Modelling

MSEL in Science Education and Learning

Modelling in Science Education and Learning Volume 4, No. 20, 2011. Instituto Universitario de Matem´atica Pura y Aplicada

Obtenci´on de las caracter´ısticas seccionales de secciones met´alicas de pared delgada abiertas Antonio Jos´ e Jim´ enez Mochol´ı, Fernando Gim´ enez-Palomares, Andr´ es Lapuebla-Ferri ´cnica de Valencia Universidad Polite [email protected], [email protected], [email protected]

Abstract En construcci´ on se utilizan frecuentemente las secciones de pared delgada conformadas en fr´ıo a partir de bobinas de chapa que se pliegan por procedimientos mec´ anicos. Dada la propensi´ on de este tipo de secciones a fen´ omenos de inestabilidad frente a las tensiones de compresi´ on originadas durante la flexi´ on, es necesario conocer los valores eficaces de las caracter´ısticas geom´etricas de estas secciones. Adicionalmente, como regla general, no es adecuada la elecci´ on de perfiles de secci´ on abierta para soportar esfuerzos de torsi´ on importantes, y mucho menos si se trata de secciones de pared delgada. As´ı, cuando en los c´ alculos de una estructura se consideran secciones abiertas de pared delgada en las que participe, adem´ as de la flexi´ on, la torsi´ on de los elementos, es necesario disponer de par´ ametros geom´etricos de las secciones como el m´ odulo de torsi´ on, el m´ odulo de alabeo y la posici´ on del centro de esfuerzos cortantes, c entre otros. Se ha desarrollado una aplicaci´ on en Matlab , dirigida a los alumnos del grado en Ingenier´ıa Mec´ anica y el grado en Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas Industriales, que permite la obtenci´ on de estos par´ ametros partiendo de la discretizaci´ on de la geometr´ıa de la secci´ on mediante tramos rectos y radios de acuerdo circulares. Se describen los algoritmos de c´ alculo utilizados para ello y las herramientas gr´ aficas desarrolladas. Thin-walled cold-formed steel sections are widely used in structural design. These sections, however, exhibit inestabilities that are caused by compression stresses when a structural member bends. For this reason, is necessary to know the effective values of the geometrical parameters of these sections, such as area section and moments of inertia. In addition, it is not recommended to choose open-shaped sections to sustain torsional loads, mostly if they are thin-walled sections. When designing a structure with thin-walled, open-shaped sections, it is necessary to use geometrical parameters such as torsional modc ulus, warping modulus, etc. In this job, an application designed in Matlab is presented in order to obtain such geometrical parameters. The geometry is discretised, and the algorithms are described. This application, implemented in a graphical way, is aimed to the students of subjects related to mechanical or industrial engineering.

Keywords: Secciones de pared delgada, Centro de esfuerzos cortantes, Torsi´on no uniforme, M´odulo de torsi´ on, M´ odulo de alabeo.

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Introducci´ on

En ingenier´ıa se utilizan frecuentemente las secciones de pared delgada conformadas en fr´ıo a partir de una bobina de chapa. Su uso es com´ un en la construcci´on de estructuras met´alicas. La raz´on de su empleo es que su peso es relativamente menor que el de las secciones macizas laminadas en caliente, y por tanto su precio, tambi´en. Las distintas normativas europeas y americanas establecen normativas particulares para el dimensionado de elementos con estas secciones. En el caso concreto de la normativa europea, la parte 1-3 del Euroc´odigo 3 Proyecto de estructuras de acero est´a dedicada a las Reglas generales para piezas y chapas conformadas en fr´ıo ([1])y en el caso de las normas americanas se tratan en la SEI/ASCE(*) 8-02 Especification for the Design of Cold-Formed Stainless Steel Structural Members ([2]). Las secciones de pared delgada se caracterizan porque el espesor de sus elementos planos es muy peque˜ no comparado con sus otras dos dimensiones y cuando resultan comprimidos, antes del colapso global, presentan fallos locales por abolladura o combadura, que limitan su capacidad resistente. Otros fen´omenos de inestabilidad son observados tambi´en en las secciones de pared delgada cuando se presenta la torsi´on ([3] y [4]). La torsi´on de elementos de m´aquinas en ingenier´ıa mec´anica es habitual y se resuelve eficazmente utilizando secciones circulares, ya que en el caso de secciones circulares, llenas o huecas, la torsi´on que se desarrolla en la secci´on es uniforme y no se presenta el alabeo de la misma. Sin embargo la torsi´on en las estructuras es, en general, un efecto no deseable por lo que, tal y como sugieren las propias normas, debe evitarse en lo posible mediante las disposiciones constructivas correspondientes. La actividad que presentamos se ha dise˜ nado para su uso en pr´acticas de inform´atica de las asignaturas de segundo curso de Elasticidad y Resistencia de Materiales de los t´ıtulos de Grado en Ingenier´ıa Mec´anica y en Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas Industriales. Uno de los objetivos propuestos consiste en que el alumno pueda apreciar que los conocimientos que ha adquirido en primer curso sobre a´lgebra matricial, geometr´ıa y c´alculo num´erico, tienen su importancia en la modelizaci´on en la ingenier´ıa.

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Elementos de directriz recta sometidos a torsi´ on

Se dice que una secci´on de un elemento est´a sometida a torsi´on uniforme cuando se cumplen simult´aneamente dos condiciones; que la ley de momentos torsores MT (x) sea constante a lo largo de toda la longitud de la barra y que no existan restricciones cinem´aticas en los puntos de la secciones de la pieza que impidan el libre movimiento longitudinal de los puntos de las secciones. Cuando la torsi´on es uniforme el u ´nico movimiento existente es un giro relativo entre cada dos secciones rectas infinitamente pr´oximas. Cada secci´on gira alrededor de un eje longitudinal que pasa por un punto denominado centro de torsi´on, que coincide con el centro de esfuerzos cortantes de la secci´on, que es un punto caracter´ıstico de la misma, al igual que lo es, por ejemplo, el centro de gravedad. En torsi´on uniforme, la u ´nica tensi´on generada en los puntos de cada secci´on es la tensi´on tangencial τxs (x) asociada al par torsor. El m´odulo de torsi´on It de una secci´on es la constante geom´etrica caracter´ıstica de la secci´on que relaciona la rigidez de la secci´on frente a los momentos torsores. Si no se cumple alguna de las dos condiciones, se presenta torsi´on no uniforme. En tal caso, los giros entre dos secciones consecutivas vienen acompa˜ nados tambi´en por desplazamientos de ISSN 1988-3145

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los puntos de la secci´on a lo largo de la direcci´on longitudinal de la pieza. Estos desplazamientos de alabeo son diferentes para los puntos de dos secciones rectas infinitamente pr´oximas, dando lugar, por tanto, a alargamientos y acortamientos de las fibras. Estas deformaciones longitudinales implican la aparici´on de tensiones normales σx (x), que pueden ser importantes, acompa˜ nando a las tensiones tangenciales propias de la torsi´on. Con la u ´nica excepci´on de las secciones circulares, todos los elementos estructurales sometidos a torsi´on pura alabean. No obstante, conviene aclarar, que cuando en la pr´actica profesional se calculan elementos sometidos a torsi´on, no siempre es necesario aplicar la teor´ıa de la torsi´on no uniforme, aunque esta sea la apropiada para su estado real de tensiones. Es frecuente simplificar el c´alculo considerando u ´nicamente la teor´ıa de la torsi´on uniforme en elementos cuyas secciones no son propensas a alabear significativamente. Para medir la susceptibilidad de una determinada secci´on al alabeo por torsi´on se utiliza una constante geom´etrica caracter´ıstica de la forma de la misma, denominada m´odulo de alabeo Ia . Ambas constantes, el m´odulo de torsi´on It y el m´odulo de alabeo Ia , participan en la ecuaci´on diferencial de la torsi´on no uniforme ([1]): dϕ(x) d3 ϕ(x) MT (x) = GIt − EIa , dx dx3 siendo ϕ(x) el a´ngulo girado por cada secci´on y E y G las constantes caracter´ısticas del material. En ambos casos, sea la torsi´on uniforme o no, cuando en los c´alculos de una estructura se considera la torsi´on de las barras que la forman es necesario disponer, como m´ınimo, de tres par´ametros geom´etricos de las secciones como son: el m´odulo de torsi´on It , el m´odulo de alabeo Ia y la posici´on del centro de esfuerzos cortantes. Los programas de an´alisis de estructuras empleados habitualmente requieren de ellos si se desea incluir la torsi´on en los c´alculos. La c aplicaci´on desarrollada por los autores en Matlab permite la obtenci´on de estos par´ametros de la secci´on. Para ello se ha discretizado la geometr´ıa de la secci´on abierta de pared delgada en un numero finito de tramos rectil´ıneos unidos mediante tramos curvos, todos ellos de espesor peque˜ no, aunque no necesariamente constante.

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Comportamiento resistente a flexi´ on y torsi´ on de secciones de paredes delgadas

La comparaci´on de los valores del m´odulo de alabeo Ia de la secci´on frente al m´odulo de torsi´on It puede usarse como procedimiento orientativo del grado de susceptibilidad del alabeo de la secci´on. En general, se puede simplificar el c´alculo torsional si el m´odulo de alabeo Ia es peque˜ no frente al m´odulo de torsi´on It . Dentro del grupo de secciones cuyo alabeo es muy peque˜ no se encuentran las secciones macizas o las secciones cerradas de pared delgada. Por ello, cuando una barra deba transmitir, entre otros esfuerzos, momentos torsores conviene dimensionarla con perfiles de peque˜ no m´odulo de alabeo. Si las condiciones de dise˜ no exigen utilizar secciones abiertas, se deber´a tener en cuenta la posibilidad de que exista alabeo. En este sentido algunos textos especializados en estructuras met´alicas ([5] y [6]) establecen recomendaciones sobre relaciones a partir de las cuales es posible despreciar el alabeo de la torsi´on no uniforme: r GIt L > 6, EIa siendo L la longitud de la pieza. @MSEL

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El problema del alabeo de las secciones es notorio en el caso de secciones abiertas de pared delgada. Pero este mal comportamiento a torsi´on de estas secciones no es el u ´nico inconveniente que limita notablemente la capacidad resistente de las piezas dise˜ nadas con este tipo de secciones. Las secciones abiertas de pared delgada tambi´en presentan problemas cuando son sometidas a momentos flectores o a esfuerzos axiles de compresi´on. Estas secciones tienen una especial susceptibilidad a fen´omenos de inestabilidad, en concreto, a la abolladura local y a la combadura, o pandeo lateral. Podr´ıamos decir que el espesor de los elementos que las forman es tan peque˜ no que cuando resultan comprimidos, total o parcialmente, aparecen fallos locales antes de que se alcance el l´ımite el´astico del material. En el caso concreto de la normativa europea, la parte 1-3 del Euroc´odigo 3 Dise˜ no de estructuras de acero est´a dedicada a las Reglas generales para piezas y chapas conformadas en fr´ıo. A efectos pr´acticos se considera que en las secciones abiertas de pared delgada solo los pliegues y zonas adyacentes son suficientemente r´ıgidos para resistir las compresiones sin sufrir abolladura, mientras que las zonas planas del perfil son especialmente susceptibles a ello, por lo que deben eliminarse la contribuci´on de las mismas a las caracter´ısticas geom´etricas resistentes de la secci´on. Por este motivo, en las secciones abiertas de pared delgada, se habla de valores eficaces de a´rea e inercia, en lugar de los valores brutos. La aplicaci´on que ha sido desarrollada permite la modelizaci´on de estos tramos no resistentes de la secci´on asign´andoles espesor nulo, sin que por ello, la secci´on pierda la continuidad f´ısica material. En este contexto, se ha desarrollado un c laboratorio virtual generado como una Gui de Matlab (Graphical User Interface) como una herramienta educacional ([7]). Este software es adecuado para ser utilizado en las titulaciones de Ingenier´ıa y Arquitectura.

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Descripci´ on del trabajo

Se desarrolla un m´etodo de c´alculo num´erico iterativo aplicable a secciones abiertas no ramificadas, compuestas de diferentes tramos rectos, de espesor constante en cada tramo, unidos entre s´ı mediante tramos curvos de radio constante. La aplicaci´on obtiene las principales constantes geom´etricas de la secci´on: a´rea, momentos y productos de inercia, momentos de inercia principales, radios de giro, m´odulo de torsi´on y m´odulo de alabeo, posici´on del centro de gravedad, posici´on de los ejes principales de inercia y posici´on del centro de esfuerzos cortantes. Estos par´ametros son necesarios en el c´alculo resistente de las piezas. 4.1

Modelizaci´ on geom´ etrica de la secci´ on

Consideremos una secci´on de chapa conformada cualquiera. En primer lugar, se considera el perfil lo suficientemente delgado como para quedar reducido a su l´ınea media (Figura 1a). Se aproximan las partes curvas de la figura por segmentos rectil´ıneos (Figura 1b). Se trabaja con un sistema de coordenadas X 0 Y 0 de modo que todos los v´ertices de la secci´on se encuentren en el primer cuadrante. Los segmentos se denotar´an por n´ umeros pares i = 2, 4, ..., 2n. Sean 0 (x01 , y10 ), (x03 , y30 ), . . . , (x02n+1 , y2n+1 ),

los n + 1 v´ertices, 0 ), (x02 , y20 ), (x04 , y40 ), . . . , (x02n , y2n

los n puntos medios de los segmentos, e2 , e4 , . . . , e2n , los espesores e I2 , I4 , . . . , I2n las longitudes de los segmentos correspondientes. ISSN 1988-3145

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C´ alculo de las constantes geom´ etricas

Se ha utilizado el procedimiento num´erico descrito en el anexo 4.A1 de la referencia [6]. Algunas constantes se calculan directamente: X ´ Area de la figura: A = Ii ei . i=2,4,...,2n

El centro de gravedad: (xG , yG ) =

X

Ii ei (xi , yi ).

i=2,4,...,2n

M´odulo de torsi´on: It =

X

Ii e3i .

i=2,4,...,2n

En lo que sigue trabajaremos con coordenadas baric´entricas (xi , yi ) = (x0i , yi0 ) − (xG , yG ). Para calcular los momentos de inercia Ix , Iy e Ixy usaremos las siguientes f´ormulas recursivas: para i = 2, 4, . . . , 2n li ei , A1 = 0, Ai = Ai+1 = 2 Ai Sx,i = Sx,i+1 + (yi+1 + 3yi−1 ), Sx,1 = 0, Sx,i+1 = Sx,i−1 + Ai (yi+1 + yi−1 ), 4 Ai Sy,1 = 0, Sy,i+1 = Sy,i−1 + Ai (xi+1 + xi−1 ), Sy,i = Sy,i+1 + (xi+1 + 3xi−1 ), 4

1 1 Rx,i = Sx,i+1 + 4Sx,i + Sx,i−1 , Ry,i = Sy,i+1 + 4Sy,i + Sy,i−1 , 6 6 X X Ix = − Rx,i (yi+1 − yi−1 ), Iy = − Ry,i (xi+1 − xi−1 ), i=2,4,...,2n

Ixy = −

X

i=2,4,...,2n

i=2,4,...,2n

Rx,i (xi+1 − xi−1 ),

Calculamos ahora el centro de esfuerzos cortantes (xC , yC ) a partir de a´reas sectoriales: para i = 2, 4, . . . , 2n 1 1 Ω0,i = Ω0,i−1 + (xi−1 yi+1 −xi+1 yi−1 ), Ω0,i = 0, Ω0,i+1 = Ω0,i−1 + (xi−1 yi+1 −xi+1 yi−1 ), 2 2 X X Ix,0 = − Rx,i (Ω0,i+1 − Ω0,i−1 ), Iy,0 = − Ry,i (Ω0,i+1 − Ω0,i−1 ), i=2,4,...,2n

xC =

i=2,4,...,2n

Iy Ixa − Ixy − Ixy Iya , 2 Ix Iy − Ixy

yC =

−Ix Iya − Ixy − Ixy Iya . 2 Ix Iy − Ixy

Finalmente calculamos el m´odulo de alabeo Ia :
1 X Ω1 = − Ai Ω0,i+1 + Ω0,i−1 − xC (yi+1 + yi−1 − 2y1 ) + yC (xi+1 + xi−1 − 2x1 ) , A i=2,4,...,2n para i = 2, 4, . . . , 2n 1 1 Ωi = Ω1 + Ω0,i − xC (yi+1 + yi−1 − 2y1 ) + yC (xi+1 + xi−1 − 2x1 ), 2 2 @MSEL

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Sa,i

Ωi+1 = Ω1 + Ω0,i+1 − xC (yi+1 − y1 ) + yC (xi+1 − x1 ), 1 1 = Sa,i−1 + Ai (Ω1 + Ωi−1 ), Sa,i = 0, Sa,i+1 = Sa,i + Ai (Ωi+1 + Ωi ), 2 2 1 Ra,i = (Sa,i+1 + 4Sa,i + Sa,i−1 ), 6 X Ia = − Ra,i (Ωi+1 − Ωi−1 ). i=2,4,...,2n

4.3

Descripci´ on de la aplicaci´ on

El aspecto gr´afico de la aplicaci´on se muestra en la Figura 2. El programa implementa el procedimiento descrito en 4.2 a una secci´on de chapa obtenida por uni´on de tramos rectos y curvos. El laboratorio virtual permite introducir f´acilmente la geometr´ıa de la secci´on a estudiar, obteni´endose las principales constantes que la describen y una gr´afica de la secci´on, los ejes coordenados utilizados, los centros de gravedad y de cortantes y los ejes principales de inercia. Los par´ametros de entrada son los siguientes: • MATRIZ DE PUNTOS: Se trata de una matriz  x1 y1 r1  .. .. .. . . .   xi yi ri .. .. .. . . .

de la forma:  θ1 ..  . , θi  .. .

donde son las coordenadas del primer punto de cada segmento rectil´ıneo y (ri , θi ) corresponden a los par´ametros que definen el trozo de circunferencia adyacente. En el caso de que los segmentos rectil´ıneos se unan sin radios de acuerdo las coordenadas (ri , θi ) son (0, 0).

• ESPESOR FIJO
/ VECTOR DE ESPESORES: permite generar el vector de espesores e1 , e2 , . . . ,
en . Si la entrada es un u ´nico valor e autom´aticamente se genera el vector e, e, . . . , e . Como salida se obtienen los valores de las siguientes constantes: coordenadas del centro de gravedad (CDG), a´rea, momentos de inercia y productos de inercia (Ix , Iy e Ixy ), radios de giro (rx y ry ), momentos principales de inercia (I1 e I2 ), a´ngulo entre los ejes principales de inercia (α), radios de giro prncipales (r1 y r2 ), coordenadas del centro de esfuerzos cortantes (CEC) respecto al centro de gravedad, m´odulo de torsi´on (It ) y m´odulo de alabeo (Ia ). Adem´as se representan gr´aficamente la geometr´ıa del perfil incluyendo la posici´on de los ejes coordenados, los ejes principales de inercia, el centro de gravedad y el centro de esfuerzos cortantes. Ejemplo. Para ilustrar la introducci´on de datos en la aplicaci´on, consideraremos un perfil de chapa conformada del tipo de lados desiguales, en concreto el perfil LF 100.50.6, cuyos lados miden 50 y 100 mm y su espesor es constante y de valor 6 mm. Para introducir la geometr´ıa del perfil son necesarios 4 puntos (Figura 3) de la l´ınea media del perfil. La matriz de puntos tiene la forma:     x1 y1 r1 θ1 5 0.3 0 0 x2 y2 r2 θ2  1.3 0 1 − π  2    x3 y3 r3 θ3  = 0.3 1.3 0 0  , 0.3 10 0 0 x4 y4 r4 θ4 ISSN 1988-3145

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y el vector de espesores se construye autom´aticamente al introducir el espesor constante de la chapa. Todos las caracter´ısticas geom´etricas detalladas en el apartado anterior aparecen reflejadas en la ventana de la aplicaci´on (Figura 2).

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Resultados

Se han comprobado diversos tipos de perfiles normalizados de chapa conformada, cuyos valores te´oricos de las constantes geom´etricas son conocidos: LF 100.50.6, OF 100.3.0 y CF 100.2.0 (Figuras 2, 4 y 5). Las tablas siguientes muestran una comparativa de los resultados te´oricos con los aproximados obtenidos de la aplicaci´on.

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Conclusiones

Se ha desarrollado una aplicaci´on abierta al usuario con el fin de obtener las constantes geom´etricas caracter´ısticas de secciones no ramificadas de chapa conformada en fr´ıo que intervienen en los c´alculos estructurales, teste´andose con algunos de los perfiles normalizados m´as usuales. Los resultados num´ericos obtenidos proporcionan valores muy cercanos a los te´oricos, siendo los errores observados para la mayor´ıa de los valores inferiores al 2%. Este valor confirma la bondad del procedimiento num´erico utilizado. La aplicaci´on que ha sido de@MSEL

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sarrollada tambi´en permite la modelizaci´on del comportamiento a flexi´on de estas secciones y la obtenci´on de las correspondientes caracter´ısticas eficaces de las mismas, sin m´as que asignar espesor nulo a las zonas propensas a sufrir abolladura, sin que por ello, la secci´on pierda la continuidad f´ısica material. La herramienta puede ser u ´til desde el punto de vista docente en asignaturas relacionadas con c´alculo y dimensionamiento seccional como, por ejemplo, Elasticidad y Resistencia de Materiales. La aplicaci´on queda disponible para la libre utilizaci´on del alumno, sin necesidad de recurrir a paquetes de software comercial, de elevado coste, que lleven integrados esta aplicaci´on entre sus prestaciones. Agradecimientos. Los autores agradecen al Ministerio de Ciencia e Innovaci´on (DPI200802953) y a la Universidad Polit´ecnica de Valencia (PAID-06-08) su apoyo financiero.

Figura 1: Perfil LF: modelizaci´on geom´etrica y discretizaci´on.

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Figura 2: Perfil LF 100.50.6: Ejes principales y constantes geom´etricas de la secci´on.

Figura 3: Perfil LF 100.50.6: dimensiones y par´ametros de la matriz de puntos.

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Figura 4: Perfil OF 100.3.0: Ejes principales y constantes geom´etricas de la secci´on.

Figura 5: Perfil CF 100.2.0: Ejes principales y constantes geom´etricas de la secci´on.

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Referencias

[1] Euroc´odigo 3, Proyecto de Estructuras de Acero. Parte 1-3: Reglas generales para piezas y chapas conformadas en fr´ıo. Comit´e Europeo para la Normalizaci´on. 2005. [2] C´odigo T´ecnico de la Edificaci´on. Documento B´asico SE-A: Seguridad Estructural Acero. Ministerio de la Vivienda. 2006. [3] Marco Garc´ıa, J., Fundamentos para el C´alculo y Dise˜ no de Estructuras Met´alicas de Acero Laminado. Editorial McGraw-Hill. 1998. [4] Monfort Lleonart, J., Estructuras Met´alicas para edificaci´on. Tomos I y II. Editorial Universidad Polit´ecnica de Valencia. 2002. [5] Garrido Garc´ıa, J. A.; Foces Mediavila, A., Resistencia de Materiales. Secretariado de Publicaciones de la Universidad de Valladolid. 1994. [6] Norma B´asica de la Edificaci´on NBE EA-95. Estructuras de Acero en Edificaci´on. Ministerio de Obras P´ ublicas, Transportes y Medio Ambiente. 1995. [7] Depcik, C.; Assanis, D.N, Graphical user interfaces in an engineering educational environment- Comput. Appl. Eng. Educ. Vol. 13, 2005.

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