Modelos Discretos y Ecuaciones de Predicción del Clima Solar usando las Ecuaciones de Maxwell Instituto Tecnológico de Santo Domingo (INTEC) Área de Ciencias Básicas y Ambientales Maestría en Matemáticas Puras Harold L. Marzan, Mat. : 09-6110 Prof.: René Piedra, Ph.D.

Abstracto En esta propuesta de investigación se presentan modelos discretos de la radiación electromagnética solar, usando fórmulas creadas a partir de las Ecuaciones de Maxwell, para entender el fenómeno de la radiación de estas ondas, y crear predicciones del llamado Clima Solar, midiendo ciertas magnitudes de importancia como el tiempo y la velocidad con que se mueven estas ondas. Se estará utilizando el software Mathematica para crear los modelos computacionales que surjan de este estudio, para poder comprender estos fenómenos desde el punto de vista computacional. 1|Page

Tabla de Contenido Introducción ......................................................................................................................... 3 Objetivos Generales .............................................................................................................. 3 Objetivos Específicos ............................................................................................................. 3 Preliminares.......................................................................................................................... 4 Registros Históricos de Tormentas Geomagnéticas ............................................................. 5 Detalles de la Propuesta de Investigación ........................................................................... 6 Las Ecuaciones de Maxwell ................................................................................................ 7 Ecuaciones de Predicción del Clima Solar ............................................................................... 8 Predicción simple del tiempo de llegada de una onda electromagnética ................................. 9 Datos sobre las cargas eléctricas .......................................................................................... 10 Trayectoria, Flujo y Fuerza de expulsión de las ondas electromagnéticas .............................. 10 Hipótesis del Campo Eléctrico Independiente ....................................................................... 11 Observaciones en este modelo Preliminar de Clima Solar ..................................................... 13 Teoría de la Fuerza de Expulsión de Campos Electromagnéticos desde el Sol......................... 14 Hipótesis de la fuerza electromotriz o Campo Eléctrico producido por Campo Magnético Cambiante .......................................................................................................................... 16 Ecuación de Inducción de Campo Magnético del Sol MHD .................................................... 19 La relatividad y la energía producida en el núcleo del Sol ..................................................... 20 La irradiación solar y aspectos climáticos producidos por el Sol ............................................ 23 Predicción de la magnitud de los daños producidos por estos fenómenos ............................. 23 Propagación de Ondas Electromagnéticas. ....................................................................... 26 Ondas en el Espacio ......................................................................................................... 27 Desde las Ecuaciones de Maxwell, a la Ecuación de Onda ..................................................... 27 Calculando la Impedancia de los componentes de la onda .................................................... 28 Modelos Discretos de Predicciones del Clima Solar .............................................................. 29 Conclusión .......................................................................................................................... 37 Bibliografía ......................................................................................................................... 38

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Introducción En esta propuesta, se estarán creando modelos con el auxilio de las Ecuaciones de Maxwell, acerca de predicción del Clima Solar, donde se podrán medir ciertas magnitudes de importancia de los fenómenos solares como las manchas solares, las expulsiones de materia coronal o CMEs, y vientos solares turbulentos. Estos fenómenos causan que ondas y campos electromagnéticos emitidas por el Sol sean esparcidas en el espacio, afectando las comunicaciones satelitales, la vida y la sociedad en el planeta Tierra. En este proyecto de investigación se crean modelos computacionales de predicciones, que muestren el comportamiento del Clima Solar, usando herramientas de aproximaciones numéricas del software Mathematica.

Objetivos Generales Analizar datos recolectados previamente por laboratorios de la NASA, y ahora por el SDO (Solar Dynamics Observatory) [1] y hacer predicciones sobre el Clima Espacial sobre los fenómenos creados por el campo magnético del Sol; esto quiere decir que se puede determinar con un nivel de exactitud, cuando estas actividades pueden ocurrir, y poder informar con tiempo sobre estos fenómenos a toda la sociedad.

Objetivos Específicos Crear fórmulas a partir de las Ecuaciones de Maxwell, para poder medir una vez se haya detectado un evento en el Sol, como vientos solares turbulentos, explosiones en la atmósfera del Sol, o Expulsiones de Masa Coronal o CMEs; medir el tamaño de su campo electromagnético, la velocidad con la que viaja el campo y las ondas electromagnéticas; de esta manera, se puede predecir el tiempo aproximado en que estas ondas llegaran a nuestro planeta, y de esta manera poder tomar medidas que eviten interrumpir las comunicaciones satelitales, los sistemas de centrales eléctricas o “power grids” (produciendo apagones o “blackouts” ), los sistemas de navegación GPS y de tráfico aéreo; poder informar a los aviones en vuelo actual cerca de los Polos Norte y Sur, sobre la amenaza de las ondas que se aproximan para que estos cambien su curso y poder finalmente evitar tragedias aéreas [2] [3]. Lo que se busca es minimizar el impacto en la vida y la sociedad. Modelar que tan grande es aprox. el campo magnético del Sol, que lleva a provocar los CMEs, explosiones solares y que producen partículas cargadas de energía y radiación que viajan a altas velocidades por todo el sistema solar hasta llegar a destinos como el planeta tierra [2]. 3|Page

Modelar el tamaño y la dirección de los vientos solares que pasan cerca de la Tierra, tomando en cuenta el campo magnético y la estructura atmosférica cerca de la superficie solar [1]. Pronosticar sabiendo de antemano, el tamaño del campo magnético o las longitudes de ondas electromagnéticas emitidas por el Sol, pudiendo reducir el daño global que puede causar un evento solar en la tierra [1][2].

Preliminares El Sol tiene la capacidad de convertir energía magnética, en otras formas de energía que pueden afectar a la Tierra y la vida en ella. Entre las energías que estaremos modelando, están lo fotones (forman la luz), partículas energéticas y campos magnéticos (que pueden causar interferencia en las comunicaciones satelitales y la falla de sistemas eléctricos) [2]. Algunas definiciones de importancia sobre nuestro tema, siguen a continuación: Viento solar (Solar winds): Es un flujo de partículas cargadas eléctricamente fluyendo desde el Sol, llena el sistema solar con Campos magnéticos y partículas cargadas [1].

Explosiones Solares (Solar flares): son explosiones en la atmosfera del Sol; la más larga de ellas iguala a 1 billón de bombas nucleares de 1 megatón cada una [1]. Expulsiones de Masa Coronal o Coronal Mass Ejection (CME): son erupciones que lanzan material solar al espacio a altas velocidades [1]. Erupciones solares de rápido desplazamiento, que sobrepasan y devoran a sus similares más lentas, pueden generar tormentas magnéticas de larga duración cuando llegan a la magnetósfera terrestre [16].

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Machas solares (Sunspots): Una mancha solar[4] es una región del Sol con una temperatura más baja que sus alrededores, y con una intensa actividad magnética. Una mancha solar típica consiste en una región central oscura, llamada "umbra", rodeada por una "penumbra" más clara. Una sola mancha puede llegar a medir hasta 12.000 km (casi tan grande como el diámetro de la Tierra), pero un grupo de manchas puede alcanzar 120.000 km de extensión e incluso algunas veces más. Este conjunto de fenómenos solares, son parte de las actividades de la NASA. Este tipo de actividades científicas sobre el estudio del Sol y los fenómenos electromagnéticos que este causa, se llama Heliofísica [5]. Tormenta Geomagnética: es una perturbación temporal de la magnetosfera de la Tierra, causada por una perturbación del medio. Una tormenta geomagnética es el componente principal del Clima Espacial. Una tormenta geomagnética, es causada por una onda de choque creada por el campo magnético del sol, donde la onda es un campo EM que afecta al campo magnético de la tierra. El incremento en la presión del viento solar, inicialmente, comprime la magnetosfera y el campo magnético del viento solar interactuando con el campo magnético de la Tierra, transfiriendo el gran monto de energía dentro de la magnetosfera. Los campos eléctricos quedan en el interior de la magnetosfera, por efecto de la fuerza del campo magnético invasor. Las Tormentas geomagnéticas son producidas por las Eyecciones de Masa Coronal (CME) del Sol, o por un flujo de alta velocidad de viento solar originado en una región débil del campo magnético del Sol, en la superficie. La frecuencia estas tormentas crece y decrece con el ciclo de mancha Solar del Sol. Registros Históricos de Tormentas Geomagnéticas La super tormenta de 1859, que afecto a los telégrafos de Europa y Estados Unidos, de Agosto 28 a Septiembre 2, 1859, donde las enormes manchas solares del sol, causaron Auroras vistas hasta en el sur de Hawaii, México, Cuba e Italia. Los CMEs, enviaron EMF que llegaron en 18 horas. La geo tormenta que afecto Quebec, Canadá de Marzo 13, 1989, que causo un colapso en la central eléctrica Hydro-Quebec en segundos, cayendo en cascada los relays de todos los equipos 5|Page

de protección. La tormenta causo Auroras vistas hasta el sur de Texas. Esta fue causada por CMEs, eyectados en Marzo 9, 1989. Esto provoco también la caída de todos los sistemas de la Bolsa de Valores de Toronto. Desde 1989, las compañías productoras de electricidad, evaluaron los riesgos de las Corrientes Inducidas Geomagnéticamente (GIC), y han estado creando estrategias de mitigación. Se creó en los 1990s, el Programa Nacional de Clima Espacial, en los Estados Unidos, cuyo foco de investigación está dado sobre las necesidades de las comunidades militares y comerciales, las cuales son afectadas por el clima solar, y crear estrategias para integrar la comunidad civil con las comunidades de investigación. Desde 1995, las tormentas geomagnéticas, y vientos solares, han estado siendo monitoreadas usando el instrumento SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) de la NASA-Agencia Europea Espacial. En el Febrero 26, 2008, se produjo un evento similar de tormenta, tal que fueron vistas Auroras en Canadá y Alaska. En el Marzo del 2009, fue lanzado el SDO (Solar Dynamics Observatory), el cual posee mejores instrumentos de medida, para ver en tiempo casi real, a 16 millones de megapixeles, el comportamiento del campo magnético, los CMEs y vientos solares que produce el sol a cada momento.

Detalles de la Propuesta de Investigación

Algunos datos para nuestra propuesta, serán tomados de estudios realizados por la NASA, y otros serán obtenidos por aproximaciones de manera que podamos concluir nuestro trabajo de investigación en el tiempo acordado. En algunos casos, se harán suposiciones sobre tamaños de CMEs y explosiones solares a partir de observaciones previas realizadas por la NASA, de las cuales existen muchos datos, los cuales serán empleados para crear los modelos de aproximaciones de predicciones solares. Para desarrollar el tema, se requiere el conocimiento de los siguientes temas matemáticos: • • •

Las Integrales de Superficie, ya que las Ecuaciones de Maxwell en su forma de integral son en su mayoría integrales de superficies cerradas. Algunas herramientas del Calculo Vectorial, para trabajar con conceptos como gradientes, divergencia, otros. Conocimientos esenciales sobre Ecuaciones Diferenciales Parciales, ya que las Ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial son en su mayoría de este tipo.

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Este implica tener claro los conceptos siguientes: •

Campo Eléctrico: se dice que existe en cualquier región en el cual actúan fuerzas eléctricas. Un campo eléctrico es la fuerza eléctrica ejercida por unidad de carga, sobre un objeto cargado. Se representa por la letra E como vector, y representa el total de campo eléctrico en cada punto sobre una superficie en consideración [8] [11].

•

Campo magnético: es una región del espacio en la cual una carga eléctrica puntual de valor q que se desplaza a una velocidad, sufre los efectos de una fuerza que es perpendicular y proporcional tanto a la velocidad como al campo. Así, dicha carga percibirá una fuerza descrita con la siguiente igualdad [8] [11].

•

Campo Eléctrico Inducido: es aquel campo eléctrico, producido por el efecto de la tasa de cambio de un Campo Magnético Cambiante. Este es uno de los de mayor interés para esta investigación.

Las Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético. Estas ecuaciones están definidas en sus formas integrales y diferenciales, como mostramos a continuación:

Ley de Gauss sobre el Campo Eléctrico

Ley de Gauss sobre el Campo Magnético

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Ley de Faraday

Ley de Maxwell-Ampere

Ecuaciones de Predicción del Clima Solar El campo magnético del Sol, es el motor generador de los campos electromagnéticos liberados al espacio desde la corona; a medida que las líneas del campo magnético orbitan con un incremento de su velocidad angular, visiblemente es notable un incremento del número de manchas solares en la corona [21]; estos son indicadores de próximos eventos de tormentas solares turbulentas y de expulsiones de masas coronal[16]. Estas observaciones son realizadas por el SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) y el nuevo SDO (Solar Dynamics Observatory) de la NASA. Cuando esto ocurre, se liberan campos electromagnéticos con fuerzas capaces de inhabilitar cualquier sistema eléctrico o electrónico orbitando la tierra, así como los sistemas sobre la tierra. El campo magnético del Sol es generado por corrientes eléctricas[3] actuando como un generador magnético dentro del Sol. Esta corriente eléctrica es generada por un flujo de gases calientes ionizados en la Zona de Convección del Sol. Este es un perfecto escenario, para la aplicación de la Ecuación Maxwell-Ampere, pero es muy difícil de medir, por lo que nuestra opción, dado los avances y datos obtenidos por la NASA, en medir el campo eléctrico inducido, debido al campo magnético cambiante, que es más estudiado actualmente por la NASA. El Sol posee un ciclo magnético de 22 años , en el cual cada 11 años se intercambian la posición de los Polos Norte y Sur. Cuando esto ocurre, es visible la gran manifestación de manchas solares y regiones activas las cuales migran hacia el Ecuador solar desde altas latitudes del ciclo de manchas solares de 11 años. Las manchas solares y las Regiones Activas son los fenómenos visibles en la atmósfera del Sol, y son la manifestación del campo magnético generado en el interior por la fusión nuclear de los gases y el plasma resultante a altas temperaturas como desde 14,000,000 C hasta 21,000,000 C en el Kernel. A continuación, se presenta una tabla con algunos datos de observaciones y características físicas de la Tierra y el Sol, utilizados en su mayoría en esta investigación.

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Radio de la Tierra Radio Ecuatorial de la Tierra Diámetro de la Tierra* Área de Superficie de la Tierra

6,371.0 km 6,378.1 km 12,742 km 510,072,000 km

2

2

148,940,000 km solo tierra (29.2 %) 2

Gravedad en la Tierra Velocidad Orbital Promedio (Tierra) Diámetro del Sol Radio del Sol Circunferencia del Sol Área de Superficie del Sol Gravedad del Sol Velocidad de rotación del Sol

361,132,000 km solo agua (70.8 %) 2 9.780327 m/s 29.78 km/s o 107,200 km/h 6

109 × Tierra* = 1.392×10 km 5

6.955×10 km 6 4.379×10 km 11,990 × Tierra* o 6.0877×10 28 × Gravedad de la Tierra*

12

km

2

3

7.189×10 km/h

Cuando un evento solar de nuestro interés de estudio ocurre, se pueden determinar algunas magnitudes de interés que ayudan a realizar una buena predicción sobre el tiempo de llegada del campo electromagnético, el tamaño del flujo EM (Electromagnético) y la Fuerza EM, otros. Se puede determinar geométricamente, utilizando integración de superficie, el área de la zona de liberación de las cargas del campo EM y finalmente el flujo del campo EM. A medida que se desplaza el campo EM, la divergencia se mantiene a cero mientras se desplazan las cargas en movimiento en el vacío. Cualquiera de los dos tipos de campos que sean producidos en un evento solar (magnético o eléctrico), debe ser analizado en profundidad, ya que pueden ser los causantes de desastres a nuestro medio en la Tierra.

Predicción simple del tiempo de llegada de una onda electromagnética Sabiendo que la distancia del Sol a la Tierra es de 149.6 millones de kilómetros o 1 AU (Unidad Astronómica; esto varia así como la Tierra se mueve desde el perihelio en Enero a aphelion en Julio), y que la velocidad de la luz es de 300,000 Km/s , determinamos cuanto tiempo dura un fotón o conjunto de partículas luminosas que viajan desde el Sol a la Tierra; una ecuación bien simple desde mecánica clásica, nos revela el tiempo que tarde un fotón en llegar desde el Sol a la tierra:

Este es el tiempo que tarda una radiación de onda electromagnética de cualquier tipo conocido en el espectro. Es sabido, que todas las ondas electromagnéticas, difieren en general, de su frecuencia, y su longitud de onda; a pesar de esto, todas viajaran a lo sumo, a la velocidad v = c, la velocidad de la luz en el vacío. 9|Page

Si se desea determinar, a partir su frecuencia, la longitud una onda electromagnética, solo se tiene despejar a λ (lambda), de la ecuación de frecuencia:

La velocidad con que se mueve la nube de cargas, en el CME producido por el Sol, puede ser calculado a partir de la siguiente fórmula: V = 1 AU x f = 1 AU / T, donde T es el periodo llevado de segundos a horas, ya que las unidades astronómicas están dadas en Km/h.

Datos sobre las cargas eléctricas Un culombio de carga eléctrica, consiste de cargas elementales con valor de 6.242 × 1018 Como los fotones poseen una carga q = 0 C, y sabiendo que el valor e de una carga eléctrica que viaja en el campo EM es de 1.602 × 10^−19 C para los protones, y -1.602 × 10^−19 C para los electrones, podemos variar un poco la velocidad, para ajustar el modelo, o utilizar la misma velocidad de 300,000 Km/s para simplificar las cosas. En nuestro caso, mantenemos las cosas simples, y asumimos que la velocidad de las cargas en el campo EM, es la misma de la velocidad de la luz. Sabiendo este dato, solo nos queda desarrollar un conjunto de ecuaciones que nos permitan determinar si los campos EM liberados son del todo perjudiciales para la vida y los sistemas de los que depende. Luego de haber determinado la velocidad y el tiempo que tardan las partículas que viajan en una onda electromagnética hacia la Tierra, determinamos con auxilio de las Ecuaciones de Maxwell, la densidad, el flujo eléctrico o la concentración de las cargas eléctricas en el campo EM, así como de el tamaño del daño que puede causar al tocar la zona de residencia de los sistemas satelitales, debido a la magnitud de la densidad y la divergencia del campo al aproximarse lo suficiente a la Tierra, y aplicar su Fuerza en contra del campo magnético de la Tierra.

Trayectoria, Flujo y Fuerza de expulsión de las ondas electromagnéticas La trayectoria del campo EM hacia la tierra es determinada por los instrumentos del SOHO y el SDO; ahora veamos algunos importantes detalles que nos ayudaran a conjeturar la fuerza con la que la onda electromagnética alcanza la Tierra. Todo depende de si la Tierra esta orbitando en el Perihelio o Aphelio, y ocurre un evento solar con una magnitud vectorial con dirección hacia la tierra. Sabiendo por la ley de gravitación universal de Isaac Newton, la cual establece que los cuerpos son atraídos con una fuerza entre sus masas a una distancia r entre ellos; según Newton, esta fuerza actúa sobre todo cuerpo en el universo: 10 | P a g e

Para el caso de la fuerza gravitacional de la tierra, y sabiendo por la ley que G es la constante de gravitación universal: M es la masa de la Tierra, m es la masa del objeto de referencia, y r es el radio de la Tierra. El valor de G actualmente está dado por:

Para el caso de determinar el valor de la fuerza gravitacional de un campo EM en el Sol, nos valemos las leyes de Gauss sobre el campo eléctrico, para luego sustituir en la fórmula la masa del Sol por su flujo eléctrico, y luego, sabiendo el flujo y la densidad del campo EM creado por el Sol por un evento solar dado, podemos hacer los cambios en la fórmula de la fuerza gravitacional, para ajustarla a un nuevo modelo.

Hipótesis del Campo Eléctrico Independiente Según las leyes de Gauss, las siguientes Ecuaciones de Maxwell permiten determinar el flujo eléctrico de un campo, mediante una integral de superficie o de masa:

En el caso del campo producido por los CMEs y los vientos solares turbulentos o posiblemente por surgimiento de nuevas manchas solares, esta dado por:

Donde ε0 es la constante de permisividad en el vacio con valor de:

Obviamente, si el núcleo o Kernel del Sol, está formado en alta proporción por el gas Hidrogeno y Helio, esto nos puede servir para determinar otra constante de permisividad diferente, ya que estas son diferentes en el vacio como en el núcleo, y se vuelve más resistente a medida que las cargas llegan a la zona de concavidad [21]. Para mantener la teoría simple en estos momentos, asumimos este valor. Si conociéramos esta nueva constante de permisividad, ejemplo τ, la integral luciría de esta manera:

11 | P a g e

Como el Sol es de forma esférica, puede determinarse el campo eléctrico generado en las capas superiores como la Corona y la Fotósfera, empleando para ello la Superficie especial Gaussiana [8], de modo que el Flujo puede ser determinado así:

Todo esto es posible ya que el campo Eléctrico inducido en un momento dado lo consideramos constante para nuestros fines; luego así podremos determinar el valor de la magnitud del campo Eléctrico para su uso futuro en la investigación:

Finalmente, despejando la ley de Gauss, obtenemos el campo eléctrico en el Sol. Pero como no sabemos el valor de la carga encerrada Q, debemos auxiliarnos de la densidad de las cargas en el Volumen del Sol; luego obtenemos a Q de s:

Es obvio que la integración del volumen de la esfera del Sol, es simplemente el volumen del Sol, donde α es el radio de la esfera como Superficie Especial de Gauss [8][19], y ρ es la densidad de la carga eléctrica total en el Sol.

Finalmente, tenemos el valor del campo eléctrico del Sol, sustituyendo a Q en:

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Para dar la magnitud de E:

Este es E fuera de la esfera del Sol; ahora, dentro de la esfera, seria para r < α:

La zona roja, indica la localización del evento solar como la Expulsión de Masa Coronal o CMEs.

Para los casos donde necesitamos obtener aproximaciones numéricas, se estará empleando ε0, y no la constante supuesta en nuestra investigación, τ0. Por tanto, τ0 = ε0 en nuestro modelo.

Observaciones en este modelo Preliminar de Clima Solar Determinar el campo eléctrico, utilizando la integral de Gauss para el Flujo Eléctrico, solo nos permite manipular el flujo eléctrico, y el campo eléctrico, independientemente de un campo magnético que lo induzca (como sucede en el Sol), ya que es sabido que un campo eléctrico, producido por cargas, es un campo electrostático, el cual difiere al producido por el Sol, ya que este último es inducido. Los campos eléctricos que nos interesan, son aquellos inducidos por el campo magnético del Sol, el cual es un campo magnético cambiante no uniforme. Es por ello que debemos de llevar nuestra atención, hacia la ecuación de Faraday, la 3ra. En la lista de las Ecuaciones de Maxwell; esta 13 | P a g e

describe con mayor exactitud, el campo eléctrico inducido, y nos permitirá avanzar en nuestras teorías sobre predicciones de Clima Espacial.

Teoría de la Fuerza de Expulsión de Campos Electromagnéticos desde el Sol.

En esta secuencia, puede notarse la expulsión violenta de masa coronal, la cual es capaz de crear un campo EM lo suficientemente grande como para barrer todos los sistemas de comunicaciones satelitales y eléctricos sobre la Tierra. Las líneas del campo magnético del Sol se van acelerando de menor a mayor latitud, con su máximo en el Ecuatorial del Sol; mientras más gira el campo magnético solar, mas manchas solares son visibles en la corona, y más fuerte es este campo. La siguiente gráfica, muestra un "snapshot" de una herramienta empleada en la NASA, para observar estos fenómenos; esto ocurre basados en las observaciones de la NASA [21], cuando los campos magnéticos Toroidal y Radial alcanzan niveles de crecimiento importantes.

El Kernel o núcleo del Sol, genera un campo magnético, el cual a su vez, produce un campo eléctrico por inducción de cargas en movimiento bajo la fuerza magnética con una gravedad muy fuerte en la zona de concavidad; la fuerza esta descrita por:

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Donde los φ del Sol y φ nuevo son los campos eléctricos atraídos por la Fuerza Gravitacional; luego surge un modelo, donde esta fuerza permite que las ondas electromagnéticas de los campos EM escapen al espacio, algunos con destino a la Tierra; en este caso, la fuerza producida por el campo magnético del Sol para expulsar un nuevo campo EM con respecto al tiempo, está dada por:

Donde Fs es la Fuerza de Atracción, y Fe es la Fuerza de Expulsión, la cual debe ser k veces la de atracción pero opuesta como para permitir que la onda electromagnética fluya en el espacio, a una velocidad cercana a la de la luz. El problema que surge de hacer depender la fórmula anterior, en función del crecimiento del flujo del campo magnético del Sol, es que la ley de Gauss especifica que:

Esta ecuación integral indica que el flujo del campo magnético siempre será cero; similar sucede con la divergencia (la tendencia del campo a alejarse de un lugar con más fuerza que hacia ese lugar), lo cual se representa así:

Es por eso, que esta hipótesis no se desarrolla muy bien, con respecto a lo observado por la NASA. Es por eso, que en la siguiente sección, se presentará otra hipótesis más aceptada. Luego de realizar experimentaciones con los datos y las ecuaciones formuladas aquí, podremos determinar si estos modelos son aceptables y estables a la vez. Más adelante, en nuestra investigación, estaremos usando estas fórmulas en los modelos discretos en Mathematica. Otra fórmula que surge de la relación de gravidez entre la Tierra y el Sol, conocido como el sistema Tierra/Sol, es la siguiente:

En esta fórmula, los valores φ/c2 y (v/c)2 son menores a 1, donde φ el potencial gravitacional, v es la velocidad de los objetos estudiados, y c la velocidad de la luz (300,000 Km/s).

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Hipótesis de la fuerza electromotriz o Campo Eléctrico producido por Campo Magnético Cambiante

Esta hipótesis, se basa en la siguiente definición de la Ley de Faraday: Un campo magnético cambiante produce un campo eléctrico inducido, o una fuerza electromotriz, que es cambiante en el tiempo, mientras la inducción magnética persista. Esta dada por:

El lado izquierdo, representa el flujo eléctrico producido por la tasa de cambio del campo magnético cambiante, el cual a su vez crea un campo magnético opuesto al flujo del Sol. Una conexión entre la circulación del campo eléctrico y el campo magnético cambiantes está dada por la siguiente regla

Donde emf representa la fuerza electromotriz en movimiento; mientras esté cambiando el campo magnético, se estará produciendo el campo eléctrico inducido. La ley de Faraday establece que: un campo magnético cambiante a través de una superficie, induce un emf en cualquier trayectoria de esa superficie, y que por ende, induce un campo eléctrico circulante. La superficie puede ser real o imaginaria.

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El signo negativo, significa que el emf resultante es opuesto al flujo cambiante, esto es, el flujo cambiante se mantiene. Esta, es otra ley llamada Ley de Lenz. Nota sobre la dirección del campo eléctrico inducido: Si el flujo magnético a través del circuito es creciente, la corriente inducida produce su propio flujo magnético en dirección opuesta al desplazamiento del flujo creciente (Ley de Lenz). Para nuestra teoría, da es la superficie del sol. En la siguiente grafica, puede observarse, como las herramientas software empleadas por la NASA, en el SDO, puede mostrar el campo magnético del sol.

Otra forma alternativa de esta ley, es integrando la tasa de cambio de campo magnético cambiante, influye un emf dado por:

Nota: En la ley de Faraday, la integral es independiente de cualquier superficie, mientras que en la hipótesis anterior, con la integral de Gauss, la superficie debe ser cerrada. Armados con estas formulas, podemos suponer ahora, que el campo magnético cambiante del Sol, induce el campo eléctrico que queremos estudiar. Este campo eléctrico E = N/C = V/m, tendrá una divergencia igual a cero, por lo tanto, no hay perdida de las cargas eléctricas, ya que pueden oscilar y transformarse mientras recorren grandes distancias en unidades astronómicas (AU). Nota: los campos eléctricos producidos por cargas, se originan en cargas positivas, y terminan en cargas negativas, por lo que la divergencia es mayor que cero, mientras que aquellos producidos

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por campos magnéticos cambiantes tienen divergencia cero. Esto garantiza la persistencia del campo eléctrico estudiado. El campo eléctrico inducido, conduce corriente eléctrica que es capaz de producir a la vez, flujo de un magnético cambiante; en teoría, esto puede ser la razón del porque los CMEs son disparados por el sol con gran fuerza hacia el espacio, los cuales terminan formando tormentas geomagnéticas camino a la tierra. La siguiente imagen, fue tomada por uno de los instrumentos del SDO llamado HMI (SDO's

Helioseismic and Magnetic Imager (HMI):

Se puede observar fenómenos que describen una gran cantidad de energía liberada. Un campo EM resultante de un CME, puede sostenerse a sí mismo, por inducción uno sobre el otro; esto será detallado en secciones posteriores. El siguiente, es un ejemplo, dada una ecuación ficticia del campo magnético del Sol. Sea el campo magnético del Sol dado por:

El campo magnético, cambia su tamaño y su radio, en el tiempo. Dando el valor del vector unidad normal , y considerando que la superficie del sol está dada por , por ser el Sol una esfera casi perfecta. Asumimos que la esfera del campo magnético cambiante, esta centra en 0, con radio R. 18 | P a g e

Calcular:

Si pudiéramos determinar una ecuación, para este campo magnético, es muy probable, que podamos en un futuro, predecir el clima espacial, mas rápido de lo que imaginamos.

Ecuación de Inducción de Campo Magnético del Sol MHD La ecuación de inducción del campo electromagnético del sol, definida por el campo de la física llamada Magneto Hidro Dinámica (Davidson 2001, Charbonneau 2010), puede ser integrada para encontrar el campo eléctrico inducido[20], según la siguiente ecuación de inducción MHD:

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donde

, Donde η es la difusividad magnética, y σ es la conductividad eléctrica, y u es el campo de flujo. Utilizando la forma alternativa de la ecuación de Faraday,

Tenemos, finalmente

De esta forma, obtenemos la fuerza electro motiva, para nuestro modelo de predicciones.

La relatividad y la energía producida en el núcleo del Sol Las siguientes formulas, fueron presentados en la teoría especial de la relatividad, bajo el tema de Mecánica de Puntos de Masa, y Leyes de Conservación de la Energía propuesta por Einstein. El físico matemático Albert Einstein, en su Teoría de la Relatividad[22] nos enseña que la masa de las partículas aumentan a medida que se mueven tan rápido como la velocidad de luz[23]. Según Einstein, si se agitan partículas o algunos pocos átomos de materia, con una fuerza suficiente como para expandir su masa, se puede causar explosiones de grandes magnitudes. Una masa m de una partícula dada, aumenta al moverse tan rápido como la velocidad de la luz, según la siguiente ecuación:

Es decir, que a medida que las partículas se mueven con aceleración constante, alcanzan velocidades por encima de todas las fronteras, en este caso, c o la velocidad de la luz. Esto quiere decir que en el núcleo del Sol las partículas se están acelerando constantemente, produciendo 20 | P a g e

plasma o energía nuclear por la fusión constante entre los átomos de hidrogeno, helio y otros elementos de menor proporción como el oxigeno y el hierro. Por la 2da. Ley de Newton, sabemos que cuando una fuerza F actúa sobre una partícula de masa m, esta produce un momentum (= m v) a una razón igual a la fuerza:

Pero sabemos por Einstein que la masa no es constante, y que esta aumenta proporcional a la velocidad. Luego, surge la ley del movimiento de Einstein:

Al aplicar la regla de cadena, y derivar, introducimos la aceleración:

Ejecutando la derivación:

Finalmente, la fuerza F según la relatividad de Einstein, está dada por:

Es esta fuerza es la que produce el trabajo de fusión de las partículas al acelerar su movimiento en el núcleo del sol; esto es, la combustión constante de los átomos de Hidrogeno y Helio producen suficiente energía E como para crear el campo eléctrico descrito en la sección anterior.

21 | P a g e

Para demostrar que la energía de las partículas moviéndose en el núcleo, es producida por esta fuerza F, y que esta energía está relacionada con el aumento de la masa de dichas partículas, introducimos por Einstein, la ecuación de cambio de masa:

Sabiendo que por la regla de la cadena, la aceleración está dada por:

Luego, integrando la fuerza que acelera las partículas que se desplazan desde el reposo a una posición x en el núcleo del Sol, obtenemos la energía de fusión en el Kernel o núcleo del Sol:

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Finalmente, esto relaciona la fusión de las partículas en movimiento en el centro del Sol, con la energía resultante de estas interacciones. Esta energía es la productora del campo eléctrico y finalmente el campo magnético por la presión de la zona convectiva del Sol. Sabiendo lo suficiente sobre el campo eléctrico, magnético y la energía que da origen a estos, es tiempo de entender algunos fenómenos como lo es la irradiación solar y los aspectos que produce.

La irradiación solar y aspectos climáticos producidos por el Sol La energía radiante es la primera fuente de energía en la Tierra. Luces de diferentes tipos de longitudes de onda alcanzan diversas partes de atmósfera la Tierra. Radiación de luz visible y luz infrarroja alcanzan la superficie calentándola [2]. Según la NASA, la energía deja al Sol como fotones, partículas energéticas y campos magnéticos. Cada uno de estos tiene un impacto en la Tierra y cercano a la Tierra. Los fotones se mueven en línea recta del Sol hacia la Tierra, mientras que los otros tipos de energía deben de pasar por un tortuoso camino a través de la atmosfera del Sol, la heliósfera, hacia la magnetosfera de la Tierra hasta alcanzar la atmosfera. Los Cambios en el campo magnético del Sol causan todas las variaciones que impactan nuestra vida y tecnología aquí en la Tierra. El SDO de la NASA realizará experimentos que medirán las longitudes de onda de la Extrema Ultra-Violeta (EUV) desde 1 a 1059 Argstrom (0.1 a 105nm), mas la importante emisión de hidrogeno en 1215 Angstrom. El EUV es absorbido por la atmosfera en altitudes de alrededor de 100 Km. Esto significa que cambios en la irradiación de EUV afectan la termósfera, ionósfera y lo cercano a la Tierra.

Predicción de la magnitud de los daños producidos por estos fenómenos Un Flujo de campo magnético cambiante ψm, a través de un campo magnético cambiante, producirá corriente eléctrica [24]. Por lo tanto, el flujo de un campo magnético cambiante a través de un bucle o ciclo cerrado produce un campo EM o voltaje V:

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Un campo magnético cambiante, produce un ca campo eléctrico inducido [25].

Donde el voltaje es la integral del campo eléctrico alrededor de un bucle. En el Sol, el campo eléctrico inducido en la corona o superficie exterior exterior,, crea un flujo eléctrico no uniforme, por lo que el voltaje esta dado por:

Donde,

Es la integral de volumen en el núcleo del Sol. Y,

Es la integral de superficie de la parcial del campo magnético con respecto al tiempo sobre el bucle de las líneas del campo en el área exterior del sol.

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Por lo tanto, el campo magnético B cambiante produce un campo eléctrico E cambiante; el cual se adhiere alrededor del bucle cambiando el voltaje en todas direcciones. Esto implica que una corriente variable en el tiempo fluye a través de los bucles [24]. El flujo total a través del circuito eléctrico es igual a la integral del componente normal de la densidad del flujo B sobre la superficie acotada por el circuito. El flujo magnético total es:

Esta otra fórmula, da el ritmo de cambio con respecto al tiempo:

Esta forma de la Ley de Faraday, llamada la ecuación de inducción transformadora da el campo EM inducido debido específicamente a un ritmo de cambio con respecto al tiempo, para un bucle o circuito que es fijo con respecto al observador. En un circuito cerrado, el campo EM total inducido por la inducción del movimiento de un campo es dado por la siguiente ecuación:

La integración está completamente alrededor del circuito en la superficie del sol. Cuando ambos tipos de cambios (B cambiando con el tiempo y el circuito en movimiento), el campo EM total inducido es igual a la suma de los campos EMs dado por:

La primera integral, representa el movimiento del campo; da el campo EM inducido por movimiento. La segunda integral, da el ritmo de cambio con respecto al tiempo; da el campo EM inducido por el cambio de B. La integral de superficie es tomada sobre toda la superficie S del sol (asumimos 4πr^2) acotada por el circuito en dicha superficie. Para el caso especial de solo movimiento, tenemos que:

Por lo que la ecuación se reduce a: 25 | P a g e

La dirección del movimiento. Para el caso especial del cambio del tiempo de la densidad del flujo solamente, la velocidad v = 0, luego la ecuación se reduce a:

La tasa de cambio del flujo del campo EM. Las siguientes ecuaciones, intentan medir el nivel de Energía liberada por los CMEs o Expulsiones de Masa Coronal por el Sol, y el tamaño de los daños colaterales que puede ocasionar la onda expansiva al llegar a la Tierra. Primero, debemos hablar de la propagación de las ondas electromagnéticas en general, y luego tratar los casos particulares de nuestro proyecto. Propagación de Ondas Electromagnéticas. En una onda electromagnética, un campo eléctrico cambiante produce un campo magnético cambiante, el cual en cambio produce o genera a su vez un campo eléctrico inducido, y así sucesivamente, resultando en una propagación de energía. Esto es exactamente lo que pasa cuando se libera una CME desde es Sol: se libera masa coronal cargada por partículas eléctricas en movimiento, las cuales producen un campo magnético que a su vez crea un campo eléctrico hasta que finalmente se produce una propagación de energía con una posible trayectoria hacia el planeta Tierra.

Figura 1. [25] En este proyecto, solo documentamos la propagación de las ondas en el espacio (como sucede en nuestro caso). 26 | P a g e

Ondas en el Espacio

Para una onda plana en el espacio, las líneas de campo eléctrico y magnético, E y H, son perpendiculares a cada uno, y ambos perpendiculares a la dirección o propagación de la onda, como esta:

Figura 2. La dirección de la propagación con velocidad v[26] Una onda de este tipo es llamada Onda Electromagnética Transversal o TEM; esta tiene la siguiente ecuación de onda:

Existen otras formas de llegar a esta fórmula, pero en general, se puede resolver por el método del producto solución E(t) = X(t) T(t) de esta Ecuación Diferencial Parcial Hiperbólica.

Desde las Ecuaciones de Maxwell, a la Ecuación de Onda Usando el operador laplaciano, esta es la forma de Maxwell para obtener la ecuación de onda EM por separado, para el campo eléctrico y el campo magnético:

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Luego,

Luego,

Nota: E y B son vectores.

Calculando la Impedancia de los componentes de la onda Se puede calcular la impedancia (magnitud dada por el cociente entre la tensión y la intensidad de la corriente), de dos maneras diferentes; la primera, obteniendo a I desde Maxwell, y luego a Zo

La otra alternativa, es sabiendo que la razón entre Ey a Hz es una impedancia de Zo dada por:

Para el aire o en el vacío, Zo está dado por:

Esta es la impedancia intrínseca del espacio. El producto entre Ey y Hz (campo eléctrico y magnético respectivamente) poseen dimensiones de Potencia por unidad de área, y es llamada vector de Poynting. Por lo tanto,

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Con esta fórmula se puede determinar la potencia con la cual golpearía una onda EM a los sistemas satelitales o la Tierra misma. Para calcular la velocidad de la onda EM, tomaremos un ejemplo: El campo eléctrico Ey de una onda TEM es de 7000 V/m rms (root-mean-square)[24]: La velocidad y la magnitud del vector de Poynting |P V|, están dados así:

La velocidad de la luz o c. Donde µ0 es la permeabilidad en el vacío, y ε0 es la permisividad en el vacío. Ahora, para calcular la magnitud de la Potencia de la onda EM, tenemos que:

Esa es la potencia eléctrica total que afectaría a los sistemas electrónicos de la tierra. Esta sería una potencia que produciría graves daños a los sistemas satelitales y puede causar daños a los sistemas eléctricos en la Tierra.

Modelos Discretos de Predicciones del Clima Solar Se realizaron algunos modelos para entender mejor el proyecto de investigación. Estos modelos están en Mathematica.

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Figura 1. CMEs

(* Modelo de un CME luego de que el campo magnetico del Sol ha alcanzado la fuerza suficiente para provocar la expulsion de masa coronal. *) Manipulate[Graphics3D[ {GrayLevel[cme], Specularity[White, magnet], Sphere[{0,0,0}]}, Lighting → {{"Directional", RGBColor[2, .7, .1], {{1,5,2}, {5,5,0}}}}] , {cme, 0.1, 1}, {magnet, 1, 20}]

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Figura 2. Núcleo del Sol emitiendo el campo Eléctrico

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Figura 3. El campo magnético del Sol.

Figura 4. El flujo de campos EM en la Corona del Sol.

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Figura 5. Algunos de los cálculos expuestos en el proyecto.

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Figura 6. Computación del Campo Eléctrico en una zona cambiante del sol.

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Figura 7. Computando la potencia de una onda EM de 7000 V/m

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Esta imagen, presenta una relación grafica, entre la tierra un CME, y el Sol.

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Conclusión Las Ecuaciones de Maxwell permiten a los investigadores de Clima Solar, adaptar estas ecuaciones para pronosticar futuras emisiones de ondas electromagnéticas, emitidas por los fenómenos ocurridos en el Sol; esto permite informar a los habitantes de la Tierra sobre los posibles daños a los sistemas eléctricos, las telecomunicaciones entre otros sistemas de los cuales depende la vida en nuestro planeta. Este trabajo de investigación es solo el comienzo a muchos aspectos considerados como temas recientes de investigación realizados especialmente por los miembros de la NASA y otras organizaciones espaciales. Se introdujeron muchos de los conceptos necesarios para comprender el problema; se presentaron formulas y/o ecuaciones que permiten estudiar los campos eléctricos y magnéticos producidos en el Sol por el choque constante de los átomos de hidrogeno, helio, oxigeno, carbono y otros elementos involucrados en la fusión nuclear dada en el núcleo del sol. Se introdujeron ecuaciones sobre el flujo eléctrico y magnético, la fuerza gravitacional en el Sol, la Fuerza que produce el movimiento y aumento brusco de las partículas, así como la energía producida por la fusión en el núcleo del Sol. También se trataron las ecuaciones sobre el movimiento de los campos EM liberados en los CMEs, los ritmos de cambio de los campos magnéticos con respecto al tiempo, la velocidad y potencias de las ondas electromagnéticas liberadas hacia la Tierra. Finalmente, se presentaron modelos discretos que describen algunas de las ecuaciones presentadas en nuestro trabajo. La intensión de esta investigación, es crear la base para futuras investigaciones sobre el tema de Clima solar, así como las Ecuaciones de Predicción de estos fenómenos.

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Bibliografía 1. NASA (National Aeronautics and Space Administration) - Solar Dynamics Laboratory (SDO) http://www.nasa.gov/mission_pages/sdo/news/first-light.html http://sdo.gsfc.nasa.gov/ 2. NASA - Radiación Solar: http://sdo.gsfc.nasa.gov/mission/science/irradiance.php 3. NASA - Campo Magnético del Sol: http://sdo.gsfc.nasa.gov/mission/science/magnetism.php 4. Manchas Solares: http://es.wikipedia.org/wiki/Mancha_solar 5. Heliofísica (Heliophysics): http://sec.gsfc.nasa.gov/ 6. Programa Living with a Star de la NASA: http://lws.gsfc.nasa.gov/ 7. Sistema de Coordenadas Esféricas (Spherical coordinate system) http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system 8. Fleisch , Daniel. A Student's Guide to Maxwell's Equations, Cambridge Press, 2009 (http://www4.wittenberg.edu/maxwell/chapter1/podcast.html) 9. The electromagnetic spectrum http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/EMspectrum.html 10. Applications of Maxwell's Equations http://www.sfu.ca/physics/associate/emeriti/cochran/MAXoutline.html 11. RF Cafe - Maxwell's Equations Tutorial Primer - http://www.rfcafe.com/references/electrical/maxwellseq.htm 12. Aplicaciones de las Ecuaciones de Maxwell http://www.sfu.ca/physics/associate/emeriti/cochran/MAX.pdf 13. Propagation Tutorial - Maxwell's Equations in free space http://www.mike-willis.com/Tutorial/PF2.htm 14. Maxwell Equations Tutorial | TutorVista http://www.tutorvista.com/topic/maxwell-equations-tutorial 15. Ecuaciones de Maxwell - Wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwell 16. Expulsiones Caníbales de Masa Coronal http://ciencia.nasa.gov/headlines/y2001/ast27mar_1.htm

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17. Todo sobre el Sol http://en.wikipedia.org/wiki/Sun 18. La Velocidad de la Luz http://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_light 19. Campos Eléctricos dentro y fuera de la esfera http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elesph.html 20. El paper sobre el ciclo solar y modelos motores del Sol http://solarphysics.livingreviews.org/Articles/lrsp-2005-2/ 21. Dinamo y Plasma solar: Campos magnéticos Toroidal y Radial http://sdo.gsfc.nasa.gov/gallery/animations.php?v=item&id=22 22. Simmons George F., Calculus Gems, The Mathematical Association of America. Páginas 246-248. 23. Theory of Relativity of Albert Einstein http://en.wikipedia.org/wiki/Mass-energy_equivalence 24. Kraus, John D.; Fleisch, Daniel A., Electromagnetics with Applications, 5ta. Edición. 1999. 25. Discusión de Física sobre electromagnetismo http://www.physics.ucsb.edu/~androo/academics/TAing/phys24/week2/ 26. MySite Edu http://mysite.du.edu/~lconyers/SERDP/Figure5.htm 27. Tesis sobre NDT http://web.onetel.net.uk/~gdsexyboy/thesis_NDT_basics.htm 28. Sobre algunos simples modelos en Mathematica http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/SphericalPlot3D.html http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Sphere.html http://teachers.sduhsd.k12.ca.us/abrown/Resources/HelpfulFiles/Mathematica/Surface%20Curves.pdf

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