.81

2.57

0.17

0.35

¡ 0.41

0.52

0.66

0.75

0.93

1.33

| 1.87

2.90

0.1.8

0.36

| 0.43

0.54

0.66

0.75

0.97

1.34

| 1.93

3.12

0.21

0.37

¡ 0.46

0.54

0.69

0.79

1.16

1.40

| 2.38

3.87

[a] ¿Cuál es la variable en estudio? [b] C a l c u l e n l o s c u a r t i l e s Q ( l ) , Q ( 2 ) y Q ( 3 ) . 0

E x p l i q u e n el significado de c a d a u n o de l o s c u a r t i l e s .

[d] C o n s t r u y a n el gráfico de c a j a s y b i g o t e s .

CENTÍMETROS

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

DE

LLUVIA

2.5

3.0

R e a l i c e n la l e c t u r a e i n t e r p r e t a c i ó n de l o s d a t o s .

3.5

4.0

4.5

Cálculo

de

cuartiles

para

datos

agrupados

Cuando se tienen datos agrupados, los cuartiles pueden calcularse de forma equivalente a c o m o se calcula la m e d i a n a para datos de ese tipo. °

Ejemplo 1.62

En u n a investigación sobre las cualidades de la redacción de un gran novelista, se midió el número de palabras por oración. Los resultados que se obtuvieron se m u e s t r a n e n l a t a b l a d e f r e c u e n c i a s 1.40.

Tabla 1.40 P a l a b r a s por oración

INTERVALOS REALES CLASE

i

1

DE CLASE PALABRAS/ORACIÓN

¡

FRECUENCIA

FRECUENCIA

¡

RELATIVA

i

/

FRECUENCIA RELATIVA

¡

ACUMULADA

fr

fra

1

!

20